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OSCAR CORONADO MATUTTI

INSTABILIDADE DE TAYLOR-COUETTE EM

ESCOAMENTOS DE FLUIDOS VISCOPLASTICOS

Dissertacao apresentada ao Departamento de EngenhariaMecanica da PUC-Rio como parte dos requisitos para aobtencao do tıtulo de Mestre em Engenharia Mecanica.

Orientadores: Prof. Marcio da Silveira Carvalho

Prof. Paulo Roberto de Souza Mendes

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA

PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATOLICA DO RIO DE JANEIRO

Rio de Janeiro, 25 de julho de 2002.

Todo o mundo sabe compadecer o sofrimento de

um amigo, mas e preciso ter uma alma realmente

bonita para se apreciar o sucesso de um amigo.

Oscar Wilde

AGRADECIMENTOS

Meus agradecimentos

- a minha famılia pelo incentivo, apoio e paciencia durante meus anos de estudo.

- ao professor Marcio da Silveira Carvalho, meu orientador, pela amizade, apoio e

confianca depositada.

- ao professor Paulo Roberto de Souza Mendes, meu orientador, pelo apoio e confianca

depositada.

- a Alberto Coronado, meu irmao, pela ajuda e conselhos.

- a Patrıcia Manoel, pelo apoio e companhia.

- a CAPES e ao governo brasileiro pela oportunidade de desenvolvimento desta tese.

- a todos meus amigos pela confianca.

Instabilidade de Taylor-Couette em Escoamentos de Fluidos Viscoplasticos

Oscar Coronado Matutti

Resumo

A superposicao de um escoamento circular de Couette e um fluxo com gradiente de

pressao axial, atraves de um espaco anular ocorre em muitas aplicacoes praticas, tais

como: reatores quımicos catalıticos, filtros, extratores lıquido-lıquido, mancais e o fluxo

de retorno de lamas de perfuracao entre a coluna de perfuracao rotatoria e a formacao

rochosa na perfuracao de pocos produtores de petroleo e gas. As linhas de corrente curva-

das do fluxo circular de Couette podem causar uma instabilidade centrıfuga que produz

vortices toroidais, conhecidos como vortices de Taylor. A presenca destes vortices muda

as caracterısticas hidrodinamicas e a transferencia de calor no processo. Em consequencia,

e muito importante ser capaz de prever o aparecimento da instabilidade. A maioria das

analises numericas e experimentais disponıveis na literatura sao para fluidos Newtonianos

e viscoelasticos (solucoes polimericas). Neste trabalho, o efeito das propriedades visco-

plasticas de suspensoes de altas concentracoes neste tipo de escoamento e nas condicoes

crıticas para o aparecimento de vortices sao determinadas teoricamente atraves da solucao

das equacoes de conservacao. As equacoes diferenciais foram integradas pelo metodo de

elementos finitos-Galerkin e o sistema de equacoes algebricas nao lineares resultante foi

resolvido pelo metodo de Newton.

Palavra(s) Chave(s): cilindros concentricos, fluido viscoplastico, instabilidade de Tay-

lor, metodo dos elementos finitos, modelo de Carreau-Yasuda.

Taylor-Couette Instability in Viscoplastic Fluid Flow

Oscar Coronado Matutti

Abstract

The superposition of a circular Couette flow and a pressure-driven axial flow in an

annulus occurs in many practical applications, such as catalytic chemical reactors, filtra-

tion devices, liquid-liquid extractors, journal bearings, and the return flow of drilling mud

between the rotating drill string and the stationary wall in oil and gas well drilling. The

curved streamlines of the circular Couette flow can cause a centrifugal instability leading

to toroidal vortices, well known as Taylor vortices. The presence of these vortices changes

the hydrodynamic and heat transfer characteristics of the process. Therefore, it is very

important to be able to predict the onset of instability. Most of the available theoreti-

cal and experimental analyses are for Newtonian and viscoelastic (polymeric solutions)

liquids. In this work, the effect of the viscoplastic properties of high concentration sus-

pensions on the onset of the Taylor vortices are determined theoretically by solving the

conservation equations and searching the critical conditions. The differential equations

were solved by the Galerkin / finite element method and the resulting set of non-linear

algebraic equations, by Newton’s method.

Key-words: concentric cylinders, viscoplastic fluid, Taylor instability, finite element

method, Carreau-Yasuda model

Sumario

Lista de Figuras VII

Lista de Tabelas X

Lista de Sımbolos XI

1 Introducao 1

1.1 Revisao Bibliografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Descricao da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Modelo teorico 10

2.1 Configuracao geometrica e parametros relevantes ao problema . . . . . . . 11

2.1.1 Descricao da geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2 Parametros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Equacoes governantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Formulacao da Equacao de Conservacao da Quantidade de Movi-

mento e Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 Condicoes de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Solucao pelo Metodo de Resıduos Ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Resıduo da equacao de conservacao da quantidade de movimento . 17

2.3.2 Resıduo da equacao da continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.3 Definicao da malha e graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.4 Funcoes base no sistema de coordenadas local . . . . . . . . . . . . 21

2.3.5 Metodo de Newton, para a solucao do sistema de equacoes nao lineares 23

2.3.6 Montagem do vetor Resıduo elementar Relem e da matriz Jacobiana

elementar Jelem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Equacao Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

IV

SUMARIO V

2.4.1 Fluido Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.2 Fluido Newtoniano Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Metodologia para a obtencao do numero de Taylor crıtico Ta∗ e descricao

da geometria a estudar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.1 Diagrama de fase dos estados de fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.2 Descricao da tatica usada para achar o numero de Taylor crıtico Ta∗ 32

2.5.3 Geometria estudada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Validacao dos resultados numericos 35

3.1 Validacao para o caso de fluidos Newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.1 Validacao do perfil da velocidade azimutal Vθ com a sua solucao

analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.2 Validacao do numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da razao de

raio Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Validacao para o caso de fluidos nao Newtonianos . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Apresentacao dos resultados 40

4.1 Resultados para fluidos Newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.1 Comparacao do perfil analıtico da velocidade azimutal Vθ com o

perfil numerico entre vortices e no medio de vortices . . . . . . . . . 41

4.1.2 Dependencia do numero de Taylor crıtico Ta∗ com relacao a razao

de raio Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.3 Dependencia da velocidade azimutal crıtica V ∗θ com relacao ao raio

interno ri para varias razoes de raio Π . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Resultados para fluidos nao Newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.1 Dependencia da funcao viscosidade η em relacao a taxa de cisa-

lhamento γ, para diferentes ındices de potencia n em um fluido

viscoplastico caracterizado pelo modelo de Carreau-Yasuda . . . . . 45

4.2.2 Influencia dos parametros reologicos sobre o numero de Taylor crıtico

Ta∗ para diferentes razoes de raio Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.3 Influencia dos parametros reologicos e geometricos na obtencao do

numero de Taylor crıtico Ta∗, para diferentes viscosidade a altas

taxas de cisalhamento η∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

SUMARIO VI

4.2.4 Comparacao do numero de Taylor crıtico calculado com a viscosida-

de η0, com o numero de Taylor crıtico modificado Ta∗mod calculado

com uma viscosidade caraterıstica ηc . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.5 Influencia da constante de tempo λ sobre a viscosidade η e sobre o

numero de Taylor crıtico Ta∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Evolucao da formacao dos vortices com relacao ao incremento do numero

de Taylor Ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 Conclusoes e Recomendacoes 61

5.1 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Lista de Figuras

1.1 Esquema do processo de perfuracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Relacao entre Re e Ta segundo Kaye & Elgar (1957) . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Padrao de fluxo (a) Vortices de Taylor (b) Vortices helicoidais . . . . . . . 7

2.1 Configuracao geometrica para um escoamento de Taylor-Couette . . . . . . 11

2.2 Geometria do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Condicao de parede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Condicoes de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Numeracao de nos e graus de liberdade para cada elemento bi-quadratico . 20

2.6 Sistema de coordenadas elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7 Funcao base φ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.8 Funcao base φ9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.9 Chute inicial para os diferentes tecnicas de Continuacao . . . . . . . . . . . 25

2.10 Fluido Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.11 Modelo de carreau-Yasuda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.12 Esquema do diagrama de fase dos estados de fluxos entre dois cilindros

concentricos giratorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.13 Procedimento grafico para a obtencao do numero de Taylor crıtico Ta∗,

considerando a trajetoria de solucao para um fluido Newtoniano com uma

razao de raio Π = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.14 Configuracao geometrica no plano r-z, para um escoamento atraves do

espaco anular formado entre dois cilindros concentricos giratorios . . . . . 34

3.1 Comparacao das solucoes analıticas e numericas do perfil de velocidade

azimutal Vθ, numa posicao z = L/2 = 7.5 cm para uma razao de raio

Π = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

VII

LISTA DE FIGURAS VIII

3.2 Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da razao de raio Π. Comparacao

com trabalhos experimentais existentes na literatura . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Comparacao do numero de Taylor crıtico Ta∗, com resultados existentes

na literatura, considerando um pequeno espaco anular Π = 0.95 e uma

viscosidade a altas taxas de cisalhamento η∞ = 0.001 g/cm s . . . . . . . . 39

4.1 Perfil analıtico e perfil numerico da velocidade azimutal Vθ entre vortices e

no medio de vortices, razao de raio Π = 0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Numero de Taylor crıtico Ta∗ para fluidos Newtonianos em funcao da razao

de raio Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3 Velocidade azimutal critica V ∗θ em funcao do raio interno ri, para varias

razoes de raio Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4 Modelo de Carreau-Yasuda, viscosidade η vs. taxa de cisalhamento γ para

η0 = 0.04 g/cm s, η∞ = 0.001 g/cm s, λ = 0.1 s−1 e a = 2 . . . . . . . . . . 45

4.5 Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da viscosidade a altas taxas de

cisalhamento η∞, para diferentes ındices de potencia n, razao de raio Π = 0.6. 47






cisalhamento η∞, para diferentes ındices de potencia n, razao de raio Π =

0.95. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.9 Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da razao de raio Π, para diferentes

ındices de potencia n, η∞ = 0.01 g/cm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51


ındices de potencia n, η∞ = 0.001 g/cm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


ındices de potencia n, η∞ = 0.0001 g/cm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.12 Numero de Taylor crıtico Ta∗ e numero de Taylor crıtico modificado Ta∗mod

em funcao do ındice de potencia, razao de raio η = 0.95 . . . . . . . . . . . 54

4.13 Numero de Taylor crıtico Ta∗ e numero de Taylor crıtico modificado Ta∗mod

em funcao do ındice de potencia, razao de raio η = 0.9 . . . . . . . . . . . 55

4.14 Influencia da constante de tempo λ sobre a viscosidade η, Π = 0.95 . . . . 56

LISTA DE FIGURAS IX

4.15 Influencia da constante de tempo λ sobre o numero de Taylor crıtico Ta∗,

Π = 0.95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.16 Evolucao da formacao dos vortices em estados antes do inıcio da instabili-

dade do escoamento de Couette, razao de raio Π = 0.8 . . . . . . . . . . . 59

4.17 Evolucao da formacao dos vortices em estados depois do inıcio da instabi-

lidade do escoamento de Couette, razao de raio Π = 0.8 . . . . . . . . . . . 60

Lista de Tabelas

4.1 Dimensoes e numeros de Taylor crıticos Ta∗ dos diferentes casos estudados 41

4.2 Numero de Taylor crıtico Ta∗ para os diferentes casos estudados . . . . . . 46

X

Lista de Sımbolos

r Componente radial em coordenadas cilındricasθ Componente azimutal em coordenadas cilındricasz Componente axial em coordenadas cilındricasL Comprimento (cm)d Distancia do espaco anular (cm)φi Funcao teste para o campo de velocidadeχi Funcao teste para o campo de pressao

n Indice de potencia do modelo de Carreau-Yasudaa Parametro adimensional do modelo de Carreau-Yasudap Pressaori Raio do cilindro interno (cm)r0 Raio do cilindro externo (cm)γ Taxa de cisalhamento (1/s)γc Taxa de cisalhamento caraterıstica (1/s)ωin Velocidade angular do cilindro interno (rad/s)ωex Velocidade angular do cilindro externo (rad/s)w Velocidade axial media do fluido (cm/s)u = Vr Velocidade na direcao radial (cm/s)v = Vz Velocidade na direcao axial (cm/s)w = Vθ Velocidade na direcao azimutal (cm/s)

Vetores e matrizes

u Campo de velocidadesJ Matriz Jacobiana globalJelem Matriz Jacobiana elementarT Tensor de tensoesS Tensor de tensoes viscosasD Tensor taxa de deformacaog Vetor gravidadeW Vetor funcao peso

XI

LISTA DE SIMBOLOS XII

C Vetor que contem os graus de liberdadeR Vetor resıduo globalRelem Vetor resıduo elementarn e t Vetores unitarios normal e tangencial a uma superfıcie

Propriedades fısicas

ρ Densidade (g/cm3)η Viscosidade absoluta (g/cm s)ν Viscosidade cinematica (cm2/ s)η0 Viscosidade a baixas taxas de cisalhamento (g/cm s)η∞ Viscosidade a altas taxas de cisalhamento (g/cm s)

Numeros adimensionais

Fg Fator de correcao geometricoRe Numero de ReynoldsRe∗ Numero de Reynolds crıticoTa Numero de TaylorTa∗ Numero de Taylor crıticoTamod Numero de Taylor modificadoTa∗mod Numero de Taylor crıtico modificadoTaL Numero de Taylor definido por Lockett et al. [24]∆β Parametro nao Newtoniano definido por Lockett et al. [24]Υ Razao de aspectoΠ Razao de raioµ Razao de velocidade azimutal dos cilindros

Letras gregas

β Coeficiente de deslizamentoτ Componente do tensor de tensoes Tλ Constante do tempo do modelo de Carreau-Yasudaξ, η Coordenadas locaisΩ Dominio do fluidoΓ Lımites do dominio do fluidoκ Numero de onda axialα Numero de onda azimutal

Capıtulo 1

Introducao

O processo de perfuracao de pocos produtores de petroleo apresenta grandes desafios

tecnologicos para a industria de petroleo. Durante este processo, fluido de perfuracao

e bombeado pela parte interna da broca, e retorna atraves do pequeno espaco anular

formado entre a broca e a formacao rochosa do poco. O esquema deste processo e mostrado

na Fig.1.1.

