OscilaçõesNão-Linearesmazanti/files/pubs/Rodrigues2013...Introdução Oobjetivo...

Oscilações Não-Lineares

Prof. Dr. Hildebrando Munhoz Rodrigues

Prof. Dr. Marcio F. Gameiro

Guilherme Afonso Mazanti

Jaqueline Godoy Mesquita

Luis Henrique Moraes da Silva

Matheus Cheque Bortolan

USP - São CarlosMarço de 2013

Sumário

1 Sistemas lineares 71.1 Perturbação de sistemas lineares não-críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Sistemas lineares não homogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Funções quase-periódicas 29

3 Séries de Fourier 513.1 Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Famílias uniformemente quase-periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.2 Famílias uniformemente quase-periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.3 Famílias a um parâmetro em Ed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.2 Transformada de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.3 Convergência em média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.3.4 Desigualdade de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.3.5 Equação de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3.6 Teorema de aproximação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4 Método da média 105

5 Equações fracamente não-lineares - caso não-crítico 1135.1 Equações fracamente não-Lineares - caso não-crítico . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2 Propriedade geral do ponto de sela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6 O método alternativo 1256.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2 O método alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.3 Soluções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.4 Soluções limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.5 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.5.1 O caso periódico (sub-harmônico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.5.2 O caso limitado (homoclínico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4 SUMÁRIO

Introdução

O objetivo deste livro é apresentar uma série de tópicos que podem servir

de texto para um curso de Oscilações não Lineares. Assim sendo, procura-

se apresentar resultados clássicos dessa teoria. Procura-se estudar teoria de

perturbações de sistemas lineares hiperbólicos dentro de certas classes de

perturbações específicas, como a classe de funções limitadas na reta real ou

das funções periódicas ou das funções quase-periódicas.

No Capítulo 1 estuda-se perturbação de sistemas lineares não críticos, isto

é, sistemas não homogêneos com termos forçantes nas classes de funções

limitadas, periódicas e quase-periódicas.

No Capítulo 2 e no Capítulo 3 apresentam-se resultados básicos da teoria

de funções quase-periódicas, inclusive da teoria de séries de Fourier.

No Capítulo 4 discute-se o Método da Média para os casos periódico e

quase-periódico, com aplicalções. Discute-se a Equação de van Der Pol com

termo forçante quase-periódico.

No Capítulo 5 estuda-se Equações Fracamente não Lineares dando espe-

cial ênfase à Propriedade Geral do Ponto de Sela.

No Capítulo 6 apresenta-se um método diferente dos apresentados acima,

6 SUMÁRIO

mas que pode em geral dar respostas a problemas semelhantes. Trata-se do

Método Alternativo ou de Liapunov-Schimidt com versões que podem ser

utilizadas para estudo de perturbação em torno de órbitas homoclínicas e

heteroclínicas.

O material apresentado aqui foi desenvolvido nas inúmeras vezes que min-

istrei o curso de Oscilações não Lineares, baseado em parte nos livros de Jack

K. Hale, Ordinary Differential Equations e também Nonlinear Oscillations.

Entretanto fomos também incluindo material de outras referências, que con-

stam na lista apresentada na Bibliografia.

Na última apresentação desse curso contei com a valiosa colaboração do

colega e ex-orientado Prof. Marcio F. Gameiro e dos alunos Guilherme Afonso

Mazanti, Jaqueline Godoy Mesquita, Luis Henrique Moraes da Silva e Matheus

Cheque Bortolan, que além de apresentarem seminários colaboraram na dig-

itação de partes deste texto.

São Carlos, 11 de março de 2013.

Hildebrando Munhoz Rodrigues

Capítulo

1

Sistemas lineares

1.1 Perturbação de sistemas lineares não-críticos

Definição 1.1.1. Se R ∋ t 7→ A(t ) ∈ Mn(K), onde K = R ou C, é uma aplicação

contínua e D é uma coleção de funções contínuas em R que contém a função

nula, o sistema homogêneo

x = A(t )x, t ∈R (H)

é dito não-crítico com relação a D se a única solução de (H) em D é a solução

nula.

Seja Y (t ) matriz fundamental de (H) e T (t , s) = Y (t )Y −1(s). Dizemos que

(H) admite uma dicotomia exponencial em R se existe uma família de pro-

jeções P (t ) : Kn →Kn, t ∈R e constantes K ,α> 0 tais que

|T (t , s)P (s)| ≤ K e−α(t−s), t ≥ s,

8 Sistemas lineares

|T (t , s)(I −P (s))| ≤K eα(t−s), t ≤ s.

Lema 1.1.2. (a) Se (H) admite dicotomia exponencial, então ele é não-crítico

com relação a

B(R) = f :R→Cn, contínua, ‖ f ‖∞ = supt∈R

| f (t )| <∞.

(b) Se A ∈ PT = A : A(t +T ) = A(t ),∀t ∈ R então (H) é não crítico com re-

lação a A P se e só se os expoentes característicos tiverem parte real difer-

ente de 0.

(c) Se A ∈PT então (H) é não crítico com relação a PT se e somente se X (T )−

I é não singular.

Demonstração:

(a) Trivial.

(b) Do Teorema de Floquet, segue que existe operador P (t ) tal que P (t +

T ) = P (t ),∀t ∈ R, P (0) = I de modo que com a mudança de variáveis

x = P (t )y o sistema (H) fica reduzido ao sistema constante y = B y , onde

X (T ) = eBT e X (0) = I . Portanto, x(t ) será solução em A P se e somente

se y(t ) é solução de A P .

(c) x(t ) = X (t )x0 é solução T -periódica de (H) se e só se X (t+T )x0 = X (t )x0,∀t ∈

R o que é equivalente a X (T )x0 = x0 ou (X (T )−I )x0 = 0. X (t )x0 é solução

não nula de (H) se e só se X (T )− I é singular.

1.1 Perturbação de sistemas lineares não-críticos 9

Observação 1.1.3. O Teorema de Floquet também é válido em dimensão in-

finita com a restrição que seja possível encontrar uma curva fechada de Jordan

que contorna o espectro de X (T ) que não contorne a origem.

Define-se

ln X (T ) =− 1

2πi

∮

lnλ(X (T )−λ)−1dλ.

Observação 1.1.4. Se A(t ) é constante então (H) é não crítico com relação a

B(R) ou A P se e só se vale a dicotomia exponencial, se e só se os autovalores

de A tem parte real diferente de zero. No caso de dimensão infinita com A

limitado, é preciso que exista α> 0 tal que σ(A)∩ λ ∈C,−α< Reλ<α=;.

No caso T -periódico, (H) é não crítico se e somente se os autovalores de A

satisfazem λT 6= 0 mod (2πi ).

Exemplo 1.1.5. Consideremos o sistema

x =

0 α

−α 0

x

com α 6= 0. A matriz principal é dada por:

X (t )=

cosαt1

αsinαt

−αsinαt cosαt

X (T )− I =

cos(αT )−11

αsinαT

−αsinαT cos(αT )−1

Portanto, det(X (T )− I ) = 2(1− cosαT ) = 0 ⇔ αT = 2nπ,n ∈ Z. Ou seja, o

sistema é não crítico se e somente se α 6= 2nπT ,n ∈Z.

10 Sistemas lineares

Considere a seguinte equação:

x = A(t )x (1.1.1)

e a equação perturbada:

x = A(t )x + f (t ) (1.1.2)

Lema 1.1.6. Se A(t ) é uma matriz contínua n ×n, |A(t )| < M, 0 ≤ t < ∞ e

X (t ,τ), X (τ,τ)= I é a matriz principal de (1.1.1), então existe um δ> 0 tal que

|X (t , s)−X (t ,τ)| ≤ 1

2|X (t ,τ)|

para todo t , s,τ≥ 0 e |s −τ| ≤ δ.

Demonstração: Como X (t , s) = X (t ,τ)X (τ, s) para todo t ,τ, s ∈ [0,∞), então

é suficiente mostrar que existe um δ> 0 tal que |X (τ, s)− I | ≤ 1/2 para τ, s ≥ 0

e |τ− s| ≤ δ.

De fato, pois suponha que ∃δ> 0 tal que

|X (τ, s)− I | ≤ 1/2 para τ, s ≥ 0, |τ− s| ≤ δ. (1.1.3)

Então,

|X (t , s)−X (t ,τ)| = |X (t ,τ)X (τ, s)−X (t ,τ)| = |X (t ,τ)[X (τ, s)− I ]|

Portanto, se a equação (1.1.3) está satisfeita, obtemos:

|X (t , s)−X (t ,τ)| ≤ |X (t ,τ)||X (τ, s)− I | ≤ 1

2|X (t ,τ)|,


para todo τ, s ≥ 0 e |s −τ| ≤ δ, o que implica o resultado desejado.

Lembremos que como X (t ,τ) é a matriz principal de (1.1.1), então X (t ,τ) =

A(t )X (t ,τ) e, portanto,

X (τ, s)− I =∫τ

sA(u)X (u, s)d u =

∫τ

sA(u)[X (u, s)− I ]d u +

∫τ

sA(u)d u,

o que implica que

|X (τ, s)− I | ≤∣∣∣∣

∫τ

sA(u)d u

∣∣∣∣+

∣∣∣∣

∫τ

sA(u)[X (u, s)− I ]d u

∣∣∣∣

≤∫τ

sMd u +

∫τ

sM |X (u, s)− I |d u ≤ M (τ− s)+

∫τ

sM |X (u, s)− I |d u.

Pela Desigualdade de Gronwall, obtemos:

|X (τ, s)− I | ≤ M (τ− s)e∫τ

s Mdu ≤ M |τ− s|eM |τ−s|

para τ, s ≥ 0 e τ ≥ s. Tomemos |τ− s| ≤ δ, onde δ é escolhido de modo que

MδeMδ ≤ 1/2, então, pela desigualdade acima, obtemos

|X (τ, s)− I | ≤ M |τ− s|eM |τ−s| ≤ MδeMδ ≤ 1/2,

concluindo a demonstração.

Antes de seguirmos, enunciaremos um Teorema que será fundamental

para provarmos o próximo resultado.

Teorem 1.1.7. Seja X (t ) uma matriz fundamental do sistema (1.1.1) e seja β

qualquer número em (−∞,∞). O sistema (1.1.1) é:

(i) estável para todo t0 ∈ (−∞,∞) se e somente existe um K = K (t0) > 0 tal


que

|X (t )| ≤K , t0 ≤ t <∞;

(ii) uniformemente estável para t0 ≥β se e somente se existe um K = K (β) > 0

tal que

|X (t )X −1(s)| ≤K , t0 ≤ s ≤ t <∞;

(iii) assintóticamente esável para todo t0 ∈ (−∞,∞) se e somente se

|X (t )|→ 0 quando t →∞;

(iv) uniformemente assintóticamente estável para t0 ≥ β se e somente se ele é

exponencialmente assintóticamente estável; ou seja, existem K = K (β) >

0, α=α(β) > 0 tal que

|X (t )X −1(s)| ≤ K e−α(t−s), β≤ s ≤ t <∞.

Lembremos que a equação adjunta de (1.1.1) é a equação dada por y =

−y A(t ). E também que se X (t ) é a matriz fundamental de (1.1.1), então X −1(t )

é a matriz fundamental da equação adjunta.

Agora prosseguiremos com o nosso próximo resultado.

Lema 1.1.8. Com A e X (t ,τ) como descritos no Lema 1.1.6, a condição∫t

0 |X (t , s)|d s <

c para todo t ≥ 0 implica que |X (t , s)| é uniformemente limitado para 0 ≤ s ≤

t <∞; ou seja, a equação (1.1.1) é uniformemente estável para t0 ≥ 0.

Demonstração: Como X (t , s)X (s, t )= I para todo s, t , segue que X (t , s) como

uma função de s é uma matriz fundamental da equação adjunta de (1.1.1).


Portanto, lembrando que a adjunta de (1.1.1) é dada por y = −y A(t ) e que a

matriz fundamental satisfaz a seguinte equação

X (t , s) =−X (t , s)A(t ),

obtemos

X (t , s)− I =∫s

t(−X (t ,ξ)A(ξ))dξ=

∫t

sX (t ,ξ)A(ξ)dξ.

Portanto,

X (t , s) = I +∫t

sX (t ,ξ)A(ξ)dξ,

para todo 0 ≤ s ≤ t < ∞. Portanto, das hipóteses do Lema e da igualdade

obtida acima, temos

|X (t , s)| =∣∣∣∣I +

∫t

sX (t ,ξ)A(ξ)dξ

∣∣∣∣≤ 1+M

∫t

s|X (t ,ξ)|dξ

Como∫t

s|X (t ,ξ)|dξ≤

∫t

0|X (t ,ξ)|dξ< c

então

|X (t , s)| ≤ 1+Mc.

Daí, pelo Teorema 1.1.7, a estabilidade uniforme segue diretamente lembrando

que X (t , s)= X (t )X −1(s).

Para o próximo Teorema, precisaremos de um resultado bem conhecido

da Análise Funcional I, o Princípio da Limitação Uniforme, conforme enun-

ciado abaixo.


Teorem 1.1.9 (Princípio da Limitação Uniforme). Sejam X e Y espaços veto-

riais normados e A ⊂ L(X ,Y ).

(a) Se supT∈A ‖T x‖ < ∞ para x em um subconjunto de segunda categoria,

então supT∈A ‖T ‖ <∞.

(b) Se X é um espaço de Banach e supT∈A ‖T x‖ <∞ para todo x ∈ X , então

supT∈A ‖T ‖ <∞.

Teorem 1.1.10. Se A(t ) é uma matriz n ×n contínua, |A(t )| < M, 0 ≤ t <∞,

então toda solução de (1.1.2) é limitada em [0,∞) para toda função contínua

e limitada f em [0,∞) se e somente se o sistema (1.1.1) é uniformemente ass-

intoticamente estável.

Demonstração: Vamos começar provando a segunda parte. Suponha que o

sistema (1.1.1) é uniformemente assintoticamente estável para t0 ≥ 0, então

pelo Teorema 1.1.7, existem constantes positivas K ,α tais que

|X (t ,τ)| ≤K e−α(t−τ), 0≤ τ≤ t <∞.

Neste caso, note que |X (t ,0)| ≤ K e−αt ≤ K , desde que α é positivo e t ≥ 0.

Usando a fórmula da variação das constantes, obtemos que a solução geral

de (1.1.2) é dada por

x(t ) = X (t ,0)x(0)+∫t

0X (t , s) f (s)d s, t ≥ 0.

Se f ∈B[0,∞), então obtemos

|x(t )| ≤ |X (t ,0)||x(0)|+∣∣∣∣

∫t

0X (t , s) f (s)d s

∣∣∣∣≤ K |x(0)|+ | f |

∫t

0K e−α(t−s)d s


Daí, obtemos

|x(t )| ≤ K |x(0)|+ | f |K(

e−α(t−t) −e−αt

α

)

= K |x(0)|+ | f |K (1/α−e−αt /α)≤ K |x(0)|+ | f |K (1/α),

desde que e−αt /α≥ 0 pois α é positivo. Deste fato, obtemos que toda solução

de (1.1.2) está em B[0,∞). Isto prova a segunda parte do Teorema.

Agora vejamos a primeira parte. Vamos provar primeiramente que se toda

solução de (1.1.2) é limitada em [0,∞) para toda função contínua e limitada

em [0,∞), então∫t

0 |X (t , s)|d s < c para t ≥ 0.

Se x(0) = 0, então pela fórmula da variação das constantes, podemos es-

crever a solução de (1.1.2) como

x(t ) =∫t

0X (t , s) f (s)d s. (1.1.4)

Seja B[0,∞) a classe de funções f : [0,∞) → C n , f contínua e limitada e

seja | f | = sup0≤t<∞ | f (t )|. Para todo t ∈ [0,∞) fixo, considere a aplicação

Tt : B[0,∞) →B[0,∞) dada por

(Tt f )(α) =

∫α

0X (α, s) f (s)d s, 0 ≤α≤ t ,

∫t

0X (t , s) f (s)d s, t ≤α>∞.

(1.1.5)

Afirmação: Para cada t fixado, Tt é uma aplicação linear contínua.

De fato, vamos mostrar primeiro que Tt é linear para cada t fixo.

1. (Tt ( f + g )) = Tt f +Tt g


Seja t fixo. Consideremos primeiro que α≤ t , então

(Tt ( f +g ))(α) =∫α

0X (α, s)( f +g )(s)d s =

∫α

0X (α, s) f (s)d s+

∫α

0X (α, s)g (s)d s

= (Tt f )(α)+ (Tt g )(α).

Se t ≤α, então

(Tt ( f +g ))(α) =∫t

0X (t , s)( f +g )(s)d s =

∫t

0X (t , s) f (s)d s+

∫t

0X (t , s)g (s)d s

= (Tt f )(α)+ (Tt g )(α).

Logo, temos Tt ( f + g ) = Tt f +Tt g .

2. (Tt (γ f )) = γTt f ;

Segue analogamente ao anterior, basta aplicar a definição de Tt .

Para cada t fixo, obtemos, pela definição de Tt , que ele é contínuo. Logo,

Tt é uma aplicação linear contínua. Como, por hipótese, para cada f ∈B[0,∞),

a solução x de (1.1.2) é limitada, então existe uma constante tal que |Tt f | ≤

N ,0 ≤ t <∞. Isto segue diretamente da definição de Tt dada em (1.1.5) e da

equação (1.1.4). Consequentemente, pelo Princípio da Limitação Uniforme,

existe uma constante K tal que ‖Tt‖ ≤ K para todo t ∈ [0,∞) e, portanto,

|Tt f | ≤ K | f | para toda f ∈B[0,∞). Em particular,

∣∣∣∣

∫t

0X (t , s) f (s)d s

∣∣∣∣≤K | f |, 0 ≤ t <∞. (1.1.6)

Se X = (x j k), onde x j k , j ,k = 1,2. . . ,n são as componentes de X e f j ,kt (s)

a função que descreve o sinal de x j k(t , s), j ,k = 1,2, . . . ,n para um t fixo. Es-


colha uma sequência de funções contínuas uniformemente limitadas f j ,kt ,r (s)

que converge pontualmente para f j ,kt (s) q. s. quando r → ∞ em [0, t ]. Es-

colha a norma de um vetor x = (x1, . . . , xn) como sendo |x| = maxj |x j |. Para

um dado j ,k , sejam f t(s), f t ,r (s) funções de n-coordenadas cuja todas as com-

ponentes são nulas, exceto a k-ésima, que é f j ,kt (s), f j ,k

t ,r (s) respectivamente.

Desta forma, não é díficil ver que f t ,r (s) converge pontualmente para f t (s) q.

s. em [0, t ]. Então,

limr→∞

∫t

0X (t , s) f t ,r (s)d s =

∫t

0X (t , s) f t (s)d s.

Pela definição da função f t ,r , segue que f t ,r é contínua e uniformemente lim-

itada e portanto, a equação (1.1.6) implica que

∣∣∣∣

∫t

0X (t , s) f t ,r (s)d s

∣∣∣∣≤K | f t ,r |, 0 ≤ t <∞.

Disto e da definição da norma de um vetor dada acima, temos

∣∣∣∣

∫t

0X (t , s) f t ,r (s)d s

∣∣∣∣≤K | f t ,r | ≤ K1, 0 ≤ t <∞,

desde que f t ,r é uniformemente limitada. Portanto, dado ε > 0, existe r0 > 0

tal que para r > r0, temos

∣∣∣∣

∫t

0X (t , s) f t (s)d s

∣∣∣∣≤

∣∣∣∣

∫t

0X (t , s)[ f t (s)− f t ,r (s)]d s

∣∣∣∣+

∣∣∣∣

∫t

0X (t , s) f t ,r (s)d s

∣∣∣∣

< ε

∫t

0|X (t , s)|d s +K1.


Como ε é arbitrário, obtemos que

∣∣∣∣

∫t

0X (t , s) f t (s)d s

∣∣∣∣≤ K1, 0 ≤ t <∞.

Daí, temos que

∫t

0|x j k(t , s)|d s ≤

∣∣∣∣

∫t

0X (t , s) f t (s)d s

∣∣∣∣≤K1,

para todo t ≥ 0 e j ,k = 1,2, . . . ,n. Portanto,

n∑

k=1

∫t

0|x j k(t , s)|d s ≤ nK1,

para todo t ≥ 0. Daí, segue que

∫t

0|X (t , s)|d s =

∫t

0max1≤ j≤n

n∑

k=1

|x j k(t , s)|d s ≤nK1.

Como todas as normas em C n são equivalentes, então existe uma constante

c tal que∫t

0|X (t , s)|d s < c , 0≤ t <∞.

Do Lema 1.1.8, esta relação implica que X (s,τ) é uniformemente limitada

por uma constante N para 0 ≤ τ ≤ s < ∞ e, portanto, a equação (1.1.1) é

uniformemente estável para t0 ≥ 0. Portanto,

∣∣∣∣

∫t

τX (t , s)X (s,τ)d s

∣∣∣∣≤

∫t

τ|X (t , s)||X (s,τ)|d s ≤ Nc

para todo t ≥ τ. Mas a primeira expressão nesta desigualdade é igual a (t −

1.2 Sistemas lineares não homogêneos 19

τ)|X (t ,τ)|, desde que X (t , s)X (s,τ) = X (t ,τ). Portanto,

(t −τ)|X (t ,τ)| ≤ Nc ⇒|X (t ,τ)| ≤ Nc

t −τ,

o que implica que |X (t ,τ)| → 0 uniformemente quando t → ∞ e a equação

(1.1.1) é uniformemente assintoticamente estável. E terminamos a prova do

teorema.

1.2 Sistemas lineares não homogêneos

Começamos com o seguinte sistema não homogêneo:

x = A(t )x + f (t ). (1.2.1)

Lembremos que a equação adjunta de (H) é a equação y = −y A(t ). Assim

suas soluções serão as linhas (y1(t ), y2(t ), . . . , yn(t )).

Se X (t ) é matriz fundamental de (H), então X −1(t ) é matriz fundamental

de

y =−y A(t ). (1.2.2)

Como A ∈ PT , segue que a equação adjunta tem uma solução não trivial

y(t ) = y0X −1(t ) se e só se y0[X −1(T )− I ] = 0 isto é, se e somente se X −1(T )− I

é não singular o que é equivalente a X (T )− I ser não singular.

Lema 1.2.1 (Alternativa de Fredholm). Se A ∈ PT e f é um elemento de PT ,

então a equação (1.2.1) tem uma solução em PT se e somente se

∫T

0y(t ) f (t )dt = 0 (1.2.3)


para toda solução T -periódica y(t ) da equação (1.2.2). Se (1.2.2) está satisfeita

então (1.2.1) tem uma família a r -parâmetros, onde r é o número de soluções

l.i. T -periódicas de (H).

Demonstração: A e f em PT . Então x(t ) é solução T -periódica se e só se

x(0) = x(T ). Da fórmula da variação das constantes, com x(0) = I , x(T ) = eBT ,

temos:

x(t ) = X (t )x(0)+X (t )∫t

0X −1(s) f (s)ds (1.2.4)

Portanto, temos

x(t +T ) = X (t +T )x(0)+X (t +T )∫t+T

0X −1(s) f (s)ds

= X (t )eBT x(0)+X (t )eBT∫T

0X −1(s) f (s)ds +X (t )eBT

∫t+T

TX −1(s) f (s)ds

Daí, temos:

x(t +T ) = X (t )eBT x(0)+X (t )eBT∫T

0X −1(s) f (s)ds

+X (t )eBT∫t

0X −1(τ+T ) f (τ+T )dτ

=X (t )

[

eBT x(0)+eBT∫T

0X −1(s) f (s)ds

]

+X (t )eBT∫t

0X −1(τ)e−BT f (τ)dτ

=X (t )

[

eBT x(0)+eBT∫T

0X −1(s) f (s)ds

]

+X (t )∫t

0X −1(τ) f (τ)dτ

=X (t )x(0)+X (t )∫t

0X −1(τ) f (τ)dτ

Daí, segue que x(t ) é T -periódica de (1.2.1) se e só se x(0) = x(T ). Defini-


mos X (t , s) = X (t )X −1(s), então

x(t ) = X (t ,0)x0 +∫t

0X (t , s) f (s)ds.

Temos que X (t ,τ)X (τ, s) = X (t , s). Assim, a condição x(T ) = x0 é equivalente

a

x0 =x(T,0)x0 +∫T

0X (T, s) f (s)ds

=X (T,0)x0 +∫T

0X (T,0)X (0, s) f (s)ds

=X (T,0)x0 +X (T,0)∫T

0X −1(s,0) f (s)ds.

Portanto,

X −1(T,0)x0 = x0 +∫T

0X −1(s,0) f (s)ds

(X −1(T,0)− I )x0 =∫T

0X −1(s,0) f (s)ds.

Obtemos então

B x0 = b.

Da Álgebra Linear, sabemos que a equação B x0 = b tem solução se e so-

mente se ab = 0 para qualquer vetor linha a tal que aB = 0.

Como X −1(t ,0) é a matriz principal da equação (1.2.2). Para que a seja a

condição inicial de uma solução T -periódica da equação (1.2.2), devemos ter

aX −1(T,0) = a ou seja a(X −1(T,0)− I ) = aB = 0. Logo,

0 = aB x0 = a(Y −1(T,0)− I )x0 =∫T

0aX −1(s,0) f (s)ds =

∫T

0y(s) f (s)ds.

Assim sendo se (1.2.1) tem solução T -periódica, então x0 = x(T ) e x0 é


solução de B x0 = b. Isto é a equação B x0 = b tem solução x0. Isto é equiva-

lente a ab = 0 para qualquer a tal que aB = 0. Isto é equivalente a∫T

0 y(s) f (s)ds =

0 para qualquer solução T -periódica da equação (1.2.2).

Mas se temos duas soluções T -periódicasφ(t ),ψ(t ) de (1.2.1), entãoφ(t )−

ψ(t ) é solução T -periódica de (H). Assim tomando uma solução particular T -

periódica de (1.2.1) e somarmos uma solução T -periódica de (H), obtemos

uma solução T -periódica de (1.2.1).

Exemplo 1.2.2. Consideremos a equação escalar de segunda ordem:

u +u = cos w t .

Passando para sistemas, temos

x1

x2

=

0 1

−1 0

x1

x2

+

0

cos w t

(1.2.5)

X (t )=

cos t sin t

−sin t cos t

é a matriz principal de (H). Consideremos o problema

de existência de soluções 2π/w-periódicas, i.e., com período T = 2π/w. Temos

X −1(t ) =

cos t −sin t

sin t cos t

.

Se w 6= 1, a única solução T -periódica da (1.2.2) é a solução nula e assim a

condição de ortogonalidade está satisfeita e assim existe solução T -periódica.

Se w = 1, toda solução da (1.2.2) é T -periódica e são dadas por (a cos t +


b sin t ,−a sin t +b cos t ) e assim

∫2π

0(a cos t +b sin t ,−a sin t +b cos t )

0

cos t

=πb (1.2.6)

Se b 6= 0, a condição de ortogonalidade não está satisfeita e assim (1.2.1)

não tem solução 2π-periódica. Na verdade, todas soluções de (1.2.1) são não

limitadas pois u(t ) = a sin t +b cos t + t2 sin t é a solução geral de u +u = cos t .

Exemplo 1.2.3. Tomemos

A = 1

2

−1 2 1

−1 0 −1

−1 2 1

, f (t ) = sin t

−1

−1

1

(1.2.7)

Pode-se mostrar que

e At = 1

2

1+cos t − sin t 2sin t −1+cos t + sin t

1−cos t − sin t 2cos t −1+cos t − sin t

−1+cos t − sin t 2sin t 1+cos t + sin t

Como e−At é solução da (1.2.2), segue que todas as soluções de (1.2.2) são

2π-periódicas. Temos que e−At f (t ) = z sin t , onde z = (−1,−1,1). Assim, a

condição de ortogonalidade∫2π

0 e−At f (t )dt = 0 está satisfeita. Assim (1.2.1)

tem solução 2π-periódica. Na verdade, todas as soluções de (1.2.1) são 2π-

periódicas. Observar que a frequência de f é a mesma de e At e e−At .

Teorem 1.2.4. Supomos que A ∈PT e D é uma das classes B(R), A P ou PT .

