PARANÁ

GOVERNO DO ESTADO

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED

SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

REJANA MARA RIBEIRO

O ENSINO DE GEOMETRIA PLANA NO ENSINO FUNDAMENTAL:

TAREFAS INVESTIGATIVAS UTILIZANDO O SOFTWARE

GEOGEBRA

LONDRINA

2011

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REJANA MARA RIBEIRO

O ENSINO DE GEOMETRIA PLANA NO ENSINO FUNDAMENTAL:

TAREFAS INVESTIGATIVAS UTILIZANDO O SOFTWARE

GEOGEBRA

Produção Didático-Pedagógica apresentada como um dos requisitos necessários na participação do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE), idealizado e mantido pela Secretaria de Estado da Educação do Paraná (SEED/PR), em convênio com as Instituições Públicas de Ensino Superior (IES). Orientadora: Profa. Dra. Sandra Malta Barbosa.

LONDRINA

2011

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SUMÁRIO

1) INTRODUÇÃO 03

2) GEOMETRIA 04

3) HISTÓRIA DA GEOMETRIA 05

3.1) UMA MEDIDA PARA A VIDA 05

3.2) O CORPO COMO UNIDADE 06

3.3) ÂNGULOS E FIGURAS 06

3.4) PARA MEDIR SUPERFÍCIES 07

3.5) NOVAS FIGURAS 09

4) MÍDIAS TECNOLÓGICAS 10

5) INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA 12

6) PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS 15

7) UNIDADE DIDÁTICA I 17

7.1) PONTO, RETA, PLANO, SEMIRRETA E SEGMENTO DE RETA 18

7.2) CÍRCULOS, CIRCUNFERÊNCIA, SEMICIRCULOS E ARCOS 19

7.3) PONTO MÉDIO, MEDIATRIZ, PERPENDICULAR E PARALELA 20

7.4) ÂNGULOS, BISSETRIZ E SETORES CIRCULARES 20

7.5) TRIÂNGULOS 21

7.6) O QUADRILÁTERO E SEUS ELEMENTOS 23

8) UNIDADE DIDÁTICA II 24

8.1) PLACA DECORATIVA 25

8.2) JARDIM VARIADO 26

8.3) DISCOS DE PAPELÃO 26

8.4) CÁLCULO DE ÁREAS 27

8.5) COLANDO SEIS TRIÂNGULOS 27

8.6) INTERSEÇÃO DE CÍRCULOS 28

8.7) TRIÂNGULO RETÂNGULO E SEMICIRCUNFERÊNCIAS 28

9) REFERÊNCIAS 29

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PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA

1) INTRODUÇÃO

A presente proposta de um Caderno Pedagógico foi elaborada partindo do

presuposto de que a Investigação Matemática e as Mídias Tecnológicas, mais

especificamente o software Geogebra, são estratégias que podem contribuir na

aprendizagem da geometria plana e suas aplicações, tendências estas que serão

consideradas um caminho para enriquecer o processo pedagógico.

Com este caderno pedagógico, pretende-se contribuir com o ensino de

Matemática, propondo formas de abordagens diferenciadas quanto ao trabalho do

conteúdo de geometria plana, porque entendemos que trabalhar matemática

significativamente, consiste em levar o aluno a construir o próprio conhecimento,

incorporando os significados de forma a compreender a linguagem dessa disciplina

existentes nas atividades, sejam elas no ambiente midiático ou não.

Atualmente, na Educação Matemática é imprenscíndivel desenvolver novas

práticas pedagógicas que permitam que estudantes tenham acesso a estudar

matemática e resolver problemas que sejam relevantes para a produção do

conhecimento no sistema seres-humanos-mídias, proposto por Lévy (1993).

Desta forma, será apresentado a utilização do software Geogebra, que reúne

recursos de álgebra, cálculo, especificamente de geometria dinâmica e funções,

como procedimento metodológico mediador e investigativo do ensino de matemática

para professores do Ensino Fundamental, no laboratório de informática (Paraná

digital) da escola.

Sendo assim, este trabalho visa dar suporte para o estudo que tem como

objetivo geral desenvolver com os professores uma oficina, utilizando o software

Geogebra, por meio de tarefas investigativas, enquanto estratégias que se

apresentam como possíveis alternativas para promover a aprendizagem de

geometria plana e suas aplicações.

Portanto, inicia-se este trabalho com algumas reflexões históricas e conceituais

acerca da geometria plana para discussões junto a professores de Matemática

envolvidos com a Educação da Rede Pública Estadual do Paraná. Na sequência

será apresentado a fundamentação teórica das tendências que serão utilizadas: as

Mídias Tecnológicas e a Investigação Matemática.

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Algumas considerações acerca do software Geogebra serão também

apresentadas, juntamente com as atividades.

Nas atividades serão utilizados problemas retirados de provas e dos bancos de

questões das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP)

e serão implementadas com professores do Ensino Fundamental do Colégio

Estadual Marechal Floriano Peixoto de Grandes Rios (PR).

Este material se justifica pela verificação do despreparo dos professores para

ensinar conceitos geométricos decorrente, principalmente, das décadas de

abandono desse conteúdo nas aulas de Matemática. Faz-se necessário, então um

resgate do ensino da Geometria. Este trabalho objetiva apropriar-se criticamente das

contribuições das tendências metodológicas, Mídias Tecnológicas e Investigação

Matemática.

2) GEOMETRIA

Segundo a História, é muito provável que a Matemática surgiu de necessidades

básicas e da mesma forma ocorreu com a Geometria. O significado da palavra

geometria vem do grego geo = terra + metron = medida, ou seja, "medir terra".

O ramo da Matemática que estuda as formas, planas e espaciais, com as suas

propriedades chama-se Geometria e estão apoiadas sobre alguns axiomas,

postulados, definições, teoremas e corolários.

Para se estudar Geometria é necessário entender representações simbólicas e

suas relações conceituais, para isso, é fundamental o uso de linguagem e

procedimentos apropriados. Conforme Murari (2005), “ela é um ramo da Matemática

que possui um campo muito fecundo, e a maneira como for estudada irá refletir no

desenvolvimento intelectual, no raciocínio lógico e na capacidade de abstração e

generalização do aluno” (p.198).