As principais finalidades do fluido de perfuracao sao de arrefecer a broca, carrear o

cascalho proveniente do processo de perfuracao e estabilizar o poco contra o colapso das

paredes da formacao rochosa.

As propriedades fısicas destes fluidos, controladas atraves de suas composicoes, devem

ser projetadas para um desempenho otimo destas funcoes. A densidade deve ser tal que

a pressao hidrostatica desenvolvida seja suficiente para estabilizar o poco. A viscosidade

deve variar com a taxa de deformacao de forma que a mesma seja alta a baixas taxas

de deformacao para garantir um bom carreamento de cascalhos e baixa a altas taxas de

deformacao para diminuir a perda de carga do sistema e consequentemente a potencia de

bombeamento. Este comportamento da viscosidade caracteriza um fluido viscoplastico e

torna a analise do escoamento de lamas de perfuracao mais complexa.

Um importante aspecto no processo de perfuracao e determinar a vazao do fluido de

perfuracao e consequentemente a potencia de bombeamento necessaria. Para determinar

estes parametros e necessario determinar o padrao de escoamento no espaco anular en-

tre a coluna giratoria da broca e o poco. Neste tipo de escoamento pode ocorrer uma

instabilidade hidrodinamica caracterizada pelo aparecimento de vortices toroidais. Esta

instabilidade e conhecida como instabilidade de Taylor-Couette e pode alterar profun-

damente a perda de carga do escoamento, a tensao cisalhante na parede do poco e a

1

Capıtulo 1. Introducao 2

Figura 1.1: Esquema do processo de perfuracao

capacidade de carreamento de cascalho.

Os valores dos parametros em que o escoamento torna-se instavel sao bem conhecidos

no caso de fluidos Newtonianos e espaco anular estreito. Porem, estes valores crıticos sao

alterados devido ao comportamento nao Newtoniano do fluido. No caso do escoamento

de lamas de perfuracao, a influencia das propriedades viscoplasticas na instabilidade deve

ser determinada para um projeto otimo do processo de perfuracao.

A superposicao do fluxo circular de Couette e o fluxo originado por um gradiente de

pressao axial sobre o espaco anular, tem tambem outras aplicacoes na engenharia, tais

como: sistemas de refrigeracao, filtros, extratores lıquido-lıquido, entre outros. O apare-

cimento da instabilidade de Taylor tambem influencia o desempenho destes processos.


1.1 Revisao Bibliografica

Diversos estudos da instabilidade de Taylor-Couette, principalmente para o caso par-

ticular de fluidos Newtonianos, foram desenvolvidos e apresentados na literatura.

No campo experimental, houve um grande avanco com o desenvolvimento do metodo

Laser Doppler Velocimetry (LDV), que permite medir o campo de velocidades do fluido

com grande precisao. Lueptow et al.[25] observaram ate 12 diferentes tipos de regimes de

escoamento entre dois cilindros girantes.

No campo teorico, o uso de ferramentas como os elementos finitos, o desenvolvimento

dos metodos numericos, aliados ao avanco dos computadores, contribuiram para a solucao

de problemas cada vez mais complexos, sobretudo em tempos cada vez menores e com

melhor precisao.

Nos artigos pioneiros sobre esse assunto, os estudos limitaram-se ao caso de fluidos

Newtonianos (Taylor [38], Diprima [10], Gravas & Martin [19], Andereck et al.[1], entre

outros). Com o passar do tempo, observou-se que a maioria dos fluidos presentes nas

diversas atividades industriais e na vida diaria apresentam um comportamento nao New-

toniano. Este comportamento tem um impacto significativo sobre o aparecimento dos

vortices toroidais.

Situacoes mais complexas como fluxo axial imposto no espaco anular (Diprima [10],

Gravas & Martin [19], Graham [18], entre outros), casos onde nao existe simetria axial

(Ng & Turner [29], Takeuchi & Jankowski [37], Lee [23], entre outros), excentricidade

dos cilindros (Escudier et al.[16], Dris & Shaqfeh [12],[13], Chawda [8], entre outros) e

estados transientes, foram estudados recentemente. Uma revisao cronologica foi feita,

apresentando os principais trabalhos de pesquisa.

Os primeiros trabalhos referentes ao estudo do escoamento atraves de um espaco anular

formado entre cilindros concentricos datam de inıcios do seculo XX. Estes estudos foram

inicialmente realizados para medir a viscosidade da agua. Couette 1 realizou experiencias

onde o cilindro interno foi mantido fixo, enquanto o externo foi rodado. Ele concluiu

que o momento de arrasto que o fluido exerce sobre o cilindro interno e proporcional

a velocidade do cilindro externo, isto ate um certo valor da velocidade. Acima desta

velocidade crıtica, o crescimento do arrasto torna-se nao linear com a velocidade. Esta

mudanca de comportamento foi atribuıda a mudanca de padrao de escoamento entre os

1E mencionado no trabalho de Taylor [38].


cilindros.

Mallock 2 encontrou os mesmos resultados que Couette, so que em seu estudo, o cilindro

interno foi rodado e o externo mantido fixo. Neste caso, ele encontrou instabilidade para

todas as velocidades do cilindro interno.

Taylor [38] foi o primeiro a realizar estudo tanto teorico como experimental do proble-

ma. Os resultados apresentados estao completamente em desacordo como os resultados

experimentais de Couette & Mallock. Taylor [38] atribuiu estas diferencas a detalhes de

fabricacao das bancadas de testes de Couette & Mallock, que segundo ele, apresentavam

muitas falhas. No caso onde o cilindro interno e mantido fixo e o cilindro externo rodado,

Taylor [38] encontrou que o escoamento azimutal e estavel ate a elevadas velocidades do

cilindro externo. No caso em que o cilindro interno foi rodado e o externo mantido fixo,

o movimento foi estavel somente a baixas velocidades do cilindro interno. Acima de uma

velocidade crıtica, o movimento torna-se instavel, isto e, recirculacoes aparecem e o es-

coamento deixa de ser puramente azimutal. Taylor [38] tambem estudou o caso onde os

dois cilindros foram rodados tanto na mesma direcao como em direcoes opostas.

Diprima [10] foi o primeiro a estudar o problema com fluxo axial atraves da secao

anular. Ele analisou teoricamente a instabilidade do fluido, quando este e submetido a

um gradiente de pressao axial e os cilindros estao rodando na mesma direcao. Segundo

Kaye & Elgar (1957) 3, existem 4 regioes, mostradas na Fig.(1.2), que sao caracterizadas

pelo aparecimento de vortices. O eixo horizontal representa o numero de Taylor Ta

(associado a rotacao dos cilindros) e o eixo vertical representa o numero de Reynolds Re

(associado a velocidade axial do fluido). Diprima [10] analisou o caso para baixos numeros

de Reynolds e espacamentos entre cilindros pequenos, ou seja, ele conseguiu obter so a

parte inferior da linha que divide a zona de escoamento laminar com a zona de escoamento

laminar com vortices mostrado da Fig.1.2.

Chung & Astill [29] foram os primeiros a estudar o problema de estabilidade conside-

rando um disturbio sem simetria axial. Segundo eles a analise precisa de dois numeros de

onda, o usual numero de onda axial κ, que representa a periodicidade axial do disturbio

e o numero de onda azimutal α, que representa a variacao tangencial da perturbacao.

Gravas & Martin [19], estudaram experimentalmente o problema buscando achar o

numero de Taylor crıtico, Ta∗, para o qual os vortices aparecem. Os experimentos foram

2E mencionado no trabalho de Taylor [38].3E mencionado no trabalho de Diprima [10]


Ta

Re

Escoamento

turbulento

Escoamento

laminar com

vórtices

Escoamento

laminar

Escoamento

turbulento

com vórtices

Figura 1.2: Relacao entre Re e Ta segundo Kaye & Elgar (1957)

feitos considerando razoes de raio Π = ri/r0 = 0.9, 0.81 e 0.58, e numeros de Reynolds

Re que variam entre 86 e 2000. Os resultados que eles obtiveram estao de acordo com as

previsoes numericas presentes na literatura ate aquele momento.

Um estudo numerico e experimental considerando um gradiente de pressao axial e

uma rotacao independente dos cilindros foi realizado por Takeuchi & Jankowski [37]. Eles

assumiram uma perturbacao tridimensional para razoes de rotacao µ 4 de 0, 0.2 e -0.5 e

numero de Reynolds Re > 100. Os resultados numericos para µ ≥ 0 e baixos numeros de

Reynolds estao de acordo com os experimentais, enquanto que os resultados para µ < 0

foram aceitaveis, seguindo a mesma tendencia em ambos casos.

De acordo com Chung & Astill [29], Takeuchi & Jankowski [37] assumiram que o

disturbio tem uma estrutura de vortice toroidal ou uma forma espiral dependendo do

numero de onda azimutal α e o numero de Reynolds Re. O caso α = 0 corresponde ao

caso de vortices toroidais.

Ng & Turner [29], estudaram numericamente a estabilidade de um fluxo espiral entre

cilindros concentricos giratorios, considerando para isto os efeitos de disturbios com si-

metria axial, assim como, os casos sem simetria axial. A perturbacao com simetria axial

ocorre quando nao existe fluxo axial Re = 0. Para o estudo da estabilidade, sobre o fluxo

4µ = ωex/ωin e a relacao entre a velocidade azimutal do cilindro externo ωex e a velocidade azimutaldo cilindro interno ωin


primario foi superimposta uma perturbacao infinitesimal sem considerar simetria axial,

como e mostrado na eq.(1.1). V e W representam a solucao do escoamento espiral em

regime permanente, κ o numero de onda na direcao z e α (inteiro) o numero de onda na

direcao θ. α = 0 representa o caso de perturbacao com simetria axial. Para resolver o

problema de auto-valor, utilizou-se o metodo de matriz composta.

[ur, uθ, uz] = [0, V,W ] + [u′(r), v′(r), w′(r)]ei(κz+αθ−st) (1.1)

Em pesquisas anteriores a esta, foram somente considerados disturbios com simetria

axial, que sao validos para baixos numeros de Reynolds, Re. Segundo Ng & Turner

[29], para numeros de Reynolds medios e altos, as perturbacoes sem simetria axial sao

predominates. Os estudos de Ng & Turner [29] consideraram o cilindro externo fixo com

uma razao de raio Π = 0.95. O numero de Reynolds foi variado de 0 ate 7700. Os

resultados para baixos numeros de Reynolds, foram comparados com dados de pesquisas

anteriores, enquanto que os resultados para altos numeros de Reynolds, nao puderam ser

comparados.

Andereck et al.[1], encontraram uma grande variedade de regimes de fluxo, que foram

distinguidos pela sua simetria em rotacao e reflexao, seus numeros de onda axial e azimutal

e pela frequencia de rotacao das ondas viajando na direcao azimutal. A transicao entre

os estados foi determinada como funcao dos numeros de Reynolds 5 dos cilindros interno

e externo para uma razao de raio Π = 0.883 e uma razao de aspecto Γ = L/d = 20 ate 48.

Foram encontrados 18 padroes de escoamentos distintos sem fluxo axial. Os resultados

numericos que eles obtiveram nao puderam ser comparados com resultados analıticos, ja

que nao existia bibliografia a respeito.