A equação (1.2.1) tem uma solução em D se e somente se o sistema (H) é não


crítico com relação a D. Além disso, se (H) é não crítico em relação a D, então

K f é a única solução em D e é linear e contínua em f . Isto é, linear e existe

constante K tal que

(K f ) ≤ K | f | para toda f ∈D.

Demonstração: D =PT . Suponhamos que (H) seja não crítico, isto é, a única

solução de (H) em PT seja a nula. Assim, a única solução de (1.2.2) também

é a nula. Então dada f ∈PT , a Alternativa de Fredholm está satisfeita e assim

(1.2.1) tem uma solução em PT . Suponhamos que para toda f ∈ PT exista

solução em PT e que (H) seja crítico com relação a PT . Logo, (1.2.2) também

será crítico com relação a PT e assim existirá uma solução y(t ) não nula.

Tomemos f (t ) = y(t )T . Teremos assim

∫T

0y(t ) f (t )dt =

∫T

0|y(t )|2dt 6= 0

o que é uma contradição.

Por outro lado, se (H) é não-crítico com relação a PT , então dado f ∈PT ,

(1.2.1) tem uma única solução em PT , pois se tivesse duas distintas a difer-

ença seria uma solução não nula de (H), o que seria uma contradição.

Essa solução K f é dada explicitamente

(K f )(t ) =∫T

0[X −1(t +T, t )− I ]−1X (t , t + s) f (s)ds.

Vamos mostrar este último fato. Seja x(t ) = X (t ,0)x0 +∫t

0 X (t , s) f (s)ds T -


periódica. Então

X (t +T, t )+∫t+T

0X (t +T, s) f (s)ds = X (t ,0)x0 +

∫t

0X (t , s) f (s)ds

Portanto,

X (t +T, t )X (t ,0)x0 +∫t+T

0X (t +T, s) f (s)ds = X (t ,0)x0 +

∫t

0X (t , s) f (s)ds

∫t+T

0X (t +T, s) f (s)ds −

∫t

0X (t , s) f (s)ds

= [I −X (t +T, t )] X (t ,0)x0X (t +T, t )∫t+T

0X (t , s) f (s)ds −

∫t

0X (t , s) f (s)ds

= [I −X (t +T, t )] X (t ,0)x0X (t +T, t )

[∫t

0X (t , s) f (s)ds +

∫t+T

tX (t , s) f (s)ds

]

−∫t

0X (t , s) f (s)ds

= [I −X (t +T, t )] X (t ,0)x0 − [I −X (t +T, t )]∫t

0X (t , s) f (s)ds

+X (t +T, t )∫t+T

tX (t , s) f (s)ds

= [I −X (t +T, t )] X (t ,0)x0

Multiplicamos por [I −X (t +T, t )]−1 e fazendo s = τ+ t , temos

−∫t

0X (t , s) f (s)ds+[I −X (t +T, t )]−1 X (t+T, t )

∫T

0X (t , t+τ) f (t+τ)dτ= X (t ,0)x0.

Logo,

[X (t +T, t )−1 − I ]−1∫T

0X (t , t +τ) f (t +τ)dτ

= X (t ,0)x0 +∫t

0X (t , s) f (s)ds = x(t )

= (K f )(t )


Para encontrar K tal que |K f | ≤K | f |, basta tomar

T −1K = sup0≤s,t≤T

∥∥∥

[

X −1(t +T, t )− I]−1

X (t , t + s)∥∥∥

Caso 2: B(R)

Seja X (t ) a matriz fundamental de (H). Então, do Teorema de Floquet,

temos X (t ) =P (t )eB t onde P (t +T ) = P (t ),∀t ∈R. A transformação x = P (t )y

em (1.2.1) reduz ao sistema

y = B y +P−1(t ) f (t ) =B y + g (t ) (1.2.8)

onde g ∈B(R) ou (A P ).

Assim como P (t ) é não singular, basta mostrar que se (1.2.8) tem solução

em B(R) para toda g ∈ B(R) então y = B y é não crítico com relação a B(R)

ou que B não tem autovalor com parte real zero.

Podemos supor que B está na forma canônica de Jordan com

B =

B+ 0

B0

0 B−

e o sistema acima é equivalente a

(a) u = B+u + g+

(b) v = B0v + g0

(c) w =B−w + g−

Se o novo sistema homogêneo for não crítico com relação a B(R) então a


equação (b) não existe e assim vale a dicotomia exponencial e a equação não

homogênea tem uma única solução em B(R) e é dada por

K+g++K−g− =∫0

∞e−B+sg (t + s)ds +

∫0

−∞e−B−sg−(t + s)ds.

Se∣∣eB+t

∣∣≤K eαt , para t ≤ 0 e

∣∣eB−t

∣∣≤K e−αt , para t ≥ 0, então

∣∣K+g+

∣∣≤ K

α|g+| e

∣∣K−g−

∣∣≤ K

α|g−|.

Supomos agora que (1.2.1) tem solução em B(R) para cada f ∈ B(R) e que

a matriz B tenha algum autovalor com parte real zero. Podemos trabalhar

comente com um bloco

i w · · · ?

. . .

0 i w

Fazendo a transformação v = e i w t v1, ficamos com

v1 =

0 ?

. . .

0 0

v1 + g1(t ) =Rv1 + g1(t ),

where g1(t ) = e−i w t g (t ), g1 ∈B(R). Tomando a = (0, . . . ,0,1), aR = 0.

av1 = aRv1 +ag1(t ) = ag1(t ).


Tomando g1(t ) =

0

0

. . .

0

1

, chegamos que av1 = 1> 0 o que implica que av1(t ) →

∞ para toda solução v1(t ). Isto completa a prova do caso 2.

Voltando construímos uma função f (t ), f ∈ B(R), f ∈ A P com f+ = 0,

f− = 0, f0 6= 0, f0 ∈ A P tal que todas as soluções de x = A(t )x + f (t ) são não

limitadas. Falta mostrar que se f ∈ A P é única e (H) é não crítico com re-

lação a A P , então K+g+ e K−g− ∈A P .

Supomos que g+, g− ∈ A P e que (αn) é uma sequência. Então existe

subsequência (α′n) tal que g+(t +α′

n) converge uniformemente para G+(t )

quando n →∞.

Então (K+g+)(t +αk) =∫0∞ e−B s g+(t +αn + s)ds converge uniformemente

para∫0∞ e−B sG(t + s)ds. Então K+g+ ∈A P e m(K+g+) ⊂ m(g+).

Como as mudanças de variáveis foram periódicas, concluimos que a única

solução K f de (1.2.1) em A P pertence a A P e m(K f ) ⊂m[A, f ].

Capítulo

2

Funções quase-periódicas

Considere uma função f dos reais nos complexos definida por:

f = e iλ1t +e iλ2t (2.0.1)

Existem duas possibilidades. Se λ1λ2

∈Q ,∃p ∈ N tal que:

p =n1λ1 =n2λ2 (2.0.2)

Logo, f é periódica.

No entanto, se λ1λ2

6∈Q , 6 ∃n1, n2 ∈ Z tal que:

n1λ1 = n2λ2 (2.0.3)

Logo, f não é periódica. Se δ é um real positivo, e n1, n2 ∈ N são tais que

|λ1n1 −λ2n2 |< δ (2.0.4)

30 Funções quase-periódicas

podemos tomar τ entre λ1n1 e λ2n2. τ não é um período de f, mas é

"quase". Isto motiva a seguinte definição:

Definição 2.0.5. Uma função f : R → E (com E = R ou C) contínua é dita

uniformemente quase-periódica (a.p) se ∀ǫ > 0, ∃l = l ( f ,ǫ) > 0 tal que em

qualquer intervalo de tamanho l existe τ tal que:

| f (t +τ)− f (t ) |< ǫ, t ∈R (2.0.5)

(ou | f (t )− f (t −τ) |< ǫ, t ∈R) (2.0.6)

τ é chamado de quase período de f relativo a ǫ.

Exemplo 2.0.6. Seja f : R→ C, T periódica e contínua. Seja ǫ > 0 e tome l=T.

Dado o intervalo Iγ = [γ,γ+T ], γ ∈ R, ∃τ ∈ Iγ tal que τT ∈Z e assim, f (t +τ) =

f (t ) para todo t ∈R. Logo, toda função periódica é quase-periódica.

Exemplo 2.0.7. Seja f (t ) = e i t +e ip

2t , t ∈ R. Existem α> 0, M > 0 e sequências

de inteiros positivos (p j )(q j ), 0 < p j < q j , q j monótona crescente com q j∞−→

+∞, q j+1 −q j < M, j = 1, 2,..., tais que:

|p

2−1−p j

q j|≤ α

q2j

(2.0.7)

Dado ǫ> 0, suponha que os q j foram escolhidos de tal maneira que:

2(1−cos(2πβ

q j)) < ǫ (2.0.8)

para todo j e todo |β |<α

31

Observação 2.0.8. ∀ǫ> 0, ∃ j0 tal que 2(1−cos 2παq j

) < ǫpara j ≥ j0. Basta assim

excluir o início da sequência e tornar j0 suficientemente grande para que:

1−cos2πβ

q j< 1−cos(

2πα

q j) (2.0.9)

Seja l = 2πmax(M ,2q1) e considere o intervalo Iγ = [γ,γ+ l ], γ ∈ R. No

conjunto ±2πq j , j = 1,2, ..., existe um único elemento, digamos 2πqγ−1, que

é o membro maximal desse conjunto menor ou igual a γ. Da nossa escolha

de l:

2πqγ ∈ Iγ, (2.0.10)

com 2πqγ o próximo membro desse conjunto maior 2πqγ−1. Como

qγ(p

2−1) = pγ+βγ

qγ

, |βγ <α, (2.0.11)

temos:

| f (t +τ)− f (t ) |=| e i (p

2−1)τ−1 |=| e i 2πβγ −1 |= 2[1−cos 2πβγ

qγ

] < ǫ (2.0.12)

Logo, f é quase-periódica.

Definição 2.0.9. (Bohr) S ⊂ R é relativamente denso se ∃L > 0 tal que [a, a +

L]∩S 6=φ, ∀a ∈R.

Definição 2.0.10. (Bohr) Seja f contínua definida emR. O número τ é chamado

de número de translação de f correspondente a ǫ> 0 se | f (t+τ)− f (t ) |< ǫ,∀t ∈


R, e o conjunto τ( f ,ǫ)= τ f (ǫ) = τ :| f (t +τ)− f (t ) |< ǫ,∀t ∈R dos números de

translação é chamado conjunto ǫ-translação.

Definição 2.0.11. (Bohr) Uma função f contínua emR é (Bohr) quase-periódica

se, dado ǫ> 0, o conjunto ǫ-translação de f é relativamente denso.

A definição anterior é evidentemente equivalente à primeira, e assim omiti-

mos em geral Bohr em "Bohr quase-periódica".

Definição 2.0.12. (Fink) Uma função f é quase-periódica se para toda sequên-

cia (α′n),α′

n ∈ R, existe uma subsequência (αn) tal que f (t +αn) converge uni-

formemente em R.

As definições acima são equivalentes (ver Fink).

Lema 2.0.13. (Hale) Toda função a.p. é limitada e uniformemente contínua

em R

Demonstração: Se f é a.p., então ∀ǫ> 0, ∃l > 0 tal que ∀t ∈ R∃τ ∈ [t − l , t ] tal

que:

| f (t )− f (t −τ) |< ǫ (2.0.13)

Fazendo t ′ = t −τ, temos o ≤ τ′ ≤ l e

| f (t )− f (t ′) |< ǫ (2.0.14)

Tomando ǫ = 1, fixamos l como acima e notamos M = sups∈[0,l ] | f (s) |,

então | f (t ′) |≤ M e assim, | f (t ) |≤ M +1, ∀t ∈ R, e, assim, f é limitada.

33

Dado ǫ> 0 e l como no começo, como [-l,l] é compacto, f é uniformemente

contínua neste intervalo, e assim, existe δ> 0 tal que se t’,s’∈ [-l,l] são tais que

| t ′− s ′ |< δ, então | f (t ′)− f (s ′) |< ǫ.

Sejam agora t, s ∈ R com | t − s |< δ, t < s, e considere o intervalo [t,t+l].

Existe τ ∈ [t , t + l ] tal que | f (σ+τ)− f (σ) |< ǫ, ∀σ ∈ R; denotando t ′ = t −τ,

s ′ = s −τ, temos | f (t )− f (t ′) |< ǫ, | f (s)− f (s ′) |< ǫ, e | t ′− s ′ |< δ. Logo:

| f (t )− f (s) |≤| f (t )− f (t ′) | + | f (t ′)− f (s ′) | + | f (s ′)− f (s) |< ǫ (2.0.15)

Assim, f é uniformemente contínua em R.

Definição 2.0.14. (Bochner) O conjunto translação de uma função f definida

em R é o conjunto de funções t 7→ f (t +h), t ∈ R.

Definição 2.0.15. Uma função contínua f em R é normal se o conjunto das

translações de f é relativamente compacto no sentido de convergência uni-

forme em R, isto é, para cada sequência de translações f (· +h′n) existe uma

subsequência uniformemente convergente f (·+hn).

Definição 2.0.16. O hull H(f) de f é o fecho do conjunto de translação de f sob

a convergência uniforme.

Claramente, uma função é a.p. se e somente se for normal

Já possuímos os conceitos básicos a respeito das funções quase-periódicas.

Vamos tratar de algumas de suas propriedades.

Propriedades (Bochner)


1. Se f é a.p., então f (· + a), f (a·), a ∈ R, f (·)+k , k f (·), k ∈ C , ¯f (·), | f (·) |,

[ f (·)]n , n ∈ N são a.p.

2. O limite uniforme de uma sequência de funções a.p. é a.p. Em particu-

lar, se f é a.p., então ∀g ∈ H( f ) é a.p.

Demonstração: Seja fnu−→ f , fn a.p.. Dado ǫ> 0, existe n0 tal que ∥ fn0 −

f ∥∞< ǫ/3. Como fn0 é a.p., ∃L tal que ∀Iγ = I [γ,γ+L] ⊂ R,∃ τ ∈ Iγ tal

que | fn0(t +τ)− fn0(t ) |< ǫ/3,∀t ∈ R. Assim:

| f (t+τ)− f (t ) |≤| f (t+τ)− fn0(t+τ) | + | fn0(t+τ)− fn0(t ) | + | fn0(t )− f (t ) |< ǫ,

(2.0.16)

e assim, f é a.p.

3. Se f1, f2 são a.p., f1 + f2 e f1 f2 são a.p.. Se inft∈R | f (t ) |> 0, 1/ f1 é a.p.

Demonstração: f1 + f2 segue da definição 1.

f1 f2 segue de:

f1 f2 =1

2[( f1 + f2)2 − f 2

1 − f 22 ] (2.0.17)

e da propriedade 1.

1/ f1 segue da definição 1.

4. Se f é a.p. e f’ existe e é uniformemente contínua em R, então f’ é a.p..

5. Se F : Ω ⊂ C → C é uniformemente contínua e ( f1(t ), ..., fn(t )) ∈Ω, ∀t ∈

R, f j a.p., então F ( f1(·), ..., fn(·)) é a.p..

35

Em particular, f,g a.p. ⇒f+g, fg a.p..

6. Se f é a.p. então:

∫t

0f a.p. ⇒

∫t

0f l i mi t ad a (2.0.18)

Teorem 2.0.17. Se f é a.p., o valor médio de f definido por:

M [ f ] = limT→∞

1

T

∫t+T

tf (s)d s (2.0.19)

existe e independe de t. Se f é a.p. e λ ∈R, definimos:

a(λ) = M [ f (·)e−iλ·] = limT→∞

1

T

∫T

0f (t )e−iλt d t (2.0.20)

Lema 2.0.18. Se f é a.p., então existe apenas uma quantidade enumerável de

λ para os quais a(λ) 6= 0.

A seguir, designamos os λ para os quais a(λ) 6= 0 por (λ j )), e os denomi-

namos expoentes de Fourier de f. Os coeficientes de Fourier são denomina-

dos a j = a(λ j ).

f (t ) ∼∑

a j e iλ j t (2.0.21)

Teorem 2.0.19. Se f e g são a.p., f 6= g , então suas séries de Fourier são difer-

entes. Além disso, se f (t ) ∼∑a j e iλ j t , então

∑ | an |2<∞. As operações usuais

nas séries de Fourier permanecem válidas.

Lema 2.0.20. Se f é a.p. com expoentes de Fourier λ j > 0, então∫t f é a.p..


Exemplo 2.0.21.

f (t ) =+∞∑

n=1

1

n2e i t

n2 (2.0.22)

Consideremos a integral de f(t).

∫

f (t )d t ∼+∞∑

n=1

1

n2

ei tn2

in2

=+∞∑

n=1(−i )e

i tn2 (2.0.23)

Se∫

f (t )d t for a.p., sua expansão é∑+∞

n=1(−i )ei tn2 , mas

∑+∞n=1 | (−i ) |2= +∞,

e, assim,∫

f (t )d t não é a.p..

Lembremos que se f é periódica M [ f ] = 0, então∫t

0 f (s)d s é periódica.

Definição 2.0.22. Suponha (λ j ), λ j ∈ R. O módulo m(λ j ) do conjunto λ j é o

conjunto que consiste de todos os números reais que são combinações lineares

dos λ j com coeficientes inteiros.

m(λ j ) = N∑

n=1anλ jn , an ∈ Z (2.0.24)

Definição 2.0.23. Um conjunto α j de números reais é linearmente indepen-

dente (sobre R)se, ∀N,

N∑

j=1

r jα j = 0,r j ∈Q⇒ r j = 0 (2.0.25)

Observação 2.0.24. Isto é equivalente a ser L.I. sobre Z

Exemplo 2.0.25. 1,p

2

Definição 2.0.26. Se γn é uma sequência qualquer números reais, dizemos

que α j é uma base (racional) se:

37

1. α j é l.i.

2. Cada γ em γn é uma combinação linear (finita) de elementos de α j

A base é chamada de inteira se esta combinação linear puder ser tomada a

coeficientes inteiros.

Exemplo 2.0.27. 1. nw,n ∈ Z tem base inteira w

2. n +mp

2,n,m ∈ Z tem base inteira 1,p

2

3. 1n ,n ∈ N∗ tem base 1 (não-inteira)

4. 1,2,p

2, 3p

22 tem base 1,

p2

2

Nos interessaremos apenas pelas bases inteiras.

Definição 2.0.28. Se m( f ) possuir uma base inteira finita, dizemos que f é

quasi-periódica.

Deve-se notar que os conceitos de quasi-periódica e quase-periódica são

diferentes.

Definição 2.0.29. Se f é a.p. com expoentes λ j , o módulo de f , m( f ), é o

módulo de λ j

Definição 2.0.30. Se m( f ) tem uma base inteira com um único elemento β, f

é limit periodic.

Intuitivamente, o módulo de f nos dá uma idéia do quão complicada f é;

quanto maior o módulo, mais expoentes na sua série de Fourier existirão.


Teorem 2.0.31. Suponha f , g a.p.. Se g (·+τ j ) converge uniformemente para

toda sequência (τ j ) tal que f (· +τ j ) converge uniformemente, então m(g ) ⊂

m( f ).

Observação 2.0.32. χ( f ) ≡ (τ j : f (t +τ j ) converge uniformemente . O teo-

rema anterior é então:

χ( f ) ⊃ χ(g ) ⇒ m(g ) ⊂ m( f ). (2.0.26)

χ( f ) ⊃ χ(g ): é "mais fácil"as translações de g convergirem que f: g é "mais

simples"que f: m(g ) ⊂ m( f )

Teorem 2.0.33. Se f é a.p., f ∼ ∑∞n=1 ane iλn t , então existe uma sequência de

inteiros K(k) e uma sequência de somas trigonométricas finitas

σk(t ) =K (k)∑

n=1r (k)

n ane iλn t (2.0.27)

tal que:

σk(t )− f (t )k→∞−−−→ 0 (2.0.28)

uniformemente em t. Além disso, os r kn não dependem de an.

Teorem 2.0.34. Suponha que f é a.p. com expoentes λn . Se τ j é uma sequên-

cia de números reais tal que e iλnτ jk→∞−−−→1 para todo λn , então:

| f (t +τ j )− f (t ) | j→∞−−−→ 0 (2.0.29)

uniformemente em t.

39

Observação 2.0.35. Para séries de Fourier:

σn(x) = 1

2a0 +

n∑

k=1

[ak coskπx

L+bk sin

kπx

L], (2.0.30)

ak =1

L

∫

−LL f (x)cos

kπx

Ld x (2.0.31)

bk =1

L

∫

−LL f (x)sin

kπx

Ld x (2.0.32)

σn+1 =1

n +1[s0 + s1 + ...+ sn] (2.0.33)

Teorem 2.0.36. [Féjer] f : R→R, 2L periódica e seccionalmente contínua

limn→∞

σn(x) = 1

2[ f (2.0.34)

Se f é contínua, σn → f uniformemente em R

Demonstração: Seja ǫ> 0. Do Teorema 2.0.33, existe k=kǫ tal que:

| f (t )−σk(t ) |< ǫ, ∀t ∈R (2.0.35)

Como e iλnτ jj→∞−−−→1 para todo λn , existe J=J(k,ǫ) tal que:

K (k)∑

n=1| r (k)

n an || e iλnτ j −1 |< ǫ (2.0.36)

para j > Jǫ (tomamos Jnǫ = J (k ,nǫ) e tomamos Jepsi lon = maxn=1,...,K (k) Jn,ǫ,

por exemplo). Logo, ∀t ∈ R, ∀ j ≥ Jǫ,


| f (t +τ j )− f (t ) |≤ 2ǫ+ |σk(t +τ j −σk(t ) | ≤ 2ǫ+K (k)∑

n=1| r (

nk)an || e iλnτ j −1 |< 3ǫ,

(2.0.37)

donde segue o resultado anunciado

Teorem 2.0.37. Sejam f : R → C e φ 6= λn ⊂ R um subconjunto não-vazio

enumerável de R. Se para toda sequência de números reais τ j , a condição

limj→∞

e iλnτ j = 1 (2.0.38)

implicar

limj→∞

f (t +τ j ) = f (t ) (2.0.39)

uniformemente em t, então f é a.p.

Demonstração: Utilizamos a definição 5 de a.p..

Notemos inicialmente que f é contínua, pois, se τ j → 0, então e iλnτ jj→∞−−−→1

e, assim, f (t +τ j ) → f (t ), ∀t ∈R.

Seja τ j uma sequência de números reais. Como S1 é compacto , existe

θ1 ∈R tal que

limj→∞

e iλ1τ j = e iλ1θ1, 0≤λ1θ1 < 2π (2.0.40)

com τ(n)j subsequência de τ j . Indutivamente, constituímos assim

sequências τ(n)j e θn com

41

limj→∞

e iλnτ(n)j = e iλnθn , 0 ≤λnθn < 2π, (2.0.41)

e τ(n)j subsequência de τ(n−1)

j . Tomamos τ′j = τ(N )j se λn = λ1, ...,λN e

τ′j = τ( j )j se λn for infinita. Logo,

limj→∞

e iλnτ′j = e iλnθn (2.0.42)

Assim f (t +τ′j −θn)j→∞−−−→ f (t +θn) uniformemente e, pela Definição 5, f é

a.p..

Teorem 2.0.38. Suponha f a.p. e g : R→C . Se, para cada sequência de números

reais τ j para os quais f (t + τ j ) − f (t )j→∞−−−→0 uniformemente em t tivermos

g (t +τ j − g (t )j→∞−−−→ uniformemente em t, então g é a.p. e m[g]⊂m[f].

Demonstração: Seja τ j uma sequência tal que e iλnτ jj→∞−−−→1, com λn os

expoentes de f. Pelo Teorema 5, f(t+τ j )j→∞−−−→f(t) uniformemente em t, e pela

hipótese, g(t+τ j )j→∞−−−→g(t) uniformemente em t. Logo, pelo Teorema 2.0.37, f

é a.p..

A demonstração de que m[g]⊂m[f] segue de Favard, p.81.

Nosso próximo será empregar funções quase-periódicas em equações difer-

enciais. Consideremos a seguinte situação:

y · = f (t ) (2.0.43)

f a.p., M[f]=0,∫t f não necessariamente limitada. Queremos obter uma

aproximação a.p. da solução de y ·=f(t).


Lema 2.0.39. [Bogoliubov] Suponha que f a valores em Cn é a.p. e M[F]=0.

Para todo η > 0, existe uma função escalar contínua ξ′η, 0 < η <∞, ξηη→∞−−−→0

tal que a função a.p. fη definida por:

fη(t ) =∫t

−∞e−η(t−s) f (s)d s,

é a única solução limitada em R de y · = f (t )−ηy e satisfaz

| fη(t ) |≤ ξη/η e

∣∣∣∣

d

d tfη(t )− f (t )

∣∣∣∣≤ ξη

para todo t ∈R. Além disso, m[ fη] =m[ f ].

Demonstração: Como M [ f ] = 0, existe uma função escalar decrescente ǫ =

ǫ(T ), 0 < T <∞, ǫ(T )T→+∞−−−−→0 tal que:

∣∣∣∣

1

T

∫t+T

tf (s)d s

∣∣∣∣≤ ǫ(T ),

para todo T>0, e

fη(t ) =∫t

−∞e−η(t−s) f (s)d s.

Fazendo u = t − s, temos

∫∞

0e−ηs f (t − s)d s =

∞∑

k=0

∫(k+1)T

kTe−ηs f (t − s)d s

=∞∑

k=0

e−nηT∫(k+1)T

kTf (t − s)e−η(s−kT )d s

43

E então

| fη(s) | =|∞∑

k=0

e−nηT∫(k+1)T

kTf (t − s)e−η(s−kT )d s |≤

∞∑

k=0

| e−nηT∫(k+1)T

kTf (t − s)e−η(s−kT )d s |≤

∞∑

k=0

| e−nηT∫(k+1)T

kTf (t − s)[e−η(s−kT ) −1+1]d s |≤

∞∑

k=0

| e−nηT∫(k+1)T

kTf (t − s)[e−η(s−kT ) −1]d s | +

∞∑

k=0

| e−ηkT∫(k+1)T

kTf (t − s)d s | .

Seja B=supf (t) | f (t ) |<+∞. Temos:

| fη(t) |≤∞∑

k=0

e−nηT∫(k+1)T

kT| f (t−s) | (1−e−η(s−kT ))d s+

∞∑

k=0

|∫(k+1)T

kTf (t−s)d s | ≤(47)

B∞∑

k=0

e−nηT∫(k+1)T

kT(1−e−η(s−kT ))d s +

∞∑

k=0

e−nηT T ǫ(T )≤u=s−kT

B∞∑

0e−ηkT

∫T

0(1−e−ηud u+T ǫ(T )

1

1−e−ηT≤ B

∫T

0(1−e−ηu)d u+T ǫ(T )

1

1−e−ηT

≤ BT +T ǫ(T )[1−e−ηT ]−1 (2.0.44)

Como ǫ(T )T→∞−−−→ 0 é decrescente, sempre existe uma solução para a equação

1−e−ηT = ǫ(T ) (2.0.45)

(para se convencer, basta olhar a intersecção dos gráficos). Seja Tη solução

desta equação. Como ǫ(T ) > 0 para todo T, temos Tηη→∞−−−→. Como ǫ(T )

T→∞−−−→

0, temos ηTηη→0−−→ pois 1−e−ηTη = ǫ(Tη). A solução Tη é contínua em η. Defin-

imos ζ(η) = (B +1)ηTη. Assim, ζ é contínua, ζ(η)η→∞−−−→ 0 e, como (51) é válida


para todo T > 0, em particular,

| fη |≤ BT +Tηǫη(1−e−ηTη)−1 = BTη+Tη =ζ(η)

η(2.0.46)

Logo, a propriedade 2 está provada.

Temos

fη(t ) =∫t

−∞e−η(t−s) f (s)d s

Assim, fη é solução da equação diferencial

d fηd t

(t ) = f (t )−η

∫t

−∞e−η(t−s) f (s)d s = f (t )−η fη(t )

Logo,

|d fηd t

(t )− f (t ) |= η | fη(t ) |≤ ζ(η).

