PERCOLAÇÃO DIRECIONADA E AUTÔMATO DE DOMANY-...
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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA E AUTÔMATO DE DOMANY-
KINZEL Alex Kunze Susemihl
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Tuesday, June 16, 2009
O QUE É PERCOLAÇÃO?
• Suponha que mergulhemos uma pedra porosa (aleatória) num balde de água. Qual seria a probabilidade de molharmos o centro da pedra? (Broadbent & Hammersley, 1957)
• O evento de molharmos o centro da pedra é chamado de percolação.
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ASPECTOS INTERESSANTES
• O fenômeno de percolação se oferece como um modelo simples, quase mínimo, no qual já podemos observar fenômenos críticos bastante gerais.
• Uma vasta gama de situações podem ser descritas por modelos de percolação, como perfuração de poços de petróleo, propagação de fogos em florestas, condutividade elétrica em meios desordenados entre outros.
• Pode ser demonstrado que há uma conexão forte entre modelos de percolação e sistemas de spin do tipo Ising.
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PERCOLAÇÃO
Configurações para a percolação de sítio numa rede quadrada para p=0.166, p=0.4 e p=0.6.
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EXPOENTES CRÍTICOS• Os expoentes críticos mais estudados em modelos de
percolação são os expoentes associados à divergência do tamanho de clusters na vizinhança da probabilidade crítica e ao comportamento da probabilidade de percolação na mesma vizinhança.
ns ! s!!e!cs!(p) ! |p" pc|!
c ! |p" pc| 1!
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FRONTEIRAS DE PERCOLAÇÃO
• Outra área de grande interesse é a determinação precisa da probabilidade crítica de percolação em diversas redes e tipos de percolação.
• Para o problema de percolação de ligações na rede quadrada, pode-se usar argumentos de auto-dualidade e provar que
pc =12.
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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA• O problema de percolação direcionada é o equivalente ao
problema de percolação convencional acrescido de um campo gravitacional, isto é, o fluído só pode fluir em uma direção.
• Esta assimetria gera uma série de propriedades que diferem da percolação tradicional.
• A classe de universalidade é a principal classe de universalidade estudada em modelos irreversíveis e inclui o processo de contato, o modelo ZGB para a oxidação do monóxido de carbono, o modelo de propagação de fogos em florestas, entre outros.
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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA
• Pode-se falar de percolação direcionada de sítios ou de ligações (bond- e site-percolation). Ou ainda podemos falar de percolação direcionada mista.
• A anisotropia da percolação direcionada gera um expoente crítico adicional, pois as direções horizontal e vertical não são mais equivalentes. Temos então dois comprimentos críticos:
!! ! |p" pc|!!!! ! |p" pc|!!
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AUTÔMATOS CELULARES
• Autômatos celulares (CA) são uma classe de modelos desenvolvidos desde os anos 40 e têm tido uma grande importância no estudo de sistemas complexos.
• Os autômatos se dividem em deterministicos e probabilisticos.
• Autômatos foram usados para simular desde deposição de cristais até o sistema imunológico humano.
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AUTÔMATOS CELULARES - HISTÓRIA
• A primeira utilização de autômatos celulares foi devida à John von Neumann na década de 1940 seguindo uma sugestão de Stanislaw Ulam, no propósito de desenvolver modelos auto-replicantes.
Imagem do “construtor universal” de von
Neumann
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CONWAY’S GAME OF LIFE
• Um dos mais famosos exemplos de autômatos celulares, este tipo de autômato bidimensional cria padrões complexos a partir de regras muito simples:
• Células com um ou zero vizinhos morrem de “solidão”.
• Células com dois ou três vizinhos vivos permanecem vivas.
• Células com quatro ou mais vizinhos vivos morrem de “superpopulação”.
• Células mortas com três vizinhos vivos “nascem”.
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AUTÔMATOS CELULARES ELEMENTARES (WOLFRAM)
• Em meados dos anos 1980 Stephen Wolfram publicou uma série de artigos sobre as propriedades de autômatos celulares “elementares”, isto é: unidimensionais, determinísticos e cujo comportamento depende apenas da vizinhança imediata.
• Estes autômatos se mostraram capazes de produzir comportamentos extremamente complexos.