Dependendo da aceleracao do cilindro interno, podem-se observar varios tipos de ins-

tabilidades. Azuma et al.[2] estudaram tres modos diferentes: o modo primario onde o

cilindro interno e acelerado gradualmente 6, o modo secundario normal onde o cilindro

interno e acelerado bruscamente 7, e o modo secundario anomalo 8. Uma analise 3 − D

5Neste caso particular relacionado com a velocidade de rotacao dos cilindros.6O cilindro interno e acelerado desde o repouso ate uma velocidade equivalente a um numero de

Reynolds Re = 500 num tempo de 20 segundos.7O cilindro interno e acelerado desde o repouso ate uma velocidade equivalente a um numero de

Reynolds Re = 500 num tempo de 3.33 segundos.8O cilindro interno e acelerado com a mesma aceleracao que o modo secundario normal, so que neste


foi necessaria para detectar os efeitos causados pelo modo secundario. No modo primario

eles observaram a aparicao de 2 vortices, enquanto que, no modo secundario a aparicao

de 4 vortices, que foi atribuıda as bifurcacoes das equacoes de Navier-Stokes.

Quando escoamento axial e imposto, os vortices sao toroidais a baixos numeros de

Reynolds e tornam-se helicoidais a elevados numeros de Reynolds (Fig.1.3). Em todos os

casos, o fluxo axial estabiliza o fluxo circular de Couette, de forma que o aparecimento de

vortices de Taylor ocorre a numeros de Taylor maiores que para um fluxo sem escoamento

axial. Porem a transicao de escoamento laminar a escoamento turbulento e desestabilizada

pelo escoamento circular de Couette, segundo Lueptow et al.[25].

win win

(a) (b)

Figura 1.3: Padrao de fluxo (a) Vortices de Taylor (b) Vortices helicoidais

Lueptow et al.[25] estudaram os diferentes tipos de regimes para um escoamento circu-

lar de Couette com fluxo axial imposto num espaco anular. Para seu estudo consideraram

uma razao de raio Π = 0.848, com o numero de Reynolds variando de 0 ate 37 e o numero

de Taylor variando de 0 ate 2900. Encontraram ate 12 regimes de escoamento diferentes,

que foram representados num mapa de Numero de Taylor vs Numero de Reynolds.

caso o numero de Reynolds final foi Re = 150.


Como foi mencionado anteriormente, uma das aplicacoes importantes do estudo do

escoamento em espacos anulares e o escoamento de lamas de perfuracao nos processos

de perfuracao de pocos produtores de petroleo. As lamas sao em sua maioria suspensoes

coloidais e possuem um comportamento viscoplastico. O seu comportamento nao Newto-

niano pode ser caracterizado pelo modelo de Herschel-Bulkley ou pelo modelo de Carreau

(Lockett et al.[24]).

Lockett et al.[24] utilizaram o metodo dos elementos finitos para determinar o primeiro

ponto de bifurcacao para fluidos inelasticos. Foram consideradas razoes de raio Π = 0.95

e 0.5, que representam pequenos e grandes espacos anulares respectivamente. Em seu

estudo, nao foi considerado fluxo axial imposto.

A analise numerica da estabilidade de um fluxo espiral entre cilindros concentricos,

para baixos numeros de Reynolds Re e pequenos espacos anulares foi realizada por Lee

[23]. Ele encontrou uma relacao entre o numero de Reynolds crıtico Re∗ e o numero de

Taylor crıtico Ta∗, dada pela eq.(1.2).

Ta∗ ≈ 1715 + 4.5[

(Re∗)2 − 0.037|Re∗|3]

(1.2)

Para |Re∗| ≤ 12

1.2 Descricao da tese

Pretende-se resolver pelo metodo de elementos finitos as equacoes de conservacao da

quantidade de movimento e massa para fluidos incompressıveis, em coordenadas cilındricas

e supondo simetria axial9. O fluido em estudo esta escoando em um espaco anular formado

entre dois cilindros10, onde o cilindro interno esta girando a uma dada velocidade angular

e o externo e mantido fixo. Neste trabalho nao e considerado fluxo axial.

Numa primeira parte, o estudo e feito para fluidos Newtonianos, cujos resultados

sao usados para validar o nosso programa e a metodologia de determinacao do numero de

Taylor crıtico para o aparecimento de vortices toroidais , atraves da comparacao com dados

existentes na literatura para varias razoes de raio Π. No caso de fluidos nao Newtonianos,

9Os campos de velocidade e pressao a resolver nao dependem da coordenada azimutal.10O espaco anular e quantificado pela razao de raio Π = ri/r0, no presente trabalho foram usados

varias razoes de raio que cobrem a maioria das possibilidades desde pequenos a grandes espacos anulares.


o modelo usado para descrever o comportamento mecanico de um fluido viscoplastico e

o modelo de Carreau-Yasuda. Nao foram encontrados resultados na literatura para este

modelo, mas os resultados obtidos apresentaram uma boa concordancia com os resultados

dos modelos de Bingham e Power law apresentados no trabalho de Lockett et al.[24].

Nosso objetivo e determinar o inıcio da instabilidade de um escoamento azimutal em

um espaco anular, ou seja, as condicoes nas quais comecam a aparecer os vortices de

Taylor. As condicoes crıticas sao determinadas sem a solucao de um problema de auto-

valor, que geralmente apresentam um alto custo computacional.

No Capıtulo 2, definem-se as variaveis e parametros adimensionais relevantes ao pro-

blema, as equacoes governantes com suas respectivas restricoes e condicoes de contorno, e

por ultimo, a metodologia de solucao pelo metodo dos resıduos ponderados (Formulacao

de Galerkin).

Para a solucao do problema, implementam-se no programa Computacional Fluid Dy-

namics (CFD), as equacoes em coordenadas cilındricas para um espaco tridimensional,

assim como o modelo de Carreau-Yasuda para a obtencao da viscosidade no caso de fluidos

nao Newtonianos.

No Capıtulo 3, sao apresentados os testes de validacao do programa e da metodolo-

gia usada, para garantir que os resultados obtidos sao coerentes. Sempre que possıvel,

os resultados obtidos com o programa sao comparados com solucoes analıticas, ou com

resultados numericos e experimentais existentes na literatura.

No Capıtulo 4, sao apresentados os resultados, numa primeira parte para fluidos New-

tonianos e depois para fluidos nao Newtonianos, com suas respectivas discussoes.

No Capıtulo 5, sao apresentados as conclusoes e as sugestoes para trabalhos futuros.

Capıtulo 2

Modelo teorico

Neste capıtulo, apresenta-se a formulacao matematica para descrever o escoamento em

espacos anulares com rotacao do cilindro interno, i.e. as equacoes de conservacao da quan-

tidade de movimento e massa para fluidos incompressıveis, assim como, o procedimento

numerico utilizado para a solucao das mesmas.

Para a solucao do problema, considera-se um espaco tridimensional, no sistema de

coordenadas cilındricas. Tambem assume-se um escoamento com simetria axial, ou seja, as

variaveis serao independentes da direcao azimutal e regime permanente, onde as variaveis

nao mudam com o tempo.

O que se pretende e achar os campos de velocidade e pressao e o padrao do escoamento

para os diferentes parametros geometricos e condicoes de operacao.

O sistema de equacoes diferenciais foi integrado pelo metodo dos elementos finitos.

A solucao numerica do sistema de equacoes algebricas nao lineares resultante da dis-

cretizacao, foi obtida pelo metodo de Newton. A solucao do sistema de equacoes lineares

em cada iteracao do metodo de Newton, foi obtida pelo metodo frontal.

No presente estudo, considerou-se o escoamento de fluidos Newtoniano e nao Newto-

niano. No caso de fluidos nao newtoniano, utilizou-se o modelo de Carreau-Yasuda, que

e o que melhor caracteriza o comportamento reologico das lamas de perfuracao.

Por ultimo, discute-se o diagrama de fase dos estados de fluxo, a tatica usada para

achar o numero de Taylor crıtico Ta∗ e descreve-se a geometria estudada.

10

Capıtulo 2. Modelo teorico 11

2.1 Configuracao geometrica e parametros relevantes

ao problema

O que se pretende no presente trabalho e analisar a estabilidade do escoamento pu-

ramente azimutal entre dois cilindros concentricos giratorios, onde o cilindro interno esta

girando a uma velocidade angular constante ωin e o externo permanece fixo, como e mos-

trado na Fig.2.1. A analise e feita em coordenadas cilındricas e sao apenas considerados

padroes de escoamento com simetria axial, i.e. todas as variaveis sao supostas indepen-

dentes da coordenada azimutal.

r0

ri

v=VZ

w=Vq

u=Vr

r

win

d

L

Figura 2.1: Configuracao geometrica para um escoamento de Taylor-Couette

As variaveis usadas para descrever a geometria e os campos de velocidade em coorde-

nadas cilındricas, mostradas na Fig.2.1, sao as seguintes:

r: Coordenada radial

ri: Raio interno (cm)

r0: Raio externo (cm)

d: Espaco anular (cm)


L: Comprimento (cm)

ωin: Velocidade angular do cilindro interno ( rad/s)

u = Vr: Velocidade radial (cm/s)

v = Vz: Velocidade axial (cm/s)

w = Vθ: Velocidade azimutal (cm/s)

2.1.1 Descricao da geometria

A geometria sera dividida em 3 regioes, uma central, que vai ser afetada pela velocidade

azimutal do cilindro interno, e as outras duas onde vai-se considerar a velocidade dos

dois cilindros igual a zero. O objetivo das duas regioes (de cima e de baixo) e reduzir

a influencia das condicoes de contorno impostas nas paredes superior e inferior, como

mostrado na Fig.2.2.

A regioes 1 e 3 foram divididas em 8x10 (N o elementos na direcao radial* N o elementos

na direcao axial) elementos. A regiao 2 foi dividida em 8x40 elementos, e e a regiao de

interesse.

2.1.2 Parametros adimensionais

Os parametros adimensionais relevantes ao problema sao:

Razao de raio

Π =rir0

(2.1)

Razao de aspecto

Υ =L

d(2.2)

Numero de Taylor: Relacionado com a velocidade azimutal do fluido

Ta =ρriωind

η(2.3)

onde:

ρ: Densidade do fluido

η: Viscosidade do fluido


ri

r0

3

2

1

Parede

fixa

Parede

fixa

Parede

móvel

Parede

fixa

Parede

fixa

Parede

fixa

win

d

Figura 2.2: Geometria do problema

2.2 Equacoes governantes

2.2.1 Formulacao da Equacao de Conservacao da Quantidade deMovimento e Massa

Na formulacao do problema, adotaram-se as seguintes hipoteses simplificadoras:

1. Regime permanente.

2. Fluido incompressıvel.

3. Escoamento tridimenisonal, com simetria axial


As equacoes de conservacao, escritas em sua forma vetorial, sao mostradas nas eqs.(2.4)

e (2.5).

a. Equacao de conservacao da quantidade de movimento

ρu.∇u = ∇.T (2.4)

Onde, T e o tensor de tensoes, u o vetor campo de velocidade e ∇u o gradiente do

vetor campo de velocidade.

b. Equacao da continuidade (Conservacao de massa)

∇.u = 0 (2.5)

2.2.2 Condicoes de contorno

Nos limites do domınio do fluido, pode-se considerar uma condicao de contorno de

parede, onde assume-se que a velocidade do fluido e a mesma que a velocidade dos limites.

A condicao de parede e uma condicao de contorno essencial, que fisicamente, implica as

seguintes condicoes:

- Impermeabilidade

Garante que nao havera fluxo a traves dos limites do domınio.

u.n = U.n sobre Γ (2.6)

- Nao-deslizamento

Garante o nao deslizamento do fluido com relacao aos limites do domınio.

u.t = U.t sobre Γ (2.7)


nt

u

U

W

G

Figura 2.3: Condicao de parede

Onde:

U : Velocidade da parede.

u : Velocidade do fluido.

Ω : Domınio do fluido.

Γ : Limites do domınio do fluido.

n : Vetor normal a superfıcie.

t : Vetor tangencial a superfıcie.

A Fig.2.4, mostra as condicoes de contorno a serem aplicadas na geometria em estudo.

Como pode-se observar, na maioria das fronteiras dos elementos e considerado a condicao

de parede, exceto nas fronteiras entre elementos.

Tem-se somente um unico lado em movimento, que pertence a regiao 2. Este lado

corresponde a parede do cilindro interno, que esta girando na direcao azimutal a uma

velocidade azimutal w = ωinri.

Nas quinas das regioes existem duas possibilidades para aplicacao da condicao de con-

torno, que correspondem aos lados adjacentes. O numero 1 indica que vai ser considerada

a condicao de contorno do lado, enquanto que, o numero 0 indica que a condicao de

contorno do lado nao vai ser considerada na esquina.


ri

r0

3

2

1

win

1

1

1

1

1

1 1

1

1

10

0

0000

0

0 0

00

00

0

u=0

v=0

w=0

u=0

v=0

w=0

u=0

v=0

w=0

u=0

v=0

w=0

u=0

v=0

w=0

u=0

v=0

w=win ir

Condição

de contorno

artificial

Condição

de contorno

artificial

Condição

de parede

Condição

de parede

Condição

de parede

Condição

de parede

Condição

de parede

Condição

de parede

Figura 2.4: Condicoes de contorno


2.3 Solucao pelo Metodo de Resıduos Ponderados

Ometodo dos resıduos ponderados e um metodo geral para obter solucoes aproximadas

de equacoes diferenciais que nao podem ser resolvidas analiticamente.

