PARECER    Este  texto  contém  o  meu  parecer  pessoal,  naturalmente  incompleto,  sobre  os  documentos  colocados  em  discussão  pelo  Ministério  da  Educação.  Com  o  prazo  tão  curto  que  foi  dado,  é  o  que  consigo  apresentar,  mas  parece-­‐me  claro  que  se  impõe  um  alargamento  do  prazo  e  uma  discussão  aprofundada  sobre  todos  os  temas  que  levanto  e  ainda  alguns  que  deixo  de  fora.    Não  consigo,  no  tempo  disponível,  elaborar  uma  proposta  alternativa;  não  seria  sério  da  minha  parte  elaborar  tal  em  menos  de  um  mês,  cumprindo  ao  mesmo  tempo  as  minhas  obrigações  profissionais  e  familiares.  Por  outro  lado,  seria  totalmente  indispensável,  na  minha  opinião,  para  poder  fazer  uma  proposta  séria,  elaborar  dois  estudos  prévios  para  que  tal  empresa  pudesse  vir  a  ter  sucesso:    i)  Qual  o  retrato  da  situação  atual  do  ensino  secundário  de  Matemática  em  Portugal?  Já  em  1996  foi  feito  um  inquérito  a  uma  amostra  de  50  escolas  para  depois  se  perceber  o  que  estava  a  correr  mal  e  o  que  era  possível  ajustar  no  programa  vigente.    ii)  Qual  a  situação  nos  países  de  referência?  Aqui  incluiria  países  como  Singapura,  Coreia  do  Sul,  Finlândia,  Canadá,  Austrália  e  Holanda,  países  muito  bem  colocados  nos  estudos  internacionais;  o  estudo  teria  de  incluir  a  estrutura  curricular,  os  programas,  os  manuais  e  os  exames  nacionais.    Só  com  estes  estudos  prévios  será  possível  empreender  um  estudo  sério  da  revisão  necessária  no  atual  programa  de  Matemática  A  (essa  revisão  terá  ainda  necessariamente  de  ser  feita  de  forma  coordenada  com  os  outros  programas,  Matemática  B,  MACS,  profissional,  etc).    Nota  1  –  O  ensino  da  lógica  matemática    A  lógica  matemática  que  é  apresentada  logo  no  início  do  10º  ano  como  uma  introdução  ao  Ensino  Secundário  de  Matemática,  revela-­‐se  totalmente  desajustada,  tanto  por  repetir  fórmulas  que  já  falharam  por  cá,  como  por  ignorar  a  experiência  de  outros  países  nesta  área,  sobretudo  os  países  bem  colocados  nos  estudos  internacionais.  Ao  contrário  do  que  afirmam  os  autores  da  proposta,  esta  lógica  matemática  não  é  estudada  num  10º  ano  de  escolaridade  em  nenhum  país  do  mundo  onde  o  ensino  da  matemática  tenha  atingido  um  nível  elevado.    Ouvi  falar  em  "países  de  referência",  mas  não  sei  a  que  países  se  possam  estar  a  referir.  Serão  os  países  referidos  na  bibliografia  da  proposta  de  programa?    Os  países  referenciados  no  documento  agora  em  discussão  são  os  seguintes:  França,  Bélgica  (francófona),  Itália,  Reino  Unido  e  EUA.  Se  assim  é,  no  que  diz  respeito  à  lógica  matemática,  os  documentos  do  Itália  e  EUA  não  lhe  fazem  qualquer  referência.    

No  que  diz  respeito  à  França,  berço  do  estruturalismo  bourbakista,  os  atuais  programas  do  10º  ano  ("seconde")  determinam  o  seguinte  sobre  a  lógica  matemática  [1]:    "Les  concepts  et  méthodes  relevant  de  la  logique  mathématique  ne  doivent  pas  faire  l’objet  de  cours  spécifiques  mais  doivent  prendre  naturellement  leur  place  dans  tous  les  chapitres  du  programme"    Ou  seja,  não  deve  haver  aulas  de  lógica  matemática.  Mais  adiante  detalham-­‐se  quais  os  elementos  de  lógica  a  trabalhar  e  reforça-­‐se:    "Notations  et  raisonnement  mathématiques  (objectifs  pour  le  lycée)  Cette  rubrique,  consacrée  à  l’apprentissage  des  notations  mathématiques  et  à  la  logique,  ne  doit  pas  faire  l’objet  de  séances  de  cours  spécifiques  mais  doit  être  répartie  sur  toute  l’année  scolaire."    Ou  seja,  o  que  determinam  claramente  os  programas  franceses  atuais  é  que  a  lógica  matemática  é  um  tema  transversal  do  programa  e  deve  ir  sendo  introduzida  à  medida  que  for  sendo  necessária,  não  devendo  ser  um  tema  de  estudo  em  si.  Isto  é  exatamente  o  que  tem  o  atual  programa  de  Matemática  A  em  Portugal  (datado  de  2003).    Nos  programas  belgas  aparece  [2],  integrado  no  capítulo  de  Geometria  e  Trigonometria,  uma  seção  denominada  "Demonstrar"  com  a  seguinte  indicação  de  conteúdos:    "Maitriser  quelques  démarches  logiques  qui  régissent  les  démonstrations  :  -­‐  donner  la  négation,  une  réciproque  d’un  énoncé,  -­‐  établir  un  raisonnement  par  l’absurde  (contraposition),  par  disjonction  des  cas,  -­‐  distinguer  méthodes  inductives  et  raisonnement  déductif."    Ou  seja,  mais  uma  vez  alguns  aspetos  da  lógica  matemática  não  são  trabalhados  por  si  próprios  mas  são  parte  integrante  no  trabalho  com  a  Geometria.    No  caso  do  Reino  Unido  [3]  não  há  nenhum  capítulo  que  refira  a  lógica  Matemática.  Contudo,  no  'Key  Stage  4'  (10º  e  11º  anos),  aparece,  integrado  no  capítulo  de  Geometria,  uma  seção  chamada  "Reasoning",  com  o  seguinte  desenvolvimento:    "-­‐  apply  mathematical  reasoning,  progressing  from  brief  mathematical  explanations  towards  full  justifications  in  more  complex  contexts  -­‐  explore  connections  in  geometry;  pose  conditional  constraints  of  the  type  ‘If  …  then  …’;  and  ask  questions  ‘What  if  …?’  or  ‘Why?’  -­‐  show  step-­‐by-­‐step  deduction  in  solving  a  geometrical  problem  -­‐  state  constraints  and  give  starting  points  when  making  deductions  -­‐  understand  the  necessary  and  sufficient  conditions  under  which  generalisations,  inferences  and  solutions  to  geometrical  problems  remain  valid."    

Mais  uma  vez  observamos  que  alguns  aspetos  da  lógica  matemática  são  claramente  integrados  no  trabalho  com  a  Geometria.    Existe  [4]  um  curriculo  de  Matemática  para  o  ensino  secundário  elaborado  em  Itália  em  2003  por  uma  equipa  da  'Unione  Matematica  Italiana'  (UMI),  chefiada  por  Ferdinando  Arzarello,    o  atual  presidente  do  ICMI-­‐Comissão  Internacional  para  a  Instrução  Matemática,  que  especifica  quais  os  elementos  de  lógica  matemática  que  devem  ser  trabalhados  no  Ensino  Secundário.  Mas  desaconselha  que  se  deva  "Trattare  la  logica  come  un  capitolo  separato."  Em  vez  disso  aconselha  que:  "Trovare  invece  collegamenti  con  nozioni  di  logica  in  diversi  momenti  e  in  vari  ambiti;  sarà  anche  utile  qualche  approfondimento  specifico  per  riordinare  e  organizzare  quanto  visto."    Em  conclusão,  no  que  diz  respeito  à  lógica  matemática,  nenhum  dos  países  referidos  a  trata  como  tema  separado,  quando  muito  indica  elementos  a  ser  tratados  em  capítulos  concretos  ou  a  ser  tratado  à  medida  que  vai  sendo  trabalhada  a  matemática.  Concluindo:  não  há  nenhuma  base  científica  ou  evidência  experimental  para  as  opções  tomadas  na  atual  proposta  de  programa  de  Matemática  A.  É  inaceitável  a  manutenção  dessas  opções  na  versão  final  do  programa  de  Matemática  A!      Nota  2  -­‐  O  ensino  dos  vetores    A  opção  feita  na  proposta  de  programa  para  o  estudo  dos  vetores  no  10º  ano  de  escolaridade  parece-­‐me  totalmente  desajustada.    Vou  começar  por  analisar  como  é  que  os  países  referenciados  no  documento  agora  em  discussão  tratam  esta  questão,  isto  é:  França,  Bélgica  (francófona),  Itália,  Reino  Unido  e  EUA.    Em  França,  os  vetores  aparecem  [1]  no  10º  ano  de  escolaridade  ("seconde")  como  forma  de  enriquecer  o  trabalho  em  geometria:    "Les  configurations  étudiées  au  collège,  à  base  de  triangles,  quadrilatères,  cercles,  sont  la  source  de  problèmes  pour  lesquels  la  géométrie  repérée  et  les  vecteurs  fournissent  des  outils  nouveaux  et  performants."    Não  há  preocupação  com  a  formalização  ou  o  enquadramento  teórico,  mas  sim  com  a  resolução  de  problemas  geométricos  mais  ricos:    "En  fin  de  compte,  l’objectif  est  de  rendre  les  élèves  capables  d’étudier  un  problème  d’alignement  de  points,  de  parallélisme  ou  d’intersection  de  droites,  de  reconnaissance  des  propriétés  d’un  triangle,  d’un  polygone  –  toute  autonomie  pouvant  être  laissée  sur  l’introduction  ou  non  d’un  repère,  l’utilisation  ou  non  de  vecteurs."    A  definição  de  vetor  é  feita  a  partir  da  utilização  intuitiva  da  translação,  sem  que  esta  última  seja  estudada  formalmente:  

