PASCAL PAULUS -...

Projetos de Matemática na Voz do Operário da Ajuda

PASCAL PAULUS

1999

Momentos de Matemátca

Momentos de Matemática

Fichas técnica

© Pascal Paulus

1ª versão: 1999

2ª versão: 2017

Referenciar como:

Paulus, P. (1999). Momentos de Matemática. http://pascalpaulus.wee-

bly.com

Projetos de matemática na Voz do Operário da Ajuda Página de 2 62

http://pascalpaulus.weebly.com

http://pascalpaulus.weebly.com


Este caderno foi produzido para oferecer aos alunos do

3º e 4º ano de escolaridade da Voz do Operário, do ano

lectivo 1998 – 1999.



Índice

Carta de abertura 6 ..............................................................................................

De Janeiro até a Páscoa. 8 ........................................................................................iniciou o segundo período.... 8 ..................................................................................Terça-feira, 26 de janeiro de 1999 9 ..............................................................................Terça-feira, 2 de Fevereiro de 1999 10 ..........................................................................Terça-feira, 9 de Fevereiro de 1999 18 ..........................................................................Terça-feira, 23 de Fevereiro de 1999 23 .......................................................................Terça-feira, 2 de Março de 1999 27 ...............................................................................Terça feira, 9 de Março de 1999 29 ...............................................................................Terça-feira, 16 de Março de 1999 33 .............................................................................Terça-feira 23 de março de 1999 37 ..............................................................................

Da Páscoa até ao acampamento 41 ...................................................................Terça-feira, 13 de abril de 1999 41 ................................................................................Terça feira, 20 de abril de 1999 44 ................................................................................Terça feira 27 de abril de 1999 47 .................................................................................Terça-feira, 4 de maio de 1999. 48 ................................................................................Terça-feira, 11 de Maio de 1999 52 ...............................................................................

Epílogo em Porto de Muge 58.............................................................................


Carta de abertura

Olá

Quando comecei a ir para a vossa sala, para vos ajudar no trabal-

ho com o computador, não sabia o que ia acontecer a seguir.

Felizmente, o computador decidiu ficar avariado durante um

tempo prolongado, o que nos deu a possibilidade de explorar de out-

ro modo um pouco do mundo da matemática.

A matemática é, antes de tudo, uma linguagem, feita por seres

pensantes. Aprender esta linguagem é um pouco como aprender a

falar uma segunda língua.

Para utilizar uma língua, é necessário, entre outras coisas, con-

hecer muitas palavras, saber como elas se escrevem... Quando se

sabe escrever uma língua, podem escrever-se histórias, em prosa, em

B.D. e eventualmente, em verso.

Um matemático que domine bem a linguagem matemática tam-

bém sabe, de certa forma não só escrever histórias, mas também uti-

lizar fórmulas para escrever poesia, e para descrever, de modos di-

versos, o que vê à sua volta.

Foi assim que os povos antigos, ainda muito antes de saberem

escrever, começaram a pensar sobre as coisas que viam, a contar os

animais, as estrelas, a descrever o fogo, a água, as plantas.

A linguagem matemática é uma das mais velhas do mundo.

Aparece com as primeiras palavras escritas, e é também uma das

mais vivas, porque todos os dias, há matemáticos que inventam no-


vas palavras para novas ideias que ainda não têm nome, e que es-

crevem estas novas palavras.

Na sala, nestas terça-feiras de Dezembro até Maio, caminhámos

nas pegadas deixadas por Babilónios e Gregos e, também, por al-

guns matemáticos renascentistas. Divertimo–nos bastante com as

nossas descobertas.

Em Porto de Muge, procuramos algumas pegadas matemáticas

mais antigas, a volta da estrela do Norte, de Marte, de Vénus e da

Lua e, mais recentemente, do relógio de Sol.

Espero que algum “bicho” tenha mexido dentro de ti, e que não te

largue mais. Ele chama-se curiosidade.

Utiliza–o para fazer perguntas, muitas perguntas. E não te con-

tentes com a primeira resposta.

Mesmo que ninguém saiba responder, haverás encontrarás sem-

pre alguém que queira procurar contigo pedaços de respostas.

Ofereço–te estes bocados de conversa, de trabalho em conjunto,

registado com o apoio da Julieta.

Deves encontrar nomes de colegas ao lado de frases que não

foram ditas por eles, mas por ti, ou por outro colega. Não te preocu-

pes com isso. Até podes emendar ou acrescentar bocados de conver-

sa de que te lembres e que eu não escrevi.

Espero que tenhas tanto prazer em reler as nossas conversas como

eu tive ao tentar escrevê-los. Um abraço,

Pascal Paulus, Carnaxide 1999


De Janeiro até a Páscoa.

Lembram-se de que, em Novembro de 1998, combinei com a Juli-

eta ir à vossa sala uma vez por semana para dar apoio ao trabalho

no computador, nomeadamente, para vos ensinar a fazer corre-

spondência por correio electrónico e a utilizar a Internet. Passei al-

gumas horas, até ao Natal, a trabalhar com os responsáveis indicados

pelas equipas de dia. Perceberam rapidamente como fazer, o que nos

libertou a descoberta de outros problemas. Começámos então a brin-

car com algumas situações matemáticas e quando...

....iniciou o segundo período....

...fiz uma provocação:

- Conhecem os números de granizo?

- Não.

- São números inventados por alguns matemáticos, a partir de duas

regras muito simples: Pensa num número. Se ele for par, divide-o

por 2. Se for ímpar, multiplica-o por 3 e junta 1. Volta a aplicar a

regra ao resultado obtido e continua. Os matemáticos pensam que

todos os números caem mais cedo ou mais tarde para uma série 4,

2, 1 que nunca mais acaba, mas ninguém tem a prova disso.

Poderíamos procurar séries entre 1 e 100.

Propus que procurassem se os números caem todos para 4, 2, 1, 4,

2, 1, ...


Num primeiro momento, o 3º ano investigou um número, o 4º

outro.

Fizemos uma grelha de registo:

Registaram 44, 96 e 54, que perdemos alguns dias depois, na con-

fusão das obras na escola, e na mudança de salas que isto implicou.

Depois, lançámo-nos na pesquisa, ao longo de várias semanas, e

da qual vos lembro alguns momentos.

Terça-feira, 26 de janeiro de 1999

A Catarina anunciou que tinha parado a série do nº 95 porque

“nunca mais dava.” Continuamos a construir a série com a turma.

Depois de muitos passos, encontramos o nº 91, que o Tiago disse já

ter feito. Agora é fácil: somamos os passos do 91 aos que já temos. Ao

todo dá 76 passos e subimos até 1456. Mesmo descobrindo mais

tarde que nos enganámos ao fazer as contas, é uma grande vitória: o

número cai, e percebemos que há séries escondidas em outras séries.

Entretanto observámos um dado de barro feito por Tânia Patrícia.

Comentei que o dado estava bem feito mas que as pintas estavam

colocadas incorrectamente. Propus-vos então: “Descubram a regra

para pôr as pintas nos dados”.

Fiz-vos ainda esta provocação: “Podemos ensinar o computador a

fazer séries de números de granizo. Para isso temos de lhe ensinar as

regras. Quais são?”

nº investigado nº de passos até primeiro 1 da série 4, 2, 1 nº mais alto encontrado.



Após uma curta discussão, concordámos uns com os outros:

temos que dizer:

“Vê se o nº é par, se for divide-se por dois, se não foi multiplica-se

por 3 e junta 1.”

Agora, como dizer ao computador em linguagem matemática o

que é um nº par. Proponho que todos pensem nisto e noto a 2ª parte

do enunciado: (nº / 2; nº * 3 + 1).

Terça-feira, 2 de Fevereiro de 1999

Da discussão acerca do dado, a Julieta apontou:

Pascal: Então, descobriram alguma coisa sobre o dado?

Alguém: Descobri que as pintas estão sempre da mesma maneira.

Outro: Eu já sabia a regra.

Raquel: Eu não mas descobri, é 7.

Pascal: Queres dizer o quê?

Sara: As pintas de um e outro lado somam sempre 7.

Tiago: Os extremos dão sempre o mesmo número.

Pascal: Será que isto também é verdade para outras séries de

números?

(Experimentamos algumas séries, e dá:

8, 9, 10, 11, 12, 13 dá 21; 10, 11, 12, 13, 14, 15 dá 25;

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dá 9; etc.).

Pascal: Então quem tentou e não descobriu?

