Gabarito 3a Prova de Mecânica dos Fluidos II – PME 2330. Data: 21/06/2010

Nome:______________________________________ No. USP_____________________

PARTE I: Teoria 1a. Questão (5,0 ptos.) O caça americano da 2a. Guerra Mundial P-51D Mustang foi projetado com uma asa com distribuição aproximadamente elítptica de sustentação. No seu caso, o arrasto

induzido é fornecido pela equação CDi =CL2

π eAR, onde AR é a razão de aspecto e o valor de

e = 0,98 , indica a eficiência da asa em relação a uma asa elíptica. Admita que o valor do coeficiente de arrasto para razão de aspecto infinita seja igual a 0,0163. Admita que a curva medida do coeficiente de sustentação (CL ) versus o ângulo de ataque (α ) tenha α L=0 = −1,30 e sua inclinação seja igual a 0,108(grau)−1 . A envergadura da asa é 11,28m e sua área planiforme é 21,83m2 . A massa do avião vazio é igual a 3450kg e ele foi concebido para suportar uma carga de bombas de 400kg , uma massa de combustível de 500kg e um piloto com 100kg . Admita que ele voe numa condição com massa específica do ar ρ = 0,85kg /m3 e uma aceleração da gravidade g = 9,81m / s2 . Pede-se: a) Para um ângulo de ataque geométricoα = 00 , qual o valor do coeficiente de sustentação da asa?

(1,0pto.) b) Na condição do item anterior, determine o valor do coeficiente de arrasto induzido e do

coeficiente de arrasto total? (1,0pto.) c) Para uma condição da aeronave totalmente carregada, encontre o valor do ângulo de ataque

necessário para manter o vôo nivelado e reto a uma velocidade de 450km / h . (1,0pto.) d) Na condição do item anterior, encontre a força de arrasto induzida, a força de arrasto total e a

potencia necessária para manter tal vôo. (2,0ptos.).

2a. Questão (5,0 ptos.) Uma esfera de massa específica eρ e diâmetro d cai em um fluido de massa específica ρ e viscosidade µ , partindo do reposo. Queremos deduzir uma expressão para a velocidade de queda em função do tempo ( )tV . Para simplificar o problema, podemos desprezar os efeitos da aceleração da esfera no coeficiente de arrasto e, assim, utilizar dados correspondentes a velocidade constante da corrente livre. Aliás, podemos desprezar a variação do coeficiente de arrasto para baixos números de Reynolds e considerar um coeficiente de arrasto 0DC constante na faixa de velocidades de queda. Com estas aproximações:

a) Aplicar um balanço de momento e demonstrar que a equação diferencial para a velocidade

de queda resulta: 20

431 VdCg

dtdV

e

D

e ρρ

ρρ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

b) Demonstrar que a velocidade terminal (correspondente a aceleração nula) resulta: 2/1

0

134

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=∞D

e

CdgV

ρρ

c) Adimensionalizar a equacão do item a) definindo a velocidade e tempo adimensionais

respectivamente como ∞

=VVV * e

Ttt =* , onde

∞

=VCdTd

e

034ρρ e demonstrar que a

equação nas variáveis adimensionais resulta: 2*

*

*

1 VdtdV −=

d) Integrar a equação anterior com a correspondente condição inicial e demonstrar que:

( )*2/1

*

*

exp11 tVV −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

e) Aplicar o resultado do item anterior para uma esfera de aço ( 3/7850 mkge =ρ ) de diâmetro cmd 2= que cai em agua a o20 ( 3/1000 mkg=ρ , smkg //001,0=µ ). Calcule o tempo

necessário para a esfera alcançar %99 da sua velocidade terminal. Assumir 2/8,9 −= smg . Para determinar un coeficiente de arrasto representativo, utilizar o gráfico ( )dDD ReCC = abaixo para uma esfera lisa e justificar a posteriori as hipóteses utilizadas.

Dica: A força de empuxo não é desprezível.

