Introdução ao Cálculo

Jorge Andrés Julca AvilaMaria Teresa Menezes Freitas

MATEMÁTICAGraduação

Jorge Andrés Julca AvilaMaria Teresa Menezes Freitas

Introdução ao Cálculo

2011

A958i Avila, Jorge Andrés Julca Introdução ao Cálculo / Jorge Andrés Julca Avila ; Maria Teresa Menezes Freitas . – São João del-Rei, MG : UFSJ, 2011. 164p.

Graduação em Matemática.

1. Cálculo I. Freitas, Maria Teresa Menezes II. Título.

CDU: 517

Reitor Helvécio Luiz Reis

Coordenador UAB/NEAD/UFSJ Heitor Antônio Gonçalves

Comissão Editorial: Fábio Alexandre de Matos Flávia Cristina Figueiredo Coura Geraldo Tibúrcio de Almeida e Silva José do Carmo Toledo José Luiz de Oliveira Leonardo Cristian Rocha Maria Amélia Cesari Quaglia Maria do Carmo Santos Neta Maria Jaqueline de Grammont Machado de Araújo Maria Rita Rocha do Carmo (Presidenta) Marise Maria Santana da Rocha Rosângela Branca do Carmo Rosângela Maria de Almeida Camarano Leal Terezinha Lombello Ferreira

Edição Núcleo de Educação a Distância Comissão Editorial - NEAD-UFSJ

Capa Eduardo Henrique de Oliveira Gaio

Diagramação Luciano Alexandre Pinto

SUMÁRIO

PRA COMEÇO DE CONVERSA.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 05

UNIDADE 1 – NOÇÕES DE LÓGICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07

1.1. Lógica: Compreendendo o Significado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09

1.2. Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Conectivos e Quantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Operações Lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Construção de Tabelas Verdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6. Tautologias, Contradições e Contingências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7. Implicação Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8. Equivalência Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9. Proposições Associadas a Uma Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.10. A Negação Conjunta de Duas Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.11. A Negação Disjunta de Duas Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.12. Álgebra das Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.13. Compreendendo o Processo Lógico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.14. Classificação das Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.15. Tipos de Demonstração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

UNIDADE 2 – CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1. Conceitos Primitivos e Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2. Operações com Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3. Propriedades das Operações com Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4. Conjunto das Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

UNIDADE 3 – RELAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2. Par Ordenado e Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3. Relação Binária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

UNIDADE 4 – CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS E NÚMEROS INTEIROS . . . . . . 714.1. História dos Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2. Conjunto dos Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3. Conjunto dos Números Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

UNIDADE 5 – CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS E NÚMEROS IRRACIONAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1. Conjunto dos Números Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2. Conjunto dos Números Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

UNIDADE 6 – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.2. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.3. Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.4. Conjunto dos Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

UNIDADE VII – FUNÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.2. Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.3. Operações com Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.4. Função Polinomial e Função Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.5. Função Valor Absoluto e Função Raiz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.6. Propriedades das Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.7. Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.8. Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.9. Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

PARA FINAL DE CONVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

REFERÊNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5

iii

PARA COMEÇO DE CONVERSA

Sejam bem-vindos!

Este material de Introdução ao Cálculo foi elaborado para estudantes de Matemática, seja sua participação presencial, em sala de aula, ou a distância, interagindo com o computador. O único requisito para a aprendizagem deste material é boa vontade de adquirir novos conhecimentos e persistência na solução dos exercícios.

Sabemos que em todo livro de Matemática é imprescindível não colocar as demonstrações de teoremas importantes. Este material não seria diferente, por isso, não desanime ao encontrar-se com alguns deles. Muitas das vezes, as demonstrações seguem um caminho muito técnico, porém os autores têm pensado nisso e de alguma forma facilitarão o entendimento.

Este material está divido em sete capítulos, que se iniciam com os conceitos de lógica, seguidos com a teoria de conjuntos, relações, sistema dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais e, finalmente, funções. Na maioria das vezes, ao finalizar uma seção, encontram-se as Atividades que consistem em exercícios propostos e é muito importante que o aluno os resolva.

Os Autores

unidade

7

unidade 1

Unidade I

Noções de Lógica

Objetivos

Explicitar conceitos relacionados à lógica. Utilizar adequadamente a simbologia matemática para argumentação lógica.

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unidade 1

1.1. Lógica: Compreendendo o Significado

Caro estudante! Ao iniciar este tema, penso que talvez esteja curioso para saber o que afinal significa Lógica. Poderíamos dizer que se trata de um conceito que se relaciona ao estudo do raciocínio, estudo da veracidade de uma demonstração, estudo da argumentação correta, estudo das regras para verificar se um pensamento é verdadeiro ou falso etc. Quantas vezes nos surpreendemos dizendo a expressão: É lógico! O que carrega esta expressão quando a expressamos?

Vamos acompanhar um diálogo imaginário: A professora Maria pergunta à sua aluna Renata:

– Você pensa que irá conseguir um bom conceito este semestre?

Renata responde: – É lógico! Tenho estudado todos os dias, tenho realizado todas as tarefas, tenho

ficado atenta às explicações e... Perceba que, quando atribuímos uma lógica a um determinado pensamento, normalmente, temos argumentos que o sustentam. Ou seja, temos razões que justificam a nossa afirmação.

Assim, podemos de uma maneira simples, dizer que

A Lógica trata das formas de argumentação, das maneiras de encadear nosso

raciocínio para justificar, a partir de fatos básicos, nossas conclusões. A Lógica

se preocupa com o que se pode ou não concluir a partir de certas informações. (MACHADO, 1994, p. 12-13)

Vamos, então, compreender que a Lógica é a ciência que estuda as leis gerais do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente na investigação e demonstração da verdade dos fatos.

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Importante saber que a Lógica fornece subsídios para melhorar a linguagem utilizada em Matemática, que formaliza e sintetiza claramente o pensamento.

Para iniciar, vamos compreender alguns termos importantes para continuarmos nosso passeio pelo mundo da Lógica.

1.2. Proposições

Denominamos proposição a todo conjunto de palavras ou símbolos que exprime um pensamento de sentido completo. As proposições afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes.

Exemplo 1.1.

(a) O triangulo é um polígono. (b) Vagner estuda e trabalha.

Vale a pena saber que a lógica tem alguns princípios que foram convencionados. Esses princípios que apresentaremos, a seguir, são denominados Axiomas da Lógica. Princípio da Não Contradição – Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Princípio do Terceiro Excluído – Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um desses casos, e nunca um terceiro.

Em virtude do “princípio do terceiro excluído”, dizemos que a Lógica Matemática é uma Lógica Bivalente, ou seja, toda proposição apresenta um e apenas um dos valores lógicos – V(verdadeiro), F (falso).

Observação. No estudo de Lógica, restringimo-nos a uma classe de proposições que são as declarativas e que admitem um único valor lógico. Assim, excluímos aquelas proposições interrogativas e imperativas.

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unidade 1

Podemos distinguir dois tipos de proposições: simples e composta. Vejamos como reconhecer cada uma.

Denominamos de proposição simples (ou atômica) aquela que não contém outra proposição como parte integrante de si mesma. Muitos autores convencionam designar as proposições por letras minúsculas: p , q , r , s , ... , que são denominadas por letras proposicionais.

Exemplo 1.2. Exemplos de proposições simples. (a) p : Renato cortou o cabelo.

(b) q : Todo triângulo tem 3 lados.

(c) r : O Número 144 é divisível por 2.

Denominamos de proposição composta (ou molecular) aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. As proposições compostas, comumente, são designadas por letras maiúsculas: P , Q , R , S , ... , que são também denominadas por letras

proposicionais.

Exemplo 1.3. Exemplos de proposições compostas. (a) P : Marcos é careca, e Pedro é estudante. (b) Q : Se João é campeão de natação, então, ele sabe nadar.

Observação. Quando é interesse explicitar que uma proposição composta P é formada pela combinação de proposições simples, p , q , r , s , ... , e escreve-se: , , , ,...P p q r s .

Percebam que, para obtermos proposições compostas, utilizamos expressões para unir, conectar, ou seja, ligar proposições. Tais expressões se denominam conectivos.

1.3. Conectivos e Quantificadores

Denominamos por Conectivos palavras que são utilizadas para formar novas proposições a partir de outras. Veja, a seguir, alguns conectivos:

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“não” : negação “e” : conjunção “ou” : disjunção “se ... então ...” : condicional “... se e somente se ...” : bicondicional

É importante perceber que algumas expressões atribuem um senso de quantidade às proposições. A essas expressões, denominamos por Quantificadores.

Conheçam, abaixo, alguns quantificadores: : ‘para todo’, ‘qualquer que seja’ : ‘existe’, ‘existe algum’ ! : ‘existe um único’, ‘existe um só’

Importante saber que é denominado quantificador universal. é denominado quantificador existencial.

Observação. Observe um detalhe importante: frases declarativas afirmativas, com variáveis, são denominadas sentenças abertas e não podemos atribuir um único valor lógico (isto é, não podemos afirmar serem verdadeiras ou falsas).

Exemplo 1.4. A equação 4 7x é uma sentença aberta.

Entretanto, quando quantificamos uma sentença aberta (quando utilizamos um quantificador), a mesma se transforma em uma proposição.

Exemplo 1.5. ! / 4 7x x (é uma proposição verdadeira).

1.4. Operações Lógicas

Vamos, neste item, conhecer os operadores lógicos e compreender o valor lógico da proposição quando os utilizamos.

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unidade 1

Assim, estaremos apresentando tabelas denominadas TABELA VERDADE. Nestas tabelas, figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta (resultante), correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.

1.4.1. Negação

Para a negação, usamos o seguinte símbolo: ~ . Lê-se: não. Denominamos de negação de uma proposição p a proposição ~ p (lê-se: não p) que

será falsa, quando p for verdadeira, e ~ p será verdadeira quando p for falsa.

Observe a Tabela Verdade de ~ p : p ~ p

V F F V

Exemplo 1.6.

(a) Seja p : "Maria é aluna do Curso de Matemática a distância da UFSJ".

Teremos ~ p : "Maria não é aluna do Curso de Matemática a distância da

UFSJ". (b) Seja p : 8 7 . Note que p é verdadeira (V).

Teremos que ~ p : 8 7 . Note que ~ p é falsa (F).

(c) Seja p : 2 / 0x x .

Teremos que ~ p : 2 / 0x x .

Tabela Verdade

É uma tabela contendo todos os possíveis valores lógicos da proposição composta (resultante), correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.

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1.4.2. Conjunção

Na conjunção, usamos o seguinte símbolo: . Lê-se: e.

Dadas duas proposições, p e q , denominamos conjunção de p e q a proposição

composta, p q (lê-se: p e q), cujo valor lógico será verdadeiro apenas quando ambas as

proposições p e q forem verdadeiras.

Observe a Tabela Verdade de p q :

p q p q

V V V V F F F V F F F F

1.4.3. Disjunção

Na disjunção, usamos o seguinte símbolo: . Lê-se: ou.

Dadas duas proposições, p e q , podemos formar a proposição composta, p q (lê-se: p

ou q), cujo valor lógico será verdadeiro sempre que uma das componentes o seja.

Observe a Tabela Verdade de p q : p q p q

V V V V F V F V V F F F

1.4.4. Disjunção Exclusiva

Na disjunção exclusiva, usamos o seguinte símbolo: . Lê-se: ou, ou.

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unidade 1

Denominamos disjunção exclusiva a proposição, p q , cujo valor lógico é apresentado

na tabela abaixo: p q p q

V V F V F V F V V F F F

Note que a proposição composta com disjunção exclusiva é falsa, quando ambas as proposições envolvidas tiverem o mesmo valor lógico.

Exemplo 1.7. Sejam p : Maria é filha de Carla (V) q : Maria é filha de Vânia (V)

Então, p q é (F) (Não pode acontecer ao mesmo tempo).

1.4.5. Condicional

Usamos o seguinte símbolo: . Lê-se: se ... então. Dadas duas proposições, p e q , podemos obter a proposição, p q (lê-se: se p então

q), cujo valor lógico só não é verdadeiro, no caso em que a primeira componente for verdadeira, e a segunda for falsa.

Observe a Tabela Verdade da Condicional:

p q p q

V V V V F F F V V F F V

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Observação. No caso em que a composta p q for verdadeira, dizemos que p é

condição suficiente para que ocorra q , e q é condição necessária para que ocorra p .

1.4.6. Bicondicional

Usamos o seguinte símbolo: . Lê-se: ... se e somente se ... Dadas duas proposições, p e q , podemos obter a proposição, p q (lê-se: p se e

somente se q), cujo valor lógico será verdadeiro, desde que as duas componentes tenham o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas).

Observe a Tabela Verdade da Bicondicional:

p q p q

V V V V F F F V F F F V

Observação. No caso em que a composta p q for verdadeira, dizemos que p é

condição necessária e suficiente para que ocorra q , e q é condição necessária e suficiente

para que ocorra p .

A bicondicional também pode ser escrita como uma conjunção de duas condicionais. Ou seja, p q p q q p ,

onde o símbolo denota equivalência.

Observe a Tabela Verdade de p q q p :

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unidade 1

p q p q q p p q q p

V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V

Observem que podemos obter os valores lógicos de proposições compostas, encontrando os valores lógicos das proposições simples envolvidas e atentando para o valor lógico, ao utilizar cada conectivo.

1.5. Construção de Tabelas Verdades

Penso que, depois de tudo que já foi visto até o momento, podemos perceber que, a partir de várias proposições simples, p , q , r , ... , poderemos combiná-las, por meio dos

conectivos lógicos ~ , , , , , e construir proposições compostas.

Observe um exemplo: , ~P p q p p q

, , ~ ~ ( ~ )R p q r p q r q p r

Para conhecer o valor lógico da proposição resultante, utilizamos as Tabelas Verdades das operações lógicas, conforme realizado anteriormente.

Importante

O número de linhas de uma Tabela Verdade se relaciona com o número n de proposições simples envolvidas e é dado por 2n .

Por meio de convenções, é possível diminuir o número de sinais de agrupamentos (parêntesis), assim como acontece em álgebra, quando 3 4 6 significa 3 4 6 .

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Apresentamos, abaixo, a hierarquia estabelecida para os conectivos: 1. ~ : negação 2. : (e) conjunção; : (ou) disjunção 3. : condicional 4. : bicondicional

Essa é a ordem de prioridades convencionada. Dessa forma, podemos compreender que p q r significa o mesmo que p q r , e não p q r , devido à convenção

estabelecida. Isto é, os conectivos (e) ; (ou) têm precedência sobre (condicional) e (bicondicional).

Vamos verificar se compreendemos o que foi exposto até este momento! Anime-se! Fique atento que tudo é bem tranquilo de ser compreendido.

Elaboremos a Tabela Verdade da proposição abaixo: , : ~P p q p p q p

Note que a proposição ,P p q tem duas proposições simples envolvidas, portanto a

Tabela Verdade terá 22 4 linhas.

p q ~ p ~p p q p ~p p q p

V V F F V V V F F F V V F V V F V V F F V F F V

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unidade 1

Uma vez preenchida a Tabela Verdade podemos concluir que a proposição

, : ~P p q p p q p é sempre verdadeira, independentemente dos valores

lógicos das proposições simples p e q envolvidas.

Atividade 1.1

(1) Apresente a Tabela Verdade das seguintes proposições

(a) , : ~ P p q p q p q p

(b) , , : ~ ~P p q r p r q r

(c) , , : P p q r p q q r p r

Fique atento!

Antes de iniciar, pense quantas linhas serão necessárias na Tabela Verdade, observando o número de proposições simples envolvidas. 1.6. Tautologias, Contradições e Contingências

Definição 1.1. (Tautologia) Denominamos de Tautologia a toda proposição composta cuja última coluna de sua Tabela Verdade encerra somente com a letra V (verdade). As Tautologias são também denominadas por proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras. As tautologias são, por vezes, indicadas pela letra t ou v.

Exercício 1.1. Verifique se entre as Tabelas Verdades, obtidas anteriormente, existe alguma que apresente tautologia. O que isso significa?

Definição 1.2. (Contradição) Denominamos por Contradição a toda proposição composta cuja última coluna da Tabela Verdade figura apenas com a letra F (Falso). As contradições são também denominadas por proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas. As contradições são, por vezes, indicadas pela letra c ou f.

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Definição 1.3. (Contingência) Denominamos por Contingência (ou indeterminada) a toda proposição composta cuja última coluna da Tabela Verdade figura apenas as letras V (Verdadeira) e F (Falsa), cada uma, pelo menos, uma vez. As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas.

1.7. Implicação Lógica

Vamos compreender o significado da implicação lógica. Dizemos que uma proposição , , , ,...P p q r s implica uma proposição , , , ,...Q p q r s , se

, , , ,...Q p q r s é verdadeira, todas as vezes que , , , ,...P p q r s for verdadeira.

De uma maneira mais simples, podemos dizer que uma proposição P implica uma proposição Q , se e somente se, a condicional P Q é uma tautologia.

Notação. P Q .

Atenção!

Observe que os símbolos e são distintos, pois o primeiro se relaciona a uma operação lógica, enquanto que o segundo refere-se a uma relação entre proposições. (Grosseiramente, podemos estabelecer uma associação com a aritmética, com os sinais e . Veja que ‘3 + 4’ representa um número, enquanto que ‘3 < 4’ não representa um número).

1.7.1. Propriedades da implicação lógica

(a) , , , ,... , , , ,...P p q r s Q p q r s (Reflexiva)

(b) , , , ,... , , , ,...P p q r s Q p q r s e , , , ,... , , , ,...Q p q r s R p q r s . Então,

, , , ,... , , , ,...P p q r s R p q r s (Transitiva)

1.8. Equivalência Lógica

Vamos compreender o significado da equivalência lógica.

21

unidade 1

Dizemos que uma proposição , , , ,...P p q r s é equivalente a uma proposição

, , , ,...Q p q r s , se as Tabelas Verdades dessas duas proposições são idênticas. De outra

maneira, podemos dizer que a proposição , , , ,...P p q r s é equivalente à proposição

, , , ,...Q p q r s , isto é,

, , , ,... , , , ,...P p q r s Q p q r s ,

se, e somente se, a bicondicional

, , , ,... , , , ,...P p q r s Q p q r s

é tautológica.

Atenção!

Observe que os símbolos e são distintos, pois o primeiro se relaciona a uma operação lógica, enquanto que o segundo estabelece que a bicondicional é tautológica.

1.8.1. Propriedades da equivalência lógica

(a) , , , ,... , , , ,...P p q r s Q p q r s (Reflexiva)

(b) , , , ,... , , , ,...P p q r s Q p q r s , se, e somente se,

, , , ,... , , , ,...Q p q r s R p q r s (Simétrica)

(c) , , , ,... , , , ,...P p q r s Q p q r s e , , , ,... , , , ,...Q p q r s R p q r s . Então,

, , , ,... , , , ,...P p q r s R p q r s (Transitiva)

1.9. Proposições Associadas a Uma Condicional

Dada uma condicional p q , podemos associar as seguintes condicionais contendo p

e q :

22

Proposição recíproca de p q expressa por q p

Proposição contrária de p q expressa por ~ ~p q

Proposição contrarrecíproca (ou contrapositiva) de p q expressa por ~ ~q p

Vejamos a Tabela Verdade dessas proposições:

p q ~ p ~ q p q q p ~ ~p q ~ ~q p

V V F F V V V V V F V V F V V F F V F F V F F V F F V V V V V V

Observe que a Tabela Verdade da proposição recíproca e contrária bem como da proposição condicional e sua contrarrecíproca são idênticas. Isso nos mostra as seguintes propriedades:

i. A condicional p q e sua contrarrecíproca ~ ~q p são equivalentes, isto é, ~ ~p q q p

Observação. O método de demonstração, reconhecido por “redução ao absurdo”, se baseia na propriedade acima citada.

ii. A recíproca q p e a contrária ~ ~p q da condicional p q são

equivalentes, isto é:

~ ~p q q p

Verifique sua compreensão...!

Atividade 1.2 (1) Determine:

(a) A contrarrecíproca de ~p q

23

unidade 1

(b) A contrarrecíproca de ~ p q

(c) A contrarrecíproca da recíproca de ~p q

(d) A recíproca da contrarrecíproca de ~ ~p q

Exemplo 1.8. Vejamos alguns exemplos que esclarecem os conceitos vistos acima:

1. Seja a condicional relativa a dois ângulos, conforme expresso abaixo. Proposição

p q : Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então, esses ângulos são congruentes.

