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9 2º Semestre 2018Origem em Revista

Toda comunidade ecologicamente equili-brada baseia-se no princípio de que um sistema deve ser autossustentável, utili-

zando-se, para tanto, de suas capacidades de renovação, sem degradar os recursos que o suportam. Isso deve ser observado em todos os sistemas naturais através da forma como atingem o equilíbrio dinâmico. Deve-se levar em consideração que, apesar de a natureza possuir capacidade de renovação, isto não se deve exclusivamente às leis naturais, mas a um Criador que as estabeleceu e as mantém. A constante de saturação existente no modelo populacional de Verhulst mostra a capacidade de sustentação ambiental para cada espécie. O livro do Gênesis apresenta diferentes comuni-dades ecológicas sendo criadas rapidamente, inclusive a do homem. Porém, é necessário en-tender que a criação rápida de comunidades, mesmo num ambiente perfeito, não cresceria indefinidamente. Matematicamente, o Criador colocou um limite no crescimento populacio-nal de cada espécie. Mesmo num mundo per-feito, havia a necessidade de elementos inibi-dores intrínsecos. Por outro lado, mesmo com a presença desses elementos inibidores, a po-pulação de cada espécie continuou a crescer, dependendo apenas de fatores sistêmicos. Sendo assim, dentro deste contexto, o pre-sente trabalho tem como objetivo descrever a importância da solução qualitativa do modelo matemático de Verhulst, com a finalidade de entender o crescimento das populações bí-blicas. Baseado nas argumentações matemá-ticas extraídas do modelo de Verhulst, foi pos-sível entender como as populações bíblicas poderiam ter se multiplicado rapidamente. O modelo matemático de Verhulst mostrou que as populações não crescem indefinidamente, mas existe um valor limite a partir do qual cada comunidade deixa de crescer. Considerações associadas ao modelo de Verhulst indicaram que, mesmo num mundo perfeito, haveria a necessidade de elementos inibidores sistêmi-cos.

C L E O M A C I O M I G U E L D A S I L V APesquisa


IntroduçãoUma comunidade ecológica é um grupo

natural de plantas nativas, animais e outros or-ganismos que estão interagindo em um habitat único. Sua estrutura, composição e distribuição são determinadas por fatores ambientais, tais como o tipo de solo, posição na paisagem, alti-tude, clima e disponibilidade de água. As plan-tas e animais nativos de uma comunidade eco-lógica têm diferentes papéis e relacionamentos que, juntos, contribuem para o bom funciona-mento do meio ambiente. Proteger as comu-nidades nativas também apoia os serviços dos ecossistemas, tais como o ar, a terra e a água limpos. Em toda comunidade economicamen-te sustentável deve-se usar, conservar e melho-rar os recursos naturais de forma consciente para que as futuras gerações tenham acesso a um ambiente ecologicamente equilibrado. As interações entre os diferentes tipos de popula-ções também são de fundamental importância para manutenção desse equilíbrio ecológico. Quando num determinado ambiente existe uma superpopulação, os recursos naturais fi-cam seriamente comprometidos e a disputa por alimentos geram graves problemas sociais e ambientais.

Os primeiros registros de estudos sobre crescimento populacional foram realizados pelo economista, filósofo e teólogo inglês Tho-mas Robert Malthus. Ele observou que muitas populações biológicas crescem a uma taxa pro-porcional à população. Seu primeiro artigo, An essay on the principle of population as it affects the future improvement of society, sobre popu-lações biológicas, foi publicado anonimamen-te em 1798.1 Seus estudos ficaram conhecidos como leis de Malthus. Nesses estudos, Malthus estabeleceu que o crescimento populacional se daria exponencialmente, se não fosse con-trolado, enquanto os meios de sobrevivência cresciam em progressão aritmética. Malthus era pessimista como economista e, ao longo do tempo, publicou seu trabalho em sucessivas edições às quais ele acrescentou muitos da-dos factuais que ilustravam sua lei. Os cálculos eram realizados usando as leis de Malthus, com a finalidade de se estimar o crescimento popu-lacional a curto e médio prazos. A teoria mal-

thusiana explicava, desta forma, a existência da fome, pobreza e miséria no mundo. Apontava como uma das principais soluções o controle de natalidade. Charles Darwin utilizou as ideias de Malthus para entender e explicar melhor a atuação da seleção natural no processo evolu-tivo de especiação.1