Seis levantam o dedo;

Pascal: Quem tentou e descobriu?

Sete levantam o dedo. (Um aluno já sabia)



Pascal: Quem não tentou?

Oito alunos levantam o dedo.

Pascal: E dos que tentaram, quem precisou de ajuda?

Quatro alunos levantam o dedo.

Pascal: Agora vamos para o mais complicado. O que é um número

par?

Catarina: Temos de ensinar o computador a contar de dois em dois.

Raquel: Depende, se começar em 0.

Catarina: Se começar em 0 não, se começar em 2.

Pascal: Portanto (e escrevo no quadro, em duas colunas): 2, 4, 6, 8,

10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, ...

João: Não podes escrever todos os números.

Pascal: Porquê?

Coro: Porque vai para o infinito!

Pascal: Muito bem! Já agora, quantos números ímpares é que há?

Coro: Infinito!

Pascal: E os números ímpares e pares juntos?

Coro: Infinito!

Pascal: E há mais números pares do que ímpares? Ou é igual?

Alguns dizem igual, outros dizem que não: “Há mais ímpares

porque começa com 1 e os pares com 2.” Outros contestam: “o nº 0 é

par.”

Pascal: Depois voltamos a isto . 1

E depois não voltamos a falar disso! Não deu tempo. Mas, há pouco tempo descobri que os matemáticas não 1

estão totalmente de acordo sobre se 0 é par ou não. Alguns consideram que 0 nem é par, nem é ímpar. O que não escrevi aqui é que falámos de Cantor para descobrir que há tanto números pares, como ímpares, como inteiros, e, por mais estranho que parece, como números racionais...



Portanto, não podemos escrever todos os números pares.

Mas olhem bem para as colunas que escrevi e lembrem-se

que os matemáticos procuram regras, como no dado. Não

vêem nenhuma regra aqui?

Tiago: Os números repetem-se?

Outros: O quê?

Tiago: Há sempre 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8.

Raquel: As unidades repetem-se.

Pascal: E onde vemos esta série de repetições, numa grelha que

conhecem? (aponto para a tabuada).

Alguém: Na tabuada do 2.

André: A multiplicação por 2 só dá números pares.

Bernardo: Por três não, há pares e ímpares.

Pascal: Depois havemos de falar dos outros.

Mas ouviram o que André disse: a multiplicação por 2 dá

só números pares. Que nome damos aos números que são o

resultado da multiplicação?

Margarida, Tiago, Raquel, Sara: (depois de alguma hesitação) Múlti-

plos.

Pascal: Sim, múltiplos. Então podemos dizer que “vê se o número

é par” = “vê se o número é múltiplo de 2”. Mas isto ainda

são palavras a mais. Temos de tentar dizer em linguagem

matemática o que é um múltiplo de 2.

Pascal: Qual é a operação inversa da multiplicação?

André (Depois de alguma hesitação) A divisão.



Pascal: E o que acontece quando dividimos um múltiplo de dois

por 2? Qual é o resultado?

André: Temos um número inteiro.

Pascal: Sim, mas, no algoritmo, ficamos com resto ou não?

Sara: É resto 0.

Pascal: Já agora, que restos é que podemos ter quando dividimos

por 2?

Alguém: 0, 1, 2.

Tiago: 2 não porque então é 0.

Pascal: Depois podemos falar sobre o resto de outras divisões. Mas

já agora, quantos restos diferentes é que eu tenho quando

divido por 3?

Alguém: 0, 1, 2

Pascal: Agora, voltando ao nosso problema. Quando é que o

número é par?

Um: Quando acaba num nº par.

Outro: Quando se pode dividir por 2

Vários: Quando o resto é 0

Pascal: Portanto: “vê se o nº é par” = “vê se o número é múltiplo

de 2” = “número / 2 tem resto 0” = “resto (número / 2) =

0”.

Conseguimos resolver o problema.Quando pergunto se alguém já

pensou em outras séries, diz a

Catarina: Eu tenho: se for par +2, se for ímpar, - 3

Raquel e Sara: Sobem e descem, mas não sabemos se caem nos mes-

mos números.



Tentamos a partir de 31: 31, 28, 30, 32, 34, 36, ...

Bernardo: Agora é sempre mais 2. É sempre par.

Eu: E se começarmos por um número par?

Raquel: Vai sempre aumentando.

Eu: Qual é a diferença entre estas regras e as regras dos

números de granizo?

Raquel: um é de divisão, outro é de vezes.

As regras matemáticas, existem em todo lado. É uma propriedade

da linguagem matemática. É divertido tentar descobrir a lógica es-

condida. A tabuada, por exemplo, também “esconde” regras. Faze-

mos uma primeira série de observações.

Sara: Há sempre uma linha horizontal e uma vertical que são

iguais

Eu: Porquê?

Catarina: Porque ali (na vertical) está sempre 1,2,3, etc, e na horizon-

tal também

Eu: Então vamos ver duas tabelas, uma com linhas horizontais

e verticais iguais, e outra onde isto não é o caso.

✕ 2 3 4 5

2 4 6 8 10

3 6 9 12 15

4 8 12 16 20

5 10 15 20 25



Parece que, até ver, a Catarina tem razão.

Raquel: Na tabela do 9 tira-se 1, 18 tira-se 2, 27 tira-se 3 (isto é, o

número que se tira, está na tabela do 10 ao lado). Só que

não sei explicar . 2

Pascal: Nunca tinha reparado! Na tabela do 9, o número que se

tira, é o algarismo da dezena ao lado.

Marta: Quando se faz algumas contas de vezes, se trocarmos esses

números, dá a mesma coisa.

Pascal: É às vezes ou sempre?

Vários: Sempre.

Proponho alguns exercícios no geoplano: trabalhar a partir do

prego no canto superior esquerdo e contar sempre pregos a partir

deste prego “1”.

Utilizando esta regra, procuramos um rectângulo que apanha 24

pregos. Quatro grupos fazem 1 rectângulo, 1 grupo faz vários rectân-

gulos. São vários a explicar a diferença entre os rectângulos,

mostrando que uns estão em pé e outros deitado. uns na vertical e

outros na horizontal.

✕ 6 7 8 9

2 12 14 16 18

3 18 21 24 27

5 30 35 40 45

Para perceberes melhor o que a Raquel quis dizer, e para perceberes algumas coisas mais à frente, é melhor 2

procurares ter “uma tabuada” à mão ou consultar a página 20.



Pascal: Construam agora todos os rectângulos que apanhem 12

pregos.

Os grupos põem se ao trabalho. Descobrem rapidamente que um

rectângulo implica outro. Como uns grupos começam com 6 x 2 e

outros com 3 x 4, todos acabam por fazer quatro figuras. Quando

insisto na construção de mais rectângulos que apanhem 12 pregos,

alguns ficam na dúvida. A tabuada é chamada como testemunha

para mostrar que não há mais do que 4 rectângulos.

Pascal: E quantos rectângulos conseguem fazer com 16 pregos?

Bernardo: Um é o 2 x 8.

André: Outro é 8 x 2.

Patrícia: Posso também fazer um que é 4 x 4. É igual na vertical e na

horizontal.

Rui: Mas é quadrado....

Bernardo: (baixinho) É um rectângulo que é igual deitado e em pé.

Pascal: Pois, Rui, mas como o Bernardo disse, o quadrado é um

rectângulo que é igual na vertical e na horizontal.

Peço-lhes agora que procuram rectângulos que apanhem 21 pregos.

Só encontram 2 rectângulos.

Pascal: Então, na tabuada não há mais vezes 21?

Portanto, há um que são 3 linhas de 7 pregos e outro que

são 7 linhas de 3 pregos.

Será que os rectângulos aparecem sempre em par, um hori-

zontal para um vertical?

Catarina: Não.

Vários: Sim.



Raquel: Porque dá sempre para pôr de duas maneiras.

Pascal: Há números que aparecem 5 vezes?

Raquel: Há! O zero aparece muitas vezes.

Pascal: Mas o zero é especial, não conta, já explico porquê.

E há números que só aparecem uma vez?

Todos apontam rapidamente o 1 e o 100.

Pascal: Não há mais? E já agora: quantos números diferentes há na

tabuada?

Vários: 100

Sara: Não, há números que se repetem.

Levantamos hipóteses:

André, Sara, Teresa, Marta, Rui: 50 números;

Catarina: 20 números;

Raquel: 40 números.