Recíproca desta proposição

q p : Se dois ângulos são congruentes, então, esses ângulos são opostos pelo vértice.

Observação. A condicional p q é verdadeira, mas sua recíproca não é verdadeira

(isso nos mostra que nem sempre teremos a recíproca de uma proposição verdadeira também verdadeira).

2. Demonstre: (a) Se 2x é ímpar, então, x é impar.

Veja que, muitas vezes, devemos nos lembrar da equivalência que existe entre a condicional e sua contrarrecíproca para facilitar a demonstração. Lembre-se de que, quando existe a equivalência, significa que os valores lógicos são idênticos.

~ ~p q q p

Assim, a contrarrecíproca da condicional: Se 2x é ímpar, então, x é ímpar seria:

Se x é par, então, 2x é par. Vejamos se conseguimos demonstrar com facilidade a contrarrecíproca. Seja x um número par. Então, para um número n , 2x n .

Logo, 22 2x n .

24

Vale lembrar que 2 2 22 4 2 2n n n .

Assim, 2 22 2x n .

Portanto, 2x é par. Dessa forma, consideramos a implicação demonstrada por ‘redução ao absurdo’ que se baseia na demonstração do contrarrecíproco.

1.10. A Negação Conjunta de Duas Proposições

Denomina-se negação conjunta de duas proposições p e q à proposição “não p e não q

”, isto é, ~ ~p q .

A negação conjunta, envolvendo as proposições p e q , é indicada por p q . Assim,

~ ~p q p q

Veja a Tabela Verdade da proposição p q :

p q p q

V V F V F F F V F F F V

1.11. A Negação Disjunta de Duas Proposições

Denomina-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição “não p ou não q ”, isto é, ~ ~p q .

A negação disjunta envolvendo as proposições p e q , tem sido convencionalmente

indicada por p q . Assim,

~ ~p q p q

25

unidade 1

Observe a Tabela Verdade da proposição p q :

p q p q

V V F V F V F V V F F V

Observação. Os símbolos e são conhecidos por conectivos de scheffer.

Agora é com você!

Selecionamos alguns exercícios para você verificar sua aprendizagem. Lembre-se de que você poderá sempre contar com o esclarecimento do seu tutor.

Atividade 1.3 (1) Demonstre, por Tabela Verdade, que os três conectivos ~ , e exprimem-se

em função do conectivo de Scheffer, conforme abaixo: (a) ~ p p p

(b) p q p q p q

(c) p q p p q q

Sugestão: Para isso, você deverá construir a tabela verdade exibindo a equivalência, isso significa mostrar que a bicondicional é tautológica.

(2) Demonstre, por Tabela Verdade que os três conectivos ~ , e exprimem-se em função do conectivo de Scheffer, conforme abaixo: (d) ~ p p q

(e) p q p p q q

(f) p q p q q p

26

Sugestão: Lembre-se, novamente, de que você deverá construir a Tabela Verdade exibindo a equivalência, isso significa mostrar que a bicondicional é tautológica.

1.12. Álgebra das Proposições

Perceba que os conectivos apresentam algumas propriedades de importância fundamental para melhor compreensão da lógica inerente aos processos de demonstração da matemática. Podemos facilmente verificar e constatar a veracidade das propriedades que serão apresentadas, por meio de Tabelas Verdades. Por convenção, as propriedades recebem nomes especiais que devemos conhecer, para que seja possível fazer referência às mesmas sem a necessidade de detalhar repetidas vezes. Percebam que a denominação é bem semelhante a outras já conhecidas, quando abordamos os conjuntos numéricos.

1.12.1. Propriedades

i. Propriedades da conjunção

(a) Idempotente: p p p

(b) Comutativa: p q q p

(c) Associativa: p q r p q r

(d) Identidade: p p t ( t é uma tautologia)

p c c ( c é uma contradição),

onde t é considerado o elemento neutro da conjunção, e c o elemento

absorvente da conjunção. Observação. Mais uma vez, lembramos que ser equivalente significa que os valores lógicos são os mesmos.

27

unidade 1

ii. Propriedades da disjunção

(a) Idempotente: p p p

(b) Comutativa: p q q p

(c) Associativa: p q r p q r

(d) Identidade: p t t ( t é uma tautologia)

p p c ( c é uma contradição),

onde t é considerado o elemento absorvente da disjunção, e c o elemento

neutro da disjunção. Observação. Novamente, alertamos que ser equivalente significa que os valores lógicos são os mesmos.

iii. Propriedades da conjunção e da disjunção

(a) Distributiva p q r p q p r

p q r p q p r

(b) Absorção p p q p

p p q p

(c) Regra de De Morgan ~ ~ ~p q p q

~ ~ ~p q p q

Observação. Note que, pelas regras de De Morgan, a negação transforma a conjunção em disjunção e a disjunção em conjunção.

28

iv. Propriedades da condicional e sua negação

A propriedade é dada por

~p q p q

Verifiquemos, por meio da Tabela Verdade, a equivalência acima:

p q p q ~ p ~ p q

V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V

Observação. (a) Nas colunas em destaque, observa-se que os valores lógicos são

idênticos, isso significa que as proposições são equivalentes. (b) Podemos, então, utilizar das equivalências conhecidas para

compreendermos outras. Exemplo 1.9. Considere a negação da condicional p q , então,

~ ~ ~ ~p q p q p q

Assim,

~ ~p q p q

v. Propriedades da bicondicional e sua negação

A propriedade é dada por

p q p q q p

29

unidade 1

Sugestão. Faça a tabela verdade e verifique a equivalência das propriedades. Lembre-se de que devemos compreender que ser equivalente significa ter o mesmo valor lógico.

vi. Negação da proposição com Quantificador

Importante relembrar que expressões atribuem um senso de quantidade às proposições que recorrem aos Quantificadores, como visto na Seção 1.3.

Observe a negação de Proposições:

Toda pessoa fala francês. Nem toda pessoa fala francês (Negação de 1).

Alguém foi ao parque. Ninguém foi ao parque (Negação de 2).

Alguém foi à diretoria. Ninguém foi à diretoria (Negação de 3).

Temos, então, as equivalências:

~ ( ) ~ ( )

~ ( ) ~ ( )

x A p x x A p x

x A p x x A p x

Observação. Observe como é simples, pois a negação transforma o quantificador universal em quantificador existencial, seguido de negação e vice-versa. Essa equivalência é conhecida como Segunda Regra de De Morgan.

Exemplo 1.10.

(a) ~ , 7 12 / 7 12n n n n

(b) ~ / tg 0 , tg 0x x x x

30

Exercício 1.2. Verifique, por Tabela Verdade, as equivalências: (a) ~ p q c

(b) ~ p p t

Lembre-se de que t e c são proposições com valores lógicos, (V) e (F), ou seja, t (tautologia) e c (contradição).

1.13. Compreendendo o Processo Lógico

Penso que vale ressaltar, neste momento, que Processo Lógico pode ser compreendido como método de raciocínio no qual, a partir da verdade de uma ou mais proposições (denominadas hipóteses), obtemos a verdade de outra, ou outras proposições (denominadas teses). O Processo Lógico de raciocínio pode ser classificado em indutivo, ou dedutivo.

Método indutivo – Parte de hipóteses particulares para chegar a teses mais gerais, ou seja, partindo do específico, chega-se ao geral. Vale atentar que, embora este método muitas vezes tenha sido considerado de muito valor para as ciências experimentais, o mesmo não é recomendável ou validado para a Matemática. Ou seja, não basta verificar que certa afirmação é valida, para um caso particular, para se considerar verdadeira. Por exemplo: Saber que Maria e Pedro foram reprovados em Geografia não será suficiente para afirmar que todos da turma foram reprovados em Geografia.

Método Dedutivo – Parte de hipóteses em que, pelo menos, uma é geral para se chegar a teses particulares. Por exemplo: Sabendo-se que todos os supermercados aumentaram o preço do café, é suficiente para afirmar que o Carrefour aumentou o preço do café.

31

unidade 1

1.14. Classificação das Proposições

Importante!!

Para provarmos a verdade de uma proposição denominada tese, pelo processo lógico

dedutivo, existe a necessidade de conhecermos proposições verdadeiras para considerarmos como hipóteses.

As proposições podem ser assim classificadas:

1. Definições. São proposições nas quais são convencionados significados de elementos ou termos.

2. Postulados (ou Axioma). São proposições nas quais são convencionadas

propriedades de elementos ou termos definidos. Geralmente, são propriedades óbvias e, portanto, a verdade dos postulados, assim como as definições, é aceita sem demonstração.

3. Teorema. São proposições que estabelecem propriedades dos elementos ou termos, e as verdades exigem demonstrações.

4. Corolário. Apresenta-se como um teorema advindo de uma consequência imediata de outro teorema.

5. Lema. Apresenta-se como um teorema que precede um teorema de alto grau de importância e que lhe servirá para sua demonstração.

Note que, até este ponto, temos verificado as implicações e equivalências, por meio de elaboração de Tabelas Verdades. Passaremos a demonstrar as implicações e equivalências das proposições, valendo-nos do método dedutivo, a partir da álgebra das proposições. Para tal, será importante estarmos atentos às propriedades apresentadas anteriormente e que reapresentamos, a seguir.

32

Propriedades da Conjunção,

(a) Idempotente : p p p

(b) Comutativa : p q q p

(c) Associativa : p q r p q r

(d) Identidade : p p t ( t é uma tautologia) p c c ( c é uma contradição)

Propriedades da Disjunção,

(a) Idempotente : p p p

(b) Comutativa : p q q p

(c) Associativa : p q r p q r

(d) Identidade : p t t ( t é uma tautologia) p p c ( c é uma contradição)

Propriedades da Conjunção e da Disjunção

(a) Distributiva : p q r p q p r

p q r p q p r (b) Absorção : p p q p

p p q p (c) Leis de De Morgan : ~ ~ ~p q p q

~ ~ ~p q p q

Equivalências notáveis da Condicional e sua negação

(a) ~p q p q (b) ~ ~p q p q

Equivalências notáveis da Bicondicional e sua negação

(a) ~ ~p q p q q p p q q p (b) ~ ~ ~ ~ ~p q p q q p p q q p

Equivalências notáveis complementares

(a) ~ p p c (b) ~ p p t

33

unidade 1

Exercício 1.3. Vamos testar a compreensão? Com apoio da álgebra das proposições, demonstremos, pelo método dedutivo, as implicações que se seguem, observando que muitas recebem nomes especiais que servem de referência. (a)

i. pc Perceba que, partindo de propriedades e equivalências conhecidas, devemos demonstrar a validade da implicação pc . Para tanto, devemos mostrar que

a condicional pc é tautológica. Assim, teremos: ~ p p p c c t t

ii. p t Perceba que, partindo de propriedades e equivalências conhecidas, devemos demonstrar a validade da implicação p t . Para tanto, devemos mostrar que

a condicional p t é tautológica. Assim, teremos:

~ p p t t t

(b) p q p (Simplificação)

O que é necessário para se demonstrar uma implicação? Claro! Devemos demonstrar que a condicional é tautológica. Assim, teremos:

~~ ~~ ~

~

p q p p q pp q p

q p pq

tt

De maneira semelhante, podemos demonstrar que p q q

(c) p p q (Adição)

Novamente, lembre que será necessário provar que a condicional p p q é

tautológica. Assim, teremos:

34

~~

p p q p p qp p q

q

tt

(d) p q p q (Modus ponens)

Perceba que é importante lembrar o que significa demonstrar uma implicação lógica. Isso mesmo... Significa que devemos demonstrar que a condicional associada é tautológica. Lembre que uma proposição P implica uma proposição Q , se, e somente se, a

condicional P Q é uma tautologia. Assim,

~ ~

~ ~ ~~ ~ ~

p q p q p q p q p p q p q

q p q q p q

q p q q p qq q p p

c

tt

(e) ~ ~p q q p (Modus tollens)

Novamente, será importante pensar, antes de iniciar a demonstração, o que devemos fazer. O que significa demonstrar uma implicação lógica? Isso mesmo... Significa que devemos mostrar que a condicional associada é tautológica e, para isso, vamos utilizar as propriedades conhecidas anteriormente. Vamos começar?

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~

~

p q q p p q q p p q q q p

p q p p q pp q p p q p

p p q q

c

tt

35

unidade 1

Exercício 1.4. Continuando a verificar a nossa compreensão, com apoio da álgebra das proposições, vamos demonstrar as equivalências que se seguem: (a) ~p q p q c

Lembremos que duas proposições são equivalentes, quando possuem o mesmo valor lógico. Assim, para demonstrar as equivalências, devemos partir de uma delas e com equivalências válidas e conhecidas chegar à outra. Uma dica que penso ser interessante divulgar é que sempre parece facilitar a demonstração, quando partimos das maiores. Vejamos, então:

~ ~ ~ ~ ~ ~p q p q p q p q p q c c

Vale a pena tentar identificar a propriedade ou equivalência notável que garantiu cada passagem da demonstração. Faça isso... Você passará a compreender ainda mais...

(b) p q p q q Novamente, vamos pensar: O que devemos fazer para demonstrar uma equivalência lógica? Isso mesmo... Devemos mostrar que as proposições possuem o mesmo valor lógico. Portanto, partindo de uma delas, e lançando mão de equivalências conhecidas (por serem propriedades ou já demonstradas), chegamos à outra. Comecemos por

~ ~ ~ ~ ~

~ ~

p q q p q q p q q p q q q

p q p q p q

t

Tente identificar a propriedade ou equivalência notável que garantiu cada passagem.

36

(c) ~ ~p q p q p

Devemos mostrar que as proposições possuem o mesmo valor lógico. Portanto, partindo de uma delas, e lançando mão de equivalências conhecidas (por serem propriedades ou já demonstradas), chegamos à outra.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~p q p q p q p q p q q p p c

(d) p q r p q r

Por onde começar? Devemos mostrar que as proposições possuem o mesmo valor lógico.

~ ~ ~ ~ ~

~

p q r p q r p q r p q r

p q r p q r

(e) ~ p p p

Com efeito, ~ ~ ~p p p p p

Nem tudo que parece complicado o é... Não acha? Sempre que preciso, recorra às propriedades e equivalências notáveis apresentadas anteriormente.

1.15. Tipos de Demonstração

Vamos conversar um pouco sobre os tipos de demonstração. Como já devem ter observado, e citamos anteriormente neste texto, a Matemática exige que suas proposições sejam demonstradas, exceto aquelas denominadas definições ou postulados. Assim, vamos apresentar, ou talvez apenas recordar, os Tipos de Demonstrações mais utilizadas:

37

unidade 1

Demonstração pelo método dito ‘DIRETO’: Partindo de uma ou mais afirmações verdadeiras – denominadas ‘hipóteses’ – por meio de uma sequência de afirmações verdadeiras (por serem definições ou teoremas já demonstrados), chega- se ao que se deseja demonstrar, que é denominado de ‘tese’.

Demonstração pelo método dito ‘INDIRETO’ ou, também, denominado ‘Por Absurdo’. Esta demonstração se apoia na equivalência entre uma condicional e sua contrarrecíproca. Assim, partindo da negação da tese, por meio de uma sequência de afirmações verdadeiras, chega-se à negação da hipótese. Como a hipótese é o que temos de verdade, diz-se que é um ABSURDO!

CONTRAEXEMPLO Utilizamos um contraexemplo, quando queremos mostrar que uma proposição é falsa. Ou seja, a apresentação de um caso que contempla nossa proposição não é suficiente para garantir a validade da mesma. Porém, se conseguimos exibir um contraexemplo é suficiente para dizer que a proposição é falsa.

Vejamos alguma situação que ilustre este fato, ou seja, vamos demonstrar a falsidade das proposições, exibindo um contraexemplo:

Exemplo 1.11.

(a) 0x x

Ora, sabemos que a afirmação acima é falsa, pois nem todos os números reais têm módulo diferente de zero. Temos que 0 0 é um contraexemplo.

(b) 2 2 2 4x x x

38

Ora, sabemos que a afirmação é falsa e para demonstrar basta exibir um contraexemplo. O número 2 seria um contraexemplo, pois

2 22 2 16 2 4 8 .

(c) 2 x x x

1/ 3 seria um contraexemplo, pois 21/ 3 1/ 9 1/ 3 .

Agora, é hora de exercitar e tentar compreender toda a lógica por trás da Matemática.

unidade

39

Unidade II

Conjuntos

Objetivos

Estabelecer relações de igualdade, pertinência e inclusão entre conjuntos. Reconhecer os conjuntos unitários e vazios. Realizar as operações entre conjuntos. Aplicar as propriedades de operações entre conjuntos.

unidade 2

41

unidade 2

2.1. Conceitos Primitivos e Básicos

A teoria de conjunto é a base da análise matemática, tal como a conhecemos atualmente, e existe todo um campo que se ocupa de fundamentá-la. Por isso, não insistiremos muito em formalizar o conceito de conjunto, e, sim, as operações que neles poderiam realizar-se. Acredita-se que a teoria moderna dos conjuntos foi criada pelo matemático Georg Cantor (1845-1918), que notou a necessidade de tal teoria, quando estudava séries trigonométricas.

Georg Cantor

Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são considerados conceitos primitivos, isto é, não precisa preocupar-se com a definição de cada um deles.

A construção da teoria de conjuntos tem como ponto de partida: os conceitos primitivos, as definições de inclusão e igualdade de conjuntos.

2.1.1 Conjunto Um conjunto é uma coleção de objetos definidos de forma precisa.

Exemplo 2.1.

(a) O conjunto de pessoas que assistem a um clássico de futebol no estádio Maracanã.

(b) O conjunto de frutas da fruteira de minha casa. (c) O conjunto de planetas de nosso sistema planetário solar. (d) O conjunto dos Números Naturais ( ). (e) O conjunto dos Números Inteiros ( ). (f) O conjunto dos Números Racionais ( ).

(g) O conjunto dos Números Reais ( ). (h) O conjunto dos Números Complexos ( ). (i) A coleção de todos os bons jogadores de futebol de salão do CEPEUSP. Não é

um exemplo de conjunto, pois, não está definida a palavra: “bons”.

42

Observação. Costuma-se usar letras maiúsculas para designar um conjunto.

2.1.2 Elemento

Cada objeto de uma coleção que determina um conjunto é chamado de elemento de um

conjunto.

Exemplo 2.2.

(a) Seja laranja, pera, banana, uva, maçãA , o conjunto de algumas frutas. Os

elementos deste conjunto são: laranja, pera, banana, uva e maçã. (b) Seja o conjunto dos números naturais. Os elementos deste conjunto são:

0,1,2,3,

2.1.3 Pertinência

Um elemento x de um conjunto A é denotado por

x A (1)

e lê-se: x pertence a A . Quando x não é um elemento de A , denotamos x A .

Observação. Quando os elementos x de A satisfazem certa propriedade, ( )P x ,

expressamos o conjunto A , como

: ( )A x P x (2)

Lê-se: “O conjunto A está formado por todos os elementos x , tal que x satisfaz ( )P x ”.

Exemplo 2.3.

(a) Seja : 2 1, A n n k k . Então, 1 A , 3 A , 5 A e 6 A .

(b) O conjunto de todos os planetas do Sistema Planetário Solar. Este conjunto pode ser expresso do modo seguinte:

: é um planeta do Sistema Planetário SolarT x x

Seja 1x = terra, 2x = saturno, 3x = júpiter. Então, 1 2 3, ,x x x T .

43

unidade 2

2.1.4 Diagrama de Venn-Euler

Em algumas ocasiões, é muito útil representar conjuntos mediante diagramas, chamados diagramas de Venn-Euler. Estes são curvas fechadas não entrelaçadas como, por exemplo, circunferências, quadrados, retângulos etc. Na Figura 2.1, representamos os conjuntos A , B , e C , nos diagramas de Venn-Euler.

Figura 2.1. Diagramas de Venn-Euler.

Definição 2.1. (Conjunto Vazio) Um conjunto que não tem elementos é chamado de Conjunto Vazio e se denota pelo símbolo .

Exemplo 2.4. O conjunto de números racionais cujo quadrado seja 2 , isto é,

2: 2r r 2: 2 2 2: 2 : 22: 22 2: 22r r r r: 2r r: 2 : 2r r: 2

Definição 2.2. (Conjunto Unitário) Um conjunto com um único elemento é chamado Conjunto Unitário.

Exemplo 2.5. O conjunto das soluções reais não negativas que satisfazem a equação

42 64x é unitário.