 "La  définition  proposée  des  vecteurs  permet  d’introduire  rapidement  l’addition  de  deux  vecteurs  et  la  multiplication  d’un  vecteur  par  un  nombre  réel.  Cette  introduction  est  faite  en  liaison  avec  la  géométrie  plane  repérée.  La  translation,  en  tant  que  transformation  du  plan,  n’est  pas  étudiée  en  classe  de  seconde."    O  estudo  dos  vetores  começa  com  a  noção  de  translação,  embora  não  seja  estudada  em  detalhe:    "Définition  de  la  translation  qui  transforme  un  point  A  du  plan  en  un  point  B."    Esta  noção  de  translação  é  introduzida  de  um  modo  algo  informal:    "À  tout  point  C  du  plan,  on  associe,  par  la  translation  qui  transforme  A  en  B,  l’unique  point  D  tel  que  [AD]  et  [BC]  ont  même  milieu."    A  partir  daqui  aparece  a  noção  de  vetor,  e  rapidamente  se  define  a  igualdade,  a  adição  e  o  produto  por  um  número  real,  assim  como  se  trabalha  com  as  coordenadas  do  vetor.  O  vetor  AB  será  exatamente  o  que  está  associado  à  translação  que  transforma  o  ponto  A  no  ponto  B.    Os  programas  belgas  [2]  referem  o  uso  dos  vetores  de  uma  fora  claramente  operacional:    "Quelques  notions  constituent  les  bases  des  compétences  géométriques  et  trigonométriques  (...).  Les  compétences  calculatoires  qui  s’y  rapportent  sont  amplifiées  ensuite  par  la  géométrie  vectorielle  ou  analytique."    A  noção  de  vetor  é  também  usada  para  enriquecer  as  argumentações  geométricas:    "Les  compétences  liées  à  l’argumentation  sont  au  coeur  de  toute  activité  géométrique.  Elles  sont  à  l’oeuvre  dans  la  réalisation  et  la  justification  de  constructions,  dans  la  recherche  de  propriétés  et  dans  la  rédaction  de  démonstrations,  qu’elles  soient  synthétiques,  vectorielles  ou  analytiques."    O  programa  apenas  determina,  quanto  aos  vetores,  que  se  estude:    "Le  calcul  vectoriel  dans  le  plan  et  dans  l’espace,  faisant  intervenir  les  composantes  des  vecteurs,  leur  égalité  et  le  produit  scalaire  de  deux  vecteurs."    Em  Itália  os  vetores  são  estudados  [6]  no  "primeiro  biénio"  (9º  e  10º  anos)  integrados  no  capítulo  de  álgebra  e  não  no  de  geometria  por  serem  associados  às  matrizes.  A  única  orientação  do  programa  está  expressa  na  frase:    "Studierà  i  concetti  di  vettore,  di  dipendenza  e  indipendenza  lineare,  di  prodotto  scalare  e  vettoriale  nel  piano  e  nello  spazio  nonché  gli  elementi  del  calcolo  matriciale.  Approfondirà  inoltre  la  comprensione  del  ruolo  fondamentale  che  i  concetti  dell’algebra  vettoriale  e  matriciale  hanno  nella  fisica."  

 Este  estudo  é  enquadrado  pelos  objetivos  de  aprendizagem  do  programa  do  seguinte  modo:    "Nel  primo  biennio  si  inizia  a  costruire  il  linguaggio  della  fisica  classica  (grandezze  fisiche  scalari  e  vettoriali  e  unità  di  misura),  abituando  lo  studente  a  semplificare  e  modellizzare  situazioni  reali,  a  risolvere  problemi  e  ad  avere  consapevolezza  critica  del  proprio  operato."    Observamos  assim  que  em  Itália  a  resolução  de  problemas  e  as  aplicações  são  o  mote  principal  do  estudo  dos  vetores.    No  Reino  Unido  os  vetores  são  estudados  no  Key  Stage  4  (10º  e  11º  anos)  [3]  com  as  seguintes  orientações  oficiais:    "Vectors  understand  and  use  vector  notation;  calculate,  and  represent  graphically  the  sum  of  two  vectors,  the  difference  of  two  vectors  and  a  scalar  multiple  of  a  vector;  calculate  the  resultant  of  two  vectors;  understand  and  use  the  commutative  and  associative  properties  of  vector  addition;  solve  simple  geometrical  problems  in  2-­‐D  using  vector  methods."    Mais  uma  vez  encontramos  uma  visão  prática  do  uso  dos  vetores  associada  à  resolução  de  problemas.    Nos  Estados  Unidos  os  vetores  são  estudados  [5]  na  "High  School"  (anos  9  a  12)  juntamente  com  as  matrizes:    "Vector  and  Matrix  Quantities  •  Represent  and  model  with  vector  quantities.  •  Perform  operations  on  vectors.  •  Perform  operations  on  matrices  and  use  matrices  in  applications."    Nas  orientações  para  o  estudo  dos  vetores  e  matrizes  há  uma  grande  preocupação  pela  ligação  às  aplicações  e  pela  visualização  gráfica,  sempre  num  contexto  de  resolução  de  problemas.    Qual  a  opção  da  atual  proposta  de  novos  programas  de  Matemática  A  em  Portugal?  Na  introdução  pode  ler-­‐se:    "Com  o  intuito  de  dar  continuidade  ao  estudo  dos  vetores  iniciado  no  8.º  ano,  e  tendo  em  vista  apresentar  finalmente  uma  definição  coerente  e  rigorosa  de  vetor,  introduzem-­‐se  as  relações  binárias  de  equivalência  e  os  respetivos  conjuntos  quociente,  contexto  que  é  igualmente  utilizado  para  definir  de  forma  mais  rigorosa  outros  conceitos  previamente  abordados  de  modo  menos  formal,  como,  por  exemplo,  os  conceitos  de  comprimento,  de  amplitude  de  ângulos  ou  de  forma  geométrica  e  que  permite  exprimir  de  modo  preciso  em  que  sentido  um  vetor  se  pode  identificar  com  a  translação  que  determina."    

Ou  seja,  ao  contrário  de  todos  os  outros  programas  referidos,  o  objetivo  é  "apresentar  finalmente  uma  definição  coerente  e  rigorosa  de  vetor".  E  para  quê?  Para  fazer  avançar  as  questões  matemáticas?  Não!  Só  para  presentar  uma  definição  rigorosa  de  vetor  e  de  mais  outros  conceitos.  A  palavra  "finalmente"  neste  contexto  é  curiosa.  Não  se  pode  terminar  o  secundário  sem  definir  "tudo"  rigorosamente.  Para  aplicar  melhor?  Não,  simplesmente  para  se  chegar  a  uma  estrutura  formalizada.  E  não  é  verdade  que  só  com  a  definição  rigorosa  de  vetor  se  possa  associar  um  vetor  com  uma  translação;  tudo  isso  pode  ser  feito  eficazmente  de  forma  mais  ou  menos  intuitiva,  como  é  feito  nos  outros  programas  referidos.  A  Matemática,  tal  como  é  apresentada  neste  contexto,  é  esterilizadora;  passa-­‐se  muito  tempo  com  as  teorizações  e  o  que  sobra  para  a  resolução  de  problemas,  o  coração  da  matemática,  é  reduzido  a  uma  mera  aplicação  de  definições  e  teoremas!    E  qual  a  abordagem  teórica  apresentada  na  proposta  de  programa  de  Matemática  A  para  o  estudo  dos  vetores?  A  das  pesadíssimas  "relações  de  equivalência"  e  "classes  de  equivalência":    "Relações  de  equivalência,  partições  e  vetores  -­‐  Produtos  cartesianos  de  conjuntos;  -­‐  Relações  binárias  e  relações  de  equivalência;  classes  de  equivalência,  conjuntos-­‐quociente  e  partições;  -­‐  Formas  geométricas,  comprimentos,  direções,  amplitudes  e  vetores  enquanto  classes  de  equivalência;  vetores  e  translações;  -­‐  Resolução  de  problemas  envolvendo  relações  de  equivalência  e  partições  de  conjuntos."    As  Metas  curriculares  associadas  a  estes  conteúdos  confirmam  a  profundidade  teórica  pretendida:    "Relações  de  equivalência,  partições  e  vetores  3.  Interpretar  os  vetores  como  classes  de  equivalência    (...)  4.  Identificar,  fixado  um  conjunto  A,  uma  «relação  de  equivalência»  em  A  como  uma  relação  binária  R,  em  A,  reflexiva,  simétrica  e  transitiva,  e  elementos  x  e  y  de  A  como  «R-­‐equivalentes»  (ou  simplesmente  como  «equivalentes»  se  esta  designação  não  for  ambígua)  quando  xRy.  5.  Identificar,  dado  um  conjunto  A,  uma  «partição»  em  A  como  um  conjunto  de  partes  de  A  não  vazias,  duas  a  duas  disjuntas  e  cuja  união  é  igual  a  A.  6.  Identificar,  dados  um  conjunto  A,  uma  relação  de  equivalência  R  em  A  e  a€A,  a  «classe  de  equivalência  de  a  para  a  relação  R»  como  o  conjunto  Ra  =  {x:  xRa}  dos  elementos  de  A  que  estão  na  relação  R  com  a,  designando  cada  um  deles  por  «representante»  de  Ra.  7.  +Provar,  dado  um  conjunto  A  e  uma  relação  de  equivalência  R  em  A,  que  o  conjunto  A/R  =  {Ra:  a  €  A}  das  classes  de  equivalência  dos  elementos  de  A  para  a  relação  R  é  uma  partição  de  A  e  designá-­‐lo  por  «conjunto  quociente  de  A  pela  relação  R»."  (...)  