Montam quadrados, sempre a partir do prego 1. Começam com o

quadrado mais pequeno que podem fazer. Depois constroem o

quadrado directamente superior. E a seguir. E a seguir... Surge algo

parecido com:



Isto foi mais ou menos o que Pitágoras fez. Utilizando pedras em

vez de pregos, foi observando qual era a regra para fazer novos

quadrados. E começou a contar as pedras que ia juntando. Fazemos a

mesma coisa: contar os pregos que se acrescentam para formar um

novo quadrado. E pouco a pouco descobrimos:

1

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

...

Portanto, para descobrir o próximo número quadrado, basta so-

mar o próximo número ímpar.

Para continuar a nossa investigação, proponho: - descobrir quantos números diferentes há na tabuada; - descobrir se a soma seguida de números ímpares é sempre um

número quadrado; - descobrir se há números que se repetem mais de 4 vezes.


No momento de apresentação de descobertas, vemos que o maior

número quadrado controlado é o número 1156, soma de 1+...+67. É a

Sara que apresenta este controle. Descobre-se com algum apoio das

máquinas calculadoras que é um número quadrado porque é a mul-



tiplicação de 34 por si próprio. Fazemos algumas experiências com

outros números até a Margarida e o Tiago formularem o que já

pressentiam: o número quadrado é sempre o resultado de um

número multiplicado por si próprio.

Escrevemos a conclusão: Fazer um número quadrado = multi-

plicar um número pelo mesmo número.

Eu explico que se pode escrever isto de outra maneira: 82 = 64, ou

102 = 100 ou 152 = 225, e que podemos ler esta forma de escrever

como “número multiplicado por si próprio”, “número elevado a

dois”, “número elevado a segunda potência”, ou ainda “número ao

quadrado”.

Descobrimos na mesma altura que os números quadrados são

alternadamente pares e ímpares; constatamos que cada número ím-

par dá um número quadrado ímpar, e que cada número par dá um

número quadrado par como resultado.

Depois pergunto: “Quem descobriu quantos números diferentes

existem na tabuada?” Só há duas respostas: Sara com 40, Sofia com

42.

Controlamos então em conjunto qual destas respostas é correcta.

Primeiro vamos à procura dos números que só aparecem uma vez.

Marcamos estes números na tabuada (ver página seguinte) o que

provoca rapidamente uma observação: - Os números que aparecem só uma vez são 1 e 100 - Não, são mais! - Todos eles são números numa só linha. - Todos eles são números quadrados.



- Ainda percebemos que são 6 ao todo.

Logo a seguir procuramos todos os números que aparecem 3

vezes. São 4 e também são quadrados, mas aparecem mais de uma

vez na tabuada, em outros sítios. Depois começamos a contar os

números que aparecem 4 vezes. Aparecem sempre duas vezes por

cima da linha dos quadrados, e duas vezes por baixo da linha dos

quadrados.

- Claro, são os rectângulos do geoplano. Para cada rectângulo hori-

zontal há um vertical.

Contámos 9 números que aparecem 4 vezes. Aqui descobrimos

que a Sara contou a partir da tabela da sala, que tinha uma gralha, e

que a Sofia contou a partir duma grelha correctamente preenchida.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nº de vezes na tabela:

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 6 nºs 1 vez

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 4 nºs 3 vezes

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 9 nºs 4 vezes

7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 23 nºs 2 vezes

9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 42 ao todo



Ainda contámos 23 números que só aparecem 2 vezes. Ao todo

dão 42 números diferentes. Vamos controlar quem esteve mais perto

quando levantámos hipóteses.

Entretanto há mais descobertas: A Sara diz que há mais números

pares do que ímpares na tabela. Encontramos rapidamente a expli-

cação: - Na coluna do dois há só números pares. - Na coluna do oito também. - Nas colunas que começam com números pares há só números

pares. - Nas colunas que começam com números ímpares, há um número

ímpar e depois um número par.

Há portanto mais resultados pares.

Descobrimos:

p x p = p

i x p = p

i x i = i

(2/3 resultados são pares)

Comparamos:

p + p = p

p + i = i

i + i = p

(2/3 resultados são pares, mas não a

partir das mesmas combinações)

Apresento uma folha com a tabela iónica, solicitando comentários



acerca dela.

Bernardo: São letras Gregas?

Raquel: Só se os Gregos também utilizam algumas letras iguais às

nossas.

Tiago: É a tabuada em letras?

Alguém: Não, porque não é como a tabuada. Falta uma parte.

Raquel: Eu não sei explicar, mas na tabuada também é assim. Se a

gente dobrar a tabuada, também é assim.

Eu: Aliás, a Sara tinha ainda descoberto uma coisa.

Α Β Γ Δ Ε F Ζ Η Θ Ι

Α Β Γ Δ Ε F Ζ Η Θ Ι Α

Δ F Η Ι ΙΒ ΙΔ ΙF ΙΗ Κ Β

Θ ΙΒ ΙΕ ΙΗ ΚΑ ΚΔ ΚΖ Λ Γ

ΙF Κ ΚΔ ΚΗ ΛΒ ΛF Μ Δ

ΚΕ Λ ΛΕ Μ ΜΕ Ν Ε

ΛF ΜΒ ΜΗ ΝΔ Ξ F

ΜΘ ΝF ΞΓ Ο Ζ

ΞΔ ΟΒ Π Η

ΠΑ q Θ

(Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω Λ) Ρ Ι



Sara: Quando se conta lá em baixo tem se 90 90, e depois 80 81

80, e depois 70 72 72 70 e é sempre assim . 3

Raquel: Pois, é a mesma coisa dos dois lados.

Eu: Dos dois lados de quê?

Raquel: Dos dois lados dos números quadrados. Deve ser uma

tabela, mas eles trocaram os números pelas letras.

Combinamos as seguintes tarefas para fazer até o próximo mo-

mento em conjunto (que será depois das férias de Carnaval):

1. Descobrir se são ou não letras gregas.

2. Verificar se os Gregos tinham algumas letras iguais às nossas.

3. Procurar uma prova para saber se a tabela é a tabuada ou não.


A Julieta conta que discutiram a escolha do nome para este tempo

de trabalho que fazemos em conjunto, para incluir no Plano semanal.

Concordámos referir a este tempo como de «momentos de investi-

gação em matemática».

De seguida retomamos a tabela iónica.

Pergunto se descobriram alguma coisa.

Sara: São letras gregas.

Eu: E as letras representam o quê?

Alguém: Eu penso que são números, porque falamos de matemática.

Eu: Mas como é que temos a certeza?

Marta: A primeira fila repete o que está escrito por cima.

Para perceber o que a Sara descobriu, é melhor voltar a observar a tabuada na página 20.3



Sara: Se A é um, então B é dois e assim de seguida.

Eu: Está bem, mas como podemos saber se é isto?

Vão fazendo sucessivas descobertas. - B ✕ B = Δ - Mas também pode ser B + B = Δ - I ✕ Δ = M, então M é quarenta. - Temos mais vezes o M? Sim, na linha do Η e do Ε. - E que números seriam estes? - São o oito e o cinco! Dá! Dá quarenta. - Até I são os números de um até dez. A primeira linha é ✕ um! - Eu descobri: B ✕ Δ = Η que é oito e dois ✕ quatro também dá oito. - Γ ✕ Γ é Θ, isto é nove. Que nove esquisito! - É nove, é, porque está lá em cima antes do I que é o dez!

A partir daí confirmam todos os números quadrados, enquanto

vou montando uma tabela de referência para fixar a equivalência dos

números gregos com os nossos números com algarismos árabes, que

no fim do controle da tabuada iónica tem este aspecto:

Α Ι Ρ 1 10 100

Β Κ 2 20 200

Γ Λ 3 30 300

Δ Μ 4 40 400

Ε Ν 5 50 500

F Ξ 6 60 600

Ζ Ο 7 70 700

Η Π 8 80 800

Θ q 9 90 900



Continuam a chover descobertas. A excitação é geral. Alguns es-

tão deitados em cima das mesas a discutir com os outros as suas de-

scobertas. - P é cem, é I ✕ I - Aquela letra esquisita, Ξ, é sessenta. Também há Ξ Δ, que é

sessenta e quatro. - Quarenta e quatro não é Δ Δ, mas M Δ. - Um quarto de hora mais tarde, toda a tabela está controlada e

confirmada. Pergunto eu: - Então como é que escrevo onze? - IA. - E como é que lêem este número: IB? - Vários dizem “doze”. - E este: BI?