A solucao desconhecida e expandida como uma combinacao linear de funcoes base. Os

coeficientes da expansao representam as incognitas do problema.

Existem diferentes metodos dentro do metodo dos Resıduos Ponderados, que sao di-

ferenciados pelas funcoes base / peso escolhidas. No metodo de Galerkin, usado neste

trabalho, as funcoes base sao iguais as funcoes peso. Este metodo foi desenvolvido pelo

engenheiro russo Galerkin em 1915 (Gresho, P.M.[20]).

As equacoes diferenciais (2.4) e (2.5) sao integradas pelo metodo dos Resıduos Ponde-

rados / Elementos Finitos. As eqs. (2.8), (2.9), (2.10) e (2.11), representam a expansao

dos campos aproximados:

u =n∑

j=1

(Ujφj) (2.8)

v =n∑

j=1

(Vjφj) (2.9)

w =n∑

j=1

(Wjφj) (2.10)

p =m∑

j=1

(Pjχj) (2.11)

Onde φj e χj, sao as funcoes base e Uj, Vj, Wj e Pj os coeficientes que representam as

incognitas do problema.

2.3.1 Resıduo da equacao de conservacao da quantidade de mo-vimento

O resıduo ponderado associado a equacao de conservacao da quantidade de movimento

e escrito como:

Rm =

∫

∀

ρu.∇u−∇.T− ρg.Wd∀ = 0 (2.12)

W e a funcao peso vetorial.


O termo ∇.T contem segundas derivadas dos campos de velocidade. Para diminuir

as restricoes nas funcoes base usadas para expandir o campo de velocidade, as segundas

derivadas devem ser eliminadas da formulacao atraves da seguinte igualdade:

T : ∇W = ∇.(T.W)− (∇.T).W (2.13)

Substituindo a eq.(2.13) na eq.(2.12) e usando o teorema de Gauss, chega-se a eq.(2.14),

onde a integral da direita representa as condicoes de contorno.

Rm =

∫

Ω

ρ(u.∇u).W +T : ∇W − ρg.WrdΩ−∫

Γ

(n.T).WrdΓ (2.14)

A forma escalar da eq.(2.14) e apresentada a seguir. A hipotese de simetria axial ja

esta embutida nos termos apresentados.

Vetor velocidade u

u =

vwu

(2.15)

Gradiente do vetor velocidade ∇u

∇u =

∂v

∂z

∂w

∂z

∂u

∂z

0u

r−wr

∂v

∂r

∂w

∂r

∂u

∂r

(2.16)

Tensor de tensoes T

T =

Tzz Tzθ Tzr

Tθz Tθθ Tθr

Trz Trθ Trr

(2.17)


Para o caso de um fluido Newtoniano generalizado, o tensor de tensoes T, e dado pela

eq.(2.18), onde η e a funcao viscosidade.

T = −pI+ η(∇u+∇Tu) (2.18)

Substituindo as Eqs. (2.15) e (2.16) na Eq.(2.18), o tensor de tensoes T, fica:

T =

−p+ 2η∂v

∂zη∂w

∂zη(∂u

∂z+∂v

∂r)

η∂w

∂z−p+ 2η

u

rη(∂w

∂r− w

r)

η(∂u

∂z+∂v

∂r) η(

∂w

∂r− w

r) −p+ 2η

∂u

∂r

(2.19)

A funcao W pode ser escrita em termos de seus componentes W = [W1,W2,W3],

cada um deles associado a uma direcao. A eq.(2.14) em coordenadas cilındricas, pode ser

decomposta em 3 resıduos correspondentes a cada direcao, mostrados nas eqs.(2.20),(2.21)

e (2.22).

Rimr =

∫

Ω

ρ

(

v∂u

∂z− w2

r+ u

∂u

∂r

)

φi +∂φi∂z

τrz +φirτθθ +

∂φi∂r

τrr − ρgφi

rdΩ

−∫

Γ

frφirdΓ i = 1, ..n (2.20)

Rimθ =

∫

Ω

ρ

(

v∂w

∂z+wu

r+ u

∂w

∂r

)

φi +∂φi∂z

τθz −φirτrθ +

∂φi∂r

τθr

rdΩ

−∫

Γ

fθφirdΓ i = 1, ..n (2.21)

Rimz =

∫

Ω

ρ

(

v∂v

∂z+ u

∂v

∂r

)

φi +∂φi∂z

τzz +φirτzr

rdΩ

−∫

Γ

fzφirdΓ i = 1, ..n (2.22)


2.3.2 Resıduo da equacao da continuidade

A equacao da continuidade e uma equacao escalar, entao so precisa de uma funcao

peso escalar χ. O resıduo associado a equacao da continuidade e dado pela eq.(2.23).

Rc =

∫

Ω

(∇.u)χirdΩ (2.23)

Que em coordenadas cilındricas fica:

Ric =

∫

Ω

(

u

r+∂u

∂r+∂v

∂z

)

χirdΩ i = 1, ..m (2.24)

2.3.3 Definicao da malha e graus de liberdade

A malha usada e composta por elementos bi-quadraticos de 9 nos; cada no possui 3

graus de liberdade correspondentes aos campos de velocidade, enquanto que o campo de

pressao, com 3 graus de liberdade por elemento, e armazenado em um unico no central,

como mostra a Fig.2.5.

1

8

5 2

6

4 7

9

3

V

w

u

1

1

1

V

w

u

7

7

7

V

w

u

9

9

9

P

P

P

1

2

3V

w

u

8

8

8

V

w

u

5

5

5

V

w

u

2

2

2

V

w

u

6

6

6

V

w

u

3

3

3

V

w

u

4

4

4

Figura 2.5: Numeracao de nos e graus de liberdade para cada elemento bi-quadratico

O numero de graus de liberdade por elemento e igual a 30, dos quais 27 correspondem

ao campo de velocidade e 3 ao campo de pressao.


2.3.4 Funcoes base no sistema de coordenadas local

Na Fig.2.6, mostra-se o sistema de coordenadas local ξ − η, onde −1 ≤ ξ ≤ 1 e

−1 ≤ η ≤ 1 e cuja origem esta localizada no no 9.

1

8

5 2

6

4 7

9

3

x

h

(1,1)

(1,-1)(-1,-1)

(-1,1)

Figura 2.6: Sistema de coordenadas elementar

As funcoes base para o campo de velocidade correspondentes a um elemento bi-

quadratico de 9 nos, sao mostradas a seguir:

φ1(ξ, η) =ξ(ξ − 1)η(η − 1)

4

φ2(ξ, η) =ξ(ξ + 1)η(η − 1)

4

φ3(ξ, η) =ξ(ξ + 1)η(η + 1)

4

φ4(ξ, η) =ξ(ξ − 1)η(η + 1)

4

φ5(ξ, η) =(1− ξ2)η(η − 1)

2

φ6(ξ, η) =ξ(ξ + 1)(1− η2)

2

φ7(ξ, η) =(1− ξ2)η(η + 1)

2


φ8(ξ, η) =ξ(ξ − 1)(1− η2)

2

φ9(ξ, η) = (1− ξ2)(1− η2)

As funcoes base sao tais que φi = 1 no no i, e zero nos outros nos, como mostrado nas

Figs. 2.7 e 2.8, que ilustram as funcoes φ2 e φ9 respectivamente. Os coeficientes Uj, Vj e

Wj das eqs.(2.8), (2.9) e (2.10), representam as velocidades u e v em cada no j.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

0

1

−0.5

0

0.5

1

η

ξ

φ2

Figura 2.7: Funcao base φ2

As funcoes base para o campo de pressao no sistema de coordenadas local mostradas

na Fig.2.5, sao :

χ1(ξ, η) = 1

χ2(ξ, η) = η

χ3(ξ, η) = ξ


−1−0.5

00.5

1 −1

−0.5

0

0.5

1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

ηξ

φ9

Figura 2.8: Funcao base φ9

Os coeficientes que representam os graus de liberdade sao definidos como:

P1 = p(ξ = 0, η = 0)

P2 =dp

dη

P3 =dp

dξ

2.3.5 Metodo de Newton, para a solucao do sistema de equacoesnao lineares

Para resolver o sistema de equacoes nao lineares, utilizou-se o metodo de Newton, que

implica resolver em cada iteracao a expressao dada pela eq.(2.25).

J∆C = −R(C) (2.25)

Onde J representa a matriz Jacobiana global, obtida atraves da montagem das matri-

zes Jacobianas elementares Jelem, definidas na eq.(2.27). C e o vetor que contem o valor

das variaveis que representam os graus de liberdade do problema, e R e o vetor resıduo


global, obtido atraves da montagem dos vetores resıduos elementares Relem, definidos na

eq.(2.26) .

O novo valor de C depois de cada iteracao e achado da expressao C(iter) = C(iter−1) +

∆C. O chute inicial C(0) deve ser escolhido de tal forma que a solucao aproximada nao

esteja muito afastada da solucao exata. O sistema linear de equacoes resultantes de cada

iteracao do metodo de Newton e resolvido usando o metodo frontal.

O metodo de Newton converge quadraticamente quando o resıduo tende a zero. Porem,

o raio de convergencia do metodo de Newton e menor do que o de outros metodos itera-

tivos. Por isto, e necessario usar tecnicas para que o chute inicial esteja o mais proximo

possıvel da solucao. Estas tecnicas sao conhecidas como tecnicas de continuacao.

De acordo com o procedimento escolhido, podem ser de:

• Ordem zero: O chute inicial e tomado da solucao anterior, ou seja, x(0)(αi+1) =

x(αi), onde α e um parametro do problema, que para nosso caso pode representar

o numero de Taylor ou o numero de Reynolds.

• Primeira Ordem: O chute inicial e obtido usando o valor da derivada da solucao

anterior em relacao ao parametro α, com o qual, chega-se a uma melhor aproxi-

macao.

Uma comparacao destes procedimentos de continuacao e ilustrada na Fig.2.9, onde

pode-se ver que a tecnica de continuacao de primeira ordem fornece o chute inicial muito

mais perto da solucao exata que a tecnica de ordem zero.

O erro permitido para cada iteracao do metodo de Newton, que e dado pela soma dos

modulos do vetor resıduo global, |R|, com o modulo do vetor formado pela diferenca das

ultimas duas solucoes, |∆C|, e dado por :

Erro = |R|+ |∆C| ≤ 1.10−6


Curva de

soluções

Continuação de

primeira ordem

Continuação

de ordem zero

aa1

a0

X(a0)

X(a1)

X

Figura 2.9: Chute inicial para os diferentes tecnicas de Continuacao

2.3.6 Montagem do vetor Resıduo elementar Relem e da matrizJacobiana elementar Jelem

O vetor Resıduo elementar Relem, mostrado na eq.(2.26), contem os resıduos das

equacoes de conservacao da quantidade de movimento e continuidade, dadas pelas eqs.(2.20),

(2.21), (2.22) e (2.24) e tem uma dimensao de 30 ∗ 1.

Relem =

[Rmz]9∗1[Rmθ]9∗1[Rmr]9∗1[Rmc]3∗1

30∗1

(2.26)

A matriz Jacobiana elementar Jelem, vai conter as derivadas dos resıduos associados

as equacoes de conservacao de quantidade de movimento e a equacao de continuidade em

relacao as incognitas do problema. A matriz Jacobiana elementar Jelem, que tem uma

dimensao de 30 ∗ 30, e definida pela eq.(2.27).