Solução: a) Um balanço de momento linear, considerando forças de peso, empuxo e arrasto, fornece:

( ) 20

20 2

1121 VACg

dtdV

dtdVAVCg

e

e

eD

eeeeDee υρ

ρρρυρρυρρ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒=−−

20

3

2

431

23

6141

VdCg

dtdV

dd

dA

e

D

ee

e

ρρ

ρρ

π

π

υ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒==

b) Fazendo 0=dtdV , a velocidade terminal resulta:

2/1

0

20 1340

431 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⇒=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ∞∞

D

e

e

D

e CdgVV

dCg

ρρ

ρρ

ρρ

c) Adimensionalizando ∞

=VVV * e

Ttt =* , onde

∞

=VCdTd

e

034ρρ , resulta:

20*

*

*

*

431 V

VT

dCg

VT

dtdV

dtdV

TV

dtdV

e

D

e ∞∞

∞ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒=

ρρ

ρρ

2*02

0*

*

431

34 VVT

dCg

VCd

dtdV

e

D

ed

e∞

∞

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ρρ

ρρ

ρρ

Substituindo, resulta: 2*

*

*

1 VdtdV −=

d) Integrando:

( ) ( )[ ] ***2*

*

1ln1ln21

1tCVV

VdV =+−−+=−∫

Com a condição inicial ( ) 00** ==tV , resulta 0=C . Pasando a antilogaritmos, resulta:

( )*2/1

*

*

exp11 tVV −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

Graficando ( )*** tVV = , obtemos:

e) Para um %99 da sua velocidade terminal, resulta:

( ) 6467,299,0199,01

lnexp99,0199,01

2/1*99

*99

2/1

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

+−−=⇒−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

+− tt

Do gráfico de coeficiente de arrasto, escolhemos 47,00 ≈DC (válido para 53 1010 << Re ). Daqui, resultam:

smsmV /9516,1/47,002,08,91

10007850

34

2/1

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ××⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −×=∞

ssT 22822,09516,147,002,0

10007850

34 =

×××=

ssttTt 60402,022822,06467,299*9999 =×=⇒=

Conferindo a posteriori as hipóteses utilizadas, calculamos o número de Reynolds

µρ dVRe ∞= :

43 109032,3

10102,09516,11000 ×=

×××= −Re

Ou seja, a aproximação é válida em uma ampla faixa de velocidades ou de Reynolds ( 43 109032,310 ×<< Re ).

Formulário:

L: Força de sustentação; D:Força de arrasto; AR = b2

Area; CDi =

CL2

π eAR (arrasto induzido)

CL =L

12ρU∞

2 b c, CD =

D12ρU∞

2 b c, CD = CD ∞+

CL2

π e RA, CDi =

Di

12ρU∞

2 b c, P = FV

Ajuda para o Cálculo (2a. Questão): ( ) ( )[ ] Cxxxdx +−−+=−∫ 1ln1ln

21

1 2, com 1<x .

Área frontal e volume da esfera: 2

41 dAe π= , 3

61 de πυ =

PARTE II: Laboratório

1a. Questão (2,0 ptos.)

a) O que é estol (“stall”)? Como o fenômeno pode ser visualizado?

b) Por que a camada limite pode sofrer separação quando temos um gradiente adverso de pressão?

Por que a camada limite laminar resiste menos à separação que a camada limite turbulenta?

2a. Questão (2,0 ptos.) Explique porque os vórtices de ponta de asa produzem um aumento no

coeficiente de arrasto da asa, chamado de arrasto induzido.

3a. Questão (2,0 ptos.) Explique como o aparecimento da sustentação em um aerofólio,

relacionada com a equação de Bernoulli, se relaciona com o teorema de Kutta-Joukowski.

4a. Questão (2,0 ptos.) Definindo o no de Strouhal do escoamento ao redor de um cilindro como

St=fD/U∞ , onde D é o diâmetro do cilindro, f é a frequência de desprendimento de vórtices e U∞ é

a corrente incidente, explique porque o número de Strouhal para um cilindro com camada limite

laminar deve ser menor que o número de Strouhal para um cilindro com camada limite turbulenta.

5a. Questão (2,0 ptos.) Explique qual o efeito que a rugosidade tem sobre a curva CDxRe para um

cilindro circular.