Otimização Multiobjetivo - Programa de Pós-Graduação em...

Otimização MultiobjetivoIntrodução

Professores:

Eduardo G. CarranoFrederico G. Guimarães

Lucas S. Batista

{egcarrano,fredericoguimaraes,lusoba}@ufmg.brwww.ppgee.ufmg.br/∼lusoba

Universidade Federal de Minas GeraisPrograma de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Brasil

Introdução Literatura Especializada

Apresentação

Sumário

1 IntroduçãoApresentaçãoMetaheurísticasOtimização multiobjetivo

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Apresentação

O que é Otimização?

Em qualquer processo de engenharia, decisões gerenciais outecnológicas devem ser tomadas em diversos estágios.

Frequentemente, o custo ou o benefício dessas escolhas podeser expresso por meio de uma função de determinadas variáveisde decisão.

Obter o melhor arranjo dessas variáveis que minimiza ou maxi-miza essa função mérito consiste em um processo de otimização.

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Apresentação


Otimização: processo que utiliza métodos computacionais paraencontrar a “melhor” forma de projetar e/ou operar um dado sis-tema, representada pela melhor combinação de valores para asvariáveis do problema (solução ótima), considerando seus objeti-vos e suas restrições de projeto e de operação.

O processo de otimização sempre resulta, ou busca justificação,em um impacto econômico: qualidade do produto, custo da pro-dução, competitividade.

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Apresentação


OtimizarSignifica minimizar ou maximizar uma dada função:

Encontrar x ∈ F : f (x) ≤ f (y), ∀ y ∈ F

minx

f (x), x ∈ F

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Apresentação


OtimizarSignifica minimizar ou maximizar uma dada função:

minx

f(x) ∈ Rm, x ∈ F

f : X ⊂ Rn 7→ Y ⊂ Rm

X = {x = (x1 . . . xn), xi ∈ Di}

F =

gi(x) ≤ 0; i = 1, . . . ,phj(x) = 0; j = 1, . . . ,qx ∈ X

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Apresentação

Problema de Otimização

Quanto ao número de objetivos:

Otimização mono-objetivo vs. Otimização multiobjetivo (multicri-tério, multidesempenho ou vetorial)

f : X ⊂ Rn 7→ Y ⊂ Rm

Quanto ao domínio das variáveis:Otimização discreta ou combinatória vs. Otimização contínua

X = {x = (x1 . . . xn), xi ∈ Di}

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Apresentação


Quanto às restrições:

Otimização restrita vs. Otimização irrestrita

F =

gi(x) ≤ 0; i = 1, . . . ,phj(x) = 0; j = 1, . . . ,qx ∈ X

Restrição: limitações físicas, tempo de processamento, etc.

Podem ser explícitas ou implícitas.

Problema overconstrained (q ≥ n).

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Apresentação


Formulação geral do problema de otimização:

minx

f(x) ∈ Rm, x ∈ F

F =

gi(x) ≤ 0; i = 1, . . . ,phj(x) = 0; j = 1, . . . ,qx ∈ X

Espaços Euclidianos: parâmetros (Rn) e objetivos (Rm).

Cada ponto no primeiro espaço representa uma solução, a qualcaracteriza um certo ponto no segundo.

Os objetivos podem ser linear, não linear, contínuo, ou discreto.

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Apresentação


Caso particular (programação linear):

minx

Cx ∈ Rm, x ∈ F

F =

∑

k aik xk ≤ 0; i = 1, . . . ,p∑k bjk xk = 0; j = 1, . . . ,q

x ≥ 0

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Apresentação


Vetor Ideal ou Solução Utópica:

Suponha o vetor x∗(k) tal que fk (x∗(k)) = optx fk (x);

A solução utópica f∗ = [f ∗1 , f∗2 , . . . , f

∗k , . . . , f

∗m] minimiza todos os

objetivos simultaneamente.

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Apresentação


Condições de otimalidade:

Se uma solução x é eficiente (não inferior ou Pareto-ótima), ascondições necessárias para otimalidade são:

∑m

k=1 wk∇fk (x) +∑p

i=1 µi∇gi(x) +∑q

j=1 λj∇hj(x) = 0µigi(x) = 0, i = 1, . . . ,phj(x) = 0, j = 1, . . . ,q

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Apresentação

Hard optimization

Dois tipos de problemas de otimização são claramente postos:problemas “discretos” e problemas com variáveis contínuas.

Problemas discretos: caixeiro viajante, roteamento de veículos.

Problemas contínuos: máquinas elétricas, controladores PI.

Problemas mistos: envolvem simultaneamente variáveis discre-tas e contínuas.