Jelem =

[

∂Rmz

∂Vj

]

9∗9

[

∂Rmz

∂Wj

]

9∗9

[

∂Rmz

∂Uj

]

9∗9

[

∂Rmz

∂Pj

]

9∗3

[

∂Rmθ

∂Vj

]

9∗9

[

∂Rmθ

∂Wj

]

9∗9

[

∂Rmθ

∂Uj

]

9∗9

[

∂Rmθ

∂Pj

]

9∗3

[

∂Rmr

∂Vj

]

9∗9

[

∂Rmr

∂Wj

]

9∗9

[

∂Rmr

∂Uj

]

9∗9

[

∂Rmr

∂Pj

]

9∗3

[

∂Rc

∂Vj

]

3∗9

[

∂Rc

∂Wj

]

3∗9

[

∂Rc

∂Uj

]

3∗9

[

∂Rc

∂Pj

]

3∗3

30∗30

(2.27)

Os elementos das 3 primeiras linhas correspondem as derivadas dos resıduos das

equacoes de conservacao da quantidade de movimento, eqs.(2.20), (2.21) e (2.22). As

expressoes para derivadas em relacao a cada grau de liberdade sao apresentadas a seguir:

Derivadas do resıduo Rmr

∂Rimr

∂Uj=

∫

Ω

ρφi

(

v∂φj∂z

+ φj∂u

∂r+ u

∂φj∂r

)

+∂φi∂z

∂τrz∂Uj

+φir

∂τθθ∂Uj

+∂φi∂r

∂τrr∂Uj

r|J |dΩ

∂Rimr

∂Vj=

∫

Ω

ρφi

(

φj∂u

∂z

)

+∂φi∂z

∂τrz∂Vj

+φir

∂τθθ∂Vj

+∂φi∂r

∂τrr∂Vj

r|J |dΩ

∂Rimr

∂Wj

=

∫

Ω

ρφi

(

−φj2w

r

)

+∂φi∂z

∂τrz∂Wj

+φir

∂τθθ∂Wj

+∂φi∂r

∂τrr∂Wj

r|J |dΩ

∂Rimr

∂Pj=

∫

Ω

∂φi∂z

∂τrz∂Pj

+φir

∂τθθ∂Pj

+∂φi∂r

∂τrr∂Pj

r|J |dΩ

Derivadas do resıduo Rmθ

∂Rimθ

∂Uj=

∫

Ω

ρφi

(

w

rφj + φj

∂w

∂r

)

+∂φi∂z

∂τθz∂Uj− φi

r

∂τrθ∂Uj

+∂φi∂r

∂τθr∂Uj

r|J |dΩ

∂Rimθ

∂Vj=

∫

Ω

ρφi

(

φj∂w

∂z

)

+∂φi∂z

∂τθz∂Vj− φi

r

∂τrθ∂Vj

+∂φi∂r

∂τθr∂Vj

r|J |dΩ


∂Rimθ

∂Wj

=

∫

Ω

ρφi

(

v∂φj∂z

+ φju

r+ u

∂φj∂r

)

+∂φi∂z

∂τθz∂Wj

− φir

∂τrθ∂Wj

+∂φi∂r

∂τθr∂Wj

r|J |dΩ

∂Rimθ

∂Pj=

∫

Ω

∂φi∂z

∂τθz∂Pj− φi

r

∂τrθ∂Pj

+∂φi∂r

∂τθr∂Pj

r|J |dΩ

Derivadas do resıduo Rmz

∂Rimz

∂Uj=

∫

Ω

ρφi

(

φj∂v

∂r

)

+∂φi∂z

∂τzz∂Uj

− ∂φi∂r

∂τzr∂Uj

r|J |dΩ

∂Rimz

∂Vj=

∫

Ω

ρφi

(

φj∂v

∂z+ v

∂φj∂z

+ u∂φj∂r

)

+∂φi∂z

∂τzz∂Vj

+∂φi∂r

∂τzr∂Vj

r|J |dΩ

∂Rimz

∂Wj

=

∫

Ω

∂φi∂z

∂τzz∂Wj

+∂φi∂r

∂τzr∂Wj

r|J |dΩ

∂Rimz

∂Pj=

∫

Ω

∂φi∂z

∂τzz∂Pj

+∂φi∂r

∂τzr∂Pj

r|J |dΩ

A ultima linha corresponde aos resıduos da equacao da continuidade, definida na

eq.(2.24), que derivada respeito aos graus de liberdade fica:

∂Ric

∂Uj=

∫

Ω

φjr

+∂φj∂r

χir|J |dΩ

∂Ric

∂Vj=

∫

Ω

∂φj∂z

χir|J |dΩ

∂Ric

∂Wj

= 0

∂Ric

∂Pj= 0

Onde Ω e o domınio no sistema de coordenadas local; i.e. dΩ = dξdη e que |J | e o

determinante do Jacobiano da transformacao entre os sistemas de coordenadas global e

local.


2.4 Equacao Constitutiva

A viscosidade η, apresentada na eq.(2.18) e uma funcao que depende da taxa de cisa-

lhamento. Existem diferentes modelos constitutivos para caracterizar o comportamento

da funcao viscosidade, a escolha depende do fluido de trabalho e do intervalo da taxa de

cisalhamento a qual o fluido vai ser submetido.

2.4.1 Fluido Newtoniano

Neste caso a viscosidade do fluido permanece constante para qualquer taxa de ci-

salhamento, como e mostrado na Fig.2.10. Este comportamento aproximado pode ser

observado em fluidos de pequenas moleculas que estao presentes nossa vida diaria, e tem

uma analise simples. O tensor das tensoes viscosas S e uma funcao linear do tensor taxa

de deformacao 2D, e e dado pela eq.(2.28).

S = η 2D (2.28)

h(g)

h

g

Figura 2.10: Fluido Newtoniano

2.4.2 Fluido Newtoniano Generalizado

Para o caso de fluidos Newtonianos generalizados, o tensor de tensoes viscosas S e

uma funcao nao linear do tensor taxa de deformacao 2D, e e dado pela eq.(2.29).


S = η(γ)2D (2.29)

Quando a viscosidade decresce com a taxa de cisalhamento γ, e conveniente usar o

modelo de Carreau-Yasuda, cujo comportamento e mostrado na Fig.2.11 e definido na

eq.(2.30). Este modelo representa bem o comportamento de fluidos viscoplasticos. Foi

escolhido para o presente trabalho, ja que o comportamento mecanico do fluido em estudo,

as lamas de perfuracao (solucoes polimericas), pode ser classificados como viscoplasticos.

η − η∞η0 − η∞

= [1 + (λγ)a]n−1

a (2.30)

Onde:

η : Viscosidade do fluido .

η0 : Viscosidade a baixas taxas de cisalhamento .

η∞ : Viscosidade a altas taxas de cisalhamento.

λ : Constante de tempo.

n : Indice de potencia .

a : Parametro adimensional de Carreau.

Como pode-se ver, este modelo tem 5 parametros que vao caracterizar o fluido em

estudo: η0, η∞, λ, n e a . No presente trabalho vai-se estudar a influencia dos parametros

η∞, n e λ sobre a viscosidade e o numero de Taylor crıtico.

A taxa de cisalhamento γ, pode ser calculada da eq.(2.31), Bird et al.[3] (p.170-171).

γ =√2 trD2 (2.31)

Onde D e o tensor taxa de deformacao e trD2 e o traco da matriz D2, que em

coordenadas cilındricas fica :

trD2 =

[

(

∂v

∂z

)2

+(u

r

)2

+

(

∂u

∂r

)2]

+1

2

[

(

∂w

∂z

)2

+

(

∂u

∂z+∂v

∂r

)2

+

(

∂w

∂r− w

r

)2]


h0

h(g)

g

h¥

Figura 2.11: Modelo de carreau-Yasuda

2.5 Metodologia para a obtencao do numero de Tay-

lor crıtico Ta∗ e descricao da geometria a estudar

A metodologia para a obtencao do numero de Taylor crıtico Ta∗, assim como a des-

cricao da geometria, que sao apresentadas aqui, e a mesma para o caso Newtoniano, como

para o caso nao Newtoniano.

2.5.1 Diagrama de fase dos estados de fluxo

O diagrama de fase correspondente aos estados de fluxos entre dois cilindros concentricos

giratorios e mostrado na Fig.2.12, onde o escoamento e caracterizado pela norma do campo

de velocidades na direcao axial, ‖Vz‖, e e uma funcao do numero de Taylor Ta.

As linhas contınuas grossas representam a trajetoria da solucao sem considerar os

efeitos de extremidade, i.e. cilindros de comprimento infinito. A linha contınua representa

estados de fluxo estaveis e a linha pontilhada corresponde aos estados de fluxo instaveis. A

linha mais fina representa a trajetoria da solucao considerando os efeitos de extremidade.

As solucoes obtidas neste trabalho devem seguir uma trajetoria semelhante a este ultimo

caso.


Ta

IIVzII

Trajetória da solução comefeitos de contorno

Ponto de bifurcação

Ta*

Figura 2.12: Esquema do diagrama de fase dos estados de fluxos entre dois cilindrosconcentricos giratorios

Os estados de fluxo com ‖Vz‖ = 0 correspondem aos escoamentos puramente azi-

mutais, e nao apresentam vortices. Para baixos numeros de Taylor, estes estados sao

estaveis. Para numero de Taylor Ta = Ta∗ ocorre uma bifurcacao (inıcio do aparecimen-

to dos vortices). Para numeros de Taylor Ta > Ta∗, o escoamento estavel passa a ser

caracterizado pela presenca de vortices toroidais (‖Vz‖ 6= 0) e o escoamento puramente

azimutal e instavel (linha pontilhada grossa).

Dados experimentais demostram que depois do ponto de bifurcacao, o escoamento ain-

da pode ser considerado como um escoamento laminar com vortices, onde a simetria axial

e mantida. Se continuamos elevando o numero de Taylor, acima do ponto de bifurcacao,

ou seja, para um Ta À Ta∗, chega-se num ponto onde o escoamento deixa de ter uma

estrutura de vortices laminar e passa a ser turbulento, neste caso, o escoamento perde sua

simetria axial e sua analise torna-se mais complicada, nao sendo objeto de estudo neste


trabalho.

O caso de um escoamento com gradiente de pressao axial imposto, pode ser tratado

como um escoamento com simetria axial, nos casos onde sao considerados baixos numeros

de Reynolds, Re, e pequenos espacos anulares (Π→ 1), como foi assumido na analise de

Diprima [10] e Lee [23].

O procedimento usual para determinar teoricamente o numero de Taylor crıtico para

o aparecimento dos vortices toroidais requer a solucao de um problema de auto-valor. A

solucao deste problema e, na maioria dos casos, complexa e computacionalmente cara.

2.5.2 Descricao da tatica usada para achar o numero de Taylorcrıtico Ta∗

A tatica usada para achar o numero de Taylor crıtico considera a construcao da tra-

jetoria de solucao, caracterizada pela razao entre o somatorio dos valores absolutos das

componentes do campo de velocidade na direcao axial e o somatorio dos valores absolu-

tos das componentes do campo de velocidade na direcao azimutal, ‖Vz‖/‖Vθ‖, em funcao

do numero de Taylor Ta. O campo de velocidades e obtido da solucao das equacoes de

conservacao da quantidade do movimento e continuidade para um escoamento atraves

do espaco anular formado entre dois cilindros concentricos giratorios, considerando para

isso, um escoamento em regime permanente e com simetria axial. O que pretende-se e

encontrar uma curva semelhante a curva com linha fina, mostrada na Fig.2.12.

Na trajetoria de solucao obtida, tracam-se duas retas, uma delas tangente a regiao sem

recirculacao e a outra tangente ao inıcio da regiao com recirculacao. Pela intersecao destas

retas, traca-se uma reta vertical, cuja intersecao com o eixo do numero de Taylor Ta, vai

representar o numero de Taylor crıtico. Este procedimento e mostrado graficamente na

Fig.2.13. Como pode-se observar nesta figura, na regiao sem recirculacao, o valor de

‖Vz‖/‖Vθ‖ nao e zero como deveria, isso e porque a solucao e afetada pelos efeitos de

extremidade, como ja foi mencionado.

O caso particular mostrado na Fig.2.13, representa a trajetoria de solucao considerando

um fluido Newtoniano com uma razao de raio Π = 0.8. Neste caso o numero de Taylor

crıtico obtido graficamente foi Ta∗ = 90. Uma curva similar a esta foi construıda para

cada caso, e o procedimento para achar o numero de Taylor crıtico, foi o mesmo para

todos os casos estudados.

Este procedimento evita a solucao do problema de auto-valor e como sera mostrado,


obtem o numero de Taylor crıtico com boa precisao.

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

Número de Taylor (Ta)

IIV

zII

/IIV

qII Ta*= 90

Figura 2.13: Procedimento grafico para a obtencao do numero de Taylor crıtico Ta∗,considerando a trajetoria de solucao para um fluido Newtoniano com uma razao de raioΠ = 0.8

2.5.3 Geometria estudada

A geometria a estudar no plano r-z e mostrado na Fig.2.14. Pelo fato de se tratar

de um escoamento com simetria axial, a solucao nao depende da componente na direcao

azimutal, ou seja, do angulo θ. A linha correspondente a ri, representa a parede do cilindro

interno, enquanto que, a linha correspondente a r0, representa a parede do cilindro externo.

Com o objetivo de reduzir a influencia das condicoes de contorno impostas nos limites

superior e inferior da geometria em estudo, esta foi dividida em tres regioes. A regiao

central (2), com um comprimento L, que e a regiao de interesse, onde a parede interna

esta girando a uma velocidade angular ωin. Nas regioes (1) e (3), cada uma de elas com

um comprimento L/4, a parede interna e mantida fixa.