Alguns dizem vinte e um, mas outros duvidam. Não, também é

doze. Porque vinte e um é KA.

Eu: ou AK. Vêem, os gregos tinham uma letra para cada unidade,

e outra para cada dezena! Dizem vinte mais um, ou um mais

vinte, tanto faz, dá sempre vinte e um.

E agora, como é que escrevo cento e um?

Alguém: É PA, ... ou AP.

Catarina: Não falta o zero.

Coro: Mas eles não tinham zero!

Eu: Pois não, e na maneira como eles escreviam os números, nem

precisavam do zero. E já agora, como é que escreviam duzen-

tos e cinco?



Há dúvidas: será que repetem o símbolo do cem? A Sara lembra

que trouxe um livro com o alfabeto grego. Rapidamente completa-

mos a grelha, e até constatamos que há três letras intrusas, das quais

duas já temos (vinham na tabela) e a última letra descobrimo-la

através de um livro com alguma informação sobre sistemas numéri-

cos.

E depois conto: “Os gregos não precisavam de zero no sistema de

contagem deles. Consideravam um disparate haver um símbolo para

algo que não existe, razão pela qual não ficam com aquela descoberta

do povo babilónico. Os Babilónios que desenvolveram um sistema

sexagesimal para o cálculo do tempo e dos arcos (conceitos que con-

heciam por estudarem as órbitas dos planetas) perceberam que podi-

am utilizar um conjunto de símbolos que eram sempre os mesmos

para cada ordem. Herdámos deste povo a nossa divisão de horas em

minutos, e de linhas curvas em graus de arco. Os gregos não re-

tomam o zero, mas outra civilização mais a Este, os Hindus, uti-

lizam-no na sua representação dos números. O Al-Khowarizmi,

grande matemático árabe, fala do zero nos seus livros de matemática.

Muito mais tarde, já por volta do ano 1000, o monge Gerbert desco-

bre o trabalho de Al-Khowarizmi durante uma viagem a Espanha, na

altura terra dos Mouros, mas não consegue mostrar a importância

dele. Duzentos anos mais tarde, o Fibonacci alerta para a existência

do zero no seu livro de contas, o liber abaci. Mesmo assim, ainda vai

demorar quase 400 anos até que as pessoas comecem a utilizar o zero

com as contas árabes, que costumamos chamar o algoritmo árabe.”

Depois deste aparte, fizemos um ponto da situação:



Terça-feira, 2 de Março de 1999

Alguns grupos entusiasmaram-se a escrever sistemas de numer-

ação próprios, enquanto um grupo continua a volta dos números de

granizo. Combinámos mais uma semana para preparar o sistema

inventado, ou para preparar mais números de granizo.

Depois discutimos a propósito da nova grelha entregue da última

vez (e que apresento como “casa dos números”)

Eu: Descobertas?

Marta: A diagonal é capicua.

Sara: Há somas da primeira e da segunda linha (vertical e hori-

zontal).

O que já fizemos:

números de granizo tabuada números gregos

descobrir a fórmula para o computador

procurar as regras na tabuada

ouvir a história do zéro

ver números quadrados

comparar a tabuada com a tabela iónica

O que nos propomos fazer:

refazer a grelha com os números já descobertos

descobrir outras regras, nos dominós e na nova

grelha que entrego. (ver página seguinte

inventar um sistema de numeração próprio.

descobrir outras regras para fazer séries de granizo



Raquel: É uma tabela de mais.

André: Na diagonal é sempre +11.

Eu: Como é que se pode dizer isso também?

Tiago, Diogo, Sara: São múltiplos.

Eu: Podem descobrir mais múltiplos? Haverá alguma regra?

Começa então uma hora de trabalho e de grandes discussões em

pequenos grupos. Ao longo desta hora descobrem as diagonais dos

múltiplos de 9 (Diogo), as verticais dos múltiplos de 5 (Sara apoiada

pela Marta), as verticais com os múltiplos do 2 que se encontram

coluna sim, coluna não (Tiago). Depois descobrem que os múltiplos

de três também se encontram em “diagonais” paralelas à diagonal do

9. É muito mais complicado descobrir os saltos do 6 (um grupo de

rapazes) e do 7 (Raquel, Margarida e Marta com alguma hesitação).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99



Com algum trabalho descobrimos a relação entre os números

múltiplos nesta tabela e as deslocações das peças de xadrez: 9, 3, 11

como os bispos, 2 e 5 e 10 como as torres, e estes juntos como a rain-

ha e o rei. Os múltiplos de 4, 6, 7, e 8 obedecem aos saltos de cavalo,

embora nem sempre em todas as direcções.

Organizamos o trabalho para a próxima semana, a partir dos in-

teresses de cada um e das investigações em curso:

Terça feira, 9 de Março de 1999

Não todos preparam o trabalho, mas decidimos avançar com

quem tem o trabalho pronto.

Peço, primeiro, a quem inventou numerações próprias que as

copie para um cartaz, e a quem trabalhou números de granizo, que

apontem igualmente num cartaz as suas descobertas.

Grupo Investigação Tarefa

Catarina, Joana (grupo D)

Outra numeração

calcular 43 x 22

Raquel, Margarida (grupo A)

Outra numeração

calcular 1250 ÷ 50

Marta, Miguel, Teresa, Ana Rita, Fernando (grupo C)

Outra numeração

calcular 120 + 50

André, Tiago, Bernardo (grupo B)

Outra numeração

calcular 120 x 35

Diogo, Rui, Tiago, João (grupo E)

Outra numeração

calcular 230 + 147 + 322 - 494

Sara, Patrícia, Diana, Sofia (grupo F)

Números de granizo

Refazer a tabela de descobertas, incluindo nº 99 e 44.



Os alunos que realizaram as con-

tas, apresentam depois o seu ex-

ercício para os outros verem.

O grupo A apresenta logo o problema e o algo-

ritmo, pelo que os outros percebem que se trata de

uma divisão. Com a tabela de conversão, apercebe-

se também que o cabelo é o símbolo “menos” e os

lábios “multiplicar por”, enquanto que a divisão é

representada pelo olho.

O grupo C dá mais luta:

A Ana só apresenta o problema e a solução, pelo que se discute: - Na tabela dela não há nenhum candeeiro, portanto, é um sinal. - Aquela cara estranha também é um sinal. - O candeeiro, pelo sítio onde está, penso que é o “igual”. - Então com a ajuda da tabela, o que é que isto dá? - Cento e vinte mais cinquenta igual a cento e setenta. - Em grego, isto seria PK mais N igual PO.



O grupo B apresenta as contas com os nomes de cada símbolo por

baixo. Percebemos pelo algoritmo que se trata de uma multiplicação

e a descodificação é rápida. A leitura dos números é que põe alguns

problemas.

Eles propõem:

O que dá: “Outu-autogogó-atla visa julha-ce-

bolitmo gual orsim-autogogó-atla-atla.”

Só que se traduzíssemos isto em números

pronunciados em português, ler-se-ia um-

dois-zero vez três-cinco igual quatro-dois-

zero-zero.

Isto abre a discussão para perceber quantos

nomes diferentes é que temos para definir

números. São mais do que 10, embora não

muito mais. Vamos à raiz das palavras para as

dezenas e as centenas.

Explico: “Os sistemas que inventaram são

fáceis, porque eles permitam montar o algo-

ritmo e recorrer ao lápis e ao papel para calcular o resultado. Des-

cubram uma forma para procurar o resultado de ΡΠ dividido por

ΚΔ e também para multiplicar CXIX por XXIX sem recorrer ao nosso

sistema de representação de números.” Acordamos que poderá ser

uma tarefa de pesquisa até a próxima semana.



O grupo dos números de granizo tinha en-

tretanto construído a tabela reproduzida

aqui.

Há quem pergunte porque é que 95 não tem

o número mais alto. Sara explica que ao

“fazer o número” com lápis e papel encon-

trou, depois de 32 passos, o número 47 do

qual o Pascal tinha descoberto com o com-

putador que leva 106 passos para cair.

O Tiago quer saber porque é que alguns

números caem mais depressa do que outros.

Alguns alunos pensam que isto tem a ver

com os números estarem mais perto ou mais

longe do 1.

Uma observação mais atenta mostra que

isso não é verdade: os números mais perto do 1 não caem sempre

mais rapidamente. Controlamos isto depressa com o próprio 47 e

com o 80.