9.  Interpretar  como  relações  binárias  as  relações  de  semelhança  e  de  congruência  de  figuras  geométricas  no  espaço  e  reconhecer  que  se  trata  de  relações  de  equivalência,  designando  as  classes  de  equivalência  para  a  relação  de  semelhança  por  «formas  geométricas»  ou  simplesmente  «formas».  (...)  14.  Interpretar  como  relação  binária  a  relação  de  equipolência  de  segmentos  orientados  num  plano  e  reconhecer  que  se  trata  de  uma  relação  de  equivalência,  designando  as  classes  de  equivalência  por  «vetores»  desse  plano.  15.  Justificar,  fixado  um  plano  e  um  vetor  v  desse  plano,  que  o  gráfico  GTv  da  translação  Tv  coincide,  enquanto  conjunto  de  pares  ordenados,  com  o  próprio  vetor  v  enquanto  classe  de  equivalência  de  segmentos  orientados."    Esta  é  uma  abordagem  totalmente  inadequada  para  um  10º  ano  de  escolaridade  (ou  qualquer  outro  ano  do  ensino  secundário),  está  condenada  ao  fracasso  e  afastará  da  Matemática  A  a  grande  maioria  dos  estudantes  portugueses.    Porque  é  que  os  programas  portugueses  se  afastam  de  todos  os  outros  programas  que  o  próprio  programa  refere?  Porque  é  que  insiste  em  fórmulas  que  já  falharam  em  Portugal  e  em  todos  os  outros  países  onde  foram  aplicados?  Vamos  ter  de  repetir  o  desastre  do  passado  para  poder  passar  a  uma  outra  fase?        Nota  3  -­‐  A  resolução  de  problemas    A  proposta  de  Programas  e  Metas  de  Matemática  para  o  secundário  atualmente  em  discussão  não  peca  apenas  por  incluir  conteúdos  que  são  em  quantidade  e  em  nível  de  abstração  desajustados  para  os  nossos  alunos  do  ensino  secundário  e  para  as  condições  de  trabalho  atualmente  existentes  em  Portugal,  como  também  diverge  do  que  atualmente  se  faz  pelo  mundo  fora,  incluindo  nos  países  que  são  citados  na  própria  proposta  de  programa.    E  essa  divergência  não  diz  respeito  apenas  aos  conteúdos  escolhidos  mas  também  diz  respeito  ao  tipo  de  trabalho  a  ter  na  sala  de  aula.    Apesar  de  poder  citar  muitos  outros  países,  nomeadamente  da  Ásia,  vou  concentrar-­‐me  nos  países  referenciados  no  documento  agora  em  discussão,  isto  é:  França,  Bélgica  (francófona),  Itália,  Reino  Unido  e  EUA.  Como  encaram  estes  países  o  trabalho  na  aula  de  Matemática,  nomeadamente  no  que  diz  respeito  à  resolução  de  problemas?    Os  objetivos  definidos  no  10º  ano  de  escolaridade  ("seconde")  em  França  [1],  são  muito  claros:    "L’objectif  de  ce  programme  est  de  former  les  élèves  à  la  démarche  scientifique  sous  toutes  ses  formes  pour  les  rendre  capables  de  :  -­‐_  modéliser  et  s’engager  dans  une  activité  de  recherche  ;  _-­‐  conduire  un  raisonnement,  une  démonstration  ;  _-­‐  pratiquer  une  activité  expérimentale  ou  algorithmique  ;  

-­‐_  faire  une  analyse  critique  d’un  résultat,  d’une  démarche  ;  -­‐_  pratiquer  une  lecture  active  de  l’information  (critique,  traitement),  en  privilégiant  les  changements  de  registre  (graphique,  numérique,  algébrique,  géométrique)  ;  _-­‐  utiliser  les  outils  logiciels  (ordinateur  ou  calculatrice)  adaptés  à  la  résolution  d’un  problème  ;  _-­‐  communiquer  à  l’écrit  et  à  l’oral."    Obviamente  que  isto  implica  que  os  problemas  a  trabalhar  na  sala  de  aula  são  muito  mais  do  que  meros  exercícios  de  aplicação  das  matérias  estudadas.  A  recomendação  dos  programas  é  que  considere  também  a  autonomia  e  o  espírito  de  iniciativa  dos  alunos:    "Dans  la  mesure  du  possible,  les  problèmes  posés  s’inspirent  de  situations  liées  à  la  vie  courante  ou  à  d’autres  disciplines.  Ils  doivent  pouvoir  s’exprimer  de  façon  simple  et  concise  et  laisser  dans  leur  résolution  une  place  à  l’autonomie  et  à  l’initiative  des  élèves.  Au  niveau  d’une  classe  de  seconde  de  détermination,  les  solutions  attendues  sont  aussi  en  général  simples  et  courtes."    Em  França  os  programas  dão  extrema  importância  a  atividades  diversificadas  na  sala  de  aula  e  existe  um  parágrafo  no  programa  com  esse  título:    "Diversité  de  l’activité  de  l’élève  La  diversité  des  activités  mathématiques  proposées  :  _  -­‐  chercher,  expérimenter  –  en  particulier  à  l’aide  d’outils  logiciels  ;  _  -­‐  appliquer  des  techniques  et  mettre  en  oeuvre  des  algorithmes  ;  _  -­‐  raisonner,  démontrer,  trouver  des  résultats  partiels  et  les  mettre  en  perspective  ;  _  -­‐  expliquer  oralement  une  démarche,  communiquer  un  résultat  par  oral  ou  par  écrit  ;  doit  permettre  aux  élèves  de  prendre  conscience  de  la  richesse  et  de  la  variété  de  la  démarche  mathématique  et  de  la  situer  au  sein  de  l’activité  scientifique.  Cette  prise  de  conscience  est  un  élément  essentiel  dans  la  définition  de  leur  orientation.  Il  importe  donc  que  cette  diversité  se  retrouve  dans  les  travaux  proposés  à  la  classe."    Em  Portugal  a  tecnologia  é  olhada  com  desconfiança,  em  França  é  considerada  uma  ferramenta  fundamental  para  a  abordagem  dos  problemas.  Mas  também  não  é  esquecido  o  cálculo  mental:    "Il  est  important  en  classe  de  seconde  de  poursuivre  l’entraînement  des  élèves  dans  ce  domaine  par  la  pratique  régulière  du  calcul  mental,  du  calcul  numérique  et  du  calcul  littéral.  L’utilisation  d’outils  logiciels  de  calcul  –  sur  calculatrice  ou  sur  ordinateur  –  contribue  à  cet  entraînement."    Na  proposta  de  programas  em  discussão  em  Portugal  não  aparece  qualquer  referência  ao  cálculo  mental!    

No  documento  belga  [2]  a  resolução  de  problemas  é  um  dos  objetivos  definidos  para  o  referencial  de  "competências  terminais  e  saberes  requeridos"  oficial.  Em  cada  um  dos  capítulos  aparece  uma  seção  intitulada  "3.Appliquer,  analyser,  résoudre  des  problèmes"  onde  se  referem  o  tipo  de  problemas  pretendidos  e  se  recomenda  por  exemplo:  "Présenter  les  résultats  oralement  ou  par  écrit  dans  une  expression  claire,  concise,  exempte  d’ambiguïté".  E  a  importância  dos  problemas  é  finalmente  frisada  na  ligação  com  a  História  da  Matemática:  "Pour  enseigner  des  mathématiques  qui  ont  un  sens  et  lutter  ainsi  contre  une  vision  dogmatique  des  mathématiques,  il  y  a  lieu  d’insister  sur  le  rôle  des  problèmes  dans  l’émergence  des  concepts."    Os  programas  italianos  [4]  salientam  igualmente  a  resolução  de  problemas,  sendo  uma  das  competências  a  adquirir,  muito  ligada  à  modelação  e  até  alertam  contra  o  tecnicismo  excessivo:    "verranno  evitate  dispersioni  in  tecnicismi  ripetitivi  o  casistiche  sterili  che  non  contribuiscono  in  modo  significativo  alla  comprensione  dei  problemi.  L'approfondimento  degli  aspetti  tecnici,  sebbene  maggiore  nel  liceo  scientifico  che  in  altri  licei,  non  perderà  mai  di  vista  l’obiettivo  della  comprensione  in  profondità  degli  aspetti  concettuali  della  disciplina.  L’indicazione  principale  è:  pochi  concetti  e  metodi  fondamentali,  acquisiti  in  profondità."    Os  programas  italianos  também  salientam  o  papel  da  informática  na  resolução  de  problemas:  "anche  utilizzando  strumenti  informatici  di  rappresentazione  geometrica  e  di  calcolo"    Na  Inglaterra  o  programa  do  Key  Stage  4  [3],  tem  a  resolução  de  problemas  como  uma  das  competências  centrais  a  desenvolver:    "At  key  stage  4,  young  people  should  see  how  their  studies  will  lead  to  further  education  and  employment  and  be  helped  to  develop  competence  in  skills  such  as  analysis,  problem  solving,  reasoning  and  communication."    Mais  adiante  esta  competência  de  resolução  de  problemas  é  devidamente  detalhada:    "Problem  solving  The  key  skill  of  problem  solving  involves  pupils  developing  the  skills  and  strategies  that  will  help  them  to  solve  the  problems  they  face  in  learning  and  in  life.  Problem  solving  includes  the  skills  of  identifying  and  understanding  a  problem,  planning  ways  to  solve  a  problem,  monitoring  progress  in  tackling  a  problem  and  reviewing  solutions  to  problems.  All  subjects  provide  pupils  with  opportunities  to  respond  to  the  challenge  of  problems  and  to  plan,  test,  modify  and  review  the  progress  needed  to  achieve  particular  outcomes."    É  muito  relevante  a  referência  a  "developing  the  skills  and  strategies  that  will  help  them  to  solve  the  problems".  Desenvolver  estratégias,  é  o  que  se  pretende.  A  resolução  de  problemas  é  repetidamente  enfatizada  e  detalhada  em  cada  capítulo.  Por  exemplo,  no  capítulo  de  Geometria  podemos  ler:  