L/4

L

L/4

d

ri

r0

rz

3

2

1

Figura 2.14: Configuracao geometrica no plano r-z, para um escoamento atraves do espacoanular formado entre dois cilindros concentricos giratorios

Capıtulo 3

Validacao dos resultados numericos

No capıtulo anterior, mostraram-se os conceitos basicos para a obtencao da solucao

de um escoamento atraves de um espaco anular formado entre dois cilindros concentricos,

onde o interno esta girando a uma velocidade angular arbitraria. Analisou-se o inıcio da

instabilidade do escoamento puramente azimutal sem considerar fluxo axial. Este tipo de

instabilidade e conhecido como instabilidade de Taylor-Couette, que manifesta-se com a

aparicao de vortices toroidais. Foram estudados os casos para fluidos Newtonianos, e nao

Newtonianos (viscoplastico).

O presente trabalho obtem resultados numericos dos campos de velocidade e pressao,

obtidos pelo programaComputational Fluid Dynamics (CFD), que foi implementado

para o estudo do presente problema. Muitas vezes para ter certeza de que a implementacao

foi feita sem erros, e preciso validar o programa comparando suas previsoes com solucoes

analıticas ou resultados existentes na literatura, toda vez que possıvel.

E isso o que se pretende no presente capıtulo. Para o caso de fluidos Newtonianos,

os resultados obtidos apresentam uma excelente aproximacao com dados experimentais

existentes na literatura. No caso de fluidos nao Newtonianos, nao existe bibliografia rela-

cionada ao modelo de Carreau-Yasuda estudado no presente trabalho, mas os resultados

foram comparados com outros modelos. Novamente, os resultados obtidos aqui reprodu-

zem casos apresentados na literatura.

35

Capıtulo 3. Validacao dos resultados numericos 36

3.1 Validacao para o caso de fluidos Newtonianos

A literatura, no caso particular de fluidos Newtonianos, apresenta varios trabalhos

teoricos e experimentais.

3.1.1 Validacao do perfil da velocidade azimutal Vθ com a suasolucao analıtica

No caso de um escoamento atraves de um espaco anular formado entre dois cilindros

concentricos que estao girando a uma dada velocidade angular, o perfil da velocidade

azimutal Vθ analıtico, sem a presenca de vortices, e dado pela eq.(3.1). Para chegar a

eq.(3.1), tem-se que resolver a equacao de Navier-Stokes na direccao azimutal θ, consi-

derando fluxo estavel com simetria axial, e as condicoes de contorno Vθ(r1) = ωinri e

Vθ(r0) = 0 (Lee [23]).

Vθ = Ar +B

r(3.1)

Nesta equacao, A e B sao constantes que dependem dos raios e das velocidades an-

gulares dos cilindros interno e externo. Em nosso caso em particular, o cilindro externo

permanece fixo, quer dizer, sua velocidade angular e igual a zero. Entao as constantes

ficam:

A =r2i ωinr2i − r20

B =r2iωin

1− r2i /r20

Na Fig.3.1, mostra-se o perfil analıtico da velocidade azimutal Vθ, e os resultados

numericos obtidos no presente trabalho. Como pode-se observar os resultados estao em

completa concordancia, apresentando uma excelente aproximacao.

Para os resultados apresentados na Fig.3.1, foi considerada uma razao de raios Π = 0.8,

com um raio interno ri = 6 cm. Os resultados numericos correspondem a uma posicao

z = L/2 = 7.5 cm e uma velocidade azimutal do cilindro interno Vθ = 1.6 cm/s. O

numero de Taylor para estas condicoes e Ta = 60, que esta abaixo do numero de Taylor

crıtico Ta∗ = 90 para esta razao de raio, isto para garantir o escoamento azimutal, sem

vortices, na comparacao das duas solucoes.


0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(r-ri) /(r0-ri)

vq

/w

inr i

Numérico

Analítico

winri

vq

r

Figura 3.1: Comparacao das solucoes analıticas e numericas do perfil de velocidade azi-mutal Vθ, numa posicao z = L/2 = 7.5 cm para uma razao de raio Π = 0.8

3.1.2 Validacao do numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao darazao de raio Π

No caso Newtoniano, os resultados numericos para a obtencao do numero de Taylor

crıtico Ta∗ para diferentes razoes de raio Π, foram comparados com resultados expe-

rimentais obtidos por diferentes investigadores e que sao apresentados no trabalho de

Lueptow et al. [25]. Na Fig.3.2, mostram-se estes resultados, podendo-se observar uma

boa aproximacao dos resultados em comparacao.

3.2 Validacao para o caso de fluidos nao Newtonianos

Como foi mencionado anteriormente, nao existe bibliografia relacionada ao modelo

de Carreau-Yasuda, mas os resultados obtidos no presente trabalho foram validados com

outros modelos apresentados no trabalho de Lockett et al. [24].

Somente com o objetivo de validar nossos resultados, vamos definir alguns parametros


40

60

80

100

120

140

160

180

200

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Razão de raio (P)

Nú

me

rod

eTa

ylo

rc

ríti

co

(Ta

*)

Presente trabalho

Dados experimentaisapresentados na literatura

Figura 3.2: Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da razao de raio Π. Comparacaocom trabalhos experimentais existentes na literatura

que sao apresentados no trabalho de Lockett et al. [24], assim como, dar outra definicao

ao numero de Taylor.

O parametro ∆β, que e usado para comparar os resultados e definido pela eq.(3.2). O

valor no caso do modelo de Carreau-Yasuda, e dado na eq.(3.3). Cabe notar que no caso

de fluidos viscoplasticos este valor e negativo. O caso para ∆β = 0, corresponde a fluidos

Newtonianos.

∆β =d ln η(γ)

d ln γ(3.2)

d ln ηCYd ln γ

=e[ln γ+lnλ] a

e[ln γ+lnλ] a + 1(n− 1) (3.3)

Tambem precisamos definir um novo numero de Taylor TaL, definido na eq.(3.4),

sempre lembrando que este so vai ser usado nesta parte de validacao. Por ultimo, definimos

o fator de correcao geometrico Fg que e mostrado na eq.(3.5).


TaL =ρ2ω2inrid

3

η2(3.4)

Fg =2Π

(1 + Π)[

1− 1.5 (1−Π)(1+Π)

] (3.5)

A validacao foi feita para um pequeno espaco anular Π = 0.95, entao o fator de correcao

geometrico ficou Fg = 1.0133. Para a validacao do presente trabalho foi considerado

constante a viscosidade para altas taxas de cisalhamento η∞ = 0.001 g/cm s (10−4Pa s).

Como pode-se observar na Fig.3.3, os resultados do presente trabalho, dentro do inter-

valo ∆β = 0 → −0.4 estudado, estao de acordo com os resultados de Tanner (Primeiro

ordem) e Lockett (Fluido de Bingham e Power law), apresentados no trabalho de Lockett

et al. [24].

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0

Parâmetro não Newtoniano (Db)

Nú

me

rod

eTa

ylo

rc

ríti

co

(Ta

*L).

Fg

Presente trabalho

Tanner

Lockett (Fluido de Bingham)

Lockett ( Power law)

Figura 3.3: Comparacao do numero de Taylor crıtico Ta∗, com resultados existentes naliteratura, considerando um pequeno espaco anular Π = 0.95 e uma viscosidade a altastaxas de cisalhamento η∞ = 0.001 g/cm s

Capıtulo 4

Apresentacao dos resultados

Como ja foi mencionado anteriormente, os resultados aqui apresentados, correspondem

ao estudo numerico do escoamento entre dois cilindros concentricos, onde o cilindro interno

esta girando com uma velocidade angular ωin, e o cilindro externo e mantido fixo. Para

o estudo, considerou-se regime permanente com simetria axial e condicoes de contorno

descritas no capıtulo 2.

Este capıtulo apresenta os resultados para fluidos Newtonianos e nao Newtonianos,

e por ultimo, mostra-se a evolucao da formacao dos vortices a medida que o numero de

Taylor Ta aumenta.

Os resultados, aqui apresentados, foram obtidos pelo programaComputational Fluid

Dynamics (CFD), que foi mencionado no capıtulo 1, e estao em completa concordancia

com os resultados analıticos, assim como numericos e experimentais existentes na litera-

tura, como foi mostrado no capıtulo 3.

40

Capıtulo 4. Apresentacao dos resultados 41

4.1 Resultados para fluidos Newtonianos

Uma viscosidade cinematica ν = 0.04 cm2/s, foi considerada para o estudo do escoa-

mento de um fluido Newtoniano pelo espaco anular formado entre dois cilindros concentricos

giratorios.

Foram estudadas 17 geometrias diferentes, cujas principais dimensoes e numeros de

Taylor crıticos Ta∗, sao mostradas na Tabela 4.1. Para todos os casos foi considerada

uma razao de aspecto Γ = L/d = 10.

Tabela 4.1: Dimensoes e numeros de Taylor crıticos Ta∗ dos diferentes casos estudadosΠ ri (cm) r0 − ri = d (cm) L (cm) Taylor crıtico (Ta∗)

Caso 1 0.4 4 6.000 60.000 65.0Caso 2 0.4 6 9.000 90.000 65.0Caso 3 0.4 8 12.000 120.000 65.0Caso 4 0.4 10 15.000 150.000 64.8



Caso 13 0.9 4 0.444 4.444 125.0Caso 14 0.9 6 0.667 6.667 125.0Caso 15 0.9 8 0.889 8.889 125.0Caso 16 0.9 10 1.111 11.111 124.8.0

Caso 17 0.95 6 0.316 3.158 177.0

Uma primeira conclusao importante que pode-se observar na Tabela 4.1, e que para

uma mesma razao de raio Π, o numero de Taylor crıtico Ta∗, nao depende do raio interno

ri, isso e valido tanto para pequenos como para grandes espacos anulares.

4.1.1 Comparacao do perfil analıtico da velocidade azimutal Vθcom o perfil numerico entre vortices e no medio de vortices

Uma comparacao do perfil da velocidade azimutal analıtica (sem a presenca de vortices),

definida na eq.(3.1), com o perfil numerico entre vortices e no meio dos vortices, para uma

razao de raio Π = 0.6 e um numero de Taylor Ta = 80.1 (maior que o numero de Taylor

crıtico para esta geometria apresentada na Tabela 4.1), e mostrada na Fig.4.1.


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

(r-ri) /(r0-ri)

vq/

winr i

1

2

Sem vortices

1

2

Ta=80.1

P=0.6

ri=4 cm

Figura 4.1: Perfil analıtico e perfil numerico da velocidade azimutal Vθ entre vortices e nomedio de vortices, razao de raio Π = 0.6

Como pode-se observar na Fig.4.1, a derivada do perfil da velocidade azimutal consi-

derando a presenca de vortices, e maior que a do perfil sem considerar o aparecimento dos

vortices. Consequentemente, a tensao cisalhante da direcao azimutal e maior quando os

vortices estao presentes. Este aumento implica em um incremento na potencia necessaria

para fazer girar o cilindro interno. O perfil da velocidade azimutal Vθ entre vortices, foi

mais afetado que o perfil da velocidade azimutal Vθ no meio do vortice.

4.1.2 Dependencia do numero de Taylor crıtico Ta∗ com relacaoa razao de raio Π

Dos resultados mostrados na Fig.4.2, pode-se observar que o numero de Taylor crıtico,

Ta∗, aumenta com o aumento da razao de raio Π. Grandes espacos anulares levam

a numero de Taylor crıtico pequenos, e para espacos anulares pequenos, correspondem

numero de Taylor crıtico grandes. Tambem pode-se observar que para razoes de raio

Π < 0.6, ocorre uma pequena variacao no numero de Taylor crıtico, e Ta∗ → 65 quando

Π→ 0.


40

60

80

100

120

140

160

180

200

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Razão de raio (P)

Nú

me

rod

eTa

ylo

rc

ríti

co

(Ta

*)

Figura 4.2: Numero de Taylor crıtico Ta∗ para fluidos Newtonianos em funcao da razaode raio Π

4.1.3 Dependencia da velocidade azimutal crıtica V ∗θ com re-

lacao ao raio interno ri para varias razoes de raio Π

A velocidade crıtica para o inıcio da instabilidade, quer dizer para o aparecimento

dos vortices toroidais, aumenta a medida que o espaco anular entre os cilindros diminui

(Π→ 1).

Tambem pode-se observar que para uma mesma razao de raio Π, a velocidade azimutal

crıtica V ∗θ do cilindro interno decresce com o aumento do raio interno ri. Os comporta-

mentos descritos anteriormente podem ser facilmente deduzidos da definicao do numero

de Ta = Vθd/ν, e sao mostrados na Fig.4.3.

