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Pesquisa Operacional IApresentação Geral

Prof. Eduardo Uchoa

eduardo.uchoa@gmail.com

http://www.logis.uff.br/~uchoa/POI/

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Pesquisa Operacional (PO) é o uso do métodos científicos para

auxiliar a tomada de decisões. Caracteriza-se por:

a) emprego de matemática “avançada”

b) aplicação em problemas reais

c) multidisciplinaridade, envolve conceitos vindos de várias áreas, incluindo:

Matemática Estatística

Engenharia Computação

Administração Economia

Definição

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Outras Definições

� “Operations research is the application of advanced analytical

methods to help make better decisions.”Informs: http://www.informs.org/About-INFORMS/About-Operations-Research

� “A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada voltada para

a resolução de problemas reais. Tendo como foco a tomada

de decisões, aplica conceitos e métodos de várias áreas científicas na concepção, planejamento ou operação de

sistemas. A Pesquisa Operacional é usada para avaliar linhas

de ação alternativas e encontrar as soluções que melhor

servem aos objetivos dos indivíduos ou organizações.”SOBRAPO: http://www.sobrapo.org.br/o_que_e_po.php

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A Pesquisa Operacional é o “cálculo da

engenharia de produção”

A PO é uma disciplina básica, que oferece ferramentas aplicáveis

na maioria das demais áreas da Produção, incluindo:

• Planejamento e Controle de Produção (PCP)

• Logística

• Arranjo Físico

A PO e a Engenharia de Produção

Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense

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“Pré-História” da PO

A partir do século XVII, muitos matemáticos clássicos criaram

ferramentas que podem ser aplicadas no auxílio à decisão:

� Newton, Leibniz, Taylor, Lagrange: Cálculo diferencial para

achar mínimos/máximos de funções.

� Cardano, Pascal, Huygens, Bayes, Poisson: Cálculo de

probabilidades.

� Euler, Kirchhoff, Hamilton: Teoria dos grafos, fluxos em redes, Otimização combinatória.

� Gauss, Fourier: Sistemas de equações lineares.

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Estabelecimento da PO como disciplina autônoma militar� 1936 criação da Bawdsey Manor Research Station em

Suffolk, Inglaterra: estudo do uso de radares para interceptar

aeronaves inimigas

� 1937 o termo Operational Research foi cunhado por A. P.

Rowe na BMRS

� 1939 Leonid V. Kantorovich modelou e propôs métodos de

solução para diversos problemas de planejamento na União

Soviética

� 1940 (WWII) criado The Anti-Aircraft Research Group na força aérea britânica (3 fisiologistas, 1 físico geral, 2 físicos

matemáticos, 2 matemáticos, 1 astrofísico, 1 oficial do

exército e 1 topógrafo)

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� 1941 primeira definição formal do Problema Clássico de Transporte por Frank L. Hitchcock

� 1942 formação da U.S. Navy Antisubmarine Warfare Operations Research Group (ASWORG)

� 1943-1945 diversos grupos apoiando o planejamento logístico (abastecimento) das tropas aliadas,estratégias de ataque e defesa aérea e marítima, etc.

� 1945 ao final da WWII é criado o projeto RAND para trabalhar no planejamento militar e em problemas do governo norte americano

� 1947 George B. Dantzig formalizou a Programação Linear e criou o método Simplex para solução de problemas deste tipo na USAF

Estabelecimento da PO como disciplina autônoma militar

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� 1951 primeiro uso de um modelo de

programação linear na indústria: problema

da mistura (blend) ótima nas refinarias de

petróleo.

� 1950-1960� Estabelecimento das primeiras sociedades de

profissionais de PO nos EUA e na Europa

� Começo do ensino de PO nas universidades

A PO entra no mundo civil

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� Usada rotineiramente por empresas e

organizações nos mais diversos setores da

indústria, serviços, finanças ou governo.