 "Problem  solving  -­‐  select  problem-­‐solving  strategies  and  resources,  including  ICT  tools,  to  use  in  geometrical  work,  and  monitor  their  effectiveness  -­‐  select  and  combine  known  facts  and  problem-­‐solving  strategies  to  solve  complex  problems  -­‐  identify  what  further  information  is  needed  to  solve  a  geometrical  problem;  break  complex  problems  down  into  a  series  of  tasks"    Estes  conselhos  são  muito  semelhantes  aos  de  George  Polya  (uma  referência  sonoramente  ausente  na  proposta  de  programas  em  Portugal).  Podemos  também  identificar  a  influência  de  Goerge  Polya  nos  novos  programas/metas  americanos  [5].  Podemos  até  dizer  que  estes  são  os  que  mais  enfatizam  a  resolução  de  problemas,  visto  que  a  consideram  como  um  tema  transversal  do  programa/metas  para  todos  os  anos  de  escolaridade:    "Make  sense  of  problems  and  persevere  in  solving  them.  Mathematically  proficient  students  start  by  explaining  to  themselves  the  meaning  of  a  problem  and  looking  for  entry  points  to  its  solution.  They  analyze  givens,  constraints,  relationships,  and  goals.  They  make  conjectures  about  the  form  and  meaning  of  the  solution  and  plan  a  solution  pathway  rather  than  simply  jumping  into  a  solution  attempt.  They  consider  analogous  problems,  and  try  special  cases  and  simpler  forms  of  the  original  problem  in  order  to  gain  insight  into  its  solution.  They  monitor  and  evaluate  their  progress  and  change  course  if  necessary.  Older  students  might,  depending  on  the  context  of  the  problem,  transform  algebraic  expressions  or  change  the  viewing  window  on  their  graphing  calculator  to  get  the  information  they  need.  Mathematically  proficient  students  can  explain  correspondences  between  equations,  verbal  descriptions,  tables,  and  graphs  or  draw  diagrams  of  important  features  and  relationships,  graph  data,  and  search  for  regularity  or  trends.  Younger  students  might  rely  on  using  concrete  objects  or  pictures  to  help  conceptualize  and  solve  a  problem.  Mathematically  proficient  students  check  their  answers  to  problems  using  a  different  method,  and  they  continually  ask  themselves,  “Does  this  make  sense?”  They  can  understand  the  approaches  of  others  to  solving  complex  problems  and  identify  correspondences  between  different  approaches."    Mais  uma  vez  se  nota  a  preocupação  de  desenvolver  diferentes  tipos  de  estratégias,  onde  se  inclui  o  uso  de  ferramentas  informáticas,  para  resolver  problemas.  E  temas  como  "conjeturas"  e  "considerar  casos  especiais",  "analisar  casos  análogos",  que  estão  no  âmago  do  método  de  Polya,  aparecem  como  essenciais  neste  programa/metas.    Em  contraste,  a  proposta  de  programas  portuguesa  é  muita  lacónica  sobre  a  resolução  de  problemas,  na  realidade  reduzida  a  simples  aplicação  de  técnicas  e  procedimentos:    "Resolução  de  problemas  –  A  resolução  de  problemas  envolve,  da  parte  dos  alunos,  a  leitura  e  interpretação  de  enunciados,  a  mobilização  de  conhecimentos  de  factos,  conceitos  e  relações,  a  seleção  e  aplicação  adequada  de  regras  e  

procedimentos,  previamente  estudados  e  treinados,  a  revisão,  sempre  que  necessária,  da  estratégia  preconizada  e  a  interpretação  dos  resultados  finais."    Não  aparecem  aqui  conjeturas,  nem  diferentes  representações,  nem  o  suporte  da  tecnologia.  Pelo  contrário,  só  se  usam  "regras  e  procedimentos,  previamente  estudados  e  treinados".  Como  aspeto  mais  surpreendente,  a  proposta  portuguesa  é  a  única  a  usar  uma  técnica  descritiva  negativa:    "Assim,  a  resolução  de  problemas  não  deve  confundir-­‐se  com  atividades  vagas  de  exploração  e  de  descoberta  que,  podendo  constituir  estratégias  de  motivação,  não  se  revelam  adequadas  à  concretização  efetiva  de  uma  finalidade  tão  exigente."    Esta  posição  redutora  da  proposta  de  programa  portuguesa  é  reforçada  pela  frase  seguinte  da  proposta  agora  em  discussão:    "a  conveniência  de  uma  progressiva  utilização  das  técnicas  e  princípios  que  vão  sendo  adquiridos,  procurando-­‐se  um  equilíbrio  entre  a  adequação  das  questões  propostas  a  essa  aquisição  progressiva  e  uma  ilustração,  nem  sempre  possível,  de  situações  inteiramente  inspiradas  na  vida  corrente."    Esta  perspetiva  pobre  ainda  se  torna  mais  estranha,  se  compararmos  com  a  perspetiva  dos  países  asiáticos  de  melhor  desempenho,  como  a  Coreia  do  Sul  e  de  Singapura.    Na  Coreia  do  Sul  o  programa  oficial  [7]  indica  que:  "The  intense  understanding  and  application  of  mathematical  concepts,  including  practical  problem  solving  activity,  are  essential  in  learning  diverse  subjects  successfully  and  are  also  necessary  to  increase  one's  professional  skills  and  ability  to  solve  problems  as  a  democratic  citizen."  No  detalhe  do  program  aparecem  muitas  recomendações  que  reforçam  esta  ideia.  Por  exemplo:  "If  possible,  ask  open  questions  to  encourage  students'  creative  responses"  (p.  62)  e  "Problem  solving  should  be  reflected  in  all  areas  of  the  Mathematics  Curriculum"  e  ainda  "Students  should  investigate  situations  related  to  nonmathematical  or  mathematical    problems,  and  with  their  acquired  mathematical  knowledge  and  thinking  methods,  use  appropriate  methods  to  solve  problems."  (pg.  63).    De  entre  os  objetivos  da  disciplina  final  do  alunos  do  Ensino  Secundário  que  em  Singapura  estudam  mais  Matemática  podemos  encontrar  mesmo  a  expressão  "resolução  criativa  de  problemas"[8]:    "develop  rigorous  habits  of  mind  through  mathematical  reasoning  and  proof,  creative  mathematical  problem  solving,  and  use  of  mathematical  models"    O  que  escreveu  o  célebre  matemático  George  Polya  sobre  a  resolução  de  problemas?    "Um  professor  de  matemática  tem,  assim,  uma  grande  oportunidade.  Se  preenche  o  tempo  de  que  dispõe  a  exercitar  os  seus  alunos  em  operações  

rotineiras,  aniquila  o  interesse  e  tolhe  o  desenvolvimento  intelectual  dos  estudantes,  desperdiçando,  dessa  forma,  aquela  oportunidade.  Mas  se  desafia  a  curiosidade  dos  alunos,  apresentando-­‐lhes  problemas  adequados  aos  seus  conhecimentos  e  ajudando-­‐os  com  interpelações  estimulantes,  poderá  despertar  neles  o  gosto  pelo  pensamento  independente  e  proporcionar-­‐lhes  alguns  meios  para  o  concretizarem."  [9]    Ou  seja,  todos  os  países  se  aproximam  das  ideias  de  Polya.    É  mesmo  muito  difícil  encontrar  um  País  que  tenha  uma  visão  tão  restritiva  da  resolução  de  problemas  como  em  Portugal.    Porquê?        Nota  4  -­‐  Conteúdos  adicionados    Tentarei  nesta  nota  passar  em  revista  os  conteúdos  incluídos  na  proposta  de  Programas  e  Metas  de  Matemática  para  o  secundário  atualmente  em  discussão,  relacionando-­‐os  com  a  presença  (ou  não)  nos  programas  dos  países  referenciados  nessa  proposta  (isto  é,  França,  Bélgica  (francófona),  Itália,  Reino  Unido  e  EUA)  e  ainda  em  Singapura  e  na  Coreia  do  Sul.  No  caso  de  Inglaterra  usamos  o  documento  [3]  para  o  Key  Stage  4  (KS4,  correspondente  ao  10º  e  11º  anos)  e  o  documento  [12]  para  o  A-­‐level  (A,  correspondente  ao  12º  e  13º  anos).    Eis  os  itens  de  conteúdos/temas  novos  nesta  proposta  de  Programa  (não  foram  analisados  os  itens  das  Metas  mas  são  obviamente  muito  mais  numerosos),  divididos  por  anos  de  escolaridade:    10º  ano  Introdução  à  Lógica  bivalente  e  à  Teoria  dos  conjuntos  10.1-­‐  Reflexividade  e  transitividade  da  implicação  e  da  equivalência;  simetria  da  equivalência  10.2-­‐  Propriedades  comutativa,  associativa,  de  existência  de  elemento  neutro  e  de  elemento  absorvente  e  da  idempotência  da  disjunção  e  da  conjunção  e  propriedades  distributivas  da  conjunção  em  relação  à  disjunção  e  da  disjunção  em  relação  à  conjunção;  10.3-­‐  Leis  de  De  Morgan;  10.4-­‐  Resolução  de  problemas  envolvendo  operações  lógicas  sobre  proposições.  10.5-­‐  Expressão  proposicional  ou  condição;  quantificador  universal,  quantificador  existencial  e  segundas  Leis  de  De  Morgan;  10.6-­‐  Propriedades  comutativa,  associativa,  de  existência  de  elemento  neutro  e  elemento  absorvente  e  da  idempotência  da  união  e  da  interseção  e  propriedades  distributivas  da  união  em  relação  à  interseção  e  da  interseção  em  relação  à  união;  10.7-­‐  Resolução  de  problemas  envolvendo  operações  sobre  condições  e  sobre  conjuntos    Radicais  10.8-­‐  Racionalização  de  denominadores;  

 Geometria  analítica  no  plano  10.9-­‐  elipse:  relação  entre  eixo  maior,  eixo  menor  e  distância  focal;    Relações  de  equivalência,  partições  e  vetores  10.10-­‐  Relações  binárias  e  relações  de  equivalência;  classes  de  equivalência,  conjuntos-­‐quociente  e  partições;  10.11-­‐  Formas  geométricas,  comprimentos,  direções,  amplitudes  e  vetores  enquanto  classes  de  equivalência  10.12-­‐  Resolução  de  problemas  envolvendo  relações  de  equivalência  e  partições  de  conjuntos    Cálculo  vetorial  no  plano  10.13-­‐  Equações  paramétricas  de  uma  reta;    Generalidades  acerca  de  funções  10.14-­‐  Restrições  de  uma  função;  10.15-­‐  Imagem  de  um  conjunto  por  uma  função  10.16-­‐  Funções  sobrejetivas    10.17-­‐  Sinal  de  somatório;  tradução  no  formalismo  dos  somatórios  das  propriedades  associativa  e  comutativa  generalizadas  da  adição  e  distributiva  generalizada  da  multiplicação  em  relação  à  adição;    10.18-­‐  Percentil  de  ordem  k;  propriedades  do  percentil  de  ordem  k;    Simulação  Monte  Carlo  10.19-­‐  Simulação  de  experiências  aleatórias  por  recurso  a  algoritmos  geradores  de  números  pseudo-­‐aleatórios;  10.20-­‐  Propriedades  inferenciais  da  média  com  recurso  à  simulação  Monte  Carlo;  10.21-­‐  Resolução  de  problemas  envolvendo  sequências  de  números  pseudo-­‐aleatórios.      11º  ano  Extensão  da  Trigonometria  11.1-­‐Lei  dos  cossenos    Ângulos  orientados  11.2-­‐Rotações;  11.3-­‐Orientação  de  um  plano;  11.4-­‐Ângulos  generalizados  e  rotações.    Funções  trigonométricas  11.5-­‐Inequações  trigonométricas  com  domínio  num  intervalo  limitado;  11.6-­‐Funções  trigonométricas  inversas;    Aplicações  aos  osciladores  harmónicos  

