[P25] Estruturas Algébricas (uma introdução breve)

Uma

Estruturas Algbricas Uma Introduo Breve

2010

Prof. Carlos R. Paiva

Prof. Carlos R. Paiva [ESTRUTURAS ALGBRICAS]

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NOTA PRVIA

As breves notas que se seguem destinam-se a constituir uma introduo bastante sucinta

de algumas estruturas algbricas abstractas. Os exemplos escolhidos baseiam-se,

essencialmente, nos conjuntos dos nmeros mais conhecidos equipados com as

respectivas operaes usuais.

naturais 1, 2, 3, 4, 5,

inteiros , 3, 2, 1, 0,1, 2, 3,

racionais | , , 0

nmerosreais

complexos

quaternies

octonies

pr p q q

q

i

j

Apesar de, do ponto de vista histrico, ter causado alguma dificuldade psicolgica a

aceitao pelo mainstream quer dos nmeros negativos quer dos nmeros complexos,

talvez a definio dos nmeros reais que deve causar maior cuidado e reflexo. Sobre

este assunto recomenda-se a leitura de:

John Stillwell, Roads to Infinity The Mathematics of Truth and Proof. Natick,

Massachusetts: A K Peters, 2010.

Uma forma, hoje quase universalmente aceite, de introduzir os nmeros reais deve-se

ao matemtico alemo Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916). Veja-se, a este

propsito:

Michael Spivak, Calculus. Cambridge: Cambridge University Press, 3rd ed., 1994,

pp. 578-596 (Chapters 29-30).

Sobre os nmeros (em geral) e sobre os complexos, os quaternies e os octonies (em

particular), consulte-se a excelente obra:

H.-D. Ebbinghaus et al., Numbers. New York: Springer-Verlag, 1991.

Uma referncia importante para o estudo das estruturas algbricas em lgebra abstracta

o livro:

Rui Loja Fernandes e Manuel Ricou, Introduo lgebra. Lisboa: IST Press (Vol.

15), 2004.

A construo de Cayley-Dixon, segundo a qual se tem


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i

j

pode ser consultada em:

Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors. Cambridge: Cambridge University

Press, 2nd ed., 2001, p. 302 (Chapter 23).

Uma ptima referncia sobre octonies a seguinte

http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/:

John C. Baez, The octonions, Bull. Amer. Math. Soc., Vol. 39, pp. 145-205, 2002.

Finalmente, para os mais exigentes em termos de lgebra, recomendam-se os seguintes

livros:

NVEL ELEMENTAR

David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra. Hoboken, NJ: Wiley,

3rd ed., 2004.

Serge Lang, Undergraduate Algebra. New York: Springer, 3rd ed., 2005.

Garrett Birkhoff and Saunders Mac Lane, A Survey of Modern Algebra. Wellesley,

Massachusetts: A. K. Peters, 4th ed., 1997.

NVEL AVANADO

Saunders Mac Lane and Garrett Birkhoff, Algebra. Providence, Rhode Island: AMS

Chelsea Publishing, 3rd ed., 1999.

Roger Godement, Cours dAlgbre. Paris: Hermann, 1996.

N. Bourbaki, Elements of Mathematics: Algebra I, Chapters 1-3. Berlin: Springer-

Verlag, 1989.

Thomas W. Hungeford, Algebra. New York: Springer, 1974.

Serge Lang, Algebra. New York: Springer, Revised Third Edition, 2002.

Derek J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups. New York: Springer, 2nd

ed., 1996.

Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups. New York: Springer,

4th ed., 1995.


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Para os interessados na histria do conceito de grupo, recomenda-se:

Hans Wussing, The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the

History of the Origin of Abstract Group Concept. Mineola, New York: Dover, 2007

(1984).


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Seja X um conjunto no-vazio, i.e., X . Uma operao binria em X uma

aplicao : X X X . Uma estrutura algbrica abstracta no mais do que o par

,X em que o smbolo usado para representar a operao binria, i.e., tem-se

,x y x y . Escreve-se, ento,

: : ,X X X x y x y .

O conjunto X designado por suporte da estrutura abstracta ,X .

DEFINIO 1

Chama-se MAGMA ao conjunto X equipado com uma operao binria. Portanto, o par

,X ou ,X um magma.