Eu mostro o que acontece com 66 e 76. Enquanto 66 só se divide

uma vez, e depois começa a subir, o 76 pode se dividir duas vezes. O

Tiago diz logo que isto tem a ver com as dezenas que se pode dividir

ou não.

O relâmpago que se fez na cabeça dele era muito forte. Os outros

precisam de mais explicações: 66 : 2 é 60:2 + 6:2 o que dá 30 + 3. No

caso de 76 : 2 é 70 : 2 + 6 : 2 o que dá 35 + 3 ou 38.


nº passos + alto

34 14 52

40 9 40

48 12 48

56 20 56

62 110

76 35 592

89 44 592

95 137

96 13 96

97 20 292

99 26 448


A explicação leva ainda o Tiago a dizer: depois também depende

da unidade, se a divisão dá um número ímpar ou se dá um número

par.

Terça-feira, 16 de Março de 1999

Como se estava a esgotar a nossa paciência com o computador

sempre avariado, decidi introduzir os números de granizo feitos pe-

los alunos no meu computador durante o fim de semana, e fotocopiei

o resultado para toda a turma. Revemos os números que já estavam

na grelha, e percebemos que há vários erros para corrigir.

nº passos + altoCorrecções

passos + alto

34 14 52

40 9 40

48 12 48

56 20 56

62 110 9232

76 35 592 23 88

89 44 592 33 304

95 137 106 9232

96 13 96

97 20 292 119 9232

99 26 448

100 25 100 26 100



O cálculo em numeração romana e em numeração grega não des-

pertou grande interesse, pelo que deixámos cair . 4

Entretanto apresento a grelha seguinte:

e pergunto quantos quadrados ela contém.

A primeira resposta aponta para 64. Alguns alunos argumentam

que como é um quadrado de 8 x 8 o que dá 64, então são 64 quadra-

dos.

Perante a minha insistência, de repente a Raquel disse: - Não, são 65, com o quadrado grande.

Eu continuo a insistir que há mais, pelo que a Sara propõe a

própria folha. Quando os outros olham para ela, ela retoma: - A própria folha não, que não é quadrada.

O Bernardo descobre que há quadrados que formam novos

quadrados.

Poderão sempre retomar esta investigação ao reler o texto. Isto também é valido para outras propostas que não 4

continuamos a desenvolver na sala.



O Tiago diz: - Então são 81. - Porquê?

O Tiago não responde, mas a Sara avança: - 81

e a Catarina: - 77. - Porquê? Pergunto eu de novo.

Ninguém sabe. Depois, a Sara diz que de 4 quadrados são ao todo

16, porque são 4 x 4 quadrados. - Tens a certeza de que não são mais?

Ela e outros ficam baralhados. Proponho voltar ao trabalho como

os matemáticos fazem: vamos procurar regras.

Construí com eles a tabela seguinte no quadro:

Quadrados de 1 unidade ➔ 64

Quadrados de 4 unidades ➔






Quadrados de 64 unidades ➔ 1

De seguida procuramos quantos quadrados de 49 unidades há.

Com alguma dificuldade descobrimos que são 4: dois a partir da

primeira linha, que se sobrepõem. Estes dois repetem-se na linha

seguir.



De seguida vamos à caça de todos os quadrados de 36 unidades.

Algumas canetas de feltro ajudam a marcar o que já foi contado. De-

pois de algum tempo, o Tiago, a Raquel, a Margarida, o Bernardo, o

André e a Sara avançam como a hipótese: 9.

Os outros chegam à mesma conclusão, depois de vermos em con-

junto o «deslizar» dos quadrados.

Agora, já há novas hipóteses: - Será que o próxima será de 16 quadrados? - Porquê? - Porque de um lado sobe, do outro desce. - Então vamos controlar.

Enquanto a Julieta e eu ajudamos os alunos que têm mais dúvidas

para ver o «deslizo» dos quadrados dentro do quadrado grande, al-

guns já anteciparam outros conjuntos. Ficámos convencidos de que

temos uma série de números quadrados ao contrário. O quadro

completo é:

Quadrados de 1 unidade ➔ 64








Total ➔ 204



Terça-feira 23 de março de 1999

Hoje pegamos de novo na tabuada. Lembram-se de quantos

números diferentes há na tabuada?

Depois de alguma hesitação, o André avança: – não são 42?

Os outros, embora hesitantes, confirmam. Temos de voltar a con-

struir a nossa lista. Eu pergunto que tipo de figuras é que as multi-

plicações faziam no geoplano:

- Os números quadrados são quadrados!

- Os outros são números rectangulares

- Há dois rectângulos de cada número

- Há dois, ou 4, mas há sempre um par.

- Bom, então gostava de saber se podem ainda mostrar as multipli-

cações com outro material: o material Cuisenaire. Lembram-se

deste material?

- Penso que o utilizamos quando estávamos no 1º ano.

- Então, vão pensar como podem fazer rectângulos de 24 unidades,

isto é com uma superfície de 24 unidades

Apresentam várias propostas do tipo:

, ou ainda .

Depois de algum tempo temos assim 4 réguas de 5 ladeada de

duas de 2, duas colunas de 6 réguas de 2, mas de repente também

começam a se apresentar três réguas de 8, 4 réguas de 6, 12 réguas de

dois.

Aproveito para parar e observar o que descobrimos.



- Vamos introduzir duas regras novas: - os rectângulos só podem ter réguas de uma só cor; - em cada linha só pode haver uma régua.

- Podem fazer um conjunto de rectângulos e quadrados diferentes,

mas sempre só um por grupo. - Como, Pascal? - Combinam entre vocês. - Podemos ir a procura dos números na tabuada? - Claro.

O trabalho é de difícil arranque. Depois de algum tempo, surgem

vários rectângulos, e aparecem também os quadrados 4, 9, 81 e 100.

Aparecem igualmente alguns números representados por blocos de

valor 1, em filas. Mostro, com o apoio do geoplano, que não se trata

de um rectângulo, mas de uma fila de unidades (no geoplano é mais

visível que se trata de uma linha de pregos, não tendo a superfície de

um rectângulo.)

De seguida juntamos os pares de rectângulos que estão na mesa.

Registamos 2 pares de rectângulo 24, 18 e 1 par de rectângulos 15,

20, 21, 14, 50.

Há um rectângulo 24 que não tem par: o rectângulo feito por 12

peças 2. - Porquê? - Para ele ter par deveríamos ter réguas 12. Só há até 10.



- Reparem que agora têm rectângulos parecidos com os que fize-

mos com o geoplano.

Podem se cobrir dois a dois: . - Tentem agora fazer os rectângulos que eu proponho.

Quando proponho um rectângulo 41, alguns vão à procura, out-

ros olham para a tabuada, ainda outros ficam parados. Mas como

insisto, todos os alunos se põem a tentar. No fim de algum tempo,

toda a gente está de acordo: não se pode fazer rectângulo 41. Pro-

ponho outros, como o 17, o 13, o 3, o 7 e o 2. - Há rectângulos que não se podem fazer. - Com os números ímpares não se pode fazer. - Então tenta fazer o 63. - Não, pode-se fazer com alguns números ímpares, e com todos os

números pares. - Com todos os números pares? - Com o dois não.

De seguido mostro que todos os pares de rectângulos podem ser

representados por uma cruz. 24 fica assim com uma régua 8 cruzada

com uma régua 3 e também com uma régua 6 cruzada de uma régua

4. Isto significa também que podemos trocar a régua 4 por uma cruz

2 x 2: .



Fazemos a decomposição do 24:

4 x 6 para 2 x 2 x 6 ( ) e depois para 2 x 2 x 3 x 2 ( ).

e 3 x 8 em 3 x 2 x 4( ) e depois para 3 x 2 x 2 x 2 ( ).

- Portanto, seja como for que começamos, 24 = 3 x 2 x 2 x 2, uma

torre de um 3 e três dois, o que escrevemos 31 x 23 . Podemos ver

o que acontece com 12: é 3 x 4 ou 3 x 2 x 2, ou então 6 x 2 ou 3 x 2

x 2: sempre vai dar 12 = 3 x 2 x 2, ou uma torre de um 3 e dois 2,

seja 31 x 22.

- Acabamos a última intervenção antes das férias da Páscoa, fazen-

do um ponto da situação:

- Trabalhamos com o geoplano e o xadrez para descobrir quadra-

dos e descobrir também números quadrados e rectangulares.