11.7-­‐  Osciladores  harmónicos:  amplitude,  pulsação,  período,  frequência  e  fase;  11.8-­‐  Resolução  de  problemas  envolvendo  osciladores  harmónicos.    Produto  escalar  de  vetores  11.9-­‐  Desigualdade  de  Cauchy-­‐Schwarz;  11.10-­‐  Simetria  e  bilinearidade  do  produto  escalar;    Equações  de  planos  no  espaço  11.11-­‐  Equações  paramétricas  de  planos;    Vocabulário  da  otimização  11.12-­‐  Função  objetivo;  região  admissível  e  pontos  admissíveis;  11.13-­‐  Conjunto  de  nível  de  uma  função  numérica.    Conjunto  dos  majorantes  e  conjunto  dos  minorantes  de  uma  parte  não  vazia  de  R  11.14-­‐  Conjuntos  minorados,  majorados  e  limitados;  11.15-­‐  Máximo,  mínimo,  supremo  e  ínfimo  de  um  conjunto;  11.16-­‐  Princípio  do  supremo;  caracterização  do  conjunto  dos  majorantes  e  do  conjunto  dos  minorantes  de  um  conjunto  não  vazio  de  números  reais;  11.17-­‐  Caracterização  do  supremo  e  do  ínfimo  de  um  conjunto  não  vazio  de  números  reais.    Limites  segundo  Heine  de  funções  reais  de  variável  real  11.18-­‐  Pontos  aderentes  a  um  conjunto  de  números  reais;  11.19-­‐  Limite  de  uma  função  composta;    Diferenciabilidade  11.20-­‐Teorema  de  Lagrange  e  de  Rolle;  interpretação  geométrica;    Cinemática  do  ponto  11.21-­‐  Aplicação  da  noção  de  derivada  à  cinemática  do  ponto:  funções  posição,  velocidade  média  e  velocidade  instantânea  de  um  ponto  material  que  se  desloca  numa  reta;  unidades  de  medida  de  velocidade;  11.22-­‐  Resolução  de  problemas  envolvendo  funções  posição,  velocidades  médias  e  velocidades  instantâneas  e  mudanças  de  unidades  de  velocidade.      12º  ano  Limites  e  Continuidade  12.1-­‐  Vizinhanças  de  menos  infinito  e  de  mais  infinito;  12.2-­‐  Teoremas  de  comparação  envolvendo  desigualdades  entre  funções  e  os  respetivos  limites;  12.3-­‐  Teorema  das  funções  enquadradas;  12.4-­‐  Utilização  dos  teoremas  de  comparação  e  do  teorema  das  funções  enquadradas  para  determinar  limites  de  funções  reais  de  variável  real;  

12.5-­‐  Bijetividade  das  funções  monótonas  e  contínuas  num  dado  intervalo;  continuidade  da  função  inversa;  12.6-­‐  Teorema  de  Weierstrass;    Diferenciabilidade  12.7-­‐  Derivada  da  função  inversa;  aplicação  à  derivada  de  raiz  indice  n  de  x.    Derivada  de  segunda  ordem  12.8-­‐  Interpretação  cinemática  da  derivada  de  segunda  ordem  de  uma  função  posição:  aceleração  média  e  aceleração;  unidades  de  medida  de  aceleração;    Aplicações  aos  osciladores  harmónicos  12.9-­‐  Relação  Fundamental  da  Dinâmica  e  lei  de  Hooke;  12.10-­‐  Os  osciladores  harmónicos  como  soluções  de  equações  diferenciais  da  forma  f''=-­‐w^2  f;  12.11-­‐  Resolução  de  problemas  envolvendo  osciladores  harmónicos.    Modelos  exponenciais  12.12-­‐  A  equação  f'=kf,  keR,  enquanto  modelo  para  o  comportamento  da  medida  de  grandezas  cuja  taxa  de  variação  é  aproximadamente  proporcional  à  quantidade  de  grandeza  presente  num  dado  instante  (evolução  de  uma  população,  da  temperatura  de  um  sistema  ou  do  decaimento  de  uma  substância  radioativa);  12.13-­‐  Soluções  da  equação    f'=kf,  keR  ;  12.14-­‐  Resolução  de  problemas  de  aplicação,  envolvendo  a  equação    f'=kf,  keR  .    Primitivas  12.15-­‐  Definição  de  primitiva  de  uma  função  num  intervalo;  família  das  primitivas  de  uma  dada  função  num  intervalo;  linearidade  da  primitivação;  12.16-­‐  Primitivas  de  funções  da  forma  u'(x)f(u(x)).    Cálculo  Integral  12.17-­‐  Aditividade  e  monotonia  da  medida  de  área;  12.18-­‐  Definição  intuitiva  da  noção  de  integral  de  funções  contínuas  não  negativas  num  intervalo  limitado  e  fechado;  12.19-­‐  Origem  histórica  do  símbolo  de  integral;  12.20-­‐  Noção  de  integral  definido  para  funções  contínuas  num  intervalo  limitado  e  fechado  que  alternam  de  sinal  um  número  finito  de  vezes;  12.21-­‐  Teorema  fundamental  do  cálculo  integral,  Fórmula  de  Barrow  e  Teorema  da  média;  12.22-­‐  Linearidade  e  monotonia  do  integral  definido;  aditividade  do  integral  em  relação  ao  domínio;  12.23-­‐  Referência  a  extensões  da  noção  de  integral;  existência  de  primitivas  para  funções  contínuas  em  intervalos.    Resolução  de  problemas  12.24-­‐  Resolução  de  problemas  envolvendo  o  cálculo  de  medidas  de  área  de  regiões  do  plano;  

12.25-­‐  Resolução  de  problemas  envolvendo  a  primitivação  e  a  integração  de  funções  contínuas;  12.26-­‐  Resolução  de  problemas  envolvendo  funções  posição,  velocidade  e  aceleração  e  a  primitivação  e  integração  de  funções.        Observamos  que  há  21+22+26=69  novos  itens  de  conteúdo  nos  3  anos  deste  programa.  Estes  itens  de  conteúdo  correspondem  a  dezenas  de  itens  nas  Metas.    Em  que  outros  países  são  lecionados  estes  conteúdos?  Por  um  lado  a  comparação  não  é  fácil  de  fazer  porque  os  programas  seguem  orientações  diferentes  e  a  estrutura  do  sistema  educativo  é  diferente.  Em  Inglaterra  o  sistema  vai  até  ao  13º  ano  (foi  considerado  todo  o  programa  citado  na  referência)  e  em  Singapura  há  3  disciplinas  sequenciais  no  11º  e  12º  anos.  Por  outro  lado,  alguns  itens  poderiam  ter  uma  correspondência  diferente  da  apresentada,  mas  como  os  itens  são  transcritos,  a  ambiguidade  é  clara.    10º  ano  Introdução  à  Lógica  bivalente  e  à  Teoria  dos  conjuntos  -­‐  Itália:  "Relazioni  e  funzioni  Obiettivo  di  studio  sara`  il  linguaggio  degli  insiemi  e  delle  funzioni  (dominio,  composizione,  inversa,  ecc.),  anche  per  costruire  semplici  rappresentazioni  di  fenomeni  e  come  primo  passo  all’introduzione  del  concetto  di  modello  matematico."  10.1-­‐    10.2-­‐  10.3-­‐  10.4-­‐  10.5-­‐  10.6-­‐  10.7-­‐    Radicais  10.8-­‐  Singapura:  "Indices  and  surds:  rationalising  the  denominator"    Geometria  analítica  no  plano  10.9-­‐  Itália:  "Le  sezioni  coniche  saranno  studiate  sia  da  un  punto  di  vista  geometrico  sintetico  che  analitico.  Inoltre,  lo  studente  approfondira`  la  comprensione  della  specificita`  dei  due  approcci  (sintetico  e  analitico)  allo  studio  della  geometria."  Bélgica:  "Une  conique  déterminée  par  foyer,  directrice  et  excentricité.  une  conique  centrée  :définition  bifocale.  Les  caractéristiques  (le  type  de  représentation)  d’une  conique  à  partir  d’une  équation."  EUA:  "Derive  the  equations  of  ellipses  and  hyperbolas  given  the  foci,  using  the  fact  that  the  sum  or  difference  of  distances  from  the  foci  is  constant."  10.10-­‐  10.11-­‐  10.12-­‐  

10.13-­‐  França:  "Représentation  paramétrique  d’une  droite."  Inglaterra  (A):  "Parametric    equations  of  curves  and  conversion  between  Cartesian  and  parametric  forms."  10.14-­‐  10.15-­‐  10.16-­‐  10.17  10.18-­‐  10.19-­‐  10.20-­‐  10.21-­‐    11º  ano  Extensão  da  Trigonometria  11.1-­‐  Itália:  "Saranno  inoltre  studiate  (…)  i  teoremi  che  permettono  la  risoluzione  dei  triangoli  e  e  il  loro  uso  nell’ambito  di  altre  discipline,  in  particolare  nella  fisica."  EUA:  "The  Pythagorean  Theorem  is  generalized  to  nonright  triangles  by  the  Law  of  Cosines.  Together,  the  Laws  of  Sines  and  Cosines  embody  the  triangle  congruence  criteria  for  the  cases  where  three  pieces  of  information  suffice  to  completely  solve  a  triangle.  Furthermore,  these  laws  yield  two  possible  solutions  in  the  ambiguous  case,  illustrating  that  Side-­‐Side-­‐Angle  is  not  a  congruence  criterion.",  "Prove  the  Laws  of  Sines  and  Cosines  and  use  them  to  solve  problems.  Understand  and  apply  the  Law  of  Sines  and  the  Law  of  Cosines  to  find  unknown  measurements  in  right  and  non-­‐right  triangles  (e.g.,  surveying  problems,  resultant  forces)."  Coreia:  "Applications  to  triangles:  Understand  the  sine  and  cosine  rules."  Singapura:  "use  of  sine  rule  and  cosine  rule  for  any  triangle"    Ângulos  orientados  11.2-­‐  Inglaterra  (KS4):  "understand  that  rotations  are  specified  by  a  centre  and  an  (anticlockwise)  angle;  use  any  point  as  the  centre  of  rotation;  measure  the  angle  of  rotation,  using  right  angles,  fractions  of  a  turn  or  degrees"  11.3-­‐  11.4-­‐    Funções  trigonométricas  11.5-­‐  Coreia:  "Solve  simple  trigonometric  equations  and  trigonometric  inequalities.",  "The  general  solution  of  trigonometric  equations  and  triangle  inequalities  are  not  dealt  with."  11.6-­‐  Inglaterra  (A):  "Knowledge  of  secant,  cosecant  and  cotangent  and  of  arcsin,  arccos  and  arctan;  their  relationships  to  sine,  cosine  and  tangent;  understanding  of  their  graphs  and  appropriate  restricted  domains  "  Singapura:  "principal  values  of  the  inverses  of  sine,  cosine  and  tangent"    Aplicações  aos  osciladores  harmónicos  11.7-­‐    11.8-­‐      

