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Atividades para classePÁGINA 120

1 Em cada item abaixo, escreva uma expressão al-gébrica, utilizando as letras x e y para representar esses números.

a) O dobro de um número. 2x

b) O triplo de um número. 3x

c) O quadrado de um número. x2

d) O cubo de um número. x3

e) Metade da diferença de dois números.

1 __ 2 (x y) x y

_____ 2

f) Cinco oitavos da soma de dois números.

5 __ 8 (x y) 5(x y)

________ 8

g) O triplo da soma de um número com seu qua-drado.

3 (x x2)

h) O produto de um número pelo seus três quar-tos.

x 3 __ 4 x 3x2 ____ 4

i) A diferença entre o dobro de um número e me-tade de outro.

2x 1 __ 2 y 2x y

__ 2

j) A terça parte da soma de um número com o tri-plo de outro.

1 __ 3 (x 3y) (x 3y)

________ 3

k) O quadrado da soma de dois números. (x y)2

l) A soma dos quadrados de dois números. x2 y 2

2 José pensou em um número, duplicou-o, subtraiu 4, multiplicou esse resultado por 5 e adicionou 10. Escreva uma expressão algébrica que traduza es-sas operações feitas por José.Número em que José pensou x " (2 x 4) 5 10

3 Expresse algebricamente a medida do segmento de extremidades A e B nos casos a seguir.

a) A4 x

B

AB x 4

b) M

x xA B

AB x x 2x

c) 3x 4A B

3x 4A B

AB 3x 4

Módulo 1: Noções de álgebra d) 6A C

B

4x

AB 4x 6

e) 8

B

y

A

4y

AB 4y y 8 ou AB 4y (y 8)

4 Escreva uma expressão al-gébrica para representar o perímetro do retângulo ilus-trado.

perímetro 2 base 2 altura V V perímetro 2 2x 2 3 2(2x 3)

5 Desenhe em seu caderno os seguintes polígonos e expresse algebricamente a área de cada um.

a)

x � 2

x � 2

y � 4

x � 2

xy � 2

B

CAx

7

b

B

h

x � 2

x

Triângulo ABC, de base x e altura relativa a essa base igual a 7.

A base altura ____________ 2

A x 7 _____ 2 7x ___ 2

b)

x � 2

x � 2

y � 4

x � 2

xy � 2

B

CAx

7

b

B

h

x � 2

x

Quadrado de lado x 2.

A lado lado A (x 2) (x 2) (x 2)2

c)

x � 2

x � 2

y � 4

x � 2

xy � 2

B

CAx

7

b

B

h

x � 2

x

Retângulo de base igual a (x 2) e altura (y 4).

A base altura

A (x 2) (y 4)

d)

x � 2

x � 2

y � 4

x � 2

xy � 2

B

CAx

7

b

B

h

x � 2

x

Trapézio de base maior B, base menor b e altura h.

A (base maior base menor) altura

________________________________ 2

A (B b) h

__________ 2

2x

3

77

RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES Capítulo 6Capítulo 6

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e)

x � 2

x � 2

y � 4

x � 2

xy � 2

B

CAx

7

b

B

h

x � 2

x

Paralelogramo de base (x 2) e altura rela-tiva a essa base igual a x.

A base altura (relativa ao lado) A (x 2) x

f)

x � 2

x � 2

y � 4

x � 2

xy � 2

B

CAx

7

b

B

h

x � 2

x

Losango de diagonais x e (y 2).

A diagonal maior diagonal menor

______________________________ 2

A (y 2) x

__________ 2

6 Escreva em seu caderno os pares de termos seme-lhantes, dentre os termos 2x2y, 3xy2, 4xy, 8x2y, 12xy2, 6xy.

2x2y e 8x2y são semelhantes.3xy2 e 12xy2 são semelhantes.4xy e 6xy são semelhantes.

7 Calcule o valor numérico da expressão t3 7t 6 para os seguintes valores de t.

a) t 1t3 7t 6 13 7 1 6 1 7 6 7 7 0

b) t 2t3 7t 6 23 7 2 6 8 14 6 14 14 0

c) t 3t3 7t 6 (3)3 7 (3) 6 27 21 6 27 27 0

d) t 4t3 7t 6 43 7 4 6 64 28 6 70 28 42

e) t 0t3 7t 6 03 7 0 6 0 0 6 6

8 Seja x um número racional qualquer. Represente algebricamente o que é pedido em cada item.x Ñ Qa) O produto desse número por ele mesmo. x x

b) A soma desse número com ele mesmo. x x

9 Carol foi à feira e comprou laranjas, limões e goiabas. A quantidade de limões que ela comprou foi o dobro da quantidade de laranjas, e o número de goiabas foi três a menos que o número de laranjas.Sejam: j a quantidade de laranjas, l de limões e g de goiabas " l 2 j e g j 3

a) Escreva uma expressão algébrica que represente a quantidade de frutas que Carol comprou.

j l g j 2j j 3 4j 3

b) Se Carol comprou 12 limões, quantas frutas ela comprou no total?

Se l 12 V 12 2j V j 6 e g j 3 V V g 6 3 3 Logo, Carol comprou 12 6 3 21 frutas ao

todo, sendo: 12 limões, 6 laranjas e 3 goiabas.

10 Caio desafiou Marcos a descobrir em qual número estava pensando. Para isso fez este enigma: o quá-druplo da minha idade, mais 15, menos o triplo da soma da minha idade com 2, resulta no número que estou pensando. Como Marcos não sabia a idade de Caio, ele apenas escreveu uma expressão.

a) Qual foi essa expressão?