As leis de Malthus servem para estimativas populacionais em curto prazo, além de se mos-trarem apropriadas para certas populações de microrganismos em períodos limitados de tempo. Porém, o modelo de Malthus falha em decorrência de prever crescimentos popula-cionais cada vez maiores. Malthus sustentava a ideia de que a população cresceria até um limite de subsistência e, então, devido à fome, à guerra, às condições sanitárias, à miséria, não mais aumentaria. Realmente, esses fatores cita-dos, além de outros, como precárias situações de moradias e poluição ambiental, afetam sis-tematicamente o crescimento populacional. Para Malthus, estas condições funcionariam como mecanismos ativados para manter a po-pulação em nível aceitável1. Porém, levando em consideração fatores inibidores, Pierre François Verhulst, em 1838, fez modificações no modelo matemático de Malthus. O modelo de Verhulst supõe que a população de uma certa espécie, vivendo num determinado ambiente, atinja um limite máximo sustentável, considerando ain-da que a população esteja sujeita a um fator de proporcionalidade inibidor. Ou seja, é ne-cessário que a equação incorpore a queda de crescimento, à medida que a população cres-ça.1 A semelhança entre o modelo de Malthus e Verhulst, é que ambos estão sujeitos a fatores inibidores sistêmicos.

O modelo matemático de VerhulstO modelo populacional de Malthus apre-

sentado pela Equação (1), abaixo, mostrou-se inadequado para estimativa populacional a longo prazo.1

(1)

Onde N(t) é o número de indivíduos da po-pulação de um país num instante t, α é o coe-

( ) t0N(t) N e α−β=


ficiente de natalidade e β é o coeficiente de mortalidade e N0 é o número da população no instante t = 0

Em retrospectiva, o modelo malthusiano acabou não se revelando eficiente para estima-tivas populacionais em países desenvolvidos. Assim, conforme mostra a Equação (1), o mo-delo matemático prevê que a população vai crescer exponencialmente todo o tempo para diferentes valores de N0. Sob condições ideais, a Equação 1 é razoavelmente precisa para mui-tas populações, pelo menos por períodos limi-tados de tempo. Porém tais condições ideais não podem continuar indefinidamente, pois em um dado momento, mecanismos inibido-res, tais como espaço, suprimento de comida ou outros recursos, reduzirão a taxa de cresci-mento e terminarão com o suposto crescimen-to exponencial ilimitado. Em 1838, Verhulst ob-servou a necessidade de fazer modificações no modelo de Malthus, levando em consideração esses fatores inibidores. Para construir o seu modelo, Verhulst supôs que a população de certa espécie, vivendo num determinado meio, atinja um limite máximo sustentável, dado por

tlim N(t).N∞→∞

= O modelo considera ainda que avariação da população esteja sujeita a um fa-tor de proporcionalidade inibidor. Ou seja, é necessário que a equação incorpore a queda de crescimento, à medida que a população cresça. Neste caso, a equação diferencial é dada pela Equação (2),1 apresentada abaixo:

(2)

Onde: λ é a taxa de crescimento (λ > 0) ou decrescimento (λ < 0) populacional, que de-pende de fatores intrínsecos da população. Matematicamente, de acordo com Bassanezi,1 temos N

N∞

λα −β = λ − , tais como os termos da

Equação (1).Resolvendo a Equação (2), obtemos a

Equação (3) que ficou conhecida como mode-lo logístico ou modelo de Verhulst1:

(3)

Quando se analisa Gênesis 1:11, 12, 20 a 25 e 26 a 28, verifica-se a criação de diferentes co-munidades ecológicas. A princípio, é possível entender que cada população cresceria infini-tamente, pois os fatores inibidores poderiam ser considerados desprezíveis. Mas, conforme mostra a Equação 3, para um tempo suficien-temente grande ou para valores elevados de λ, temos que N(t) = N∞. Isto sugere que, mesmo populações perfeitas como aquelas descritas no primeiro capítulo do livro do Gênesis, esta-riam sujeitas a mecanismos de controle sistê-micos. Assim, tomando-se o princípio bíblico de que no início da raça humana, Deus criou Adão e Eva, o modelo de Verhulst afirma que para um tempo suficientemente longo ou para valores elevados de crescimento populacio-nal, existindo elementos inibidores sistêmicos, seria possível atingir o limite de saturação N∞. Isto mostra que as comunidades criadas não deveriam crescer indefinidamente, mas quan-do cada espécie atingisse o valor da capaci-dade de sustentação ambiental N∞, a popula-ção deixaria de crescer. Sendo assim, teríamos eternamente um ambiente ecologicamente equilibrado. Entretanto, mesmo numa popu-lação sujeita a fatores inibidores saudáveis, o modelo de Verhulst continua sendo válido. A Figura 1 mostra que para valores abaixo ou acima de N∞, as curvas-solução tem tangentes próximas da horizontal. Ou seja, tanto o cres-cimento populacional, como o decrescimento populacional, ambos tendem para o nível de saturação N∞. Assim, N(t) = N∞ é uma solução assintoticamente estável da Equação 3. Mesmo soluções que começam muito próximas de zero crescem quando t aumenta e, tendem a N∞ quando t →∞ . Biblicamente, temos que a raça humana começou com duas pessoas. As-sim, matematicamente, num tempo inicial t = 0, temos N(0) = N0 = 2.