De acordo com Imenes (1996), “há indícios de que crianças que trabalham com

formas geométricas, tornam-se mais organizadas, desenvolvem coordenação

motora e visual, melhoram a leitura, compreendem mais rapidamente gráficos,

mapas e outras informações visuais” (p.28).

A Geometria é parte da Matemática que lida com as propriedades do espaço,

empregando um sistema que utiliza pontos, linhas, superfícies e sólidos. Sobre a

sua origem, J. Coolidge, citado por Gerdes (1992), afirma que “qualquer que seja a

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nossa definição de Homo sapiens, ele deve ter tido algumas idéias geométricas; de

fato, a geometria existiria, mesmo se não tivesse havido Homo sapiens nenhum”

(p.14). Para a maioria dos autores a geometria teve seu início na Mesopotâmia.

Ainda conforme Gerdes (1992) argumenta,

A geometria nasceu como uma ciência empírica ou experimental. [...] Depois de ter sido reunido suficiente material factual respeitante às formas espaciais mais simples, tornou-se possível, sob condições sociais especiais, como, por exemplo, no Egito Antigo, Mesopotâmia e China, sistematizar consideravelmente o material factual recolhido. Com isso começou a transformação da geometria de uma ciência empírica numa ciência matemática (GERDES, 1992, p.17).

De acordo com a História o que determinou os primeiros passos da Geometria

foi a necessidade de medir terras. As atividades incluíam observações, comparações

e relações entre formas e tamanhos. Observa-se também, diversos outros

momentos em que foi usada pelos povos considerados primitivos, na construção de

objetos de decoração, de utensílios em geral e na criação de desenhos para a

pintura corporal. Formas geométricas, com grande riqueza e variedade, aparecem

em cerâmicas, cestarias e pinturas de diversas culturas. Nestas manifestações

artísticas já apareciam formas como triângulos, quadrados, círculos, entre outros.

3) HISTÓRIA DA GEOMETRIA

Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento

dos astros, um compasso antigo, um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração

figurada do Teorema de Pitágoras, um papiro com desenhos geométricos e o busto

do grande Euclides são etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria.

Mas, muito antes da compilação dos conhecimentos existentes, os homens criavam,

ao sabor da experiência, as bases da Geometria e realizavam operações mentais

que depois seriam concretizadas nas figuras geométricas.

3.1) UMA MEDIDA PARA A VIDA

As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as

necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir

casas, observar e prever os movimentos dos astros são algumas das muitas

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atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas.

Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons

conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia.

Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma

definitiva. Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas

o fragmento de um trabalho de Hipócrates, e o resumo feito por Proclo ao comentar

os "Elementos" de Euclides, obra que data do século V a.C, refere-se a Tales de

Mileto como o introdutor da Geometria na Grécia, por importação do Egito.

Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo retângulo, que

inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a escola

pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, que envolvia

em mistério seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam a

introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o

progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e

proposições admitidos sem demonstração (postulados o axioma) para construir de

maneira lógica tudo o mais. Assim, três conceitos fundamentais – o ponto, a reta e o

círculo – e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria

chamada euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não

euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides.

3.2) O CORPO COMO UNIDADE

As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo

humano: palmo, pé, passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. – quando na

Mesopotâmia e no Egito começaram a serem construídos os primeiros templos –

seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram

a longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas

medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as

primeiras medidas oficiais de comprimento.

3.3) ÂNGULOS E FIGURAS

Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham

forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava

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os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora de bagagem

intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista

de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de

reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de

compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que,

unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.

O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a

perpendicular a uma reta. O processo anterior não resolve este problema, em que o

vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos geômetras, o

solucionavam por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um

triângulo retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5

unidades, respectivamente. O Teorema de Pitágoras explica por que: Em todo

triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da

hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto), isto é, 32 + 42 = 52.

Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação definem

triângulos retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de

esquadros.

3.4) PARA MEDIR SUPERFÍCIES

Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra

provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um

simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com

mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado

que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir

esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da

área do retângulo: multiplicar a base pela altura.

Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínio

extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um

retângulo e dividi-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9

"casas" e o retângulo 12, estes números exprimem então a área dessas figuras.

Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem

dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado.

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Quando deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem

triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício

conhecido como triangulação: começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a

todos os demais ângulos visíveis do campo, e assim este ficava completamente

dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Esse

método – em uso até hoje – produzia pequenos erros, quando o terreno não era

plano ou possuía bordos curvos.

De fato, muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um rio.

E construções há que requerem uma parede curva. Assim, um novo problema se

apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um

círculo. Por circunferência entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma

superfície. Já os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos,

grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em

torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O

comprimento dessa corda – conhecido hoje como raio – tinha algo a ver com o

comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a

circunferência para ver quantas vezes cabiam nela, puderam comprovar que cabia

um pouco mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda,

o resultado era o mesmo. Assim tiraram algumas conclusões: a) o comprimento de

uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio; b) para

conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do

raio e multiplicá-lo por 6,28.

E a área do círculo? A história da Geometria explica-a de modo simples e

interessante. Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes

matutava diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o respectivo raio.

Seu propósito era encontrar a área da figura.

Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou

em determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia

na área do círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável tomar o

que tivesse como lado o próprio raio da figura. Assim o fez, e comprovou que o

quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou

aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes).

Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um

quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14.

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O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-

no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo π ("pi") representa esse

número irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de

casas decimais. Seu nome só tem uns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba

da palavra peripheria, significando circunferência.

3.5) NOVAS FIGURAS

Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na Grécia.

Tales e seu discípulo Pitágoras coligiram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria,

da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à Matemática,

navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito

procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e

o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do

Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra

era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e

perímetros eram agora fáceis de calcular.

Uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa

"muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por

intermédio de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de

radar e outros aparelhos. O que não é “de estranhar” desde os tempos da antiga

Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para

resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar,

dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o

cálculo da altura de uma construção.