Finalmente, resta mostrar que fη é a.p. com m[ fη] = m[ f ]. Seja (τ j ) uma

sequência de números reais tais que f (t + τ j − f (t )j→∞−−−→ 0 uniformemente

para t ∈ R. Então:

| fη(t +τ j )− fη(t ) | =|∫0

−∞eηs[ f (t +τ j + s)− f (t + s)]d s |

≤∫0

−∞eηs sup

u∈R| f (u +τ j )− f (u) | d s

≤ η−1 supu∈R

| f (u +τ j )− f (u) | j→∞−−−→ 0,

de forma que fη(t+τ j )− fη(t )j→∞−−−→ 0 uniformemente para t ∈ R. Pelo Teorema

7, fη é a.p. e m[ fη] ⊂m[ f ].

Por (55),d fηd t é a.p., e m[

d fηd t ] = m[ fη]. Mas f (t ) = d fη

d t (t )+η fη(t ); logo, m[ f ] ⊂

m[ fη] e, assim, m[ f ]= m[ fη].

45

Assim, se f é a.p., a solução do y . = f (t ) pode ser aproximada por uma

função a.p..

Também é de interesse considerar o caso em que f depende de outros parâmet-

ros.

Definição 2.0.40. Uma função contínua f (t , x) a valores em Cn, t ∈R, x ∈Ck ,

é dita a.p. em t uniformemente em relação a x em um conjunto compacto Λ

( f ∈U AP (Ck ,Cn)) se f (t , x) é contínua em R X Ck e ∀η> 0, ∃l > 0 tal que em

qualquer intervalo I de tamanho l , ∃τ ∈ I tal que:

| f (t +τ, x)− f (t , x) |< η (2.0.47)

para todo t ∈ R, x ∈Λ.

Queremos agora considerar o seguinte problema:

∂y

∂t= f (t , x) (2.0.48)

com f u.a.p..

Lema 2.0.41. Seja f :R X Ck →Cn, f ∈U AP (Ck ,Cn) e k ⊂Ck compacto, dig-

amos K = Bσ = x ∈ Ck , | x |≤ σ. Se M[f(.,x)]=0 para x ∈ Bσ então ∀σ1 < σ,

∃η0 > 0 e uma função w(t , x,η) definida e contínua para t ∈R, x ∈ Bσ, 0 < η<

η0 a qual é w ∈ U AP (Bσ1 X (0,η0),Cn), m[w(., x,η)] = m[ f (., x)], w(t , x,η)

tem derivadas de qualquer ordem em relação a x e é tal que se

g (t , x,η) = ∂w(t , x,η)

∂t− f (t , x) (2.0.49)


então g (t , x,η), ηw(t , x,η) e η∂w∂η

tendem a zero quando η→ 0 uniformemente

em relação a t ∈ R, x ∈ Bσ1. Se, além disso, f(t,x) tiver derivadas parciais

contínuas em relação a x, então ∂g∂t (t , x,η)

η→0−−→ 0 uniformemente em

R X Bσ1.

Demonstração: Do Lema 2.0.39, existe fη ∈ U AP (Bσ,Cn) definida pela pro-

priedade 1 que é a.p. uniformemente para η em compactos de (0,∞) e tal

que

| fη(t , x) |≤ ζ(η)

η(2.0.50)

∂ fη∂t

(t , x)− f (t , x) =−η fη(t , x) (2.0.51)

com ζ(η)η→0−−→ 0.

Para a > 0 fixado e um inteiro q ≥ 1, definimos:

a =

da(1−a−2 | x |2)2q if | x |≤ a,

0 if | x |> a

(2.0.52)

com da uma constate escolhida de forma que∫

Bσa = 1 (a idéia é

regularizar fηemx).

Definimos:

w(t , x,η)=∫

Bσ

a(x − y) fη(t , y)d y (2.0.53)

temos w ∈U AP (Bσ,Cn) pois fη possui esta propriedade.

47

a tem derivadas parciais contínuas até a ordem 2q-1 com relação a x,

as quais são limitadas por G(a)/(área de integração) com G(a), 0 < a < ∞,

contínua. Pode acontecer que G(a)a→0−−−→∞. Assim, w tem derivadas parciais

com relação a x de ordem até 2q-1. Temos:

∂αx w(t , x,η)=∫

Bσ

∂αxa(x − y) fη(t , y)d y

e

∣∣∂αx w(t , x,η)

∣∣≤

∫

Bσ

∣∣∂αxa(x − y)

∣∣ | fη(t , y) | d y

≤∫

Bσ

G(a)∫

Bσd z

ζ(η)

ηd y

=G(a)ζ(η)η−1

Uma vez que q é arbitrário, o número de derivadas com relação a x pode ser

tão grande quanto desejado.

Vamos escolher a = aη de forma que aηη→0−−→ 0, G(aη)ζη

η→0−−→ 0. Temos,

assim

| ηw(t , x,η) |≤G(Aηζηη→0−−→ 0, (2.0.54)

| η∂w(t , x,η)

∂x|≤G(Aηζη

η→0−−→ 0, (2.0.55)

uniformemente em (t , x)∈ R X B j .

Para todo σ1 < σ, escolha η0 pequeno tal que σ1 −aη < σ para 0 < η < η0.

Da definição de a(x), segue que:

∫

Bσ

aη(x − y)d y = 1 (2.0.56)


para todo x ∈ Bσ1, 0< η< η0. Fazendo g− = g +ηw , temos, de (61), (62) e (64),

g−(t , x,η) = g+ηw = ∂w

∂t− f (t , x)+ηw =

∫

Bσ

a(x−y)[∂t f (t , y)− f (t , x)+η f (t , y)]d y =∫

Bσ

a(x − y)[ f (x, y)− f (t , x)]d y (2.0.57)

Da definição de a,

| g−(t , x,η) |≤ sup0≤|x+y |≤aη

| f (t , y)− f (t , x) | η→0−−→ 0, (2.0.58)

pois aηη→0−−→ 0 e f é uniformemente contínua em R X Bσ1; logo, existe δ(η)

definida para 0< η< η0 com δη→0−−→ 0 tal que:

| g−(t , x,η) |< δ(η). (2.0.59)

Assim,

| g (t , x,η) |< δ(η)+G(aηζ(η)η→0−−→ 0, (2.0.60)

onde gη→0−−→ 0 uniformemente em R X Bσ1. Se, além disso, f possui derivadas

parciais primeiras contínuas em x, então, integrando por partes em (71),

∂g−

∂x(t , x,η)=

∫

Bσ

aη(x − y)[∂ f

∂x(t , y)− ∂ f

∂x(t , x)]d y. (2.0.61)

Como acima, existe δ1(η), δ1(η)η→0−−→ 0, t.q.

| ∂g−

∂x|< δ1(η)

η→0−−→ 0, (2.0.62)

e, assim, | ∂g∂x |< δ1(η)+G(aη)ζ(η)

η→0−−→ 0, donde ∂g∂x

η→0−−→ 0 uniformemente em

49

R X Bσ1.

Se f(t,x) é periódica em alguma das componentes, w(t , x,η) pode ser es-

colhida periódica nessas componentes.

Se g é um n-vetor e φ é um r-vetor, dizemos que g (φ) é multiplamente

periódica em φ com vetor período ω = (ω1, ...,ωr ), ω j > 0, j=1,2,...,r, se g for

periódica na j-ésima componente deφ com períodoω j . Se g é multiplamente

periódica, então:

g (φ1 + t , ...,φr + t ) (2.0.63)

é a.p. em t uniformemente em φ.

Notando φ+ t = (φ1 + t , ...,φr + t ), definiremos o valor médio:

Mφ[g (φ)] = limT→∞

1

T

∫T

0g (φ+ t )d t (2.0.64)

Se φ= (φ1,φ2) e

g (φ)∑

j ,k

a j ke i (kµφ1+ jωφ2 (2.0.65)

temos:

Mφ[g (φ)] =∑

j ,k,kµ+ jω=0

a j ke i (kµφ1+ jωφ2 (2.0.66)

e isto pode ser uma função de φ se µ

ω∈Q


O Lema 5 pode ser estendido a funções do tipo g (t ,φ, x) multiplamente

periódica emφ e a.p. em t uniformemente sobre (φ, x,η)∈Cr X Bσ1 X (0,η1)

tal que:

G(t ,φ, x,η) = ∂w

∂t+

r∑

j=0

∂w

∂φ j− g (t ,φ, x) (2.0.67)

e ηw , η∂w∂φ

, η∂w∂x

η→0−−→ 0 uniformemente em (t ,φ, x) ∈R X Cr X Bσ1. Se g

possuir derivadas parciais primeiras contínuas em relação a x, então as

derivadas parciais de G(t ,φ, x,η) em relação a φ, x também tendem a 0

quando η→ 0 uniformemente em t, φ, x. A demonstração disto é muito

similar à do Lema 5.

Capítulo

3

Séries de Fourier

3.1 Notações

Escrevemos E para representar o corpo dos números reais R ou o corpo

dos números complexos C. Similarmente, Ed representa Rd ou Cd .

O conjunto de funções quase-periódicas a valores em E é denotado por

A P (E), e, similarmente, escrevemos A P (Ed ) para o conjunto das funções

quase-periódicas a valores vetoriais em Ed . O conjunto das funções de uma

variável real a valores em Ed contínuas e limitadas é denotado por B(Ed ).

3.2 Famílias uniformemente quase-periódicas

3.2.1 Introdução

Até agora, interessamo-nos apenas a funções quase-periódicas de uma

única variável, f ∈A P (E) ou f ∈A P (Ed ). Entretanto, o interesse no estudo

52 Séries de Fourier

de equações diferenciais quase-periódicas é o estudo de sistemas do tipo

x = f (x, t ), x ∈ Ed , t ∈R,

com f uma função quase-periódica em t para cada x ∈ Ed fixado. Neste

contexto, é importante considerar o que ocorre com t 7→ f (ϕ(t ), t ) quando

ϕ ∈ A P (Ed ). Notemos que, se f é T -periódica em t para todo x fixado e ϕ

é T -periódica, então t 7→ f (ϕ(t ), t ) é T -periódica. Esta propriedade, entre-

tanto, não se generaliza ao caso das funções quase-periódicas.

Exemplo 3.2.1. Consideremos a função f : R×R → R definida por f (x, t ) =

sin(xt ). Para todo x ∈ R fixado, t 7→ f (x, t ) é periódica; além disto, a função

t 7→ sin t é periódica. Entretanto, g (t ) = f (sin t , t ) = sin(t sin t ) não é quase-

periódica; na verdade, esta função não é uniformemente contínua.

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5g(t) = sin(t sin t)

t

g(t)

Figura 3.1: Gráfico de g (t ) = sin(t sin t )

De fato, considere as sequências (tn) e (sn) dadas por

tn = 2nπ, sn = 2nπ+ 1

4n, n ∈N∗

Temos g (tn) = 0 para todo n ∈N∗, enquanto que sn sin(sn)=(

2nπ+ 14n

)

sin(

14n

)

3.2 Famílias uniformemente quase-periódicas 53

pode ser estimado por

(

2nπ+ 1

4n

)

sin

(1

4n

)

≤(

2nπ+ 1

4n

)1

4n= π

2+ 1

16n2,

(

2nπ+ 1

4n

)

sin

(1

4n

)

≥(

2nπ+ 1

4n

)2

π

1

4n= 1+ 1

8πn2,

donde

1+ 1

8πn2≤ sn sin(sn) ≤ π

2+ 1

16n2,

e, assim, para n suficientemente grande, sin1 ≤ sin(sn sin(sn)) ≤ 1, isto é,

sin1 ≤ g (sn) ≤ 1.

Logo, temos

|tn − sn| −−−→n→∞

0 mas |g (tn)− g (sn)| ≥ sin1 > 0 para todo n ∈N∗,

o que mostra que g não é uniformemente contínua. Assim, t 7→ f (sin t , t ) não

é quase-periódica.

O Exemplo 3.2.1 mostra que é necessário exigir mais regularidade da função

f (x, t ) para poder garantir que f (ϕ(t ), t ) seja quase-periódica quando ϕ(t ) e

t 7→ f (x, t ) o forem para cada x ∈ Ed . Isto motiva a definição de famílias uni-

formemente quase-periódicas.


3.2.2 Famílias uniformemente quase-periódicas

Fornecemos a definição de famílias uniformemente quase-periódicas em

termos do conjunto ε-translação

T ( f ,ε)= τ ∈R : | f (t +τ)− f (t )| ≤ ε, ∀t ∈R.

Lembremos que f ∈ A P (Ed ) se e somente se T ( f ,ε) é relativamente denso

para todo ε> 0.

Definição 3.2.2. Seja F uma família de funções quase-periódicas. Dizemos

que F é uma família uniformemente quase-periódica (u.a.p.) se for uni-

formemente limitada e se, para todo ε > 0, o conjunto ε-translação de F

definido por

T (F ,ε) =⋂

f ∈F

T ( f ,ε)

é relativamente denso e contém um intervalo em torno de 0.

Notemos que o fato de conter um intervalo em torno de 0 está automatica-

mente satisfeito para o conjunto ε-translação de uma única função, T ( f ,ε),

devido à continuidade uniforme de f . Exigir que T (F ,ε) contenha um inter-

valo em torno de 0 corresponde assim a exigir que a família F seja uniforme-

mente equicontínua.

O estudo das famílias u.a.p. pode ser feito de forma mais conveniente

através do uso das funções de translação de Bochner.

Definição 3.2.3. Uma função v : R → R contínua e limitada é chamada de

função de translação se satisfaz as seguintes propriedades:


1. para todo τ ∈R, v(τ) ≥ 0 e v(−τ) = v(τ);

2. v(0) = 0;

3. v(t + s) ≤ v(t )+v(s).

A Definição 3.2.4 introduz o conceito de função de translação associada a

uma função e permite compreender a nomenclatura dada na Definição 3.2.3.

Definição 3.2.4. Seja f : R → Ed uma função contínua e limitada. A função

de translação de Bochner associada a f , v f , é definida sobre R por

v f (τ) = supt∈R

| f (t +τ)− f (t )|.

Proposição 3.2.5. 1. A função de translação de Bochner v f associada a uma

função f é uma função de translação.

2. Toda função de translação v é função de translação de Bochner associada

a si mesma, vv = v.

3. f ∈A P (Ed ) se e somente se v f ∈A P (R).

Demonstração: 1. É imediato que v f satisfaz 1 e 2 da Definição 3.2.3. Além

disso,

v f (τ+σ) = supt∈R

| f (t +τ+σ)− f (t )| = supt∈R

| f (t +τ)− f (t −σ)| ≤

≤ supt∈R

| f (t +τ)− f (t )|+ supt∈R

| f (t )− f (t −σ)| = v f (τ)+v f (σ),

e, assim, v f é função de translação.


2. Temos v(t +τ)−v(t ) ≤ v(τ) e v(t +τ)−v(t ) ≥ v(t +τ)−v(t +τ)−v(−τ) =

−v(τ), donde |v(t +τ)−v(t )| ≤ v(τ), e, assim,

vv (τ) = supt∈R

|v(t +τ)−v(t )| = v(τ),

uma vez que o supremo é atingido em t = 0.

3. Basta notar, utilizando o item 2, que, para ε> 0,

T ( f ,ε)= τ ∈R : v f (τ) ≤ ε = τ ∈R : vv f(τ) ≤ ε= T (v f ,ε).

Em vista da Proposição 3.2.5, uma função de translação de Bochner asso-

ciada a uma certa f é chamada simplesmente de função de translação (asso-

ciada a f ). As funções de translação permitem obter um critério para decidir

de uma dada família de funções quase-periódicas é u.a.p., dado no teorema

a seguir.

Teorem 3.2.6. Seja F uma família uniformemente limitada de funções con-

tínuas e defina v(τ)= sup f ∈Fv f (τ). Então v é limitada, satisfaz as propriedades

1-3 da Definição 3.2.3, e é assim uma função de translação se for contínua.

Além disso, a família F é u.a.p. se e somente se v ∈A P (R).

Demonstração: Como F é uniformemente limitada e

v(τ) = supf ∈F

supt∈R

| f (t +τ)− f (t )|,


segue que v é limitada. Além disso, para todo τ ∈R, temos

v(τ) ≥ 0, v(−τ) = supf ∈F

v f (−τ) = supf ∈F

v f (τ) = v(τ), v(0) = supf ∈F

v f (0) = 0;

também, para t , s ∈R, temos, para toda f ∈F ,

v f (t + s) ≤ v f (t )+v f (s) ≤ v(t )+v(s),

donde

v(t + s) = supf ∈F

v f (t + s)≤ v(t )+v(s).

Logo, v satisfaz as propriedades 1-3 da Definição 3.2.3.

Para todo ε> 0, temos

T (v,ε) =T (F ,ε).

De fato, como na Proposição 3.2.52, temos vv = v , pois v satisfaz as pro-

priedades 1-3 da Definição 3.2.3. Assim, temos

τ ∈ T (v,ε) ⇐⇒ vv (τ) ≤ ε

⇐⇒ v(τ) ≤ ε

⇐⇒ ∀ f ∈F , v f (τ) ≤ ε

⇐⇒ ∀ f ∈F ,τ ∈T ( f ,ε)

⇐⇒ τ ∈ T (F ,ε).

Assim, se v ∈ A P (R), então v é também uniformemente contínua e, para

todo ε> 0, T (v,ε) =T (F ,ε) é relativamente denso e contém um intervalo em

torno de 0; logo, F é u.a.p.; reciprocamente, se F é u.a.p., T (F ,ε) = T (v,ε)


é relativamente denso e contém um intervalo em torno de 0 para todo ε> 0;

logo, v é uniformemente contínua e v ∈A P (R).

Um caso particular do Teorema 3.2.6 é o de uma família finita de funções

F .

Corolário 3.2.7. Se F é uma família finita de funções de A P (Ed ), então F é

uma família u.a.p..

Demonstração: Como F é uma família finita de funções limitadas, F é uni-

formemente limitada. Além disso, v = supf ∈Fv f é quase-periódica por ser

supremo de uma família finita de funções quase-periódicas1. Logo, o Teo-

rema 3.2.6 garante que F é uma família u.a.p..

Notemos que, em particular, se f1, f2 ∈ A P (Ed ), então T ( f1,ε)∩T ( f2,ε)

é relativamente denso para todo ε > 0, o que não é trivial: a interseção de

dois conjuntos relativamente densos quaisquer pode não ser relativamente

densa, e pode inclusive ser vazia.

A Definição 3.2.2 de família uniformemente quase-periódica se inspira da

definição de Bohr para uma função quase-periódica, utilizando por base o

conceito de conjunto ε-translação. Assim como no caso de funções quase-

periódicas, uma outra definição pode ser dada em termos de subsequências

convergentes de sequências de translações, inspirada assim na definição de

Bochner.

Teorem 3.2.8. Seja F uma família uniformemente limitada de funções quase-

periódicas. Então F é u.a.p. se e somente se, dada uma sequência real (α′n)n ,

1Basta notar que max f , g = g+max f −g ,0 e que max f ,0 = f +| f |2 e utilizar as propriedades já conhecidas

da soma e do módulo de funções quase-periódicas.


existir uma subsequência (αn)n tal que t 7→ f (t +αn) converge uniformemente

em t ∈ R e f ∈ F , isto é, dado ε > 0, existe N = N (ε) tal que, para todos t ∈ R,

f ∈F e n,m ≥ N, temos | f (t +αn)− f (t +αm)| < ε.

Demonstração: Suponhamos que F é u.a.p. e definamos v(τ)= supf ∈Fv f (τ).

Pelo Teorema 3.2.6, v ∈ A P (R). Dada uma sequência real (α′n)n , existe as-

sim uma subsequência (αn)n tal que t 7→ v(t +αn) converge uniformemente

em t ∈ R. Assim, dado ε > 0, existe N = N (ε) tal que, se n,m ≥ M , en-

tão supt∈R |v(t +αn) − v(t +αm)| < ε. Mas v(αn −αm) = supt∈R | f (t +αn −

αm)− f (t )| = supt∈R | f (t +αn) − f (t +αm)| < ε, e, assim, para todo f ∈ F ,

v f (αn −αm) < ε. Logo, | f (t +αn −αm) − f (t )| < ε para todo t ∈ R, donde

| f (t +αn)− f (t +αm)| < ε para todo t ∈ R, fornecendo assim o resultado de-

sejado.

Para a recíproca, definimos v(τ) = supf ∈Fv f (τ); pelo Teorema 3.2.6, v sat-

isfaz as propriedades 1-3 da Definição 3.2.3. Tomamos (α′n)n uma sequência

real qualquer. Seja (αn)n uma subsequência tal que t 7→ f (t +αn) converge

uniformemente em t ∈ R e f ∈ F . Seja ε > 0. Então existe N = N (ε) tal que,

para todos t ∈R e f ∈F , se n,m ≥ N , temos | f (t +αn)− f (t +αm)| < ε. Logo,

v(αn −αm) = sup f ∈Fsupt∈R | f (t +αn −αm)− f (t )| ≤ ε para n,m ≥ N , e, assim,

|v(t +αn)− v(t +αm)| ≤ v(αn −αm) ≤ ε para todo t ∈ R se n,m ≥ N . Logo,

t 7→ v(t +αn) converge uniformemente em t ∈R.

Para concluir que v ∈ A P (R), resta mostrar que v é contínua em R. Mas

vale que |v(t +δ)− v(t )| ≤ v(δ) e, assim, basta mostrar que v é contínua em

0. Suponha, para obter uma contradição, que (δ′′n)n é uma sequência tal que

δ′′n −−−→

n→∞0 mas v(δ′′

n) não tende a 0. Assim, existem η0 > 0 e uma subsequên-


cia (δ′n)n de (δ′′

n)n tais que v(δ′n) ≥ 2η0 > 0 para todo n ∈ N. Tomemos uma

subsequência (δn)n de (δ′n)n tal que t 7→ f (t +δn) converge uniformemente

em t ∈ R e f ∈ F ; como f é contínua e δn −−−→n→∞

0, este limite uniforme é

f . Logo, existe N tal que, para toda f ∈ F e todo t ∈ R e para n ≥ N , temos

| f (t +δn)− f (t )| < η0, isto é, v f (δn) < η0, donde v(δn) ≤ η0, o que contradiz

o fato de termos v(δ′n) ≥ 2η0 > 0 para todo n ∈ N. Esta contradição mostra

assim que v é contínua em 0 e, portanto, em R.

Logo, v ∈A P (R), e, pelo Teorema 3.2.6, F é u.a.p..

3.2.3 Famílias a um parâmetro em Ed

Começamos o estudo das famílias uniformemente quase-periódicas mo-

tivados pela questão de saber quando f (ϕ(t ), t ) é quase-periódica sabendo

que t 7→ f (x, t ) é quase-periódica para x fixado e ϕ é quase-periódica. Volta-

mos agora a esta questão, definindo o conceito de funções uniformemente

quase-periódicas em compactos.

Definição 3.2.9. Seja Ω⊂ Ed e seja f : Ω×R→ Ed uma função contínua. Para

x ∈Ω, notamos por fx : R→ Ed a função dada por fx(t ) = f (x, t ). Dizemos que

f é uniformemente quase-periódica em compactos de Ω, e escrevemos

f ∈UA P (Ω,Ed ),

se, para todo K ⊂Ω compacto, a família

FK = fx; x ∈K

for uniformemente quase-periódica.


O teorema a seguir fornece uma importante caracterização das funções

uniformemente quase-periódicas em compactos em termos da continuidade

da aplicação que a cada x associa fx.

Teorem 3.2.10. Suponha que f : Ω×R→ Ed seja contínua e tal que t 7→ f (x, t )

é quase-periódica para todo x ∈Ω. Então f ∈ UA P (Ω,Ed ) se e somente se a

aplicação

F :

Ω→B(Ed )

x 7→ fx,

com fx : t 7→ f (x, t ), for contínua em relação à norma uniforme de B(Ed ).

Demonstração: Suponha F contínua e seja K ⊂ Ω compacto, de forma que

F é uniformemente contínua em K . Seja ε > 0. Então existe δ = δ(ε) > 0 tal

que, se x, y ∈ K são tais que ‖x − y‖ < δ e t ∈ R, então | f (x, t )− f (y, t )| < ε3 .

Considerando a cobertura de K por bolas de raio δ, podemos tomar, pela

compacidade de K , x1, . . . , xn ∈ K tais que K ⊂⋃nj=1 B(x j ,δ). A família fx j ; j =

1, . . .n é uma família finita de funções quase-periódicas, e é portanto u.a.p.

pelo Corolário 3.2.7; assim, T =⋂nj=1 T ( fx j , ε3 ) é relativamente denso e contém

um intervalo em torno de 0. Seja τ ∈ T . Para y ∈K , escolha j tal que ‖y−x j‖<

δ, e, assim,

| f (y, t +τ)− f (y, t )| ≤

≤ | f (y, t +τ)− f (x j , t +τ)|+ | fx j (t +τ)− fx j (t )|+ | f (x j , t )− f (y, t )| < ε.

Logo, τ ∈ T ( fy ,ε) para todo y ∈ K , donde τ ∈ T (FK ,ε) com FK = fy ; y ∈ K .

Assim, T (FK ,ε) ⊃T , donde segue que T (FK ,ε) é relativamente denso e con-


tém um intervalo em torno de 0. Além disso, | f (y, t )| ≤ | fx j (t )| + ε3 ≤ M + ε

3

com M = maxi=1,...,n

supt∈R

| fxi (t )| < +∞, e, assim, FK é uniformemente limitada.

Logo, FK é uma família u.a.p. para todo K ⊂Ω compacto, donde segue que

f ∈UA P (Ω,Ed ).

Reciprocamente, suponha f ∈UA P (Ω,Ed ) e seja F como no enunciado.

Fixe K ⊂Ω compacto. Queremos mostrar que F é uniformemente contínua

sobre K . Seja ε> 0. Como FK = fx ; x ∈ K é uma família u.a.p., T = T (FK , ε3 )

é relativamente denso e, assim, existe L tal que [a, a +L]∩T 6= ; para todo

a ∈R. Notemos agora que, como f é contínua, f é uniformemente contínua

em K × [0,L], e, assim, existe δ > 0 tal que, se x, y ∈ K com ‖x − y‖ < δ e

t ∈ [0,L], temos | f (x, t )− f (y, t )| < ǫ3 . Agora, se t ∈R, existe τ ∈ [−t ,−t +L]∩T ,

de forma que t +τ ∈ [0,L] e, assim, se x, y ∈K com ‖x − y‖< δ, temos

| f (x, t )− f (y, t )| ≤

≤ | f (x, t )− f (x, t +τ)|+ | f (x, t +τ)− f (y, t +τ)|+ | f (y, t +τ)− f (y, t )| < ε

pois τ ∈ T . Como isto é válido para todo t ∈ R, se x, y ∈ K com ‖x − y‖ < δ,

temos

supt∈R

| f (x, t )− f (y, t )| ≤ ε,

e, assim, F é uniformemente contínua em K . Como isto é válido para todo

K ⊂Ω compacto, F é contínua em2Ω.

A questão da quase-periodicidade da composta t 7→ f (ϕ(t ), t ) para ϕ ∈

2Notemos que isto é válido sem nenhuma hipótese sobre Ω, isto é, Ω é um subconjunto qualquer de Ed .De fato, se x ∈Ω e (xn ) é uma sequência de pontos em Ω que tende a x, então o conjunto x, xn ;n ∈ N é umsubconjunto compacto de Ω, e vale então a continuidade de F neste conjunto; em particular, F (xn) −−−−−→

n→+∞F (x), e obtemos a continuidade de F em x para todo x ∈Ω.


A P (Ed ) e f ∈ UA P (Ω,Ed ) é respondida de forma positiva pelo teorema a

seguir.

Teorem 3.2.11. Seja ϕ ∈A P (Ed ), Ω⊂ Ed contendo um compacto que contém

a imagem de ϕ e f ∈UA P (Ω,Ed ). Então t 7→ f (ϕ(t ), t ) é quase-periódica.

Demonstração: Seja K um compacto em Ω que contém a imagem de ϕ e

tomemos F a função definida no enunciado do Teorema 3.2.10. Seja ε > 0.

Pelo Teorema 3.2.10, F é contínua e, como K ⊂Ω é compacto, F é uniforme-

mente contínua sobre K , de forma que existe δ > 0 tal que, se x, y ∈ K com

‖x − y‖≤ δ, então, para todo t ∈R, | f (x, t )− f (y, t )| < ε2 .