Com efeito, de 4 42 2x , temos que 4 42 2 0x ou, equivalentemente,

4 2 2 24 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0x x x x x x Assim, 0x , 4x , 2 2x i e 2 2x i . Se denotarmos por

44

4 4: 2 2 , 0A x x x A x x xA x x x: 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0: 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0: 2 2 , 0: 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0: 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0A x x x A x x x: 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0 : 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0: 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0 : 2 2 , 0A x x x: 2 2 , 0 o conjunto em questão, teríamos que 0A , o qual é

unitário.

Definição 2.3. (Conjuntos Disjuntos) Dois conjuntos A e B se dizem disjuntos, se não têm elementos em comum. Em diagrama de Venn-Euler (Figura 2.2), é apresentada a disjunção de dois conjuntos A e B .

Figura 2.2. Conjuntos disjuntos.

Exemplo 2.6. Se A é o conjunto de salários de um representante da câmara de deputados do Congresso Nacional do Brasil durante um ano, e B é o conjunto de salários mínimos de um trabalhador do Brasil durante um ano, estes conjuntos são disjuntos.

Definição 2.4. (Inclusão de Conjuntos) Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que B está contido em A (ou B é subconjunto de A ), se todo elemento de B é elemento de A . Em notação simbólica

, B A x x B x A (3)

A inclusão B A , em diagrama de Venn-Euler, é apresentada na Figura 2.3.

Figura 2.3. Inclusão de conjuntos: B A .

45

unidade 2

Observação. 1. Em vez de escrever B A , podemos escrever A B (lê-se: A contém a B ). 2. Quando um conjunto B não está contido em A , podemos escrever,

simbolicamente, por B A . Mais precisamente,

, B A x x B x A (4)

3. Se A é um conjunto, então, o conjunto A , isto é, o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. Mais formalmente, será demonstrado na Proposição 2.1a.

4. A relação A A expressa que “todo conjunto é subconjunto de si mesmo”. Para mais detalhes, veja Proposição 2.1b.

5. Conjunto Universal. O conjunto universal denotado por U é o “maior” conjunto que contém todos os outros conjuntos que participam em um determinado problema sobre conjuntos.

Exemplo 2.7.

(a) Seja 2,4,6,8,10A e 4,6B . Então, B A .

(b) Seja 3 2: 2 3 0A x x x x . Verifique que 2: 1, 0B x x x é

um subconjunto de A .

Com efeito, de equação 3 22 3 0x x x , temos que 2 2 3 0x x x , ou

equivalentemente, 3 1 0x x x . De aqui, 3,0,1A . Por outro lado, de

B , temos que 1x e 0x . Assim, 1B . Desse modo, B A .

(c) . De fato, existe o 1 , tal que 1 e 1 .

Definição 2.5. (Igualdade de Conjuntos) Dois conjuntos A e B são iguais, se todo elemento de A é elemento de B , e todo elemento de B é elemento de A . Em notação simbólica

, A B x x A x B (5)

46

Observação. Como consequência dessa definição, pode-se definir quando dois conjuntos A e B são diferentes, denotando-lhes por A B , e dados por

, , A B x x A x B x x B x A (6)

Exemplo 2.8.

(a) Seja 1: 0, 0A x x xx

e 1,1B . Então, A B .

(b) Seja : é vogal da palavra coraçãoC x x e : é vogal da palavra amorA x x .

Então, A C .

(c) Seja 2: 2 0A x x x e 2: 2 0B x x x . Logo, A B . De

fato, 1, 2A e 1,2B .

Definição 2.6. (Subconjunto Próprio) Dizemos que B é um subconjunto próprio de A , se B A e B A .

Exemplo 2.9. Num trem da CPTM de São Paulo, considere o conjunto B como sendo os passageiros que viajam num vagão do trem, e A o conjunto de pessoas no trem. Então, B é um subconjunto próprio de A .

Proposição 2.1. (Propriedades da Inclusão) Sejam , ,A B C conjuntos arbitrários. Então,

(a) A

(b) A A (Reflexividade)

(c) A B B A A B (Antissimetria)

(d) B A A C B A (Transitividade)

Prova. (a) Suponha que A , então, pela Eq. (4) , x x x A . Como o conjunto não tem elementos, então, x , o qual é uma contradição. Portanto, A . (b) – (d) deixa-se para o aluno.

47

unidade 2

Observação. Como consequência dessa definição, pode-se definir quando dois conjuntos A e B são diferentes, denotando-lhes por A B , e dados por

, , A B x x A x B x x B x A (6)

Exemplo 2.8.

(a) Seja 1: 0, 0A x x xx

e 1,1B . Então, A B .

(b) Seja : é vogal da palavra coraçãoC x x e : é vogal da palavra amorA x x .

Então, A C .

(c) Seja 2: 2 0A x x x e 2: 2 0B x x x . Logo, A B . De

fato, 1, 2A e 1,2B .

Definição 2.6. (Subconjunto Próprio) Dizemos que B é um subconjunto próprio de A , se B A e B A .

Exemplo 2.9. Num trem da CPTM de São Paulo, considere o conjunto B como sendo os passageiros que viajam num vagão do trem, e A o conjunto de pessoas no trem. Então, B é um subconjunto próprio de A .

Proposição 2.1. (Propriedades da Inclusão) Sejam , ,A B C conjuntos arbitrários. Então,

(a) A

(b) A A (Reflexividade)

(c) A B B A A B (Antissimetria)

(d) B A A C B A (Transitividade)

Prova. (a) Suponha que A , então, pela Eq. (4) , x x x A . Como o conjunto não tem elementos, então, x , o qual é uma contradição. Portanto, A . (b) – (d) deixa-se para o aluno.

Observação. Muitas das vezes, quando queremos demonstrar a igualdade de dois conjuntos, usamos a Proposição 2.1c, em vez da Definição 2.5.

Atividade 2.1

(1) Sejam 4 3 2: 10 35 50 24 0A x x x x x e 2: 6 8 0B x x x .

Classifique as seguintes expressões como sendo verdadeira ou falsa: (a) B A (b) B A (c) A (d) B (e) : 2 , 1,2x x n n B (f) A

(g) 1, 2 A (h) 1,2 1,2,3 e 1,2,3 A ,

então, 1,2,3 A

(i) 0 A (j) 2,4 B

(2) Sejam , ,A

alfa, beta, gamaB

: são as primeiras três letras do alfabeto gregoC x x

Quais das seguintes expressões são verdadeiras ou falsas. (a) A B C (b) B C e B A (c) A C e B C (d) A

(3) Determine quais conjuntos são unitários ou vazios.

(a) 2: 1 0x x (b) : são deuses do Cristianismox x

(c) : 1 0n n (d) : são galáxias de nosso sistema planetário solarx x

48

(4) Explicar e citar um exemplo da seguinte expressão: “Todos os conjuntos disjuntos são diferentes, porém existem conjuntos diferentes que não são disjuntos”.

2.2. Operações com Conjuntos

As operações básicas, em Teoria de Conjuntos, são: a reunião, interseção e diferença de conjuntos.

Definição 2.7. (Reunião de Conjuntos) Sejam A e B dois conjuntos. Define-se a reunião de A e B (denote-se A B e lê-se “ A reunião B ”) a todos os elementos que pertencem a A ou a B . Simbolicamente,

: A B x x A x B (7)

A reunião de conjuntos aparece nos seguintes casos: conjuntos disjuntos, inclusão de conjuntos, e elementos comuns entre conjuntos. Na Figura 2.4, apresentamos esses casos com diagramas de Venn-Euler.

(a) (b) (c)

Figura 2.4. Reunião de conjuntos. (a) Disjuntos. (b) Inclusão. (c) Elementos comuns.

Notação. A reunião infinita de conjuntos denota-se por 1 2 3: ...nn

A A A A

1 2 3: ...1 2 3: ...1 2 3nn

A A A A: ...A A A A: ...

A A A A A A A A: ...A A A A: ... : ...A A A A: ...1 2 3: ...1 2 3A A A A1 2 3: ...1 2 3 1 2 3: ...1 2 3A A A A1 2 3: ...1 2 3 , veja

BARTLE (2000).

Exemplo 2.10.

(a) Seja 1,0,1A e 2,2,4B . Então, 2, 1,0,1,2,4A B .

49

unidade 2

(b) Seja : 0A p p : 0A p p: 0A p p: 0: 0 : 0A p p A p p: 0A p p: 0 : 0A p p: 0 e : 0B p p : 0B p p: 0B p p: 0: 0 : 0B p p B p p: 0B p p: 0 : 0B p p: 0 . Então, A B .

(c) Seja : 5 10A p p : 5 10A p p: 5 10A p p: 5 10: 5 10 : 5 10A p p A p p: 5 10A p p: 5 10 : 5 10A p p: 5 10 e : 10 5B p p : 10 5B p p: 10 5B p p: 10 5B p p B p p: 10 5B p p: 10 5 : 10 5B p p: 10 5 . Então,

: 10 10A B p p A B p p: 10 10A B p p: 10 10A B p p A B p p: 10 10A B p p: 10 10 : 10 10A B p p: 10 10 .

Definição 2.8. (Interseção de Conjuntos) Sejam A e B dois conjuntos. Define-se a interseção de A e B (denote-se A B e lê-se “ A interseção B ”) a todos os elementos que pertencem a A e a B . Simbolicamente,

: A B x x A x B (8)

A interseção de conjuntos aparece nos seguintes casos: conjuntos disjuntos, inclusão de conjuntos, e elementos comuns entre conjuntos. Na Figura 2.5, apresentamos esses casos com diagramas de Venn-Euler.

(a) (b) (c)

Figura 2.5. Interseção de conjuntos. (a) Disjuntos. (b) Inclusão. (c) Elementos comuns. Observe que, na Figura 2.5(a), a interseção é vazia. Notação. A interseção infinita de conjuntos denota-se por 1 2 3: ...n

n

A A A A

1 2 3: ...1 2 3: ...1 2 3nn

A A A A: ...A A A A: ...

A A A A A A A A: ...A A A A: ... : ...A A A A: ...1 2 3: ...1 2 3A A A A1 2 3: ...1 2 3 1 2 3: ...1 2 3A A A A1 2 3: ...1 2 3

Exemplo 2.11. (a) Seja : 2 , A p p n n A p p n n: 2 , A p p n n: 2 , A p p n n A p p n n: 2 , A p p n n: 2 , : 2 , A p p n n: 2 , e : 2 1, B p p n n : 2 1, B p p n n: 2 1, B p p n n: 2 1, B p p n n B p p n n: 2 1, B p p n n: 2 1, : 2 1, B p p n n: 2 1, . Então,

A B .

50

(b) Seja A e B . Então, A B .

(c) , , ,A , , , , ,B . Então, ,A B .

Definição 2.9. (Diferença de Conjuntos) Sejam A e B dois conjuntos. A diferença entre A e B , denota-se A B ou \A B , é o conjunto formado por todos os elementos de A que não pertencem a B .

Simbolicamente,

: A B x x A x B (9)

A diferença entre conjuntos aparece nos seguintes casos: conjuntos disjuntos, inclusão de conjuntos, e elementos comuns entre conjuntos. Na Figura 2.6, apresentamos esses casos com diagramas de Venn-Euler.

(a) (b) (c)

Figura 2.6. Diferença de conjuntos. (a) Disjuntos. (b) Inclusão. (c) Elementos comuns.

Definição 2.10. (Complementar de um Conjunto) Sejam A e B conjuntos. O complementar de B em relação a A , denote-se cB , é o conjunto A B . Simbolicamente,

cB A B (10)

Observação. c x B x A B x A x B . Então,

c x B x B (11)

51

unidade 2

Definição 2.11. (Diferença Simétrica) Sejam A e B conjuntos. A diferença simétrica de A e B , denota-se A B , é o conjunto formado por elementos que pertencem ou A ou a B , mas não pertencem a ambos os conjuntos, simultaneamente. Simbolicamente,

A B A B B A (12)

ou, ainda,

A B A B A B (13)

Figura 2.7. Diferença simétrica de A e B .

2.3. Propriedades das Operações com Conjuntos

Teorema 2.1 (Propriedades de Reunião e Interseção) Sejam A , B , C subconjuntos

próprios de U . Então,

(a) Elemento Neutro

A A

A U A (b) Idempotência

A A A

A A A (c) Comutatividade

A B B A A B B A

52

(d) Associatividade

A B C A B C

A B C A B C

(e) Distributividade

A B C A B A C

A B C A B A C

Prova.

(a)

i. A A . Com efeito, x A x A x . Como o conjunto vazio

não possui elementos, então, temos unicamente x A .

ii. A U A . Com efeito, se x A U , então, x A e x U . Por outro lado, se

x A e, por hipótese, temos que A U , então, x U . Assim, x A U .

(b) – (e) Deixa-se para o aluno. (f)

i. A B C A B A C . Com efeito,

,

,

,

,

,

x A B C x A x B C

x A x B x C

x A x B x A x C

x A B x A C

x A B A C

Desse modo, A B C A B A C .

ii. A B C A B A C . Deixa-se para o leitor. ∎

53

unidade 2

Teorema 2.2 (Teorema de De Morgan) Sejam A e B conjuntos. Então,

(a) c c cA B A B

(b) c c cA B A B

Prova. (a) De Eq. (11),

c

c c

c c

,

,,,

x A B x A Bx A xx A

B

x A

x B

B

Logo, c c cA B A B .

(b) Deixa-se para o aluno. ∎

Teorema 2.3 (Propriedades do Complementar) Sejam A , B e U conjuntos. Então,

(a) ccA A

(b) c U cU

(c) cA A U cA A

(d) c c A B B A Prova.

(a) cc cx A x A x A . Então, ccA A .

(b) (i) c U . Com efeito, cx x . Então, x K para algum conjunto K , K U . Assim, x U .

(ii) cU . Segue imediatamente depois de aplicar o complementar na parte (i). (c) e (d) Deixa-se para o leitor. ∎

54

2.4. Conjunto das Partes

O conjunto das partes de um conjunto é aquele cujos elementos são conjuntos. Esse conjunto é também chamado de Conjunto Potência.

Definição 2.12. (Conjunto das Partes) Seja A um conjunto. O conjunto das partes de

A , denotado por AP , é aquele formado por todos os subconjuntos de A .

Simbolicamente,

:A X X A P (14)

Observação. Os elementos de AP são conjuntos. Para dizer que um elemento X está

em AP , usamos X AP , e não X A P .

Note que os conjuntos e A são elementos de AP .

Exemplo 2.12. Seja 1 2 3, ,A a a a . Então,

1 2 3 1 2 1 3 2 3, ,{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , }A A a a a a a a a a a P .

No exemplo anterior, podemos escrever, por exemplo, 1 2{ , }a a AP ou

1 2{ , }a a A P . Assim, como também: 1 1 3,{ },{ , }a a a A P ou

1 1 3,{ },{ , }a a a A P .

Definição 2.13. (Cardinal de um Conjunto) Seja A um conjunto finito1. O cardinal de

A , denotado por A , é o número de elementos de A .

1 Informalmente um conjunto é finito quando se podem contar seus elementos.

55

unidade 2

Exemplo 2.13. Verifique que A B A B A B . Com efeito, seja 1 2, ,..., nA a a a e

1 2, ,..., mB b b b . Suponha que , 1,...,k kb a k j j l , onde l n j e 1 k n m .

Assim,

1 1

1 1 1

1 1 1

,..., , ,...,

,..., , ,..., ,..., ,...,

,..., , ,..., , ,...,

n m

n j j l m

n j j l m

A B a a b b

a a b a a b

a a b b b b

e

1,...,j j lA B a a

Logo, A B n m l , A B l , A n , B m . Desse modo,

A B A B A B .

Teorema 2.4 Se A n , então, 2nA P , onde n é um número natural não nulo.

Prova. Uma ideia da prova deste teorema pode ser encontrada no Capítulo 3, Atividade 3.2(3). ∎

Exemplo 2.14. Seja 2: 1 0A x x . Então 4A P . De fato, 1,1A , então,

2A . Assim, 22 4A P , onde , ,{ 1},{1}A A P .

Atividade 2.2

(1) Encontre c cS V W T , onde o conjunto universal 1,2,3,4,5,6,7 ,U

e 2,4,5 , 3,5,7 , 2,3,4,5,7 , 1,2,3,4,6S T V W .

(2) Demonstre que

A B A B A B

56

(3) Mostre que se A , B e C são conjuntos, então,

A B C A B C A B A C B C A B C

(4) Defina-se o seguinte conjunto: 1 :nC n m m , para cada n . Determine

(a) 1 2C C (b) nn

C

(c) nn

C

(5) Prove que

A B C A B A C

(6) Sejam A e B dois conjuntos arbitrários. Demonstre, caso seja possível,

(a) A B A B P P P (b) A B A B P P P

(7) Um intervalo fechado é definido por , :a b x a x b . Encontre 10,n n

.

(8) Prove, para quaisquer conjuntos R , S e T ,

R S T R S R T

unidade

57

Unidade III

Relações

Objetivos

Descrever relações e possibilidades de associação entre grandezas, advindas de diferentes contextos.

unidade 3

59

unidade 3

3.1. Introdução

Na Matemática, bem como em outras ciências, muitas vezes, estabelecemos relações entre conjuntos. Comumente, estamos estabelecendo relações entre grandezas variáveis. Vale lembrar que a relação ocorre quando emparelhamos elementos entre dois conjuntos. Por exemplo, poderíamos pensar na relação que associa o conjunto de funcionários de uma universidade pública e o conjunto dos diferentes salários do funcionalismo público. Ou, ainda, poderíamos estabelecer uma relação entre os funcionários, que ocupam cargos de chefia de uma dada empresa, e o número de reuniões agendadas para um determinado mês. Perceba que cada funcionário que ocupa cargo de chefia poderia ter participado em mais de uma reunião agendada para um determinado mês, ou, quem sabe, não ter participado de reunião alguma. No primeiro exemplo, temos que, em geral, a cada funcionário público, relacionamos um único e determinado salário. Veremos, mais adiante, que relações com esta particularidade são especiais e recebem denominação especial. Para facilitar a visualização, as relações podem ser expressas em tabelas ou gráficos. Como exemplo de uma relação, a Tabela 1 mostra as tarifas praticadas pelo correio brasileiro para o envio de carta não comercial e cartão postal.

Tabela 1. Tarifas de envio para carta não comercial e cartão postal.

60

Note que a tabela, com clareza, nos apresenta uma relação entre o peso da correspondência a ser enviada e o valor a pagar.

Observando a tabela, podemos responder a perguntas como as relacionadas, a seguir:

a) Qual o valor a ser pago por uma carta que “pesa” 73 g? b) Qual o “peso” máximo de uma carta para que sua tarifa não ultrapasse R$ 1,00? c) É possível que duas cartas com tarifas diferentes tenham o mesmo “peso”?

Vale notar que, nessa relação, o “peso” da carta é a variável independente, e a tarifa, a variável dependente. Você pode notar que a cada “peso” de carta a ser enviada corresponde uma única tarifa. A tarifa depende do peso da carta.

Como outra situação que caracteriza uma relação, poderíamos estabelecer uma associação entre os pontos de uma reta e os números reais, de tal modo que, a cada ponto da reta, associamos exatamente um número real.

Os pontos de uma reta podem ser postos em correspondência biunívoca com os números reais, ou seja:

i. A cada ponto da reta corresponde exatamente um número real. ii. A cada número real corresponde exatamente um ponto da reta.

Interessante observar que a distância entre dois pontos quaisquer da reta poderá ser encontrada pelo valor absoluto da diferença dos números reais a eles associados.

Comumente, essa afirmação tem sido denominada de Postulado da Régua e, assim, o postulado da Régua nos fornece uma régua infinita (imaginária) que pode ser colocada em qualquer reta e que pode ser utilizada para medir a distância entre dois pontos quaisquer.

Para definir um sistema de coordenadas na reta, escolhe-se um dos seus pontos como a origem do sistema. A esse ponto, geralmente denominado pela letra 0 , associamos o número zero, que será a sua coordenada. Então, fixa-se uma unidade de medida, por exemplo, centímetros, e a coordenada de cada ponto p da reta será determinada pela medida do segmento 0 p , ou seja, desde a origem até o ponto: 1 0x p centímetros.

61

unidade 3

Se, conforme a Figura 1, o ponto d está à direita da origem, sua coordenada será 0d e, portanto, positiva. Por outro lado, se o ponto e está à esquerda de 0 , sua coordenada será dada por 0e , sendo negativa.

Figura 1. Pontos na reta.

Para representarmos a localização de um ponto no plano, temos a necessidade de duas referências, ou seja, um par de números. Vale lembrar que o plano tem duas dimensões.