Produto  escalar  de  vetores  11.9-­‐    11.10-­‐      Equações  de  planos  no  espaço  11.11-­‐      Vocabulário  da  otimização  11.12-­‐    11.13-­‐      Conjunto  dos  majorantes  e  conjunto  dos  minorantes  de  uma  parte  não  vazia  de  R  11.14-­‐    11.15-­‐    11.16-­‐    11.17-­‐      Limites  segundo  Heine  de  funções  reais  de  variável  real  11.18-­‐    11.19-­‐      Diferenciabilidade  11.20-­‐    Cinemática  do  ponto  11.21-­‐  Singapura:  "concepts  of  speed,  uniform  speed  and  average  speed"  11.22-­‐  Singapura:  "problems  involving  speed,  uniform  speed  and  average  speed"    12º  ano  Limites  e  Continuidade  12.1-­‐    12.2-­‐    12.3-­‐    12.4-­‐    12.5-­‐    12.6-­‐      Diferenciabilidade  12.7-­‐      Derivada  de  segunda  ordem  12.8-­‐      Aplicações  aos  osciladores  harmónicos  12.9-­‐  Itália  (5º  ano  do  "LICEO  SCIENTIFICO"  -­‐  13º  ano):  "Altro  importante  tema  di  studio  sara`  il  concetto  di  equazione  differenziale,  cosa  si  intenda  con  le  sue  soluzioni  e  le  loro  principali  proprieta`,  noncheÅL  alcuni  esempi  importanti  e  

significativi  di  equazioni  differenziali,  con  particolare  riguardo  per  l’equazione  della  dinamica  di  Newton."  Singapura:  "Mathematical  models  of  population  dynamics  (including  logistic  growth  equation,  equilibrium  points  and  their  stability,  harvesting  and  bifurcation)  and  of  vibrating  springs  (including  damped  vibrations,  damping  constant,  over-­‐damping,  critical  damping  and  under-­‐damping,  frictional  force,  restoring  force  and  damping  force,  equilibrium  position,  Hooke’s  Law  and  Newton’s  Second  Law  of  motion)"  12.10-­‐    12.11-­‐      Modelos  exponenciais  12.12-­‐  Singapura:  "formulating  a  differential  equation  from  a  problem  situation",  "interpretation  of  a  solution  in  terms  of  the  problem  situation"  12.13-­‐  Inglaterra  (A):  "Analytical  solution  of  simple  first  order  differential  equations  with  separable  variables"  Singapura:  "use  of  a  family  of  solution  curves  to  represent  the  general  solution  of  a  differential  equation"  12.14-­‐      Primitivas  12.15-­‐  França:  "Primitive  d’une  fonction  continue  sur  un  intervalle.  Déterminer  des  primitives  des  fonctions  usuelles  par  lecture  inverse  du  tableau  des  dérivée".  Inglaterra  (A):  "Indefinite  integration  as  the  reverse  of  differentiation"  Singapura:  "integration  as  the  reverse  of  differentiation"  12.16-­‐  França:  "Connaître  et  utiliser  les  primitives  de  u′  e^u,  …",    Inglaterra  (A):  "Integration  of  x^n.  Integration  of  e^x,  1/x,  sinx,  cosx  "  Singapura:  "integration  of  x^n  for  any  rational  n,  sin  x  ,  cos  x  ,  sec^2  x  and  e^x  ,  together  with  constant  multiples,  sums  and  differences",  "integration  of  (ax  +  b)^n  for  any  rational  n  ,  sin(ax  +  b)  ,  cos(ax  +  b)  and  e^(ax+b)"    Cálculo  Integral  -­‐  Bégica:  "La  signification  de  l’intégrale.  Les  éléments  caractéristiques  liés  à  une  fonction  (limites,  dérivées,  intégrales,…).  Appliquer  la  dérivation,  l’intégration  pour  résoudre  des  problèmes  issus  des  mathématiques,  des  sciences,  de  l’économie  :  aires,  volumes,  longueurs,  détermination  de  tangentes,  croissance,  optimisation.  Modéliser  des  problèmes  de  manière  à  les  traiter  au  moyen  des  fonctions  de  référence  (y  compris  les  fonctions  logarithmique  et  exponentielle),  des  outils  dérivées  et  intégrales."  12.17-­‐    12.18-­‐  França:  "Définition  de  l’intégrale  d’une  fonction  continue  et  positive  sur  [a,b]  comme  aire  sous  la  courbe."  Singapura:  "definite  integral  as  area  under  a  curve"  12.19-­‐    12.20-­‐  França:  "Intégrale  d’une  fonction  continue  de  signe  quelconque."  12.21-­‐  França:  "Théorème  :  si  f  est  une  fonction  continue  et  positive  sur  [a,b],  la  fonction  F  définie  sur  [a,b]  par  F(x)  =  Int(a,b)  f(t)dt  est  dérivable  sur  [a,  b]  et  a  pour  dérivée  f.  Il  est  intéressant  de  présenter  le  principe  de  la  démonstration  du  théorème  dans  le  cas  où  f  est  positive  et  croissante."  12.22-­‐  França:  "Linéarité,  positivité,  relation  de  Chasles."  

12.23-­‐  França:  "Théorème  :  toute  fonction  continue  sur  un  intervalle  admet  des  primitives."      Resolução  de  problemas  12.24-­‐  Inglaterra  (A):  "Approximation  of  area  under  a  curve  using  the  trapezium  rule;  interpretation  of  the  definite  integral  as  the  area  under  a  curve;  evaluation  of  definite  integrals",  "Numerical  integration  of  functions"  12.25-­‐  Singapura:  "evaluation  of  definite  integrals",  "finding  the  area  of  a  region  bounded  by  a  curve  and  lines  parallel  to  the  coordinate  axes",  "finding  areas  of  regions  below  the  x-­‐axis"  12.26-­‐  Singapura:  "application  of  differentiation  and  integration  to  problems  involving  displacement,  velocity  and  acceleration  of  a  particle  moving  in  a  straight  line  with  variable  or  constant  acceleration"      Tentei  verificar  cargas  horárias  da  disciplina  mas  tal  tarefa  não  se  revela  exequível  no  tempo  de  que  disponho,  devido  a  diferenças  de  estrutura  escolar,  de  duração  do  ano  letivo  e  de  combinações  com  outras  componentes  escolares.    Note-­‐se  que  desapareceram  alguns  conteúdos  atualmente  presentes  no  programa  de  Matemática  A  do  secundário,  mas  estes  são  muito  poucos.  Desapareceu  o  módulo  inicial  que  pretendia  fazer  a  ponte  entre  o  Ensino  Básico  e  o  Ensino  Secundário  e  onde  se  estudavam  vários  problemas  importantes  de  que  os  mais  frequentes  eram:  desenvolvimento  decimal  de  números  racionais  e  irracionais  e  propriedades  do  período,  seções  em  sólidos  geométricos  e  o  problema  dos  sólidos  platónicos.  Desapareceu  o  estudo  de  uma  axiomática  (a  axiomática  das  probabilidades)  e  desapareceu  o  estudo  de  domínios  planos  com  números  complexos.  Desapareceram  ainda  os  temas  opcionais  do  programa  (cónicas,  interpolação  polinomial  e  demonstrações  de  geometria  com  os  números  complexos).      Em  conclusão,  verificamos  que  em  nenhum  dos  7  países  considerados  estão  presentes  os  itens  mais  teóricos  que  estão  propostos  para  o  programa  de  Matemática  A  em  Portugal.  Em  que  se  baseia  então  a  ideia  de  colocar  tantas  formulações  abstratas  e  tantos  teoremas  neste  programa?  Não  é  na  experiência  internacional!!!  Em  vários  países  são  tratados  temas  de  cónicas,  trigonometria,  integração  e  equações  diferenciais,  mas  normalmente  a  um  nível  mais  intuitivo  e  aplicado  do  que  a  tónica  proposta  para  Matemática  A,  como  é  fácil  concluir  pela  listagem  apresentada.  Teremos  de  concluir  que  a  proposta  de  programa  de  Matemática  A  é  completamente  inadequada  e  não  tem  nenhuma  fundamentação  na  experiência  internacional.  Precisará  pois  de  ser  seriamente  revista.          

Nota  5  -­‐  Contrastes    Vou  escolher  apenas  alguns  pontos  de  dissonância  com  o  conteúdo  dos  programas  dos  países  já  mencionados  em  notas  anteriores:  França,  Bélgica  (francófona),  Itália,  Reino  Unido  e  EUA,  Singapura  e  Coreia  do  Sul.      a)  França:  recomendações  sobre  o  uso  da  tecnologia    Os  programas  franceses  [1]  são  enfáticos  sobre  a  importância  do  uso  da  tecnologia  na  sala  de  aula  preconizando  uma  "utilisation  régulière"  de  softwares,  referindo  mesmo  que  o  seu  uso  "change  profondément  la  nature  de  l’enseignement"  e  "ouvre  largement  la  dialectique  entre  l’observation  et  la  démonstration".  Uma  das  secções  é  mesmo  dedicada  ao  uso  de  software:    "Utilisation  d’outils  logiciels  L’utilisation  de  logiciels  (calculatrice  ou  ordinateur),  d’outils  de  visualisation  et  de  représentation,  de  calcul  (numérique  ou  formel),  de  simulation,  de  programmation  développe  la  possibilité  d’expérimenter,  ouvre  largement  la  dialectique  entre  l’observation  et  la  démonstration  et  change  profondément  la  nature  de  l’enseignement.  L’utilisation  régulière  de  ces  outils  peut  intervenir  selon  trois  modalités  :  -­‐  par  le  professeur,  en  classe,  avec  un  dispositif  de  visualisation  collective  adapté;  -­‐  par  les  élèves,  sous  forme  de  travaux  pratiques  de  mathématiques  ;  -­‐  dans  le  cadre  du  travail  personnel  des  élèves  hors  du  temps  de  classe  (par  exemple  au  CDI  ou  à  un  autre  point  d’accès  au  réseau  local)."    A  visão  dos  programas  portugueses  é  redutora  pois,  se  é  verdade  que  aconselha  a  aproveitar  os  recursos  existentes  nas  escolas,  considera  que  pode  "comprometer  gravemente"  o  ensino  da  matemática:    "A  tecnologia  no  Ensino  Secundário  deve  portanto  ser  aproveitada  para  ajudar  os  alunos  a  compreender  certos  conteúdos  e  relações  matemáticas  e  para  o  exercício  de  certos  procedimentos;  essa  utilização  deve,  no  entanto,  ser  criteriosa,  já  que,  caso  contrário,  pode  condicionar  e  comprometer  gravemente  a  aprendizagem  e  a  avaliação."    Esta  "salvaguarda"  está  ausente  dos  programas  de  todos  os  países  considerados.  Justifica-­‐se?    Os  programas  franceses  não  descuram  o  cálculo,  pelo  contrário,  até  continuam  a  insistir  no  cálculo  mental,  aspeto  ausente  nesta  proposta  portuguesa  de  programa  e  metas  para  o  ensino  secundário:    "Le  calcul  est  un  outil  essentiel  pour  la  pratique  des  mathématiques  dans  la  résolution  de  problème.  Il  est  important  en  classe  de  seconde  de  poursuivre  l’entraînement  des  élèves  dans  ce  domaine  par  la  pratique  régulière  du  calcul  mental,  du  calcul  numérique  et  du  calcul  littéral.  L’utilisation  d’outils  logiciels  de  calcul  –  sur  calculatrice  ou  sur  ordinateur  –  contribue  à  cet  entraînement."  