No primeiro caso, para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a

costa, recorria-se a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira

que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da

costa e o outro sob um ângulo de 45º. Isto feito, a nave e os dois observadores

ficavam exatamente nos vértices de um triângulo isósceles, porque os dois ângulos

agudos mediam 45º cada um e, portanto, os catetos eram iguais. Bastava medir a

distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa.

O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é

também muito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o

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instante em que a extensão de sua sombra seja igual à sua altura. O triângulo

formado pela estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos é

isósceles. Basta medir a sombra para conhecer a altura.

Segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Estado do Paraná

(2009), as tendências que compõem o campo da Educação Matemática, têm grau

de importância similar entre si, complementam-se umas as outras e propiciam um

trabalho ativo por parte do educando, que desperta seu interesse pelas aulas.

De acordo com essas Diretrizes, os conteúdos propostos devem ser abordados

por meio de tendências metodológicas da Educação Matemática que fundamentam

a prática docente das quais serão utilizadas neste projeto as seguintes: Mídias

Tecnológicas e Investigação Matemática.

4) MÍDIAS TECNOLÓGICAS

A utilização de ferramentas computacionais em sala de aula é uma questão

muito discutida atualmente no ensino de Matemática. A informática é um recurso de

grande potencial pedagógico que pode auxiliar o professor na tarefa de ensinar e

possibilitar ao educando um conhecimento dinâmico.

De acordo com Moran (2007), o uso de novas tecnologias na escola está

sendo implantado gradativamente. Este uso tem sem dúvida seus pontos positivos,

no entanto, sabemos que, muitas vezes a tecnologia é usada sob o pretexto de

modernização, tentando ocultar os problemas sérios que a escola enfrenta. As

tecnologias precisam ser compreendidas como ferramentas que auxiliam o trabalho

do professor e têm a finalidade de informar os professores, servindo como recurso

de apoio a implementação de tecnologias na prática pedagógica.

As Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) são pontes que abrem a

sala de aula para o mundo, que representam o nosso conhecimento do mundo. São

diferentes formas de representação da realidade, de forma mais abstrata ou

concreta, mais estática ou dinâmica, mais linear ou paralela, mas todas elas,

combinadas, integradas, possibilitam uma melhor apreensão da realidade e o

desenvolvimento de todas as potencialidades do educando, dos diferentes tipos de

inteligência, habilidades e atitudes (MORAN, 2007, p.164).

De acordo com BORBA e PENTEADO (2001), a entrada da mídia informática

na escola não é a salvação dos problemas pedagógicos, porém com a utilização de

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softwares, os conteúdos matemáticos podem ser trabalhados estimulando a

percepção visual do aluno. Partindo de uma imagem, pode-se explorar o conceito

matemático envolvido em uma situação problema.

Borba e Penteado (2001) argumentam que

a informática não melhora e nem piora o ensino, ela transforma o ensino e transforma a aprendizagem e ela transforma a forma como as pessoas produzem conhecimento [...] A gente vê que a utilização da informática possibilita que argumentos visuais sejam utilizados com muito mais frequência, porque é uma característica da mídia informática (BORBA; PENTEADO, 2001, p.43).

A utilização de softwares permite que os conceitos matemáticos sejam

explorados por meio de construções não estáticas, que podem ser manipuladas e

proporcionar uma percepção diferente da matemática, pois

a presença do computador oferece a possibilidade de observar processos de construção de conhecimento matemático que não apareceriam em outros ambientes e que vão além do simples uso do computador para resolver um determinado problema matemático (VILLARREAL, 1999, p.28).

Os problemas quando resolvidos no computador criam oportunidades

importantes de avaliação e de aprendizagem de Matemática, que, devido a presença

da tecnologia, representa outra matemática, envolvendo aspectos e elementos dos

objetos e propriedades matemáticas diferentes daqueles a que, explicitamente, o

problema se propõe a tratar.

A introdução das TIC no ensino de Matemática dá um novo sentido à noção de

atividade matemática para os alunos e, consequentemente, à noção de problema. A

presença das ferramentas computacionais nas aulas de Matemática não implica no

abandono de outros instrumentos educacionais. A informática é um recurso auxiliar

que possibilita o alcance dos resultados na aprendizagem por meio do seu uso

adequado e conciliando as diversas formas de se ensinar e aprender, com professor

e aluno desempenhando seu papel e mantendo uma postura adequada diante da

atividade educacional, pois a ferramenta computacional sozinha não produz

conhecimento (BORBA; PENTEADO, 2001).

Romero (2006) traz sua concepção acerca do ensino com o auxílio de

softwares em sala de aula, pois segundo este autor,

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a tecnologia, especificamente os softwares educacionais disponibiliza a oportunidade de motivação e apropriação do conteúdo estudado em sala de aula, uma vez que em muitas escolas de rede pública e particular, professores utilizam recursos didáticos como lousa e giz para ministrarem suas aulas, este é um dos diversos problemas que causam o crescimento da qualidade não satisfatória de ensino, principalmente na rede estadual (ROMERO, 2006, p.1).

Diante do exposto, fica evidente que existe ainda muita reflexão sobre o uso de

novas tecnologias na escola e nas atividades escolares e sobre sua contribuição

para a expansão de possibilidades de desenvolvimento da cidadania.

5) INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

Em uma aula de Matemática, o professor pode levar o aluno a ter um papel

ativo no seu aprendizado, uma vez que é preciso formar no estudante senso crítico

para que ele possa desenvolver a capacidade de questionar, relacionar ideias e

propor soluções.

O aluno deve ser levado a explorar situações, a formar o próprio pensamento e

investigar. Ponte, Brocardo e Oliveira (2006) conceituam que “investigar é descobrir

relações entre objetos matemáticos conhecidos ou desconhecidos, procurando

identificar as respectivas propriedades” (p.13).

Ambientes informatizados são propícios para a realização de uma atividade

investigativa, pois permitem ao aluno analisar uma situação e observar

regularidades, estabelecer hipóteses e testá-las na busca de uma solução para o

problema proposto. Ponte, Brocardo e Oliveira (2006) afirmam que “as investigações

matemáticas são um tipo de atividade que todos os alunos devem experimentar”

(p.25).

