Universidade Federal do Espirıto SantoTerceira prova de Calculo 1 - manha

Vitoria, 2 de julho de 2010

Questao 1:

(a) Seja u = 2x2+3. Entao du = 4x dx. Para x = 0, u = 3 e para x = 1, u = 5. Substituindona integral temos:

∫ 1

0

x√

2x2 + 3 dx =1

4

∫ 5

3

√u du =

1

4

∫ 5

3

u1/2 du =1

4

[

u3/2

3/2

]5

3

=1

6

(

53/2 − 33/2)

=

=

(

5√

5

6−

√3

2

)

(b) Fatorando o denominador temos x3 + 2x2 + x = x(x + 1)2.Uando fracoes parciais, e possıvel determinar A, B e C tais que

3x2 + 4x + 2

x3 + 2x2 + x=

A

x+

B

x + 1+

C

(x + 1)2.

Calculando os valores das constantes encontramos A = 2, B = 1 e C = −1. Substituindona integral:

∫

3x2 + 4x + 2

x3 + 2x2 + xdx =

∫

2

x+

1

x + 1− 1

(x + 1)2dx = 2

∫

1

xdx +

∫

1

x + 1dx −

∫

1

(x + 1)2dx =

= 2 ln |x| + ln |x + 1| + 1

x + 1+ k, k ∈ R.

(c) Podemos reescrever a integral da seguinte forma:

∫

x3 cos(x2) dx =

∫

xx2 cos(x2) dx.

Seja w = x2. Entao dw = 2x dx. Substituindo na integral temos

∫

xx2 cos(x2) dx =1

2

∫

w cos w dw.

Agora, sejam u = w, com du = dw e dv = cos w dw com v = sen w. Integrando por partestemos que

1

2

∫

w cos w dw =1

2

(

w sen w −∫

sen w dw

)

=1

2(w sen w + cos w) + k.

Voltando para a variavel original temos que:

∫

x3 cos(x2) dx =1

2

∫

w cos w dw =1

2(w sen w + cos w) + k =

=1

2

(

x2 sen(x2) + cos(x2))

+ k, k ∈ R.

(d) Completando o quadrado no denominador temos que

x2 + 2x + 5 = (x + 1)2 + 4.

Entao

I =

∫

1

x2 + 2x + 5dx =

∫

1

(x + 1)2 + 4dx =

∫

1

4[ (x+1)2

4+ 1]

dx =1

4

∫

1(

x+12

)2+ 1

dx.

Seja u = x+12

, com du = 12dx. Substituindo na integral:

I =1

4

∫

1(

x+12

)2+ 1

dx =1

2

∫

1

u2 + 1du =

1

2arctg u + k, k ∈ R.

Voltando a variavel original, temos que

I =

∫

1

x2 + 2x + 5dx =

1

2arctg u + k =

1

2arctg

(

x + 1

2

)

+ k, k ∈ R.

Questao 2: Pontos de intersecao entre as curvas: x = −1 e x = 3. Entao

Area =

∫ 3

−1

10 − x2 − (x2 − 4x + 4) dx =

∫ 3

−1

−2x2 + 4x + 6 dx =

=

[

−2x3

3+

4x2

2+ 6x

]3

−1

=64

3

obs: o grafico das funcoes esta no anexo grafico1.gif.

Questao 3: Pontos de intersecao entre as curvas: x = 0 e x = 1. Entao

Volume =

∫ 1

0

A(x) dx =

∫ 1

0

π(√

x)2 − πx2 dx = π

∫ 1

0

x − x2 dx = π

[

x2

2− x3

3

]1

0

=

= π

[

1

2− 1

3

]

=π

6

obs: o grafico das funcoes esta no anexo grafico2.gif.

2