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Universidade de São PauloUniversidade de São PauloEscola Politécnica Escola Politécnica -- Engenharia CivilEngenharia CivilPEF PEF -- Departamento de Engenharia de Estruturas Departamento de Engenharia de Estruturas
e Fundaçõese Fundações
PECE – ES025ESTRUTURAS DE CONCRETO
Exercício de Laje
Professores: Túlio N. Bittencourt
PECEPECE –– EES025S025
Exemplo 1:
• Calcular e detalhar as lajes esquematizadas na figura a seguir:
Dados:fck = 25 MPa; Aço CA50A; claje = 1,5 cm (Cobrimento mínimo das armaduras de laje)q = 2,0 kN/m²(carga acidental);enchimento = 16 kN/m³;vigas: bw = 12 cm e cviga = 2,0 cm
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Planta de Fôrmas:
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Determinação das Cargas:
Cargas(kN/m²) L1 L2 L3Peso Próprio 0,08x25=2,00 0,07x25=1,75 1,75Revestimento 1,00 1,00 1,00Enchimento --- 0,25x16=4,0 ---Permanente 3,00 6,75 2,75
Acidental 2,00 2,0 2,00Total 5,00 8,75 4,75
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Cálculo dos Momentos Fletores:
Laje Tabela lx ly ly/lx α x α y β x β y mx my m'x m'yL1 1 4,0 5,0 1,3 15,9 22,4 5,0 3,6L2 1 2,5 3,0 1,2 16,9 22,3 3,2 2,5L3 2 2,5 3,0 1,2 22,0 23,8 10,1 1,4 1,3 -2,9
Apoio m'esq m'dir 0,8 m' m'médio m´L1 - L3 m'y = - 2,9 0,0 -2,4 -1,5 m´1-3 = -2,4
Armaduras de Flexão:Laje d (cm) m (kN.cm) md (kN.cm) x (cm) As (cm2) ρs Asmin (cm2) Asefetivo Escolha
6 mx = 500 700 1,03 2,88 0,10% 0,8 2,88 φ6,3 c/105,5 my = 360 500 0,80 2,24 0,10% 0,8 2,24 φ6,3 c/145 mx = 320 450 0,78 2,2 0,10% 0,7 2,20 φ6,3 c/14
4,5 my = 250 350 0,68 1,9 0,10% 0,7 1,90 φ5,0 c/115 mx = 140 200 0,33 0,92 0,10% 0,7 0,92 φ5,0 c/20
4,5 my = 130 180 0,34 0,96 0,10% 0,7 0,96 φ5,0 c/20L1 - L3 5 mbarra_13 = 240 340 0,58 1,62 0,15% 1,05 1,62 φ6,3 c/19
L1
L2
L3
• Nas lajes isoladas: [kN.m/m]
• Nos apoios contínuos: [kN.m/m]
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Tabela de Armadura Mínima :
Onde: ρs = As/bw h e ρp = Ap/bw hNOTA - Os valores de ρmin constam da tabela 17.3 da NBR 6118/2003
-As/s ≥ 20 % da armadura principalAs/s ≥ 0,9 cm2/m
ρs ≥ 0,5 ρmin
Armadura positiva (secundária) de
lajes armadas em uma direção
ρs ≥ ρmin - 0,5ρp ≥ 0,5 ρminρs ≥ ρmin – ρp ≥ 0,5 ρminρs ≥ ρmin
Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma
direção
ρs ≥ ρmin - 0,5ρp ≥ 0,5 ρminρs ≥ 0,67 ρmin– ρp ≥ 0,5 ρmin
ρs ≥ 0,67 ρmin
Armaduras positivas de lajes armadas
nas duas direções
ρs ≥ ρmin - 0,5ρp ≥ 0,67 ρmin(ver 19.3.3.2 da NBR 6118)ρs ≥ ρmin– ρp ≥ 0,67 ρminρs ≥ ρmin
Armaduras negativas
Elementos estruturais com armadura ativa não aderente
Elementos estruturais com armadura ativa aderente
Elementos estruturaissem armaduras ativas
Armadura
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Tabela da Taxa de Armadura Mínima :
1) Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmindeve ser recalculado com base no valor de ωmín dado.
NOTA - Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.
0,2880,2590,2300,2010,1730,1500,1500,035Retangular
50454035302520
Valores de ρmin1) (As,min/Ac) %
Forma da seção fckωmin
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Verificação Cisalhamento:
VSd ≤ VRd1
A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por:
VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bwdonde:τRd = 0,25 fctd = 0,32 MPa
fctd = fctk,inf / γc = 1,282 MPa
fctk,inf = 0,7 x fct,m = 0,7.2,565 = 1,795 MPa
fct,m = 0,3 x fck2/3 = 0,3.252/3 = 2,565 MPa
Considerando o cortante na direção X :
ρ1 = As1/bw x d = 3,15/100 x 6,0 = 0,525% (não maior que 0,02)
k = 1,6 – d [m] = 1,6 – 0,06 = 1,54
Verificação do cisalhamento na laje 1 para o momento Mx
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onde:
As1 = 3,15 cm2 (considerando toda a armadura)
bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d);
σcp = NSd / Ac = 0
NSd = 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento.