Seja η= minδ, ε2 > 0 e considere a família G = ϕ∪FK com FK = fx; x ∈

K . Como FK é u.a.p., G é u.a.p. pelo Teorema 3.2.6: se v(τ) = supx∈K v fx (τ),

então v ∈A P (R) pelo Teorema 3.2.6, e, pela Proposição 3.2.53, vϕ ∈A P (R),

de forma que w = supv, vϕ ∈A P (R) e, assim, G é u.a.p. pelo Teorema 3.2.6.

Assim, T (G ,η) =T (ϕ,η)∩T (FK ,η) é relativamente denso.

Seja τ ∈ T (G ,η). Então τ ∈ T (ϕ,η), donde |ϕ(t +τ)−ϕ(t )| ≤ η≤ δ para todo

t ∈R, e τ ∈ T (FK ,η) ⊂T (FK , ε2), de modo que, para todo t ∈R,

| f (ϕ(t +τ), t +τ)− f (ϕ(t ), t )| ≤

≤ | f (ϕ(t +τ), t +τ)− f (ϕ(t ), t +τ)|+ | f (ϕ(t ), t +τ)− f (ϕ(t ), t )| < ε

Assim, τ ∈ T (g ,ε), com g : t 7→ f (ϕ(t ), t ). Logo, T (G ,η) ⊂ T (g ,ε), e, como

T (G ,η) é relativamente denso, o mesmo ocorre para T (g ,ε), de forma que

g ∈A P (R).


3.3 Séries de Fourier

3.3.1 Introdução

Seja f : R → Ed uma função contínua T -periódica. Definindo λn = 2nπT

para n ∈Z, os coeficientes de Fourier de f são definidos por

an = 1

T

∫T

0f (t )e−iλn t d t , n ∈Z. (3.3.1)

Assim, podemos fazer a correspondência formal entre f e sua série de Fourier

f ∼+∞∑

n=−∞ane iλn t .

Os principais resultados referentes à teoria das séries de Fourier, apresenta-

dos, por exemplo, em [2, 10], são os seguintes:

1. A aplicação que a cada f associa os números (an ,λn) é injetora.

2. A série∑+∞

n=−∞ |an|2 converge e vale a equação de Parseval,

+∞∑

n=−∞|an|2 =

1

T

∫T

0| f (t )|2d t .

3. A função f pode ser uniformemente aproximada por somas parciais al-

teradas de sua série de Fourier (através, por exemplo, do Teorema de

Fejér); isto é, existem números bn,m independentes de f tais que, para

3.3 Séries de Fourier 65

m fixo, bn,m = 0 para n grande e, para todo t ∈R,

∣∣∣∣ f (t )−

+∞∑

n=−∞bn,mane iλn t

∣∣∣∣<

1

m.

Desejamos estender estes resultados a funções f ∈A P (Ed ). Uma vez que

as funções T -periódicas estão contidas em A P (Ed ) para todo T > 0, não há

motivo para se fixar um valor particular de T na definição de λn e em (3.3.1).

Assim, a ideia para a generalização da definição dos coeficientes de Fourier

consiste em considerar λ ∈R qualquer e tomar o limite quando T →+∞ em

(3.3.1).

3.3.2 Transformada de Bohr

No que segue, a teoria de Séries de Fourier será desenvolvida para funções

de UA P (Ω,Ed ) com Ω ⊂ Ed . O caso de funções de A P (Ed ) é obtido assim

como caso particular tomando Ω reduzido a um único ponto. Em primeiro

lugar, desejamos definir o análogo dos coeficientes de Fourier, a transfor-

mada de Bohr, e mostrar algumas de suas propriedades.

Definição 3.3.1. Sejam f ∈ UA P (Ω,Ed ) e λ ∈ R. A transformada de Bohr

a( f ) de f é a aplicação a( f ) : Ω×R→ Ed definida por

a( f )(x,λ) = a( f , x,λ)= limT→+∞

1

T

∫T

0f (x, t )e−iλt d t . (3.3.2)

Notemos que, pela definição, a transformada de Bohr a( f ) é linear em f .

A primeira questão à qual nos interessamos é a existência da transformada


de Bohr e sua regularidade em x, que é enunciada no teorema a seguir3.

Teorem 3.3.2. Se f ∈ UA P (Ω,Ed ), então a( f ) existe. Além disso, para λ ∈ R

fixado, o limite em (3.3.2) é uniforme em x sobre todo compacto K ⊂Ω, e, por

conseguinte, x 7→ a( f , x,λ) é contínua em Ω.

Demonstração: Basta mostrar o resultado para λ = 0, o caso geral podendo

ser obtido por multiplicação por e−iλt . De fato, suponha que a( f )(x,0) exista

para todo f ∈UA P (Ω,Ed ) e todo x ∈Ω e que, para f ∈UA P (Ω,Ed ) fixada,

o limite em (3.3.2) com λ= 0 seja uniforme em x sobre todo compacto K ⊂Ω.

Tome f ∈UA P (Ω,Ed ) e λ ∈R e considere g (x, t ) = f (x, t )e−iλt . Temos então

g ∈UA P (Ω,Ed ), de forma que, por hipótese,

limT→+∞

∫T

0g (x, t )d t

existe e é uniforme em x sobre todo compacto K ⊂Ω, isto é,

limT→+∞

∫T

0f (x, t )e−iλt d t

existe e é uniforme em x sobre todo compacto K ⊂Ω. Assim, a( f , x,λ) existe

e o limite em (3.3.2) é uniforme em x sobre todo compacto K ⊂Ω.

Mostraremos então o teorema para λ = 0. Seja K ⊂ Ω compacto. Como

FK = fx ; x ∈ K é u.a.p., existe M > 0 tal que | f (x, t )| ≤ M para todo x ∈ K ,

t ∈ R. Seja ε> 0. Como FK é u.a.p., T (FK , ε8) é relativamente denso e, assim,

existe L = L(ε) > 0 tal que [a, a +L]∩T (FK , ε8) 6= ; para todo a ∈ R. Seja S =

3Interessamo-nos apenas à regularidade de a( f ) enquanto função de x, a λ fixado. Isto se deve ao fato dea( f ) não ser regular em λ, como será visto a seguir: x 7→ a( f )(x,λ) não é a função identicamente nula apenaspara uma quantidade enumerável de λ ∈R.


S(ε) > 16ML(ε)ε

. Então, para n ∈N∗,

1

nS

∫nS

0f (x, t )d t =

n−1∑

k=0

1

nS

∫(k+1)S

kSf (x, t )d t . (3.3.3)

Para cada k = 0, . . . ,n−1, existe τk ∈ [kS,kS+L]∩T (FK , ε8 ), e, assim, podemos

estimar∣∣∣∣

∫S

0

[

f (x, t +τk)− f (x, t )]

d t

∣∣∣∣≤

Sε

8,

∣∣∣∣

∫0

kS−τk

f (x, t +τk)d t

∣∣∣∣≤ ML,

∣∣∣∣

∫(k+1)S−τk

Sf (x, t +τk)d t

∣∣∣∣≤ ML.

A identidade

∫(k+1)S

kSf (x, t )d t −

∫S

0f (x, t )d t =

∫(k+1)S−τk

kS−τk

f (x, t +τk)d t −∫S

0f (x, t )d t =

=∫S

0

[

f (x, t +τk)− f (x, t )]

d t+∫0

kS−τk

f (x, t+τk)d t+∫(k+1)S−τk

Sf (x, t+τk)d t

permite assim estimar

∣∣∣∣

∫(k+1)S

kSf (x, t )d t −

∫S

0f (x, t )d t

∣∣∣∣≤

Sε

8+2ML,

e, por (3.3.3), obtemos assim, para todo n ∈N∗,

∣∣∣∣

1

nS

∫nS

0f (x, t )d t − 1

S

∫S

0f (x, t )d t

∣∣∣∣≤

ε

8+ 2ML

S< ε

4. (3.3.4)

Seja T0 = T0(ε) = max

S(ε), 8MS(ε)ε

. Para todo T > T0, existe um único in-


teiro nT ∈N∗ tal que nT S ≤T < (nT +1)S. Temos assim

∣∣∣∣

1

T

∫T

0f (x, t )d t − 1

nT S

∫nT S

0f (x, t )d t

∣∣∣∣=

1

T

∣∣∣∣

∫T

0f (x, t )d t −

∫nT S

0

T f (x, t )

nT Sd t

∣∣∣∣=

= 1

T

∣∣∣∣

nT S −T

nT S

∫nT S

0f (x, t )d t +

∫T

nT Sf (x, t )d t

∣∣∣∣≤

≤ M

T[|nT S −T |+ |T −nT S|] ≤

≤ 2MS

T< ε

4.

(3.3.5)

Como n ∈N∗ em (3.3.4) é qualquer, podemos combinar (3.3.4) e (3.3.5), ob-

tendo, para T >T0 e todo x ∈ K ,

∣∣∣∣

1

T

∫T

0f (x, t )d t − 1

S

∫S

0f (x, t )d t

∣∣∣∣<

ε

2.

Assim, para T1,T2 > T0 e todo x ∈ K , obtemos

∣∣∣∣

1

T1

∫T1

0f (x, t )d t − 1

T2

∫T2

0f (x, t )d t

∣∣∣∣< ε, (3.3.6)

e, assim, obtemos a existência de

limT→+∞

1

T

∫T

0f (x, t )d t = a( f , x,0)

uniformemente em relação a x ∈ K . A continuidade de x 7→ limT→+∞1T

∫T0 f (x, t )d t

garante assim que x 7→ a( f , x,0) é contínua em x para x ∈ K . Como K ⊂Ω é

um subconjunto compacto qualquer de Ω, isto conclui a demonstração do

teorema no caso λ= 0, e o caso geral segue como observado anteriormente.

Observação 3.3.3. Seja f : R→ Ed uma função T0-periódica. Mostremos que


o limite

limT→+∞

1

T

∫T

0f (t )d t

existe. Notamos M = supt∈R∣∣ f (t )

∣∣ < +∞. Notemos, inicialmente, que, para

todo n ∈N∗, temos, pela T0-periodicidade de f , que

1

nT0

∫nT0

0f (t )d t = 1

nT0

n−1∑

k=0

∫(k+1)T0

kT0

f (t )d t = 1

nT0

n−1∑

k=0

∫T0

0f (t )d t = 1

T0

∫T0

0f (t )d t .

(3.3.7)

Agora, se T >T0, existe um único inteiro nT ∈N∗ tal que nT T0 ≤T < (nT +1)T0,

e

∣∣∣∣

1

T

∫T

0f (t )d t − 1

nT T0

∫nT T0

0f (t )d t

∣∣∣∣=

1

T

∣∣∣∣

∫T

0f (t )d t −

∫nT T0

0

T f (t )

nT T0d t

∣∣∣∣=

= 1

T

∣∣∣∣

nT T0 −T

nT T0

∫nT T0

0f (t )d t +

∫T

nT T0

f (t )d t

∣∣∣∣≤

≤ M

T[|nT T0 −T |+ |T −nT T0|] ≤

2MT0

T.

(3.3.8)

Combinando (3.3.7) e (3.3.8), obtemos assim

∣∣∣∣

1

T

∫T

0f (t )d t − 1

T0

∫T0

0f (t )d t

∣∣∣∣≤

2MT0

T−−−−→T→+∞

0, (3.3.9)

donde

limT→+∞

1

T

∫T

0f (t )d t = 1

T0

∫T0

0f (t )d t . (3.3.10)

Estes cálculos justificam a estratégia de demonstração do Teorema 3.3.2.

No caso quase-periódico, a igualdade (3.3.7) não é válida, mas, substituindo

T0 por um número suficientemente grande S, a quase-periodicidade de f per-

mite esperar que 1nS

∫nS0 f (t )d t e 1

S

∫S0 f (t )d t estejam suficientemente próxi-

mas; na demonstração do Teorema 3.3.2, isto foi obtido em (3.3.4). A pas-


sagem seguinte, (3.3.8), pode ser repetida sem modificações no caso quase-

periódico, que é o que foi feito em (3.3.5). Porém, não é possível concluir como

em (3.3.9), pois T0 foi substituído por S, que não é mais uma constante mas

depende da aproximação entre 1nS

∫nS0 f (t )d t e 1

S

∫S0 f (t )d t , traduzida por um

certo parâmetro ε. Logo, em vez de concluir diretamente como em (3.3.9), é

necessário aproximar 1T

∫T0 f (t )d t para dois valores de T grandes o suficiente,

obtendo assim a existência do limite por um argumento de completude do

espaço Ed , como foi feito em (3.3.6). Logo, a ideia da demonstração no caso

quase-periódico é a mesma que no caso periódico, sendo necessário apenas

adaptar os argumentos que não são mais válidos.

Como corolário de (3.3.10), obtemos que, se f é T0-periódica, então a sua

transformada de Bohr em 0, a( f ,0), é o valor médio de f .

O Teorema 3.3.2 garante a existência da transformada de Bohr para toda

função quase-periódica f ∈UA P (Ω,Ed ). Dizemos que

∑

λ∈Ra( f , x,λ)e iλt (3.3.11)

é a série de Fourier da função quase-periódica f , e fazemos a identificação

formal entre f e sua série de Fourier,

f (x, t )∼∑

λ∈Ra( f , x,λ)e iλt . (3.3.12)

Note que a expressão em (3.3.11) é puramente formal, sendo apenas uma

notação diferente para o resultado da transformação de Bohr aplicada a uma

dada função f . A justificativa para a escolha desta notação virá com os próx-


imos resultados sobre a série de Fourier.

No caso de uma função f T -periódica, as integrais

∫T

0f (t )d t e

∫a+T

af (t )d t

possuem o mesmo valor para todo a ∈ R. É conveniente obter um resultado

análogo para a expressão da transformada de Bohr (3.3.2).

Corolário 3.3.4. Se f ∈UA P (Ω,Ed ), então

a( f , x,λ)= limT→+∞

1

T

∫a+T

af (x, t )e−iλt d t , (3.3.13)

e o limite é uniforme em (x, a) sobre todo compacto de Ω×R.

Demonstração: Como no Teorema 3.3.2, basta demonstrar o resultado para

λ= 0 e o caso geral pode ser obtido notando que a( f , x,λ)= a( f e−iλt , x,0).

Fixe K ⊂Ω compacto. Para x ∈ K , a ∈ R, notemos fx,a : R→ Ed a aplicação

dada por fx,a(t ) = f (x, t + a). Como f ∈ UA P (Ω,Ed ), a família fx,0; x ∈ K

é u.a.p., o que quer dizer, pelo Teorema 3.2.6, que v0 definida por v0(τ) =

supx∈K v fx,0(τ) pertence a AP (R). Porém, pela definição de função de translação,

é trivial que v fx,a = v fx,0 para todo a ∈R, e, assim, v0(τ) = supx∈K ,a∈R v fx,a (τ), de

forma que, pelo Teorema 3.2.6, a família F = fx,a ; x ∈ K , a ∈R é u.a.p..

Com este fato, toda a demonstração do Teorema 3.3.2 continua válida se

substituirmos f por fa dada por fa(x, t ) = f (x, t + a), e todos os resultados

obtidos são uniformes em relação a a ∈ R pois M , L e ε podem ser escolhi-

das independentes de a, do fato que F é u.a.p.. A conclusão do Teorema é,


portanto, que

limT→+∞

1

T

∫T

0f (x, t +a)d t

existe e é uniforme em (x, a)∈ K ×R; isto é, por uma mudança de variáveis,

limT→+∞

1

T

∫a+T

af (x, t )d t

existe e é uniforme em (x, a)∈ K ×R.

Já sabendo que o limite em (3.3.13) existe e é uniforme em (x, a) ∈ K ×R,

fixamos (x, a) ∈ K ×R. Temos que

1

T

∫a+T

af (x, t )d t − 1

T

∫T

0f (x, t )d t = 1

T

[∫a+T

Tf (x, t )d t −

∫a

0f (x, t )d t

]

,

donde∣∣∣∣

1

T

∫a+T

af (x, t )d t − 1

T

∫T

0f (x, t )d t

∣∣∣∣≤

2aM

T−−−−→T→+∞

0;

assim, para (x, a)∈ K ×R fixado,

limT→+∞

1

T

∫a+T

af (x, t )d t = lim

T→+∞

1

T

∫T

0f (x, t )d t = a( f , x,λ),

o que conclui a demonstração.

Coletamos agora outras propriedades da transformada de Bohr.

Corolário 3.3.5. Sejam f ∈UA P (Ω,Ed ) eα ∈R, e notemos por fα ∈UA P (Ω,Ed )

a função definida por fα(x, t ) = f (x, t +α). Então a( fα, x,λ) = e iλαa( f , x,λ)

para todo (x,λ) ∈Ω×R.


Demonstração: O resultado é mostrado calculando

a( fα, x,λ) = limT→+∞

1

T

∫T

0f (x, t +α)e−iλt d t =

= limT→+∞

1

T

∫α+T

αf (x, t )e−iλ(t−α)d t =

= e iλα limT→+∞

1

T

∫α+T

α

f (x, t )e−iλt d t = e iλαa( f , x,λ).

Por analogia ao caso periódico, dada f ∈UA P (Ω,Ed ), chamamos a( f , x,0)

de valor médio de f (no ponto x ∈Ω) e denotamo-lo por Mt ( f ); quando f for

uma função unicamente de t , escrevemos simplesmente M ( f ). Notamos que

M (e iλt ) =

0 seλ 6= 0,

1 seλ= 0;

(3.3.14)

de fato, se λ 6= 0,

M (e iλt ) = limT→+∞

1

T

∫T

0e iλt d t = lim

T→+∞

e iλT −1

iλT= 0,

e

M (1) = limT→+∞

1

T

∫T

0d t = 1.

Proposição 3.3.6. Seja f : R→ Ed dada por

f (t ) =+∞∑

n=0ane iλn t

em que a série converge absoluta e uniformemente sobre R e λn 6=λm se n 6= m.


Então f ∈A P (Ed ) e

a( f ,λ)=

an seλ=λn,

0 senão.

Demonstração: É claro que, para todo N ∈N,∑N

n=0 ane iλn t é quase-periódica

enquanto soma finita de funções periódicas, e, assim, a convergência uni-

forme desta série garante que f ∈A P (Ed ). Temos

a( f ,λ)= limT→+∞

1

T

∫T

0

(+∞∑

n=0ane iλn t

)

e−iλt d t =

= limT→+∞

+∞∑

n=0an

1

T

∫T

0e i (λn−λ)t d t =

=+∞∑

n=0an lim

T→+∞

1

T

∫T

0e i (λn−λ)t d t =

an seλ=λn ,

0 senão,

em que a troca da ordem dos símbolos limT→+∞ e∑+∞

n=0 é possível devido à

convergência uniforme em T da série∑+∞

n=0 an1T

∫T0 e i (λn−λ)t d t , uma vez que

∣∣∣an

1T

∫T0 e i (λn−λ)t d t

∣∣∣≤ |an|.

A transformada de Bohr também exibe regularidade em f , dada pelo seguinte

resultado.

Proposição 3.3.7. Sejam f , g ∈UA P (Ω,Ed ) e fixe λ ∈R, x ∈Ω. Então

∣∣a( f , x,λ)−a(g , x,λ)

∣∣≤ sup

t∈R

∣∣ f (x, t )− g (x, t )

∣∣ .


Demonstração: De fato,

∣∣a( f , x,λ)−a(g , x,λ)

∣∣≤ lim sup

T→+∞

1

T

∫T

0

∣∣ f (x, t )− g (x, t )

∣∣d t ≤

≤ supt∈R

∣∣ f (x, t )− g (x, t )

∣∣ .

Como consequência disto, se fn é uma sequência em UA P (Ω,Ed ) que

converge uniformemente para f em K ×R para todo compacto K ⊂Ω, então

a( fn, x,λ) → a( f , x,λ) uniformemente em K para cada λ ∈ R. Isto é, ocorre a

convergência formal da série de Fourier de fn à série de Fourier de f .

Teorem 3.3.8. Seja f ∈ A P (R) não-identicamente nula com f (t ) ≥ 0 para

todo t ∈R. Então M ( f ) > 0.

Demonstração: Seja t0 ∈ R tal que f (t0) > 0 e note M = f (t0). Escolha δ > 0

tal que f (t ) ≥ 2M3 em (t0 −δ, t0 +δ). Como o conjunto translação T ( f , M

3 ) é

relativamente denso em R, tomamos L > 2δ tal que [a, a +L]∩T ( f , M3 ) 6= ;

para todo a ∈R.

Para a ∈ R, queremos encontrar um minorante uniforme em a e L para∫a+L

a f (t )d t . Seja τ ∈ [a−t0, a−t0+L]∩T ( f , M3 ), de forma que t0+τ ∈ [a, a+L].

Se t ∈ (t0 +τ−δ, t0+τ+δ), então t −τ ∈ (t0 −δ, t0+δ), de forma que

f (t ) ≥ f (t −τ)−∣∣ f (t −τ)− f (t )

∣∣≥ 2M

3− M

3= M

3.

Mas (t0+τ−δ, t0+τ+δ)∩ [a, a +L] é um intervalo de comprimento superior


a δ, pois L > 2δ e t0 +τ ∈ [a, a +L]; logo,

∫a+L

af (t )d t ≥ M

3δ.

Tomamos, em particular, a = (n−1)L para n inteiro, obtendo assim∫nL

(n−1)L f (t )d t ≥M3 δ e, portanto,

1

NL

∫N L

0f (t )d t = 1

NL

N∑

n=1

∫nL

(n−1)Lf (t )d t ≥ Mδ

3L.

Fazendo N →+∞, obtemos finalmente que M ( f ) ≥ Mδ3L > 0.

3.3.3 Convergência em média

Em analogia com a teoria de convergência L1, podemos analisar a con-

vergência de sequências de funções uniformemente quase-periódicas na mé-

dia M .

Definição 3.3.9. Seja ( fn) uma sequência de funções de UA P (Ω,Ed ). Dize-

mos que ( fn) converge em média se

Mt (∣∣ fn − fm

∣∣2

) −−−−−−→n,m→+∞

0

uniformemente sobre todo compacto K ⊂Ω.

Notemos que a convergência uniforme de ( fn) sobre K ×R para todo K ⊂Ω

compacto implica a convergência em média devido à Proposição 3.3.7; de

fato, temos

Mt (∣∣ fn − fm

∣∣2

) ≤ supt∈R

∣∣ fn(x, t )− fm(x, t )

∣∣2

.


A recíproca não é válida em geral, mas passa a ser válida se exigirmos uni-

formidade na sequência ( fn).

Teorem 3.3.10. Seja ( fn) uma sequência de funções de UAP (Ω,Ed ) e suponha

que a família FK = t 7→ fn(x, t ); x ∈ K ,n ∈ N é u.a.p. para todo K ⊂Ω com-

pacto. Então ( fn) converge em média se e somente se convergir uniformemente

sobre K ×R para todo K ⊂Ω compacto.

Demonstração: Já sabemos que a convergência uniforme implica a con-

vergência em média. Suponhamos então que ( fn) não converge uniforme-

mente sobre K ×R para todo K ⊂Ω compacto e mostremos que isto viola a

convergência em média.

Seja K ⊂Ω compacto tal que ( fn) não converge uniformemente sobre K ×

R. Então existe ε > 0 tal que, para todo N ∈ N, existem n,m ≥ N e (x0, t0) ∈

K ×R tais que∣∣ fn(x0, t0)− fm(x0, t0)

∣∣> ε.

O conjunto translação T (FK , ε20 ) contém uma vizinhança da origem e, assim,

tomamos δ > 0 tal que (−δ,δ) ⊂ T (FK , ε20 ). Se t ∈ (t0 −δ, t0 +δ) temos então

que

∣∣ fn(x0, t )− fm(x0, t )

∣∣≥

≥∣∣ fn(x0, t0)− fm(x0, t0)

∣∣−

[∣∣ fn(x0, t0)− fn(x0, t )

∣∣+

∣∣ fm(x0, t )− fm(x0, t0)

∣∣]

>

> ε−[ ε

20+ ε

20

]

= 9ε

10>

√

2

3ε.

Seja g : R → R+ definida por g (t ) =∣∣ fn(x0, t )− fm(x0, t )

∣∣2

. Então g (t0) > ε2 e

g (t ) > 2ε2

3 para t ∈ (t0 −δ, t0 +δ). Esta é exatamente a mesma situação encon-


trada na demonstração do Teorema 3.3.8. Assim, exatamente como naquele

teorema, é possível tomar L > 2δ tal que

1

JL

∫JL

0g (t )d t ≥ δε2

3L

para todo J ∈N e, fazendo J →+∞, obtemos então que

Mt (∣∣ fn(x0, t )− fm(x0, t )

∣∣2

) ≥ δε2

3L.

Para resumir, notando ρ = δε2

3L > 0, obtivemos ρ > 0 tal que, para todo N ∈

N, existem n,m ≥ N e x0 ∈ K tais que

Mt (∣∣ fn(x0, t )− fm(x0, t )

∣∣2

) ≥ ρ.

Isto mostra então que ( fn) não converge em média, como desejado.

3.3.4 Desigualdade de Bessel

Nosso objetivo é obter as propriedades 1, 2 e 3 da série de Fourier de

funções periódicas também para o caso das funções quase-periódicas. Começare-

mos por 2, a equação de Parseval. O termo 1T

∫T0

∣∣ f (t )

∣∣2

d t corresponde ao

valor médio de∣∣ f

∣∣2

; seu análogo o caso quase-periódico é então a(∣∣f

∣∣2

, x,0)=

Mt (∣∣ f

∣∣2

). Como primeiro passo para a obtenção de 2, temos o teorema abaixo.

Teorem 3.3.11. Seja f ∈UA P (Ω,Ed ). Para todo x ∈Ω e todo conjunto finito

λ1, . . . ,λN de números reais distintos, temos

N∑

n=1

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2 ≤ Mt (

∣∣ f

∣∣2

).


Demonstração: Primeiramente, notamos que, para toda função quase-periódica

g :R→ Ed , g = (g1, . . . , gd ) com g j : R→ E quase-periódica, temos que∣∣g (t )

∣∣2 =

⟨

g (t ), g (t )⟩

= ∑dj=1 g j (t )g j (t ), e, assim,

∣∣g

∣∣2

também é quase-periódica; logo,

M (∣∣g

∣∣2

) está bem definido. Isto é em particular o caso para Mt (∣∣ f

∣∣2

), e, como∑N

n=1 a( f , x,λn)e iλn t é quase-periódica enquanto soma de funções periódi-

cas, usando a linearidade de Mt e (3.3.14), temos

0 ≤ Mt

(∣∣∣∣∣f (x, t )−

N∑

n=1a( f , x,λn)e iλn t

∣∣∣∣∣

2)

=

= Mt

(⟨

f (x, t )−N∑

n=1a( f , x,λn)e iλn t , f (x, t )−

N∑


⟩)

=

= Mt (∣∣ f

∣∣2

)−2ReN∑

n=1Mt

(⟨

f (x, t ), a( f , x,λn)e iλn t⟩)+

+N∑

n=1

N∑

m=1Mt

(⟨

a( f , x,λn)e iλn t , a( f , x,λm)e iλm t⟩)=

= Mt (∣∣ f

∣∣2

)−2ReN∑

n=1

⟨

Mt

(

f (x, t )e−iλn t) , a( f , x,λn)⟩

+

+N∑

n=1

N∑

m=1

⟨

a( f , x,λn)M(

e i (λn−λm)t) , a( f , x,λm)⟩

=

= Mt (∣∣ f

∣∣2

)−2N∑

n=1

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2 +

N∑

n=1

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2 =

= Mt (∣∣ f

∣∣2

)−N∑

n=1

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2

,

o que mostra o resultado desejado.

Notemos que, se f ∈A P (Ed ),

Λn =

λ ∈R :∣∣a( f ,λ)

∣∣2 ≥ 1

n

é um conjunto finito de números reais; de fato, se não o fosse, então, para


N > nMt (∣∣ f

∣∣2

) inteiro, poderíamos tomar N valores distintos λ1, . . . ,λN em

Λn, e teríamosN∑

n=1

∣∣a( f ,λn)

∣∣2 ≥

N∑

n=1

1

n= N

n> Mt (

∣∣ f

∣∣2

),

o que contradiz o Teorema 3.3.11. Logo,

Λ( f ) =

λ ∈R : a( f ,λ) 6= 0

=+∞⋃

n=1Λn

é um conjunto enumerável. Isto mostra então o seguinte corolário.