 E  observamos  mais,  que  os  programas  franceses  consideram  que  a  tecnologia  ajuda  a  desenvolver  o  cálculo,  enquanto  os  programas  portugueses  acham  que  não:    "os  alunos  devem  dominar  procedimentos  como  operar  com  polinómios,  efetuar  representações  de  gráficos  de  funções,  resolver  equações,  calcular  limites  e  derivadas  sem  necessitarem  de  utilizar  recursos  tecnológicos  (calculadoras,  computadores,  etc.)  que  substituam  algumas  das  capacidades  matemáticas  inerentes  a  esses  procedimentos."    É  aqui  apresentada  uma  oposição  entre  a  tecnologia  e  a  memorização  que  não  aparece  fundamentada  e  diverge  de  todos  os  outros  programas.  Em  particular  os  estudos  da  OCDE  baseados  nos  resultados  do  PISA  [18]  permitem  concluir  que  uma  utilização  regular  da  tecnologia  (curiosamente,  mais  em  casa  do  que  na  escola)  está  associada  a  melhores  resultados  escolares,  mesmo  quando  se  retira  o  fator  socio-­‐económico:    "With  the  right  skills  and  background,  more  frequent  computer  use  can  lead  to  better  performance.  The  analysis  of  PISA  data  shows  that  for  educational  performance,  computer  use  amplifies  a  student’s  academic  skills  and  competences."      b)  Itália,  EUA:  a  modelação  matemática    A  proposta  de  programa  em  discussão  contém  alguma  referência  à  modelação  matemática  e  às  aplicações;  contudo,  é  uma  proposta  virada  essencialmente  para  as  aplicações  pré-­‐elaboradas:    "O  Programa  dá  especial  relevância  a  diversas  aplicações  da  Matemática,  prescrevendo,  por  exemplo,  explicitamente,  a  aplicação  do  cálculo  diferencial  à  cinemática  do  ponto  ou  das  progressões  geométricas  ao  cálculo  de  juros."    Nos  programas  italianos  [6],  as  aplicações  são  mais  do  que  isso,  são  também  um  método,  um  método  que  os  alunos  devem  aprender  a  dominar  em  todas  as  ocasiões:    "Relazioni  e  funzioni  Obiettivo  di  studio  sara`  il  linguaggio  degli  insiemi  e  delle  funzioni  (dominio,  composizione,  inversa,  ecc.),  anche  per  costruire  semplici  rappresentazioni  di  fenomeni  e  come  primo  passo  all’introduzione  del  concetto  di  modello  matematico.  In  particolare,  lo  studente  apprendera`  a  descrivere  un  problema  con  un’equazione,  una  disequazione  o  un  sistema  di  equazioni  o  disequazioni;  a  ottenere  informazioni  e  ricavare  le  soluzioni  di  un  modello  matematico  di  fenomeni,  anche  in  contesti  di  ricerca  operativa  o  di  teoria  delle  decisioni."    A  ênfase  colocada  na  noção  de  "modelo  matemático"  aparece  também  nos  "CCS-­‐Common  Core  Standards"  americanos  [5]:  

 "Modeling  is  the  process  of  choosing  and  using  appropriate  mathematics  and  statistics  to  analyze  empirical  situations,  to  understand  them  better,  and  to  improve  decisions.  Quantities  and  their  relationships  in  physical,  economic,  public  policy,  social,  and  everyday  situations  can  be  modeled  using  mathematical  and  statistical  methods.  When  making  mathematical  models,  technology  is  valuable  for  varying  assumptions,  exploring  consequences,  and  comparing  predictions  with  data."    Infelizmente  a  maior  preocupação  do  programa  em  discussão  é  afirmada  pela  negativa:    "A  este  propósito,  é  importante  referir  que  a  modelação  matemática  não  consiste  em  associar  de  forma  arbitrária  -­‐  e  sem  qualquer  critério  ou  justificação  razoável  -­‐  uma  dada  função  matemática  a  uma  dada  grandeza."    Quem  vai  seguir  cominhos  "sem  qualquer  critério  ou  justificação  razoável"?  Em  contraste  com  isto,  os  CCS  americanos  encorajam  pela  positiva  os  professores  a  trabalharem  a  modelação  na  sala  de  aula:    "One  of  the  insights  provided  by  mathematical  modeling  is  that  essentially  the  same  mathematical  or  statistical  structure  can  sometimes  model  seemingly  different  situations.  Models  can  also  shed  light  on  the  mathematical  structures  themselves,  for  example,  as  when  a  model  of  bacterial  growth  makes  more  vivid  the  explosive  growth  of  the  exponential  function."    E  terminam  com  a  recomendação  de  um  trabalho  permanente  com  a  modelação  matemática,  em  todos  os  capítulos:    "Making  mathematical  models  is  a  Standard  for  Mathematical  Practice,  and  specific  modeling  standards  appear  throughout  the  high  school  standards"    Ao  longo  do  texto  aparecem  muitos  exemplos  em  que  a  própria  modelação  faz  parte  do  trabalho,  como:    "Construct  and  compare  linear,  quadratic,  and  exponential  models  and  solve  problems"    "Use  inverse  functions  to  solve  trigonometric  equations  that  arise  in  modeling  contexts;  evaluate  the  solutions  using  technology,  and  interpret  them  in  terms  of  the  context"      c)  Singapura,  Inglaterra:  estratégias  para  a  resolução  de  problemas    A  proposta  de  programa  e  Metas  em  discussão  inclui  uma  referência  à  resolução  de  problemas:    

"A  resolução  de  problemas  envolve,  da  parte  dos  alunos,  a  leitura  e  interpretação  de  enunciados,  a  mobilização  de  conhecimentos  de  factos,  conceitos  e  relações,  a  seleção  e  aplicação  adequada  de  regras  e  procedimentos,  previamente  estudados  e  treinados,  a  revisão,  sempre  que  necessária,  da  estratégia  preconizada  e  a  interpretação  dos  resultados  finais."    Contudo  esta  é  uma  descrição  rígida  da  resolução  de  problemas  que  aparece  mais  como  um  exercício  de  aplicação  de  temas  previamente  estudados  do  que  um  verdadeiro  trabalho  de  estudo  de  um  problema.  Não  há  indicações  sobre  estratégias  a  usar,  muito  menos  uma  referência  a  heurísticas.  Mas  nos  programas  de  Singapura  [13]  tal  é  uma  constante:    "Skill  proficiencies  include  the  ability  to  use  technology  confidently,  where  appropriate,  for  exploration  and  problem  solving.  It  is  important  also  to  incorporate  the  use  of  thinking  skills  and  heuristics  in  the  process  of  the  development  of  skills  proficiencies."    Há  mesmo  uma  secção  do  programa  dedicada  à  explicação  do  que  se  entende  por  heurística:    "Thinking  skills  and  heuristics  Students  should  use  various  thinking  skills  and  heuristics  to  help  them  solve  mathematical  problems.  Thinking  skills  are  skills  that  can  be  used  in  a  thinking  process,  such  as  classifying,  comparing,  sequencing,  analysing  parts  and  wholes,  identifying  patterns  and  relationships,  induction,  deduction  and  spatial  visualisation."    Em  Inglaterra  (Key  Stage  4)  [3]  aparecem  conselhos  idênticos:    "select  and  use  suitable  problem-­‐solving  strategies  and  efficient  techniques  to  solve  numerical  and  algebraic  problems"  ou  "break  down  a  complex  calculation  into  simpler  steps  before  attempting  to  solve  it"    E  estas  estratégias  não  são  meras  ideias  genéricas,  mas  são  mesmo  objetos  de  estudo  na  sala  de  aula  ("Students  should  be  taught  to"),  além  de  serem  repetidas  no  início  de  cada  tema,  de  forma  adaptada  a  esse  tema.    Não  há  qualquer  referência  a  estratégias  de  resolução  de  problemas  na  proposta  portuguesa  embora,  noutro  contexto,  se  leia  que  "Os  alunos  devem  ser  capazes  de  estabelecer  conjeturas".  Mas  aí  é  apenas  a  propósito  de  mais  uma  referência  pela  negativa  ao  "raciocínio  indutivo".      d)  França,  Itália,  Singapura  e  Inglaterra:  A  estimação    Todo  o  trabalho  com  estimativas  está  ausente  da  proposta  dos  programas  e  Metas  do  Secundário  (como  já  estava  no  Básico).  Não  se  percebe  a  razão  para  tal  escolha,  mas  deve  dizer-­‐se  que  praticamente  todos  os  outros  programas  se  lhe  referem  de  um  modo  ou  outro.  