Assim,
VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bw.d = [0,032 x 1,54(1,2 + 40 x 0,00525)+ 0] x 100 x 6 =
VRd1 = 41,7 kN/m
VSd = px . γf = 5,0 x 1,4 = 7,0 kN/mVRd1 = 41,7 > 7,0 = VSd
Não há a necessidade de estribos
Verificação Cisalhamento:
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Considerando o cortante na direção Y :
ρ1 = As1/bw x d = 2,5/100 x 5,5 = 0,454% (não maior que 0,02)
k = 1,6 – d [m] = 1,6 – 0,055 = 1,545
As1 = 2,5 cm2 (considerando toda a armadura)
bw = 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d);
Assim,
VRd1 = [τRd k (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bw.d = [0,032 x 1,545(1,2 + 40 x 0,00454)+ 0]100 x 5,5 =
VRd1 = 37,56 kN/m
VSd = py . γf = 6,0 x 1,4 = 8,4 kN/mVRd1 = 37,56 > 8,4 = VSd
Não há a necessidade de estribos
Verificação Cisalhamento:
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Arranjo das Armaduras:
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Arranjo das Armaduras:
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Arranjo das Armaduras:
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Arranjo das Armaduras:
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Arranjo das Armaduras:
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Tabela de Ferros:
Posição φ n CU CT φ CT PesoN1 5 92 102,0 279 5 531 85,0N2 6,3 35 520 205 6,3 437 109,3N3 6,3 36 420 151N4 5 60 70 42 M = 194,3 kgN5 6,3 21 258 54 V = 5,12x4,06x0,08= 1,66N6 5 30 318 95 2,56x3,06x0,07= 0,55N7 5 46 70 32 2,56x3,06x0,07= 0,55N8 5 13 268 35 2,76N9 5 15 318 48N10 6,3 13 208 27 Taxa de Consumo = 195,6/2,76 = 70,4 kg/m³
Tabela de Ferros Resumo
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Verificação da Flecha: (CQP)
Cálculo do Momento de Fissuração (Laje 1)
Mr = (α.fct,m. Ic)/yt = (1,5x2565x 4,27.10-5) / 0,04 = 4,1 kN.m
α = 1,5 para seção retangular;
fct,m já calculado anteriormente para o cisalhamento
Ic = b.h3/12 que é momento de inércia da seção de base 100 cm – ESTÁDIO I;
yt é a distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada.
Como :Mr = 4,1 kN.m
Ma = 3,62 kN.m
Não se faz necessário o cálculo da flecha em ESTÁDIO II.
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Verificação da Flecha: (CQP)
Flecha Imediata
Onde:α2 = 14,3 (laje tipo 1 com ly/lx = 1,25);
p = g + ψ2 q = 3,6 kN/m2 (valor da carga para a combinação quase permanente (ψ2 = 0,3 p/ edifícios
residenciais);
ai = (b.p.lx4) / 12.EI0 . α2 = (1 x 3,6 x 44) / 12 x 23,8 106 x 4,26 10-5 x 14,3 = 0,0053m
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Flecha Diferida no Tempo
∆ξ = 2 - 0,6773 = 1,3227
Verificação da Flecha:
t0 = 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento)
t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha)
Como:
ρ = 0 (não existe armadura negativa)
α f∆ξ
1 50 ρ⋅+:= αf = 1,3227
∆ξ ξ t( ) ξ t 0( )−:= para t ≤ 70 meses
ξ t 0( ) 0.68 0.996t 0( )⋅ t 0
0.32⋅:=
ξ t( ) 0.68 0.996t( )⋅ t0.32⋅:=
ξ(t) = 2 para t > 70 meses
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Flecha Diferida no Tempo
Verificação da Flecha:
af = ai x αf = 0,0053x 1,3227 = 0,007 m
Flecha Total
aT = ai x (1+ αf) = 0,0053(1 + 1,3227) = 0,0123 m
alim = l / 250 = 0,0144 m OK!!
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Abertura de Fissuras: (CF)
w
7,5φ
7,5φ
7,5φ 7,5φ
7,5φ 7,5φ
c < 7,5φ
a (a < 15 φ)
Acr
Acr é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi;
Esi é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada (φi);
φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;
ρri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (Acri);
σsi é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II;
η1 é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e 2,25 barras nervuradas)
≤
Cálculo da Abertura de Fissuras (Laje 1)
≤
+= 454..
.5,12 1
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risi
si
Ew
ρσ
ηφ
ctmsi
si
fEw
..3.
.5,12
2
1
12
ση
φ=
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Abertura de Fissuras:
2
s
dsi
cri
scri
,26kN/cm250,8.6.3,15
3820,8.d.A
Mσ
5,53%0,05358,823,15
AAρ
===
====
2ctm
2si
2565kN/cm,0f
21000kN/cmE
=
=
7,5 φ
7,5 φ 7,5 φ
c = 1,5 cm
Acrit
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Abertura de Fissuras:
w = 0,0325 mm < wklim (tab 13.3-NBR6118/2003)
w < 0,4 mm OK!
mmw
w
0325,0
45053,04
2100026,25
25,25,123,6
1
1
≅
+
×=
mmw
w
08,0
256,02100026,253
25,25,123,6
2
2
2
≅
××
×=