Corolário 3.3.12. Seja f ∈ A P (Ed ). Então existe um conjunto enumerável

Λ( f ) ⊂R tal que a( f ,λ)= 0 se λ ∉Λ( f ).

Para f ∈ UA P (Ω,Ed ), este raciocínio pode ser feito para cada x ∈ Ω fix-

ado, obtendo assim um conjunto enumerávelΛx( f ) como no Corolário 3.3.12,

mas os conjuntos Λx( f ) podem a princípio ser diferentes para valores difer-

entes de x. É desejável, entretanto, obter também que

ΛK ( f ) =

λ ∈R : x 7→ a( f , x,λ) não é a função nula sobre K

seja um conjunto enumerável para todo K ⊂ Ω compacto, e isto é possível

graças ao fato de f ser uniformemente quase-periódica. Uma forma de mostrar

este fato é considerar a função

F :

R→C (K ,Ed )

t 7→ f t ,(3.3.15)

com f t definida por f t (x) = f (x, t ), a valores no espaço de Banach C (K ,Ed )

das funções contínuas de K a valores em Ed munido da norma uniforme,


∥∥g

∥∥= supx∈K

∣∣g (x)

∣∣. Esta análise necessita do uso da teoria das funções quase-

periódicas a valores em espaços de Banach, que escapa do escopo deste texto,

e está feita em [9]. Vale lembrar, entretanto, que a maioria dos resultados uti-

lizados aqui se generaliza naturalmente, com demonstrações similares, ao

contexto dos espaços de Banach, substituindo os conjuntos limitados en-

volvidos por conjuntos pré-compactos. O Corolário 3.3.12 pode igualmente

ser generalizado a este contexto, mas sua demonstração necessita de uma

análise bem mais fina que a realizada aqui, e contentamo-nos de fornecer

seu enunciado no caso geral, correspondente ao Teorema 6.13 de [9].

Teorem 3.3.13 ([9], Teorema 6.13). Seja f uma função quase-periódica a val-

ores em um espaço de Banach X . Então a sua transformada de Bohr a( f ,λ) é

não-nula apenas em um conjunto enumerável de valores λ.

Notemos que a função F definida em (3.3.15) tem imagem pré-compacta

devido ao Teorema de Arzelà-Ascoli, pois as funções t 7→ f (x, t ) são uniforme-

mente equicontínuas e uniformemente limitadas sobre R para x ∈ K , devido

ao fato de f ser uniformemente quase-periódica. Aplicando o Teorema 3.3.13

a F , obtemos o seguinte resultado.

Corolário 3.3.14. Sejam f ∈ UA P (Ω,Ed ) e K ⊂ Ω compacto. Então existe

um conjunto enumerável ΛK ( f ) ⊂ R tal que a( f , x,λ) = 0 para todo x ∈ K se

λ ∉ΛK ( f ).

Notemos que, se Ω for σ-compacto, i.e., Ω pode ser escrito como uma re-

união enumerável de compactosΩ=⋃∞n=1 Kn , então é possível obter um con-

junto enumerável ΛΩ( f ) tal que a( f , x,λ) = 0 para todo x ∈ Ω se λ ∉ ΛΩ( f ),


bastando para isso tomar

ΛΩ( f ) =∞⋃

n=1ΛKn ( f ).

Em todo o restante desta seção, suporemos que Ω é σ-compacto.

Definição 3.3.15. Seja f ∈UA P (Ω,Ed ) com Ω σ-compacto. Os elementos do

conjunto enumerável

Λ( f ) =

λ ∈R : x 7→ a( f , x,λ) não é a função nula sobre Ω

são chamados de expoentes de f , eΛ( f ) é chamado de conjunto dos expoentes

de f .

Observamos que os expoentes de f e os expoentes de fα dada por fα(x, t ) =

f (x, t +α) são os mesmos, devido ao Corolário 3.3.5; isto é, Λ( f ) =Λ( fα).

Como Λ( f ) é enumerável, podemos fixar uma enumeração neste con-

junto por N, e, assim, escrevemos Λ( f ) = λn ;n ∈ N. Neste caso, a identi-

ficação formal (3.3.12) é escrita como

f (x, t ) ∼+∞∑

n=0a( f , x,λn)e iλn t .

Como antes, esta identificação é puramente formal e a notação

+∞∑


não implica nenhum tipo de convergência. Porém, como consequência ime-

diata do Teorema 3.3.11, temos a convergência dada no seguinte teorema.


Teorem 3.3.16 (Desigualdade de Bessel). Seja f ∈ UA P (Ω,Ed ) com Ω σ-

compacto e Λ( f ) = λn ;n ∈N. Então, para todo x ∈Ω,

+∞∑

n=0

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2

(3.3.16)

converge e+∞∑

n=0

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2 ≤ Mt (

∣∣ f

∣∣2

). (3.3.17)

Neste ponto, não temos nenhum resultado quanto à regularidade da con-

vergência de (3.3.16); entretanto, no Teorema 3.3.17 logo abaixo, será mostrado

que esta converge uniformemente sobre todo compacto K ⊂Ω.

3.3.5 Equação de Parseval

A propriedade 2 fornece a equação de Parseval para funções periódicas, e

desejamos generalizá-la ao caso de funções quase-periódicas. Mais precisa-

mente, desejamos mostrar o seguinte resultado.

Teorem 3.3.17 (Equação de Parseval). Seja f ∈UA P (Ω,Ed ) comΩσ-compacto

e note Λ( f ) = λn ;n ∈N o conjunto dos expoentes de f . Então

+∞∑

n=0

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2

(3.3.18)

converge uniformemente sobre todo compacto K ⊂Ω e

+∞∑

n=0

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2 = Mt (

∣∣ f

∣∣2

). (3.3.19)

O resto desta seção será consagrado à demonstração deste teorema. Note-

mos que é suficiente mostrá-lo para funções f ∈UA P (Ω,Ed ) com a( f , x,0)=


0. De fato, supondo o teorema mostrado para este caso, se f ∈UA P (Ω,Ed ),

notamos g (x, t ) = f (x, t )−a( f , x,0); temos então g ∈UA P (Ω,Ed ) e, por lin-

earidade da transformada de Bohr,

a(g , x,λ) = a( f , x,λ)−a( f , x,0)a(1, x,λ)=

a( f , x,λ) se λ 6= 0,

0 se λ= 0,

pois a(1, x,λ) = a(e−iλt , x,0) = M (e−iλt ), que foi calculado em (3.3.14). Em

particular, Λ(g ) =Λ( f ) \ 0 e a(g , x,0) = 0. Assim,

+∞∑

n=0

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2 =

+∞∑

n=0λn 6=0

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2 +

∣∣a( f , x,0)

∣∣2 =

+∞∑

n=0

∣∣a(g , x,λn)

∣∣2 +

∣∣a( f , x,0)

∣∣2 =

= Mt (∣∣g

∣∣2

)+∣∣a( f , x,0)

∣∣2 = Mt (

∣∣ f −a( f , x,0)

∣∣2

)+∣∣a( f , x,0)

∣∣2 =

= Mt (∣∣ f

∣∣2

)−2Re Mt

(⟨

f , a( f , x,0)⟩)

+2∣∣a( f , x,0)

∣∣2 = Mt (

∣∣ f

∣∣2

)

pois Mt

(⟨

f , a( f , x,0)⟩)

=⟨

Mt ( f ), a( f , x,0)⟩

=∣∣a( f , x,0)

∣∣2

. Logo, o Teorema

3.3.17 mostrado no caso a( f , x,0)= 0 implica o Teorema 3.3.17 no caso geral.

Uma segunda simplificação possível de se fazer na demonstração do Teo-

rema 3.3.17 é notar que, mostrando a equação (3.3.19), a convergência uni-

forme de (3.3.18) será uma consequência. De fato, já vimos no Teorema

3.3.16 que (3.3.18) converge ponto a ponto. Notemos que o Teorema 3.3.2

garante a continuidade de x 7→ ∑Nn=0

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2

para todo N ∈ N, e esta

soma é claramente monótona em N ; logo, para garantir a convergência uni-

forme sobre todo compacto K ⊂ Ω (utilizando o Teorema de Dini; ver [30],

Teorema 7.13), basta garantir a continuidade de x 7→ ∑+∞n=0

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2

. As-

sim, se mostrarmos (3.3.19), teremos esta continuidade devido à continuidade


de x 7→ Mt (∣∣ f

∣∣2

) = a(∣∣ f

∣∣2

, x,0), e seguirá então a convergência uniforme de

(3.3.18). Devido a esta simplificação, consideramos a partir de agora apenas

funções f ∈A P (Ed ).

O Teorema 3.3.16 já fornece a desigualdade (3.3.17), e, assim, para mostrar

(3.3.19), basta mostrar que, para todo ε> 0, existe N ∈N tal que

N∑

n=0

∣∣a( f ,λn)

∣∣2 ≥ M (

∣∣ f

∣∣2

)−ε. (3.3.20)

Para demonstrar o Teorema 3.3.17, utilizamos a equação de Parseval para

a transformada de Fourier. Lembramos que4, se f ∈ L2(R,Ed ), é possível definir

sua transformada de Fourier F ∈ L2(R,Ed ), que, quando f ∈ L1(R,Ed )∩L2(R,Ed ),

é dada pela expressão

F (λ)=∫+∞

−∞f (t )e−iλt d t ,

e f e F satisfazem a equação de Parseval,

∫+∞

−∞

∣∣ f (t )

∣∣2

d t = 1

2π

∫+∞

−∞|F (λ)|2 dλ. (3.3.21)

Já vimos que basta mostrar o Teorema 3.3.17 no caso f ∈ A P (Ed ) com

a( f ,0) = 0. Se f ∈ A P (Ed ), não vale que f ∈ L2(R,Ed ) exceto se f é a função

nula, pois uma função de L2(R,Ed ) tende a zero no infinito. Porém, para T > 0

dado, podemos definir fT por fT (t ) = f (t ) se t ∈ [0,T ], fT (t ) = 0 senão, e assim

fT ∈ L2(R,Ed ). A sua transformada de Fourier é

FT (λ) =∫+∞

−∞fT (t )e−iλt d t =

∫T

0f (t )e−iλt d t ,

4Para mais detalhes, ver por exemplo o Capítulo IV de [7].


e definimos a função aT por aT (λ) = 1T FT (λ). Pela equação de Parseval (3.3.21),

obtemos que

1

T

∫T

0

∣∣ f (t )

∣∣2

d t = 1

T

∫+∞

−∞

∣∣ fT (t )

∣∣2

d t = 1

2πT

∫+∞

−∞|FT (λ)|2 dλ= T

2π

∫+∞

−∞|aT (λ)|2 dλ,

e, assim,

M (∣∣ f

∣∣2

) = limT→+∞

T

2π

∫+∞

−∞|aT (λ)|2 dλ.

Já sabemos que, para mostrar o Teorema 3.3.17, basta mostrar (3.3.20), e, as-

sim, basta mostrar que, dado ε> 0, existem N ∈N e T0 > 0 tais que, se T >T0,

T

2π

∫+∞

−∞|aT (λ)|2 dλ<

N∑

n=0

∣∣a( f ,λn)

∣∣2 +ε. (3.3.22)

Assim, todo o trabalho da demonstração do Teorema 3.3.17 consiste em mostrar

(3.3.22), o que é feito por uma sequencia de lemas.

Lema 3.3.18. Para todos µ0 ∈R e ε> 0, existem números δ> 0 e T0 > 0 tais que

T

2π

∫µ0+δ

µ0−δ|aT (λ)|2 dλ<

∣∣a( f ,µ0)

∣∣2 +ε

para T > T0.

Demonstração: Substituindo f por f (t )e−iµ0t , a função aT é substituída por

1

T

∫T

0f (t )e−iµ0t e−iλt d t = aT (λ+µ0);

logo, se tivermos o resultado do lema válido para µ0 = 0, seguirá que, para


T > T0,

T

2π

∫µ0+δ

µ0−δ|aT (λ)|2 dλ= T

2π

∫δ

−δ

∣∣aT (λ+µ0)

∣∣2

dλ<

<∣∣a( f (t )e−iµ0t ,0)

∣∣

2 +ε=∣∣a( f ,µ0)

∣∣2 +ε.

Assim, basta considerar o caso µ0 = 0. Note que, na substituição de f por

f (t )e iµ0t , não temos necessariamente que a( f (t )e iµ0t ,0) = 0, e, assim, mostraremos

o lema para uma função f tal que a( f ,0) pode ser não-nulo.

Sejam α ∈R e

F (t ) = 1

α

∫t+α

tfT (s)d s.

Como fT é a suporte compacto, F também o é, e temos

1

T

∫+∞

−∞F (t )e−iλt d t = 1

αT

∫+∞

−∞

∫t+α

tfT (s)e−iλt d sd t =

= 1

αT

∫+∞

−∞

∫s

s−αfT (s)e−iλt d t d s =

= 1

αT

∫+∞

−∞fT (s)

e−iλ(s−α) −e−iλs

iλd s =

= e iλα−1

iλα

1

T

∫+∞

−∞fT (s)e−iλsd s = e iλα−1

iλαaT (λ).

Logo, pela equação de Parseval (3.3.21),

1

T

∫+∞

−∞|F (t )|2 d t = T

2π

∫+∞

−∞

∣∣∣∣

e iλα−1

iλα

∣∣∣∣

2

|aT (λ)|2 dλ. (3.3.23)

Lembremos que

limα→+∞

1

α

∫t+α

tf (s)d s = a( f ,0)

e, pelo Corolário 3.3.4, este limite é uniforme em t ∈R. Logo, se ε> 0 é dado,


podemos escolher α de forma que

∣∣∣∣

1

α

∫t+α

tf (s)d s

∣∣∣∣

2

<∣∣a( f ,0)

∣∣2 +ε

para todo t ∈R. Para T >α, se t ∈ [0,T −α], então

F (t ) = 1

α

∫t+α

tf (s)d s,

e, assim, |F (t )|2 <∣∣a( f ,0)

∣∣2+ε. Se t ∉ (−α,T ), então F (t ) = 0. Para t ∈ (−α,T )\

[0,T −α], podemos estimar F (t ) simplesmente por

|F (t )| ≤ 1

α

∫t+α

t

∣∣ fT (s)

∣∣d s ≤

∥∥ f

∥∥∞ .

Logo,

1

T

∫+∞

−∞|F (t )|2 d t = 1

T

∫0

−α|F (t )|2 d t + 1

T

∫T−α

0|F (t )|2 d t + 1

T

∫T

T−α|F (t )|2 d t <

< α

T

∥∥ f

∥∥2∞+ T −α

T

(∣∣a( f ,0)

∣∣2 +ε

)

+ α

T

∥∥ f

∥∥2∞ ≤

∣∣a( f ,0)

∣∣2 +ε+ 2α

T

∥∥ f

∥∥2∞ .

(3.3.24)

Além disto, para o valor de α escolhido, podemos encontrar δ > 0 tal que∣∣∣

eiλα−1iλα

∣∣∣

2≥ 1

1+ε se |λ| < δ, pois limλ→0eiλα−1

iλα = 1. Combinamos isto e (3.3.24)


em (3.3.23), obtemos então que

T

2π

∫δ

−δ|aT (λ)|2 dλ≤ T (1+ε)

2π

∫δ

−δ

∣∣∣∣

e iλα−1

iλα

∣∣∣∣

2

|aT (λ)|2 dλ≤

≤ T (1+ε)

2π

∫∞

−∞

∣∣∣∣

e iλα−1

iλα

∣∣∣∣

2

|aT (λ)|2 dλ=

= 1+ε

T

∫∞

−∞|F (t )|2 d t ≤

≤∣∣a( f ,0)

∣∣2

(1+ε)+ε(1+ε)+ 2α(1+ε)

T

∥∥ f

∥∥2∞ ,

e, para T grande, isto fornece a estimativa desejada.

Isto permite utilizar as funções aT (λ) para aproximar a( f ,λ). Os próximos

lemas buscam mostrar que aT (λ) está concentrado em uma reunião finita de

intervalos pequenos.

Lema 3.3.19. Seja v a função de translação de uma função quase-periódica.

Seja

S (ε) = λ : |e iλt −1| ≤ 1 para todo t ∈T (v,ε).

Então S (ε) é finito para todo ε > 0. Além disso, se S (ε) = λ1, . . . ,λn, então,

para todo ρ > 0, existe A > 0 tal que, se |λ−λi | ≥ ρ então |e iλt − 1| > 1 para

algum t ∈ [0, A]∩T (v,ε).

Demonstração: Notemos inicialmente que

∣∣e iλt −1

∣∣

2 = (cos(λt )−1)2 + sin(λt )2 = 2(1−cos(λt )),

e, assim,

∣∣e iλt −1

∣∣≤ 1 ⇐⇒ cos(λt ) ≥ 1

2⇐⇒ λt ∈

[

−π

3,π

3

]

mod 2π


Temos que v ∈ A P (R) enquanto função de translação de uma função

quase-periódica, e, assim, T (v,ε) contém um intervalo da forma (−δ,δ) com

0 < δ < 1. Se |λ| > π3δ , então λ(−δ,δ) = λδ(−1,1) ⊃ [−π

3 , π3 ]; assim, existe

t ∈ (−δ,δ) tal que λt ∈ (π3 , π2 ), e, então, |e iλt − 1|2 = 2(1 − cos(λt )) > 1 pois

cos(λt ) < 12 . Logo, λ ∉S (ε), e então S (ε) ⊂

[

− π3δ , π

3δ

]

.

Como T (v,ε) é relativamente denso em R, tomamos L > 0 tal que todo

intervalo de comprimento L intercepta T (v,ε). Se λ1,λ2 ∈ S (ε) são distin-

tos, então |λi t | ∈[

−π3 , π3

]

mod 2π para i = 1,2 e todo t ∈ T (v,ε), e então

|(λ1 −λ2)t | ∈[

−2π3 , 2π

3

]

mod 2π para todo t ∈ T (v,ε), donde

|(λ1 −λ2)t | ∉(

2π

3,

4π

3

)

, ∀t ∈T (v,ε),

|t | ∉(

2π

3|λ1 −λ2|−1 ,

4π

3|λ1 −λ2|−1

)

, ∀t ∈T (v,ε),

e, assim,(

2π

3|λ1 −λ2|−1 ,

4π

3|λ1 −λ2|−1

)

∩T (v,ε) =;.

Logo, o comprimento deste intervalo deve ser inferior a L, isto é, 2π3 |λ1 −λ2|−1 ≤

L, e então

|λ1 −λ2| ≥2π

3L.

Logo, dois pontos distintos de S (ε) distam de ao menos 2π3L e, como S (ε) ⊂

[

− π3δ , π

3δ

]

, S (ε) é um conjunto finito (cujo número de pontos n satisfaz n ≤

1+ Lδ

).

Escrevamos S (ε) = λ1, . . . ,λn e seja ρ > 0. Considere o conjunto com-

pacto

K =

λ ∈R : |λ−λi | ≥ ρ, i = 1, . . . , N , e |λ| ≤ π

3δ

.


Se λ ∈ K , então, em particular, λ ∉ S (ε), e, então, existe t ∈ T (v,ε) tal que

|e iλt−1| > 1; como T (v,ε) é simétrico em relação à origem e |e iλt−1| = |e−iλt−

1|, podemos supor t > 0. Logo, λ ∈ Bt para um certo t ∈T (v,ε)∩(0,+∞), com

Bt = λ ∈R : |e iλt −1| > 1.

Logo,

K ⊂⋃

t∈T (v,ε)∩(0,+∞)Bt ,

e, como K e compacto e cada Bt é aberto, segue então que existem t1, . . . , tm ∈

T (v,ε)∩ (0,+∞) tais que

K ⊂m⋃

j=1Bt j .

Seja A = maxδ, t1, . . . , tm. Se |λ−λi | ≥ ρ para todo i = 1, . . . ,n, então, se |λ| ≤π

3δ , temos λ ∈ K e assim existe j ∈ 1, . . . ,m tal que λ ∈ Bt j , donde |e iλt j −

1| > 1 e t j ∈ [0, A]∩T (v,ε); se |λ| > π3δ , temos, conforme visto no início da

demonstração, que |e iλt − 1| > 1 para um certo t ∈ (0,δ), donde t ∈ [0, A]∩

T (v,ε). Logo, em todo caso, existe t ∈ [0, A]∩T (v,ε) tal que |e iλt −1| > 1.

Lema 3.3.20. Sejam v uma função de translação de uma função quase-periódica,

ε > 0 e ϕ(t ) = max(0,ε− v(t )). Então existem λ1, . . . ,λN tais que, para todo

ρ > 0, existe S > 0 tal que

1

S

∫S

0

∣∣e iλt −1

∣∣

2ϕ(t )d t > 1

18S

∫S

0ϕ(t )d t

se |λ−λi | ≥ ρ para i = 1, . . . , N.

Demonstração: A função ϕ é quase-periódica enquanto o máximo de duas

funções quase-periódicas, ϕ(t ) ≥ 0 para todo t ∈ R e ϕ(0) = ε > 0; logo, pelo


Teorema 3.3.8, M (ϕ) > 0; notemos M = M (ϕ). Aplicando o Lema 3.3.19 a v

e S ( M2 ), notamos S ( M

2 ) = λ1, . . . ,λN e então, para todo ρ > 0, existe A > 0

satisfazendo as condições do Lema 3.3.19.

Sejam S > 2A e λ tal que |λ−λi | ≥ ρ para i = 1, . . . , N . Do Lema 3.3.19,

existe τ ∈ [0, A]∩T (v, M2 ) tal que |e iλτ−1| > 1. Então

1

S

∫S

0

∣∣e iλt −1

∣∣

2ϕ(t )d t ≥ 1

2S

∫S−A

0

∣∣e iλt −1

∣∣

2ϕ(t )d t+ 1

2S

∫S

0

∣∣e iλt −1

∣∣

2ϕ(t )d t ≥

≥ 1

2S

∫S−A

0

∣∣e iλt −1

∣∣

2ϕ(t )d t + 1

2S

∫τ+S−A

τ

∣∣e iλt −1

∣∣

2ϕ(t )d t =

= 1

2S

∫S−A

0

∣∣e iλt −1

∣∣

2ϕ(t )d t + 1

2S

∫S−A

0

∣∣e iλ(t+τ) −1

∣∣

2ϕ(t +τ)d t =

= 1

2S

∫S−A

0

(∣∣e iλt −1

∣∣

2ϕ(t )+

∣∣e iλ(t+τ) −1

∣∣

2ϕ(t +τ)

)

d t .

Como |e iλτ−1| > 1, temos que λτ ∉[

−π3 , π3

]

mod 2π; logo, ao menos um den-

tre λt e λ(t +τ) deve estar fora de[

−π6 , π6

]

mod 2π, e então

max∣∣e iλt −1

∣∣

2,∣∣e iλ(t+τ) −1

∣∣

2

> 2(1−cos(π

6)) = 2−

p3 > 1

4.

Além disso, como τ ∈ T (v, M2 ), temos v(t +τ) ≤ v(t )+v(τ) ≤ v(t )+ M

2 , e então

ϕ(t +τ) = max0,ε− v(t +τ) ≥ max0,ε− v(t )− M2 ≥ max0,ε− v(t )− M

2 =

ϕ(t )− M2 . Logo,

1

2S

∫S−A

0

(∣∣e iλt −1

∣∣

2ϕ(t )+

∣∣e iλ(t+τ) −1

∣∣

2ϕ(t +τ)

)

d t ≥

≥ 1

2S

∫S−A

0

(∣∣e iλt −1

∣∣

2 +∣∣e iλ(t+τ) −1

∣∣

2)

(ϕ(t )− M

2)d t >

> 1

8S

∫S−A

0(ϕ(t )− M

2)d t ,


e então, para S > 2A, temos

1

S

∫S

0

∣∣e iλt −1

∣∣

2ϕ(t )d t > 1

8S

∫S−A

0(ϕ(t )− M

2)d t .

Temos também que

limS→+∞

1

8S

∫S−A

0(ϕ(t )− M

2)d t = 1

8lim

S→+∞

S − A

S

[1

S − A

∫S−A

0ϕ(t )d t − M

2

]

= M

16

e, então, como limS→+∞1

18S

∫S0 ϕ(t )d t = M

18 , para S suficientemente grande,

temos1

8S

∫S−A

0(ϕ(t )− M

2)d t > 1

18S

∫S

0ϕ(t )d t ,

donde1

S

∫S

0

∣∣e iλt −1

∣∣

2ϕ(t )d t > 1

18S

∫S

0ϕ(t )d t .

Lema 3.3.21. Para todo ε> 0, existe um conjunto finito de números λ1, . . . ,λN

tais que, para todo ρ > 0, existe T0 > 0 tal que, para T >T0,

T

2π

∫

U|aT (λ)|2 dλ< ε

com U = λ ∈R : |λ−λi | ≥ ρ, i = 1, . . . , N .

Demonstração: Para T > τ> 0, seja ψ(t ) = fT (t +τ)− fT (t ), de forma que

1

T

∫+∞

−∞ψ(t )e−iλt d t = aT (λ)(e iλτ−1)


e então, pela equação de Parseval (3.3.21),

1

T

∫+∞

−∞

∣∣ψ(t )

∣∣2

d t = T

2π

∫+∞

−∞|aT (λ)|2

∣∣e iλτ−1

∣∣

2dλ.

Seja v a função de translação associada a f ∈A P (Ed ). Então

• se t , t +τ ∈ [0,T ],∣∣ψ(t )

∣∣=

∣∣ fT (t +τ)− fT (t )

∣∣=

∣∣ f (t +τ)− f (t )

∣∣≤ v(τ);

• se t , t +τ ∉ [0,T ], ψ(t ) = 0;

• caso contrário,∣∣ψ(t )

∣∣≤

∥∥ f

∥∥∞.

Assim,

1

T

∫+∞

−∞

∣∣ψ(t )

∣∣2

d t = 1

T

∫T

−τ

∣∣ψ(t )

∣∣2

d t =

= 1

T

∫0

−τ

∣∣ψ(t )

∣∣2

d t + 1

T

∫T−τ

0

∣∣ψ(t )

∣∣2

d t + 1

T

∫T

T−τ

∣∣ψ(t )

∣∣2

d t ≤

≤ v(τ)2 +2τ

∥∥ f

∥∥2∞

T.

Se T > 72τ‖ f ‖2∞

ε, temos então que

T

2π

∫+∞

−∞|aT (λ)|2

∣∣e iλτ−1

∣∣

2dλ≤ ε

36+v(τ)2.

Seja ϕ(τ) = max

0, 16ε

12 −v(τ)

; então ϕ(τ) ≥ 0 para todo τ e, assim,

T

2π

∫+∞

−∞|aT (λ)|2

∣∣e iλτ−1

∣∣

2ϕ(τ)dλ≤ ε

36ϕ(τ)+v(τ)2ϕ(τ)

para todo τ e T > 72τ‖ f ‖2∞

ε; mas v(τ) < 1

6ε12 quando ϕ(τ) > 0, e então

T

2π

∫+∞

−∞|aT (λ)|2

∣∣e iλτ−1

∣∣

2ϕ(τ)dλ≤ ε

18ϕ(τ) para todo τ e T >

72τ∥∥ f

∥∥2∞

ε.


Logo,

T

2π

∫+∞

−∞|aT (λ)|2 1

S

∫S

0

∣∣e iλτ−1

∣∣

2ϕ(τ)dτdλ≤ ε

18

1

S

∫S

0ϕ(τ)dτ (3.3.25)

para todo S > 0 e T > 72S‖ f ‖2∞

ε.

Do Lema 3.3.20, obtemos λ1, . . . ,λN tais que, para todo ρ > 0, existe S > 0

tal que1

S

∫S

0

∣∣e iλt −1

∣∣

2ϕ(t )d t > 1

18

1

S

∫S

0ϕ(t )d t

se |λ−λi | ≥ ρ para i = 1, . . . , N . Assim, para um tal S, temos

T

2π

∫+∞

−∞|aT (λ)|2 1

S

∫S

0

∣∣e iλτ−1

∣∣

2ϕ(τ)dτdλ≥

≥ T

2π

∫

U|aT (λ)|2 1

S

∫S

0

∣∣e iλτ−1

∣∣

2ϕ(τ)dτdλ>

> T

2π

∫

U|aT (λ)|2 1

18S

∫S

0ϕ(τ)dτdλ; (3.3.26)

logo, de (3.3.25) e (3.3.26), obtemos, para T > 72S‖ f ‖2∞

ε,

T

2π

∫

U|aT (λ)|2 1

18S

∫S

0ϕ(τ)dτdλ< ε

18

1

S

∫S

0ϕ(τ)dτ;

como 1S

∫S0 ϕ(τ)dτ −−−−→

S→+∞M (ϕ) > 0, temos que 1

S

∫S0 ϕ(τ)dτ > 0 para S sufi-

cientemente grande, e então

T

2π

∫

U|aT (λ)|2 dλ< ε

para T > 72S‖ f ‖2∞

ε.