Frequentemente indica-se a operao binria por simples justaposio, i.e., escreve-se

x y em vez de ,x y . S se utiliza o smbolo + para indicar a operao binria

quando esta comutativa, i.e., quando , ,x y y x . Diz-se, neste caso, que se usa

a notao aditiva. Em todos os outros casos a notao diz-se multiplicativa. O uso dos

parnteses segue a conveno habitual, i.e.,

, ,

, ,

x y z x y z

x y z x y z


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que so, em geral, resultados diferentes (i.e., no caso geral no se admite a

associatividade).

DEFINIO 2

Chama-se SEMIGRUPO a todo o magma associativo, i.e., em que a operao binria

associativa: x y z x y z .

Note-se, e.g., que o magma , no constitui um semigrupo j que, em geral, a

multiplicao no associativa. Tendo em considerao o comportamento dos inteiros 0

e 1, respectivamente em relao adio e ao produto usuais, define-se o elemento

neutro em abstracto.

DEFINIO 3

Seja uma operao binria no suporte X . Ao elemento e X tal que x e e x x

para qualquer x X , d-se o nome de ELEMENTO NEUTRO da operao binria.

Frequentemente ao elemento neutro chama-se zero (utilizando-se o smbolo 0)

quando se usa a notao aditiva e um ou identidade (utilizando-se o smbolo 1)

quando se usa a notao multiplicativa. Facilmente se demonstra que o elemento neutro

nico.

DEFINIO 4

O elemento x X diz-se INVERTVEL sse (abreviatura de se e s se) existe y X tal

que x y y x e . Neste caso, y diz-se INVERSO de x .


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Pode facilmente demonstrar-se que, num semigrupo, se x X tem inverso direita y ,

e inverso esquerda z , ento y z e x invertvel. Com efeito, tem-se

sucessivamente

porque ,

porque a operao associativa ,

porque ,

porque .

x y e z x y z z e z

z x y z

e y z z x e

y z e y y

Na notao aditiva frequente chamar simtrico ao inverso y de x X , sendo ento

representado por y x . Na notao multiplicativa, porm, se y o inverso de x X

escreve-se 1y x .

DEFINIO 5

Chama-se MONIDE a um semigrupo em que a operao binria tem identidade (ou

elemento neutro) no suporte.

Note-se, a ttulo de exemplo, que o semigrupo , no um monide j que 0 .

Facilmente se verifica que, num monide, o inverso de um elemento invertvel nico e

pertence, tambm, ao suporte. Representa-se por X o conjunto dos elementos

invertveis do monide ,X . Assim, e.g., tem-se 1,1 em relao ao monide

, . J, por outro lado, em relao ao monide , . Note-se, ainda, que

em relao ao monide , se tem \ 0 . Facilmente se demonstra que,

num monide ,X , se ,x y X so invertveis, ento 1 1 1xy y x . Com efeito,

tem-se sucessivamente 1e

1 1 1 1

1

1

,

1 ,

,

1.

x y y x x y y x

x x

xx


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Estamos, agora, em condies de definir o conceito fundamental das estruturas

algbricas o conceito de grupo.

DEFINIO 6

Um GRUPO ,G um monide ,G em que todos os elementos so invertveis. Em

particular, um grupo diz-se ABELIANO quando a respectiva operao binria for

comutativa.

O monide , no constitui um grupo j que o nmero 0 no invertvel. J o

monide , um grupo: todos os elementos tm simtrico. O monide , no

um grupo, mas o monide , j constitui um grupo apesar de no ser um grupo

abeliano (recorda-se aqui que, e.g., i j ji ). Tem-se, portanto, a seguinte sucesso de

estruturas algbricas (do geral para o particular, em sentido crescente no que respeita

riqueza da estrutura).

O conceito de grupo permite a formulao de uma estrutura mais rica a estrutura de

anel.

MAGMA

SEMIGRUPO

MONIDE

GRUPO


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DEFINIO 7

Um ANEL um terno ordenado , ,A em que: (i) o par ,A um grupo abeliano;

(ii) o par ,A um semigrupo; (iii) a multiplicao distributiva em relao adio.

No caso particular em que o semigrupo ,A constitui um monide, o anel diz-se um

ANEL UNITRIO. Quando a multiplicao comutativa o anel diz-se um ANEL ABELIANO.

Note-se que, na definio de anel, o magma ,A apenas um semigrupo no

constitui, necessariamente, um monide. Assim, o conjunto dos nmeros naturais

no constitui um anel: o semigrupo , no um monide porque 0 e, portanto,

muito menos um grupo. Mesmo o conjunto 0 0 no constitui um anel: o

monide 0 , no um grupo: qualquer 1n no invertvel pois no possui

simtrico. Os octonies no constituem um anel j que o magma , no um

semigrupo (a multiplicao no associativa). So anis: , , , e . Num anel

unitrio A designa-se por A

o conjunto dos elementos invertveis do monide ,A .