A definição de uma atividade investigativa é abordada por esses pesquisadores

a partir de uma situação aberta, em que a questão não está bem definida e os

resultados podem ser bem diversificados, não sendo possível determinar como a

atividade será concluída. Estes autores sugerem que uma atividade investigativa

seja desenvolvida em três fases:

(i) introdução da tarefa, em que o professor faz a proposta à turma, oralmente ou por escrito, (ii) realização da investigação, individualmente, aos pares, em pequenos grupos ou com toda a turma, e (iii) discussão dos resultados, em que os alunos relatam aos

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colegas o trabalho realizado. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2006, p.25).

O educador deve propor aos alunos atividades que tenham como objetivo a

construção do pensamento matemático. O professor é fundamental no processo de

ensino e aprendizagem, pois cabe a ele desenvolver atividades capazes de

estimular os alunos, valorizando o conhecimento que o educando traz consigo e

ajudá-lo a ressignificar esse conhecimento, pois a sala de aula é um ambiente

adequado para a realização de atividades investigativas e o trabalho coletivo permite

que o conhecimento seja compartilhado entre os estudantes.

Durante uma atividade, quando realizada em dupla ou grupo, a interação com o

colega possibilita o compartilhamento de opiniões. A partir de uma conjectura feita, é

possível discutir as ideias apresentadas, de modo que um aluno pode complementar

o pensamento do colega, estabelecer novas conjecturas, contribuindo para uma

atividade mais rica. Muitas vezes, um aluno percebe situações e regularidades que

não foram percebidas pelo colega em sua observação.

Uma atividade investigativa proporciona descobertas imprevistas, uma vez que

cada aluno enxerga a situação-problema proposta de uma maneira diferente, de

modo que a ideia de um complementa a do outro. O trabalho conjunto possibilita a

interação com os colegas empenhados na mesma questão, na busca de soluções.

O conhecimento matemático não deve ser visto e trabalhado em sala de aula

pelo professor como algo pronto e acabado. De acordo com Ponte, Brocardo e

Oliveira (2006), aprender Matemática significa mais do que se apropriar do

conhecimento desenvolvido ao longo dos séculos, mas ser capaz de fazer

descobertas que possibilitem a construção do seu próprio conhecimento matemático.

O aluno deve ser levado a explorar situações, formular questões e conjecturar,

ser capaz de testar e verificar a veracidade de suas afirmações e conjecturas,

argumentar, se expressar de forma oral e escrita e justificar o seu pensamento.

De acordo com as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná (2009), a

prática pedagógica da Investigação Matemática vem despontando como um

caminho aceito e recomendado por muitos estudiosos como forma de proporcionar

ao aluno uma melhor compreensão da disciplina. As atividades investigativas devem

ser desafiadoras e preparadas com antecedência pelo professor, que poderá usar

um mesmo texto com questões diferentes aos grupos participantes. Podemos dividir

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em três etapas a atividade de investigação: a introdução da tarefa, a sua realização

pelos alunos com acompanhamento do professor e a discussão/reflexão entre

alunos de grupos diferentes com a participação do professor.

De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), as investigações

geométricas contribuem para perceber aspectos essenciais da atividade matemática,

desenvolver conceitos e sua exploração colabora para a compreensão de fatos e

relações geométricas que vai muito além da simples memorização e utilização de

técnicas para resolver exercícios.

Desde os primeiros anos de escolaridade a geometria proporciona um ensino

baseado na exploração de situações de natureza exploratória e investigativa, pois

as investigações geométricas contribuem para perceber aspectos essenciais da atividade matemática, tais como a formulação e teste de conjecturas e a procura e demonstração de generalizações. A exploração de diferentes tipos de investigação geométrica pode também contribuir para concretizar a relação entre situações da realidade e situações matemáticas, desenvolver capacidades, tais como a visualização espacial e o uso de diferentes formas de representação, evidenciar conexões matemáticas e ilustrar aspectos interessantes da História e da evolução da Matemática (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2006, p.71).

Diante do exposto, entende-se que se torna necessário um redimensionamento

das ações didático-pedagógicas dos professores visando buscar novas alternativas

que venham contemplar os anseios dos educandos, em ter os conhecimentos da

Matemática não como um mero conteúdo, mas sim, como um meio de auxiliar no

estabelecimento de novos padrões de criticidade.

Para Freire (1996),

ensinar, aprender e pesquisar lidam com dois momentos: o que se aprende o conhecimento já existente e o em que se trabalha a produção do conhecimento ainda não existente. Ensinar requer aceitar os riscos do desafio do novo, enquanto inovador, enriquecedor, e rejeitar quaisquer formas de discriminação que separe as pessoas em raça ou classes. Ensinar é ter certeza de que faz parte de um processo inconcluso, apesar de saber que o ser humano é um ser condicionado, portanto, há sempre possibilidades de interferir na realidade a fim de modificá-la. Acima de tudo, ensinar exige a autonomia do ser do educando (FREIRE, 1996, p.31).

A educação escolar tem como meta principal fazer com que o aluno supere o

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senso comum, desenvolvendo a consciência crítica, provocando alterações de

concepções e atitudes permitindo a interpretação de mundo e das relações sociais.

O professor deve se preocupar em discutir/trabalhar com os alunos o valor científico

da Matemática fazendo relação entre teoria e prática, buscando diversas

metodologias para embasar o seu fazer pedagógico. O conhecimento matemático

quando significativo para o aluno contribui para o desenvolvimento do senso crítico e

do saber científico quando proporciona as condições necessárias para uma análise

mais apurada das informações da realidade e quando este conhecimento se inter-

relaciona com as demais áreas.

Desta forma, o ensino da Matemática tratará a construção do conhecimento

matemático por meio de uma visão histórica em que os conceitos foram

apresentados, discutidos, construídos e reconstruídos, influenciando na formação do

pensamento humano e na produção de sua existência por meio das ideias e das

tecnologias. A Educação Matemática, assim, “implica olhar a própria Matemática do

ponto de vista do seu fazer e do pensar, da sua construção histórica e implica,

também, olhar o ensinar e o aprender Matemática, buscando compreendê-los”

(MEDEIROS, 1987, p.27).

6) PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Na proposta de trabalho para Geometria Plana do 6° ao 9° ano, para

desenvolver todos os conteúdos abordados teremos:

os pré-requisitos matemáticos e tecnológicos;

o encaminhamento metodológicos;

A proposta de trabalho sugere questionamentos que levarão a explorar, refletir,

fazer conjecturas e concluir as ações importantes na construção do conhecimento,

por meio do software educativo Geogebra. A escolha deste software se deve ao fato

de ser gratuito, de geometria dinâmica que reúne recursos de geometria, álgebra e

cálculo e que permite inserir equações e coordenada. Assim, o Geogebra tem a

vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes

do mesmo objeto que interagem entre si: sua representação geométrica e sua

representação algébrica.

Uma das vantagens do Geogebra em relação a outros programas de geometria

dinâmica é que não se precisam dominar todas as ferramentas do programa para

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usá-lo. A geometria dinâmica existe há muito tempo, pois as ideias são dinâmicas. O

Geogebra é um instrumento de fácil acesso, tecnologia que possibilita explorar e

visualizar a dinamicidade existente na geometria. Sendo assim, reforça conceitos e

propriedades em que o aluno tem mais dificuldades de visualizar alterações de

posições e movimentos imaginários, como as limitações da reta, da semirreta e

segmentos de reta, propriedades de polígonos, teorema de Tales, condição de

existência de triângulos, entre outros.

Nesta proposta serão explorados os seguintes conteúdos programáticos da

Geometria plana: Ponto, reta, plano, posições relativas entre retas, ângulos,

triângulos, quadriláteros, polígonos, perímetro, áreas de regiões planas,

circunferências e círculos.

Esta proposta é estruturada sob a forma de oficina em laboratório de

informática, dividido em cinco encontros de oito horas cada, num total de quarenta

horas, na qual os participantes desenvolverão as atividades propostas

individualmente e em grupos. Para encadear os conhecimentos dos conteúdos da

geometria plana imersos no Geogebra, com suas propriedades matemáticas

usaremos uma sequência didática que são resultado de participações nos cursos

específicos oferecidos pelo programa PDE e pesquisas bibliográficas.

Iniciaremos o estudo com filmes relacionados à exploração do software

Geogebra, na sequência serão fornecidos materiais impressos, em forma de

apostila, com uma rápida apresentação, auxiliando o professor que não tem

familiaridade no manuseio destas ferramentas. Será feita uma descrição geral do

Geogebra e demonstração dos comandos básicos. Este será um momento de

integração com o software, para que o professor seja capaz de investigar utilizando

essa ferramenta, etapa considerada necessária para o desenvolvimento das demais

tarefas a serem propostas.

A avaliação se dará durante todo o processo de utilização do software

Geogebra e da investigação matemática, de uma maneira contextualizada, flexível,

interativa, contínua e dialógica, através das atividades realizadas em grupo e

individualmente. Sendo analisadas as hipóteses, as estratégias utilizadas, as

dúvidas e dificuldades ocorridas durante o manuseio do software, a interação e

socialização entre todos.

Na primeira unidade deste caderno serão trabalhados os conceitos da

geometria plana: ponto, reta, plano e segmento, posições relativas entre retas

17

(paralelismo, perpendicularismo), círculos, arcos, ângulos e bissetrizes, triângulos e

quadriláteros, como atividades de familiarização do Geogebra. No primeiro

momento, será incentivada a investigação matemática utilizando o software

Geogebra. Oportunizar-se-á ao professor conhecer, discutir e explorar este software.

Na segunda unidade do caderno, o trabalho a ser desenvolvido será a

resolução de problemas da OBMEP, envolvendo os conteúdos ângulos, fazendo a

articulação com o conteúdo de triângulo, quadriláteros e polígonos, apresentando a

estrutura e dimensões das figuras planas e seus elementos fundamentais, em

seguida os conceitos de área de regiões planas e perímetro, sempre utilizando a

investigação matemática e logo após, problemas relacionados a círculo e

circunferências.

7) UNIDADE DIDÁTICA 1

Iniciaremos está unidade com algumas considerações do perfil do professor

investigador, que segundo Stenhouse (1975) o profissionalismo do professor

investigador envolve:

o empenho para o questionamento sistemático do próprio ensino como uma base para o desenvolvimento; o empenho e as competências para estudar o seu próprio ensino; a preocupação para questionar e testar a teoria na prática fazendo uso dessas competências; a disponibilidade para permitir a outros professores observar o seu trabalho – diretamente ou através de registros e discuti-los numa base de honestidade (STENHOUSE, 1975, p.144).

O professor investigador tem que ter disponibilidade para trocar conhecimentos

que contribuam para a tomada de decisões e, aceitar a abertura para novas

hipóteses é uma forma de descobrir novos caminhos, construir e concretizar

algumas soluções. Refletir sobre o conteúdo a ensinar, suas práticas e o que é o

ensino e a aprendizagem da Matemática torna-se importante ao professor

investigador.

A seguir apresentaremos as atividades, com os conteúdos a serem estudados,

seus objetivos e o devido encaminhamento metodológico para abordar cada um dos

conceitos e ferramentas do software Geogebra.

18

7.1) PONTO, RETA, PLANO, SEMIRRETAS E SEGMENTO DE RETA

O objetivo desta atividade é conhecer e utilizar as representações matemáticas

para ponto, reta, plano; reconhecer e distinguir retas, semirretas e segmentos de

reta, assim como suas representações matemáticas. Para isso, são necessários

conhecimentos prévios sobre noção de ponto, reta, plano, semirreta e segmento de

reta, além de conhecimentos de como acessar o programa Geogebra no Programa

Paraná Digital.

a) Crie dois pontos livres. Movimente-os. O que você pode observar? É possível

mudar as letras que nomeou os pontos? Como?

b) Construa uma reta passando por estes dois pontos. Movimente-a.

c) Construa mais dois pontos livres em qualquer lugar da tela, e o segmento de

reta com extremidades nestes pontos. Movimente-o e observe o que acontece.

d) Crie mais dois pontos, em seguida construa uma reta passando por esses dois

pontos, faça uma semirreta com origem nesses dois pontos. Movimente-a.

Esconda a reta que deu origem a semirreta e movimente-a novamente. Como o

Geogebra representou os pontos? E as retas? E o segmento? E a semirreta?