� A PO contribui significativamente para a eficiência

da economia mundial

� Tradicionalmente a PO tem sido usada para minimizar

custos e/ou maximizar lucros

� Atualmente também existem outras preocupações:

� minimizar impactos ecológicos e riscos de acidentes

� maximizar benefícios sociais

A PO hoje

Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense

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� Entretanto, a PO ainda é muito menos usada do

que poderia!

� Conflitos com outras culturas empresariais

� Disputas políticas (decisão = poder)

� Dificuldades em obter dados confiáveis

A PO hoje

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� Entretanto, a PO ainda é muito menos usada do

que poderia!

� Dificuldades em aplicar adequadamente as técnicas de PO aos problemas complexos do mundo real!

� O uso avançado de PO é uma técnica, mas também é uma arte.

� Existe escassez (no mundo, mas no Brasil isso é mais grave) de profissionais experientes com essa competência.

A PO hoje

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� Toda a PO está baseada na construção de

modelos matemáticos para representar de

forma simplificada os sistemas reais.

Como funciona a PO?

13

Um modelo é uma representação

simplificada de um sistema real

Modelo

Conclusões

do Modelo

Conclusões

sobre o

Sistema Real

Modelagem

Dedução

Interpretação

Sistema

Real

Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense

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Para que serve um modelo?

Um modelo é útil quando permite que se chegue a conclusões adequadas sobre o sistema real, dentro de seu limite de aplicabilidade.

Como a PO trabalha com modelos matemáticos, a utilidade de um modelo também depende da existência de métodos matemático-computacionais capazes de resolver o modelo.

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Principais Áreas da PO

� Otimização� Programação Matemática

� Programação Linear

� Programação Inteira

� Programação Não-Linear

� Otimização Combinatória

� Heurísticas/Metaheurísticas

� Simulação

� Previsão

� Análise Multi-critério

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Nosso curso de PO I

� Otimização� Programação Matemática

� Programação Linear

� Programação Inteira

� Programação Não-Linear

� Otimização Combinatória

� Heurísticas/Metaheurísticas

� Simulação

� Previsão

� Análise Multi-critério

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Um modelo de programação matemática é definido por

um sistema de equações/inequações.

• As variáveis representam as decisões a serem

tomadas.

• As equações/inequações representam as

restrições que existem sobre essas decisões,

refletindo as características do sistema real.

• Uma função objetivo indica qual dentre as

possíveis decisões é a mais desejável (solução

ótima).

Programação Matemática

Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense

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Tipos de Modelos de Programação Matemática

� Programação Linear: todas as restrições e a FO

são funções lineares

� Um número razoável de sistemas reais podem ser bem modelados como PLs

� Métodos de solução extremamente eficazes, problemas com milhões de variáveis e restrições

podem ser resolvidos num laptop

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Tipos de Modelos de Programação Matemática

� Programação Inteira: todas as restrições e a FO

são funções lineares, mas algumas variáveis

podem ser obrigadas a terem valores inteiros.

� Um número enorme de sistemas reais podem ser bem modelados como PIs

� Métodos de solução bem menos eficazes, problemas com alguns milhares de variáveis e restrições já

podem ser intratáveis

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Tipos de Modelos de Programação Matemática

� Programação Não-Linear (será vista em PO II):

as restrições e a FO podem ser funções não-

lineares.

� Um número enorme de sistemas reais podem ser bem modelados como PNLs.

� Métodos de solução eficazes apenas para alguns casos particulares (ex: funções quadráticas, funções

convexas). Problemas envolvendo funções mais

complicadas com algumas dezenas de variáveis e restrições já podem ser intratáveis

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Nos anos 1940, a força aérea dos EUA usava a palavra

“programa” como sinônimo de “planejamento”. O seu

uso pioneiro de modelos matemáticas para auxiliar

seus planejamentos disseminou o nome Programação

Matemática.

• Esse nome histórico causa confusão entre os leigos,

porque a partir dos anos 1950 a palavra “programação”

passou a ser universalmente associada com escrita de

código para computadores.