Prova-se a seguinte proposio: se A um anel unitrio, ento ,A um grupo.

DEFINIO 8

Um anel unitrio A diz-se um ANEL DE DIVISO quando se tiver \ 0A A , i.e.,

quando todos os elementos no-nulos forem invertveis. Chama-se CORPO a um anel de

diviso abeliano.

Assim, o anel no um anel de diviso: os elementos no-nulos no so invertveis

em relao multiplicao. Os anis , , e so anis de diviso. O anel de


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diviso dos quaternies de Hamilton no um corpo j que a respectiva

multiplicao no comutativa. So corpos: , e .

Definio 9

O anel A verifica a LEI DO CORTE para o produto se

, , , 0 e ou .a b c A c ac bc ca cb a b

Um DOMNIO INTEGRAL um anel unitrio abeliano 0A no qual a lei do corte para

o produto vlida.

O anel um exemplo de um domnio integral. Outros domnios integrais so: ,

e . O anel de diviso dos quaternies de Hamilton no constitui um domnio

integral: no , sequer, um anel abeliano.

ANIS DE DIVISO

CORPOS

ANIS


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Quando se passa da lgebra Geral para a lgebra Linear, novas estruturas ganham

importncia nomeadamente, a de MDULO SOBRE UM ANEL e a de ESPAO VECTORIAL

SOBRE UM CORPO. No se abordam, aqui, estes novos conceitos.

Anis

Domnios

Integrais Corpos

Anis de

Diviso


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Assim como os nmeros irracionais nasceram da necessidade de encontrar uma soluo

para a equao 2 2x , os nmeros imaginrios nasceram da necessidade de encontrar

uma soluo para a equao 2 1x . No entanto, do ponto de vista histrico, no foi a

soluo das equaes quadrticas da forma 2 0x p x q que conseguiu trazer os

nmeros complexos at ribalta; esse papel ficou reservado para a equao cbica

3 0x p x q .

A soluo das equaes quadrticas resulta, naturalmente, de completar o quadrado:

2 2 2 2

2 202 2 2 2

p p p px p x q x p x q x q

2

1,22 2

p px q

tendo-se

21 2 1 2 1 20 0x x x x x x x x x x

1 2

1 2

,

.

x x p

x x q

Naturalmente que, quando o discriminante 2

2p q negativo, as solues so

complexas conjugadas da forma 1,2x i com 2p e 2

2q p .

Porm, todas as solues reais nascem de manipulaes com nmeros reais: o caso em

que se tem 0 (estamos sempre a admitir que ,p q ).


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As equaes cbicas vieram alterar esta situao. Comecemos por considerar a equao

3 0x p x q .

Notando que se tem

3 3 2 3 3 3 33 3 3u v u u v u v v u v u v u v

faamos, ento,

3

3 3

3

x u v

u v p x p x q

u v q

.

A determinao das incgnitas 3 3,u v deve, portanto, satisfazer o sistema

3

3 33 3 2 3 3 3 3

3 3

0 03

pu v

w u w v w u v w u v

u v q

2 3

3

2 3

3

2 2 3

2 2 3

q q pu

q q pv

de forma que uma soluo x da equao cbica original ser

2 3 2 3

3 3

2 2 2 2 2 2

q q p q q px u v

.

Por exemplo: uma soluo da equao 3 6 0x x , de acordo com esta frmula,

3 32 61 2 61

3 3 1.63443 3 3 3

x .

No caso geral da equao cbica


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3 2 0x a x b x c

possvel a reduo ao caso 3 0x p x q uma vez que

3 32 3 23 2 32

3 3 27 3 3 3 27

a a a a a ax a x x x x x a

.

Logo, introduzindo a mudana de varivel

3

ay x

a identidade

3 2 3x a x b x c y p y q

vlida desde que

3 2

3

3 3 3

a a ay a y b y c y p y q

2

3

1,

3

2 1.

27 3

p a b

q a ab c

Por exemplo: a equao 3 23 3 1 0x x x reduz-se a 3 6 6 0y y com a mudana

de varivel 1x y pelo que a soluo procurada 3 32 4y , i.e.,

3 31 2 4x . No entanto, a frmula resolvente da equao cbica levantou um

problema o chamado casus irreducibilis: possvel existir uma soluo real conhecida

que, no entanto, no se pode obter pela frmula resolvente a no ser que se reconhea

a existncia dos nmeros complexos. Consideremos, de facto, a equao

3 15 4 0x x

que, como bvio, admite a soluo real 4x . No entanto, usando a frmula

resolvente, chega-se soluo


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3 3 3 32 121 2 121 2 11 1 2 11 1x .