Existe outra maneira de representá-los? Como ficaria essa representação?

e) Crie um ponto. Quantas retas passando por este ponto é possível construir? E

por dois pontos? E por três? A partir das construções como podemos definir o

ponto? E a reta? E o plano?

f) Construa um ponto com coordenadas (3,5) e outro com coordenadas (-2,1).

Construa um segmento, passando por esses dois pontos, e determine a

medida do segmento. Movimente uma das extremidades do segmento.

Observe a janela geométrica e a janela algébrica. O que você pode observar?

g) Clique no botão mover eixo, segure e arraste com o mouse a área de

apresentação para a direita várias vezes. Depois faça o mesmo para o lado

esquerdo. O que você pode constatar em relação aos limites destas figuras?

Salve a atividade registre as conclusões que você chegou.

19

7.2) SEGMENTOS, CÍRCULOS, CIRCUNFERÊNCIA, SEMICÍRCULOS E ARCOS

Nesta atividade recordaremos os conceitos de círculos, circunferência,

semicírculos e arcos, e tem como objetivo conhecer e utilizar as representações

matemáticas para esses conteúdos.

a) Crie um segmento a partir de um seletor com um intervalo de 0 a 10.

Movimente-o. Renomeie as extremidades do segmento. Para que serve o

seletor?

b) Faça um círculo com centro em uma das extremidades do segmento, passando

por um ponto qualquer. Faça outro círculo de raio 3 e centro na outra

extremidade do segmento. Clique com o botão direito do mouse sobre esse

círculo e entre em propriedades modificando a cor, a espessura da linha e

preenchendo o desenho.

c) Faça um ponto sobre cada um dos círculos e uma reta passando por esses

pontos. Movimente o seletor e verifique o que acontece com o segmento e os

círculos. Verifique as posições relativas entre os círculos. Como se chama

segmento que une o centro a um ponto da circunferência? E como se chama o

segmento que une dois pontos distintos? E como se chama o segmento que

não passa pelo centro? Que conclusão pode retirar das construções

anteriores?

d) Abra um novo arquivo e construa um círculo com centro (2,3) e um de seus

pontos sendo (2,1). Determine a medida do raio deste círculo. Mova o ponto da

circunferência e observe o que acontece.

e) Crie um seletor de intervalo de 0 a 5. Construa um círculo com centro na

origem e raio dependente do seletor. Movimente o seletor. O que você pode

observar?

f) Construa um círculo com centro (-4,4) e raio 4. Altere a espessura, e preencha

o círculo. Mova a figura. O que se altera?

g) Construa um círculo definido pelos três centros dos círculos anteriores. Agora

clique com o botão direito sobre a figura e entre em propriedades, altere as

cores dos círculos e preencha-os.

h) Mova aleatoriamente os pontos dos círculos. Tente alinhar todos os três

pontos. O que você pode observar?

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i) Abra um novo arquivo. Construa um semicírculo dados os pontos extremos

(1,1) e (4,1). Preencha este semicírculo. Qual o comprimento deste

semicírculo?

j) Construa um arco circular dados o centro (2,-2) e os pontos extremos (0,-4) e

(4,-4). Agora, considere o mesmo centro e tome, primeiramente (4,-4) e depois

(0,-4). Compare estes dois arcos. Que figura se forma unindo esses dois

arcos? Preencha cada arco com uma cor diferente. Mova o centro. O que você

pode observar? Porque isso ocorre? Calcule a área dos setores circulares.

k) Construa um arco circuncircular dados os três pontos: (-5,-2), (-2,-2) e (-2,2).

Movimente o ponto do meio e descreva o que acontece. Calcule a área dos

setores circulares. Salve sua atividade e registre suas conclusões.

7.3) SEGMENTO, PONTO MÉDIO, MEDIATRIZ, PERPENDICULAR E PARALELA

Para esta atividade tem-se como objetivo conhecer e utilizar as representações

matemáticas para este conteúdo específico, identificar a posição relativa de duas

retas e conceituar paralelismo, perpendicularismo, ponto médio e mediatriz.

a) Construa um segmento com uma extremidade em (3,4) e medida 3,5.

Determine o ponto médio deste segmento. Renomeie o ponto de M. Construa

uma reta perpendicular a este segmento passando pelo ponto M. Que reta é

essa?

b) Construa um segmento qualquer e sua mediatriz utilizando círculos.

c) Construa outro segmento qualquer e determine a sua mediatriz. Meça este

segmento, depois movimente uma das extremidades e verifique o que

acontece com a mediatriz. Movimente os pontos de todas as figuras obtidas.

Que diferenças você pode observar entre essas figuras?

d) Construa uma reta e renomeie de r. Com um dos pontos construa um círculo

de centro neste ponto e com raio 2. Construa um ponto P sobre o círculo, trace

uma reta paralela a r passando por P. Movimente P e observe o que ocorre.

e) Construa uma reta passando por (2,3) e (-1,-2). Determine a reta paralela a

esta passando pelo ponto (-1,3). Calcule a distância da reta à sua paralela.

Movimente os pontos e observe o que ocorre.

f) Construa uma reta t. Construa um seletor. Construa um ponto F sobre t.

Construa uma perpendicular a t passando por F. Construa um círculo de centro

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F dependente do seletor. Encontre a interseção do círculo e a perpendicular.

Trace paralelas à reta t passando pelas interseções. Movimente o seletor e

descreva o que acontece. Salve as atividades e registre suas conclusões.

7.4) ÂNGULOS, BISSETRIZ E SETORES CIRCULARES

A atividade que segue tem por objetivo conhecer e utilizar as representações

matemáticas para ângulos, bissetriz e setores circulares, conceituar e identificar

ângulo, representar e construir a bissetriz de um ângulo, verificar as propriedades da

bissetriz e conceituação de área e perímetro de setor circular.

a) Crie duas semirretas de origem A, ache o ângulo formado pelas semirretas AB

e AC. Qual a medida desse ângulo? Movimente os pontos B ou C e verifique o

que acontece? Altere os ângulos de modo que se obtenha: ângulos de medida

zero, de medidas entre 0° e 90°, medidas igual a 90°, entre 90° e 180° e

medida igual a 180°. Que nome recebe ângulos com essas medidas? Ache a

bissetriz do ângulo formado pelas semirretas AB e AC. Crie um ponto D sobre

a bissetriz e ache os ângulos formados pelas semirretas AC e AD e AB e AD.