4.2 Resultados para fluidos nao Newtonianos

Uma coisa que nao e muitas vezes considerada nos calculos de engenharia e o compor-

tamento nao Newtoniano dos fluidos, ja que isto pode significar um importante aumento

na complexidade do tratamento do problema em estudo, e que em alguns casos nao sao

justificados.


rr: Razão de raio

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

3 4 5 6 7 8 9 10 11

Raio interno ri (cm)

Ve

loc

ida

de

azim

uta

lc

riti

ca

Vq(c

m/s

) P=0.4

P=0.6

P=0.8

P=0.9

Figura 4.3: Velocidade azimutal critica V ∗θ em funcao do raio interno ri, para varias razoes

de raio Π

Em nosso caso particular, que e o estudo da instabilidade de lamas de perfuracao

atraves de um espaco anular formado entre dois cilindros concentricos, este comporta-

mento pode ser muito importante dependendo das taxas de cisalhamento γ a que esta

submetida o fluido. As lamas de perfuracao podem ser consideradas como fluidos vis-

coplasticos. O modelo de Carreau-Yasuda definido na eq.(2.30), foi o escolhido para

representar o comportamento mecanico do fluido.

Os casos estudados neste trabalho, consideraram como constantes a viscosidade a

baixas taxas de cisalhamento η0 = 0.04 g/cm s (0.004 Pa s), a constante de tempo λ =

0.1 s−1 e o parametro adimensional a = 2. A viscosidade a altas taxas de cisalhamento

η∞ e o ındice de potencia n, foram variados nos diferentes casos analisados.


O procedimento usado para calcular o numero de Taylor crıtico Ta∗, foi o mesmo que

para o caso Newtoniano, mostrado na Fig.2.13.

4.2.1 Dependencia da funcao viscosidade η em relacao a taxade cisalhamento γ, para diferentes ındices de potencia n

em um fluido viscoplastico caracterizado pelo modelo deCarreau-Yasuda

Como ja e conhecido, no caso de fluidos viscoplasticos, a viscosidade decresce com o

aumento da taxa de cisalhamento γ. A Fig.4.4, mostra o comportamento de um fluido nao

Newtoniano caracterizado pelo modelo de Carreau-Yasuda, onde foi mantida constante a

viscosidade a altas taxas de cisalhamento η∞ = 0.001 g/cm s, alem dos parametros que ja

foram definidos anteriormente como constantes.

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

0.040

0.045

0.1 1 10 100 1000 10000 100000

Taxa de cisalhamento, g (1/s)

Vis

co

sid

ad

e,

h(g

r/

cm

2s

)

n=0.9

n=0.8

n=0.6

Figura 4.4: Modelo de Carreau-Yasuda, viscosidade η vs. taxa de cisalhamento γ paraη0 = 0.04 g/cm s, η∞ = 0.001 g/cm s, λ = 0.1 s−1 e a = 2


Na Fig.4.4, pode-se observar que a viscosidade η tem um comportamento Newtoniano

ate uma taxa de cisalhamento γ ≈ 2 s−1, a partir da qual comeca a decrescer de acordo

ao ındice de potencia n. Quando o ındice de potencia n → 1, a viscosidade tende a

ter um comportamento Newtoniano, enquanto que, se diminuımos o ındice de potencia,

aumentamos o comportamento nao Newtoniano do fluido.

4.2.2 Influencia dos parametros reologicos sobre o numero deTaylor crıtico Ta∗ para diferentes razoes de raio Π

Para o caso de fluidos nao Newtonianos, os diferentes casos estudados para a obtencao

do numero de Taylor crıtico Ta∗, sao mostrados na Tabela 4.2, onde foram variadas os

parametros reologicos, correspondentes ao modelo de Carreau-Yasuda, para razoes de raio

Π = 0.95 , 0.9 , 0.8 , 0.6 , e 0.4.

Tabela 4.2: Numero de Taylor crıtico Ta∗ para os diferentes casos estudadoscaso 1 caso 2 caso 3 caso 4 caso 5 caso 6 caso 7 caso 8 caso 9

η0 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04η∞ 0.01 0.01 0.01 0.001 0.001 0.001 0.0001 0.0001 0.0001λ 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1n 0.9 0.8 0.6 0.9 0.8 0.6 0.9 0.8 0.6a 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Ta∗, Π = 0.4 65 65 65 65 65 65 65 65 65Ta∗, Π = 0.6 67.5 67.5 67.5 67.5 67.5 67.5 67.5 67.5 67.5Ta∗, Π = 0.8 89.8 89.7 89.5 89.6 89.4 88.8 89.6 89.4 88.8Ta∗, Π = 0.9 119.5 115.0 108.2 118.2 113.1 104.8 117.0 112.4 103.6Ta∗, Π = 0.95 150.5 132.8 108.5 144.0 123.0 93.5 143.0 120.5 91.0

Na Fig.4.5, pode-se observar que o numero de Taylor crıtico Ta∗, para uma razao de

raio Π = 0.6, coincide praticamente com o numero de Taylor crıtico Ta∗ para o caso

de um fluido Newtoniano. O mesmo acontece para uma razao de raio Π = 0.4. Isto

deve-se ao fato que a taxa de cisalhamento caraterıstica γc = ωinri/d, em ambos casos

e muito baixa. Para o caso de Π = 0.4, a taxa de cisalhamento caraterıstica varia entre

γc = 0.012 → 0.072, enquanto que para Π = 0.6, a taxa de cisalhamento caraterıstica

varia entre γc = 0.061 → 0.379. Estes valores estao muito abaixo da taxa de cisalhamento

na qual o fluido comeca a ter um comportamento nao Newtoniano, que e mostrado na

Fig.4.4, ou seja, os escoamentos com baixas razoes de raio razoes Π, tendem a ter um

comportamento quase Newtoniano.


66.0

66.2

66.4

66.6

66.8

67.0

67.2

67.4

67.6

0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1

Visc. a elevadas taxas de cisalhamento (h¥)

Nú

mero

de

Taylo

rcrí

tico

(Ta*)

n=0.9

n=0.8

n=0.6

Newt

Figura 4.5: Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da viscosidade a altas taxas decisalhamento η∞, para diferentes ındices de potencia n, razao de raio Π = 0.6.

Na Fig.4.6, para uma razao de raio Π = 0.8, pode-se observar o aparecimento da

influencia das propriedades viscoplasticas do fluido sobre o numero de Taylor crıtico Ta∗.

Neste caso a taxa de cisalhamento caraterıstica varia de γc = 0.576 → 3.601, o qual,

comeca a ter estados depois do inıcio da queda da viscosidade correspondente a uma taxa

de cisalhamento γ ≈ 2 s−1, como e mostrado na Fig.4.4. Neste caso a influencia ainda

e pequena, a maxima variacao do numero de Taylor crıtico Ta∗, em comparacao ao caso

Newtoniano e de 1.3%, que corresponde ao caso com ındice de potencia n = 0.6. Tambem

pode-se observar que para o mesmo ındice de potencia n, o numero de Taylor crıtico Ta∗

decresce, quando decresce a viscosidade a altas taxas de cisalhamento η∞, como esperado.

A influencia deste parametro sera estuda com mais detalhe depois.


88.0

88.5

89.0

89.5

90.0

90.5

0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1


Nú

mero

de

Taylo

rcrí

tico

(Ta*)

n=0.9

n=0.8

n=0.6

Newt


Na Fig.4.7, para uma razao de raio Π = 0.9, pode-se ver que ja existe uma influencia

consideravel dos parametros reologicos sobre o numero de Taylor crıtico. A taxa de

cisalhamento caraterıstica varia de γc ≈ 4.043 → 25.312, que correspondem a pontos

acima do inıcio da queda da viscosidade. Isto faz que exista uma diferenca maxima

entre o numero de Taylor crıtico do caso viscoplastico comparado ao caso Newtoniano de

aproximadamente 17.2%.

O ultimo caso estudado corresponde a uma razao de raio Π = 0.95, que e mostrado

na Fig.4.8. Neste caso a taxa de cisalhamento caraterıstica e de γc ≈ 71 s−1. A influencia

dos parametros reologicos e maior nesta situacao. Pode-se encontrar uma diferenca entre

o numero de Taylor crıtico do caso viscoplastico, comparado ao caso Newtoniano de ate

51.4%.


100

105

110

115

120

125

130

0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1


Nú

mero

de

Taylo

rcrí

tico

(Ta*)

n=0.9

n=0.8

n=0.6

Newt



80

100

120

140

160

180

200

0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1


Nú

mero

de

Taylo

rcrí

tico

(Ta*)

n=0.9

n=0.8

n=0.6

Newt


4.2.3 Influencia dos parametros reologicos e geometricos na ob-tencao do numero de Taylor crıtico Ta∗, para diferentesviscosidade a altas taxas de cisalhamento η∞

Como ja foi analisado anteriormente, a taxa de cisalhamento γ para baixas razoes de

raio Π sao muito pequenas. Nestes casos o fluido se comporta aproximadamente como um

fluido Newtoniano. O numero de Taylor crıtico, em funcao da razao de raio Π, mantendo-

se constante a viscosidade a altas taxas de cisalhamento η∞, sao mostradas nas Figs. 4.9,

4.10 e 4.11.

Para grandes espacos anulares, ou seja, para razoes de raio Π < 0.8, o comportamento

viscoplastico do fluido nao afeta o numero de Taylor crıtico, que neste caso coincide

exatamente com o caso Newtoniano. A medida que a razao de raio aumenta (Π > 0.8),

quer dizer, diminuindo o espaco anular, o numero de Taylor crıtico comeca a ficar cada

vez menor que o caso Newtoniano. Isto porque, nestas geometrias, a taxa de cisalhamento

γ tem uma maior influencia sobre a viscosidade que comeca a decrescer.


Outra coisa que pode-se notar e que para baixos ındices de potencia n = 0.6, o numero

de Taylor crıtico Ta∗ tem um comportamento ascendente com relacao a razao de raio Π,

isso ate Π = 0.9, a partir da qual comeca a decrescer. A explicacao pode-se encontrar

na Fig.4.4, onde como pode-se ver, para um ındice de potencia n = 0.6, a viscosidade

decresce em uma razao maior que nos outros casos, isto faz que o numero de Taylor crıtico

decresca na mesma proporcao que a viscosidade.

A queda do numero de Taylor crıtico, comparado ao caso Newtoniano e mais acen-

tuada, quanto menor e a viscosidade a altas taxas de cisalhamento η∞. Para η∞ =

0.01 g/cm s, tem-se uma queda de 39%, enquanto que, para η∞ = 0.0001 g/cm s, tem-se

uma queda de ate 49%.

60

80

100

120

140

160

180

200

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Razão de raio (P)

Nú

me

rod

eTa

ylo

rc

ríti

co

(Ta

*)

n=0.9

n=0.8

n=0.6

Newtoniano

Figura 4.9: Numero de Taylor crıtico Ta∗ em funcao da razao de raio Π, para diferentesındices de potencia n, η∞ = 0.01 g/cm s


60

80

100

120

140

160

180

200

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Razão de raio (P)

Nú

me

rod

eTa

ylo

rc

ríti

co

(Ta

*)

n=0.9

n=0.8

n=0.6

Newtoniano


60

80

100

120

140

160

180

200

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Razão de raio (P)

Nú

me

rod

eTa

ylo

rc

ríti

co

(Ta

*)

n=0.9

n=0.8

n=0.6

Newtoniano



4.2.4 Comparacao do numero de Taylor crıtico calculado com aviscosidade η0, com o numero de Taylor crıtico modificadoTa∗mod calculado com uma viscosidade caraterıstica ηc

No caso de fluidos nao Newtonianos, dependendo da geometria e dos parametros re-

ologicos, a viscosidade usada para calcular o numero de Taylor, pode depender fortemente

da taxa de cisalhamento γ. Ate agora, para o calculo do numero de Taylor foi usada a

viscosidade a baixas taxas de cisalhamento η0, o qual, nem sempre e o mais apropriado.

Em alguns casos e preciso definir uma viscosidade caraterıstica ηc = ηc(γc), que e funcao

da taxa de cisalhamento caraterıstica γc, e que para o caso de dois cilindros concentricos,

onde o cilindro interno esta girando a uma velocidade angular constante ωin, pode ser

definido pela eq.(4.1).

γc =ωinrid

(4.1)

Para o calculo da viscosidade caraterıstica, utilizou-se o modelo de Carreau-Yasuda,

que foi definido na eq.(2.30). Entao o novo numero de Taylor modificado Tamod foi

calculado pela eq.(4.2).

Tamod ≡ρωinrid

ηc(γc)(4.2)

A influencia da viscosidade caraterıstica ηc, sobre o numero de Taylor, pode ser ob-

servada nas Figs. 4.12 e 4.13, que apresentam a influencia do ındice de potencia n sobre

o numero de Taylor crıtico Ta∗ e o numero de Taylor crıtico modificado Ta∗mod. Para o

caso com n = 1, i.e, fluido Newtoniano, Ta∗ = Ta∗mod. As figuras tambem apresentam o

efeito da viscosidade a altas taxas de cisalhamento η∞.

Os casos correspondentes a pequenos espacos anulares sao os que apresentam maiores

taxas de cisalhamento γ, e a influencia da viscosidade caraterıstica ηc sobre o numero

de Taylor e maior que nos casos para grandes espacos anulares onde γ e pequeno. A

influencia da taxas de cisalhamento γ sobre a viscosidade, foi mostrado na Fig.4.4.

