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OTIMIZAÇÃO DA ROTA ÓTIMA DE

COLETA SELETIVA DE RESÍDUOS NA

ÁREA RURAL DO MUNICÍPIO DE MISSAL

- PARANÁ, UTILIZANDO HEURISTICAS

DE SOLUÇÃO DO PROBLEMA DO

CAIXEIRO VIAJANTE

Matheus Fernando Moro (UTFPR-MD )

[email protected]

Wesley Schroeder (UTFPR-MD)

[email protected]

Gabriel Cabral de Jesus (UTFPR )

[email protected]

O presente trabalho adapta o Problema do Caixeiro Viajante para o

interior de um município de Missal situado na região oeste do Paraná,

aplicando-o na otimização de rota para a coleta seletiva de resíduos.

Primeiramente, através da revisão bibliográfica são apresentadas

algumas definições do Problema do Caixeiro Viajante e métodos para sua

resolução através das heurísticas do Vizinho mais Próximo e Subcircuito

Inverso, que são programadas no software SCILAB® 5.3. Após esta

introdução apresenta-se a metodologia empregada para um problema real

de coleta de resíduos domésticos rurais. O trabalho por fim compara os

resultados obtidos através desta metodologia com o da rota que

atualmente é usada para coleta de resíduos, concluindo que as vantagens

são significativas já que o ganho aproximado é de 20%.

Palavras-chaves: Problema do Caixeiro Viajante. Rota Ótima.

Heurísticas. Coleta de Resíduos.

XXXIII ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO A Gestão dos Processos de Produção e as Parcerias Globais para o Desenvolvimento Sustentável dos Sistemas Produtivos

Salvador, BA, Brasil, 08 a 11 de outubro de 2013.



1

1. Introdução

A preocupação por parte do poder público está intimamente vinculada à aceitação da

administração municipal por parte da população. Os serviços de limpeza absorvem entre 7% e

15% dos recursos de um orçamento municipal, dos quais 50% são destinados exclusivamente à

coleta e ao transporte de resíduos. Certamente, a sua otimização leva a uma economia

significativa dos recursos públicos (CARVALHO, 2001).

Os problemas de otimização de rotas surgem em diversos contextos práticos onde há a

necessidade de minimizar rotas, como no presente trabalho, que trata da coleta do lixo no interior

de um município. Grandes quantias em dinheiro podem ser economizadas a cada ano por

governos e empresas privadas se houver o planejamento e execução destas operações de

minimização das rotas ainda mais se tratando da coleta de resíduos no interior dos municípios

essa economia pode ser ainda maior já que as distâncias entre as chamadas comunidades são bem

maiores do que dentro da área urbana. (KONOWALENKO, 2012).

De uma forma geral, em um município existem quatro tipos principais de coletas

utilizadas para a captação de resíduos: a dos resíduos urbanos, a dos resíduos rurais, a dos

resíduos hospitalares e a coleta seletiva. A coleta de resíduos rurais consiste no recolhimento e

transporte do lixo produzido em residências e atividades em propriedades rurais (DETOFENO,

2010).

Para Darolt (2002), o lixo rural é composto tanto pelos restos vegetais da cultura e

materiais associados à produção agrícolas como: adubos químicos, defensivos e suas embalagens,

dejeto de animais, produtos veterinários, quanto por sobras semelhantes às produzidas nas

cidades, como restos de alimentos, vidros, latas, papéis papelões, plásticos, pilhas e baterias,

lâmpadas etc.

O objetivo deste trabalho é minimizar a rota da coleta de lixo rural, aplicando heurísticas

de melhoramento do Problema do Caixeiro Viajante: Heurística do Subcircuito Inverso e

Heurística do Vizinho mais Próximo, para assim achar uma alternativa na diminuição do gasto

que a administração municipal tem com o transporte de resíduos no interior da cidade.



2

2. Materiais e Métodos

O Problema do Caixeiro Viajante (PCV) tem sido muito utilizado no experimento de

diversos métodos de otimização por ser, principalmente, um problema de fácil descrição e

compreensão, grande dificuldade de solução, uma vez que e NP-Árduo (Karp, 1975), e larga

aplicabilidade (PRESTES, 2006).

Sendo um grafo G = (N,E) onde N = {1,...,n} e o conjunto de nos e E = {1,...,m} e o

conjunto de arestas de G, e custos, cij, associados com cada aresta ligando os vértices i e j, o

problema consiste em localizar o menor ciclo Hamiltoniano do grafo G. O tamanho do ciclo e

calculado pelo somatório dos custos das arestas que formam o ciclo. Os nos do grafo são,

frequentemente, referenciados como “cidades” e, em outras palavras, o objetivo e visitar todas as

cidades passando apenas uma vez por cada cidade, retornando ao ponto de origem. Este percurso

deve ser feito de forma a minimizar a distancia total percorrida.

1.1 Formulação do PCV

Dado um conjunto de n cidades ci e uma matriz de distâncias ,

onde , , , a tarefa passa por encontrar

a permutação que faça com que a função objetivo

(distância do circuito) , onde

atinja o seu mínimo.