Clique sobre o ponto C ou B e arraste-o. O que acontece com o ângulo de

medida maior? E com os dois criados posteriormente? O que a bissetriz faz

com o ângulo?

b) Crie um ângulo BÂC e trace sua bissetriz. Marque um ponto D sobre a bissetriz

e movimente-o. O que acontece? Faça retas perpendiculares no ponto D com

as duas semirretas AB e AC. Ache as intersecções dessas retas criadas com

os lados do ângulo AB e AC. Faça um segmento com extremos em D e E e em

D e F. Esconda as retas perpendiculares que foram criadas. Ache as medidas

dos segmentos DE e DF. Clique sobre o ponto D e movimente-o sobre a

bissetriz. Movimente os pontos B e C. O que você observa? Que propriedades

podem ver? É possível construir a bissetriz usando apenas régua e compasso

dado um ângulo qualquer? Quais ferramentas do Geogebra seriam utilizadas?

Grave sua atividade e registre suas conclusões.

c) Construa um seletor e construa um setor circular com raio dependendo do

seletor. Meça seu ângulo, determine sua área e seu comprimento. Utilizando o

seletor altere a medida do raio e verifique o que acontece com o ângulo, com a

área e com o perímetro do setor circular.

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d) Construa um círculo qualquer com centro A. Marque mais dois pontos no

círculo. Renomeie-os com as letras B, C e D. Construa os segmentos BC, BD,

AC e AD. Meça o ângulo inscrito CBD e o ângulo central CAD. Observe, na

janela algébrica a medida desses ângulos e compare-as. Movimente os pontos

e observe o que ocorre. Salve seu arquivo e registre suas conclusões.

7.5) TRIÂNGULOS

Esta atividade tem por objetivo conhecer e utilizar as representações

matemáticas para triângulos, reconhecer e representar os principais elementos do

triângulo, reconhecer quando três segmentos podem ser lados de um triângulo.

Além disso, classificar os triângulos quanto às medidas de seus lados e quanto às

medidas de seus ângulos internos, identificar e representar mediana, altura e

bissetriz de um triângulo, identificar o ponto de encontro desses elementos,

conhecer e aplicar as propriedades do triângulo isósceles e do triângulo equilátero.

a) Construa um triângulo qualquer. Determine as bissetrizes deste triângulo.

Determine o ponto de encontro dessas bissetrizes. Que nome é dado a este

ponto? Utilizando este ponto faça um círculo inscrito a este triângulo.

Movimente os pontos. O que você pode observar? Porque isso ocorreu?

b) Construa um triângulo qualquer. Determine as mediatrizes deste triângulo.

Determine o ponto de encontro dessas mediatrizes. Que nome é dado a este

ponto? Utilizando este ponto faço um círculo circunscrito a este triângulo.

Movimente os pontos. O que você pode observar? Porque isso ocorreu?

c) Construa um triângulo qualquer. Determine as alturas desse triângulo.

Determine o ponto de encontro dessas alturas. Que nome é dado a este ponto?

Movimente um dos vértices de forma a obter triângulos acutângulos,

obtusângulos e retângulos. Relacione a posição deste ponto com a

classificação dos triângulos quanto à medida de seus ângulos (acutângulo,

obtusângulo ou retângulo).

d) Construa um triângulo equilátero de lado 6 cm. Determine sua altura, uma de

suas bissetrizes, a medida de seus ângulos internos, a medida de sua altura,

seu perímetro, sua área, e a mediatriz de um de seus lados.

e) Construa um triângulo qualquer. Determine sua altura, uma de suas bissetrizes,

a medida de seus ângulos internos, a medida de sua altura, seu perímetro, sua

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área, e a mediatriz de um de seus lados. Movimente o triângulo alterando sua

forma e perceba o que acontece com as outras construções, e suas medidas.

f) Construa um triângulo retângulo ABC. Movimente-o. Marque os ângulos

internos do triângulo e observe suas medidas na janela algébrica. Movimente

um dos vértices e confira sua construção.

g) Construa um triangulo isósceles ABC. Movimente-o. Observe as medidas dos

lados do triângulo, na janela algébrica. Movimente um dos vértices e confira

sua construção. Marque os ângulos internos do triângulo e observe suas

medidas na janela algébrica. Movimente, novamente, um dos vértices e

descreva o que você observou quanto a medida dos ângulos da base.

h) Construa um triângulo retângulo isóscele. Movimente-o. O que você pode

observar? Salve a atividade e registre suas conclusões.

7.6) O QUADRILÁTERO E SEUS ELEMENTOS

Essa atividade tem como objetivo identificar os diversos tipos de quadrilátero,

reconhecer e representar os vértices, os lados, os ângulos internos, os ângulos

externos e as diagonais de um quadrilátero, aplicar a relação da soma das medidas

dos ângulos internos do quadrilátero.

a) Construa um quadrado de lado 4 cm. Determine o círculo inscrito e o

circunscrito a este quadrado, altere a medida do lado do quadrado. Determine

a medida de seus ângulos internos.

b) Construa um retângulo de lados 5 cm e 4 cm. Utilizando as propriedades do

retângulo. Movimente um de seus vértices e verifique se as propriedades são

conservadas. Calcule sua área e seu perímetro.

c) Construa um quadrado de lado 3 cm. Mostre, na janela geométrica, a medida

dos ângulos e dos lados do quadrado. Movimente um dos vértices e confira sua

construção, observando as medidas dos ângulos e dos lados.

d) Construa uma reta definida por dois pontos A e B e nomeie-a de reta a, crie um

ponto C fora da reta. Faça uma reta paralela à reta a e nomeie-a de reta b. Crie

dois pontos D e E sobre a reta b. Selecione a opção polígono e clique sobre os

pontos A, B, E e D que serão vértices. Como se chama o polígono formado?