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AUTÔMATOS CELULARES ELEMENTARES (WOLFRAM)
Regra 110
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AUTÔMATOS CELULARES ELEMENTARES (WOLFRAM)
Regra 30
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AUTÔMATOS CELULARES PROBABILÍSTICOS
• Autômatos celulares probabilísticos são simplesmente autômatos celulares com regras de transição probabilísticas.
• Processos Markovianos a tempo discreto, descrito por variáveis estocásticas discretas que residem em sítios de um reticulado (em D dimensões).
• A dinâmica de atualização das variáveis estocásticas é totalmente síncrona, em contraste com a dinâmica de Glauber em que as variáveis são atualizados individualmente.
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AUTÔMATOS CELULARES PROBABILÍSTICOS
• Podemos descrever o estado de um autômato celular por um vetor de variáveis estocásticas
! = (!1, !2, . . . , !N )
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AUTÔMATOS CELULARES PROBABILÍSTICOS
• A evolução das probabilidades pode ser descrita pela equação dos autômatos celulares, que remete à equação mestra:
Pl+1(!) =!
!!
W (!|!!)Pl(!!)
Em que é a probabilidade condicional de o autômato passar ao estado eta no instante seguinte dado que o
mesmo está no estado eta linha no instante atual.
W (!|!!)
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AUTÔMATOS CELULARES PROBABILÍSTICOS
• Como a dinâmica é síncrona, temos que a probabilidade de cada sítio é independente, podemos escrever então:
W (!|!!) =N!
i=1
wi(!i|!!)
wi(!i|!!)é a probabilidade condicional de que o sítio i esteja no
estado eta i dado que o estado do autômato no instante anterior é eta linha
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AUTÔMATOS CELULARES PROBABILÍSTICOS
• Autômatos celulares são extremamente práticos para simulações computacionais, podendo-se partir de um estado inicial aleatório e produzir configurações do autômato a partir da geração de números aleatórios.
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AUTÔMATO DE DOMANY-KINZEL
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AUTÔMATO DE DOMANY-KINZEL
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p2 p1 p1 0
1! p2 1! p1 1! p1 1
1, 1 1, 0 0, 1 0, 0
1
0
Probabilidades de Transição
!i!1(t), !i+1(t)
!i(t + 1)
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DECOMPOSIÇÃO EM SUBREDES
• A dinâmica do autômato claramente decompõe o sistema em duas subredes. Desta forma podemos tratar somente uma delas, renomeando os sítios de forma adequada.
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CORRESPONDÊNCIA ENTRE AUTÔMATOS E MODELOS DE ISING
• Pode-se mostrar que a probabilidade de uma realização de um autômato celular estocástico pode ser escrita como o peso de Boltzmann de um modelo de Ising apropriado.
• Chamando de V uma realização das variáveis do autômato celular probabilístico dado pelas probabilidades x, y e z, e com estado inicial
• temos:
P (V ) = P (V1|V0)P (V2|V1) . . . P (Vt+1|Vt)
V0
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CORRESPONDÊNCIA ENTRE AUTÔMATOS E MODELOS DE ISING
• A expressão para a probabilidade é análoga à expressão do peso do modelo de Ising no uso de técnicas de matriz de transferência, com a mudança de que o índice temporal passa a ser interpretado como um índice espacial. Temos:
!H = B!
k
vk + J
(!)!
<kl>
vkvl + DV!
<kl>
vkvl + E"!
<klm>
vkvlvm
P (Vt+1|Vt) = exp(!!H[Vt+1|Vt])
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CORRESPONDÊNCIA ENTRE AUTÔMATOS E MODELOS DE ISING
• Para encontrar os coeficientes notamos que a probabilidade de transição do autômato nos dá oito equações, quatro das quais independentes, com as quais podemos determinar os quatro coeficientes:
eB =x(1! y)2
(1! x)3eJ =
(1! x)(1! z)(1! y)2
eD =y(1! x)x(1! y)
eE =zx(1! y)2
y2(1! x)(1! z)
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EVOLUÇÃO TEMPORAL DA PROBABILIDADE
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Pl+1(!i) =!
!!i
!
!!i+1
w(!i|!!i, !
!i+1)Pl(!!
i, !!i+1)
Pl+1(1) = p2Pl(11) + 2p1Pl(10)
Pl+1(0) = 1! Pl+1(1)
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EVOLUÇÃO TEMPORAL DA PROBABILIDADE
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Pl+1(!i, !i+1) =!