Assim, criou-se um sistema que possibilitasse a localização de pontos no plano, utilizando duas retas numeradas como referência.

Esse sistema é denominado de Sistema de Coordenadas Cartesianas, veja Figura 2, em homenagem ao matemático e filósofo francês, René Descartes.

Trata-se de um sistema que utiliza retas numeradas que se interceptam perpendicularmente na origem de cada uma (ou seja, no ponto associado ao zero). Assim, um par de números representaria a posição de um ponto no plano.

Figura 2. Sistema de coordenadas cartesianas.

62

A reta horizontal, com a direção positiva para a direita, é denominada eixo x ou eixo das abscissas. A outra reta vertical, com a direção positiva para cima, é chamada eixo y , ou

eixo das ordenadas. Note que o plano com o sistema de eixos fica dividido em quatro regiões, denominadas quadrantes, indicados na Figura 3, pelas letras romanas I , II , III e IV .

Figura 3. Quadrantes no Sistema de coordenadas cartesianas.

3.2. Par Ordenado e Produto Cartesiano

Primeiro, vale a pena lembrar o conceito de par ordenado.

3.2.1. Par ordenado

Denominamos de par qualquer conjunto de dois elementos, e par ordenado ao conjunto de dois elementos em que a ordem dos mesmos é importante, ou seja, em geral, a ordem os diferencia. Indicamos um par ordenado utilizando parêntesis.

Igualdade de pares ordenados

Dois pares ordenados são iguais, se, e somente se, os seus primeiros e segundo elementos são iguais, respectivamente. Isto é,

, , a b c d a c b d (3.1)

63

unidade 3

Assim, cada ponto P do plano fica associado a um par de números ,x y , que são as

coordenadas desse ponto. O número x mede a distância orientada do ponto P ao eixo y e é chamado abscissa desse ponto, e o número y mede a distância orientada do ponto

P ao eixo x e é a sua ordenada. Se P tem coordenadas x e y , é denotado por ,P x y ,

veja Figura 4. Diz-se que as coordenadas de um ponto formam um par ordenado de números reais.

Figura 3. Um ponto P de coordenadas x e y .

Importante lembrar que a ordem na qual as coordenadas são escritas é importante. Por exemplo, o ponto de coordenadas 1,2 é diferente do ponto de coordenadas 2,1 .

Portanto, todo ponto P do plano pode ser relacionado a um par ordenado de números reais e, reciprocamente, todo par ordenado de números reais ,x y se relaciona a um

único ponto do plano. Então, há uma correspondência biunívoca entre os pares ordenados de números reais e os pontos do plano. Uma correspondência desse tipo se denomina sistema de coordenadas no plano.

O plano, munido desse sistema de coordenadas, geralmente é chamado plano

coordenado, ou plano cartesiano, é denotado pelo símbolo 22 , e trata-se do conjunto formado por todos os pares ordenados de números reais.

64

3.2.2. Produto Cartesiano

Denomina-se produto cartesiano de um conjunto não vazio A por um conjunto não vazio B ao conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados ,a b , em que o

primeiro elemento a pertence ao conjunto A , e o segundo elemento b pertence a B . Denota-se por A B e lê-se: A cartesiano B .

Em símbolos, teríamos:

( , ) : A B x y a A b B (3.2)

Observação.

(a) Se um dos conjuntos A ou B for um conjunto vazio, o produto cartesiano A B será um conjunto vazio.

(b) Se A B , então, A B B A .

(c) Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos, respectivamente, então, A B é um conjunto finito com m n elementos.

(d) Se A ou B for um conjunto com infinitos elementos e nenhum deles for vazio, então, A B é um conjunto com infinitos elementos.

(e) A A pode ser indicado por 2A .

Notação. 2 é o produto cartesiano de com , isto é, 2 .

Exemplo 3.1. Sejam 1,4A e 1,2,3B . Então, {(1,1),(1,2),(1,3),(4,1),(4,2),(4,3)}A B

Atividade 3.1

(1) Considere o Exemplo 3.1, para representar no, plano cartesiano, o produto cartesiano acima, pois cada par ordenado ,x y pertencente a A B pode ser

associado a um ponto do plano.

65

unidade 3

3.3. Relação Binária

Refletindo...

Será que podemos pensar em um produto cartesiano que não seja formado por pares ordenados de números reais?

Vejamos uma situação hipotética:

Maria está prestes a se casar e imagina a entrada dos casais que serão seus

padrinhos. Na igreja, ficou estabelecido que, na entrada, o casal formado, à direita

se posiciona o padrinho, e à esquerda, a madrinha. Maria decidiu que todos devem

ser seus amigos. Sabendo que Maria tem doze amigas e nove amigos, imaginemos

todas as possibilidades de pares de casais, independente da ordem. Esse conjunto

formado de todos os pares ordenados de casais, amigos de Maria, poderia ser

reconhecido como um produto cartesiano A B , em que A seria o conjunto de

amigas, e B o conjunto de amigos de Maria.

Entretanto, Maria teve que escolher por alguns desses pares que, de fato, entrariam na igreja no dia do seu casamento. Para relacionar os quatro casais, estabeleceu-se o critério que o padrinho e a madrinha teriam alguma afinidade. Assim, ficou estabelecida uma relação binária, formada pelos casais que entrariam na igreja no dia do seu casamento.

3.3.1. Definição de Relação Binária

Dados dois conjuntos A e B , denominamos Relação binária de A em B a todo subconjunto R de A B , isto é,

R é uma relação binária de A em B A B R

Se em uma relação binária R , os conjuntos A e B são iguais, ou seja, A A R , dizemos que R é, simplesmente, uma relação sobre A , ou ainda, R é uma relação em A .

66

3.3.2. Propriedades das Relações

Considere-se R uma relação em A .

(a) Reflexiva

R é reflexiva, se, e somente se, para todo x pertencente a A tem-se que x se relaciona com x em A , ou seja, ,x x R .

Simbolicamente:

x x A x x R (3.3)

(b) Simétrica

R é simétrica, se, e somente se, ,a b R , então, ,b a R , isso significa

que R é simétrica quando, estando a relacionado com b , tem-se também b relacionado com a , segundo R .

Simbolicamente:

, a b A a b b a R R (3.4)

(c) Antissimétrica

R é antissimétrica, se, e somente se, ,a b R e ,b a R , então, a b . Em

outras palavras, se R é antissimétrica, para a b , nunca se tem, simultaneamente, ,a b R e ,b a R .

Simbolicamente:

, a b A a b b a b a R R (3.5)

67

unidade 3

(d) Transitiva

R é transitiva, se, e somente se, a bR e b cR , então, a cR . Isto é, se a se relaciona com b e b se relaciona com c , então, a se relaciona com c .

Simbolicamente:

, , a b c a b b c a c R R R R (3.6)

Observação. Não pense que tem alguma complicação nessas especificidades. Aos poucos e com calma, você compreenderá que tudo é muito simples, bastando ficar atento aos detalhes de cada definição.

Definição 3.1. (Comparáveis) Seja R uma relação sobre um conjunto A . Dizemos que

,x y A são comparáveis mediante R , se x yR ou y xR , ou seja, tem-se na relação que

todo elemento do conjunto A se relaciona de alguma forma um com ou outro. Assim, na

relação, figura pelo menos um dos pares: ,x y ou ,y x .

3.3.3. Tipos de Relações

Destacam-se dois tipos de relações sobre A que possuem características importantes: Relações de Equivalência e Relações de Ordem.

Definição 3.2. (Relação de Equivalência) Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada Relação de Equivalência sobre A , se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.

Definição 3.3. (Relação de Ordem Parcial) Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada Relação de Ordem Parcial sobre A , se, e somente se, R é reflexiva, antissimétrica e transitiva.

Definição 3.4. (Relação de Ordem Total) Dizemos que uma relação de ordem parcial sobre um conjunto A é uma relação de ordem total sobre A , se quaisquer dois elementos de A forem comparáveis mediante R .

68

Exemplo 3.2. Seja A o conjunto de números reais, ou seja, A . Vamos avaliar se a relação abaixo pode ser caracterizada como relação de equivalência ou de ordem (parcial ou total).

2( , ) :x y x y R

Vamos pensar... o que deve ser verificado?

Isso mesmo: temos que verificar se a relação apresenta características de relação reflexiva, simétrica, antissimétrica ou transitiva.

Mãos à obra!

Será que a relação é reflexiva? Deverá provar-se que x x A x x R , ou seja, todo número real se

relaciona consigo mesmo, segundo R . Essa expressão é verdadeira, pois todo número é menor ou igual a si mesmo (veja Capítulo 6). Assim, podemos concluir que R é reflexiva.

Será que a relação é simétrica? Ou seja, é verdade que sempre que x se relaciona com y , segundo R teremos y

também se relacionando com x , segundo R . Um contraexemplo nos mostra não ser verdadeira essa afirmação, pois 3 4 e, portanto, 3,4 R , mas não é verdade que 4 3 . Assim, o par 4,3 R . Logo,

R não é simétrica.

Será que a relação é antissimétrica? , a b A a b b a b a R R . Em palavras, verificamos que a única

maneira que os pares ,x y e ,y x pertencerem a R seria quando x y , pois

x x é sempre verdadeiro. Dessa forma, podemos concluir que R é antissimétrica.

69

unidade 3

Será que a relação é transitiva? , , , x y z x y y z x y y z x z x z R R R R

Assim, R é transitiva. Para maior informação, revise Capítulo 6.

Dessa forma, temos que R apresenta as propriedades: reflexiva, antissimétrica e transitiva, podendo ser caracterizada como uma relação de ordem parcial.

Seria possível dizer que R é uma relação de ordem total sobre R ?

Claro que sim...

Perceba que, para quaisquer dois números reais, podemos sempre afirmar x y ou

y x e, portanto, quaisquer dois elementos são comparáveis.

Conclusão: A relação 2( , ) :x y x y R é uma relação de ordem total. ∎

Atividade 3.2

(1) Verifique se a relação de igualdade sobre o conjunto dos números reais, R , pode ser caracterizada como uma relação de ordem ou equivalência. Ou seja, verifique

as propriedades da relação 2( , ) :x y x y R .

unidade

71

Unidade IV

Conjunto dos Números Naturais e Números Inteiros

Objetivos

Reconhecer a simbologia que o povo antigo usou para representar os números.

Usar o Princípio de Indução Infinita na demonstração de propriedades de números naturais.

Aplicar as propriedades dos números naturais e inteiros.

Demonstrar as propriedades do módulo de um número inteiro.

unidade 4

73

unidade 4

4.1. História dos Números

Os fundamentos nos quais descansa toda estrutura lógica do cálculo infinitesimal e em geral, da análise, são os números. Estes nos são tão familiares que, num primeiro momento, poderíamos aceitá-los como um conceito primitivo, ao menos, para os números naturais. Isto é, como algo que não requer definição. Porém, hoje em dia, é muito difícil aceitar esse conceito, devido aos avanços da Matemática. Se desejar a continuar, você pode ver como os números apareceram em diferentes tempos da história. 4.1.1. Egípcios e Babilônicos

Símbolos para os números são encontrados nos mais antigos vestígios de escrita humana. Mesmo na idade da pedra, foram encontrados na forma de entalhe em ossos ou como marcas nas paredes das cavernas. Foi a época em que o homem vivia como um caçador e, hoje, só podemos especular se o símbolo ||।|, por exemplo, foi destinado para

representar o tamanho da morte. O Sistema dos Números marca o início da aritmética. Os primeiros documentos remontam às primeiras civilizações do vale do rio Nilo, Tigre e Eufrates. Hieróglifos para os números 10 000, 100 000 e 1 000 000 foram encontrados sobre o bastão do rei Narmer, da primeira dinastia egípcia (cerca 3000 aC).

O Papiro de Rhind (cerca de 1650 aC) contém tabelas com decomposições da fração 2 / n

, em que n é um inteiro ímpar (para detalhes dos cálculos dos egípcios, veja o Papiro de Moscou, STRUWE (1930), e o Papiro de Rhind, PAPYRUS RIHND (1929).

Os babilônios usavam símbolos cuneiformes em tabletes de argila. As notações foram baseadas em uma mistura de sistema decimal e sexagesimal. Por exemplo, denotou 1, 601, 602, ...; enquanto que denotou 10, 10 601, 10 602, ... e assim por diante. O símbolo zero não foi sempre utilizado pelos babilônios, e nunca usaram um símbolo, o ponto, para separar a parte inteira da parte decimal. Em uma notação posicional, o papel do zero é a de um sinal representado por uma "lacuna". Um sinal desse tipo, duas marcas de cunha pequena, , já foi encontrado em um texto babilônico antigo de Susa (Text 12,

74

p. 4), porém unicamente em casos isolados TROPFKE (1980, p. 28). Os babilônios mostraram ter sido aritméticos de grande talento e algebristas. Eles desenvolveram tabelas sofisticadas para uso em cálculos, envolvendo multiplicação e divisão, e para resolver equações quadráticas e cúbicas.

4.1.2. Gregos

O sistema de numeração dos gregos foi decádico, embora não posicional. Os primeiros

sistemas usaram símbolos individuais para as etapas decádicas, que eram as letras iniciais de cada palavra correspondentes aos números. Por exemplo, usavam o símbolo χ para representar o número χιλ (mil). Os posteriores sistemas que representaram números por letras (ao redor de 450 aC) forem utilizados em textos matemáticos. O sistema foi composto de 24 letras do alfabeto grego padrão, com mais três símbolos da tradição oriental. Para maiores detalhes, veja, por exemplo, EBBINGHAUS (1991).

Enquanto os egípcios e babilônios contentaram-se com o desenvolvimento altamente sofisticado de técnicas numéricas, os pitagóricos tornaram-se, em primeiro lugar, interessados no significado filosófico dos números. Em sua filosofia, o universo inteiro foi caracterizado por números e suas relações, e, assim, surgiu o problema de definir o que geralmente era um número. Assim, os gregos consideram como números, apenas os números naturais, excluindo a unidade; frações foram tratadas como razões de números, e números irracionais como as relações entre grandezas incomensuráveis na geometria.

4.1.3. Aritmética prática Indo-Arábica

Entre 300 aC e 600 dC, a atual notação posicional decimal, com 0 e seus símbolos particulares de 1 até 9, nasceu na Índia, provavelmente sob influência babilônica. Assim, por exemplo, é a partir das formas primitivas -, =, que surgiram no início dos símbolos

, , que, eventualmente, evoluíram para 1, 2. Os árabes, não os astrônomos, usaram a notação indiana. Os indianos tinham sinais dos números positivos e negativos, ou seja, “dhana” ou “sva” (domínio, posse) e “rina” ou “ksaya” (diminuição, débito).

75

unidade 4

Regras da Aritmética para lidar com números positivos e negativos são encontradas nas obras de Brahmaoupta (nascido em 598), JUSHKEWITSCH (1964, p. 126). Entretanto, não há nada que indique que os números negativos eram geralmente reconhecidos como soluções de equações.

4.1.4. Tempos Modernos

Aritmética prática Indo-Arábica foi divulgada em todo o mundo ocidental pelos livros didáticos de aritmética, desde o século 13 até o 16 (por exemplo, os de Leonardo de Pisa, Riese, Stifel) e possibilitou os sucessos posteriores dos matemáticos italianos da Renascença (tais como, Del Ferro, Cardan e Ferrari) na solução de equações algébricas. Stifel diz, ao falar sobre números negativos, que não são apenas "tolices sem sentido", mas, pelo contrário, que são "não sem utilidade" para fingir números antes do zero, isto é, construir números fictícios que são menos do que nada (STIFEL, 1544, p. 248).

Na nova álgebra da Renascença, o zero e os números negativos adquiriram um novo enfoque, isto é, foi possível assimilar vários tipos de equações numa única categoria. Desde o tempo das equações de Descartes, tem sido escrito da seguinte forma:

11 0 0n n

n na x a x a

(embora sem sufixos nos coeficiente para o caso de Descartes), em que os coeficientes podem ser positivo, negativo ou zero.

Embora os matemáticos tenham trabalhado, desde o início da ciência, com números e descoberto teoremas sobre esses, não foi até o século 19, que deram definições matematicamente aproveitáveis do conceito de número. Sua principal consideração foi, inicialmente, fornecer bases sólidas para a análise, definindo, mais precisamente, os números reais. Foi só depois de Dedekind e Cantor (e alguns outros, os quais haviam definido números reais por meio de conjuntos de números racionais) que as definições clássicas dos números naturais, em termos de lógica e teoria dos conjuntos, continuaram. A constatação de que a extensão dos números naturais, para os inteiros e

76

os racionais, poderia, ainda, ser considerado essencialmente como um tópico da álgebra, estava intimamente ligada com a introdução das ideias fundamentais algébricas da teoria dos anéis e da teoria de campos.

Atividade 4.1

(1) Esboce os símbolos que os gregos usaram (anterior aos 450 aC) para representar os seguintes números: 1, 10, 100, 1 000 e 10 000 e seus intermediários: 5, 50, 500, 5 000, 50 000.

(2) Faça uma tabela dos símbolos (o alfabeto grego padrão e três símbolos de influência oriental) que os gregos usaram ao redor dos 450 aC, para representar os números.

4.2. Conjunto dos Números Naturais

Podemos definir os números naturais como um conjunto de axiomas ou postulado que o caracteriza, tal como foi feito por Peano, na sua obra, “Arithmetices principia nova methodo exposita” (1889), e Hilbert, em “Die Grundlegund der elementaren Zohlenlehre” (1930).

4.2.1. Números Naturais

Quando Giuseppe Peano (1853-1932, matemático italiano) formula seus axiomas, a linguagem da lógica matemática estava nos seus inícios. A formulação original desses axiomas considera como “primeiro” número o 1 , porém, hoje em dia, sabemos que o 0 é o elemento neutro da operação adição dos números naturais e é imprescindível sua omissão.

Giuseppe Pean.

Estudaremos a formulação moderna dos axiomas de Peano, o qual considera três conceitos primitivos: número natural, zero e sucessor. Denotaremos um número natural

77

unidade 4

por n , zero por 0 e o sucessor de n por n . A relação entre esses conceitos

primitivos é conhecida como os Axiomas de Peano.

Axiomas de Peano

A1. 0 é um número natural

A2. Para qualquer número natural n , o sucessor n é um número natural.

A3. 0 não é sucessor de nenhum número natural.

A4. Para quaisquer números naturais n e m , se n m , então, n m .

A5. Se S é um conjunto, tal que

(i) 0 S , e

(ii) se n S , então, n S ,

então, S contém todos os números naturais.

Observação. O axioma A5 representa o Princípio de Indução Finita. Este expressa que todo número natural pode ser obtido, a partir de 0, por meio de repetidas aplicações, tomando-se o sucessor. Esse princípio é, algumas vezes, enunciado do seguinte modo:

Seja P n uma propriedade em termos de números naturais. Suponha que

(i) 1P é verdadeira, e,

(ii) se para todo k , P k é verdadeira, então, 1P k é verdadeira, também.

Nesse caso, P n é verdadeira para todo número natural n .

Usando os axiomas de A1 até A4, podemos construir um conjunto infinito do seguinte modo:

0 é um número natural

0 é o sucessor de 0

78

0 é o sucessor de 0

0 é o sucessor de 0

...

Assim, obtemos o seguinte conjunto infinito:

0, 0 , 0 , 0 ,... (4.1)

Esses quatro primeiros axiomas, também, implicam que o conjunto dos números naturais é infinito, pois, ao menos, contém o conjunto infinito definido em Eq. (4.1). Para mostrar que todo número natural está contido neste conjunto infinito, ele deve satisfazer o axioma A5. E pela construção do mesmo, vemos que ele satisfaz o dito axioma. Para finalmente obter o conjunto dos números naturais, consideremos as seguintes notações.

Denote-se o sucessor de 0 pelo símbolo 1 (um),

0 : 1 (4.2)

Denote-se o sucessor de 1 pelo símbolo 2 (dois),

0 1 : 2 (4.3)

Denote-se o sucessor de 2 pelo símbolo 3 (três),

0 1 2 : 3 (4.4)

e, assim, sucessivamente.

Substituindo Eq. (4.2) - (4.4) em Eq. (4.1), obtemos o conjunto de números naturais

0,1,2,3,... (4.5)

79

unidade 4

o qual, formalmente, é dado na seguinte definição.

Definição 4.1. O Conjunto dos Números Naturais, denotado por , é

0,1,2,3,... (4.6)

Notação. Denota-se o conjunto dos números naturais, sem o zero, por \ 0 .