Mova qualquer um dos pontos, o que acontece?

e) Construa uma reta definida por dois pontos e nomeie-a de a. Faça um ponto

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fora da reta a e nomeie-o de C. Trace uma reta paralela à reta a que passe pelo

ponto C e nomeie-a de b. Faça uma reta definida por dois pontos passando por

A e C e nomeie-a de c. Faça uma reta paralela à reta c que passa pelo ponto B

e nomeie-a de d. Ache a intersecção da reta d e b. Você terá quatro pontos A,

B, C e D. Todos os pontos são livres? Tente movê-los, o que acontece? Mova

as retas e verifique se elas continuam paralelas. Ative a ferramenta polígono e

una os pontos A, B, C e D. Em seguida, esconda as retas a, b, c e d. Qual o

polígono formado? Calcule a distância de cada um dos lados do polígono. O

que você observa? Mova os pontos do polígono. O que ocorre com as medidas

do lado oposto? Ache a medida dos ângulos do polígono. Movimente os

pontos. O que acontece com a medida dos ângulos opostos? Qual a relação

entre dois ângulos consecutivos? Qual a relação que existe entre o losango o

retângulo e o quadrado? Salve a atividade e registre suas conclusões.

8) UNIDADE DIDÁTICA 2

Nesta unidade didática iniciaremos refletindo sobre as investigações

geométricas, tentando esclarecer algumas ideias e evidenciar a importância da

mesma na abordagem do conteúdo geometria.

Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2006), a utilização de programas de

Geometria Dinâmica contribui para a aprendizagem.

Esse suporte tecnológico permite o desenho, a manipulação e a construção de objetos geométricos, facilita a exploração de conjecturas e a investigação de relações que precedem o uso do raciocínio formal. Vários estudos empíricos destacam também que, na realização de investigações, a utilização dessas ferramentas facilita a recolha de dados e o teste de conjecturas, apoiando, desse modo, explorações mais organizadas e completas e permitindo que os alunos se concentrem nas decisões em termos do processo (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2006, p.83).

As atividades a seguir apresentarão tarefas investigativas a partir da resolução

de problemas retirados e adaptados das Provas do Profmat e do Banco de Questões

da OBMEP 2010, com o objetivo de demonstrar para o professor a possibilidade de

ensinar matemática a partir da investigação matemática e do software Geogebra.

A cada problema sugerido será discutido com os professores quais as

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ferramentas que devem ser usadas para a realização da tarefa, obedecendo às

propriedades dadas. Os passos da construção serão criados e registrados durante o

desenvolvimento da atividade e deverão responder os seguintes questionamentos

na resolução de cada problema:

1) Que conteúdos estão presentes nesse problema?

2) É possível encontrar o resultado do problema utilizando o Geogebra?

3) Como podemos iniciar a construção no Geogebra?

4) Após construir a figura movimente-a. A construção permaneceu com as

mesmas propriedades?

5) Quais conceitos podem ser explorados?

6) Descreva todos os passos que você utilizou para resolver o problema.

7) Salve cada um dos problemas e registre suas conclusões.

8.1) PLACA DECORATIVA

Uma placa decorativa consiste num quadrado de 4 m de lado, pintado de forma

simétrica com partes em cinza, conforme Figura 1. Qual é a fração da área da placa

que foi pintada?

Figura 1 – Placa decorativa.

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8.2) JARDIM VARIADO

Um jardim retangular de 120 por 80 m foi dividido em seis regiões, conforme

indicado na figura, em que N, M e P são pontos médios dos lados e R divide o

comprimento do lado na razão 1/3. Em cada região será plantado um dos seguintes

tipos de flor: rosa, margarida, cravo, bem-me-quer, violeta e bromélia, cujos preços,

por m2, estão indicados na tabela da Figura 2. Quais são as possíveis escolhas das

flores em cada região, de modo a se gastar o mínimo possível?

Figura 2 – Jardim variado.

8.3) DISCOS DE PAPELÃO

Para fabricar nove discos de papelão circulares para o Carnaval usam-se

folhas quadradas de 10 cm de lado, como indicado na Figura 3. Qual é a área (em

cm2) do papel não aproveitado?

Figura 3 – Discos de papelão.

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8.4) CÁLCULO DE ÁREAS

Em cada um dos itens (a) e (b), da Figura 4, tem-se um quadrado de lado r. As

regiões hachuradas em cada um destes itens são limitadas por lados desse

quadrado ou por arcos de círculos de raio r de centros nos vértices do quadrado.

Calcule cada uma dessas áreas em função de r.

Figura 4 – Cálculos de área.

8.5) COLANDO SEIS TRIÂNGULOS

Construa um desenho com seis triângulos equiláteros adjacentes, o primeiro

com lado de comprimento 1 cm e os triângulos seguintes com lado igual à metade

do lado do triângulo anterior, como indicado na Figura 5. Qual é o perímetro deste

desenho?

Figura 5 – Colando seis triângulos.

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8.6) INTERSEÇÃO DE CÍRCULOS

Na Figura 6 foram desenhados três círculos de raio r centrados nos vértices do

triângulo equilátero Δ ABC de lado a. Se ara 2

1, esses três círculos são, dois a

dois, concorrentes em três pontos X, Y e Z exteriores ao triângulo Δ ABC. Mostre

que o triângulo Δ XYZ é equilátero e calcule o comprimento do seu lado, em termos

de a e r.

Figura 6 – Intersecção de círculos.

8.7) TRIÂNGULO RETÂNGULO E SEMICIRCUNFERÊNCIAS

Considere um triângulo retângulo isósceles ABC com hipotenusa BC. Tomando

o ponto A como centro e AB como raio, consideremos o arco de circunferência

delimitado pela corda BC. Consideremos ainda a semicircunferência de diâmetro

BC, conforme a Figura 7. Designemos por T a área da região triangular ABC e por S

e L as áreas das outras duas regiões. Prove que L = T.

Figura 7 – Triângulo retângulo e semicircunferências.

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9) REFERÊNCIAS

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MORAN, J. M. Educação e tecnologias: mudar para valer!. Disponível em: <http://www.eca.usp.br/prof/moran/educatec.htm>. Acesso em: 15 março 2011.

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PARANÁ, SEED. Diretrizes curriculares de matemática para a educação básica. Curitiba, 2009.

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PONTE J.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA H. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.

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