!!i
!
!!i+1
!
!!i+2
w(!i|!!i!
!i+1)w(!i+1|!!
i+1!!i+2)Pl(!!
i!!i+1!
!i+2)
Pl+1(11) = p21Pl(010) + 2p1p2Pl(110) + p2
1Pl(101) + p22Pl(111)
Pl+1(10) + Pl+1(11) = Pl+1(1)
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EVOLUÇÃO TEMPORAL DA PROBABILIDADE
• Probabilidade de pares depende da probabilidade de três sítios, a probabilidade de três sítios depende da de quatro sítios...
• Campo Médio
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SOLUÇÃO DE CAMPO MÉDIO
• Aproximamos alguma das probabilidades de N sítios por probabilidades de N-1 sítios.
• Por exemplo:
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P (!1, !2, !3) =P (!1, !2)P (!2, !3)
P (!2)
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SOLUÇÃO DE CAMPO MÉDIO
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xl+1 = p2zl + 2p1(xl ! zl)
zl+1 = p21(xl ! zl)2
xl+ 2p1p2
(xl ! zl)zl
xl+ p2
2z2l
xl+ p2
1(xl ! zl)2
1! xl
xl = Pl(1), zl = Pl(11)
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NO EQUILÍBRIO
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z = p21(x! z)2
x+ 2p1p2
(x! z)zl
x+ p2
2z2
xl+ p2
1(x! z)2
1! x
x = p2z + 2p1(x! z)
x =(3p1 ! 2)p1 + (p1 ! 1)2p2
(2p1 ! 1)(2p1 ! p2)z =
1! 2p1
p2 ! 2p1x
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DIAGRAMA DE FASES
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0.0
0.5
1.0
0.0
0.5
1.0 0.0
0.5
1.0
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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA• Modelamos a probabilidade de um sítio i na camada l estar
conectado a um sítio da camada 0. Temos duas possibilidades, ambos os sítios vizinhos na camada l-1 estão ativos ou apenas um está ativo, uma vez que se ambos estiverem inativos a nossa probabilidade é 0. Temos então
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Pl+1(!i) =!
!!i
!
!!i+1
w(!i|!!i!
!i+1)Pl(!!
i, !!i+1)
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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA
• Uma ligação tem probabilidade q de estar conectada e um sítio tem probabilidade p de estar ativo, portanto temos:
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w(1|10) = pq = p1
w(1|11) = 2pq(1! q) + pq2 = p2
No entanto, o mapeamento não é biunívoco!
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PERCOLAÇÃO DE SÍTIOS• Para termos percolação de sítios temos de ter q=1, ou seja
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0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
p2 = p1
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PERCOLAÇÃO DE LIGAÇÕES
• Percolação de ligações corresponde à situação p=1, ou seja
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p2 = p1(2! p1)
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA• Para um caso específico do autômato, p2 = 1, temos um modelo que
pode ser analisado de forma exata.
• Partindo de um só sítio “molhado” teremos um passeio aleatório:
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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA
• A cada passo de tempo o domínio molhada pode:
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d! d + 1 P (d! d + 1) = y2
d! d P (d! d) = 2y(1" y)
d! d" 1 P (d! d" 1) = (1" y)2
Aumentar
Manter o tamanho
Diminuir
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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA• A probabilidade de sobrevivência de um estado inicial
localizado é equivalente à probabilidade de um jogador iniciando com um capital de 1 com as probabilidades dadas de ganhar ou perder capital não ir à falência. Calculamos a probabilidade de ele ir à falência após exatamente t passos:
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rt =t!1!
!=0
"t! 1
!
#p!0 r̃t!!
r̃k =1k
pk!12
+ pk+12!
!k
k+12
"
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PERCOLAÇÃO DIRECIONADA
• Fazendo a integral por ponto de sela obtemos os expoentes críticos, que são exatos para a percolação compacta:
40
!! 1
!! 2
!12
Expoente Valor para percolação compacta
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CONCLUSÕES
• Podemos usar conhecimento sobre autômatos para determinar propriedades de modelos de percolação.
• No formalismo do autômato podemos resolver um caso específico de forma exata.
• Ao invés de não saber duas coisas, agora não sabemos uma só!
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MUITO OBRIGADO!
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