PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR SEDE IBARRA

DATOE INFORMATIVOS

Escuela: Arquitectura

Nombre: Jefferson Torres

Nivel: 1ero “C”

Materia: Lógica matemática

Tema: PAREJAS DE ANGULOS

Fecha: 21/09/2010

OBJETIVO

Reconocer la amplia gama de ángulos, su conformación, sus tipos y características; para asi poder mejorar nuestros conocimientos.

CONTENIDO

PAREJA DE ÁNGULOS

Ángulos 

adyacentes

Son ángulos que tienen un lado común y los otros dos pertenecen a la misma recta.   

Ángulos opuestos por el vértice

- Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice.  - Son ángulos no adyacentes.   <1, <2, <3 y <4

  - Son ángulos   congruentes: 

<1 = <2 y <3 = <4

Ángulos complementarios

- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que

suman 90°.    

El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.

Ángulos suplementarios

- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que

suman 180°.    

El <BAC es adyacente al <DAC y viceversa.

 

TEOREMAS DE ANGULOS PAREJOSTeorema 1.

Las rectas AB y CD se cortan en un punto O, los ángulos adyacentes son suplementarios.

El teorema anterior puede expresarse de la siguiente forma:

Si  son adyacentes, entonces

Lo que está dentro del primer paréntesis son las premisas del teorema, que pueden ser más de una, estas son las condiciones que se dan. Lo que está dentro del segundo paréntesis es la tesis, que es a lo que debemos llegar, tomando como base las premisas.

Demostración:

están en posición de suma, son consecutivos. Luego:

Pero, es llano, ya que OA y OB son semirrectas opuestas.

Por lo tanto:

Como en la demostración no se asumió ninguna condición especial para los ángulos, sólo la que se planteó en la premisa, entonces podemos asegurar que la propiedad se cumple para todas las parejas de ángulos adyacentes.

Teorema 2:

Las rectas AB y CD se cortan en un punto O, los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma amplitud.

El teorema anterior se puede escribir de la siguiente manera:

Si son opuestos por el vértice, entonces

Demostración 1:

por adyacentes.

por adyacentes.

Luego, suma 1800 con entonces:

Ahora demostraremos la propiedad de los ángulos opuestos por el vértice utilizando los movimientos, simetría central, que estudiaste en la Secundaria Básica, ya que este es un recurso muy importante para resolver ejercicios y problemas geométricos, el cual necesitas ir practicado.

Demostración 2:

Apliquemos una simetría centralde centro O, al

La semirrecta OA se transforma en la semirrectas OB, porque A, O y B están alineados. La semirrecta OC se transforma enla semirrectas OD, porque C, O y D están alineados.

Luego,   se transforma en BOC

Por tanto, AOD = BOC

En ninguna de las dos demostraciones a los ángulos opuestos por el vértice se les ha impuesto ninguna condición especial, lo cual significa que el teorema es válido para todas las parejas de ángulos opuestos por vértice.

Dos rectas cortadas por una secante determinan muchos ángulos, de los cuales identificaremos en la figura siguienteocho de ellos, los que no se superponen.

Definción 14:ángulos correspondientes, son las parejas de ángulos que cumplen:· vértice en distintos puntos de la secante .· los ángulos están situados al mismo lado de la secante.· uno está situado en la región interna y el otro en la externa.

Ejemplos de ángulos correspondientes:

Definición 15:ángulos alternos, son las parejas de ángulos que cumplen:· vértice en distintos puntos de la secante.· los ángulos están situados a distintos lados de la secante.· los ángulos están situados en la misma región.

Ejemplos de ángulos alternos:

Definición 16:

ángulos conjugados, son las parejas de ángulos que cumplen:· vértice en distintos puntos de la secante.· los ángulos están situados al mismo lado de la secante .· los ángulos están situados en la misma región.

Ejemplos de ángulos conjugados

Teorema 3:

Las rectas paralelas AB y CD son cortadas por la secante EF en los puntos H e I, respectivamente; entonces las parejas de ángulos correspondientes tienen la misma amplitud.

En este teorema están bien claras las premisas y la tesis, a los ángulos correspondientes no se les ha impuesto ninguna condición especial, no recogidas en las premisas. Luego para demostrar el teorema es suficiente con demostrar que un par de ángulos cumplen la propiedad.