4.2.2. Igualdade

A formulação original dos axiomas de Peano continha nove axiomas. Cinco deles já foram enunciados antes, e os quatro restantes foram direcionados para a igualdade entre números naturais.

Axiomas da igualdade

I1. Para todo m , m m (Reflexividade) I2. Para todo ,m n , m n , então, n m (Simetria)

I3. Para todo , ,m n h , m n e n h , então, m h (Transitividade)

I4. Se m e m n , então, n (Fecho)

Uma vez definido o conjunto dos números naturais e a igualdade entre seus elementos, passamos a definir as operações da aritmética.

4.2.3. Operações em

As operações de adição e multiplicação de números naturais se definem de modo recursivo.

Definição 4.2. (Adição) Para cada ,m n ,

(a) 0m m

(b) m n m n

80

Exemplo 4.1. Quem é 1m ?

Calculemos: 1 0m m . Pela Definição 4.2b, 1 0m m , e pela Definição 4.2a,

temos que 1m m . Logo, 1m é o sucessor de m .

Definição 4.3. (Multiplicação) Para cada ,m n ,

(a) 0 0m (b) m n m m n

4.2.4. Propriedades Algébricas

As propriedades algébricas dos números naturais são com respeito às operações de adição e multiplicação.

Proposição 4.1. (Adição) Sejam , ,m n h ,

(a) m n (Fecho)

(b) m n h m n h (Associatividade)

(c) m n n m (Comutatividade) (d) 0m m (Existência de elemento neutro)

Observação. A existência do elemento neutro, no item (d), é única.

Prova. Deixa-se para o leitor.

Proposição 4.2. Sejam , ,m n h . Se m h , então, m n h n .

Prova. Usaremos o Princípio de Indução Finita. Considere-se a seguinte propriedade:

P n : Se m h , então, m n h n .

1P é verdadeira. Com efeito, pela reflexividade, 1 1m m , e, como por hipótese,

m h , então, 1 1m h . Agora, suponha que P k é verdadeira, então, m h implica

81

unidade 4

m k h k . Provaremos que 1P k é verdadeira. Com efeito, pela associatividade,

1 1m k m k , agora, pela hipótese, 1 1m k h k e, novamente pela

associatividade, temos finalmente 1 1m k h k . Portanto, P n é verdadeira.∎

Proposição 4.3. (Multiplicação) Sejam , ,m n h ,

(a) m n (Fecho)

(b) m n h m n h (Associatividade)

(c) m n n m (Comutatividade) (d) 1m m (Existência de elemento neutro)

Observação. A existência do elemento neutro, no item (d), é única.

Prova. Deixa-se para o leitor.

Proposição 4.4. (Adição e multiplicação) Sejam , ,m n h ,

(a) m n h m n m h (Distributividade)

(b) 0 0 0m n m n (Sem divisor de zero)

Prova. (a) Deixa-se para o aluno.

(b) Se 0m n , então, 0m m n m , assim, pela Definição 4.3b, m n m , e pela

Proposição 4.3d, 1n , o qual implica que 0n . Por outro lado, se 0m n , então,

0n m n n , comutando o produto, n n m n , usando a Definição 4.3(ii),

n m n , e pela unicidade do elemento neutro, 1m . Desse modo, 0m . ∎

Exercício 4.1. m n h m h n h

m n h h m n m n h h m h n

m n h m h n h

82

4.2.5. Ordem nos Números Naturais

A operação de adição dos números naturais permite introduzir uma relação de ordem em .

Definição 4.4. Para todo ,m n , m n , se, e somente se, existe h tal que m h n .

Notação. A relação m n significa que m n ou m n .

Proposição 4.5. Para todo , ,m n h ,

(a) m n m h n h

(b) m n m h n h

Prova.

(a) Se m n , então, existe k tal que m k n . De aqui, temos que m k h n h ,

h . Assim, m k h n h , então, m h k n h , associando termos,

m h k n h e pela Def. 3.4, m h n h .

(b) Deixa-se para o leitor. ∎

4.2.6. Potenciação

Definição 4.5. Seja a . Defina-se:

(a) 1a a

(b) 1m ma a a

Sempre que ma esteja bem definida para m .

Exemplo 4.2. Calcule as seguintes potências:

(a) 2a .

Solução: Def.3.4b Def.3.4a

2 1 1 1a a a a a a .

83

unidade 4

(b) 3a .

Solução: Def.3.4b

3 2 1 2a a a a a a a (a)

.

Proposição 4.6. Sejam , , ,a b m n ,

(a) m n m na a a

(b) nm n ma a

(c) m m ma b a b

Prova. Deixa-se para o leitor.

Atividade 4.2

(1) Prove que para todo m , 1 1m . Sugestão. Use o Princípio de Indução Infinita.

(2) Defina-se o fatorial de um número natural por ! 1 2 3 ...n n , 0! 1 . Prove que 2 !n n para 4n .

Sugestão. Use o Princípio de Indução Infinita.

(3) Prove que o cardinal de um conjunto A é igual ao cardinal do conjunto das partes de A , isto é,

* 2 , nA n A n P (4.7)

Sugestão. Use o Princípio de Indução Infinita.

84

4.3. Conjunto dos Números Inteiros

A limitação dos números naturais em resolver, por exemplo, equações da forma m h n , onde , e m n h são números naturais e m n , motivou a comunidade

matemática a “ampliar” os naturais a um conjunto maior. Foi nesse sentido que os números negativos fazem presença, chamando-se, formalmente, elemento oposto. Com o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números negativos, aparece o Conjunto dos Números Inteiros. Para a construção desse novo conjunto, é imprescindível definir uma relação de equivalência.

Teorema 4.1 A relação sobre , definida por

, , , , , m n h k se e somente se m k n h

é uma relação de equivalência.

Prova. Deixa-se para o leitor.

Notação. Sejam ,m n . Denote-se por ,m n , a classe de equivalência de ,m n

pela relação .

Definição 4.6. O Conjunto dos Números Inteiros, denotado por , é definido como o

conjunto das classes de equivalência, ,m n , pela relação .

Definido o conjunto dos números inteiros, passamos a definir sua aritmética.

4.3.1 Operações em

São duas operações que podemos definir nos números inteiros, a adição e a multiplicação.

Definição 4.7. (Adição) Sejam , , ,m n h k e , p q , com ,p m n e

,q h k , definimos a adição por

85

unidade 4

,p q m h n k

Definição 4.8. (Multiplicação) Sejam , , ,m n h k e ,p q , com ,p m n e

,q h k , definimos a multiplicação por

,p q m h n k m k n h

4.3.2 Propriedades algébricas

Proposição 4.7. (Adição) Sejam , ,p q r ,

(a) p q (Fecho)

(b) p q r p q r (Associatividade)

(c) p q q p (Comutatividade)

(d) 0p p (Existência de elemento neutro)

(e) 0p p (Existência de elemento oposto)

Notação. O elemento p , que aparece no item (e), é chamado de elemento oposto de p .

Observação. A existência dos elementos, neutro e oposto, nos itens (d) e (e), é única.

Prova. Deixa-se ao leitor.

Definição 4.9. (Subtração) Para ,p q , define-se,

:p q p q

Proposição 4.8. (Multiplicação) Sejam , ,p q r ,

(a) p q (Fecho)

(b) p q r p q r (Associatividade)

(c) p q q p (Comutatividade)

86

(d) 1p q (Existência de elemento neutro)

Observação. A existência do elemento neutro, no item (d), é única.

Prova. Deixa-se para o leitor.

Proposição 4.9. (Adição e multiplicação) Sejam , ,p q r

(a) p q r p q p r (Distributividade)

(b) 0 0 0p q p q (Sem divisor de zero)

Prova. Deixa-se para o leitor.

4.3.3 Ordem nos Números Inteiros

Definição 4.10. Para ,p q , definimos a relação de ordem por

, se, e somente se, p q p q (4.8)

Teorema 4.2 Sejam , ,p q r ,

(a) p p (Reflexividade)

(b) Se p q e q r , então, p r (Transitividade)

(c) Se p q e q p , então, p q (Antissimetria)

(d) p q ou q p (Totalidade)

Prova. Deixa-se ao leitor.

4.3.4 Módulo

O módulo ou valor absoluto de número inteiro é definido, como segue.

Definição 4.11. (Módulo ou valor absoluto) Seja p , definimos o módulo de p por

se 0se 0

p pp

p p

(4.9)

87

unidade 4

Proposição 4.10. Sejam p e 0q ,

(a) p p p

(b) p q q p q

Prova.

(a) Se 0p , p p , agora, pela reflexividade, p p , então, p p . Por outro, se 0p ,

p p , o qual implica p p , e pela reflexividade, p p , temos p p . Assim,

p p p .

(b) Deixa-se para o leitor. ∎

Proposição 4.11. Sejam , ,p q ,

(a) 0p

(b) 0 0p p

(c) p q p q

(d) p p

Prova.

(a) Para 0p , p p , então, 0p . Para 0p , p p , como 0p , então, 0p .

(b) Ida: 0p . Então, pela Def. (4.9), 0 p , se 0p e, se 0p , 0 p . Assim, para

todo p , temos que 0p . Volta: 0p . Então, p p , de aqui, 0p .

(c) Pela Proposição 4.10(i), p p p e q q q . Somando membro a membro,

p q p q p q , de aqui, p q p q p q , e pela Proposição 4.10(ii),

p q p q .

(d) Deixa-se para o aluno. ∎

88

4.3.5 Imersão de em

Definição 4.12.

(a) O Conjunto dos Números Inteiros Positivos, denotado por , se define por

, : , e m n m n m n

(b) O Conjunto dos Números Inteiros Negativos, denotado por , se define por

, : , e m n m n m n

Observação. Prova-se que o conjunto e o conjunto são isomorfos ( ). Uma prova disso pode ser encontrada em LOBEIRO (2011). Assim, podemos identificar os naturais como um subconjunto dos inteiros. Desse modo, conseguimos expressar o conjunto,

0 . (4.10)

E se denotamos , obtemos que o Conjunto dos Números Inteiros é dado por

... ,..., 2, 1,0,1,2,..., ,...n n , (4.11)

onde, n é a notação para o número inteiro 1, 1n .

Notação. Denota-se o Conjunto dos números inteiros sem, o zero, por \ 0 .

Nesta apostila, não abordaremos tópicos referentes à Divisibilidade, Máximo Divisor Comum, Mínimo Múltiplo Comum, Números Primos, Congruência Módulo m , entre outros.

89

unidade 4

Atividade 4.3

(1) Prove para todo ,p q :

a. p q p q

b. | | | |p q p q

c. p q p q p q

d. p p

(2) Demonstre que se 1p q , então, 1p e 1q .

(3) Demonstre que a soma dos n primeiros números ímpares é 2n , ou seja,

21 3 5 ... 2 1n n .

unidade

91

Unidade V

Conjunto dos Números Racionais e Números Irracionais

Objetivos

Aplicar as propriedades dos números racionais e irracionais.

Aplicar a propriedade da densidade e a propriedade arquimediana dos números racionais.

unidade 5

93

unidade 5

5.1. Conjunto dos Números Racionais

A resolução de problemas, que envolvem equações da forma p q , , ,p q , só tem

sentido, se q é divisível por , caso contrário, não teremos solução em . Com a

finalidade de construir outro conjunto “maior” que contenha os inteiros, dê solução a esse problema e outras dificuldades que possam aparecer em , foi introduzido o conjunto dos números racionais, construído por classes de equivalência de números inteiros. O aluno pode consultar COHEN e EHRLICH (1963) para maiores detalhes.

Teorema 5.1 A relação sobre * definida por

, , , , , p q r s se e somente se p s q r

é uma relação de equivalência.

Prova. Deixa-se para o leitor.

Notação. Seja ,p q . Denote-se por ,p q , a classe de equivalência de ,p q pela

relação .

Definição 5.1. O Conjunto dos Números Racionais, denotado por , é definido como o

conjunto das classes de equivalência, ,p q , pela relação .

Notação. Mais especificamente, o conjunto dos números racionais representa o conjunto quociente de , pela relação , isto é, / .

Definido o conjunto dos números racionais, passamos a definir as operações de sua aritmética.

94

5.1.1 Operações em

São duas as operações que podemos definir nos números racionais, a adição e a multiplicação.

Definição 5.2. (Adição) Sejam , , ,p q r s e ,a b , com ,a p q e ,b r s .

Definimos a adição por

,a b p s q r q s

Definição 5.3. (Multiplicação) Sejam , , ,p q r s e ,a b , com ,a p q e

,b r s . Definimos a multiplicação por

,a b p r q s

5.1.2 Propriedades algébricas

Proposição 5.1. (Adição) Sejam , ,a b c ,

(a) a b (Fecho)

(b) a b c a b c (Associatividade)

(c) a b b a (Comutatividade) (d) 0a a (Existência de elemento neutro) (e) 0a a (Existência de elemento oposto)

Prova. De (a) até (c), deixa-se ao aluno.

(d) Sejam ,a p q e 0 ,r s . Esses elementos satisfazem

0 , ,a p s q r q s p q o qual, implica , ,p s q r q s p q . De Teorema 5.1,

p s q r q q s p . Assim, distribuindo p s q q r q q s p . Associando

95

unidade 5

q s p q q r q s p o qual implica 0q q r (elemento neutro aditivo em

). De aqui 2 0q r implica 0r , pois 2 0q . Assim, o 0 0, s satisfaz 0a a .

(e) Seja ,a p q e ,a r s , e 0 0, t , então, , 0,a a p s q r q s t . De

aqui, , 0,p s q r q s t de onde temos 0p s q r t q s , ou

0p s q r t . Como 0t , então, 0p s q r . Assim, p s q r . Agora,

suponha que r p , então, p s q p . Assim, s q . Logo, ,a p q . Se r p ,

obtemos que ,a p q . De qualquer modo, ,p q ou ,p q pertencem à mesma

classe, a . Se r q , aparecem restrições. ∎

Definição 5.4. (Elemento Neutro Aditivo em ). Se q , definimos o elemento

neutro aditivo dos números racionais por

0 0,q

Definição 5.5. (Elemento Oposto Aditivo em ). Seja ,a p q , definimos o

elemento oposto aditivo de a , por

,a p q

Observação. Os elementos, neutro e oposto, nos itens (d) e (e) da Proposição 5.1, são únicos.

Definição 5.6. (Subtração) Sejam ,a b , onde ,a p q e ,b r s . Defina-se a

diferença de a menos b por

: , , ,a b a b p q r s p s q r q s

96

Observação. Os elementos, neutro e inverso, nos itens (iv) e (v) da Proposição 5.2, são únicos.

Proposição 5.3. (Adição e multiplicação) Sejam , ,a b c

(a) a b c a b a c (Distributividade)

(b) 0 0 0a b a b (Sem divisor de zero)

Prova. Deixa-se para o leitor.

Exercício 5.1. Prove que para todo a e 0a , 11a a . Com efeito, de

Proposição 5.2e, 1 1a a . Pela Proposição 5.2c, 1 1a a , e pela unicidade do elemento

inverso, 11a a .

5.1.3 Ordem nos Números Racionais

A relação de ordem em inicia-se com a definição 0a ( a é maior que 0 ).

Definição 5.9. Seja a .

0a , se existe ,p q a , tal que 0p q

Também, 0a , se existe ,p q a , tal que 0p q

Notação. Denote-se o Conjunto dos Racionais Positivos por

: 0a a ,

o Conjunto do Racionais Negativos por

: 0a a

e o Conjunto dos Números Racionais, sem o Zero, por

\ 0

97

unidade 5

Proposição 5.4. (Lei da Tricotomia em ) Se a , então, unicamente, uma das

afirmações é verdadeira:

(a) 0a , ou

(b) 0a , ou

(c) 0a

Prova. Seja ,a p q , então, p q . Pela Lei da Tricotomia em , temos: (a) 0p q ,

o qual implica 0a ; ou (b) 0p q , como q , temos 0p . Assim, 0a ; ou (c)

0p q , de aqui, temos que 0a . ∎

Teorema 5.2 Sejam ,a b , onde ,p q a e ,r s b , então,

a b p s q r

Prova. , 0a b p s q r q s implica, pela Definição 5.9, 0p s q r q s . De

aqui, 0p s q s q r q s , então, p s q s q r q s implica p s q r ,

pois q s . ∎

Teorema 5.3 Sejam ,a b , 0 a b , então, 1 10 b a .

Prova. Seja ,a p q , ,b r s , ,p r e ,q s . Se 0b então 0r s , de aqui,

0s r , então, 1 0b ( 1 ,b s r ). Por outro lado, a b implica p s q r . Assim,

s p r q implica 1 1b a . Assim, 1 10 b a . ∎

5.1.4 Módulo

O módulo ou valor absoluto de um número racional é definido, a seguir.

Definição 5.10. (Módulo ou valor absoluto) Seja a , definimos o módulo de p

por

98

se 0se 0

a aa

a a

(5.2)

Observação. As propriedades do módulo de um número racional são as mesmas apresentadas para o módulo de números inteiros, na Subsecção 4.3.4. 5.1.5 Imersão de em

A seguir, enunciaremos um teorema referente quando o conjunto dos números inteiros está imerso (“contido”), no conjunto dos números racionais.

Teorema 5.4 A aplicação

:

,1i

p i p p

é injetora e satisfaz as seguintes propriedades:

(a) i p q i p i q

(b) i p q i p i q

(c) p q i p i q

Prova. Deixa-se para o aluno. O aluno pode consultar LOBEIRO (2011, p. 88).

Observação. Segundo o Teorema 5.4, a imagem da aplicação i é um subconjunto de

e pode ser identificada com o conjunto dos números inteiros, isto é,

,1 :i p p (5.3)

Assim,

,1p p p (5.4)

99

unidade 5

Definição 5.11. (Divisão em ) Sejam ,a b , 0b . A divisão de a entre b se

denota por ab

, ou /a b , e define-se por

1a a bb

Teorema 5.5 Se , , ,a b c d , , 0b d . Prove que

(a) 1aa

(b) a c a d c bb d

Prova. (a) Pela Proposição 5.2d, 1a a . Pela Proposição 5.2e, 11 1a a . Pela

Proposição 5.2b, 11 1a a . Novamente, pela Proposição 5.2d, 11a a . Finalmente,

pela Definição 5.11, 1a a .

(b) a d c b 1 1a d b c b b 1 1a b d c b b a d cb

1 1a d d c db

1a cd db d

a cb d ∎

Notação. Quando ,a b , a divisão ab

é chamada fração ab

e, nesse caso, a é chamado

de numerador, e b , de denominador.

Teorema 5.6 ( definido como fração) Seja ,a p q , 0a . Então,

, ,pa a p qq

100

Prova. De Teorema 5.5a, 1aa , assim, pela Eq. (5.1),

,,

p qa

q q . Por outro lado, p p

p q p q p q q p q q p q q q p q , ,p q q p q q

, ,p q q p q q , 1 , 1p q q p q q , 1 ,1p q q p q q (pela Definição

5.3) , ,1 ,1 ,p q q p q q (pelo Teorema 5.5b)

, ,1, ,1

p q pq q q

,1,1

pa

q (pela

Eq. (5.4)) paq

. ∎

5.1.6 Sistema Decimal

O Sistema decimal (ou Sistema de base 10) é posicional, isto é, o valor de cada algarismo depende de sua posição. Um exemplo de sistema não posicional é o Sistema de números romanos.

Definição 5.12. Seja p um número inteiro não negativo, então, sua Representação

decimal na forma Compacta é

1 2... mp p p p (5.5)

e, na forma Expandida,

1 2 01 210 10 ... 10m m

mp p p p , (5.6)

onde ip , 0 9ip , 1 i m , são chamados de algarismo inteiros.

Observação. Na Eq. (5.5), existem m algarismos inteiros.

Exemplo 5.1. Um número inteiro, em suas duas formas de representação decimal compacta e expandida, com cinco algarismos inteiros:

4 3 2 1 063845 6 10 3 10 8 10 4 10 5 10

101

unidade 5

Teorema 5.7 (Expansão Decimal de um Número Racional) Seja a , tal que

0 1a , então, sua representação decimal na forma expandida é dada por

1 21 2 ... ...

10 10 10kk

dd da , (5.7)

onde id , 0 9id , 1,2,... ,...i k são chamados de algarismos decimais.

Observação. A forma expandida da representação decimal de a , em Eq. Erro! Fonte de referência não encontrada., é dada por

1 20 ... ...ka d d d , (5.8)

Prova. Deixa-se para o leitor.