Essa diferenciação é útil para definir o domínio de “dificuldade”do problema de otimização.

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Apresentação

Hard optimization

Otimização combinatória: problemas para os quais não se co-nhece nenhum algoritmo exato rápido, ou seja, problemas daclasse NP-hard.

Otimização contínua: problemas para os quais não se conheceum algoritmo exato rápido capaz de localizar o ótimo global emum número finito de iterações.

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Apresentação

Hard optimization

Muito esforço foi dedicado, separadamente, à solução dessesproblemas:

No campo dos problemas contínuos “difíceis”. . .

Existe um arcabouço significativo de métodos tradicionais para otimi-zação global. Entretanto, sua efetividade depende de propriedadesespecíficas do problema, e.g., diferenciabilidade, convexidade, moda-lidade.

No campo dos problemas discretos “difíceis”. . .

Existe um arsenal de heurísticas, as quais encontram soluções pró-ximas do ótimo. Entretanto, a maioria delas é concebida para umproblema específico.

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Apresentação

Hard optimization

“There are no easy methods to solve hard problems”(René Descartes)

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Apresentação

Hard optimization

Métodos exatos fornecem garantias sobre a otimalidade da soluçãoencontrada. No caso de problemas NP-difíceis, nãoexiste (ou muito provavelmente não existe) algoritmoque garanta que a solução exata seja encontrada emtempo polinomial.

Métodos de aproximação garantem uma solução aproximada do pro-blema em tempo polinomial. Fornece limitantes para asolução ótima.

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Apresentação

Hard optimization

Heurísticas são técnicas que visam fornecer soluções razoáveis ra-pidamente, sem fornecer garantias formais sobre a qua-lidade dessas soluções. Ganha-se em eficiência ou emsimplicidade conceitual, ao custo de precisão e forma-lismo.

Metaheurísticas são métodos heurísticos que combinam procedimen-tos - geralmente outras heurísticas - para resolver pro-blemas computacionais usando estratégias de alto nível(portanto, “meta”). Aplicados para se encontrar solu-ções satisfatórias para problemas complexos de otimi-zação.

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Metaheurísticas

Sumário


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Metaheurísticas

Metaheurísticas

Metaheurísticas (MHs) possuem raízes na Inteligência Artificialnas décadas de 1960 e 1970, porém atingiram popularidade ematuridade a partir da década de 1990;

Características:Fácil implementação;Guiam o processo de busca;Capacidade de escapar de mínimos locais;Produzem boas soluções rapidamente (near-optimal solutions);Não garantem a otimalidade da solução obtida;São métodos aproximados e usualmente não-determinísticos.

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Metaheurísticas

Metaheurísticas

Algumas definições:

A metaheuristic is formally defined as an iterativegeneration process which guides a subordinate heuristic bycombining intelligently different concepts for exploring andexploiting the search space, learning strategies are used tostructure information in order to find efficiently near-optimalsolutions (Osman & Laporte 1996).

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Metaheurísticas

Metaheurísticas

Algumas definições:Metaheuristics are typically high-level strategies which

guide an underlying, more problem specific heuristic, toincrease their performance. The main goal is to avoid thedisadvantages of iterative improvement and, in particular,multiple descent by allowing the local search to escape fromlocal optima. This is achieved by either allowing worseningmoves or generating new starting solutions for the localsearch in a more “intelligent” way than just providing randominitial solutions. (...) Many of the metaheuristic approachesrely on probabilistic decisions made during the search. But,the main difference to pure random search is that inmetaheuristic algorithms randomness is not used blindly butin an intelligent, biased form (Stützle 1999).

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Metaheurísticas

Metaheurísticas

A chegada das MHs marca uma reconciliação de ambos os do-mínios de otimização.

De fato, elas são aplicadas a todos os tipos de problemas discre-tos, e podem ser adaptadas a problemas contínuos.

Possuem em comum as seguintes características:

são estocásticas;

possuem origem discreta, e mesmo em problemas contínuos nãoexigem diferenciabilidade, convexidade, modalidade;

são inspiradas em analogias físicas (SA), biológicas (TS, EAs) ouetológicas (ACO, PSO);

compartilham as mesmas desvantagens, i.e., ajuste de parâmetrose alto custo computacional.

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Metaheurísticas

Metaheurísticas

Em geral, é impossível assegurar com certeza a efetividade deuma dada MH quando aplicada a um dado problema.

As MHs não são mutualmente excludentes. A tendência atualé a utilização de métodos híbridos, buscando beneficiar-se devantagens específicas combinadas.

As MHs podem ser facilmente estendidas para:

otimização multiobjetivo;

otimização multimodal;

otimização dinâmica;

implementações paralelas.