Finalmente, podemos mostrar o Teorema 3.3.17.


Demonstração:[Demonstração do Teorema 3.3.17] Pelo que foi discutido acima,

basta mostrar (3.3.22). Seja ε > 0. O Lema 3.3.21 fornece números λ0, . . . ,λN

tais que, para todo ρ > 0, existe T0(ρ) > 0 tal que, para T > T0(ρ),

T

2π

∫

Uρ

|aT (λ)|2 dλ< ε

2

com Uρ como no enunciado do lema. Agora, pelo Lema 3.3.18, existem δ> 0

e T1 > 0 tais que, para T >T1 e para todo i ∈ 0, . . . , N ,

T

2π

∫λi+δ

λi−δ|aT (λ)|2 dλ<

∣∣a( f ,λi )

∣∣2 + ε

2(N +1)

Tomamos então ρ = δ, e daí, se T > T0(δ),

T

2π

∫

Uδ

|aT (λ)|2 dλ< ε

2,

e lembramos que Uδ= λ ∈R : |λ−λi | ≥ δ, i = 0, . . . , N Logo, se T > maxT0(δ),T1,

temos então

T

2π

∫+∞

−∞|aT (λ)|2 dλ= T

2π

∫

Uδ

|aT (λ)|2 dλ+N∑

n=0

T

2π

∫λn+δ

λn−δ|aT (λ)|2 dλ<

<N∑

n=0

∣∣a( f ,λn)

∣∣2 +ε.

Assim, generalizamos finalmente a propriedade 2 para o caso de funções

quase-periódicas. Note que isto implica em particular que a propriedade 1

também vale para funções quase-periódicas: se f ∈ UA P (Ω,Ed ) é tal que

a( f , x,λ)= 0 para todo (x,λ) ∈Ω×R, então, pelo Teorema 3.3.17, Mt (∣∣ f

∣∣2

) = 0,

e, assim, do Teorema 3.3.8,∣∣ f

∣∣2

é a função identicamente nula, isto é, f (x, t ) =


0 para todo (x, t ) ∈ Ω×R; como a transformada de Bohr é linear em f , isto

prova então a sua injetividade. Assim, a única propriedade que resta gener-

alizar ao caso de funções quase-periódicas é 3, que é o assunto da próxima

seção.

3.3.6 Teorema de aproximação

O objetivo desta seção é generalizar a propriedade 3 ao caso das funções

quase-periódicas. Para isto, seguiremos a ideia da demonstração de 3 para o

caso de funções periódicas.

Seja f ∈UA P (Ω,Ed ) com Ω σ-compacto e seja Λ( f ) = λn ;n ∈N∗ o con-

junto dos expoentes de f , em que supomos λn 6= λm se n 6= m. Podemos en-

tão escolher uma base racional5 B = βn ;n ∈N∗ de Λ( f ), isto é, B é um con-

junto de números reais linearmente independente sobre Q e cada λn ∈Λ( f )

se escreve como combinação linear (finita) dos elementos de B a coeficientes

racionais. Note que podemos ter bases B de Λ( f ) cujos elementos não estão

necessariamente em Λ( f ).

Sejam m = (m1, . . . ,mn) ∈ N∗n e α = (α1, . . . ,αn) ∈ Rn com α1, . . . ,αn lin-

earmente independentes sobre Q. Definimos o polinômio trigonométrico

5Uma tal base pode ser construída da seguinte forma: tomamos β1 = λ1 se λ1 6= 0, β1 = λ2 senão, e nota-mos i1 = 1 no primeiro caso e i1 = 2 no segundo. Então B1 = β1 é linearmente independente sobre Q e todonúmero de Λ1 = λ1, . . . ,λi1 pode ser escrito como combinação linear a coeficientes racionais dos elemen-tos de B1. Supondo construídos Bk = β1, . . . ,βk , Λk = λ1, . . . ,λik tais que Bk é linearmente independentesobre Q e todo número de Λk pode ser escrito como combinação linear a coeficientes racionais dos elemen-tos de Bk , escolhemos ik+1 como o menor índice tal que λik+1 não pode ser escrito como combinação lineara coeficientes racionais dos elementos de Bk . Se um tal índice não existir, paramos o procedimento. Senão,definimos βk+1 = λik+1 , Bk+1 = Bk ∪ βk+1 e Λk+1 = λ1, . . . ,λik+1 . Bk+1 é então linearmente independente so-breQ e todo elemento deΛk+1 pode ser escrito como combinação linear a coeficientes racionais dos elementosde Bk+1. Construímos então por recorrência B1 ⊂ B2 ⊂ B3 ⊂ ·· · , que pode ou não ser finita. Basta então tomarB = ⋃

k Bk , e B satisfaz então as propriedades desejadas, pois toda subfamília finita de B está contida em umcerto Bk , e é então linearmente independente sobre Q, e todo λn ∈ Λ( f ) pode ser escrito como combinaçãolinear a coeficientes racionais dos elementos de Bk , com k tal que ik ≥ n ou k o último índice do processo deconstrução quando este acaba em um número finito de etapas.


K (m,α, t ) por

K (m,α, t ) = Km1(α1t ) · · ·Kmn (αn t )=

=m j−1∑

ν j=−m j+1j=1,...,n

(

1−|ν1|m1

)

· · ·(

1−|νn|mn

)

e−i (ν1α1+···+νnαn )t ,(3.3.27)

com

Km j (t ) =m j−1∑

ν j=−m j+1

(

1−∣∣ν j

∣∣

m j

)

e−iν j t .

Notemos que, se k ∈N∗,

Kk(t ) =k−1∑

ν=−k+1

(

1−|ν|k

)

e−iνt =

= 1

k(e i t −2+e−i t )

k−1∑

ν=−k+1

(k −|ν|) e−iνt (e i t −2+e−i t ) =

= 1

k(e i t −2+e−i t )

k−1∑

ν=−k+1

(k −|ν|) (e−i (ν−1)t −2e−iνt +e−i (ν+1)t ) =

= 1

k(e i t −2+e−i t )

[k−2∑

ν=−k

(k −|ν+1|)e−iνt −2k−1∑

ν=−k+1

(k −|ν|) e−iνt +

+k∑

ν=−k+2

(k −|ν−1|)e−iνt

]

=

= 1

k(e i t −2+e−i t )

(

e i kt −2+e−i kt)= 1

k

(

e i k2 t −e−i k

2 t

e i t2 −e−i t

2

)2

= 1

k

(

sin kt2

sin t2

)2

.

Assim, Kk(t ) ≥ 0 para todo t ∈R e, então, K (m,α, t ) ≥ 0. Além disto, K (m,α, t )

é um polinômio trigonométrico em t e, portanto, uma função quase-periódica.

Como α1, . . . ,αn é linearmente independente, ν1α1 + . . .+νnαn = 0 se e so-

mente se ν1 = ·· · = νn = 0, e então a(K (m,α, t ),0) é o coeficiente correspon-

dente a ν1 = ·· · = νn = 0, isto é, a(K (m,α, t ),0) = 1, donde Mt (K (m,α, t )) = 1.

Dada f ∈UA P (Ω,Ed ) com Ωσ-compacto e m,α como acima, definimos


os polinômios trigonométricos de Bochner-Fejér σ(m,α, x, s) associados a f

por

σ(m,α, x, s) = Mt ( f (x, s + t )K (m,α, t )) =

= Mt

m j−1∑

ν j=−m j+1j=1,...,n

(

1− |ν1|m1

)

· · ·(

1− |νn |mn

)

e−i (ν1α1+···+νnαn )t f (x, s + t )

=

=m j−1∑

ν j=−m j+1j=1,...,n

(

1− |ν1|m1

)

· · ·(

1− |νn |mn

)

Mt

(

e−i (ν1α1+···+νnαn)(t+s) f (x, s + t ))

e i (ν1α1+···+νnαn )s =

=m j−1∑

ν j=−m j+1j=1,...,n

(

1− |ν1|m1

)

· · ·(

1− |νn |mn

)

a( f , x,ν1α1 +·· ·+νnαn)e i (ν1α1+···+νnαn )s.

Como a( f , x,ν1α1+·· ·+νnαn) = 0 para todo x ∈Ω exceto se ν1α1+·· ·+νnαn ∈

Λ( f ), segue que Λ(σ(m,α, x, s)) ⊂Λ( f ). Notando Λ( f ) = λk ;k ∈N, podemos

escrever estes polinômios sob a forma

σ(m,α, x, s) =+∞∑

k=0

d (m,α,k)a( f , x,λk)e iλk s (3.3.28)

com

d (m,α,k)=(

1−|ν1|m1

)

· · ·(

1−|νn|mn

)

se ν1α1+·· ·+νnαn =λk (pela independência linear de α1, . . . ,αn, isto ocorre

para no máximo um conjunto de inteiros ν1, . . . ,νn) e 0 senão. Então d (m,α,k)

satisfazem as seguintes propriedades:

• 0≤ d (m,α,k)≤ 1;

• para (m,α) fixados, apenas uma quantidade finita dos d (m,α,k) é não-


nula;

• d (m,α,n) dependem de f apenas por Λ( f ) (isto é, para duas funções

com os mesmos expoentes, os valores de d (m,α,n) são os mesmos).

Lema 3.3.22. Seja f ∈ UA P (Ω,Ed ) com Ω σ-compacto e notemos A o con-

junto dos pares (m,α) ∈ N∗n ×Rn tais que α1, . . . ,αn são linearmente inde-

pendentes sobre Q. Para K ⊂Ω compacto, a família

F = t 7→ f (x, t ); x ∈ K ∪ s 7→σ(m,α, x, s); x ∈K , (m,α) ∈A

é u.a.p..

Demonstração: Seja v função de translação da família t 7→ f (x, t ); x ∈ K ,

isto é, v(τ) = supx∈K supt∈R∣∣ f (x, t +τ)− f (x, t )

∣∣. Para (m,α) ∈A , temos

|σ(m,α, x, s +τ)−σ(m,α, x, s)| =∣∣Mt ([ f (x, s + t +τ)− f (x, s + t )]K (m,α, t ))

∣∣=

= limT→+∞

1

T

∣∣∣∣

∫T

0[ f (x, s + t +τ)− f (x, s + t )]K (m,α, t )d t

∣∣∣∣≤

≤ lim supT→+∞

1

T

∫T

0

∣∣ f (x, s + t +τ)− f (x, s + t )

∣∣K (m,α, t )d t ≤

≤ v(τ) limT→+∞

1

T

∫T

0K (m,α, t )d t = v(τ)Mt (K (m,α, t )) = v(τ)

usando que K (m,α, t ) ≥ 0 e Mt (K (m,α, t )) = 1. Logo, a função de translação

vF da família F é

vF (τ) =maxv(τ), sup(m,α)∈A

supx∈K

sups∈R

|σ(m,α, x, s +τ)−σ(m,α, x, s)| = v(τ),

e o Teorema 3.2.6 permite então concluir que F é u.a.p..


Podemos então enunciar o resultado principal desta seção, que generaliza

a propriedade 3 das séries de Fourier de funções periódicas.

Teorem 3.3.23 (Teorema de Aproximação). Seja f ∈ UA P (Ω,Ed ) com Ω σ-

compacto. Dados ε> 0 e um compacto K ⊂Ω, existe um polinômio trigonométrico

p(x, t ) em K×R tal que∣∣ f (x, t )−p(x, t )

∣∣< εpara todo (x, t )∈ K×R. Além disso,

p pode ser escolhido tal que Λ(p) ⊂Λ( f ).

Demonstração: Do Lema 3.3.22 e do Teorema 3.3.10, basta exibir uma se-

quência de polinômios trigonométricos de Bochner-Fejér que converge em

média para6 f . Fixe K ⊂Ω compacto e ε> 0.

Seja Λ( f ) = λn ;n ∈ N∗ e escolhamos uma base racional B = βn ;n ∈ N∗

de Λ( f ). Do Teorema 3.3.17,∑+∞

n=1

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2

converge uniformemente em

K , e podemos então tomar N ∈N de forma que

+∞∑

n=N+1

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2 < ε

2, ∀x ∈ K . (3.3.29)

Considere os expoentes λ1, . . . ,λN e escolha p ∈N de tal forma que β1, . . . ,βp

é uma base racional de λ1, . . . ,λN . Escolha os números r (i )j ∈Q, j = 1, . . . , p,

i = 1, . . . N , de forma que

λi = r (i )1 β1 + . . .+ r (i )

p βp , i = 1, . . . , N ,

6Em particular, como estes polinômios têm a forma (3.3.28), a função quase-periódica f de série de Fourier

f (x, t) ∼+∞∑

n=0a( f , x,λn )eiλn t

será aproximada por polinômios trigonométricos do tipo

p j (x, t) =+∞∑

n=0bn, j a( f , x,λn )eiλn t

em que os bn, j são dados pelos d(m,α,k) em (3.3.28) e, então, para j fixado, bn, j = 0 para n grande, e temosentão uma situação análoga à de 3, como desejado.


e seja q o mínimo múltiplo comum dos denominadores de r (i )j , de forma que

s(i )j = qr (i )

j é inteiro para todos j = 1, . . . , p e i = 1, . . . N . Então

λi = s(i )1

β1

q+ . . .+ s(i )

p

βp

q, i = 1, . . . , N .

Seja S =maxi , j

∣∣∣s(i )

j

∣∣∣ e seja ρ ∈ (0,1) tal que

ρ2N∑

n=1

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2 < ε

2, ∀x ∈ K , (3.3.30)

o que é possível devido à continuidade da função x 7→ ∑Nn=1

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2

so-

bre o compacto K . Tome M inteiro positivo tal que

(

1− S

M

)p

> 1−ρ. (3.3.31)

Para i = 1, . . . , p, defina αi = βiq e tome mi > M inteiro. O polinômio de

Bochner-Fejér σ(m,α, x, t ) de f (x, t ) é então dado por

σ(m,α, x, t ) =+∞∑

n=1d (m,α,n)a( f , x,λn)e iλn t =

=N∑

n=1

(

1−∣∣s(n)

1

∣∣

m1

)

· · ·(

1−∣∣s(n)

p

∣∣

mp

)

a( f , x,λn)e iλn t++∞∑

n=N+1

d (m,α,n)a( f , x,λn)e iλn t .

Logo, pela equação de Parseval e utilizando que 0 ≤ d (m,α,n) ≤ 1, (3.3.29),


(3.3.30) e (3.3.31), temos

Mt (∣∣ f (x, t )−σ(m,α, x, t )

∣∣2

) =

=N∑

n=1

∣∣∣∣∣∣∣

1−p∏

j=1

1−

∣∣∣s(n)

j

∣∣∣

m j

∣∣∣∣∣∣∣

2

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2 +

+∞∑

n=N+1

|1−d (m,α,n)|2∣∣a( f , x,λn)

∣∣2 <

<N∑

n=1

∣∣∣∣1−

(

1− S

M

)p∣∣∣∣

2∣∣a( f , x,λn)

∣∣2 +

+∞∑

n=N+1

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2 <

< ρ2N∑

n=1

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2 +

+∞∑

n=N+1

∣∣a( f , x,λn)

∣∣2 < ε.

É importante notar que segue deste resultado, e do fato que o limite uni-

forme de funções quase-periódicas é ainda quase-periódica, o seguinte corolário,

que caracteriza a classe A P (Ed ).

Corolário 3.3.24. A P (Ed ) é o conjunto das funções de R em Ed que podem ser

uniformemente aproximadas por polinômios trigonométricos.

Capítulo

4

Método da média

O método da média é um dos mais importantes métodos para a deter-

minação de soluções periódicas e quase-periódicas de equações diferenciais

não-lineares que contém um parâmetro pequeno. Consideremos as hipóte-

ses seguintes:

(H1) Seja f : R×Cn × [0,+∞) −→ Cn contínua, f (t , x,ε) quase-periódica em

t , uniformememte para x em compactos e ε fixado, ou seja, f (·, ·,ε) ∈

A P (Cn,Cn), para cada ε≥ 0.

(H2) f tem primeiras derivadas parciais com relação a x contínuas e

f (t , x,ε)→ f (t , x,0) e∂ f

∂x(t , x,ε) → ∂ f

∂x(t , x,0),

quando ε→ 0, uniformemente em t ∈R e x em compactos.

Considere o sistema

x = ε f (t , x,ε) (4.0.1)

106 Método da média

e o sistema "médio"

x = ε f0(x) (4.0.2)

sendo f0(x) = limT→∞

1

T

∫T

0f (t , x,0)d t = Mt ( f (t , x,0)). Toda solução de x = 0 é

constante, portanto o sistema (4.0.1) é uma pertubação de um sistema que

é crítico com relação à classe das funções periódicas de qualquer período e

, em particular, com relação à A P . Por outro lado, mostraremos que existe

uma transformação de variáveis quase-periódicas que leva x → y e o sistema

(4.0.1) num sistema da forma

y = ε f0(y)+ε f1(t , y,ε) (4.0.3)

onde f1 satisfaz as mesmas hipóteses que f e além disso f1(t , y,0) = 0.

Se existe um y0 tal que f0(y0) = 0 podemos fazer uma outra mudança de

variáveis z = y − y0 e reescrever o sistema como:

z = ε[ f0(y0+z)+ f1(t , y0+z,ε)] = ε∂ f0

∂y(y0)z+

[

f0(y0+z)− f0(y0)−∂ f0

∂y(y0)z

]

+ f1(t , y0+z,ε)

Logo, em uma vizinhança de y0, podemos aplicar os métodos estudados an-

teriormente ao sistema linear

z = ε∂ f0

∂y(y0)z,

se este for não crítico com relação à classe de funções consideradas.

Agora, enunciamos um resultado do Apêndice de [?].

Lema 4.0.25. Seja g : R×Cn −→ Cn contínua, g (t , x) quase-periódica em t

uniformemente para x em compactos, com derivadas parciais com relação a

107

x contínuas e valor médio igual a zero, isto é,

limT→∞

1

T

∫T

0g (t , x)d t = 0.

Então, para cada ε > 0, existe uma função u(t , x,ε), contínua em R×Cn ×

(0,+∞), quase-periódica em t para x em compactos e ε fixado, tendo derivada

com relação a t contínua e derivadas de ordem arbitrária especificada com

relação a x tal que, se

h(t , x,ε)= ∂u

∂t(t , x,ε)− g (t , x)

então todas as funções h, ∂h∂x , εu e ε∂u

∂x tendem a zero quando ε→ 0 uniforme-

mente para t ∈R e x em compactos.

Vale observar que se g (t , x) for um polinômio trigonométrico com coefi-

cientes que são funções inteiras de x, ou seja,

g (t , x) =∑

1≤k≤n

ak(x)e iλk t ,

para λk reais não nulos, 1 ≤ k ≤n, então a função

u(t , x) =∑

1≤k≤n

ak(x)

iλke iλk t

satisfaz as condições do lema anterior e independe de ε. Vejamos o próximo

resultado:

Lema 4.0.26. Sejam f satisfazendo as hipóteses (H1) e (H2), f0 a média em t

de f (·, ·,0) e Ω um subconjunto compacto arbitrário de Cn . Então existe um

ε0 > 0 e uma função u(t , x,ε) contínua em (t , x,ε) ∈ R×Cn × (0,ε0], quase-


periódica em t para x em compactos e ε fixado, satisfazendo as condições do

Lema 4.0.25, com g (t , x) = f (t , x,0)− f0(x) tal que a transformação de var-

iáveis

x = y +εu(t , y,ε), (t , y,ε)∈R×Ω× [0,ε0] (4.0.4)

aplicada a equação x = ε f (t , x,ε) nos dá a equação

y = ε f0(y)+εF (t , y,ε) (4.0.5)

onde F (t , y,ε) satisfaz as mesmas hipóteses que f para (t , y,ε) ∈ R×Ω× [0,ε0]

e, além disso, F (t , y,0)= 0.

Demonstração: Se g (t , x) = f (t , x,0)− f0(x) então pelo lema anterior, para

todo ε> 0, existe uma função u(t , x,ε) tal que

εu(t , x,ε)→ 0, ε∂u

∂x(t , x,ε)→ 0 e f (t , x,0)− f0(x)− ∂u

∂t(t , x,ε) → 0,

quando ε → 0, uniformemente em t ∈ R e x ∈ Ω compacto. Devido a essas

convergências, definimos as funções εu(t , x,ε), ε∂u∂x (t , x,ε) e f (t , x,0)− f0(x)−

∂u∂t (t , x,ε) como sendo zero em ε= 0.

Para qualquer ε1 > 0 seja Ω1 um subconjunto compacto em Cn contendo

o conjunto

x : x = y +εu(t , y,ε), (t , y,ε)∈R×Ω× [0,ε1]

Observe que Ω ⊂ x : x = y + εu(t , y,ε), (t , y,ε) ∈ R×Ω× [0,ε1] ⊂ Ω1, pois

y = y +0.u(t , y,0). Como ε∂u∂y (t , y,ε) → 0 quando ε→ 0, uniformemente em

t ∈ R e y ∈ Ω, existe um ε2 > 0 talque a transformação linear I + ε∂u∂y (t , y,ε)

tem inversa limitada para (t , y,ε) ∈ R×Ω× [0,ε2]. Assim podemos aplicar o

109

Teorema da Função Implícita à função

H : R×Ω1×Ω× [0,ε2] −→Cn, H(t , x, y,ε)= x − y −εu(t , y,ε)

cuja derivada é∂H

∂y(t , x, y,ε) =−

[

I +ε∂u

∂y(t , y,ε)

]

. Assim, a equação x = y +

εu(t , y,ε) pode ter no máximo uma solução y ∈ Ω para cada (t , x,ε) ∈ R×

Ω1×[0,ε2]. Para qualquer x0 ∈Ω1 o Teorema da Função Implícita implica que

existe um ε3 = ε3(x0) > 0 tal que a equação x = y +εu(t , y,ε) tem uma única

solução y = y(t , x,ε) definida e contínua para |x−x0| < ε, |y−x0| < ε, ε ∈ [0,ε3].

Como Ω1 é compacto podemos escolher ε4 > 0 independente de x0 tal que a

mesma propriedade seja válida com ε3 trocado por ε4. Se ε0 = minε1,ε2,ε4

então (4.0.4) define um homeomorfismo. Portanto, a transformação (4.0.4)

está bem definida para (t , y,ε)∈R×Ω× [0,ε0] Na variável x a equação é

y +ε∂u

∂t(t , y,ε)+ε

∂u

∂y(t , y,ε)y = x (4.0.6)

= ε f (t , y +εu,ε)

= ε f0(y)+ε[ f (t , y,0)− f0(y)]+ (4.0.7)

+ ε[ f (t , y +εu,ε)− f (t , y,0)]

Logo

(

I +ε∂u

∂y

)

y = ε f0(y)+ε[

f (t , y,0)− f0(y)− ∂u

∂t

]

+ε[ f (t , y +εu,ε)− f (t , y,0)]

e assim

y =(

I +ε∂u

∂y

)−1(

ε f0(y)+εF (t , y,ε))

e F satisfaz as condições requeridas.


Seja Reλ(A) a parte real dos autovalores de uma matriz A.

Teorem 4.0.27. Seja f uma função satisfazendo as hipóteses (H1) e (H2). Se

existe x0 tal que f0(x0) = 0 e Reλ[∂ f0

∂x (x0)]

6= 0, então existe um ε0 > 0 e uma

função x∗(·,ε) : R→ Cn , satisfazendo (4.0.1), contínua para (t ,ε) ∈ R× [0,ε0],

quase-periódica em t para cada ε fixo, m[x∗(·,ε)] ⊂ m[ f (·, x,ε)], x∗(·,0) = x0 e

tal solução é única numa vizinhança de x0. Ainda mais, se Reλ(A) < 0, então

x∗(·,ε) é uniformemente assintoticamente estável para 0 ≤ ε ≤ ε0 e se um dos

autovalores de A tiver parte real positiva , x∗(·,ε) é instável.

Teorem 4.0.28. Seja f uma função como acima. Se f (t +T, x,ε) = f (t , x,ε),

para todo (t , x,ε)∈R×Cn×[0,+∞) e existe x0 tal que f0(x0) = 0 e det[∂ f0

∂x (x0)]

6=

0, então existe um ε0 > 0 e uma função x∗(t ,ε) satisfazendo (4.0.1, contínua

para (t ,ε) ∈ R× [0,ε0], x∗(·,0) = x0 e x∗(t +T,ε) = x∗(t ,ε) para todo t e ε. Tal

solução é única numa vizinhança de x0.

Tais resultados são consequências diretas do Lema IV.4.3 e Teorema IV. 4.2

de [?].

Exemplo 4.0.29. A equação de Van der Pol com termo forçante

z1 = z2

z2 =−z1 +ε(1− z21)z2 + A sin w1t +B sin w2t

(4.0.8)

onde ε≥ 0, A e B constantes reais, w1 e w2 constantes positivas tais que

m +m1w1 +m2w2 6= 0 (4.0.9)

para todos inteiros m, m1 e m2 com |m|+ |m1|+ |m2| ≤ 4.

111

Denotando g (t ) = A sin w1t +B sin w2t , f (z1, z2) = (1−z21 )z2 podemos ree-

screver a equação (4.0.8) como

z = Az +εF (z)+G(t ) (4.0.10)

sendo A =

0 1

−1 0

, F (z) =

0

f (z1, z2)

e G(t ) =

0

g (t )

.

Agora, precisamos reescrever a equação (4.0.10) na "forma padrão", isto

é, na forma x = εH(t , x,ε). Se ε= 0 então a solução de (4.0.10) é

z(t , x) = e At x+∫t

0e A(t−s)G(s)d s = e At

x1

x2

+

A1 sin w1t +B1 sin w2t

A1w1 cos w1t +B1w2 cos w2t

,

sendo A1 = A

1−w 21

e B1 = B

1−w 22

. Assim, ∂z∂x (t , x) = e At =

cos t sin t

−sin t cos t

.

Vamos fazer a seguinte mudança de coordenadas

x = x(t , z) = e−At z −e−At∫t

0e A(t−s)G(s)d s = e−At z −

∫t

0e−AsG(s)d s.

Daí,∂x

∂t=−Ae−At z +e−At z −e−AtG(t ) = εe−At F (z) = εH(t , z)

Considere

H0(z) = limT→∞

1

T

∫T

0H(t , z)d t = lim

T→∞

1

T

∫T

0e−At F (z)d t

∫T

0e−At F (z)d t =

∫T

0

cos t −sin t

sin t cos t

0

(1− z21)z2

d t


A equação "média"é

x = εH0(z) = ε

8

x1[2(2− A21 −B 2

1)− (x21 +x2

2)]

x2[2(2− A21 −B 2

1)− (x21 +x2

2)]

(4.0.11)

sendo H0(0) = 0 e H′0(0) =

2(2− A21 −B 2

1) 0

0 2(2− A21 −B 2

1)

. Segundo o Teo-

rema 4.0.27, se 2− A21 −B 2

1 6= 0, existe uma solução x∗(t ,ε) quase periódica

de (4.0.11) tal que m[x∗(·,ε)] ⊂ 1, w1, w2 e x∗(t ,0) = 0. Ainda, se A21 +B 2

1 > 2

então x∗(t ,ε) é uniformemente assintoticamente estável e instável se A21 +

B 21 < 2. Consequentemente, o problema (4.0.8) admite solução z∗(t ,ε) quase-

periódica que é u.a.e. (instável) se A21 +B 2

1 > 2 (<) e a solução para ε= 0 é

z1 = A1 sin w1t +B1 sin w2t

z2 = z1

Como A1 = A

1−w 21

e B1 = B

1−w 22

, podemos ter A21 + B 2

1 > 2 se fizermos A

ou B suficientemente grande, ou w1 ou w2 suficientemente próximos de 1

(ressonância). Se A21 +B 2

1 < 2 então a equação (4.0.11) tem um círculo de

pontos de equilíbrio

x21 +x2

2 = 2(2− A21 −B 2

1).