Exemplo 5.2. (a) 1 2 3

7 2 50,72510 10 10

. (b) 1 2 3 4

7 5 8 30,7583... ...10 10 10 10

Teorema 5.8 Todo número a pode ser escrito da seguinte forma:

1 2 1 2... ... ...m ka p p p d d d , (5.9)

onde há m algarismos inteiros e infinitos algarismos decimais.

Prova. Deixa-se para o leitor. Observação.

(a) Devido às equações (5.6) - (5.7), a Eq. (5.9) pode ser escrita como

1 2 0 1 21 2 1 210 10 ... 10 ... ...

10 10 10m m k

m k

dd da p p p + (5.10)

(b) O recíproco desse teorema, em geral, não é verdadeiro. Veja exemplos, na próxima Secção.

(c) Vejamos duas representações da Eq. (5.9):

Expansão Decimal Finita: é quando o número de algarismo é finito, ou seja,

102

1 2 1 2 ... ... m kp p p d d d , (5.11)

Exemplo 5.3. 12,6419304658 .

Expansão Decimal Periódica: é quando certa quantidade de algarismos se repetem

1 2 1 2 1 2 1 2 ... ... ... ... ...j jm j j n j j j np p p d d d d d d d d d ,

Observa-se que n é o número de algarismo que se repetem.

Exemplo 5.4. 0,42173173 apresenta três algarismos que se repetem.

Teorema 5.9 A expansão decimal de todo número racional é finita ou periódica.

Prova. Deixa-se para o leitor.

Exemplo 5.5.

(a) O seguinte número decimal periódico 0,3333 é racional. Com efeito,

1 2 3 4 1 2 3

3 3 3 3 3 1 1 10,3333... ... 1 ...10 10 10 10 10 10 10 103 1 3 3

110 10 1 9110

1 3

(b) O Teorema 5.9 não garante a unicidade do número racional. Por exemplo,

transformemos o seguinte decimal periódico 0,5999 em fração. Com efeito,

1 2 3 4 5 2 1 2 3

2 2

5 9 9 9 9 5 9 1 1 10,5999... ... 1 ...10 10 10 10 10 10 10 10 10 105 9 1 5 9 5 9 5 1 6

110 10 10 10 90 10 10 1010 10110

103

unidade 5

Assim,

30,5999... 5

Como sabemos, 35

é igual a 0,6 , e não 0,5999 . Um estudo mais avançado nos diz

que os algarismos kd ’s são únicos, se existem infinitos j ’s para os quais 9jd .

Veja Capítulo 8, em RIBEIRO (2011).

Teorema 5.10 (Propriedade da Densidade) Sejam ,a b , tal que a b , então,

existe um c , tal que a c b .

Prova. De a b , temos que 2a a b e 2a b b . De aqui, 2

a ba e

2a b b

, ou

2a ba b

. Seja 2

a bc , logo, a c b . ∎

Teorema 5.11 (Propriedade Arquimediana) Sejam ,a b . Então, existe um

número m , tal que

a mb

Prova. Se a b , então, existe 2m , tal que 2b a b . Se a b , suponha que a mb

para todo m . Sejam paq

e rbs

, em que , , ,p q r s . Logo, p rmq s , ou

sp mqr , para todo m . Em particular, para 1m sp , temos que

1sp mqr sp qr spqr qr . Como qr , então, sp spqr , de aqui, 1 qr , uma

contradição. ∎

Atividade 5.1

(1) Prove para todo ,a b :

a. a b a b a b

104

b. a a

c. a b a b

(2) Prove que para ,a b , 1 1 1a b b a

(3) Prove que , , ,a b c d , , 0b d , a c a d c db d b d

5.2. Conjunto dos Números Irracionais

Podemos dizer, grosso modo, que um número é irracional, se não pode ser expresso como quociente de dois números inteiros, ou se sua expansão decimal é infinita, ou não periódica. Um número algébrico é aquele número que é a raiz de um polinômio de uma variável não nula e coeficientes racionais (ou inteiros). Os números que não são algébricos são chamados de números transcendentais. Qualquer número transcendental

é irracional. Por exemplo, , e (base dos logaritmos neperianos), ln 2 , sen 1, 22

(constante de Gelfond–Schneider), e (constante de Gelfond), entre outras. Também,

alguns números algébricos são irracionais, por exemplo, 2 e 3 3 2 são raízes dos

seguintes polinômios: 2 2x e 38 3x , respectivamente, o número áureo,

1 5 1,6180339887...2

, entre outros.

A respeito do irracional mais conhecido, 2 , diz a lenda que o filósofo pitagórico, Hípaso de Metaponto, (naceu em torno do ano 500 a.C, em Metaponto, cidade grega da Magna Grécia, hoje é Itália), foi quem provalmente o descobriu. Supõe-se que sua demonstração, por métodos geométricos, envolvia que a hipotenusa de um triângulo isósceles, com catetos de comprimento 1 , i.e., raiz quadrada de dois (constante de Pitágoras), não poderia ser expressa pela razão entre números inteiros, HIPPASUS OF METAPONTUM (ano 500 a.C).

Hípaso de Metaponto.

105

unidade 5

Definição 5.13. Definimos um número irracional como qualquer número que não pode ser expresso, como o quociente de dois números inteiros, isto é,

é um número irracional, se, e somente se, pq

, ,p q , 0q

Portanto, .

Exemplo 5.6. Prove que 2 . Com efeito, suponha que 2 pq

, ,p q , e 0q , o

menor possível, tal que 2q p q . Então, 2

2 2pq

implica 2 22p q , de aqui, 2 22p q .

Agora, somando 2 pq , temos 2 22 2 2pq p pq q , de aqui, 2 22 2pq p pq q . Logo,

obtemos 2

2

2 2pq ppq q

, pois 2 0pq q q p q . Assim,

2

2p q pq p q

, ou

equivalentemente, 2

2q pp

q p q

. De aqui, 2

2 2q pp q

, então, 2

2q pp q

. Por

outro lado, 2q p q implica 2p q q q q . Assim, temos uma contradição, pois

existe uma representação racional de 2 com denominador menor que q . Portanto,

2 .

Atividade 5.2

(1) Prove que a. e é irracional b. 10log 2 é irracional

unidade

107

Unidade VI

Conjunto dos Números Reais

Objetivos

Aplicar o Axioma do Supremo.

Determinar quando um conjunto forma um Corpo ordenado completo.

Aplicar a propriedade Arquimediana dos números reais.

Aplicar as propriedades dos números reais.

unidade 6

109

unidade 6

6.1. Introdução

Os números racionais satisfazem a propriedade arquimediana (Se,a b . Então, existe um número m , tal que a mb ) e a

propriedade de densidade (entre dois números racionais sempre existe outro número racional, isto é, se ,p q e p q , então,

( ) 2p p q q ), porém são insuficientes para satisfazer o axioma

do supremo, ou axioma da completude, ou axioma da continuidade (Todo subconjunto não vazio de um conjunto limitado superiormente, admite supremo). Nesse sentido, a comunidade matemática teve o desafio de construir um conjunto “maior” que satisfizesse esse axioma. O resultado foi o conjunto dos Números Reais. Existem varias técnicas de construção dos números reais, cada uma, com vantagens e desvantagens. As mais usadas são: devido a Georg

Cantor1, Classes de equivalências de sequências de Cauchy de

números racionais, e devido a Richard Dedekind2, Cortes de

Dedekind (subconjunto dos números racionais com certas propriedades).

Georg Cantor.

Richard Dedekind.

Neste capítulo, construiremos o conjunto dos Números Reais, a partir do conjunto dos Números Racionais, usando cortes de Dedekind. Iniciaremos pela definição da estrutura algébrica: corpo, denotando por K . Definiremos quando um corpo é ordenado e, quando um corpo ordenado é completo. Finalmente, mostraremos que existe um conjunto , mais especificamente, um corpo ordenado completo, o qual será chamado de conjunto dos números reais.

1 Nasceu em São Petersburgo, Rússia (3 de março de 1845 a 6 de janeiro de 1918). 2 Nasceu em Braunschweig, Alemanha (6 de outubro de1831 a 12 de fevereiro de1916).

110

6.2. Preliminares

Definição 6.1. (Operação binária) Seja A . Uma operação binária sobre o conjunto A é uma função que aplica elementos de A A em A , isto é,

Se ,x y A A então x y A (6.1)

Observação. Uma operação binária, é muitas vezes, chamada de, simplesmente, operação. O enunciado em Eq. (6.1) representa o fecho da operação sobre A .

Exemplo 6.1. Verifique que a função † , definida por

† :

, †ps rqp r p r

q s q s qs

,

é uma operação sobre . Com efeito, †ps rqp r ps rq

q s qs qs qs

. Como , 0q s ,

†p r p rq s q s

. Por hipótese, , p rq s

, então, pela propriedade do fecho da adição em

, temos p rq s . Assim, †p r

q s .

Definição 6.2. (Ordem) Seja A um conjunto. Uma ordem em A é uma relação, denotada por , com as seguintes propriedades:

(i) Para todo ,x y A , ou x y ou x y ou y x (Tricotomia)

(ii) Para todo , ,x y z A , se x y e y z , então, x z (Transitividade)

Observação. A expressão x y (lê-se: “ x é menor que y ”), também, pode ser escrita

como y x (lê-se: “ y é maior que x ”).

Notação. Denotaremos por x y para indicar que x y ou x y , sem especificar qual

das duas expressões se cumpre.

111

unidade 6

Observação. A negação de x y é x y .

Definição 6.3. (Conjunto ordenado) Um conjunto ordenado é aquele no qual há definida uma ordem.

Exemplo 6.2. é um conjunto ordenado com a seguinte ordem:

p q q p (6.2)

Provaremos que a relação é de ordem. Com efeito, Tricotomia: como q p ,

então, pela Proposição 4.4, temos que ou 0q p ou 0q p , ou 0q p , ou

equivalentemente, q p ou q p ou q p . Transitividade: p q implica 0 q p ,

como q r , então, majorando, 0 q p r p . Assim, 0 r p , ou equivalentemente,

p r .

Para a definição de um conjunto limitado, o aluno, pode consultar LIMA (2008).

Definição 6.4. (Conjunto limitado superiormente) Seja A um conjunto e X A . Diz-se que X é um conjunto limitado superiormente, se existe um s A , tal que x s para todo x X .

Observação. Cada s A , satisfazendo a Definição 6.2, chama-se de cota superior (ou

majorante) de X .

Definição 6.5. (Conjunto limitado inferiormente) Seja A um conjunto e X A . Diz-se que X é um conjunto limitado inferiormente, se existe um r A , tal que x r para todo x X .

Observação. Cada r A , satisfazendo a Definição 6.5, chama-se de cota inferior (ou

minorante) de X .

Definição 6.6. (Conjunto limitado) Seja A um conjunto e X A . Diz-se que X é um conjunto limitado, se é limitado superior e inferiormente.

112

Definição 6.7. (Supremo) Seja X A um subconjunto limitado superiormente. Um elemento s A chama-se supremo de X , se s for a menor das cotas superiores de X . Nesse caso, podemos usar a seguinte notação:

sups X (6.3)

Definição 6.8. (Ínfimo) Seja X A um subconjunto limitado inferiormente. Um elemento r A chama-se ínfimo de X , se r for a maior das cotas inferiores de X . Nesse caso, usamos a seguinte notação:

infr X (6.4)

Definição 6.9. (Axioma do Supremo) Seja A um conjunto ordenado. Então, o axioma do supremo diz:

Todo subconjunto não vazio de A , limitado superiormente, admite supremo.

Observação. O axioma do supremo nos diz que, se X A , X e X limitado superiormente, então, existe o sup X em A . Esse axioma é também chamado de axioma

da completude ou axioma da continuidade.

Atividade 6.1

(1) Seja X um subconjunto não vazio de um conjunto ordenado. Suponha que r é uma cota inferior de X , e s uma cota superior de X . Prove que r s .

(2) Prove que em o conjunto é limitado inferiormente, e não é limitado

superiormente.

(3) Assuma que é uma operação sobre A . Complete a Tabela1, para que siga um caminho comutativo.

113

unidade 6

x y z u x x y u y z z z u x y

u x z

Tabela 1. A operação .

6.3. Corpos

Em álgebra abstrata, um corpo é uma estrutura algébrica. Em algumas bibliografias, no lugar da palavra corpo, usa-se a palavra campo.

Definição 6.10. (Corpo) Seja K um conjunto munido de duas operações chamadas de adição, , e multiplicação, . Dizemos que K é um corpo, se seus elementos satisfazem os seguintes axiomas:

Axiomas da Adição

(A1) x y z x y z (Associatividade)

(A2) x y y x (Comutatividade)

(A3) Existe 0 K tal que 0x x (Elemento neutro aditivo)

(A4) Para todo x K existe x K tal que ( ) 0x x (Elemento oposto)

Axiomas da Multiplicação

(M1) x y z x y z (Associatividade)

(M2) x y y x (Comutatividade)

(M3) Existe 1 K tal que 1x x (Elemento neutro multiplicativo)

(M4) Para todo x K , 0x existe 1 x K tal que 1 1x x (Elemento inverso)

114

Axioma da Adição e Multiplicação

(D1) x y z x y x z (Distributividade)

Subtração. A operação subtração, , é definida por

:

, K K Kx y x y x y

(6.5)

Observação. A expressão x y , lê-se: a diferença entre x e y .

Divisão. A operação divisão, , é definida por

:

, 1K K Kx y x y x y

(6.6)

Observação. A expressão x y , lê-se: o quociente de x por y . Pelo Axioma (M4), temos

que não existe quociente de x por y , quando 0y .

Notação. Em todo corpo é comum usar as seguintes notações:

O quociente x y também pode ser escrito como xy

.

A soma x x será denotada por 2 x , a soma x x x , por 3 x , e assim por diante.

O produto x x será denotado por 2x , o produto x x x , por 3x , e assim por diante.

Exemplo 6.3. O conjunto dos números racionais, , forma um corpo com as seguintes

operações:

: :

, , ps rqp r p r p r p r pr

q s q s qs q s q s qs

Observação. A soma e o produto no lado direito da igualdade estão dados em .

115

unidade 6

Proposição 6.1. (Consequências da adição) Seja K um corpo, e , ,x y z K . Então,

(a) x y x z y z (Cancelamento)

(b) 0x y x y

(c) 0 x y y x

(d) x x

Prova. Deixa-se para o leitor.

Proposição 6.2. (Consequências da multiplicação) Seja K um corpo, e , ,x y z K .

Então,

(a) Se 0x e x y x z , então, y z (Cancelamento)

(b) Se 0x e x y x , então, 1y

(c) Se 0x e 1x y , então, 1yx

(d) Se 0x , então, 1 1x x

Prova. Deixa-se para o leitor.

Proposição 6.3. Seja K um corpo, e , ,x y z K . Então,

(a) 0 0x

(b) Se 0x e 0y , então, 0x y

(c) x y x y x y

(d) x y x y

Prova.

(a) 0 0 0 0 0x x x x . Assim, pelo Axioma A3, 0 0x .

(b) Suponha que 0x y . Agora, 1 1xx e 1 1y

y , assim, 1 1 1x y

x y

. Desse

modo, 1 1 1x yx y

, então, 1 10 1

x y

, de aqui, 0 1 , o qual é uma contradição.

Logo, 0x y .

116

(c) 0 0x y x y x x y y . Assim, pela Proposição 6.1c, x y x y .

Por outro lado, x y y x y x x y .

(d) x y x y x y , e pela Proposição 6.1d x y x y . ∎

Definição 6.11. (Corpo ordenado) Um corpo ordenado, K , é um conjunto ordenado, cujos elementos têm as seguintes propriedades:

(i) y z x y x z (ii) 0 0 0x y x y

Observação. Se 0x , então, se diz que x é positivo e, se 0x , diz-se x é negativo.

Exemplo 6.4. é um corpo ordenado. Verifique, usando a relação de ordem dada em

Eq. (6.2).

Proposição 6.4. Seja K um corpo ordenado, e , ,x y z K . Então,

(a) 0 0x x

(b) 0 x y z x y x z

(c) 0 x y z x y x z

(d) 20 0x x . Em particular, 1 0

(e) 1 10 0x yy x

Prova. De (a) até (d), deixa-se para o leitor.

(e) 0x implica 1 1xx . Pela parte (d), 1 0x

x , e pela Definição 6.11(ii), 1 0

x .

Analogamente para 0y , temos, 1 0y . Assim, outra vez, pela Definição 6.11(ii),

1 1 0x y . Pela hipótese, x y , e pela parte (b), 1 1 1 1x y

x y x y

. Comutando, o lado

esquerdo, 1 1 1 1x yy x x y

, associando, 1 1 1 1x y

y x x y

. Pela propriedade do

117

unidade 6

elemento inverso, 1 11 1y x e pela propriedade do elemento neutro multiplicativo,

1 1y x e como 1 0

y . Finalmente, 1 10

y x . ∎

Definição 6.12. (Valor absoluto ou Módulo) Seja K um corpo ordenado, e x K , definimos o valor absoluto de x por

se 0se 0

x xx

x x

Definição 6.13. (Corpo ordenado completo) Um corpo ordenado K chama-se completo, se satisfaz o axioma do supremo.

Exemplo 6.5. é um corpo ordenado que não é completo. Verifique!

Atividade 6.2

(1) Define-se o seguinte conjunto:

: , onde e 0 são polinômios com coeficientes racionaisp t

t r t r t p qq t

Prove que t com as operações usuais de adição e multiplicação formam um

corpo. (2) (Desigualdade de Bernoulli) Em todo corpo ordenado K , se n e 1x ,

vale

1 1nx nx

Prove esta desigualdade. (3) Se n e 1x num corpo ordenado K , prove que

118

1 1nx nx

(4) Seja K um corpo ordenado, e ,x y K , 0y , prove que 1 x y x y , ou seja,

xxy y .

6.4. Conjunto dos Números Reais

Nesta seção, estudaremos a existência do conjunto dos números reais, a imersão dos racionais nos reais, a propriedade arquimediana e a densidade dos números reais.

Teorema 6.1 (Existência dos Números Reais) Existe um corpo ordenado completo,

, chamado o Conjunto dos Números Reais.

Observação. A construção de será feita a partir de , usando cortes de Dedekind.

Prova. Apresentaremos apenas um esboço da demonstração, em oito passos. Para uma prova completa, o aluno, pode consultar RUDIN (1976).

A sequência dos Passos 1 a 8 mostra que o conjunto é um corpo ordenado completo.

Passo 1 Seja o conjunto cujos membros são subconjuntos de , chamados de cortes.

Definição 6.14. (Corte) Um corte é qualquer conjunto com as seguintes três

propriedades: (i) e

(ii) Se p , q e q p , então, q

(iii) Se p , então, p r para algum r

Notação. As letras , , ,...p q r , nesta prova, sempre denotarão números racionais, e

, , ,... denotarão cortes.

119

unidade 6

Observação. A Propriedade (iii) nos indica que não tem um membro maior. A Propriedade (ii) implica dois fatos que serão usados com liberdade:

(a) p q p q

(b) r r s s

Passo 2 Definição de Ordem em .

Definição 6.15. Sejam , , então,

, se, e somente se, é um subconjunto próprio de (6.7)

Verifica-se que a relação é de ordem em , seguindo a Definição 6.2. Assim, é um conjunto ordenado.

Passo 3 O conjunto ordenado satisfaz o axioma do supremo.

Para demonstrar isso, considere X um subconjunto não vazio de , e assuma que é uma cota superior de X . Define-se ,

X

, (6.8)

isto é,

p , se, e somente se, p para algum X (6.9)

Verifica-se que e sup X .

Passo 4 Definição de Adição em .

Definição 6.16. Sejam , . Definimos a soma de e por

: e r s r s (6.10)

O elemento neutro aditivo, denotado por 0 , é definido por

120

0 : 0r r (6.11)

e é obviamente um corte. A operação de adição, dada em Eq. (6.10), satisfaz todos os axiomas da adição de um corpo.

Passo 5 é um corpo ordenado (parte 1).

O item (i) da Definição 6.11, em termos de cortes, seria:

(6.12)

Com efeito, pela Definição 6.15, implica . Sejam r e s , então,

r s (Definição 6.16). Como s , então, s . Assim, r s . Logo,

existem três possibilidades: ou , ou , ou . A

primeira possibilidade é uma contradição, pois, pela propriedade de cancelamento em Proposição 6.1a, temos que . A segunda possibilidade é obviamente falsa, pois

. Só nos resta a terceira da qual temos, pela Definição 6.15, que .