- Trabalhamos com as réguas números rectangulares e quadrados,

para os transformar em torres.

- Vamos depois da Páscoa ver o que acontece com outros números

quando fazemos torres. E quais são os números que não estão na

tabuada. Que tipos de números são? Há mais do que um tipo?

- Vamos também voltar ao geoplano, e trabalhar quadrados e

partes de quadrados.


Da Páscoa até ao acampamento

Terça-feira, 13 de abril de 1999

Começamos por lembrar o que já fizemos:

Margarida: Fizemos trocas.

Raquel: Contas de vezes, pondo cruzinhas.

Sara, Catarina: Contamos quadrados, no xadrez.

Raquel: Descobrimos números quadrados nos quadrados que con-

tamos.

Margarida: Fizemos números de granizo.

Eu: Já montei a fórmula no computador. Ensinarei na próxima

semana o grupo responsável como se pode fazer um gráfi-

co a partir dos números de granizo.

Margarida: Trabalhamos também com a tabuada de Pitágoras.

Eu: Então vamos lá ver. O que escrevo no quadro está certo?

(Escrevo: 1 + 2 = 3).

Coro: Sim

Eu: e isto: 4 + 5 + 6 = 7 + 8

(depois de um curto momento):

Raquel, Sara, André, Tiago, Margarida: Está certo

Eu: Conseguem escrever a próxima fila? Começará por que

número?

Tiago: Por 9

Eu: Tentem escrever então.

Rapidamente, escrevem a lista 9 +10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 e ve-


rificam o resultado, desta vez com máquina calculadora.

Eu: Conseguem escrever a próxima linha?

Vários escrevem logo, alguns depois de pensar um pouco e de

verificar, como diz o Rui, que os números são sempre seguidos.

A lista 16 → 20 = 21 → 24 cresce e é controlada. Ainda se faz a

lista que começa com 25. Quando pergunto com que tipo de número

começa cada fila, tenho logo vários que respondem: números

quadrados.

Eu: Porquê? Perante a incapacidade que mostram para responder,

avanço com mais sugestões: “lembram-se como é que Pitágo-

ras contava os números quadrados?” - Com pedras. - E depois, como é que ele contava? - Contava as pedras que juntava. - Sim, e qual era a serie. - 1 + 3 + 5 + 7 etc. - Agora, contem quantos números há em cada fila.

Faz se um “clique” na cabeça de muitos. Efectivamente, as filas

são conjuntos de elementos, neste caso números. Cada conjunto tem

mais dois elementos do que o anterior. Como se começa com 3, cada

cardinal de conjunto é ímpar. A soma dos cardinais corresponde à

soma das pedras (ou dos pregos) de Pitágoras.

Mudamos de assunto. Voltamos para as torres com as barras.

Representamos o número 48 em cruz: verde escuro ✕ castanho.



Representamos também 36 (2 maneiras: azul ✕ cor de rosa e

verde escuro ✕ verde escuro) e 18 (duas maneiras: azul ✕ vermelho e

verde escuro ✕ verde claro).

Depois construímos algumas torres de apoio: 4 = 22, 6 = 21 ✕ 31, 9

= 32.

Em seguida proponho que substituam as barras por torres com o

mesmo valor.

Pouco a pouco, crescem estas torres nas mesas de cada grupo:

48 = 8 ✕ 21 ✕ 31 = 4 ✕ 2 ✕ 21 ✕ 31 = 22 ✕ 2 ✕ 21 ✕ 31 = 24 ✕ 31

Da mesma forma crescem (depois de palpites sobre que números

aparecerão na torre):

18 = 21 ✕ 32

36 = 22 ✕ 32

Um rápido olhar pelas réguas faz afirmar os alunos que não há

torre 2, 3, 5, 7 nem torre 1, entre os primeiros dez números. Há torre

4, 6, 8, 9, 10.

Depois invertemos a situação. A partir de uma torre definida,

adivinhamos o número.

Construímos o 64, o 18, o 35 e o 25 desta forma.

Existe ainda uma grande discussão com a Catarina e com a Mar-

garida sobre a torre 2 ✕ 2 ✕ 2 ✕ 2 ✕ 2 ✕ 2 ✕ 2 ou 27, que não é 14 mas

8 ✕ 8 ✕ 2.

Algum trabalho de pesquisa para a próxima semana: completar

uma tabela com as decomposições dos números da tabuada, a partir

do modelo iniciado:



Terça feira, 20 de abril de 1999

A tabela está completa.

Corrigimos algumas coisas: 100 está como 10 x 10, 81 está como 9

x 9, 42 como 7 x 6.

Fazemos as correcções em conjunto, exemplificando com as

réguas.

nº torre nº torre nº torre

1 18 21 ✕ 32 48 24 ✕ 31

2 20 49

3 21 50

4 22 24 54

5 25 52 56

6 21 ✕ 31 27 60

7 28 63

8 23 30 64 26

9 32 32 70

10 35 51 ✕ 71 72

12 36 22 ✕ 32 80

14 40 81

15 42 90

16 45 100



Pergunto que números entram nas torres: - 2, 3, 5, 7, não há outros. - São os números que não podemos mudar em torre. - Eles têm um nome: são números primos.

Risos. - E como em todas as famílias grandes, não se sabe bem onde

acabam os primos, nem se acabam. Pensam neste momento que é

uma série infinita de números.

Continuamos a lista. Os alunos não têm muitas dúvidas até 20.

Depois é mais complicado. Quando pergunto se 1.356.687 é primo, a

Catarina diz logo: - É, porque acaba em 7. - Tens a certeza que os números que acabam em 7 são primos? - Tiago já abana a cabeça. 27 acaba em 7 e não é primo. - Portanto não é por acabar em 7, nem por ser número ímpar. Ago-

ra há um número diferente dos outros. - É o 2, é par, disse a Sara. - E porque é que não há outros números primos pares? - Porque depois todos eles podem ser 2 x outro número. E isto para

sempre, disse a Raquel. - Para já podemos dizer aqui que todos os números da tabuada

podem ser escritos como torres com 2, 3, 5, 7, excluindo estes.

Ainda analisamos “a tabela de Eratóstenes” , mais conhecido

como “crivo de Eratóstenes” prometendo que ainda voltaremos a



falar dos números primos . 5

Eratóstenes, como a maior parte dos Gregos de seu tempo, achava

que 1 não era um número completo, por não mudar nada quando se

multiplica por ele. Assim, 1 fica excluído do jogo. Depois considerava

o 2 e riscava todos os seus múltiplos. De seguida, pegava no 3, o

próximo número não riscado e riscava todos os seus múltiplos ainda

não riscados. Continuava assim com o 5, depois com o 7. Os números

não riscados que sobram são números primos.

Abandonamos os números aqui para trabalhar áreas com o geo-

plano, isto é, unidades definidas como os quadrados entre 4 pregos.

Fazemos figuras de 6 unidades. Dois a dois, começam com o óbvio:

rectângulos. Depois vêm planificações do cubo, cruzes, “pistolas”, e

a Sara e o João aventuram-se em triângulos de meia unidade, para

fazer umas casinhas de 6 unidades.

Crivo de Eratóstenes

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36

37 38 39 40 41 42

Mais uma promessa que não cumpri. Entretanto, os números primos são números fascinantes. Os matemáticos 5

gostam quase tanto deles, como de números como pi. Encontrarão informações sobre eles nos cadernos da Gradiva Junior, ou na internet, numa página que se chama “ask Dr. Math”. Para isso, terão primeiro que melho-rar o vosso inglês, claro.



Ao todo surgem umas 30 figuras diferentes.

Quando pensamos em triângulos com áreas de 3 unidades, as

coisas complicam-se. Um dos triângulos de difícil verificação é um

triângulo inscrito num quadrado de 9 unidades. Verificamos que a

metade do quadrado são 4,5 unidades, e que o triângulo que falta

tirar àquela metade é metade dum rectângulo de 3 unidades, ou 1,5

unidade. Ora 4,5 menos 1,5 igual 3 unidades. A proposta era da Inês

e do João e discutida com todos.

O trabalho entusiasma de tal forma que

acabamos o tempo sem nos apercebermos.

A proposta para a semana seguinte é con-

struir os triângulos mais esquisitos que con-

seguirem – mas que ocupam sempre áreas

de 3, 4 ou 5 unidades.

