1) Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 5 e a razão é 11, calcule o 13o termo:

- Primeiro devemos coletar todas informações do problema:          a1=5     r=11    a13=?        - Para calcular vamos utilizar a fórmula do termo geral, onde an será o a13, portanto n=13. Agora, substituindo:

        a13 = 5 + (13 - 1).11        a13 = 5 + (12).11        a13 = 5 + 132        a13 = 137

2) Dados a5 = 100 e r = 10, calcule o primeiro termo:

        a5 = a1 + (5 - 1).r        100 = a1 + (5 - 1).10        100 = a1 + 40        100 - 40 = a1

        a1 = 60

3) Sendo a7 = 21 e a9 = 27, calcule o valor da razão:

        a7 = a1 + (7 - 1).r  Substituindo pelos valores  21 = a1 + 6r          a9 = a1 + (9 - 1).r  Substituindo pelos valores  27 = a1 + 8r          Note que temos duas incógnitas (a1 e r) e duas equações, ou seja, temos um sistema de equações. Vamos isolar o a1 na primeira equação e substituir na segunda:

        a1 = 21 - 6r

        Agora, substituindo na segunda:

        27 = (21 - 6r) + 8r        27 = 21 + 2r        27 - 21 = 2r        6 = 2r        6/2 = r        r = 3

4) (UFRGS) Em uma Progressão Aritmética, em que o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição ocupada pelo elemento -13 é:

        (A) 8a

        (B) 7a

        (C) 6a

        (D) 5a

        (E) 4a

        - informações do problema:        a1 = 23      r = -6      an = -13      n=?

        - Substituindo na fórmula do termo geral:        an  = a1 + (n-1)r        -13 = 23 + (n - 1).(-6)        -13 - 23 = -6n + 6        -36 - 6 = -6n        -42 = -6n      Vamos multiplicar os dois lados por (-1)

        6n = 42        n = 42/6        n = 7            Resposta certa letra "B

5) (UCS) O valor de x para que a seqüência (2x, x+1, 3x) seja uma PA é:

        (A) 1/2        (B) 2/3        (C) 3        (D) 1/2        (E) 2

        - Informações:

               a1= 2x          a2= x+1          a3= 3x

        - Neste exercício devemos utilizar a propriedade de uma PA qualquer. Sabemos que o termo da frente é igual ao termo de trás mais a razão. Ou seja:

a2 = a1 + r    isolando "r"    r = a2 - a1

a3 = a2 + r    isolando "r"    r = a3 - a2

        - Como temos "r" igualado nas duas equações, podes igualar uma a outra, ou seja:

a2 - a1 = a3 - a2

        - Agora, substituindo pelos valores dados no enunciado:

        (x + 1) - (2x) = (3x) - (x + 1)        x + 1 - 2x = 3x - x - 1        x - 2x - 3x + x= -1 - 1        -3x = -2             Multiplicando ambos os lados por (-1)        3x = 2        x = 2/3             Resposta certa letra "B"

6) O primeiro termo de uma PA é 100 e o trigésimo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros termos?

        - Informações do problema:                a1=100     a30=187    n=30    S30=?

        - Aplicando a fórmula da soma, temos:

                                S30 = (287) . 15                S30 = 4305

7) Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale 21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12 primeiros termos desta PA:

        - Informações do problema:                a1=21     r=7    S12=?

        - Colocando na fórmula da soma, vemos que está faltando um dado. Qual o valor de a12? Então antes de tudo devemos calcular o valor de a12.                a12=a1+(12-1)7                a12=21+77                a12=98

        - Agora sim, podemos colocar na fórmula da soma:                S12=(a1+a12)6                S12=(21+98)6                S12=119*6                S12= 714

8) A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por Sn=n2+2n. O valor do 13o termo desta PA é:

    (A) 195    (B) 190    (C) 27    (D) 26    (E) 25

        - Este tipo de questão é clássica, pois tem um pega ratão horrível. Então, vamos esmigalhar ao máximo. Te liga só!        - Para calcularmos o 13o termo desta PA, devemos saber o valor do primeiro termo (a1) e o valor da razão, para isso vamos entender o que ele quis dizer com a fórmula dada.

        - À primeira vista você pode achar que se substituirmos "n" por 13 teremos o valor do 13o termo. Aí está o pega ratão, substitua e veja a resposta da letra "A" (pega ratão).        - O que devemos fazer é substituir primeiro "n" por 1, isso dá            S1=12+2.(1)            S1=3        - Como S1 significa a soma de todos os termos até a1, ou seja, como não tem nenhum antes de a1 é o próprio valor dele (a1=3)        - Se substituirmos "n" por 2, temos:            S2=22+2.(2)            S2=8

        - Agora tem que se ligar. S2 significa a soma de todos os termos até a2, então é igual à a1+a2. Como já sabemos o valor de a1,logo:            S2=a1+a2=8            3+a2=8            a2=5

        Se a1=3 e a2=5 a razão só pode ser 2. Agora podemos achar o 13o termo, é só substituir na fórmula do termo geral:

an=a1+(n-1)ra13=3+(13-1)2a13=3+24a13=27    Resposta certa letra "C"

9) Interpolando 10 meios aritméticos entre 5 e 38, teremos uma PA de razão:

    (A) 1    (B) 2    (C) 3

    (D) 4    (E) 5

        - Interpretando o que é dito: o exercício pede para colocarmos 10 números entre 5 e 38. Assim, teremos:

        - Como inserimos dez termos no meio dos dois já existentes, a PA terá, 12 termos. Então, as informações deste exercício são:

                a1=5 e a12=38 r=?