Neste caso era evidente que, se se considerar que

3

3

2 1 8 12 1 6 1 2 11 1,

2 1 8 12 1 6 1 2 11 1,

ento a soluo dada pela frmula corresponde, efectivamente, a

2 1 2 1 4x .

Estava, assim, aberto o caminho que levaria ao reconhecimento dos nmeros complexos

algo que a resoluo da equao quadrtica no tinha conseguido.

No entanto, abrir caminho para os nmeros complexos no o mesmo que reconhecer,

sem quaisquer problemas, a sua existncia e a sua lgica interna inescapvel. A frmula

resolvente da equao cbica aparece, pela primeira vez, no livro intitulado Ars Magna

da autoria de Cardan (ou Girolamo Cardano) e que foi publicado em 1545 (primeira

edio). Neste livro Cardan atribui a descoberta desta frmula resolvente a Scipione del

Ferro e a Niccol Fontana (ou Tartaglia). Pensa-se que Tartaglia a tenha descoberto em

13 de Fevereiro de 1535 e que, antes dessa data, j del Ferro a tenha comunicado ao seu

aluno Antonio Fior. Mas foi Rafael Bombelli que, em livro publicado em 1572 (ano da

sua morte), soluciona o casus irreducibilis associado equao 3 15 4x x . Porm, o

significado dos nmeros complexos teria de esperar pelo ano de 1797 em que Caspar

Wessel se aventurou numa primeira definio (embora de significado ainda duvidoso).

Apesar dos trabalhos de Euler e de Gauss com nmeros complexos, a definio

definitiva e rigorosa teria de esperar por Sir William Rowan Hamilton que, em 1837,

definiu um nmero complexo z x i y (com ,x y ) como sendo um par ordenado

2,x y . A correspondncia entre Gauss e Wolfgang Bolyai revela, todavia, que

uma tal definio j tinha ocorrido ao prprio Gauss em 1831. Esta definio (hoje

trivial) de um nmero complexo como um par ordenado de nmeros reais estabelece o

conjunto dos nmeros complexos, dotado das duas operaes ordinrias de adio e de

multiplicao, como sendo um corpo (em ingls: field). Note-se, a propsito, que a


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formalizao axiomtica dos conceitos de anel e de corpo foi desenvolvida, em 1871,

por Richard Dedekind.

Em termos de pares ordenados de nmeros reais, um nmero complexo ento o par

2,a b em que a adio e a multiplicao so tais que

, , ,

, , ,

a b c d a c b d

a b c d a c b d bc a d

de forma que , ,a b a b , , 0a a , 1 0,1 \i . A definio

de multiplicao garante, nomeadamente, que 22 0,1 0,1 0,1 1, 0 1i .

Alm disso, tem-se

1

2 2 2 2, ,

a ba b

a b a b

desde que , 0, 0a b . Assim, com efeito, facilmente se verifica que

1 1

, , , , 1, 0 1a b a b a b a b

.

A notao ,z x y , apesar de tudo, pouco frequente; a mais usada , como

sabido, a escrita z x i y . Note-se que, tradicionalmente, se costumava usar em

engenharia electrotcnica a letra j em vez de i , de forma a reservar a letra i para

corrente elctrica. Tal tradio, porm, parece nos dias de hoje uma inverso de

valores: mesmo para a engenharia electrotcnica a definio 1i , sem qualquer

dvida, mais importante do que a definio de corrente. Basta referir, e.g., que o

conceito de corrente relativo: s faz sentido, em total rigor, o conceito de corrente em

regime estacionrio, i.e., quando a lei dos ns de Kirchhoff vlida (ou, de forma

equivalente, quando a equao de Maxwell-Ampre se pode reduzir lei de Ampre,

assim ignorando a existncia da corrente de deslocamento).


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A importncia prtica dos nmeros complexos est associada ao teorema fundamental

da lgebra que Carl Friedrich Gauss provou em 1799 na sua tese de doutoramento: um

polinmio com coeficientes em e cujo grau seja pelo menos um tem, no mnimo,

uma raiz complexa. Daqui decorre, nomeadamente, que uma equao polinomial de

coeficientes complexos possui um nmero de solues que igual sua ordem.

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