 Em  França  [17],  a  estimativa  aparece  naturalmente  associada  ao  desenvolvimento  das  capacidades  de  cálculo,  para  controlar  a  fiabilidade  dos  cálculos  efetuados:    "Calculer    Effectuer  un  calcul  automatisable  à  la  main  ou  à  l’aide  d’un  instrument  (calculatrice,  logiciel).    Mettre  en  oeuvre  des  algorithmes  simples.    Exercer  l’intelligence  du  calcul  :  organiser  les  différentes  étapes  d’un  calcul  complexe,  choisir  des  transformations,  effectuer  des  simplifications.    Contrôler  les  calculs  (au  moyen  d’ordres  de  grandeur,  de  considérations  de  signe  ou  d’encadrement)."      Em  Itália  [6],  o  cálculo  aproximado  é  referido  de  forma  notória:  "un’occasione  per  affrontare  il  tema  dell’approssimazione"  ou  "Sara`  anche  affrontato  il  tema  del  calcolo  approssimato,  sia  dal  punto  di  vista  teorico  sia  mediante  l’uso  di  strumenti  di  calcolo.".    Em  Inglaterra  [3],  encontramos  inúmeras  referências  à  estimação,  por  exemplo:    "make  mental  estimates  of  the  answers  to  calculations;  use  checking  procedures,  including  use  of  inverse  operations;  work  to  stated  levels  of  accuracy"  ou  "estimate  answers  to  problems  involving  decimals"  ou  "make  mental  estimates  of  the  answers  to  calculations;  understand  how  errors  are  compounded  in  certain  calculations"  ou  ainda  "check  and  estimate  answers  to  problems;  select  and  justify  appropriate  degrees  of  accuracy  for  answers  to  problems;  recognise  limitations  on  the  accuracy  of  data  and  measurements"    Em  Singapura  [13]  o  programa  inclui  a  estimação  nas  capacidades  matemáticas  a  desenvolver:    "Mathematical  skills  include  procedural  skills  for  numerical  calculation,  algebraic  manipulation,  spatial  visualisation,  data  analysis,  measurement,  use  of  mathematical  tools,  and  estimation."      d)  Itália,  Singapura:  Radicais    Enquanto  a  proposta  em  discussão  se  desdobra  em  inúmeras  propriedades  com  radicais  e  manipulação  de  expressões,  como      "Para  além  dos  casos  mais  usuais  de  racionalização  de  denominadores,  é  possível  considerar,  mais  geralmente,  frações  com  denominadores  da  forma    c*raiz  indice  k  de  a  +  d*raiz  indice  l  de  b"    Noutros  países  este  tema  não  tem  tão  grande  expressão.  Por  exemplo,  em  Itália  [6]  até  se  faz  um  aviso  limitativo:    

"L’acquisizione  dei  metodi  di  calcolo  dei  radicali  non  sara`  accompagnata  da  eccessivi  tecnicismi  manipolatori."    Nos  outros  programas  não  aparecem  mais  do  que  simples  manipulações  com  raízes  quadráticas  e  cúbicas,  havendo  nos  programas  de  Singapura  uma  mera  referência  a  "rationalising  the  denominator".      e)  Bélgica:  Competências  transversais    Em  quase  todos  os  países  são  explicitadas  "competências"  matemáticas  de  índole  geral  que  são  transversais  aos  temas  de  conteúdos.  Em  Portugal  não  só  o  termo  "competência"  foi  banido,  como  não  há  rasto  de  qualquer  transversalidade  no  programa,  havendo  um  rigidez  sequencial  absoluta.  A  única  vez  em  que  o  termo  "transversal"  é  usado  é  na  realidade  para  justificar    a  escolha  do  capítulo  "lógica  e  teoria  de  conjuntos"  como  o  primeiro  capítulo  do  programa  proposto.    Como  elemento  de  contraste  vou  apenas  citar  as  competências  transversais  definidas  no  programa  belga  [2]:    "1.  S’approprier  une  situation    comprendre  un  message,  en  analyser  la  structure  et  repérer  les  idées  centrales  ;    rechercher  des  informations  utiles  et  exprimées  sous  différentes  formes.      2.  Traiter,  argumenter,  raisonner    traduire  une  information  d’un  langage  dans  un  autre,  par  exemple  passer  du  langage  courant  au  langage  graphique  ou  algébrique  et  réciproquement  ;    observer  à  partir  des  acquis  antérieurs  et  en  fonction  du  but  à  atteindre  ;    formuler  une  conjecture,  dégager  une  méthode  de  travail  ;    rassembler  des  arguments  et  les  organiser  en  une  chaîne  déductive  ;    choisir  une  procédure  adéquate  et  la  mener  à  son  terme  ;    utiliser  certains  résultats  pour  traiter  des  questions  issues  d’autres  branches  (sciences,  sciences  sociales,  sciences  économiques.).      3.  Communiquer    maîtriser  le  vocabulaire,  les  symboles  et  les  connecteurs  «si…alors  »,  «  en  effet  »,  «  par  ailleurs  »,  «  ainsi  »  ;    rédiger  une  explication,  une  démonstration  ;    présenter  ses  résultats  dans  une  expression  claire,  concise,  exempte  d’ambiguïté;    produire  un  dessin,  un  graphique  ou  un  tableau  qui  éclaire  ou  résume  une  situation.      4.  Généraliser,  structurer,  synthétiser    reconnaître  une  propriété  commune  à  des  situations  différentes  ;    étendre  une  règle,  un  énoncé  ou  une  propriété  à  un  domaine  plus  large  ;    formuler  des  généralisations  et  en  contrôler  la  validité  ;    organiser  des  acquis  dans  une  construction  théorique.  "      

   Em  conclusão,  verificamos  que  a  proposta  agora  em  discussão  diverge,  em  inúmeros  pontos,  das  práticas  internacionais.  Infelizmente  a  única  motivação  que,  ao  contrário  de  todos  os  outros  países,  parece  animar  o  documento,  é  a  de  "definir  um  padrão  coerente  que  imprima  rigor  ao  que  é  ensinado  nas  escolas".  Em  termos  internacionais  os  objetivos,  como  vimos,  são  muito  mais  ricos  e  variados.  A  perspetiva  portuguesa  corre  assim  o  risco  de  perturbar  seriamente  o  trabalho  matemático  nas  escolas,  criando  rejeições  generalizadas  e  levando  os  estudantes  a  fugir  para  outras  vias;  o  exemplo  negativo  de  outros  países,  nomeadamente  o  inglês  [19],  mostra-­‐nos  que  os  alunos  podem  ser  realmente  afastados  das  vias  científicas  por  causa  dos  excessos  de  um  programa  de  Matemática  do  Secundário,  com  graves  prejuízos  para  a  formação  dos  cientistas  e  engenheiros  de  que  Portugal  necessita.    Esta  análise  reforça  a  ideia  de  que  a  proposta  de  programa  de  Matemática  A  é  completamente  inadequada  e  não  tem  nenhuma  fundamentação  na  experiência  internacional.  Precisará  pois  de  ser  seriamente  revista.          Referências:  [1]  Mathématiques,  classe  de  seconde,  Bulletin  Officiel,  n.º  30,  Ministère  de  L’Éducation  Nationale,  2009.  [2]  Compétences  Terminales  et  savoirs  requis  en  Mathématiques,  Humanités  générales  et  technologiques,  Ministère  de  la  Communauté  Française,  Bélgica,  1999.  [3]  Mathematics  –  The  National  Curriculum  for  England,  Department  for  Education  and  Employment,  London,  1999.  [4]  Il  curricolo  di  matematica  Ciclo  Secondario  (primo  e  secondo  biennio)  “Matematica  2003”,  UMI,  2003.  [5]  Common  Core  State  Standards  for  Mathematics,  Common  Core  State  Standards  Initiative,  Preparing  America’s  students  for  college  &  Career,  2011.  [6]  Curricula  Liceo  Scientifico  –  Indicazioni,  Ministero  dell’Instuzione,  dell’Università  e  della  Ricerca,  Itália,  2010.  (http://www.indire.it/lucabas/lkmw_file/licei2010///indicazioni_nuovo_impaginato/_Liceo%20scientifico.pdf)  [7]  Mathematics  Curriculum,  KICE.  Ministry  of  Education  and  Human  Resources  Development,  Korea.  2007.  [8]  MATHEMATICS  -­‐  HIGHER  3  (Syllabus  9824),  Singapore  Examinations  and  Assessment  Board,  2013.  [9]  George  Polya,  COMO  RESOLVER  PROBLEMAS,  col.  CIÊNCIA  ABERTA,  Gradiva,  2003.  [10]  MATHÉMATIQUES,  CYCLE  TERMINAL  DE  LA  SÉRIE  SCIENTIFIQUE,  CLASSE  DE  PREMIÈRE,  Bulletin  Officiel,  n.º  9,  Ministère  de  L’Éducation  Nationale,  2010.  [11]  Programme  de  l’enseignement  spécifique  et  de  spécialité  de  mathématiques,  Classe  terminale  de  la  série  scientifique,  Bulletin  Officiel,  n.º  8,  Ministère  de  L’Éducation  Nationale,  2011.  

[12]  GCE  AS  and  A  Level  Subject  Criteria  for  Mathematics,  OFQUAL  -­‐  Office  of  Qualifications  and  Examinations  Regulation,  Coventry,  September  2011.  [13]  Secondary  Mathematics  Syllabuses,  Ministry  of  Education,  Singapore,  2006.  [14]  MATHEMATICS  -­‐  HIGHER  3  (Syllabus  9824),  Singapore  Examinations  and  Assessment  Board,  2013.  [15]  MATHEMATICS  -­‐  HIGHER  2  (Syllabus  9740),  Singapore  Examinations  and  Assessment  Board,  2014.  [16]  MATHEMATICS  -­‐  HIGHER  1  (Syllabus  8864),  Singapore  Examinations  and  Assessment  Board,  2014.  [17]  Les  compétences  mathématiques  au  lycée,  Ministère  de  l'éducation  nationale,  Éduscol,  MEN/DGESCO-­‐IGEN,  Novembre  2013.  [18]  Educational  Research  and  Innovation:  Are  the  New  Millennium  Learners  Making  the  Grade?:  Technology  Use  and  Educational  Performance  in  PISA  2006,  OECD  Publishing  ,  Publication  date:    11  Mar  2010.  [19]  Making  Mathematics  Count,  The  report  of  Professor  Adrian  Smith’s  Inquiry  into  Post-­‐14  Mathematics  Education,  February  2004.            Coimbra,  3  de  dezembro  de  2013    Jaime  Carvalho  e  Silva  Departamento  de  Matemática  Universidade  de  Coimbra