        - Agora é só usar a fórmula do termo geral :                a12=a1+(12-1)r                38=5+11r                38-5=11r                33=11r                r=33/11                r=3             Resposta certa letra "C"

10) Quantos meios devemos interpolar entre 112 e 250 para termos uma PA de razão 23?

    (A) 3    (B) 4    (C) 5    (D) 6    (E) 7

        - Informações do problema:                a1=112      an=250      r=23

        - Devemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA:

          

        - Aqui que a cobra fuma, meu amigo. A alternativa "E" tá te esperando, pedindo pra tu marcá-la.

7 não é a resposta, é o número total de termos.

Devemos retirar desta contagem os termos 112 e 250, pois é pedido quantos termos devem ser inseridos "ENTRE" estes dois.

Portanto, se no total temos 7 termos, excluindo dois da contagem, temos 5 termos para inserir entre o 112 e o 250.

A resposta certa é a letra "C"

12) (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao

intervalo:

a) [– 2, –1] b) [– 1, 0] c) [0, 1] d) [1, 2] e) [2, 3]

Solução:

Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação

da definição de PA):

(1) -5n = 2 + 3n + r

(2) 1 – 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):

(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2

(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2

=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b).

13) (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an,

em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:

a) 58

b) 59

c) 60

d) 61

e) 62

Solução:

Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …).

Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas

PA têm como termo geral o seguinte formato:

(1) ai = a1 + (i – 1).1 = a1 + i – 1

Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente

relacionada às duas progressões da seguinte forma: Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2;

se n é par temos n = 2i ou i = n/2.

Daqui e de (1) obtemos que:

an = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar

an = 8 + (n/2) – 1 se n é par

Logo:

a30 = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22

e

a55 = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37

E portanto:

a30 + a55 = 22 + 37 = 59

14) (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto

termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:

a) 3,0

b) 1,0

c) 1,5

d) -1,5

e) -3,0

Solução:

Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:

S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15

Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:

15 + 6 = 20 + 1 = 21

E, portanto:

a6 + a15 = a1 + a20

Substituindo este valor na primeira igualdade vem:

20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15

=> a6 + a15 = -15/10 = -1,5

15) Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine ntal que Sn é igual a 1456.

Solução:

Sabemos que:

(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912

Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:

(2) an = 6 + (n – 1).4 = 6 + 4n – 4 = 4n + 2

Substituindo (2) em (1):

(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n – 2912 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:

n1 = 26 e n2 = -28

Como n > 0, a resposta é 26.

Progressão Geométrica Questão 1: A sequência seguinte é uma progressão geométrica, observe: (2, 6, 18, 54...). Determine o 8º termo dessa progressão.   

Razão da progressão: 6 : 2 = 3

an = a1 * q n–1

a8 = 2 * 3 8–1

a8 = 2 * 3 7

a8 = 2 * 2187

a8 = 4374

Questão 2: (UE – PA) Um carro, cujo preço à vista é R$ 24 000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o

restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao

pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1 000,00.

Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?

an = a1 * q n–1

a2 = 4000

a4 = 1000

a2 = a1 * q

4000 = a1 * q

a1 = 4000 / q 

a4 = a1 * q3

1000 = 4000 / q * q3

1000 / 4000 = q3 / q

1 / 4 = q2

√1/4 = √q2

q = 1/2

a1 = 4000 / 1/2

a1 = 4000 * 2

a1 = 8000

1ª prestação: R$ 8 000,00

2ª prestação: R$ 4 000,00

3ª prestação: R$ 2 000,00

4ª prestação: R$ 1 000,00

5ª prestação: R$    500,00

Soma total das prestações: R$ 15 500,00

Entrada (valor do carro menos o total das prestações)

R$ 24 000,00 – R$ 15 500,00 = R$ 8 500,00

O valor da entrada foi de R$ 8 500,00

Questão 3: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:

a) 3,1

b) 3,9

c) 3,99

d) 3,999

e) 4

Solução:

Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1.

Assim:

S = 3 + S1

Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:

S1 = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4

Questão 4: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24,

tomados nessa ordem, é:

a) -48

b) -96

c) 48

d) 96

e) 192

Solução:

Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q,

com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:

a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2

Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:

a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96