Na Fig.4.12, mostra-se o caso para uma razao de raio Π = 0.95. O numero de Taylor

crıtico modificado Ta∗mod apresenta uma diferenca comparado ao Newtoniano de ate 12%,

enquanto que, o Ta∗ apresenta uma diferenca de ate 50%.


80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

Índice de potência (n)

Nú

me

rod

eTa

ylo

rc

ríti

co

(Ta

* )

h¥=0.01

h¥=0.001

h¥=0.0001

Ta*mod

Ta*

Newtoniano

Figura 4.12: Numero de Taylor crıtico Ta∗ e numero de Taylor crıtico modificado Ta∗mod

em funcao do ındice de potencia, razao de raio η = 0.95

Na Fig.4.13, para uma razao de raio Π = 0.9, podem-se observar as mesmas tendencias

que o caso anterior, so que agora as diferencas com relacao ao caso Newtoniano sao

menores. No caso do Ta∗mod a diferenca em relacao ao caso Newtoniano e de ate 6.5%,

enquanto que, o Ta∗ apresenta uma diferenca de ate 17%. Conforme vai-se diminuindo a

razao de raio Π, esta diferenca fica cada vez menor, isto porque a taxa de cisalhamento γ

fica muito pequena, e o fluido comeca a se comportar como um fluido Newtoniano.

4.2.5 Influencia da constante de tempo λ sobre a viscosidade η

e sobre o numero de Taylor crıtico Ta∗

O efeito da constante de tempo do fluido λ foi estudado, para uma razao de raio

Π = 0.95, mantendo-se constante o ındice de potencia n = 0.8, a viscosidade a baixas

taxas de cisalhamento η0 = 0.04 g/cm s, a viscosidade a altas taxas de cisalhamento

η∞ = 0.0001 g/cm s e o parametro adimensional a = 2.


100

105

110

115

120

125

130

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

Índice de potência (n)

Nú

me

rod

eTa

ylo

rc

ríti

co

(Ta

*)

h¥=0.01

h¥=0.001

h¥=0.0001

Ta*mod

NewtonianoTa*

Figura 4.13: Numero de Taylor crıtico Ta∗ e numero de Taylor crıtico modificado Ta∗mod

em funcao do ındice de potencia, razao de raio η = 0.9

Como pode-se observar na Fig.4.14, a queda da viscosidade η para os maiores valores

da constante de tempo λ, ocorre a taxas de cisalhamento menores, λ = 0 corresponde ao

caso de fluido Newtoniano.

Na Fig.4.15, mostra-se a influencia da constante de tempo λ sobre o numero de Taylor

crıtico Ta∗ e o numero de Taylor crıtico modificado Ta∗mod. Foram estudados os casos para

λ = 0.015, 0.05, 0.1 e 0.2. Para os maiores valores da constante de tempo λ, correspondem

menores valores do numero de Taylor crıtico. Isto deve-se ao fato da queda da viscosidade

neste caso ocorrer em menores taxas de cisalhamento. Quando a constante de tempo

λ → 0, a queda da viscosidade ocorre a elevadas taxas de cisalhamento γ → ∞, ate

atingir o caso Newtoniano, onde a viscosidade permanece constante.


0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

0.040

0.045

0.1 1 10 100 1000 10000 100000 1000000

Taxa de cisalhamento, g (1/s)

Vis

co

sid

ad

e,

h(g

r/

cm

2s

)

l=0.2

l=0.1

l=0.05

l-0.015

l

Figura 4.14: Influencia da constante de tempo λ sobre a viscosidade η, Π = 0.95

100

110

120

130

140

150

160

170

180

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Constante de tempo (l)

Nú

me

rod

eTa

ylo

rc

ríti

co

(Ta

*)

Ta*

Ta*mod

Figura 4.15: Influencia da constante de tempo λ sobre o numero de Taylor crıtico Ta∗,Π = 0.95


Mais uma vez, pode-se ver a importancia de trabalhar com o numero de Taylor crıtico

modificado Ta∗mod, quando trata-se de pequenos espacos anulares Π → 1. Neste caso, a

diferenca entre o numero de Taylor crıtico Ta∗ em relacao ao Ta∗ do caso Newtoniano,

chega ate 39%, enquanto que, no caso do numero de Taylor crıtico modificado Ta∗mod, esta

diferenca chega somente ate 6%.

4.3 Evolucao da formacao dos vortices com relacao

ao incremento do numero de Taylor Ta

Quando o numero de Taylor e suficientemente baixo Ta < Ta∗, o escoamento predo-

minante e o escoamento circular de Couette, que e o originado pela rotacao do cilindro

interno. Este estado sem recirculacoes toroidais, persiste ate o ponto de bifurcacao, que

corresponde ao estado onde Ta = Ta∗.

Quando o numero de Taylor Ta = Ta∗, o escoamento de Couette passa a ser instavel

e a configuracao estavel apresenta vortices toroidais. Cabe mencionar que o escoamento

ainda continua sendo um escoamento laminar, porem agora com vortices. O aumento do

numero de Taylor acarreta no aumento da intensidade dos vortices. Para estados que

correspondem a Ta >> Ta∗, existe um ponto onde o escoamento nao e mais laminar.

A aparicao dos vortices para um fluido Newtoniano, que esta escoando pelo espaco

anular formado entre dois cilindros concentricos e mostrado nas Figs .4.16 e 4.17. Podem-

se observar estados que correspondem a diferentes numeros de Taylor Ta, antes e depois

do ponto de bifurcacao. Foi considerado uma razao de raio Π = 0.8, com um raio interno

ri = 6 cm. Neste caso, como ja foi apresentado na Tabela 4.1, o numero de Taylor crıtico

e Ta∗ = 90.

A Fig.4.16, corresponde a estados antes do inıcio da aparicao dos vortices (inıcio

da instabilidade do escoamento puramente azimutal ou escoamento de Couette), onde

o numero de Taylor Ta < Ta∗ = 90. Quando Ta = 37.5, o escoamento nao apresenta

formacao de vortices ja que ainda esta longe do ponto de bifurcacao, ou seja, o escoamento

e predominantemente circular. As recirculacoes estao presentes somente em z = 0 e

z = L, onde existe uma descontinuidade da velocidade azimutal do cilindro interno. Para

Ta = 88.1, que corresponde a um estado muito proximo do ponto de bifurcacao, pode-se

observar a aparicao de uma estrutura que vai dar origem aos vortices, mas que ainda e

muito fraca.


Os estados que correspondem ao inıcio da aparicao dos vortices e depois da sua for-

macao, Ta ≥ Ta∗ = 90, sao mostrados na Fig.4.17. Quando Ta = Ta∗ = 90, os vortices

comecam a aparecer. A partir deste ponto, conforme vai-se incrementando o numero de

Taylor, os vortices aumentam em intensidade. No caso quando Ta = 100.5, os vortices

estao completamente formados, e pode-se observar a formacao de 10 vortices com um

comprimento aproximado de h = 1.49 cm. A relacao h/d = 0.993, esta de acordo com

medicoes experimentais, Taylor [38].


(2D) 10 Apr 2002 tese10 - 000 STREAMLINES

6 8 10 12r (cm)

0

5

10

15

20

STR0.04720.04040.03370.02700.02020.01350.00760.0000

-0.0067-0.0135-0.0202-0.0270-0.0337-0.0404-0.0472

z=L

Ta=37.5

z=0


6 8 10 12r (cm)

0

5

10

15

20

STR0.32780.28090.23410.18730.14050.09360.04680.0000

-0.0936-0.1405-0.1873-0.2341-0.2809-0.3278

z=L

Ta=88.1

z=0


Figura 4.16: Evolucao da formacao dos vortices em estados antes do inıcio da instabilidadedo escoamento de Couette, razao de raio Π = 0.8



6 8 10 12r (cm)

0

5

10

15

20

STR0.34890.29900.24920.19930.14950.09970.04980.02500.00520.0000

-0.0498-0.0997-0.1495-0.1993-0.2492-0.2990-0.3489

z=L

Ta=90.0

z=0


6 8 10 12r (cm)

0

5

10

15

20

STR0.49620.42530.35440.28350.21270.14180.07090.0000

-0.0709-0.1418-0.2127-0.2835-0.3544-0.4253-0.4962

z=L

Ta=100.5

z=0


Figura 4.17: Evolucao da formacao dos vortices em estados depois do inıcio da instabili-dade do escoamento de Couette, razao de raio Π = 0.8

Capıtulo 5

Conclusoes e Recomendacoes

O estudo da estabilidade de um escoamento de Taylor-Couette esta sendo atualmente

motivo de muitas investigacoes, tanto no campo numerico quanto experimental. Grande

parte da literatura existente, refere-se ao estudo de fluidos Newtonianos. Neste trabalho

deu-se mais enfase ao estudo de fluidos nao Newtoniano.

O inıcio da instabilidade do escoamento de Couette, caracterizada pelo aparecimento

de vortices toroidais no espaco anular, pode afetar o padrao do escoamento, e consequen-

temente os processos de transporte de calor e massa.

Este tipo de escoamento pode ser encontrado em muitas aplicacoes de engenharia, tais

como: sistemas de refrigeracao, sistemas de lubricacao, filtros, extractores lıquido-lıquido,

entre outros. Nossa atencao foi centrada no estudo das lamas de perfuracao, que estao

escoando pelo espaco anular formado entre a coluna giratoria de perfuracao e a formacao

rochosa, que sao encontrados no processo de perfuracao de pocos produtores de petroleo

e gas.

Os testes de validacao, aos quais foram submetidas os resultados deste trabalho, apre-

sentaram uma boa aproximacao em relacao a solucoes analıticas e aos resultados de pes-

quisas existentes na literatura.

Neste trabalho tentou-se cobrir a maioria das geometrias possıveis, desde pequenos ate

grandes espacos anulares Π = 0.4, 0.6, 0.8, 0.9 e 0.95, onde para cada caso, estudou-se a

influencia dos parametros reologicos sobre o numero de Taylor crıtico Ta∗.

Para a solucao do problema, assumiu-se um escoamento tri-dimensional com simetria

axial. O sistema de equacoes diferenciais foi solucionado pelo metodo de elementos finitos

e o sistema de equacoes algebricas nao lineares resultantes, pelo metodo de Newton.

Como resultado do trabalho comentado, pode-se chegar as seguintes conclusoes e pro-

61

Capıtulo 5. Conclusoes e Recomendacoes 62

postas para trabalhos futuros.

5.1 Conclusoes

Para o caso de fluidos Newtonianos.

• Para uma mesma razao de raio Π, o numero de Taylor crıtico Ta∗, nao depende do

raio do cilindro interno ri, isto e valido para pequenos, assim como, para grandes

espacos anulares.

• A derivada da velocidade azimutal na parede aumenta apos o aparecimento dos

vortices toroidais. Este fenomeno pode alterar a potencia necessaria para fazer

girar o cilindro interno.

• O numero de Taylor crıtico Ta∗ aumenta quando aumenta a razao de raio Π. Peque-

nos espacos anulares correspondem a Ta∗ altos, enquanto que, para grandes espacos

anulares, correspondem Ta∗ baixos.

Para o caso de fluidos nao Newtonianos.

• Para grandes espacos anulares Π < 0.8, a influencia dos parametros reologicos sobre

o numero de Taylor crıtico Ta∗ e quase imperceptıvel, isto porque as taxas de

cisalhamento nestes caso sao muito baixas.

• Como esperado, o numero de Taylor crıtico Ta∗, decresce quando decresce o ındice

de potencia n, onde n = 1 representa o caso Newtoniano, e e o caso com maior Ta∗.

• Para pequenos espacos anulares Π → 1, e mais conveniente definir o numero de

Taylor Ta em funcao da viscosidade calculada para uma taxa de cisalhamento ca-

raterıstica γc, em lugar da viscosidade a baixas taxas de cisalhamento η0.

• A definicao de um numero de Taylor crıtico Ta∗ baseado na viscosidade carac-

terıstica permite usar, para calculos estimados, o numero de Taylor crıtico para

fluidos Newtonianos.

Capıtulo 5. Conclusoes e Recomendacoes 63

5.2 Trabalhos Futuros

Com base na experiencia obtida neste trabalho, propoem-se os seguintes trabalhos:

• Realizacao da analise tri-dimensional do problema, para assim, estudar casos on-

de nao existe mais simetria axial, isto vai permitir resolver o problema com um

gradiente de pressao axial imposto, para elevados numeros de Reynolds Re, e que

sao caracterizados por apresentar um padrao de fluxo de vortices helicoidais, nao

tratados neste trabalho.

• Estudar a influencia da excentricidade dos cilindros sobre o perfil de velocidade

azimutal e sobre o numero de Taylor crıtico Ta∗.

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