Terça feira 27 de abril de 1999

Uma semana decorrida, quando pergunto, com o geoplano com a

figura na mão, como resolvemos o problema de João e da Inês, a

Raquel diz: “Então é simples. Tens um quadrado de 9. O triângulo é

metade. É 4,5. E depois tens a metade da outra parte que é metade

dum rectângulo que é 1,5. Portanto

dá 3.”

O trabalho de hoje resume-se a

fazer figuras e a procurar a área. Há

uma proposta, ilustrada pela figura

ao lado, que fica para calcular.



Terça-feira, 4 de maio de 1999.

Esqueci me de levar os elásticos para a sala, e por isso proponho

que façam mais umas brincadeiras com números.

Começamos por lembrar quantos «algarismos» tinham os Gregos.

Sara: Tinham 9.

Bernardo: Não, tinham nove para as unidades, nove para as centenas

e 9 para as dezenas.

Raquel: São 27!

Eu: E já agora, quantos «algarismos» é que conhecemos dos

Romanos?

Sara: Então, é o I, o II,

Tiago: o III.

Raquel: o V

André: o IV também.

Catarina: o VII

Sara: o VIII

João: falta o VI

Miguel: há a cruz também, o X

Margarida: e o C, o D.

Tiago: o L

Eu: mais nenhum?

Vários: o M.

Eu: então, os Romanos tinham «algarismos» I, V, X, L, C, D, M.

São sete. E quantos algarismos é que nós utilizamos?

Tiago: nove, não dez!



Catarina: Dez? Ah, sim, com o zero.

Eu: Já agora, que sistema é mais fácil para escrever números? O

Romano ou o Grego?.

Raquel: No Grego escreve se com menos algarismos.

É fácil ilustrar o que a Raquel diz, no quadro: para 108, os

gregos utilizam dois algarismos, os romanos cinco. E arran-

jamos logo mais exemplos.

Eu: Porque será que nós utilizamos um sistema com dez algar-

ismos, e não com 27, ou com 7 ou com outro número qual-

quer?

...

Eu: Então, que ajuda temos para contar, se não temos máquinas

nem lápis e papel?

Marta: Os dedos. Ah! Temos dez dedos.

Raquel: Não foi o Pascal que contou a história dos Índios?

Tiago: Contavam grupos de 20, diziam “um Índio” . 6

Eu: Exactamente. Agora, na história da matemática, houve al-

guém que se lembrou que talvez se pudesse fazer sistemas

para contar com menos algarismos.

Imagina que só temos os algarismos 0 1 2 3. Isto quer dizer,

que somos um povo que só tem 4 dedos nas mãos. Como é

que escrevemos os números com este sistema?

Quando queremos ler os números, é complicado: 10 é quatro, 23 é

onze, 100 é desaseis.

Carl Sagan, Isaac Asimov, e muitos outros divulgadores de ciências têm histórias como estas e muitas outras. 6

Algumas são bem interessantes.



Temos de recorrer ao quadro, e fazer uma grelha, onde pomos

unidades, grupo de quatro, quatro grupos de quatro (para perceber,

que 10 é um grupo de quatro e zero unidades e 21 são dois grupos de

quatro e uma unidade, portanto nove). No quadro aparece:

Eu: Agora um pequeno desafio para vocês: vamos contar num

sistema que só tem três algarismos. Cada um vai tentar es-

crever os números até dez.

Todos começam a trabalhar e

discutem em pequenos grupos.

Alguns param depois de 0 1 2 10,

depois apercebem–se que só es-

creveram 4 números. A Catarina

fica baralhada por causa do 0, que

também é contado.

É preciso recorrer a vários instrumentos de apoio e ilustramos e

contamos com réguas, tampas e material MAB. As tentativas são

transpostos para grelhas de contagem, e depois fica no quadro:



Com este trabalho feito, proponho uma

grelha só com dois algarismos: são os

números binários. O Tiago observa logo

que não é possível escrever números

com menos do que dois algarismos. Eu

respondo que aquela ideia levou algum tempo para ser provada

matematicamente.

Continuamos a comparar na grelha os números que queremos

formar.

– Quando temos dois algarismos, contamos em grupinhos de dois,

quando temos 3 algarismos, em grupinhos de 3; 4 em grupinhos

de 4. E quando temos dez?

Vários: São grupinhos de 10.

Eu: Têm a certeza?

Marta e Margarida: Não, espera, ...

Sara: Ele está a querer enganar. É, é!

Proponho que imaginem um planeta onde vivem extra – ter-

restres que têm doze dedos. Como será que eles contam?

0 1 2

10 11 12

20 21 22

100 101 102

110 111 112

120



Não tiveram muitas dúvidas:

eles devem contar em grupos de

doze. Acrescentamos os símbo-

los X e Y aos nossos algarismos

e peço que escrevem os números

até doze. Fazem isto sózinhos

ou a pares.

Em seguida, procuramos escrever todos juntos os números de 12

em doze. Erro geral quando chegamos a cento e vinte. Escrevemos

primeiro 100 (que é neste caso doze vez doze, ou 102) em vez de X0

(que é neste caso dez grupos de doze e nenhuma unidade)

Quando já no fim pergunto o que vêem de especial, o Miguel diz

que na última fila, acabam todos em zero, isto é os múltiplos de 12

acabam todos em 0; controlamos com os outros sistemas, e descob-

rimos que os múltiplos do número que indica o número de algaris-

mos acabam sempre em 0.

Terça-feira, 11 de Maio de 1999

Quando chego à escola, a Julieta avisa que este semana está a ser

organizada pelas equipas de trabalho. A equipa do dia constrói o

plano de trabalho que vai ser proposto, e vem me perguntar o que

podemos fazer hoje: explico que podemos continuar o trabalho de

geoplano, ou então que podemos acabar o trabalho dos números da

semana passada.

É o que propõem à turma, e o que é aceite.

Pergunto o que se lembram do trabalho da semana passada.



Catarina: Fizemos aquilo dos números dos extra – terrestres.

Sara: Contamos em grupinhos de números, por exemplo em

grupos de 3,

Tiago: Contamos como os ET’s

Eu: Então e quando contamos só com dois algarismos, o que

aconteceu com os números pares?

...

Faço uma grelha:

Raquel: Ah! Já sei. Os números pares ficaram de um lado, os

números ímpares do outro.

Eu: Então, agora vamos ver como é que parece a tabuada,

quando só há dois algarismos:

(construímos esta tabela juntos)

0 1

10 11

100 101

110 111

1000 1001

1010 1011

1100 1101

1110 1111

10000

x 0 1 10

0 0 0 0

1 0 1 10

10 0 10 100



Eu: Agora, podem vocês construir a tabuada quando só há 3

algarismos.

Todos se lançam neste trabalho, em pequenos grupos. Uma pe-

quena cábula com os números, tipo casa dos números, ajuda a trans-

posição. Depois discutimos o resultado:

Eu: Já que ganharam prática, podem agora construir a tabuada

para os ET’s que só têm uma mão. Qual será o sistema que

utilizam?

Catarina: Com quatro algarismos.

Raquel: Não, com cinco algarismos.

Vemos com mais atenção. São cinco algarismos, mas quatro é o

último número escrito com um só algarismo.

Voltam a trabalhar em pequenos grupos, vão mostrando e dis-

cutindo resultados.

Depois faz-se um ponto da situação e preencho a grelha 5 ✕ 5.

Para cada linha horizontal que escrevo, copio logo a respectiva linha

vertical, o que faz dizer a Catarina: “Ah! Assim é mais fácil!”

Eu: Posso sempre fazer isso?

Sara: Podes! Espera! Penso que podes!

Tiago: Podes! Podes!

x 0 1 2 10

0 0 0 0 0

1 0 1 2 10

2 0 2 11 20

10 0 10 20 100



Eu: Porquê?

Sara: Porque quando há uma linha assim, há outra assim (mostra

com os braços as linhas verticais e horizontais).

Margarida: Podes dobrar a tabuada.

Raquel: Sim, é como a gente já fez!

Eu: Quando?

Bruno: Com aquela tabuada que o Pascal trouxe.

Raquel: Aquela com as letras gregas.

Eu: Pronto, muito bem. Agora tenho duas propostas. Uma mais

fácil e outra mais difícil. Construir a tabuada para 6 algar-

ismos é a fácil, construir a tabuada para os extra – terrestres

com 12 dedos é a outra.

A maior parte dos alunos pega na segunda proposta, e começam

as discussões em pequenos grupos. Além disso, há muitas perguntas:

Catarina: Então, 16 é 14?