dN NN 1dt N∞

= λ −

t

0

NN(t)N 1 1eN

∞

∞ −λ

=

− +

Figura 1. Gráfico de N em função do tempo.Fonte: modifi-cado de Boyce e Diprima2


Porém, conforme mostra a Figura 2, o grá-

fico de dNdt

relativo a N é uma parábola com a

concavidade voltada para baixo. O valor máxi-

mo de dNdt

é atingido quando dN Ndt 2

∞= . Isto é,

quando a população for igual à metade da po-

pulação limite, tem-se a maior taxa de variação

da população. Logo, o tempo de máxima varia-

ção (tM) é calculado pela Equação (4).1

(4)

Baseado no modelo populacional de Verhulst é possível obter uma superpopulação iniciando apenas com duas pessoas, para um tempo suficientemente longo ou para valores elevados de λ. Então, o modelo de crescimento populacional de Verhulst constituiu-se uma fer-ramenta matemática adequada para descrever o crescimento exponencial das comunidades bíblicas.

Comentários sobre a dinâmica populacional bíblica

Talvez pelo fato de Malthus ter sido um teó-logo, ele tenha construído o seu modelo mate-mático baseado no crescimento populacional das comunidades ecológicas como descrito no primeiro capítulo do livro de Gênesis. A grande preocupação de Malthus era se a quantidade de alimentos seria suficiente para sustentar a popu-lação por muito tempo, caso não houvesse um

controle estabelecido. Depois do dilúvio, Deus deu a ordem para Noé e seus filhos se multipli-carem (Gênesis 9:1). Mais uma vez, tem-se a im-pressão de que a população humana iria crescer indefinidamente num mundo dominado pelo pe-cado, com os recursos naturais devastados pelo dilúvio.

Apesar do impacto ambiental causado pelo dilúvio, o Criador dotou a Terra de um poder de renovação ambiental impressionante, pois, mes-mo com as águas do dilúvio ainda minguando, foi possível observar o reaparecimento das oliveiras (Gênesis 8:11). E o poder de renovação ambien-tal da terra estaria sempre associado com a pro-dução de sementes, colheitas e as estações do ano. E enquanto a Terra existisse, tais condições sempre estariam presentes (Gênesis 8:22). Ou seja, o ordenamento de tais condições seria fun-damental para a produção de alimentos na Ter-ra, como um “Assim diz o Senhor”. Mesmo Deus garantindo as condições para a produção de ali-mentos, caberia ao homem estabelecer critérios para que a população mundial tivesse acesso às condições dignas de sobrevivência. Por isto, a grande preocupação de Malthus.

Analisando o modelo de Verhulst, quanto menor o índice de mortalidade, maior será o va-lor de λ. Neste caso, a população cresce expo-nencialmente. A população dos pré-diluvianos é um exemplo importante de uma população, onde o valor de α era muito maior do que β. Em Gênesis 5:1-32 é dito que os descendentes de Sete cresceram rapidamente com perspectivas de vida muito elevada. Assim, para a população pré-diluviana, o valor da constante populacional λ era muito grande. Então, o modelo matemáti-co de Verhulst é extremamente adequado para explicar o crescimento populacional dos descen-dentes de Sete.

Neste caso, como citado por Boyce e Dipri-ma,2 a população limite (N∞) é atingida mais rapi-damente quanto maior for a constante λ. Sendo assim, para se ter uma superpopulação, não é necessário que haja um tempo muito longo, bas-tando apenas que o valor de λ seja elevado. Para tanto, o valor de λ tem que estar muito próximo do índice inicial de natalidade α. Isso realmente-pode ser observado na população dos descen-dentes de Sete.