Passo 6 Definição da Multiplicação em (parte 1).

A multiplicação em é um pouco mais elaborada que a adição, isso se deve a fato de que o produto de racionais negativos é positivo. Comecemos, primeiro, definindo a multiplicação em , isto é, em

: 0 (6.13)

Definição 6.17. Sejam , . Definimos o produto e por

: para alguns 0 , 0p p rs r s (6.14)

O elemento neutro multiplicativo, denotado por 1 , é definido por

1 : 1q q (6.15)

121

unidade 6

A operação de multiplicação, dada em Eq. (6.14), satisfaz todos os axiomas da multiplicação de um corpo. Além disso, o Axioma D1, também, é verificado.

Passo 7 Definição da Multiplicação em (parte 2).

Completaremos, agora, a definição de multiplicação para todo , estabelecendo que

0 0 0 (6.16)

e, com ajuda da definição em Eq. (6.14), temos o produto de e para os outros casos:

, se 0 , 0 , se 0 , 0

, se 0 , 0

(6.17)

Observação. Segundo o Passo 6, temos provado que satisfaz os axiomas da multiplicação e o Axioma D1 de um corpo. Agora é bem simples prová-los para todo , ao utilizar a propriedade (d) da Proposição 6.1, isto é, , onde .

Verifica-se, também, o Axioma D1 para todo .

Passo 8 é um corpo ordenado (parte 2).

O item (ii) da Definição 6.11, em termos de cortes, seria:

0 0 0 (6.18)

Demonstrarei que, se 0p , então, p . Com efeito, pela Eq. (6.11), 0p implica

p e 0p . Pela hipótese, temos que p e p . Assim, 20 p e 2

10p

.

Por outro lado, 22

1p pp

, então, pela Definição 6.17, p .

Conclusão. Pelos Passos 3 e 8 e Definição 6.13, concluímos que é um corpo ordenado completo. ∎

122

Teorema 6.2 ( subcorpo de ) O conjunto dos números racionais é um subcorpo do

conjunto dos números reais.

Prova.

Para todo r , defina-se seguinte conjunto:

:r p p r (6.19)

Prova-se que esse conjunto é um corte (verifique!!). Logo, r .

Observação. O corte em Eq. (6.19) é chamado de corte racional.

Notação. Denotaremos o conjunto de todos r por

: é um corte racionalr r (6.20)

Observação. De Eq. (6.20), temos que .

A seguinte função

: f

r f r r

(6.21)

define um isomorfismo de sobre . De fato, provaremos que

(a) f preserva as operações de adição, multiplicação e ordem.

(b) f é bijetora.

Prova de (a). (i) f r s f r f s , isto é, r s r s . Com efeito, seja

p r s , então, p r s . Assim, existe um 2k t , tal que p k r s , ou

2p r s t , ou p r t s t . Sejam r r t e s s t . Assim, r r e s s e,

portanto, p r s r s . Inversamente, seja p r s , então, p u v , onde u r

e v s . Assim, pela Eq. (6.19), u r e v s . Agora majorando, temos que

123

unidade 6

p u v r s . Logo, p r s . (ii) f r s f r f s . Deixa-se para o leitor. (iii)

r s f r f s . Deixa-se para o leitor.

Prova de (b). (i) r s f r f s . Com efeito, se r s , então, r s ou s r . Como

se preserva ordem, temos que f r f s ou f s f r . Assim, f r f s . (ii)

Pela definição da função, Eq. (6.21), f é obviamente sobrejetora.

Com isso, podemos dizer e são isomorfos e denotamos . Agora, como , temos que o conjunto dos números racionais é um subconjunto dos números

reais, isto é,

(6.22)

E como é um corpo (Exemplo 6.3), finalizamos, dizendo que é um subcorpo de ∎

Observação. Podemos obter, também, o conjunto dos números irracionais, como sendo todos os elementos do conjunto .

Notação.

O conjunto de todos os números reais positivos é denotado por . O conjunto de todos os números reais negativos é denotado por . O conjunto dos números reais, sem o número zero, é denotado por .

Teorema 6.3 (Propriedade Arquimediana) Se ,x y e 0x , então, existe n ,

tal que

nx y

Prova. Deixa-se para o leitor.

Teorema 6.4 ( é denso em ) Se ,x y e x y , então, existe r , tal que

x r y

124

Prova. Deixa-se ao leitor.

Teorema 6.5 (Existência raiz n -ésima) Para todo x e para todo n existe um

único y , tal que

ny x

Notação. Esse número y também pode ser escrito como n x , ou 1/nx .

Prova. Deixa-se ao leitor.

Observação. O Teorema 6.5 supera a irracionalidade de 2 , apresentada no conjunto

dos números racionais. De fato, seja 2x e 2n , então, existe um único y , tal que

2y .

Atividade 6.3

(1) Se A é um conjunto não vazio de números reais limitado inferiormente. Se A é o conjunto de todos os números x , onde x A . Prove que

inf supA A

(2) Se ,x y e n , então, 1/ 1/ 1/n n nxy x y .

(3) Seja 1b .

(a) Se , , ,m n p q , 0n , 0q e m prn q

, prove que 1/ 1/n qm pb b .

Portanto, faz sentido definir 1/nr pb b .

(b) Prove que r s r sb b b , se r e s são racionais.

(4) Sejam ,x y . Prove que se tem 2

x yxy .

unidade

125

Unidade VII

Funções

Objetivos Aplicar o conceito de função em situações reais.

Calcular domínio e imagem de funções polinomiais, racionais, logarítmicas, exponenciais e trigonométricas.

Esboçar o gráfico das funções polinomiais, racionais, logarítmicas, exponenciais e trigonométricas.

Encontrar a inversa de uma função.

unidade 7

127

unidade 7

7.1. Introdução

Da Teoria de Relações, estudadas no Capítulo 3, podemos dizer, grosso modo, que uma função é uma relação entre dois conjuntos de variáveis, de tal modo que, a cada valor do primeiro conjunto, associamos exatamente um valor do segundo conjunto.

Vamos compreender que existem diferentes maneiras de expressar uma função.

7.1.1. Por uma tabela

Aerograma internacional. A Tabela 1 representa uma função que relaciona as variáveis: preço em R$ e produtos internacionais.

Tabela 1. Aerograma internacional1. Vigência: 09/03/2007

Produtos Internacionais Preço em R$. Aerograma Internacional 1,70 Envelope Pré-franqueado Carta Mundial 20g 2,00 Envelope Pré-franqueado Carta Mundial 50g 3,70 Envelope Pré-franqueado Carta Mundial 100g 6,70 Cupom-Resposta Internacional 5,00

Preços de Artigos. A Tabela 2 também representa uma função.

Tabela 2. Preços de Artigos.

Número de Artigos Custo operacional diário em R$. 0 0 1 700 2 900 3 1110 4 1300

1 O Cupom Resposta Internacional adquirido no exterior, além de poder ser trocado por selos (no valor equivalente a um documento prioritário de 20g para o país escolhido), também pode ser trocado por um aerograma internacional ou um envelope pré-franqueado Carta Mundial 20g.

128

7.1.2. Por uma lei que rege a relação (Regra)

Exemplo 7.1. Para obter o custo operacional diário, no item exposto anteriormente, (Tabela 2) para 0, 1, 2, 3 ou 4 unidades, multiplique o número de itens por 200 e adicione 500 ao resultado.

7.1.3. Por uma equação

Para obter o custo diário, no Exemplo 7.1, teremos:

200 500y x

Note que x representa o número de artigos, e y representa o custo operacional diário.

Observação. Embora uma função possa ser representada por uma equação, nem toda equação representa uma função.

7.1.4. Por um gráfico

Os gráficos mostrados nas figuras 1, 2 e 3 são exemplos de funções.

Figura 1. Crescimento saudável. Fonte: Reportagem Natália Cuminale.

129

unidade 7

Figura 2. Quantidade alunos e quantidade de cursos, em cada mês, no decorrer do ano de 2010. Escola de Extensão na Unicamp.

Figura 3. Evolução da anomalia da temperatura média da Terra, desde 1850, Temperatura Global.

7.2. Função

Depois de ter dado alguns exemplos que representam funções, passaremos a formalizar esse conceito.

130

Definição 7.1. (Função) Sejam X e Y dois conjuntos. Definimos uma função f como a

correspondência de um elemento de X , com um único elemento de Y . O conjunto X chama-se conjunto de partida de f , e Y , conjunto de chegada de f .

Simbolicamente:

:

f X Y

x y f x

Observação.

(a) O elemento y Y é único, ou seja, não existem dois elementos em Y para um

mesmo elemento x X . Isto é,

1 2 1 2 f x f x x x (7.1)

(b) O conjunto de chegada Y é, também, chamado Contradomínio de f .

Quando se define uma função, imediatamente aparecem três conceitos básicos: domínio, imagem e gráfico.

7.2.1. Domínio e imagem de uma função

Definição 7.2. (Domínio de uma função) O domínio de uma função f , denotado por

fD , é definido por

: , ( )fD x X y Y y f x (7.2)

Observação. O que significa, então, encontrar o domínio de uma função, quando se conhece a sua lei de formação?

Fique atento!!!

Significa que teremos que encontrar o maior conjunto, isto é, o conjunto cujos elementos são todos os possíveis valores x para os quais existe um único y em correspondência.

131

unidade 7

Definição 7.3. (Imagem de uma função) A imagem de uma função f , denotada por

Im f , é definida por

Im : , ( )f y Y x X y f x (7.3)

Observação.

(a) Em geral, fD X e Im f Y .

(b) O conjunto Im f é denotado, também, por ff D .

Exercício 7.1. Dados os conjuntos 1,0,1,3A e 1,0,1,2,3,6,7B . Determinar o

conjunto imagem da função :f A B , definida por 2 1f x x .

Solução.

Avaliando f em cada elemento de A ,

1 2 1 1 1

0 2 0 1 1

1 2 1 1 3

3 2 3 1 7

f

f

f

f

Figura 4. Esquema que representa a f .

Assim, fD A e Im 1,1,3,7f B , como se mostra na Figura 4.

Exercício 7.2. Encontre o domínio e imagem da seguinte função: 45

xf xx

.

Solução. Observe que para 5x não existe um y , tal que 5y f . Então,

\ 5fD \ 5\ 5 \ 5 \ 5\ 5 \ 5 . Por outro lado, para qualquer fx D não há problema com y f x .

Assim, Im f .

132

Atividade 7.1

(1) Encontre o domínio das seguintes funções.

(a) 15

yx

(b) 4 17y x

(c) 9x (d) 2 99y x

Resposta. (a) \ 5 . (b) . (c) 9, . (d) .

7.2.2. Gráfico de uma função

Devemos ter presente que nem toda representação gráfica representa uma função!!! Para rapidamente identificarmos se um gráfico é uma função, basta imaginarmos retas verticais, paralelas ao eixo y , passando pelos elementos do domínio. Se todas as retas

que imaginarmos, tocarem o gráfico, em apenas um ponto, será uma função. Isso porque, com esse recurso, identificamos que, para cada x (elemento do domínio), associa-se apenas um y (imagem de x ).

Abaixo, alguns esboços de gráficos para uma reflexão sobre o conceito de função.

(a) (b)

Figura 5. Esboços do gráfico de uma função. (a) x g y . (b) y f x .

133

unidade 7

Observe que, na Figura 5a, o esboço não representa o gráfico de uma função y f x ,

pois as retas pontilhadas cortam o esboço em mais de um ponto. Contudo, representaria

o gráfico de uma função x g y . Já, na Figura 5b, o esboço representa o gráfico de uma

função y f x . As retas imaginadas (pontilhadas) tocam o gráfico uma única vez.

Definição 7.4. (Gráfico de uma função) Seja :f X Y uma função. O gráfico de f

denota-se fG , é definido por

2( , ) : e f fG x y y f x x D (7.4)

Observação.

(a) Quais pontos devem ter prioridade?

Parece ser importante identificarmos os pontos em que o gráfico intercepta os eixos.

(b) Que particularidades teriam os pontos do plano que estão sobre os

eixos?

Reflitam...

i. Os pontos sobre o eixo das abscissas são do tipo ,0x , isto é, 0y .

ii. Os pontos sobre o eixo das ordenadas são do tipo 0, y , isto é, 0x .

(c) (Zeros ou raízes de uma função) Todo elemento fx D , tal que 0f x é

chamado de zero ou raiz de f .

Exercício 7.3. Obtenha o gráfico da seguinte função:

2 1f x x (7.5)

Solução. (i) Pontos que interceptam o eixo x . Esses pontos são obtidos da equação

2 1 0x . Assim, o único ponto de intersecção é 1 1/ 2,0P . (ii) Pontos que

134

interceptam o eixo y . Fazendo 0x , na função, obtemos o ponto 2 0,1P . Como a

equação dada é a de uma reta, então, dois pontos são suficientes. Veja Figura 6.

Figura 6. Gráfico de 2 1y x .

7.3. Operações com Funções

Considerem-se duas funções: f e g , tal que f gD D .

Definição 7.5. (Soma de Funções)

( ) ( ) ( ), f gf g x f x g x x D D (7.6)

Definição 7.6. (Multiplicação de Funções)

( ) ( ) ( ), f gf g x f x g x x D D (7.7)

Definição 7.7. (Quociente de Funções)

( )/ ( ) ,( )

f xf g xg x

(7.8)

onde / : ( ) 0f g f gD x D D g x .

135

unidade 7

7.4. Função Polinomial e Função Racional

7.5.1 Função polinomial

Definição 7.8. (Função Polinomial) Uma função polinomial de grau n , :f é

definida por

20 1 2

nnf x a a x a x a x nnf x a a x a x a xnf x a a x a x a xnf x a a x a x a x f x a a x a x a x , (7.9)

onde, ia , 0,...,i n e 0na , n .

Casos particulares de funções polinomiais

Definição 7.9. (Função Cúbica) Uma função polinomial de grau 3 é chamada uma função cúbica, isto é,

2 30 1 2 3f x a a x a x a x (7.10)

Note que o coeficiente 3 0a .

Exemplo 7.2. Esboce o gráfico da seguinte função cúbica: 3 22 1f x x x x . O gráfico

é mostrado na Figura 7.

Figura 7. Gráfico de 3 22 1f x x x x .

Observação. Toda função cúbica tem pelo menos uma raiz e, no máximo, três raízes.

136

A função cúbica mais conhecida é a que passa pela origem. Veja o próximo exemplo.

Exemplo 7.3. Esboce o gráfico da função cúbica: 3y x . O gráfico é mostrado na Figura 8.

Figura 8. Gráfico da função cúbica.

Definição 7.10. (Função Quadrática) Uma função polinomial de grau 2 é chamada função quadrática, isto é,

20 1 2f x a a x a x (7.11)

Note que o coeficiente 2 0a .

Observação. O gráfico de uma função quadrática é chamado de parábola.

Exemplo 7.4. Esboce o gráfico da seguinte função quadrática: 2 2f x x x . O gráfico

é mostrado na Figura 9.

Figura 9. Gráfico da função 2 2f x x x .

137

unidade 7

Definição 7.11. (Função Afim) Uma função polinomial de grau 1 é chamada função afim, isto é,

0 1f x a a x , (7.12)

onde 1 0a .

Observação.

(a) A constante 1a é chamada de coeficiente angular, e 0a , de coeficiente linear.

(b) O gráfico de toda função afim são retas com coeficiente angular não nulo.

Exemplo 7.5. A função dada em Eq. (7.5) é uma função afim.

Um caso particular de função afim é a função linear.

Definição 7.12. (Função Linear) Uma função afim, com o coeficiente linear nulo, é chamada de função linear, isto é,

1f x a x (7.13)

Exemplo 7.6. Esboce o gráfico da função linear: 2f x x . Esse gráfico é mostrado na

Figura 10.

Figura 10. Gráfico de 2f x x . Figura 11. Gráfico de f x x .

138

Definição 7.13. (Função Identidade) Uma função linear, com coeficiente angular igual à unidade, é chamada de função identidade, isto é,

i x x (7.14)

para todo ix D .

Exemplo 7.7. O gráfico da função identidade, i x x , é mostrado na Figura 11.

Definição 7.14. (Função Constante) Seja 0a uma constante. A função constante é

definida por

0f x a (7.15)

para todo fx D .

Exemplo 7.8. Esboce o gráfico da função constante 3 / 2y . Na Figura 12, mostramos seu gráfico.

Definição 7.15. (Função Nula) Uma função :f é chamada função nula, se para

todo fx D , temos

0f x (7.16)

O gráfico da função nula é mostrado na Figura 13.

Figura 12. Gráfico de 3 / 2y .

Figura 13. Gráfico da função nula.

139

unidade 7

7.5.2 Função racional

Definição 7.16. (Função Racional) Uma função é dita racional, se ela é o cociente entre duas funções polinomiais, isto é,

p xf x

q x (7.17)

onde p x e q x são polinômios, e 0q x .

Observação. O domínio da função racional f x é dado por : ( ) 0fD x q x : ( ) 0D x q x: ( ) 0D x q x: ( ) 0: ( ) 0 : ( ) 0D x q x D x q x: ( ) 0D x q x: ( ) 0 : ( ) 0D x q x: ( ) 0 .

Exemplo 7.9. Esboce o gráfico da seguinte função racional 11

xyx

. Na Figura 14,

mostramos seu gráfico. Observe que o \ 1fD \ 1\ 1 e a Im \ 1f Im \ 1Im \ 1 .

Figura 14. Gráfico da função 11

xyx

.

Figura 15. Gráfico da função 1 2y x .

140

7.5. Função Valor Absoluto e Função Raiz Quadrada

7.5.1 Função valor absoluto

Definição 7.17. (Função Valor Absoluto ou Função Módulo) A função valor absoluto é definida por uma :f , tal que

se 0se 0

x xf x x

x x

(7.18)

Note que fD e Im 0,f .

Exemplo 7.10. Esboce o gráfico da seguinte função 1 2y x . O gráfico é mostrado na

Figura 15.

7.5.2 Função raiz quadrada

Definição 7.18. (Função Raiz Quadrada) A função raiz quadrada, :f , é

definida por

f x x (7.19)

para todo 0x .

O gráfico dessa função é mostrado na Figura 16.

Figura 16. Função raiz quadrada.

141

unidade 7

7.6. Propriedades das Funções

7.6.1 Função crescente e decrescente

Definição 7.19. (Função Crescente) Seja :f uma função. Então, f é crescente

em fI D , se

1 2 1 2 1 2, , x x I x x f x f x (7.20)

Exemplo 7.11. A função 2 4f x x é crescente. De fato, sejam 1 2,x x , tal que 1 2x x

. Então, 1 1 2 22 4 2 4f x x x f x . Logo, 1 2f x f x . Veja Figura 17.

Definição 7.20. (Função Decrescente) Seja :f uma função. Então, f é

decrescente em fI D , se

1 2 1 2 1 2, , x x I x x f x f x (7.21)

Exemplo 7.12. A função 1/f x x é decrescente. De fato, sejam 1 2, \ 0x x , \ 0, \ 0 , tal que

1 2x x . Sabemos que 1 2 1 21/ 1/x x x x . Logo, 1 2f x f x . Veja Figura 18.

Figura 17. Gráfico de 2 4f x x . Figura 18. Gráfico de 1/f x x .

142

Exercício 7.4. Analise o crescimento e o decrescimento da parábola 2y x .

Solução. O vértice da parábola é a origem. Assim, podemos dividir o fD em dois

subintervalos, isto é, ,0 0,fD . Sejam 1 2, ,0x x , tal que 1 2x x .

Então, 2 2 2 21 2 1 2 1 2 x x x x x x . Assim, 1 2f x f x . Analogamente,

considere 1 2, 0,x x tal que 1 2x x . Então, 2 21 2x x . Assim, 1 2f x f x . Portanto,

a parábola é crescente para todo 0x e decrescente para todo 0x .

Atividade 7.2

(1) Analise o crescimento e o decrescimento da parábola 21 2y x .

7.6.2 Função injetora, sobrejetora e bijetora

Definição 7.21. (Função Injetora ou Injetiva) Seja :f X Y uma função. Dizemos

que f é injetora em W X , se para todo 1 2,x x W ,

1 2 1 2 f x f x x x (7.22)

Observação. A Eq. (7.22) pode interpretar-se do seguinte modo: f associa elementos

distintos de W a elementos distintos de Y .