Eu: Sim. Porque é um grupo de doze e zero unidades (10) mais

4 unidades, portanto 10 + 4.

Catarina: Posso também fazer 16 – 2.

Sara e Margarida: então vinte é 18?

Eu: Sim.

André: Então quatorze é 12!

Bruno: Como é que se escreve vinte e dois? É 20?

Eu: Pensa, Vinte e dois é um grupo de doze mais dez.

Raquel: Então é 10 + X

Eu: Sim, é 1X



Depois de algum tempo, voltamos a ver o que já foi construído. A

Catarina que se entusiasmou e se lançou freneticamente nas contas,

já tem a tabuada meia preenchida (até seis vez doze). Mas muitos

outros também têm linha completas preenchidas.

Pegamos nos múltiplos de doze. É fácil. Volta a haver alguma hes-

itação para X0 e Y0.

Escrevemos os números quadrados: 4 e 9 não são problema, 14

(42) também não. Há uma discussão mais acesa por causa de 52: é 21

ou 23? O sistema da Catarina (tirar 2) dá 23. Mas raciocinamos que o

resultado são dois grupos de doze (doze mais doze são vinte e qua-

tro, portanto 10 + 10 = 20) mais uma unidade, portanto 20 + 1 = 21.

Da mesma forma controlamos 62 e 72. Pouco a pouco aparece a

tabela reproduzida na página seguinte. Olhamos com atenção as

várias tabuadas que construímos e fazemos alguns comentários.

Marta: acabam sempre em 100

Bruno: o último número da primeira linha é sempre 10.

Catarina: podemos dobrá-los todos.

Eu: Pois. Todos são simétricos.

Tiago: há sempre quadrados.

Eu: Sim, há sempre quadrados embora a forma como estão es-

critos dependa do sistema utilizado. Vejam o que a Marta

disse há um bocado: todos eles acabam em 100, ou seja 10 X

10, ou seja 102. Mas isto pode querer dizer dois2, três2, qua-

tro2, cinco2, ... dez2, doze2, sessenta2, como no caso dos Ba-

bilónios.



Acabamos este trabalho, referindo que se pode pedir ao com-

putador que faça contas com a máquina calculadora no sistema com

2, 8, 10 ou 16 algarismos, porque são bases frequentemente utilizados

na programação dos computadores.

✕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X Y 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X Y 10

2 2 4 6 8 X 10 12 14 16 18 1X 20

3 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29 30

4 4 8 10 14 18 20 24 28 30 24 28 40

5 5 X 13 18 21 26 2Y 34 39 42 47 50

6 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56 60

7 7 12 19 24 2Y 36 41 48 53 5X 65 70

8 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74 80

9 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83 90

X X 18 26 24 42 50 5X 68 76 84 92 X0

Y Y 1X 29 28 47 56 65 74 83 92 X1 Y0

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 X0 Y0 100


Epílogo em Porto de Muge

É claro que a investigação que iniciamos nem acaba aqui, nem foi

muito longe no trabalho desenvolvido. Parámos com as áreas, onde

ainda vos queria ter mostrado como os quadrados aparecem quando

se calcula os lados dum triângulo rectangular. Foi também Pitágoras

que nos mostrou tal fenómeno. Mas podes fazer num geoplano, ou

em papel quadriculado: desenhe um triângulo rectângulo, e construa

um quadrado a partir de cada um dos lados. Depois, compara as

áreas dos quadrados construídos sobre os lados que tocam o ângulo

recto, com a área do quadrado sobre o terceiro lado (que recebeu o

nome de hipotenusa!) Já viste? Experimente com triângulos rectân-

gulos de dimensões diferentes!

As investigações que se podem fazer sobre a linguagem

matemática são praticamente ilimitadas. Mas tivemos que acabar

aqui as nossas conversas e as nossas experiências porque entretanto

começamos a preparar o acampamento em Porto de Muge.

Deste acampamento, que foi registado num álbum próprio, só

realço aqui a montagem do relógio de Sol e a nossa conversa sobre os

planetas e a nossa pequena observação do céu.

A observação do movimento da Terra, do Sol, da Lua e dos astros

tem uma história que se confunde com a própria história da

matemática. Os sábios dos povos antigos de quem falamos ao longo

destas semanas utilizavam as suas observações para organizar o

tempo e o espaço.

Podiam assim dividir a vida em fatias:


• de ano (tempo que a terra demora para dar uma volta completa

ao sol - ou tempo que vai de um solstício de verão até o próximo

solstício de verão);

• de um mês (tempo de um “sapatu” (sabath - sábado) ou festa de

Lua Cheia – e dia de festa em que não se trabalha – e até a próx-

ima festa);

• do tempo que vai do levantar do sol até ao pôr do sol (dia), mais

tarde transformado em tempo de volta completa do sol em redor

do relógio de sombras (ou relógio de Sol) para evitar horas longas

no verão e horas curtas no inverno)

• e finalmente tempo de divisão do mês, introduzindo outras festas

“sapatu” na altura da Lua Nova e dos Quartos. A partir daí foi

possível dividir o tempo entre dois “sapatu”, contando as voltas

do sol em redor do relógio de sombras. Às vezes deu 8 voltas, às

vezes 7.

Quando os matemáticos antigos se aperceberam desta dificul-

dade, resolveram adaptar o mês a 4 períodos de 7 dias desviando se

assim um pouco da realidade. Sete dias correspondia a 7 astros

visíveis sem instrumentos e com um comportamento diferente dos

outros. O Sol, a Lua e mais cinco pontos brilhantes não andavam

sempre da mesma forma no céu, mas de dia para dia andavam para

frente ou para trás em comparação com os outros astros. Eles

“vagueavam” no céu, cada um era um astro errante, ou, em latim,

planeta. Por isso, os povos antigos deram–lhes estatuto de deuses:

Sol - Sun - Sunday

Lua - Lune - Lundi - Moon - Monday (Moon’s day)



Marte (Tiw) - Mardi - Martes - Tuesday (Tiw’s day)

Mercúrio (Wodan) - Mercredi - Miercoles - Wednesday (Woden’s

day)

Jupiter (Thor) - Jeudi - Jueves - Thursday (Thor’s day)

Venus (Frica) - Vendredi - Viernes - Friday (Frica’s day)

Saturno (Saturn) - Samedi - Saturday (Saturn’s day)

Isto também significa que o “sapatu” não era um dia definido do

grupo de sete dias. Só mais tarde é que o dia de descanso foi atribuí-

do a um dia fixo da semana, quando surgem as religiões que só re-

conhecem um deus em vez de vários: primeiro os hebreus, depois os

cristãos e depois os muçulmanas.

O relógio de sombras, finalmente, permitia organizar o espaço de

tempo dentro de um dia, além de ter dado a possibilidade a alguns

cientistas gregos para calcular o perímetro da terra e perceber que a

terra tinha que ser redonda.

Nós, no acampamento, percebemos que o sol chega ao sul e ao

seu ponto mais alto em Porto de Muge, não ao meio dia, mas sim às

13 horas e 30 minutos. A nossa hora chamada de hora de Verão ante-

cipa o sol.

E assim a nossa aventura acabou.

Mas podes continuar outra. - Procura o Diabo dos Números, no livro de Hans Enzenberger,

(ASA) ou faz as tuas perguntas ao Albert Jacquard lendo o seu

livrinho “O que é ser inteligente?” (Terramar). - E, em todo lado:



- Procura os matemáticos babilónicos, hindu e chineses. - Procura também Pitágoras, Arquimedes, Eratóstenes. - Procura Al-Khowarizmi na corte Árabe. - Ou dá um salto para tempos mais modernas, procura Isaac New-

ton depois de uma visita a Galilei Galileo. - Procura um destes verdadeiros matemáticos criativos do nosso

século, dos quais Albert Einstein é um dos muito conhecidos.

E, de aqui alguns anos, deslumbra-te com Hubert Reeves, com

Carl Sagan ou com os outros divulgadores de ciência e de matemáti-

ca.

Mas sobretudo, - pergunta, - questiona, - explora, - pensa de várias maneiras num problema!

Lembra-te que só o que não conhecemos parece estranho, esquisi-

to e perigoso.

Quando pensamos e estudamos sobre as coisas, elas continuam

estranhas, às vezes esquisitas, mas deixam de ser perigosas, para se

tornarem encantadoras.

Diverte-te!

Lisboa, Junho de 1999


PASCAL PAULUS -...

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