Capítulo

5

Equações fracamente não-lineares - caso

não-crítico

5.1 Equações fracamente não-Lineares - caso não-crítico

Seja A(t ) uma matriz n ×n contínua e T -periódica. Para ρ ≥ 0 e σ≥ 0 seja

Ω(ρ,σ) = (x,ǫ) ∈Cn ×Cr : |x| ≤ ρ and |ǫ| ≤σ,

e sejam η(ρ,σ) e M (σ) funções contínuas e não-decrescentes em ambas as

variáveis, com η(0,0) = 0 e M (0) = 0. Denote por

L i p(η, M )

o conjunto das funções q : R×Ω(ρ0,ǫ0) →Cn contínuas e que satisfazem:

(i) |q(t ,0,ǫ)| ≤ M (|ǫ|),

(ii) |q(t , x,ǫ)−q(t , y,ǫ)| ≤ η(ρ,σ)|x − y |,

114 Equações fracamente não-lineares - caso não-crítico

(iii) q(t , x,ǫ) é contínua em x, ǫ, uniformemente para t ∈R,

for all (t , x,ǫ), (t , y,ǫ)∈R×Ω(ρ,σ), 0≤ ρ ≤ ρ0 e 0≤σ≤ ǫ0.

1) Se q ∈L i p(η, M ) então q(·, x,ǫ) ∈B(R).

|q(t , x,ǫ)| ≤ |q(t , x,ǫ)−q(t ,0,ǫ)|+|q(t ,0,ǫ)| ≤ η(ρ,σ)|x|+M (|ǫ|), par a(t , x,ǫ)∈R×Ω(ρ,σ)

• Uma função q ∈ A P ∩L i p(η, M ) se q ∈ L i p(η, M ) e para cada ǫ fixo,

q(t , x,ǫ) é AP em t uniformemente com respeito a x, para x em com-

pactos.

• Uma função q ∈PT∩L i p(η, M ) se q ∈L i p(η, M ) e q(t+T, x,ǫ)= q(t , x,ǫ)

para todo (t , x,ǫ) ∈R×Ω(ρ0,ǫ0).

2) Se q(t , x,ǫ) → 0 e ∂q(t ,x,ǫ)∂x → 0 quando x → 0, ǫ → 0 uniformemente em t ,

então existem η e M tais que q ∈L i p(η, M ).

Teorem 5.1.1. Suponha D ∈ B(R),A P ,PT . Se q ∈ D ∩L i p(η, M ) e o sis-

tema (H) é não crítico com respeito à D, então existem constantes ρ1 > 0 e ǫ1 >

0, e uma função x∗(t ,ǫ) contínua em t ,ǫ para t ∈ R, 0 ≤ |ǫ| ≤ |ǫ1|, x∗(t ,0) = 0,

x∗(·,ǫ) ∈D, |x∗(·,ǫ)| ≤ ρ1, 0 ≤ |ǫ| ≤ ǫ1. tal que x∗(t ,ǫ) é uma solução de

x = A(t )x +q(t , x,ǫ), (5.1.1)

e é a única solução em D com norma ≤ ρ1.

Se D =A P então m[x∗(·,ǫ)] ⊂ m[q, A], 0 ≤ |ǫ| ≤ ǫ1.

Demonstração: Para um dado ρ1 > 0, 0 ≤ ρ1 ≤ ρ0, seja Dρ1 = x ∈ D, |x| ≤ ρ1.

Então Dρ1 é um subconjunto fechado e limitado do espaço de Banach D. Para

5.1 Equações fracamente não-Lineares - caso não-crítico 115

qualquer x ∈ Dρ1, a função q(·, x(·),ǫ) ∈ D (para o caso A P , ver Teorema 12,

apêndice).

Como (H) é não-crítico com respeito a D, podemos considerar a transfor-

mação w =T x, x ∈D, definida por

w =T x =Kq(·, x(·),ǫ),

onde K é o operador definido no Teorema 1.1. Do Teorema 1.1, Tq(·, x(·),ǫ) ∈

D, sempre que x ∈Dρ1. Assim

T : Dρ1 →D.

Mais ainda, os pontos fixos de T em Dρ1 são exatamente as soluções de (5.1.1)

em Dρ1.

Vamos agora usar o Teorema da Contração de Banach para mostrar que

T tem um único ponto fixo em Dρ1 para ρ1 e |ǫ| suficientemente pequenos.

Como q ∈L i p(η, M ),

|q(t , x,ǫ)| ≤ η(ρ1,ǫ1)|x|+M (ǫ1), para (t , x,ǫ)∈R×Ω(ρ1,ǫ1).

Seja k a constante do Teorema 1.1. Escolhamos ρ1 ≤ ρ0 e ǫ1 ≤ ǫ0 positivos

tais que

kη(ρ1,ǫ1) ≤ 1

2e

k

ρ1M (ǫ1) ≤ 1

2,

assim

kη(ρ1,ǫ1)ρ1 +kM (ǫ1) < ρ1,


isto é,

k[η(ρ1,ǫ1)ρ1 +M (ǫ1)] < ρ1.

Agora, com estas escolhas de ρ1 e ǫ1 temos

|T x| = |K q(·, x(·),ǫ)| ≤ k|q(·, x(·),ǫ)|

≤ k[η(ρ1,ǫ1)|x(·)|+M (ǫ1)] ≤ k[η(ρ1,ǫ1)ρ1 +M (ǫ1)]

< ρ1

Logo T : Dρ1 →Dρ1, e para todo x, y ∈Dρ1 e 0 ≤ |ǫ| ≤ ǫ1|

|T x −T y | = |K q(·, x(·),ǫ)−K q(·, y(·),ǫ)|

≤ k|q(·, x(·),ǫ)−q(·, y(·),ǫ)|

≤ kη(ρ1,ǫ1)|x − y |,

e

kη(ρ1,ǫ1) ≤ 1

2.

Logo T é uma contração uniforme em Dρ1 para 0 ≤ |ǫ| ≤ ǫ1 e tem um único

ponto fixo x∗(t ,ǫ)∈Dρ1.

Como q(t , x,ǫ) é contínua em x,ǫ, uniforme em t ∈ R, x∗(t ,ǫ) é contínua

em t ,ǫ, t ∈R, 0 ≤ |ǫ| ≤ ǫ1. Para ǫ= 0, x = 0 é claramente uma solução de (5.1.1),

logo x∗(·,0) = 0.

Para provar a última afirmação do teorema, suponha α′n uma sequên-

cia em R. Seja M um compacto contendo x∗(t ,ǫ), t ∈ R,0 ≤ |ǫ| ≤ ǫ1. O Teo-

rema 11 do Apêndice garante que existe αn ⊂ α′n tal que q(t +αn , x,ǫ)

converge uniformemente para t ∈ R, x ∈ M e cada ǫ fixo. Como x∗(t ,ǫ) =

5.2 Propriedade geral do ponto de sela 117

K q(·, x∗(·,ǫ),ǫ) e K é linear contínua em B(R), temos que x∗(t+αn ,ǫ) con-

verge uniformemente para t ∈R para cada ǫ fixo.

O fato que m[x∗(·,ǫ)] ⊂ m[q, A] segue do Teorema 8 do Apêndice.

5.2 Propriedade geral do ponto de sela

Vamos reduzir a equação

x = A(t )x +q(t , x,ǫ) (5.2.1)

a uma forma mais simples.

Seja x = x∗(·,ǫ)+ y , onde x∗(·,ǫ) é a função dado no Teorema 5.1.1. Se x é

solução de (5.2.1) então

x = A(t )x +q(t , x,ǫ)= A(t )x∗(t ,ǫ)+ A(t )y +q(t , x∗(t ,ǫ)+ y,ǫ)

e

x = x∗(t ,ǫ)+ y = A(t )x∗(t ,ǫ)+q(t , x∗(t ,ǫ),ǫ)+ y .

Logo

y = A(t )y +q(t , x∗(t ,ǫ)+ y,ǫ)−q(t , x∗(t ,ǫ),ǫ)︸︷︷︸

=p(t ,y,ǫ)

. (5.2.2)

Se q ∈L i p(η, M ) então p ∈L i p(η,0).

Para simplificar ainda mais as equações, seja X (t ) = P (t )eB t , onde B é a

matriz constante, a matrix principal de (H), e seja y =P (t )z.


Se y é solução de (5.2.2) então P (t )= X (t )e=B t e

y = P (t )z+P (t )z = ((x)(t )e−B t−B X (t )e−B t )z+P (t )z = A(t )P (t )z︸︷︷︸

y

−BP (t )z+P (t )z

y = A(t )y +p(t , y,ǫ).

Logo P (t )z −BP (t )z = p(t , y,ǫ), e assim

z = B z +P−1(t )p(t ,P (t )z,ǫ)︸︷︷︸

:= f (t ,z,ǫ)

(5.2.3)

Finalmente, garantimos que se q ∈D∩L i p(η, M ) então f ∈D∩L i p(η,0),

para D ∈ B(R),A P ,PT .

O restante da discussão está centrada em (5.2.3) com a hipótese de que

f ∈ L i p(η,0) e os autovalores da matriz B têm parte real não-nulas, k com

parte real positiva e n −k com parte real negativa. Então decompomos

Cn =Cn+⊕Cn

− , Cn+ =π+C

n , Cn− =π−C

n,

onde π+,π− são os operadores projeção, Cn+ tem dimensão k e Cn

− tem di-

menão n −k , Cn+ e Cn

− são invariantes sob B , e existem k ,α≥ 0 tais que

|eB tπ+z| ≤ keαt |π+z| , t ≤ 0

|eB tπ−z| ≤ keαt |π−z| , t ≥ 0.

Para σ ∈R, seja z(t ,σ, zσ,ǫ) a solução de (5.2.3) com z(σ,σ, zσ,ǫ) = zσ. Seja


k a constante acima, e para δ> 0 defina

S(σ,δ,ǫ) = zσ ∈Cn : |π−zσ| < δ

2k, |z(t ,σ, zσ,ǫ)| < δ, t ≥σ

U (σ,δ,ǫ) = zσ ∈Cn : |π+zσ| < δ

2k, |z(t ,σ, zσ,ǫ)| < δ, t ≤σ

.

Além disso, seja B nρ = z ∈Cn : |z| < ρ.

Teorem 5.2.1. Se f ∈L i p(η,0) e os autovalores de B têm parte real não nula,

então existem δ > 0, ǫ1 > 0, β > 0 tais que para qualquer σ ∈ R, 0 ≤ |ǫ| ≤ ǫ1, a

aplicação π− é um homeomorfismo de S(σ,δ,ǫ) sobre (π−Cn)∩B n

δ/2k . S(σ,δ,0)

é tangente a π−Cn em zero, e

|z(t ,σ, zσ,ǫ)| ≤ 2k|π−zσ|e−β(t−σ) , t ≥σ,

para qualquer zσ ∈ S(σ,δ,ǫ). A aplicaçãoπ+ é um homeomorfismo de U (σ,δ,ǫ)

em (π+Cn)∩B n

δ/2k , U (σ,δ,0) é tangente a π+Cn em zero, e

|z(t ,σ, zσ,ǫ)| ≤ 2k|π+zσ|eβ(t−σ) , t ≤σ,

para qualquer zσ ∈U (σ,δ,ǫ).

Mais ainda, se g (·,σ,ǫ) : (π−Cn)∩B n

δ/2k → S(σ,δ,ǫ) é a inversa do homeo-

morfismo π−, então g (z−,σ,ǫ) é Lipschitziana em z− com constante de Lips-

chitz 2k.

Se f ∈ A P ∩L i p(η,0) então g (z−,σ,ǫ) é A P em σ com módulo contido

em m[ f ]. Se f ∈PT ∩L i p(η,0), então g (z−,σ,ǫ) é T-periódica em T.

Valem as mesmas condições para a inversa deπ+ de U (σ,δ,ǫ) sobre (π+Cn)∩


B nδ/2k .

Demonstração: A prova é bastante similar a da propriedade usual de ponto

de sela. Vamos destacar as diferenças.

Podemos mostrar que para cada solução z(t ) de (5.2.3) que é limitada em

[σ,∞), existe z− ∈Cn− tal que

z(t ) = eB(t−σ)z−+∫t

σeB(t−s)π− f (s, z(s),ǫ)d s+

∫0

∞e−B sπ+ f (t+s, z(t+s),ǫ)d s , t ≥σ

e para qualquer solução z(t ) de (5.2.3) que é limitada em (−∞,σ], existe um

z+ ∈Cn+ tal que z(t ) satisfaz a relação

z(t ) = eB(t−σ)z++∫t

σeB(t−s)π+ f (s, z(s),ǫ)d s+

∫0

−∞e−B sπ− f (t+s, z(t+s),ǫ)d s , t ≤σ.

Ver o restante no livro.

Agora suponha que f ∈ A P ∩L i p(η,0). Provemos que a representação

g (z−,σ,ǫ) de S(σ,δ,ǫ) é AP em σ com módulo contido em m[ f ].


Como

g (z−,σ,ǫ) = z−+∫0

∞e−B sπ+ f (σ+ s, z∗(σ+ s,σ, z−,ǫ),ǫ)d s,

será necessário estimar z∗(σ+ s,σ, z−,ǫ) como uma função de σ e s.

Para simplificar a notação, seja z(t ,σ) = z∗(t ,σ, z−,ǫ), f (t , z) = f (t , z,ǫ). A

equação para z(σ+ t ,σ) se torna

z(σ+t ,σ) = eB t z−+∫t

0eB(t−s)π− f (σ+s, z(σ+s,σ))d s+

∫0

∞e−B sπ+ f (σ+t+s, z(σ+t+s,σ))d s.

(5.2.4)

O objetivo é mostrar que z(σ+ t ,σ) é AP em σ se f ∈ A P ∩L i p(η,0).

Suponha que α′ = α′n é uma sequência em R. Existe uma subsequência α=

αn de α′ tal que f (t +αn , z) converge uniformemente para t ∈ R, |z| ≤ δ.

Para n,m ∈N, sejam

γn,m = sups∈R,|z|≤δ

| f (s +αn, z)− f (s +αm, z)|

un,m(t ,σ) = |z(σ+ t +αn,σ+αn)− z(σ+ t +αm,σ+αm)|.


Então (5.2.4) implica que

un,m(t ,σ) =∣∣∣∣

∫t

0eB(t−s)π− f (σ+αn + s, z(σ+αn + s,σ+αn))d s

+∫0

∞e−B sπ+ f (σ+ t +αn , z(σ+ t +αn ,σ+αn))d s

−∫t

0eB(t−s)π− f (σ+σm + s, z(σ+αm + s,σ+αm))d s

−∫0

∞e−B sπ+ f (σ+ t +αm, z(σ+ t +αm,σ+αm))d s

∣∣∣∣

≤∫t

0ke−α(t−s)k1| f (σ+αn + s, z(σ+αn + s,σ+αn))

− f (σ+αm + s, z(σ+αm + s,σ+αm))|d s

+∫∞

0ke−αsk1| f (σ+ t +αn , z(σ+ t +αn ,σ+αn))

− f (σ+ t +αm, z(σ+ t +αm,σ+αm))|d s

≤∫t

0kk1e−α(t−s)η(δ,ǫ1)un,m(s,σ)d s +

∫t

0kk1e−α(t−s)γn,md s

+∫∞

0kk1e−αsη(δ,ǫ1)un,m(s,σ)d s +

∫∞

0kk1e−αsγn,md s

=∫t


∫t


+kk1e−αt∫t

0eαsd sγn,m +kk1γn,m

∫∞

0e−αsd s

=∫t


∫t


+kk1e−αt

[eαs

α

]t

0γn,m +kk1γn,m

[e−αs

α

]0

∞

=∫t


∫t


+kk1e−αt

[eαt

α− 1

α

]

γn,m +kk1γn,m

[1

α

]

=∫t


∫t


+kk1

[1

α− e−αt

α

]

γn,m + kk1

αγn,m

︸︷︷︸

≤ 2kk1α γn,m

.


Assim mostramos que

un,m(t ,σ) ≤ 4kk1

αγn,m → 0, n,m → 0.

Logo, z(σ+ t ,σ) é AP em σ com módulo contido no módulo de f . Em partic-

ular, g (z−,σ,ǫ) = z∗(σ,σ, z−,ǫ) é AP com módulo contido em m[ f ].

Se f ∈PT ∩L i p(η,0), então g (z−,σ+T,ǫ)= g (z−,σ,ǫ),∀σ, uma vez que

z(σ+ t +T,σ+T )= z(σ+ t ,σ) , ∀σ, t ,

da unicidade de solução de (5.2.4).

Exemplo 5.2.2. Equação de Van der Pol com termo forçante.

x1 = x2

x2 =−x1 +k(1−x21)x2 +ǫg (t ),

k 6= 0 e ǫ≥ 0 parâmetros reais e g ∈A P .

Se x = (x1, x2), então o sistema fica

x = Ax +q(t , x,ǫ),

onde

A =

0 1

−1 k

e q(t , x,ǫ)=

0

−kx21x2 +ǫg (t )

.

Temos

d et (A −λI )=λ(λ−k)+1=λ2 −kλ+1= 0 e Re(λ) = k

2.


Claramente q ∈A P ∩L i p(η, M ), onde

|q(t , x,ǫ)−q(t , y,ǫ)| = |k||x21x2 − y2

1 y2| ≤ kρ2

︸︷︷︸

η(ρ)

|x − y |

e

|q(t ,0,ǫ)| ≤ ǫsupt∈R

|g (t )|︸︷︷︸

M(ǫ)

.

O Teorema 5.1.1 garante que existem ρ1 > 0, ǫ1 > 0 tais que o sistema tem

uma solução AP x∗(t ,ǫ) com m[x∗(·,ǫ)] ⊂ m[g ], x∗(·,0) = 0 e esta solução é a

única numa ρ1-vizinhança de x1 = x2 = 0.

Como os autovalores de A tem parte real negativa se k < 0 e parte real pos-

itiva e k > 0, o Teorema 5.2.1 garante que a solução x∗(t ,ǫ) é assintoticamente

estável se k > 0 e instável se k < 0.

Capítulo

6

O método alternativo

6.1 Introdução

Nosso objetivo nestas notas será fazer algumas aplicações do Método

Alternativo no estudo de existência e bifurcação de soluções periódicas e lim-

itadas de equações diferenciais não lineares.

Para um estudo mais geral e completo desse método recomendamos o ar-

tigo de Cesari[2] e também o livro de Chow e Hale[3]. Procuramos seguir em

parte as idéias desenvolvidas em Hale[9]. Na parte especí fica de aplicações

a equações de segunda ordem procuramos seguir o artigo de Chow, Hale e

Mallet-Paret[4].

No estudo de soluções limitadas de equações não lineares procuramos es-

tabelecer relação entre o conceito de dicotomia exponencial e a Alternativa

de Fredholm e apresentar alguns resultados obtidos por Rodrigues-Silveira[23,

24] e Rodrigues e Ruas-Filho [21, 22].

Tres boas referências para o estudo de dicotomia exponencial são os livros:

126 O método alternativo

Coppel[6] e Daleccki-Krein[7] e Henry[12]. A bibliografia, do final destas no-

tas, apresenta uma lista de trabalhos interessantes relacionados com o tema

que estamos tratando.

6.2 O método alternativo

Estamos interessados em analisar as soluções da equação:

Lx = N (x,λ) (6.2.1)

Sejam X , Z espaços de Banach e Λ⊂Rk um conjunto aberto. Seja L : X →

Z um operador linear contí nuo e N : X ×Λ→ Z um operador não linear, de

classe C 1.

Consideremos as seguintes hipóteses:

• L é um operador de Fredholm, ou mais precisamente: d i mN (L) := p <

∞, cod i mR(L) := q <∞

• Existem projeções contí nuas: P ∈ L (X ), Q ∈ L (Z ), tal que R(P ) =

N (L), R(I −Q)=R(L).

A Figura 1 será muito útil para entender o estudo que será feito a seguir.

Temos que L|(I−P )(X ) : (I −P )(X ) →R(L) é sobrejetiva e contí nua. Do Teo-

rema do Gráfico Fechado segue que essa aplicação tem inversa K : R(L) →

(I −P )(X ), contí nua. Além disso vale que: K L = I −P e L K = IR(L).

Fazendo x =P x+(I −P )x :=u+v , com u ∈N (L), P v = 0, a equação acima

6.2 O método alternativo 127

(I-P)X

N

X Z

R

(L)

(L)=(I-Q)Z

P Q

Figura 6.1: Decomposição dos Espaços.

é equivalente ao seguinte sistema de equações:

(I −Q)Lv = (I −Q)N (u +v,λ)

QLv =QN (u +v,λ)

que é equivalente a:

Lv = (I −Q)N (u +v,λ)

0 =QN (u +v,λ)

que por sua vez é equivalente a:

v =K (I −Q)N (u +v,λ)

QN (u +v,λ) = 0(6.2.2)

A primeira equação é chamada equação auxiliar.

Em geral, impondo-se condições sobre a não linearidade N , procura-se

resolver a equação auxiliar via Teorema das Função Implí cita ou Teorema

de Ponto Fixo encontrando-se uma unica solução v∗(u,λ). Substituindo na


segunda equação obtemos:

QN (u +v∗(u,λ),λ) = 0

que é chamada equação de bifurcação.

Temos assim q equações com p +k incógnitas.

Exemplo 6.2.1. Seja X =P1ω := g ∈C 1(R,Rn) : g ω-periódica e

Z =Pω := g ∈C (R,Rn) : g ω-periódica

Seja f : R×Rn ×R→ R uma função contí nuamente diferenciável tal que,

f (·, x,λ) é ω-periódica, para cada (x,λ) ∈Rn ×R.

Procura-se estudar as soluções ω-periódicas da equação:

x =λ f (t , x,λ) (6.2.3)

Se g ∈ X , consideremos

(Lg )(t ) := g (t ), N (g ,λ)(t ) :=λ f (t , g (t ),λ)

Neste caso temos que

N (L) = funções constantes, R(L) = g ∈Pω :1

ω

∫ω

0g (t ) d t = 0.

Consideremos as projeções:

Q : Z → Z , (Qg )(t ) := 1

ω

∫ω

0g (s) d s

e seja P a restrição de Q a X .

6.2 O método alternativo 129

Se Qg = 0, temos:

(K g )(·) := (I −P )∫·

0g (s)d s

Alternativa de Fredholm:A equação x = g (t ) tem solução ω-periódica se e

só se (Qg )(t ) = 1ω

∫ω0 g (s) d s = 0. Neste caso existe uma única solução ω-

periódica x(t ) := (K g )(t ) tal que P x = 0.

A equação auxiliar é dada por:

v =K (I −Q)(N (u +v,λ)),

ou equivalentemente,

˙v(t ) =λ f (t ,u +v(t ),λ)− λ

ω

∫ω

0f (s,u +v(s),λ) d s

Seja β> 0, um número real fixado. Existe δ> 0, tal que se |λ| < δ e |u| ≤ β,

tem-se v∗(u,λ), tal que v∗(u,0) ≡ 0. Isto pode ser mostrado utilizando-se o

Teorema do Ponto Fixo de Banach. A equação de bifurcação é então dada

por:

H(u,λ) =Q(N (u +v∗(u,λ),λ)) :=λ1

ω

∫ω

0f (s,u +v∗(u,λ)(s),λ) d s = 0

Excluindo a solução óbvia λ= 0 temos a equação:

h(u,λ) = 1

ω

∫ω

0f (s,u +v∗(u,λ)(s),λ) d s = 0

Por exemplo, se existir u0 < β, tal que ∂h∂u (u0,0) 6= 0, temos que a equação

acima pode ser resolvida numa vizinhanca de (u0,0), encontrando-se u =


u(λ), com u(0) =u0. Se isto não estiver satisfeito, tenta-se resolver de alguma

outra maneira, explorando termos de mais alta ordem.

Consideremos a equação de Van der Pol:

u −λ(1−u2)u +u = 0

ou o sistema equivalente:

u = v

v =−u +λ(1−u2)v

Introduzindo coordenadas polares, u = r cos θ, v =−r sen θ, temos o sis-

tema de equações:

θ = 1+λ(1− r 2cos2 θ)sen θ cos θ

r =λ(1− r 2 cos2 θ) r sen θ

Para valores de r num intervalo limitado e para valores de λ suficiente-

mente pequenos, podemos considerar a equação:

d r

dθ=λg (r,θ,λ) (6.2.4)

onde

g (r,θ,λ) := (1− r 2 cos2 θ) r sen θ

1+λ(1− r 2cos2 θ)sen θ cos θ

Procura-se soluções 2π-periódicas dessa equação. Seguindo o procedi-

mento acima, fazemos r := u + v , onde u é constante e v tem valor médio

6.3 Soluções periódicas 131

zero. Temos assim que resolver a equação:

h(u,λ) = 1

2π

∫2π

0g (θ,u +v∗(u,λ)(θ),λ) dθ= 0 (6.2.5)

Como v∗(u,0) ≡ 0, temos que:

h(u,0) = 1

2π

∫2π

0(1−u2cos2 θ)usi n2 θ dθ= 1

2u(1− u2

4)

Temos assim que u = 0 u = 2 e u = −2 são soluções de h(u,0) = 0. Além

disso, dhdu 6= 0, para esses valores. Daí segue que essa equação pode ser re-

solvida, encontrando-se u = u(λ), na vizinhança de cada um desses pontos,

obtendo-se assim soluções periódicas da equação de van der Pol. Pode-se

mostrar que u = 2 e u =−2 dão origem à mesma órbita. Para mais detalhes,

tais como a recuperação das informações em termos das variáveis originais,

ver Hale[9,p.187].

6.3 Soluções periódicas

Seja A(t ) uma matriz n ×n, ω-periódica e contí nua em t . Seja F :

R×Rn ×Rk →Rn uma função de classe C 1, ω-periódica. Nosso objetivo neste

capí tulo será estudar soluções periódicas da seguinte equação:

x = A(t )x +F (t , x,λ)

Consideremos a equação diferencial:

x = A(t )x (H)


Se X (t ) é uma matriz fundamental, seja T (t , s)= X (t )X −1(s) o operador de

evolução.

Seja f : R → Rn uma função contí nua e ω-periódica. Consideremos a

equação não homogênea:

x = A(t )x + f (t ) (N H)

Supomos em primeiro lugar que a única solução ω-periódica de (H) é a

solução nula. Isto é equivalente a dizer que T (ω,0)x0 = x0 implica x0 = 0, ou

ainda que I −T (ω,0) é invertí vel.

Neste caso dizemos que o sistema (H) é não crí tico com relação ao espaço

Z := Pω := g ∈ C (R,Rn) : g é ω-periódica. Seja X := Pω := g ∈ C 1(R,Rn) :

g é ω-periódica.

Uma solução de (NH) é dada por

x(t ) = T (t ,0)x0 +∫t

0T (t , s) f (s) d s.

Essa solução é ω-periódica se e só se:

x0 =T (ω,0)x0 +∫ω

0T (ω, s) f (s) d s =T (ω,0)x0 +T (ω,0)

∫ω

0T (0, s) f (s) d s

Assim, no caso não crí tico, temos que x(t ) é solução ω-periódica se e só se:

x0 = (I −T (ω,0))−1∫ω

0T (0, s) f (s) d s.

Consideremos agora o caso crí tico. A equação

(I −T (ω,0))x0 =∫ω

0T (ω, s) f (s) d s


tem solução se e só se, para toda solução y0 de

y0(I −T (ω,0)) = 0

tem-se

y0

∫ω

0T (ω,0) f (s) d s =

∫ω

0y0T (ω, s) f (s) d s = 0

Vemos que y0T (ω, s) é solução ω-periódica da equação adjunta:

y =−y A(t ) (Ad j )

se e só se y0(I −T (ω,0)) = 0.

Lema 6.3.1. (Alternativa de Fredholm) A equação não homogênea (N H) tem

solução ω-periódica se e só se f é ortogonal a todas as soluções ω-periódicas

da equação adjunta (Ad j ).

Observações

• Pode-se mostrar que a dimensão do espaço das soluções ω-periódicas

da equação homogênea (H) é igual à dimensão do espaço da soluções

ω-periódicas da equação adjunta (Ad j ).

• Se f não for ortogonal a todas as soluções ω-periódicas da equação ad-

junta então pode-se mostrar que toda solução de (N H) é não limitada.