Gênesis 6:1-2 relata que a comunidade dos filhos de Deus (descendentes de Sete) se mistu-

0M

0

1 N NlntN∞ −=

λ

Figura 2. Gráfico da taxa de variação máxima de N.Fonte: modificado de Bassanezi e Ferreira Jr1


rou com outras comunidades. Esta união possi-velmente resultou numa nova comunidade que tinha elevado índice de natalidade. Assim, supõe--se que, considerando o modelo de Verhulst, a população chegou rapidamente a um dado valor limite (N∞). Então, em pouco tempo, surgiu uma superpopulação formada por homens gigantes (Gênesis 6:4) que, certamente, consumiram mui-to rápido os recursos naturais. Supostamente, a disputa pela sobrevivência gerou índices ele-vados de violência (Gênesis 6:11). Isto resultou num aumento considerável do índice de mortali-dade β. Portanto, a população pré-diluviana teve a violência como um dos agentes inibidores do crescimento populacional. Por outro lado, se β for maior do que α, a população decresce, e tende a um valor limite (N∞), como pode ser observado na Figura 1.

Um fator importante no modelo matemáti-co de Verhulst é que uma dada população pode chegar a um valor limite (N∞) com qualquer valor de N0>0.2 Logo, matematicamente, este modelo populacional de Verhulst é inteiramente compa-tível para uma população que tem Adão e Eva como elementos iniciais, ou os três casais forma-dos pelos filhos de Noé. Assim, para se chegar a uma superpopulação a partir de Adão e Eva não seria necessário um tempo muito longo, mas uma taxa de crescimento λ elevada, mesmo na presença de fatores inibidores do crescimento populacional. Segundo Boyce e DiPrima2, para qualquer valor de N0> 0, o número de indiví-duos da população cresce quando λ aumenta, ou quando t .→∞ Após o dilúvio, a população humana cresceu rapidamente num intervalo de tempo muito curto (Gênesis 10:1-32).

Após o dilúvio, com a rápida expansão do império de Ninrode (Gênesis 10:8-12), supõe-se que a população atingiu um valor limite (N∞). Isto certamente resultou em muita violência, pois, de

acordo com os relatos bíblicos, muitas cidades foram conquistadas pelo grande rei e caçador Ninrode. Durante a construção da Torre de Babel havia, logicamente, uma superpopulação para levar em conta tão grande empreendimento. Um empreendimento desse tipo deve ter exau-rido grandes somas de recursos naturais. Porém Deus resolveu o problema da superpopulação, espalhando os seres humanos pela face da Terra (Gênesis 11:8). A nação de Israel que começou apenas com Abraão e Sara, cresceu de tal manei-ra, que no Egito havia uma superpopulação de israelitas (Êxodo 1:7). Porém, a escravidão não foi um agente inibidor para o crescimento popula-cional da nação de Israel (Êxodo 1:9-12).

Por outro lado, o infanticídio (Êxodo 1:22) foi um agente inibidor severo para os israelitas. Obviamente, o tempo, conforme mostra o mode-lo populacional de Verhulst, foi um fator impor-tante no crescimento da nação de Israel, pois o infanticídio interferiu significativamente no valor da constante de crescimento λ. Existem muitas discussões em relação à necessidade de se ter tempos longos para que uma superpopulação seja originada de um grupo pequeno de pes-soas.3 Não se deve esquecer que, no modelo matemático de Verhulst, quando o valor de λ é pequeno, o tempo passa a ser um fator muito importante no crescimento populacional. Mesmo assim, apesar do infanticídio ter sido um agente inibidor severo, a população de Israel continuou a crescer exponencialmente.

Quando os israelitas deixaram o Egito no êxodo, havia “cerca de seiscentos mil homens a pé, além de mulheres e filhos” (Êxodo 12:37). O número de “homens a pé”, 600.000, só incluía homens de condições físicas e militares.4 O povo de Israel viveu no Egito por 430 anos (Êxodo 12:40). Os estudiosos acreditam que o número total de israelitas que abandonaram o Egito du-

“Quando os homens começaram a multiplicar-se na terra e lhes nasceram

filhas, os filhos de Deus viram que as filhas dos homens eram bonitas e escolheram para si aquelas que lhes

agradaram”. Gênesis 6:1,2


rante o êxodo, mulheres e crianças e homens idosos, era de aproximadamente, 2,4 milhões de pessoas.4 No segundo ano depois de os israelitas terem deixado o Egito, Moisés fez um recensea-mento sobre os homens em Israel capazes de ir à guerra. O número de guerreiros era de 603.550 pessoas (Números 1:45-46). Os levitas não foram contados, pois Deus ordenou a Moisés para ex-cluí-los do censo (versículo 49). Em vez de ir à guerra, os levitas deveriam ficar e guardar o ta-bernáculo (versículo 53).