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Metaheurísticas

Filosofias

Extensões “inteligentes” de algoritmos de busca local: é ocaso de Simulated Annealing, Busca Tabu, Iterated Local Search,GRASP, entre outros. Também chamados métodos de trajetóriaou busca em vizinhança.

População distribuída de soluções: É o caso dos AlgoritmosEvolucionários, Programação Genética, Estratégias Evolutivas,Colônia de Formigas, Swarm Intelligence, Sistemas Imunes Artifi-ciais. Estes métodos incorporam uma componente de aprendiza-gem e funcionam como uma amostragem polarizada do espaçode busca. Em geral inspirados na natureza para produzir formasnão convencionais de se resolver problemas.

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Metaheurísticas

Limitação Geral de Métodos Clássicos

Métodos clássicos, ou métodos de decida, aceitam somente “mo-vimentos” de melhora (possuem convergência monotônica).

Esses algoritmos de aperfeiçoamento iterativo não conduzem,em geral, ao ótimo global, mas a um mínimo local específico (cn).

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Metaheurísticas

Limitação Geral de Métodos Clássicos

Para melhorar a efetividade dos métodos clássicos, eles podemser aplicados repetidas vezes, partindo de configurações iniciaisdistintas.

Esse processo, entretanto, aumenta o custo computacional doalgoritmo, não garante a determinação do ótimo c∗, e torna-seinefetivo com o aumento do número de mínimos locais.

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Metaheurísticas

Fonte de Efetividade das MHs

MHs são capazes de escapar de ótimos locais!!!MHs baseadas em “vizinhança” (SA, VNS, ILS) aceitam a degra-dação temporária da solução, permitindo encontrar cn, c′n e c∗.MHs “distribuídas” evoluem paralelamente uma população de so-luções candidatas, e empregam estratégias específicas para ex-ploração do espaço de busca.

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Metaheurísticas

Classificação geral dos métodos de otimização

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Otimização multiobjetivo

Sumário


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Introdução

Principal dificuldade em otimização mono-objetivo: modelar umproblema em uma única equação (função-objetivo);

Otimização multiobjetivo introduz uma certa flexibilidade à mode-lagem;

Essa flexibilidade tem um preço: não há uma única solução de-finida, mas um conjunto de soluções de compromisso (soluçõesde Pareto).

Para refletir:O problema mono-objetivo é mais bem formulado do que o problemamultiobjetivo?

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Otimização e Decisão

Encontrado um conjunto de soluções, qual solução será de fatoimplementada?

O resultado de um problema de otimização multiobjetivo leva aum problema de decisão: um ou mais tomadores de decisão de-verão escolher entre o conjunto de alternativas aquela que semostra mais interessante.

funções de utilidade;

decisão multicritério.

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Métodos de Decisão Multiobjetivo

A priori O tradeoff entre as funções-objetivo é determinado (emodelado) antes da execução do método de otimiza-ção. O problema multiobjetivo é transformado num pro-blema mono-objetivo e uma única solução é gerada. Al-terando a relação de tradeoff entre os objetivos, umanova solução pode ser gerada, até que o decisor estejasatisfeito. (decide⇒ otimiza)

Progressivo Nos métodos de otimização progressivos, consultas aodecisor durante a otimização orientam a busca na dire-ção da solução de tradeoff que satisfaz o decisor. Re-quer a atenção do decisor durante o processo de otimi-zação. (decide⇔ otimiza)

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Métodos de Decisão Multiobjetivo

A posteriori Os métodos são projetados para buscar por um con-junto de soluções representativo no espaço de objeti-vos. O resultado é um conjunto de alternativas que sãooferecidas ao decisor após a otimização. Não é neces-sária a modelagem de preferências do decisor, mas oprocesso de otimização é mais complexo e computaci-onalmente caro, porque várias soluções devem ser ge-radas. (otimiza⇒ decide)

A escolha do método depende do tomador de decisão e do problema.Frequentemente, adotam-se métodos a posteriori em conjunto commetaheurísticas multiobjetivo.

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Classificação dos Algoritmos

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Referências Bibliográficas

Y. Collette and P. Siarry. Multiobjective Optimization: Principles and Case Studies.Springer, 2004.

J. Dréo, A. Pétrowski, P. Siarry, and E. Taillard. Metaheuristics for Hard Optimiza-tion: Methods and Case Studies. Springer, 2005.

C.A. Coello Coello, G.B. Lamont, and D.A. Van Veldhuizen. Evolutionary Algo-rithms for Solving Multi-Objective Problems. Springer, 2007.

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