Neste caso tomamos: (Lx)(t ) := x(t )− A(t )x(t ) e temos

N (L) = x : x é solução ω-periódica de (H)


R(L) = g ∈ Z :∫ω

0y(s)g (s) d s = 0,∀ solução ω-periódica, y , de (Ad j )

Nosso próximo objetivo será construir as projeções.

SejaΦ := (φ1, · · · ,φp), tal que φ1, · · · ,φp é uma base de soluçõesω-periódicas

de (H). Sem perda de generalidade, podemos supor que:

∫ω

0Φ

∗(t )Φ(t ) d t = Ip×p

onde (∗) indica a transposta.

Definimos a projeção P : X →N (L) por

(P f )(t ) :=Φ(t )∫ω

0Φ

∗(s) f (s) d s.

Poderí amos, também sem perda de generalidade, em vez da condição

acima assumir que:

Φ∗(0)Φ(0) = Ip×p

e então tomar a projeção:

(P f )(t ) :=Φ(t )Φ∗(0) f (0)

Analogamente, consideramos uma base de soluções ψ1, . . . ,ψp, ω-periódicas

da equação adjunta (Ad j ),

Ψ :=

ψ1

...

ψp

A escolha da projeção mais conveniente é em geral ditada pelo problema


que está sendo tratado.

Também, sem perda de generalidade podemos supor que:

∫ω

0Ψ(s)Ψ∗(s) d s = Ip×p.

Definimos a projeção I −Q : Z →R(L), através de:

(Q f )(t ) :=Ψ∗(t )

∫ω

0Ψ(s) f (s) d s.

O Lema 3.1 pode então, neste caso, ser refraseado da seguinte maneira:

Teorem 6.3.2. (Alternativa de Fredholm) A equação não homogênea (N H)

tem solução ω-periódica se e só se Q f = 0. Se Q f = 0 então (N H) tem uma

única solução ω-periódica, x(t ) := (K f )(t ), tal que PK f = 0.

Consideremos agora a equação:

x = A(t )x +F (t , x,λ) (6.3.1)

Assuminos novamente que F : R×Rn ×Rk é continuamente diferenciável

e que f (·, x,λ) é ω-periódica. Como anteriormente, fazemos x = u + v , com

P v = 0 e obtemos o sistema:

v =K (I −Q) f (·,u +v,λ)

Q f (·,u +v,λ)= 0

Impondo condições sobre f , pode-se resolver a equação auxiliar, obtendo-

se v∗(u,λ)(t ). Substituindo-se na segunda equação, obtemos:

Q f (·,u +v∗(u,λ)(·),λ) = 0,


ou equivalentemente,

H(u,λ) :=∫ω

0Ψ(t ) f (t ,u +v∗(u,λ)(t ),λ) = 0

Observação 6.3.3. O sistema x = Ax é não crí tico com relação a Pω, se e só se,

para todo autovalor µ de A tem-se µ 6= 2nπiω

, ∀n ∈Z.

6.4 Soluções limitadas

Seja A(t ) uma matriz n ×n, contí nua em t ∈R. Consideremos o sistema:

x = A(t )x (H)

Definição 6.4.1. Dizemos que o sistema (H) admite uma dicotomia exponen-

cial em R+ se existirem constantes positivas, K , α e projeção P+(s), para cada

s ≥ 0, tal que T (t , s)P+(s) = P+(t )T (t , s),

‖T (t , s)P+(s)‖ ≤K e−α(t−s), t ≥ s ≥ 0

‖T (t , s)(I −P+(s))‖ ≤K e−α(s−t), s ≥ t ≥ 0

Observação 6.4.2. Valem os seguintes resultados:

• Se P+(0)x0 = x0 então T (t ,0)x0 é solução limitada de (H).

• Se (I −P+(0))x0 6= 0 então T (t ,0)x0 é solução não limitada de (H).

Temos a seguinte definição análoga para t ≤ 0.

Definição 6.4.3. Dizemos que o sistema (H) admite uma dicotomia exponen-

cial em R− se existirem constantes positivas, K , α e projeção P−(s), para cada

6.4 Soluções limitadas 137

s ≤ 0, tal que

‖T (t , s)P−(s)‖ ≤K e−α(s−t), t ≤ s ≤ 0

‖T (t , s)(I −P−(s))‖ ≤K e−α(t−s), s ≤ t ≤ 0

Utilizando-se a mesma idéia, pode-se definir dicotomia exponencial em

R. Um sistema linear autônomo x = Ax, onde A é uma matriz n ×n, admite

dicotomia exponencial em R+ se e só se A não tem autovalores no eixo imag-

inário. Neste caso pode-se tomar a projeção:

P+(0) := 1

2πi

∫

γ(zI − A)−1 d z

onde γ é qualquer curva simples retificável fechada contida no semi-plano

à esquerda que contem no seu interior todos os autovalores de A que têm

parte real negativa.

Neste caso podemos tomar P+(s) ≡ P+(0). para s ≥ 0. A seguir daremos

uma interpretação geométrica do conceito de dicotomia exponencial.

Seja X um espaço de Banach, e S1, S2 sub-espaços fechados. Define-se a

distância angular entre esses dois sub-espaços como sendo:

Sn(S1,S2) := infxk∈Sk , ‖xk‖=1, k=1,2

‖x1 +x2‖

Quando estivermos trabalhando em um espaço de Hilbert temos:

Sn(S1,S2) = 2 sen(θ

2)

onde θ é o ângulo mí nimo entre os sub-espaços S1, S2.

Suponhamos que (H) admite dicotomia exponencial em R+. Seja S1(t ) :=


R(P+(t )) e S2(t ) :=R(I−P+(t )). Então, condições iniciais em S1(0) dão origem

a soluções que decaem exponencialmente, condições iniciais em S2(0) dão

origem a soluções que crescem exponencialmente e a distância angular en-

tre os sub-espaços S1(t ), S2(t ) é maior ou igual a um número positivo.

Num certo sentido, a recí proca do resultado acima também é válida. Os

próximos resultados dizem respeito à robustez do conceito de dicotomia ex-

ponencial.

Consideremos os sistemas:

x = A(t )x (H)

x = A(t )x +B(t )x (P )

onde A(t ) e B(t ) são contí nuas em J :=R+, R−, ou R.

Teorem 6.4.4. Suponhamos que (H) admite dicotomia exponencial em J. En-

tão existe δ > 0, tal que se supt∈J ‖B(t )‖ ≤ δ, então o sistema (P ) admite dico-

tomia exponencial em J.

Teorem 6.4.5. Suponhamos que (H) admite dicotomia exponencial em R+.

Se∫∞

0 ‖B(t )‖ d t <∞, então o sistema (P ) admite dicotomia exponencial em

R+.

Este último teorema tem um correspondente em R−.

Seja f : R → Rn uma função contí nua e limitada. Consideremos os sis-

temas:

x = A(t )x + f (t ) (N H)

y =−y A(t ) (Ad j )


Teorem 6.4.6. (Alternativa de Fredholm) Supomos que (H) admite dicoto-

mia exponencial em R+ e em R−. Então:

• Toda solução limitada em R da equação (Ad j ) decai exponencialmente

quando |t |→∞.

• Se f é limitada em R então (N H) tem solução limitada em R, se e só se f é

ortogonal a todas as soluções limitadas em R da equação adjunta, (Ad j ).

Prova: Seja X0 o subespaço de Rn, constituido das condições iniciais, em

t = 0, de soluções de (H) que são limitadas em R. Seja X +(resp. X −), o sub-

espaço, tal que X0⊕X +(resp. X0⊕X −) seja o sub-espaço das condições iniciais

de soluções limitadas em R+(resp.R−). Seja X1 um sub-espaço tal que X0 ⊕

X +⊕X −⊕X1 =Rn. Sejam P0, P+, P−, P1 as projeções correspondentes.

Definimos: P+(s) := T (s,0)(P0 +P+)T (0, s), P−(s) := T (s,0)(P0 +P−)T (0, s).

Pode-se provar que com essas novas projeções, temos dicotomias expo-

nenciais em R+ e em R− (Ver Coppel[6,p.16]).

Da Fórmula da Variação das Constantes segue que se x(t ) é solução de

(N H), então existe x0 tal que:

x(t ) = T (t ,0)x0 +∫t

0T (t , s) f (s) d s.

Para t ≥ 0, temos:

∫t

0T (t , s) f (s) d s =

∫t

0T (t , s)P+(s) f (s) d s +

∫t

0T (t , s)(I −P+(s)) f (s) d s =

∫t

0T (t , s)P+(s) f (s) d s+

∫t

∞T (t , s)(I−P+(s)) f (s) d s+

∫∞

0T (t , s)(I−P+(s)) f (s) d s


Assim

x(t ) = T (t ,0)[x0 +∫∞

0T (0, s)(I −P+(s)) f (s) d s]+

∫t

0T (t , s)P+(s) f (s) d s +

∫t

∞T (t , s)(I −P+(s)) f (s) d s

Da dicotomia exponencial segue que:

‖∫t

0T (t , s)P+(s) f (s) d s +

∫t

∞T (t , s)(I −P+(s)) f (s) d s‖≤

[∫t

0K e−α(t−s) d s +

∫t

∞K e−α(s−t) d s]‖ f ‖∞ ≤ 2K

α‖ f ‖∞.

Temos assim que x(t ) é limitada em R+, se e só se:

(I −P+(0))(x0 +∫∞

0T (0, s)(I −P+(s)) f (s) d s)= 0

e daí :

(I −P+(0))x0 =−∫∞

0T (0, s)(I −P+(s)) f (s) d s =−

∫∞

0(I −P+(0))T (0, s) f (s) d s

Daí decorre que:

(I −P−(0))(I −P+(0))x0 =−∫∞

0(I −P−(0))(I −P+(0))T (0, s) f (s) d s (6.4.1)

Analogamente, para t ≤ 0 podemos escrever:

x(t ) = T (t ,0)[x0 −∫0

−∞T (0, s)(I −P+(s)) f (s) d s]+

∫t

0T (t , s)P−(s) f (s) d s +

∫t

−∞T (t , s)(I −P−(s)) f (s) d s


Assim x(t ) é limitada em R−, se e só se,

(I −P−(0))(x0 −∫0

−∞T (0, s)(I −P−(s)) f (s) d s)= 0


(I−P−(0))x0 = (I−P−(0))∫0

−∞T (0, s)(I−P−(s)) f (s) d s =

∫0

−∞(I−P−(0))T (0, s) f (s) d s

A relação acima implica:

(I −P+(0))(I −P−(0))x0 =∫0

−∞(I −P+(0))(I −P−(0))T (0, s) f (s) d s (6.4.2)

Como P+(0) comuta com P−(0), temos de (4.1) e (4.2) que:

∫∞

−∞(I −P+(0))(I −P−(0))T (0, s) f (s) d s = 0 (6.4.3)

Mostremos agora que toda solução limitada em R da equação (Ad j ) é da

forma y0(I −P+(0))(I −P−(0))T (0, s).

Seja z0T (0, s) solução de (Ad j ), limitada em R. Afirmamos que z0P+(0) =

0. Suponhamos que não. Seja w0 := z0P+(0) Temos que w0P+(0) = w0 6= 0 e

então temos:

‖w0‖= ‖w0P+(0)‖ = ‖w0T (0, s)T (s,0)P+(0)‖ ≤

‖w0T (0, s)‖‖T (s,0)P+(0)‖ ≤ ‖w0T (0, s)‖K e−αs .


Logo,eαs

K‖w0‖ ≤ ‖w0T (0, s)‖

o que dá uma contradição.

Temos assim que z0(I−P+(0)) = z0. Com raciocí nio semelhante mostra-se

que z0(I −P+(0))(I −P−(0)) = z0.

Concluí mos que z0T (0, s) solução de (Ad j ), é limitada em R, se e só se,

z0T (0, s) = z0(I −P+(0))(I −P−(0))T (0, s), o que demonstra nossa afirmação.

Reciprocamente, suponhamos que:

∫∞

−∞(I −P+(0))(I −P−(0))T (0, s) f (s) d s = 0

e mostremos que a equação (N H) tem solução limitada em R.

Tomemos x0, tal que:

(I −P−(0))x0 =∫0

−∞(I −P−(0))T (0, s) f (s) d s

(I −P+(0))x0 =−∫∞

0(I −P+(0))T (0, s) f (s) d s

P+(0)P−(0)x0 = 0

Daí decorre que a solução:

x(t ) := T (t ,0)x0 +∫t

0T (t , s) f (s) d s

é limitada em R.

Teorem 6.4.7. (Recí proca da Alternativa de Fredholm) Supomos que ‖A(t )‖

é limitada em R. Supomos que valem as seguintes hipóteses:


• Toda solução limitada em R da equação (Ad j ) decai exponencialmente

quando |t |→∞.

• Se f é limitada em R então (N H) tem solução limitada em R, se e só se f é

ortogonal a todas as soluções limitadas em R da equação adjunta, (Ad j ).

Então (H) admite dicotomia exponencial em R+ e em R−.

Os resultados acima, para soluções limitadas, foram desenvolvidos em

versões mais gerais em Rodrigues-Silveira[23,24] e Rodrigues e Ruas-Filho[22].

Nosso próximo objetivo será fazer uma preparação para a utilização do

Método Alternativo, encontrando projeções convenientes.

Neste caso vamos tomar (Lx)(t ) := x(t )− A(t )x

Seja Φ := (φ1, · · · ,φp), onde φ1, · · · ,φp é uma base de soluções limitadas

em R de (H). Sem perda de generalidade, podemos supor que:

Φ∗(0)Φ(0) = Ip×p


(P f )(t ) :=Φ(t )Φ∗(0) f (0).

Analogamente, consideramos uma base de soluções ψ1, . . . ,ψq limitadas

em R da equação adjunta (Ad j ), Ψ :=

ψ1

...

ψq

.

Também, sem perda de generalidade podemos supor que:


∫∞

−∞Ψ(s)Ψ∗(s) d s = Iq×q .

Definimos a projeção I −Q : Z →R(L), a partir de:

(Q f )(t ) :=Ψ∗(t )

∫∞

−∞Ψ(s) f (s) d s.

Teorem 6.4.8. (Alternativa de Fredholm) A equação não homogêna (N H)

tem solução limitada em R se e só se Q f = 0. Se Q f = 0 então (N H) tem uma

única solução limitada em R, x(t ) := (K f )(t ), tal que PK f = 0.

Nosso próximo objetivo será aplicar os resultados acima no estudo de per-

turbação em torno de órbita homoclí nica ou heteroclí nica.

Consideremos os sistemas:

x = f (x) (NP )

x = f (x)+F (t , x,λ) (P )

onde f : Rn →Rn e F : R×Rn×Rk →Rn são funções de classe C 2 e F (t , x,0)≡ 0.

Sejam Ai := fx(xi ), i = 1,2, onde xi , i = 1,2 são pontos de equilí brio de

(P ) e supomos todos os autovalores de Ai têm parte real não nula. Não ex-

cluí mos a possibilidade x1 = x2 (caso homoclí nico). Assumimos também

que existe uma órbita ligando os pontos de equilí brio xi , i = 1,2. Seja x(t )

uma parametrização dessa órbita. Assumimos que x(t ) pertence à variedade

instável de x1 e à variedade estável de x2.

Pode-se mostrar que x(t ) → x1, (x2), quando t →+∞, (−∞), respectiva-

mente, exponencialmente.


Vamos então procurar solução x(t ) de (P ), próxima de alguma transladada

de x(t ). Seja S1 := x(0)+S a secção normal a x(t ), por x(0), onde S é um sub-

espaço vetorial do Rn de dimensão n −1.

Seja α ∈R, tal que, x(t −α) esteja próxima de x(t ) e tal que x(−α) ∈ S1.

Introduzindo a mudança de variáveis: x(t −α) := x(t )+ z(t ), com z(0) ∈ S,

obtemos o sistema:

z = fx(x(t ))z +G(t , z,λ,α) (6.4.4)

onde G(t , z,λ,α) := f (x(t )+z)− f (x(t ))− fx (x(t ))z+F (t−α, x(t )+z,λ) =O(|λ|+

|z|2).

Seja A(t ) := fx(x(t )) e consideremos os sistemas:

x = A(t )x (H)

x = A(t )x + f (t ) (N H)

y =−y A(t ) (Ad j )

Temos que:

‖A(t )− A2‖ = ‖ fx(x(t ))− fx(x2)‖ ≤ const.‖x(t )−x2‖

que decai exponencialmente, quando t →∞. Raciocí nio semelhante pode

ser feito quando t →−∞.

Assim o sistema (H) admite dicotomia exponencial em R+ e em R− e por-

tanto vale a Alternativa de Fredholm para soluções limitadas em R.

Sabemos que φ1(t ) := ˙x(t)‖ ˙x(0)‖ é uma solução limitada de (H).

Seja Φ := (φ1, · · · ,φp) uma base de soluções limitadas em R de (H). Sem


perda de generalidade, podemos supor que:

Φ∗(0)Φ(0) = Ip×p


(P f )(t ) :=Φ(t )Φ∗(0) f (0).

Analogamente, consideramos uma base, ψ1, . . . ,ψq, de soluções limitadas

em R da equação adjunta (Ad j ). Seja, Ψ :=

ψ1

...

ψq

.

Também, sem perda de generalidade podemos supor que

∫∞

−∞Ψ(s)Ψ∗(s) d s = Iq×q .


(Q f )(t ) :=Ψ∗(t )

∫∞

−∞Ψ(s) f (s) d s.

Fazemos agora z(t ) :=Φ(t )a+w(t ), onde a :=

a1

...

ap

. Como P w = 0 implica

que (φ1(0))∗w(0) = 0 e como queremos que z(0) ∈ S seja ortogonal a ˙x(0),

6.5 Aplicações 147

temos que impor a1 = 0 e então a =

0

a2

...

ap

.

A equação auxiliar é então dada por

w =K (I −Q)[G(·,Φ(·)a +w,λ,α)] (6.4.5)

Do Teorema das Funções Implí citas segue que a equação acima pode ser

resolvida numa vizinhança da origem, encontrando-se solução w∗(a,α,λ)(t )

que satisfaz

w∗(0,α,0) = 0.

Substituindo-se na equação de bifurcação obtemos:

QG(·,Φ(·)a +w∗(a,α,λ)(·),λ,α) = 0 (6.4.6)


∫∞

−∞Ψ(s)G(s,Φ(s)a +w∗(a,α,λ)(s),λ,α) d s = 0 (6.4.7)

6.5 Aplicações

Vamos considerar a equação:

x + g (x) = 0 (6.5.1)


e a equação perturbada:

x + g (x) =−λ1x +λ2 h(t ) (6.5.2)

ou os sistema equivalentes:

x1 = x2

x2 =−g (x1)(6.5.3)

x1 = x2

x2 =−g (x1)−λ1x2 +λ2 h(t )(6.5.4)

onde h é C 2 e 1-periódica. Exemplos tí picos serão: g (x) = −x + x3, g (x) =

−x +x2, h(t )= cos 2πt

Vamos supor que a origem de (5.1) é um ponto de equilí brio hiperbólico.

Seja g1(x) :=∫x

0 g (s) d s. Vamos assumir que g1 tem um gráfico como mostra

a Figura 2.

6.5.1 O caso periódico (sub-harmônico)

Seja p(t ) :=

p1(t )

p2(t )

uma solução m-periódica do sistema acima, satis-

fazendo p2(0) = p1(0) = 0. Vamos considerar a secção normal como sendo

o eixo x.

Vamos procurar solução m-periódica do sistema (5.2) próxima de p(t +α)

para algum α ∈R. Ver Hale-Táboas [11].


x

g1(x)

Figura 6.2:

Consideremos o sistema variacional:

x = A(t )x (H)

onde A(t ) :=

0 1

−g ′(p1(t )) 0

Supomos que o espaço das soluções m-periódicas de (H) tem dimensão

1. Neste caso temos que Φ(t ) := p(t)|p1(0)| é uma base para este espaço. Temos

também que Φ∗(0)Φ(0) = 1. Consideramos a projeção

(P f )(t ) :=Φ(t )Φ∗(0) f (0).

Consideramos a seguinte base de soluções da equação adjunta: Ψ(t ) := 1ξ

(−p1(t ), p1(t ))

onde ξ :=√

∫m2

−m2‖ p(t )‖2.


Utilizaremos a projeção I −Q : Z →R(L), definida a partir de:

(Q f )(t ) :=Ψ∗(t )

∫m2

−m2

Ψ(s) f (s) d s.

Fazendo x(t −α) := p(t )+ z(t ) em (5.2), com z(0) pertencente ao eixo x,

isto é z2(0) = 0, vamos aplicar o Método Alternativo.

A equação auxiliar é dada por:

z =K (I −Q)[G(·, z,λ,α)] (6.5.5)

onde

G(t , z,λ,α) :=

0

−g (p1(t )+ z1)+ g (p1(t ))+ g ′(p1(t ))z1 −λ1p1(t )−λ1z2 +λ2 h(t −α)

=O(|λ|+ |z|2).

Usando o Teorema das Funções Implí citas resolvemos a equação auxiliar

encontrando z∗(λ,α)(t ). Substituindo na equação de bifurcação, obtemos:

Q[G(·, z∗(λ,α),λ,α)] = 0


λ1

∫m2

−m2

[p1(s)]2 d s =

∫m2

−m2

p1(s) [−g (p1(s)+z∗1 (λ,α)(s))+g (p1(s))+g ′(p1(t ))z∗

1 (λ,α)(s)−λ1z2+λ2 h(s−α)]d s


Como,

∫m2

−m2

p1(s) [−g (p1(s)+z∗1 (λ,α)(s))+g (p1(s))+g ′(p1(t ))z∗

1 (λ,α)(s)−λ1z2+λ2 h(s−α)]d s =

λ2

∫m2

−m2

h(s −α)p1(s) d s +·· · ,

o nosso problema fica reduzido a resolver:

λ1

∫m2

−m2

[p1(s)]2 d s =λ2

∫m2

−m2

h(s −α)p1(s) d s +·· ·

Fazendo,

H(α) := 1∫m

2

−m2

[p1(s)]2 d s

∫m2

−m2

h(s −α)p1(s) d s

nossa equação de bifurcação fica sendo dada por:

λ1 =λ2H(α)+·· ·

Temos que H(α) é 1-periódica em α.

Suponhamos a seguinte hipótese:

• H tem um máximo αM e um mí nimo αm com H ′′(αM ) < 0, H ′′(αM ) > 0

e H ′(α) 6= 0, para todos os outros α ∈ [0,2π]. H(αM ) > 0, H(αm) < 0.

Teorem 6.5.1. Dentro das hipóteses acima, existem duas curvas de bifurcação

ΓM , Γm de soluções m-periódicas da equação (5.2). Ver Figura 3

6.5.2 O caso limitado (homoclínico)


λ

λ

Γ

Γ

1

2

M

m

Figura 6.3: Curvas de bifurcação no caso de soluções periódicas.

Seja p(t ) :=

p1(t )

p2(t )

uma solução limitada do sistema acima, satisfazendo

p2(0) = p1(0) = 0. Vamos considerar a secção normal como sendo o eixo x.

Vamos procurar solução limitada em R do sistema (5.2) próxima de p(t +

α) para algum α ∈R.

Consideremos o sistema variacional:

x = A(t )x (H)

onde A(t ) :=

0 1

−g ′(p1(t )) 0

Pode-se mostrar que o espaço das soluções limitadas de (H) e da equação

adjunta, (Ad j ) têm dimensão 1. Neste caso temos que Φ(t ) := p(t)|p1(0)| é uma

base para este espaço. Temos também que Φ∗(0)Φ(0) = 1.


Consideramos a projeção

(P f )(t ) :=Φ(t )Φ∗(0) f (0).

Consideramos a seguinte base so espaço das soluções da equação ad-

junta, limitadas em R: Ψ(t ) := 1ξ

(−p1(t ), p1(t )) onde ξ :=√

∫∞−∞ ‖p(t )‖2.


(Q f )(t ) :=Ψ∗(t )

∫∞

−∞Ψ(s) f (s) d s.

Fazemos x(t −α) := p(t )+ z(t ) em (5.2), com z(0) pertencente ao eixo x,

isto é z2 = 0 vamos aplicar o Método Alternativo. A equação auxiliar é dada

por:

z =K (I −Q)[G(·, z,λ,α)] (6.5.6)

onde

G(t , z,λ,α) :=

0

−g (p1(t )+ z1)+ g (p1(t ))+ g ′(p1(t ))z1 −λ1p1(t )−λ1z2 +λ2 h(t −α)

=O(|λ|+ |z|2).

Usando o Teorema das Funções Implí citas resolvemos a equação auxiliar

encontrando z∗(λ,α)(t ). Substituindo na equação auxiliar, obtemos:

Q[G(·, z ∗ (λ,α),λ,α)] = 0



λ1

∫∞

−∞[p1(s)]2 d s =

∫∞

−∞p1(s) [−g (p1(s)+z∗

1 (λ,α)(s))+g (p1(s))+g ′(p1(t ))z∗1 (λ,α)(s)−λ1z2+λ2 h(s−α)]d s

Como,

∫∞

−∞p1(s) [−g (p1(s)+z∗

1 (λ,α)(s))+g (p1(s))+g ′(p1(t ))z∗1 (λ,α)(s)−λ1z2+λ2 h(s−α)]d s =

λ2

∫∞

−∞h(s −α)p1(s) d s +·· · ,

o nosso problema fica reduzido a resolver:

λ1

∫∞

−∞[p1(s)]2 d s =λ2

∫∞

−∞h(s −α)p1(s) d s +·· ·

Fazendo,

H(α) := 1∫∞−∞ [p1(s)]2 d s

∫∞

−∞h(s −α)p1(s) d s

nossa equação de bifurcação fica sendo dada por:

λ1 =λ2H(α)+·· ·

Temos que H(α) é 1-periódica em α.

Suponhamos a seguinte hipótese:

• H tem um máximo αM e um mí nimo αm com H ′′(αM ) < 0, H ′′(αM ) > 0

e H ′(α) 6= 0, para todos os outros α ∈ [0,2π]. H(αM ) > 0, H(αm) < 0.

Teorem 6.5.2. Dentro das hipóteses acima, existem duas curvas de bifurcação

ΓM , Γm de soluções limitadas em R da equação (5.2). Ver Figura 4


λ

λ

Γ

Γ

1

2

M

m

Figura 6.4: Curvas de bifurcação no caso de soluções limitadas.

Observação 6.5.3. • Para g (x) :=−x+x2 e f (t ) := cos 2πt , obtém-se H(α)=

(const .)sen α. Ver [4].

• Consideremos os sistemas:

x1 = x2

x2 = x1 −x21

(NP )

x1 = x2

x2 = x1 −x21 −λ1x2 +λ2 cos 2πt

(P )

Pode-se mostrar quando é feita uma pequena perturbação de (NP ), obtendo-

se o sistema (P ), a origem de (NP ) transforma-se numa solução per-

iódica pequena de (P ), com as mesmas propriedades locais de estabil-

idade, isto é ela tem uma variedade instável e uma variedade estável

locais semelhantes àquelas correspondentes do sistema (NP ). Pode-se

mostrar que cada solução limitada de (P ) encontrada acima,utilizando-


se o Método de Liapunov-Schmidt, vai tender à solução periódica pe-

quena de (P ), quando |t | →∞. Assim, essas soluções limitadas estarão

na intersecção da variedade estável com a variedade instável da solução

periódica pequena.

• Os resultados acima podem ser estendidos para sistemas bi-dimensionais

do tipo: do tipo:

x = g (x)+F (t , x,λ)

onde x = g (x) é um sistema reversí vel, com as devidas adaptações. Ver

[20].

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Índice Remissivo

função

de translação, 54

base

inteira, 37

racional, 36

conjunto

de translação, 33

dos expoentes, 82

linearmente independente, 36

relativamente denso, 31

convergência em média, 76

dicotomia exponencial, 7, 136

expoentes de uma função, 82

família

uniformemente quase-periódica, 54

função

(Bohr) quase-periódica, 32

a.p. em t uniformemente com relação a x, 45

de translação de Bochner, 55

limit periodic, 37

normal, 33

quase-periódica, 32

quasi-periódica, 37

uniformemente quase-periódica, 30

uniformemente quase-periódica em compactos,

60

hull, 33

módulo, 36, 37

número de translação, 31

sistema não-crítico, 7

transformada de Bohr, 65

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