Exemplo 7.13. A função definida no Exercício 7.1 é injetora.

Exemplo 7.14. A parábola 2y x é injetora em 0, , pois, se 1 2, 0,x x , 2 21 2x x ,

então, 1 2x x . Assim, 1 2x x .

Definição 7.22. (Função Sobrejetora ou Sobrejetiva) Seja :f X Y uma função.

Dizemos que f é sobrejetora, se

Im f Y (7.23)

143

unidade 7

Dessa definição, podemos dizer, equivalentemente, que f é sobrejetora, se

, / fy Y x D y f x (7.24)

Exemplo 7.15. Sejam 1,0,1,2A , 1,2,5B e :f A B definida por 2 1f x x . Verifiquemos que f é sobrejetora. Com efeito, avaliemos f nos elementos x A :

1 2

0 1

1 2

2 5

f

f

f

f

Na Figura 19, podemos observar cada um desses valores. Desse modo, temos que

f A B . Figura 19. Relação entre elementos

de A e B via f .

Definição 7.23. (Função Bijetora ou Bijetiva) Seja :f X Y uma função. Dizemos

que f é sobrejetora, se, e somente se, f é injetora e sobrejetora.

Observação. Através do gráfico da função, podemos reconhecer se f é ou não bijetora.

Para isso, vamos traçar retas paralelas ao eixo x pelos pontos que pertencem ao contradomínio da função. Se cada uma dessas retas interceptar o gráfico em um único ponto, a função é bijetora.

Exemplo 7.16. Na Figura 20a, a função f é bijetora, pois é sobrejetora e injetora ao

mesmo tempo.

Exemplo 7.17. Na Figura 20b, a função não é bijetora, pois é sobrejetora, mas não é injetora, pois existem valores distintos do domínio com imagens iguais.

144

(a) (b) (c)

Figura 20. Gráficos de funções. (a) Bijetora. (b) Não é bijetora. (c) Não é bijetora.

Exemplo 7.18. Na Figura 20c, a função não é bijetora, pois é injetora, mas não é sobrejetora, pois a imagem não coincide com o contradomínio.

7.6.3 Função par e ímpar

Definição 7.24. (Função Par) Uma função :f é par, se para todo fx D ,

f x f x (7.25)

Exemplo 7.19. A função 2f x x é par, pois 2 2f x x x f x .

Exemplo 7.20. A função 1f x x é par, pois 1 1f x x x f x .

Observação. O gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo das ordenadas, isto é, toda reta paralela ao eixo x corta o gráfico simetricamente.

Definição 7.25. (Função Ímpar) Uma função :f é ímpar, se para todo fx D ,

f x f x (7.26)

145

unidade 7

Exemplo 7.21. A função 3f x x é ímpar, pois 3 3f x x x f x .

Exemplo 7.22. A função 2f x x é ímpar, pois 2 2f x x x f x .

Observação. O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação à origem de 22 . Observação. Uma função que não se classifica em nenhum desses casos, isto é, uma função que não é par nem ímpar, é chamada função sem paridade.

7.6.4 Função composta

Antes de definir a composição de duas funções, considere a Figura 21. Nela, pode-se observar que a composição de funções f gf g está bem definida, se Im fg D .

Figura 21. Composição de funções.

Definição 7.26. (Função Composta) Sejam :f X Y e :g Z X duas funções, tais

que Im fg D . Então, definimos a função composta :h f g Z Y h f g Z Yh f g Z Y h f g Z Y:h f g Z Y: :h f g Z Y: como

( )h x f g x f g x h x f g x f g xh x f g x f g xh x f g x f g x h x f g x f g xh x f g x f g x h x f g x f g xh x f g x f g x h x f g x f g xh x f g x f g x h x f g x f g x h x f g x f g x h x f g x f g x (7.27)

para todo hx D Z .

Observação.

(a) A primeira igualdade na Eq. (7.27) é devido ao fato de que a composição de funções é outra função. Assim, podemos denotar f gf g por h .

146

(b) A notação f g lê-se: f composta com g .

Exercício 7.5. Sejam 1f x x e 22 3g x x . Determine: (a) f g , (b) g f e (c)

O valor de x pelo qual f g x g f x .

Solução. (a) f g . Pela Eq. (7.27),

2 2 21 ( ) 2 3 2 3 1 2 1h x f g x f g x f x x x

(b) g f . Pela Eq. (7.27),

22 ( ) 1 2 1 3h x g f x g f x g x x

(c) f g x g f x , se, e somente se, 222 1 2 1 3x x , ou

equivalentemente, 2 22 2 2 4 2 3x x x . Assim, 1/ 4x .

Exercício 7.6. Sendo 3 1f x x e 6 8f g x x . Determine g x .

Solução. ( ) 3 1 6 8f g x f g x g x x . Então, 2 3g x x .

Exercício 7.7. Se 2 5 6f x x x e 1g x x , resolva a equação 0f g x .

Solução. De 0f g x , temos 21 5 1 6 0x x , ou equivalentemente,

2 3 2 0 2 1 0x x x x . Assim, 2x ou 1x .

7.6.5 Função inversa

Definição 7.27. (Inversa de uma Função) A inversa de uma função :f X Y ,

denotada por 1 :f Y X , é tal função que satisfaz

1 1f f f f i (7.28)

Note que :i X X é a função identidade.

147

unidade 7

Exemplo 7.23. A função 1 1 bf x xa a

é a inversa da função afim, f x ax b , pois

1 1 1 1b bf f x f f x f x a x b x i xa a a a

Por outro lado,

1 1 1 1 bf f x f f x f ax b ax b x i xa a

Teorema 7.1 :f X Y é sobrejetora, se, e somente se, existe 1 :f Y X .

Prova. A ida: Se f é sobrejetora, então, y Y , !x X , tal que y f x . Seja x g y ,

então, isso define uma função :g Y X , tal que ( )g f x x , x X . Assim,

g f x i x . Desse modo g f i . Por outro lado, se x g y , então,

( )f x f g y f g y , ou equivalentemente, y f g y i y f g y .

Desse modo, f g i . Portanto, existe 1f g .

A volta: (Deixa-se ao leitor). ∎

Exercício 7.8. Encontre a inversa de 21 4f x x .

Solução. Será que f é injetora? Analisemos, primeiro, para todo 1 2,x x ,

2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 1 2f x f x x x x x x x x x (7.29)

Assim, f não é injetora. Porém, se analisássemos para todo 1 2, 1,x x , teríamos, de

Eq. (7.29), que 1 2x x . Consequentemente, f é injetora. E, também, : 1, 4,f é

sobrejetora. Assim, f é bijetora. Logo, existe 1 : 4, 1,f . Denotemos por g x

a inversa de f x . De Eq. (7.28), temos

2 2( ) 1 4 ( ) 1 4 ( ) 1 4f g x f g x g x x g x x g x x

148

Como ( ) 1g x . Então, ( ) 4 1g x x . Veja Figura 22.

Figura 22. f e 1f .

Atividade 7.3

(1) Considere a mesma função do Exercício 7.8. Verifique que f é bijetora em

,1 e encontre sua inversa.

7.7. Função Exponencial

Definição 7.28. (Função Exponencial) Sejam 0a e 1a . Definimos a função

exponencial de base a , como

: x

fx f x a

x f x ax f x a x f x a (7.30)

Observação. fD e Im f . Toda função exponencial, Eq. (7.30), passa pelo

ponto 0,1 .

149

unidade 7

7.7.1 Propriedades da função exponencial

(a) A função exponencial é bijetora. Segue imediatamente do resultado de que potências de igual base são iguais. Assim,

1 21 2 1 2 x xf x f x a a x x

E, como por definição, a função é sobrejetora. Portanto, f é bijetora.

(b) A função exponencial é decrescente para 0 1a . Isto é, 1 2

1 2 x xx x a a

(c) A função exponencial é crescente para 1a . Isto é, 1 2

1 2 x xx x a a

(d) A função exponencial é ilimitada. É só olhar a Im f .

Na Figura 23, mostramos a função exponencial: 1/ 2 xf x (decrescente), e 2xf x

(crescente).

Figura 23. Função exponencial: 1/ 2 xf x e 2xf x .

Exercício 7.9. Construa todos os gráficos das seguintes funções exponenciais xy a ,

onde 2,4,6,8,10a A .

150

Solução. Na Figura 24, mostramos todos esses gráficos. Observe, primeiro, que todas elas são crescentes e passam pelo ponto 0,1 , além disso, cada vez que a base aumenta, a

“inclinação” da função exponencial aumenta.

Figura 24. Gráfico da família de funções exponenciais.

Atividade 7.4

(1) Construa o gráfico da família de funções de exponenciais xy a , onde

1/ 2, 1/ 4, 1/ 6, 1/ 8, 1/10, 1/ 20a A .

(2) O que muda no gráfico da função exponencial 2 xy e em relação ao gráfico da

função xy e , onde e é o número de Euler.

7.8. Função Logarítmica

7.8.1 Logaritmos

Definição 7.29. (Logaritmo) Sejam , 0a b , 1b . Definimos o logaritmo de a em base

b , denotado por logb a , ao expoente x , tal que xb a , isto é,

log bxbx a a (7.31)

151

unidade 7

Exemplo 7.24. O 5log 1/ 25 é 2 , pois 1 25log 1/ 25 5 1/ 25 5 25 5x xx .

Assim, 2x .

7.8.2 Logaritmo decimal e natural.

Alguns logaritmos recebem nomes especiais para determinadas bases. Se a base é 10, o logaritmo de a é dado por 10log a , o qual é denotado por log a . Esse

logaritmo é chamado de logaritmo decimal. Se a base é e , o logaritmo de a é dado por loge a , o qual é denotado por ln a . Esse

logaritmo é chamado de logaritmo natural.

7.8.3 Propriedades dos logaritmos

(a) log 1b b

(b) log 1 0b

(c) log logyb ba y a

(d) logb ab a

(e) log log logb b bA B A B

(f) logloglog

rb

r

aab

(Mudança de base)

7.8.4 Função Logaritmo

Da Propriedade 7.6.6a, temos que a função exponencial xf x a é bijetora. Assim,

existe sua inversa. Essa função inversa é chamada de função logaritmo de base a . Mais especificamente, log log logx x

a a ay a y a x y . Fazendo x y , temos

logay x . Com esse resultado, podemos definir a função logaritmo.

152

Definição 7.30. (Função Logaritmo) Seja 0a , 1a . Definimos a função logaritmo

de base a , denotado por loga x , por

: loga

fx f x x

(7.32)

Observação. fD e Im f . Toda função logarítmica, Eq. (7.32), passa pelo ponto 1,0 .

7.8.5 Propriedades da função logaritmo

(a) A função logaritmo é bijetora. Segue imediatamente do resultado de que potências de igual base são iguais. Assim,

11 2 1 2 1 2

2

log log log 0 a a axf x f x x x x xx

E, como por definição, a função logaritmo é sobrejetora. Portanto, f é bijetora.

(b) A função logaritmo é decrescente para 0 1a . Com efeito, seja 1 1logay x e

2 2logay x . Assim, 11

ya x e 22

ya x , respectivamente. Por hipótese, 1 2 x x .

Então, 1 2y ya a . Como 0 1a , temos 2 1y y , ou equivalentemente,

2 1log loga ax x .

(c) A função exponencial é crescente para 1a (Procede-se de forma análoga como no item b).

(d) A função logaritmo é ilimitada. É só olhar a Im f .

Na Figura 25, mostramos as funções logarítmicas: 1/10logf x x (decrescente) e

logf x x (crescente).

153

unidade 7

Exercício 7.10. (a) Determine a inversa da seguinte função 21 2

x

xf x

. (b) Qual é o

domínio da função inversa. Solução.

(a) 22 1 2 2 2 1 = 2 log

1 2 1 1

xx x x x

x

y yy y y y xy y

.

Agora, fazendo y x , 2log1

xyx

. Assim, 1

2log1

xf xx

.

(b) Para que uma função logarítmica seja bem definida, o argumento deve ser positivo,

isto é, 01

xx

. Ou que é equivalente, 0 1 0 0 1 0x x x x , ou

equivalentemente, 0,1 0,1 . Logo, 1 0,1f

D .

Figura 25. Funções logarítmicas. 1/10logy x e logy x .

7.9. Funções Trigonométricas

As funções trigonométricas são: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

7.9.1 Função seno

Definição 7.31. (Função Seno) A função seno, :f , é definida por

senf x x (7.33)

154

Domínio, imagem, pontos de interseção e gráfico:

fD , Im 1,1f , , x n n . O gráfico é mostrado na Figura 26.

7.9.2 Função cosseno

Definição 7.32. (Função Cosseno) A função cosseno, :f , é definida por

cosf x x (7.34)

Domínio, imagem, pontos de interseção e gráfico:

fD , Im 1,1f , /2, x n n . O gráfico é mostrado na Figura 27.

Figura 26. Função seno. Figura27. Função cosseno.

7.9.3 Função tangente

Definição 7.33. (Função Tangente) A função tangente, :f , é definida por

tgf x x (7.35)

Domínio, imagem, pontos de interseção e gráfico:

2 1\ : , 2f

nD x x n

\ : , D x x n\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , D x x n\ : , 2 1 2 1 2 1 2 12 1n2 1 2 1n2 1 2 1n2 1 2 1n2 1D x x n D x x n\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , \ : , D x x n D x x n\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , \ : , \ : , \ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , \ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , \ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , \ : , \ : , \ : , D x x n D x x n D x x n D x x n\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , \ : , \ : , \ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1\ : , \ : , \ : , \ : , \ : , \ : , \ : , \ : , 2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 12 1n2 1 2 1n2 1 2 1n2 1 2 1n2 1

2 1n2 1 2 1n2 1 2 1n2 1 2 1n2 12 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 12 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 D x x n D x x n D x x n D x x n\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1\ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , \ : , \ : , \ : ,

\ : , \ : , \ : , \ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : ,

\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : ,

\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , \ : ,

\ : , \ : , \ : , \ : ,

\ : , \ : , 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

\ : , \ : , \ : , \ : ,

\ : , \ : , \ : , \ : ,

\ : , \ : , \ : , \ : ,

\ : , \ : , \ : , \ : , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

\ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : ,

\ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : ,

\ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : ,

\ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , , Im f , , x n n . O gráfico é mostrado

na Figura 28.

155

unidade 7

7.9.4 Função cotangente

Definição 7.34. (Função Cotangente) A função cotangente, :f , é definida por

cotgf x x (7.36)

Domínio, imagem, pontos de interseção e gráfico:

\ : , fD x x n n \ : , \ : , D x x n n\ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , D x x n n\ : , D x x n n\ : , D x x n n\ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , \ : , \ : , \ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , D x x n n D x x n n\ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , , Im f , /2, x n n . O gráfico é mostrado na

Figura 29.

Figura 28. Função tangente. Figura 29. Função cotangente.

7.9.5 Função secante

Definição 7.35. (Função Secante) A função secante, :f , é definida por

secf x x (7.37)

Domínio, imagem, pontos de interseção e gráfico:

2 1\ : , 2f

nD x x n

\ : , D x x n\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , D x x n\ : , 2 1 2 1 2 1 2 12 1n2 1 2 1n2 1 2 1n2 1 2 1n2 1D x x n D x x n\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , \ : , D x x n D x x n\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , \ : , \ : , \ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , \ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , \ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , \ : , \ : , \ : , D x x n D x x n D x x n D x x n\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , \ : , \ : , \ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1\ : , \ : , \ : , \ : , \ : , \ : , \ : , \ : , 2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 12 1n2 1 2 1n2 1 2 1n2 1 2 1n2 1

2 1n2 1 2 1n2 1 2 1n2 1 2 1n2 12 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 12 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 D x x n D x x n D x x n D x x n\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1\ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , \ : , n\ : , D x x n\ : , n\ : , 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1

2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1 2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1D x x n2 1\ : , 2 1n2 1\ : , 2 1\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , \ : , \ : , \ : ,

\ : , \ : , \ : , \ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : ,

\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : ,

\ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , D x x n\ : , \ : , \ : ,

\ : , \ : , \ : , \ : ,

\ : , \ : , 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

\ : , \ : , \ : , \ : ,

\ : , \ : , \ : , \ : ,

\ : , \ : , \ : , \ : ,

\ : , \ : , \ : , \ : , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

\ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : ,

\ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : ,

\ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : ,

\ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , \ : , 2

\ : , , Im , 1 1,f , não existe interseção

com o eixo x . O gráfico é mostrado na Figura 30.

156

7.9.6 Função cossecante

Definição 7.36. (Função Cossecante) A função cossecante, :f , é definida por

cossecf x x (7.38)

Domínio, imagem, pontos de interseção e gráfico:

\ : , fD x x n n \ : , \ : , D x x n n\ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , D x x n n\ : , D x x n n\ : , D x x n n\ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , \ : , \ : , \ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , D x x n n D x x n n\ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , \ : , D x x n n\ : , , Im , 1 1,f , não existe interseção com o

eixo x . O gráfico é mostrado na Figura 31.

Figura 30. Função secante. Figura 31. Função cossecante.

7.9.7 Fórmulas para funções trigonométricas

(a) sen sen cos sen cosx y x y y x (f) 1sen sen cos( ) cos( )2

x y x y x y

(b) sen sen cos sen cosx y x y y x (g) 1cos cos cos( ) cos( )2

x y x y x y

(c) cos cos cos sen sen x y x y x y (h) 1sen cos sen( ) sen( )2

x y x y x y

(d) cos cos cos sen sen x y x y x y (i) 2 1 cos 2sen2

xx

(e) sen sen , cos cosx x x x (j) 2 1 cos 2cos2

xx

157

unidade 7

7.9.8 Função periódica

Definição 7.37. (Função Periódica) Dizemos que uma função, :f , é periódica,

se existe um 0T , tal que f x T f x , para todo fx D . Nesse caso, dizemos que

f tem período T .

Exemplo 7.25. Todas as funções trigonométricas são periódicas e têm período 2 .

Exercício 7.11. Prove que

cos sen cosA x B x C x , (7.39)

onde ,A B são constantes, 2 2C A B e tg BA

.

Solução. Sabemos que cos cos cos sen sen x x x . Então,

cos cos cos sen sen C x C x C x (7.40)

De Eq. (7.39) e Eq. (7.40),

cos sen cos cos sen sen A x B x C x C x (7.41)

Agora, dizer que Eq. (7.39) é verdadeira é equivalente a dizer que

cossen

A CB C

(7.42)

De Eq. (7.42), 2 2 2cosA C e 2 2 2senB C . Somando membro a membro, temos

2 2 2 2 2cos senA B C . Logo, 2 2C A B . Também, de Eq. (7.42), cossen

B CA C

.

Assim, tg BA

.

158

Atividade 7.5

(1) Mostre que a função, 2/ 1f x x x , x , é bijetora de sobre

: 1 1y y .

(2) Dê um exemplo de duas funções f , g de variável real e valores reais tal que

f g , porém f g g f .

(3) Seja 1log1

xxx

. Provar

1a ba b

ab

.

(4) Construa os gráficos das seguintes funções:

(a) sen4

y x

. (b) cos3

y x

. (c) 1tg2

y x

. (d) 1cotg4

y x

.

(e) 2

2 xy . (f) 21logyx

. (g) 2logy x . (h) 3sen 23

y x

.

(i) 4cos2

y x

.

(5) Expresse f como a soma de uma função par e uma função ímpar, onde

4 3 22 5 7f x x x x x

(6) Mostre que a função 3f x x é injetora.

(7) A reflexão do gráfico de y f x é o gráfico de y f x . Em cada um dos itens,

esboce o gráfico de f e o gráfico de sua reflexão:

(a) 3y x . (b) 2y x . (c) y x . (d) 3 4y x x . (e) 2 2y x x .

(f) 1y x x . (g) 4 24y x x . (h) 3 6y x . (i) 2

3

1 se 01 se 0

x xy

x x

.

(8) Expresse 3sen 2 4cos 2y x x na forma sen 2y C x ou

159

unidade 7

cos 2y C x .

(9) Encontre o período das seguintes funções:

(a) 2sen 4y t . (b) 2cos 6y t . (c) 3sen 6y t .

(d) 3sec 23

y t

.

(10) Se cosf x x , prove

cos 1 sen cos sen f x k f x k kx x

k k k

.

161

PARA FINAL DE CONVERSA

Depois de um árduo caminhar pelo começo das longas e desafiantes estradas da Matemática, esperamos que o material tenha sido de bom proveito e lhe sirva de motivação e base para as disciplinas subsequentes de um curso de Matemática.

Os Autores

163

REFERÊNCIAS

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