Universidade Federal do Espirıto SantoSegunda prova de Calculo I - Engenharia EletricaProfessora Julia WrobelVitoria, 02 de junho de 2006

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1. Uma pedra cai num lago de agua parada. Imediatamente, ondas circularesconcentricas espalham-se e o raio da regiao afetada cresce a uma taxa de16cm/s. Qual a taxa com que a regiao afetada esta crescendo quando seuraio e de 4cm?

2. A funcao y = f(x) e dada implicitamente pela equacao xy+3 = 2x. Mostreque xdy

dx= 2 − y. Calcule dy

dx

∣

∣

x=2.

3. Sabendo que ddx

arctg(x) = 11+x2 , calcule d

dx(arctg(x))x.

4. Considere a funcao f(x) = 2x2

9−x2 .

a) De os intervalos de crescimento e decrescimento da funcao

b) Estude a concavidade da funcao

c) Faca um esboco do grafico da funcao

5. Durante a tosse ha um decrescimento no raio da traqueia de uma pessoa.Suponha que o raio da traqueia em repouso seja Rcm e o raio da traqueiadurante a tosse seja rcm, onde R e uma constante e r e uma variavel. Avelocidade do ar atraves da traqueia pode ser considerada como uma funcaode r e, se V (r) for esta velocidade em cm/s, entao V (r) = Kr2(R − r),com r ∈ [R/2, R], onde K e uma constante positiva. Determine o raio datraqueia durante a tosse, para que a velocidade do ar atraves da traqueiaseja maxima.

6. Use o polinomio de Taylor de ordem 2 para calcular um valor aproximadode e0,03. Estime o erro dessa aproximacao.

Questao extra (0,5 ponto): Sejam f uma funcao derivavel ate quarta ordemno intervalo aberto aberto I e p ∈ I. Suponha f (4) contınua em p. Prove que sef ′(p) = f ′′(p) = f ′′′(p) = 0 e f (4)(p) 6= 0 entao f(x) tem um maximo no ponto pse f (4)(p) < 0 e f(x) tem um mınimo no ponto p se f (4)(p) > 0.

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