Demostración: Demostraremos que DIE = BHEComo los lados de los ángulos están contenidos en rectas que son respectivamente paralelas (AB||CD y EF||EF),

entonces es conveniente demostrar la propiedad aplicando una traslación de vector porque este movimiento conserva la dirección de las rectas. La imagen de I es H, pues la traslación es

de vector La imagen de CD es AB, pues por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela (axioma de las paralelas). La imagen de la semirrecta ID es HB, pues una recta y su imagen tienen la misma orientación. La imagen de FE es ella misma, y con la misma

orientación, pues  

está contenido en EF. La imagen de la semirrecta IE es HE. Luego, la imagen del DIE es BHE.

Por tanto pues coinciden al al superponerlas. Por tanto, los ángulos correspondientes entre paralelas tienen la misma amplitud.

Esta demostración constituye un ejemplo de cómo utilizar los movimientos, en especial la traslación, en la solución de ejercicios y problemas geométricos.

Teorema 4:

Las rectas paralelas AB y CD son cortadas por una secante EF en los puntosH e I, respectivamente; entonces las parejas de ángulos alternos tienen la misma amplitud.

Ahora tenemos que demostrar que . A estos ángulos no se les ha impuesto ninguna condición especial, lo cual significa que demostrar la igualdad entre ellos es equivalente a demostrar la igualdad entre las demás parejas de ángulos alternos.

Demostración:

por correspondiente entre paralelas.

por opuesto por el vértice

por propiedad transitiva de la igualdad entre ángulos.

En la demostración de este teorema no fue necesario aplicar ningún movimiento, ya que la propiedad de los ángulos correspondientes entre paralelas nos permitió establecer relaciones entre ángulos con vértice en con los ángulos que tienen vértice en H; a partir de aquí el problema se redujo a establecer relaciones entre ángulos con el vértice común.

Teorema 5:

Las rectas paralelasAB y CD son cortadas por la secante EF en los puntos H e I, respectivamente; entonces losángulos conjugados son suplementarios.

Tenemos que demostrar :

Como a los no se les ha impuesto ninguna condición particular, entonces conprobar que la relación se cumple para una pareja de ángulos cerrespondientes nos permite asegurar que las otras tres parejas también la cumplen.

Demostración:

(1) por correspondientes entre paralelas.

(2) por adyacentes.

Luego, sustituyendo (1) en (2)se obtiene:

Por tanto, todas las parejas de ángulos correspondientes entre paralelas son suplementarios.

A continuación enunciamos algunos teoremas, los cuales son de gran utilidad para la solución de problemas geométricos y especialmente para probar el paralelismo entre rectas.

Teorema 6:

Las rectas AB y CD son cortadas por la secante EF en los puntos H e I, respectivamente, y un par deángulos correspondientes de los que determinan estas rectas tienen la misma amplitud, AB es paralela a CD.

Este teorema se obtuvo a partir del teorema 3, intercambiando una de las premisas por la tesis, por esta razón se denominan teoremas recíprocos, es decir, el teorema 6 es el teorema recíproco del teorema de los ángulos correspondientes entre paralelas.

Tenemos que demostrar que: AB || CD

Demostración:

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que y que la recta AB no es paralela a larecta CD.

Apliquemos una traslación de vector al

El punto I se transforma en H.

La recta CD tiene como imagen una recta r, que pasa por H y es paralela a CD.

La imagen de EF es EF, y la imagen de la semirrecta  IE es HE.

Luego, .

Pero los ángulos tienen un lado y el vértice común

Por tanto los lados HB y HB’ coinciden, porque por un punto exterior a una recta solo se puede trazar una paralela a ella. .Luego AB || CD.

Este teorema es un recurso importante para demostrar paralelismo entre rectas, es decir, si dos ángulos tienen la misma amplitud y están en posición de correspondientes, entonces están formados por rectas paralelas.

Los teoremas siguientes se demuestran de forma análoga al teorema 6.

Te recomendamos que realices estas demostraciones como parte de tu estudio independiente, de esta forma te vas familiarizando con el método de demostración.

Teorema 7.

Si dos ángulos tienen la misma amplitud y están en posición de alternos, entonces están formados por rectas paralelas.

Teorema 8.

Si dos ángulos son suplementarios y están en posición de conjugados, entonces están formados por rectas paralelas.

 

CONCLUSIÓN

Puedo concluir que gracias a la intensiva investigación el objetivo se a logrado satisfactoriamente.

BIBLIOGRAFIA

http://eureka.rimed.cu/module/contenido/muestra_cont.php?tema=3&id_subtema=60&id=63&epig=3.1.3&Tip=epg&idMod=60

http://www.geolay.com/angulo.htm