Supondo que 2,4 milhões de israelitas te-nham saído do Egito, foi uma grande multidão, mas a quantidade é uma estimativa razoável. Considerando a proporção comum de pessoas aptas a ir à guerra em uma população em geral, sendo uma em cada quatro, tem-se, 600.000 x 4 = 2.400.000.4 Sabemos que, enquanto os he-breus estavam no Egito, eles foram “frutíferos e aumentaram grandemente. Eles se multiplica-ram e cresceram demais, de modo que a terra se encheu deles” (Êxodo 1:7). O grupo original de israelitas, a família de Jacó que foi ao Egito, totalizou apenas setenta pessoas (Gênesis 46:27). Em 430 anos, a raça hebraica vigorosa e saudável aumentou para, aproximadamente, 2,4 milhões.

Carter e Hardy3 desenvolveram um progra-ma na linguagem C++ com a finalidade de es-tudar o crescimento de populações humanas na Bíblia Sagrada. Porém, eles tiveram que realizar extrapolações de dados populacionais com a finalidade de mostrar a possibilidade de gran-des populações serem formadas a partir de nú-meros pequenos de indivíduos. Segundo estes autores, embora não se saiba quais os desafios ambientais que enfrentaram as populações pré--diluvianas e as populações pós-diluvianas, as populações humanas têm a capacidade de cres-cer muito rapidamente, mesmo na presença de agentes inibidores sistêmicos.

Carter e Hardy3 utilizam dados do cresci-mento populacional dos Estados Unidos do ano de 2009 para fazer estimativa de crescimento populacional das populações da Bíblia. Porém, eles afirmaram que o modelo desenvolvido foi incapaz de fazer previsões numéricas exatas. No modelo computacional desenvolvido por Carter e Hardy3 existem superestimavas nos valores das taxas de crescimento populacional. Então, qual-quer tentativa de se calcular a taxa de crescimen-to populacional de comunidades bíblicas, com

a finalidade de provar que uma superpopulação pode ser proveniente de um número pequeno de indivíduos, resulta apenas em resultados es-peculativos, fugindo do campo dos modelos es-tatísticos padrões.

Assim, uma simples análise matemática no modelo populacional de Verhulst é suficiente para entender, mesmo fazendo uso de soluções matemáticas qualitativas, que uma superpopula-ção pode ser criada por um número mínimo de indivíduos. É como o “crescei, multiplicai-vos e enchei a terra” falado pelo Criador no início da Sua Criação, tivesse sido escrito no modelo de Verhulst, como transcendência matemática im-pressa na natureza, cujo eco domina e impera nos acordes suaves da existência humana. E a natureza em versos matemáticos expressa: “Ele é antes de todas as coisas. Nele, tudo subsiste” (Colossenses 1:17).

ConclusãoApesar da inexistência de dados numéricos,

foi possível fazer uma análise exploratória argu-mentativa sobre a taxa de crescimento das popu-lações bíblicas, usando, para tanto, as soluções qualitativas do modelo matemático de Verhulst. Baseado nas argumentações matemáticas extraí-das do modelo de Verhulst, foi possível entender como as comunidades bíblicas poderiam ter se multiplicado rapidamente. O modelo matemáti-co de Verhulst mostrou que todas as populações não crescem indefinidamente, mas existe um va-lor limite a partir do qual cada comunidade deixa de crescer. Considerações associadas ao modelo de Verhulst indicaram que, mesmo num mundo perfeito, haveria a necessidade de elementos ini-bidores sistêmicos.

Referências

1. Bassanezi RC, Ferreira Jr. WC. Equações diferenciais com aplica-ções. São Paulo:Harbra;1988,572 p.

2. Boyce WE, DiPrima RC. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 9rd ed. Rio de Janei-ro:LTC;2010,607 p.

3. Robert C, Chris H. Modelling biblical human population growth. Journal of Creation. 2015;29(1):72-79.

4. Elmer T. Bible answers for almost all your questions. Nashille:Tho-mas Nelson;2003,512 p.

Cleomacio Miguel da Silva é professor Adjunto de Física e Matemática da Universidade de Pernambuco (UPE) - Escola Politécnica de Pernambuco - Departamento Básico.

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