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� ��� ��

Virgílio A. F. AlmeidaDCC-UFMG

2005

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• Um canal de comunicação transporta dois tipos de sinais, denotados por 0 e 1. Devido ao ruido, um 0 transmitido é recebido como 1 e 1 como 0. Para um dado canal, assuma a probabilidade de 0.94 que um 0 transmitido é corretament recebido como 0 e a probabilidade de 0.91 que um 1 é recebido como 1. Assuma também a probabilidade 0.45 de transmitir um 0. Determine:

– Probabilidade que um 1 é recebido– Probabilidade que um 0 é recebido– Probabilidade que um 1 foi transmitido dado que um 1 foi recebido– Probabilidade que um 0 foi transmitido dado que um 0 foi recebido– Probabilidade de um erro.

# �����

• Definição de eventos:– T0 = um 0 é transmitido– R0 = um 0 é recebido– um 1 é transmitido– um 1 é recebido

01 TT =01 RR =

P(T1)

P(T0) P(R0)

P(R1)

P(R0|T0)

P(R1|T1)

P(R1|T0)

P(R0|T1)

$�� ���

1. Probabilidade que um 1 é recebido2. Probabilidade que um 0 é recebido3. Probabilidade que um 1 foi transmitido dado que um 1 foi

recebido4. Probabilidade que um 0 foi transmitido dado que um 0 foi

recebido5. Probabilidade de um erro.

# �����

0765.0)10()01()(

8952.0)0(

)0()0|0()0|0(

9488.0)1(

)1()1|1()1|1(

4725.01)0()1(

4725.0)1|0()0|0()0(

=∩+∩=

==

==

−===+=

RTPRTPerroPRP

TPTRPRTP

RPTPTRP

RTP

RPRP

TRPTRPRP

% �����&��'������ ������( ��) ����� ���*����% �������

1. Constante2. Uniforme3. Bernoulli4. Binomial5. Geometrica6. Poisson

( ��) ���� ���*�����������

• pmf

• CDF

�

���

���

�

% �����&�����% �������� ��+��� �

• A v.a. discreta X que assume n valores discretos com probabilidade pX(i) = 1/n, 1 ≤ i ≤ n

• pmf

• CDF:

��� ∈

=contráriocaso

Xxsenxp i

iX ,0

,/1)(

nt

iptFt

iX ==�

=1

)()(

( ��) ������!�������

– V.A gerada por um experimento único de Bernoulli tem um resultado binário {0,1}

– A v.a. binária X é chamada variável de Bernoulli tal que:

–Função de massa de probabilidade:

)0(1)1(

==−===

XPpq

XPp

% �����&��������!�������

• CDF

���� ���

�

����

��������

Numa distribuição binomial, tem-se:

1. Todos experimentos são independentes.2. Número de sucessos x numa sequência de experimentos de

Bernoulli.2. Cada resultado é um “successo” ou “falha”.3. A probabilidade de sucesso de um experimento é dado por

p. A probabilidade de uma falha é 1- p.4. Uso do modelo: número de processadores “down” num

cluster; número de pacotes que chegam ao destino sem erro.

� ���� �������������

A distribuição binomial com parâmetrosn 0 and 0 < p < 1, is

Qual a média e variância????

p xnx

p px n x( ) ( )= �

���

− −1

≥≥≥≥

� ���� �������������

A distribuição binomial com parametrosn 0 and 0 < p < 1, is

A média e variância da binomial são:

p xnx

p px n x( ) ( )= �

���

− −1

µ σ= = −np np p2 1( )

≥≥≥≥

( ,� ,�! ���� ��-��� +

pk

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

CD

F

( ,� ,�! ���� ��-��% .

% �����&�����/ ��� �����

• Número de experimentos até incluir o 1o sucesso.

• Em geral , S pode ter um tamanho infinitamente contável

• Definir a v.a Z (∈ S): amostra: 0 i-1 1 = i• Por causa da independência:

/ ��� �����

• A distribuição geometrica é a única distribuição discreta que exibe a propriedade MEMORYLESS.