O tamanho do espaço de procura aumenta exponencialmente dependendo de n, o número

de cidades, uma vez que existem

circuitos possíveis (a posição inicial é arbitrária, e a ordem do circuito pode ser invertida).



3

Figura 1 – Problema do Caixeiro Viajante

Fonte: GUEDES, 2005

Dependendo da importância que poderá ter o sentido das setas (arestas), entre nós, o PCV

pode-se distinguir em simétrico ou assimétrico (GUEDES, 2005).

1.1.1 Problema do Caixeiro Viajante Assimétrico

Para formular o PCV assimétrico em m cidades, introduzem-se variáveis zero ou um:

Assim, e dado o fato de que a cada nó do grafo apenas pode corresponder e sair uma seta

(Figura 2), um obtém uma atribuição clássica do problema. Estas restrições, contudo não são

suficientes, uma vez que esta formulação permite a ocorrência de subcircuitos, ou seja, mesmo

respeitando as condições impostas, considera-se a formação de aglomerados de cidades sem

ligação. Por esta razão, a formulação do problema tem que possuir condições necessárias para

remoção de subcircuitos. Assim, o problema é reformulado da seguinte forma:



4

Onde:

K é um subconjunto não vazio apropriado das cidades 1, ..., m;

O custo pode ser diferente do custo ;

Existem m(m-1) zero-um variáveis.

Figura 2 – Entrada e saída de uma seta por cada nó.

Fonte: GUEDES, 2005

1.1.2 Problema do Caixeiro Viajante Simétrico



5

Para formular o PCV simétrico, um demonstra que a direção atravessada é imaterial, de

modo que = . Uma vez que a direção não tem interesse, um pode considerar o grafo onde

existe apenas um arco, sem direção, entre todos os pares de nós. Assim, é a variável

de decisão onde j percorre todos os arcos E do grafo, sem direção, e é o custo de percorrer

cada troço.

Para encontrar um circuito neste grafo, um, deve selecionar um subconjunto de arcos, tal

que todos os nós estejam contidos exatamente em dois dos arcos selecionados. Assim, o

problema pode ser formulado como um problema 2-matching no grafo com m(m-1)/2 zero-

um variáveis, isto é, metade do número da formulação anterior. Tal como no caso assimétrico, os

subcircuitos devem ser eliminados através de restrições de eliminação de subcircuitos. O

problema pode então ser formulado como:

onde J(j) é o conjunto de todos os arcos, não direcionados, ligados ao nó j e E(K) é o subconjunto

de todos os arcos, não direcionados, que ligam as cidades em qualquer subconjunto K não vazio

apropriado de todas as cidades.

É evidente que o problema simétrico é um caso especial do assimétrico, mas experiências

práticas demonstram que os algoritmos para o problema assimétrico, regra geral, desenvolvem

mal no simétrico. Assim, este tipo de problemas requerem formulações especiais e tratamentos de

soluções (HOFFMAN, 2000).



6

No caso deste estudo ele é classificado como PCV Assimétrico, já que necessitamos

formar um circuito mais curto para visitar todos os pontos de coleta passando apenas uma vez em

cada ponto e não podendo formar subcircuitos.

1.2 Métodos para solução do PCV

A solução do PCV pode ser determinada por diferentes métodos. Estes, podem ser

agrupados em métodos exatos e heurísticos. Os primeiros têm por base procedimentos branch-

and-bound, isto é, de enumeração implícita em árvore onde é necessário inserir um limite

inferior, no leque de soluções do problema. Existem limites inferiores triviais, como por exemplo,

o elemento mínimo das soluções encontradas. Contudo, estes tipos de métodos demonstram

muita dificuldade quando aplicados a problemas muito complexos, isto é, um PCV com muitas

cidades, uma vez que a árvore de enumeração é muito extensa (CONWAY, 2003).

Os métodos heurísticos são procedimentos bastante particulares, o que os torna inflexíveis

para a determinação de boas soluções para outro problema ligeiramente diferente (APLEGLATE,

2006).

Os métodos heurísticos são procedimentos que tem como objetivo encontrar soluções não

necessariamente ótimas, mas que se aproximam do ponto ótimo do problema (BÄCK, 1996).

Neste trabalho, iremos utilizar dois métodos heurísticos que serão programados no

software SCILAB® 5.3, as heurísticas são apresentadas a seguir.

Os dados das distâncias e pontos de coletas foram fornecidos pela Secretaria de Obras,

Transportes e Urbanismo do município de Missal, Paraná.

1.2.1 Heurística do Subcircuito Inverso

Começa com um circuito viável e tenta melhorá-lo invertendo subcircuitos de duas

cidades, 3 cidades, até subcircuitos com n-1 cidades (TEIXEIRA, 2012).

1.2.2 Heurística do Vizinho Mais Próximo

É caracterizado pela escolha da cidade mais próxima, sempre que o caixeiro se desloque,

até que todas as cidades sejam visitadas.