Um nome pouco feliz

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Recentemente a Mathematical Programming Society

trocou o seu nome para Mathematical Optimization

Society. Na nova nomenclatura (ainda pouco usada)

teríamos:

• Otimização Linear

• Otimização Inteira

• Otimização Não-Linear

Programação Matemática = Otimização Matemática

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O nome histórico “Operations Research” não diz nada

para um leigo. Alguns quase sinônimos que também

são usados:

• Management Science

• Decision Science

• Analytics

O nome “Pesquisa Operacional”também não é dos melhores ...

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Exemplo de Modelo de PL: Problema do Mix Ótimo de ProduçãoPara maximizar seu lucro, uma fábrica de cadeiras precisa decidir quais modelos deve produzir.

Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense

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Problema do Mix Ótimo de Produção

Entretanto, a produção é restrita pela disponibilidade de matéria-prima: madeira (50 lâminas/semana) e tecido (75 metros/semana).

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Produção de Cadeiras: Lucro X Gasto de Matéria-prima

150 400 200

1 4 1

1 1 2

300

3

1

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Modelo de Programação Linear

x1 x2 x4150 + 400 + 200

x1 x2 x41 + 4 + 1 ≤ 50

x1 x2 x41 + 1 + 2 ≤ 75

max x3+ 300

x3+ 3

x3+ 1

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

S.a

Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense

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Modelo de Programação Linear

x1 x2 x4150 + 400 + 200

x1 x2 x41 + 4 + 1 ≤ 50

x1 x2 x41 + 1 + 2 ≤ 75

max x3+ 300

x3+ 3

x3+ 1

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Solução ótima: x1=25, x2 = x3 = 0, x4=25; lucro = R$ 8750/semana

S.a

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Programação Inteira

Tipo de modelo matemático que difere da programação linear simplesmente porque algumas (ou todas as) variáveis podem ser definidas como inteiras.

Esse recurso adicional (a primeira vista banal) permite modelar um número muito maior de situações.

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Exemplo: Problema da Mochila

Um viajante precisa decidir entre n possíveis objetos para colocar na sua mochila com capacidade de peso P. Cada objeto i oferece um ganho gi mas possui um peso pi. O problema é escolher um subconjunto dos objetos com peso ≤ P que maximize o ganho total.

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Exemplo: Problema da Mochila

P=10 p1=1 p2=2 p3=4 p4=4 p5=5 p6=6 . g1 =3 g2=3 g3=5 g4=5 g5= 6 g6=9

12

3 45

6

32

Modelo de Programação Inteira

inteiros,,,,,

1,,,,,0

1065442.a.S

965533Max

654321

654321

654321

654321

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

≤≤

≤+++++

+++++

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Modelo de Programação Inteira

inteiros,,,,,

1,,,,,0

1065442.a.S

965533Max

654321

654321

654321

654321

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

≤≤

≤+++++

+++++

Solução ótima: x1, x2 e x6 =1, ganho total 15

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Solução Ótima

P=10 p1=1 p2=2 p3=4 p4=4 p5=5 p6=6 . g1 =3 g2=3 g3=5 g4=5 g5= 6 g6=9

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3 45

6

1

2

6

Graduação em Engenharia de Produção – Universidade Federal Fluminense

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Bibliografia do Curso“Pesquisa Operacional”, Arenales, Armentano, Morabito, Yanasse. Ed. Campus, 2007

“Introdução à Pesquisa Operacional”, Hillier, Lieberman. McGraw-Hill, 2006.

“Técnicas de Otimização”, Pizzolato, Gandolpho. LTC, 2009.

“Linear Programming”, Chvátal. Ed. Freeman, 1983 (Caps. 1-5)

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OBSERVAÇÃO

Este material refere-se às notas de aula do curso

TEP117 (Pesquisa Operacional I) da Universidade

Federal Fluminense (UFF) e não pode ser

reproduzido sem autorização prévia do autor.

Quando autorizado, seu uso é exclusivo para

atividades de ensino e pesquisa em instituições

sem fins lucrativos.