• Resultados futuros são independentes de eventos passados.

• n experimentos completaram todos com falhas. Y experimentos adicionais são executados antes de um sucesso, i.e. Z = n+Y or Y=Z-n

/ ��� �����-����������� �� *��

• Y=Z-n

)()1(1

)(1)(

)(1)(

)()(

)()(

)|()|(

)|(

11

ippqq

pq

nFinp

nFinZP

nZPinZP

nZPnZandinZP

nZinZP

nZinZP

nZiYP

Zi

n

in

Z

Z

Z

==−−

=

−+=

−+==

>+==

>>+==

>+==>=−=

>==

−−+

( ,� ,�/ ��� �����

• Exercício: Mostre que

1

1( ) 1 and ( )X

x

P x E xp

∞

=

= =�

$������-������������

• Considere que um servidor espera receber 100 transações em um minuto:

• Espera-se que:– O início de cada transação é independente dos

outros;– Para cada pequeno intervalo de tempo ∆t, a

probabilidade de uma nova transação chegar éλ∆t

– A probabilidade de chegar duas transações ao mesmo tempo é zero!

• O processo de Poisson tem as propriedades acima.

• Função de massa de probabilidade (pmf):

• CDF:

{ } k!

)( )(

ktektNPp t

k

λλ−===

(((( )))) ���� ����

k!)(

0

k

����====

−−−−====x

k

t texF λλλλλλλλ

% �����&��������$�������

pk

λλλλt=1.0

$��������� +

t1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5

0.1

CDF1

λλλλt=1.0

$��������% .

λt=4.0

pk

λλλλt=4.0

$��������� +

t

CDF

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.5

0.1

1

λλλλt=4.0

$��������% .

$������

• Uma v.a. de Poisson X tem sua pmf::

Onde λλλλ > 0 é uma constante

• Exercicio: mostre que:

E(X) = λλλλ0

( ) 1 XxP x

∞

=Σ =

( ) 0,1, 2,...!

x

P X x e xx

λλ −= = =

λ

$������-������'��

• A v.a. de Poisson é boa para modelar vários fenômenos, como o número de transações que chega num servidor em uma hora, ou o número de queries que chega numa máquina de busca em 1 minuto ou número de pacotes que chega num roteador em 1 segundo.

# ���0�� � ����0� �-�1���0��2 �&3/ ��0������� � ��04�5 �6�

• Random graph Gn,p:– n nodes– Every directed edge occurs with probability p

• Is the Web-graph a random graph Gn,p?

• The probability of high degrees decrease exponentially • In a random graph degrees are distributed according to a Poisson

distribution

• Therefore: The degree of a random graph does not obey a power law

% �����&����1�35 ��7 ��8�9 �8�� ��������

• Suppose sensor network monitors the environment;• If an event is detected by node n it sends out a packet (n_id, weight,

hop_count)• Compute Navigation Field;• This computation results in a direction which maximizes the net utility of the

robot;

• If there are several events detected at the same time, a node computes direction towards the goal node with largest:

counthopweight

_

������� �����������

• Player/Stage simulations;• Sensor Network of 25

motes;• Groups of 1-4 robots, 10

trials/group• 10 Alarms are drawn from

the Poisson distribution with �=1/60;

• Empty environment, A = 576 m2

����������

1. Considere que o número de mails que chegam a um servidor de mails no intervalo t segundos é distribuído como Poisson com parâmetro 0.3t Calcule a seguintes probabilidades:

– Exatamente tres mensagens chegarão num intervalo de 10 seg.

– No máximo 20 msgs chegarão num período de 20 seg.– O número de msgs num intervalo de 5 seg está entre 3 e

7 mails.2. A probabilidade de um query falhar (não ser bem sucedido) é

10(-4). Qual a probabilidade de falharem mais de 3 queries numa sequência de 1000 queries?