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Comece o algoritmo pela cidade i (i=1,2,...,n), em seguida ligue a cidade i com a cidade j

(j=1,2,...,n), sendo j a cidade mais próxima de i. Repita o procedimento até que seja concluído o

circuito com as n cidades (TEIXEIRA, 2012).

2. Resultados e Discussões

Missal é uma cidade situada no oeste do Paraná, com 10474 habitantes, destes 5054

residem na área rural. São 1623 domicílios no interior do município. A cidade conta com

programa de coleta de resíduos sólidos na sua área rural, a Secretaria de obras, transporte e

urbanismo é responsável pelo serviço e estabeleceu quatorze pontos de coleta, os quais estão

representados no Quadro 1. A garagem da prefeitura municipal fica na sede do município,

portando o caminhão que faz a coleta tem seu ponto de partida no centro da cidade, representado

pela letra A.

Quadro 1 – Pontos de Coleta de Resíduos Sólidos

Comunidades

A Centro

B Dom Armando

C São José

D Boa Esperança

E Padre Feijó

F Esquina São Paulo

G Santa Cecília

H Três Irmãos

I Vista Alta

J São Pedro

K União da Vitória

L Esquina Gaucha

M Vista Alegre

N São João

O São Silvestre

Fonte: Autores

As distâncias entre as comunidades (pontos de coleta) estão representadas no Quadro 2.



8

Quadro 2 - Distâncias em quilômetros entre os Pontos de Coleta

A B C D E F G H I J K L M N O

A

8 4,6 5,5

5

3 4

4

B 8

6,3

2

C 4,6

4

3

8

D 5,5 6,3

5,7 2,5

8,8

E

5,7

6

3,3

F

2,5 6

G 5

4

4 6

H

2

4

3

I

6 3

J

3

3,7

K 3

2 4,3

L 4

8

3,7

2,6 2,6

M

2 2,6

N 4

4,3 2,6

4

O

8,8 3,3

4

Fonte: Secretaria de Obras, Transporte e Urbanismo de Missal



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As células vazias (sem nenhuma distância) significa que não existe um grafo direto entre

os pontos de coleta, portanto essas distâncias são consideradas infinitas para resolução deste

problema.

A secretaria estabeleceu uma rota na qual é empregada pelo caminhão que coleta os

resíduos a qual é A – L – M – K – N – O – E – F – D – A – C – J – G –H – I – B – A, o percurso

pode ser observado na figura 3, totalizando um distância percorrida de 69 Km, o caminhão faz

esse trajeto duas vezes por semana.

Figura 3 - Rota empregada pelo caminhão de coleta de resíduos

Fonte: Autores

Através do software SCILAB® 5.3, programando os algoritmos das Heurísticas foi obtido

os mesmos resultados tanto para a Heurística do Vizinho mais Próximo quanto para o Subcircuito

Inverso, pode-se observar a rota ótima na figura 4.



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Figura 4 – Rota ótima encontrada pelas Heurísticas empregadas

Fonte:Autores

Os resultados obtidos pelas duas heurísticas podem ser comparados no quadro 3 com a

rota inicial.

Quadro 3 - Comparação entre as Rotas obtidas e a atual.

Rotas Distância

Rota Atual A – L – M – K – N – O – E – F – D –

A – C – J – G –H – I – B – A 69 Km

Vizinho mais

Próximo

A - K - M - L - J - C - G - I - H –

B - D - F - E - O - N - A 55,4 Km

Subcircuito

Inverso

A - K - M - L - J - C - G - I - H –

B - D - F - E - O - N - A 55,4 Km

Fonte: Autores

Podemos perceber que a nova rota tem um ganho de 19,7% em relação à rota atualmente

usada pelo caminhão de coleta, isso pode ser obtido através do quociente entre a distância

encontrada e a distância atual.



11

Sabendo que o caminhão faz esse percurso duas vezes por semana e a diferença entre as

distâncias é de 13,6 Km, durante um mês a distância percorrida economizada será de 108,8 Km,

tomando como base quatro semanas por mês. Quando observado durante o ano o ganho é ainda

mais significativo, durante o ano o caminhão deixará de percorrer 1305,6 Km.

3. Conclusões

Com o objetivo de minimizar a rota de coleta de resíduos no interior do município de

Missal os métodos empregados se mostraram eficientes, já que se obteve um ganho aproximado

de 20% em relação à rota atual.

Conclui-se então que a Secretaria de Obras, Transporte e Urbanismo do município deve

mudar a rota de coleta de resíduos, para assim diminuir o gasto com limpeza publica já que com a

diferença do percurso encontrado, ao longo do ano a economia com combustível diesel, utilizado

pelo caminhão que faz a coleta, pode ser significativa.

Outra solução para o problema poderia ser encontrada caso fosse usado outros métodos,

assim o resultado poderia ser mais satisfatório, já que as heurísticas empregadas não são

comumente utilizadas para resolver problemas mais complexos.



12

4. Referências

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