Pavimentações - Dicas
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Texto de Apoio Pavimentaes
Em Matemtica, chama-se pavimentao a uma composio de figuras planas que cobre todo o plano, sem que as figuras se sobreponham ou deixem espaos vazios. Definies
Uma pavimentao diz-se monodrica ou pura se for constituda pela repetio de uma nica figura.
Qualquer ponto que resulte da interseco de trs ou mais figuras diz-se vrtice da pavimentao.
Qualquer arco, linha poligonal ou segmento de recta que resulte da interseco de duas figuras diz-se uma aresta da pavimentao.
Pavimentaes Regulares As pavimentaes monodricas compostas por polgonos regulares congruentes que so convergentes no mesmo vrtice dizem-se pavimentaes regulares. Nota: os vrtices da pavimentao no ocorrem em lados do polgono. Existem apenas trs tipos de pavimentaes regulares: com tringulos equilteros, com quadrados e com hexgonos regulares. Pavimentaes semirregulares ou arquimedianas. As pavimentaes semirregulares ou arquimedianas so pavimentaes formadas por dois ou mais tipos de polgonos regulares, com o mesmo arranjo em cada vrtice. Na figura ao lado, em torno de qualquer vrtice existem sempre dois hexgonos e dois tringulos.
Escola Profissional de Recuperao do Patrimnio
Professora Ana Colao
MATEMTICA - MDULO B6
ANO LETIVO 2014/2015
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Pavimentaes demirregulares Tal como as pavimentaes semirregulares, as pavimentaes demirregulares so pavimentaes formadas por dois ou mais tipos de polgonos regulares. Contudo, nestas os vrtices no tm todos o mesmo arranjo. Repara nos vrtices A e B da figura ao lado. Cada um dos vrtices da pavimentao pode ser classificado tendo em conta a sua configurao. Para tal, basta contabilizar o nmero de lados dos polgonos concorrentes nesse vrtice, comeando no polgono com o menor nmero de lados e rodando no sentido negativo (sentido dos ponteiros do relgio), obtendo assim um cdigo. Exemplo
Vrtice A 3; 6; 3; 6
Vrtice B 3; 3; 6; 6
Pavimentaes Irregulares
Uma pavimentao irregular uma pavimentao que
no regular, nem semirregular, nem demirregular.
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Uma pavimentao diz-se regul(geometricamente iguais). Nota: Os vrtices da pavimentao no ocorrem em lasituaes como a descrita abaixo
Para que um polgono regular pavimente o plano, a soma das amplitudes dos ngulos internos
em torno de cada vrtice deve ser igual a 360Assim, como os polgonos devem ser congruentes sejam , s se conseguir pavimentar com os p
interno seja divisor de 360. Tem-se que:
Polgono Regular
Nmero de Lados
Tringulo Equiltero
3 180
Quadrado 4 180
Pentgono Regular
5 180
Hexgono Regular
6 180
Texto de Apoio Pavimentaes Regulares
se regular se e s se for formada por polgonos regular
Os vrtices da pavimentao no ocorrem em lados do polgono, ou seja, no ocorrem situaes como a descrita abaixo
gular pavimente o plano, a soma das amplitudes dos ngulos internos
deve ser igual a 360. Assim, como os polgonos devem ser congruentes o que implica que os ngulos tambm
, s se conseguir pavimentar com os polgonos regulares cuja amplitude do ngulo
Amplitude do ngulo Interno
Nmero de Polgonos
por Vrtice
Concluso
180 360
3 60
360
60 6
possvel conpavimentao regular com tringulos equilteros, concorrendo 6 tringulos por vrtice.
180 360
4 90
360
90 4
possvel conpavimentao regular com concorrendopor vrtice.
180 360
5 108
360
108 3,33
No possvel conuma regular com regulares.
180 360
6 120
360
120 3
possvel conpavimentao regular com hexgonos regularesconcorrendo por vrtice.
regulares congruentes
ono, ou seja, no ocorrem
gular pavimente o plano, a soma das amplitudes dos ngulos internos
que implica que os ngulos tambm olgonos regulares cuja amplitude do ngulo
Concluso
possvel construir uma pavimentao regular com tringulos equilteros, concorrendo 6 tringulos por vrtice.
possvel construir uma pavimentao regular
quadrados, concorrendo 4 quadrados por vrtice.
possvel construir pavimentao
regular com pentgonos .
possvel construir uma pavimentao regular
hexgonos regulares, concorrendo 3 hexgonos por vrtice.
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Heptgono Regular
7 180
360
7=
= 128, (571428)
2,8 No possvel construir uma pavimentao regular com heptgonos regulares.
Octgono Regular
8 180
360
8= 135
360
135 2,67
No possvel construir uma pavimentao regular com octgonos regulares.
Pode-se constatar que apenas com tringulos equilteros, quadrados e hexgonos se podem construir pavimentaes regulares. Alis, embora no se tenha testado polgonos de mais lados, percebe-se que a hiptese restante seria pavimentar com dois polgonos concorrendo por vrtice. Esta situao impossvel, pois determinaria, entre outras coisas, que a amplitude do ngulo interno de tal
polgono fosse igual a 180 Assim sendo, s existem trs pavimentaes regulares:
Com Tringulos Equilteros
Com Quadrados
Com Hexgonos Regulares
Procurando visualizar o porqu de no ser possvel pavimentar exclusivamente com pentgonos regulares, tem-se:
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Ou seja, ao juntar trs pentgonos regulares num vrtice, constata-se que falta preencher um
espao com 36 de amplitude. Ora, como a amplitude do ngulo interno do pentgono regular
igual a 108, no possvel l colocar um quarto pentgono. Observa-se, tambm, que
108 + 108 + 108 = 324 < 360
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Pavimentaes Semirregulares
regulares e em que os vrtices da pavimentao so todos do mesmo tipo.
Existem oito pavimentaes semirregulares
Um Tringulo, dois Quadrados e um Hexgono (3; 4; 6; 4)
Quatro Tringulos e um Hex
Dois Hexgonos e dois Tringulos (3; 6; 3; 6)
Trs Tringulos e dois Quadrados (3; 3; 3; 4; 4)
Trs Tringulos e dois Quadrados (3; 3; 4; 3; 4)
Texto de Apoio
Pavimentaes Semirregulares.
Pavimentaes Semirregulares so pavimentaes formadas por dois ou mais polgonos
regulares e em que os vrtices da pavimentao so todos do mesmo tipo.
Existem oito pavimentaes semirregulares
Um Tringulo, dois Quadrados e um Hexgono (3; 4; 6; 4)
Quatro Tringulos e um Hexgono (3; 3; 3; 3; 6)
Dois Hexgonos e dois Tringulos (3; 6; 3; 6)
Trs Tringulos e dois Quadrados (3; 3; 3; 4; 4)
Trs Tringulos e dois Quadrados (3; 3; 4; 3; 4)
so pavimentaes formadas por dois ou mais polgonos
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Dois Octgonos e um Quadrado (4; 8; 8)
Um Quadrado, um Hexgono e um Dodecgono (4; 6; 12)
Dois Dodecgonos e um Tringulo (3; 12; 12)