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PAVIMENTAES

Uma pavimentao no plano a cobertura do plano de modo a que no haja sobreposies nem espaos vazios.

Uma pavimentao diz-se monodrica ou pura se for constituda pela repetio de um nico ladrilho.

Ex:

Chama-se vrtice da pavimentao qualquer ponto que resulte da interseco de trs ou mais ladrilhos.

Os vrtices de uma pavimentao com polgonos no tm de coincidir com os vrtices dos polgonos:

vrtice da pavimentao

vrtice do polgono que no vrtice da pavimentao

Chama-se aresta da pavimentao qualquer arco, linha poligonal ou segmento

que resulte da interseco de dois ladrilhos. Os lados dos polgonos podem no coincidir com as arestas da pavimentao: aresta da pavimentao

lado do polgono no aresta da pavimentao

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Tarefa 1 Criar diferentes pavimentaes monodricas.

Procurar no meio ambiente exemplos de pavimentaes monodricas.

Explorar pavimentaes monodricas com: . tringulos

.quadrilteros . pentgonos

. hexgonos

. polgonos no convexos

. no polgonos

. polimins etc.

PAVIMENTAES REGULARES

Pavimentaes regulares so pavimentaes monodricas em que os ladrilhos so polgonos regulares congruentes.

Nota: No so pavimentaes regulares aquelas em que num vrtice concorre pelo menos um dos lados do polgono, por exemplo:

ou no so pavimentaes

regulares

Nas pavimentaes regulares, os vrtices da pavimentao coincidem com os vrtices dos ladrilhos. Do mesmo modo, as arestas da pavimentao coincidem com os lados dos polgonos.

Ex:

Tarefa 2 Descobrir as pavimentaes regulares possveis. Concluir sobre as razes que fazem com que um polgono regular d ou no origem a uma pavimentao regular.

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PAVIMENTAES SEMI-REGULARES OU ARQUIMEDIANAS PAVIMENTAES DEMI-REGULARES

Pavimentaes semi-regulares ou arquimedianas so pavimentaes que combinam dois ou mais tipos de polgonos regulares, que em cada vrtice aparecem pela mesma ordem.

Nas pavimentaes semi-regulares, os vrtices so todos do mesmo tipo. A classificao de um vrtice da pavimentao obtm-se assinalando o n de lados dos polgonos concorrentes nesse vrtice, comeando no polgono com menor n de lados e rodando no sentido dos ponteiros do relgio.

Ex:

3.6.3.6 4.8.8 3.4.6.4

Pavimentaes demi-regulares so pavimentaes que combinam dois ou mais polgonos regulares, mas em que os vrtices no so todos do mesmo tipo.

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Uma pavimentao irregular uma pavimentao que no regular, nem semi-

regular, nem demi-regular.

Tarefa 3 Descobrir quais as 8 pavimentaes semi-regulares possveis.

Concluir sobre as razes que conduzem a que uma combinao de polgonos regulares d ou no origem a uma pavimentao semi-regular.

Encontrar alguma pavimentaes demi-regulares possveis (so em nmero infinito)

PAVIMENTAES PERIDICAS. PAVIMENTAES NO PERIDICAS

Pavimentaes peridicas so pavimentaes que permanecem invariantes por translao. Assim, se deslocarmos, numa determinada direco e sentido, uma pavimentao peridica sobre a sua original, ser possvel sobrep-la de modo que os ladrilhos fiquem coincidentes com os da posio original.

Ex:

Uma pavimentao aperidica ou no peridica se, feita uma translao segundo qualquer direco ou sentido, nunca for possvel a coincidncia com a pavimentao original.

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Ex:

Pavimentao construda com os 6 protoladrilhos de Robinson

REALIZAO DE PAVIMENTAES. RECURSO A ISOMETRIAS E OUTRAS TCNICAS

Pode obter-se uma pavimentao realizando uma isometria (rotao, translao ou reflexo) de um ladrilho ou conjunto de ladrilhos.

a) Pavimentao por rotao

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b) Pavimentao por translao

c) Pavimentao por reflexo

Tarefa 4 Investigar isometrias nas pavimentaes de Escher ou outras. Criar pavimentaes usando: . translao . rotao

. reflexo

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d) Tcnica da dentada

ainda possvel criar ladrilhos que pavimentem o plano, usando a tcnica da dentada. Esta tcnica consiste em retirar um pedao do ladrilho de um dos lados e aplic-lo a outro lado (por rotao ou translao), de modo a obter um novo ladrilho.

Ex:

Tarefa 5 Criar pavimentaes usando a tcnica da dentada sobre polgonos, usando: . translao

. rotao

. translao e rotao

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Referncias:

Farmer, D. W. (1999). Grupos e Simetria. Lisboa: Gradiva. Veloso, E. (1998). Geometria Temas Actuais. Lisboa: IIE.

http://www.apm.pt/apm/AeR/tipav.html http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm16/ http://easyweb.easynet.co.uk/~iany/patterns/tessellations.htm