Idade de Caio C " 4 C 15 3(C 2) x, em que x é o número em que Caio estava pensando.

b) Depois, Caio contou que tinha 14 anos. Em que número ele estava pensando?

Como a idade de Caio é 14 anos V C 14 VV 4 14 15 3(14 2) x V 56 15 3 16 x V 71 48 x V x 23

Logo, Caio estava pensando no número 23.

Atividades para casaPÁGINA 121

11 Represente com expressões algébricas o que se pede em cada item.

a) O dobro de um número. 2n

b) O número dois somado com um número ao qua-drado.

2 n2

c) O quadrado da soma de um número e do número dois.

(n 2)2

d) A metade do triplo de um número.

1 __ 2 3n 3n ___ 2

e) O triplo do dobro de um número. 3 2n 6n

f) O dobro da diferença de dois números. 2(n m)

g) A diferença dos dobros de dois números. 2n 2m

12 Determine o valor numérico da expressãoz2 2z 8, para os seguintes valores de z:

a) z 0 z2 2z 8 02 2 0 8 0 0 8 8

b) z 1 z2 2z 8 12 2 1 8 1 2 8 9

c) z 2 z2 2z 8 (2)2 2 (2) 8

4 4 8 0

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RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES Capítulo 6RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES

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d) z 3 z2 2z 8 32 2 3 8 9 6 8 5

e) z 1 z2 2z 8 (1)2 2 (1) 8

1 2 8 5

f) z 4 z2 2z 8 42 2 4 8 16 8 8 0

13 Copie a tabela abaixo e preencha-a com os valores numéricos, de acordo com os valores indicados.

x 2

x 2 2 2 0

2x 2 (2) 4

x2 1 (2)2 1 4 1 5

x2 1 (2)2 1 4 1 3

(x 3)(x 3) (2 3)(2 3) 1 (5) 5

x 1

x 2 1 2 1

2x 2 (1) 2

x2 1 (1)2 1 1 1 2

x2 1 (1)2 1 1 1 0

(x 3)(x 3) (1 3)(1 3) 2 (4) 8

x 0

x 2 0 2 2

2x 2 0 0

x2 1 02 1 0 1 1

x2 1 02 1 0 1 1

(x 3)(x 3) (0 3)(0 3) 3 (3) 9

x 1 __ 2

x 2 1 __ 2 2 1 4 _____ 2 5 __ 2

2x 2 1 __ 2 2 __ 2 1

x2 1 @ 1 __ 2 # 2 1 1 __ 4 1 1 4 _____ 4 5 __ 4

x2 1 @ 1 __ 2 # 2 1 1 __ 4 1 1 4 _____ 4 3 __ 4

(x 3)(x 3) @ 1 __ 2 3 # @ 1 __ 2 3 # 1 6 _____ 2 1 6 _____ 2

7 __ 2 @ 5 __ 2 # 35 ___ 4

x 1

x 2 1 2 3

2x 2 1 2

x2 1 12 1 1 1 2

x2 1 12 1 1 1 0

(x 3)(x 3) (1 3)(1 3) 4 (2) 8

x 2

x 2 2 2 4

2x 2 2 4

x2 1 22 1 4 1 5

x2 1 22 1 4 1 3

(x 3)(x 3) (2 3)(2 3) 5 (1) 5

14 Num terreno retangular, o comprimento tem 10 m a mais que a largura. Se a largura mede x metros, expresse:

a) O comprimento do terreno. comprimento c x 10

b) O perímetro do terreno. 2c 2x 2 (x 10) 2x 20 2x 2x 4x 20

c) A área do terreno. A c x (x 10) x

d) O valor numérico do perímetro quandox 15 m.

perímetro 4x 20; como x 15 m, temos: perímetro 4 15 20 80 m

e) O valor numérico da área para x 20 m. área A (x 10) x; como x 20 m, temos: A (20 10) 20 30 20 600 m2

15 Copie a tabela abaixo e preencha-a em seu caderno.

Termo algébrico

Coefi ciente Parte literal

15xyz 15 xyz

12a2b 12 a2b

5 __ 7 zy3 5 __ 7 zy3

3zk2y6 3 zk2y6

12s3p2 12 s3p2

16 Escreva a expressão: o quadrado de um número somado ao quadrado de outro número. Calcule o valor numérico dela para os números 5 e 10.sejam a e b esses números V a2 b2

sendo a 5 e b 10, temos: 52 102 25 100 125

17 Calcule o valor numérico da expressão (a b)2, para a 5 e b 10. É possível que o valor numé-rico da expressão algébrica a2 b2 seja igual ao valor numérico da expressão (a b)2 para algum valor de a e de b?

(a b)2 para a 5 e b 10 " (5 10)2 152 225Para que os valores numéricos de a2 b2 e de (a b)2 sejam iguais, deve-se ter:(a b)2 a2 b2 V a2 2ab b2 a2 b2 VV 2ab 0 X a 0 ou b 0Logo, (a b)2 a2 b2 somente quando a 0 ou b 0.

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18 Reduza os termos semelhantes de cada item a um único termo.

a) 12y 5y 12y 5y 17y

b) 4xy 6xy 8xy 4xy 6xy 8xy 2xy

c) 7abz 5abz abz 7abz 5abz abz 11abz

d) 3x 2x 7x 3x 2x 7x 8x

e) 30x2y 6x2y 30x2y 6x2y 24x2y

f) 6cx4 4cx4

6cx4 4cx4 10cx4

19 Simplifique as expressões algébricas:

a) 5(3 x)

5(3 x) 15 5x

b) 6(x 4) 2(x 3) 6(x 4) 2(x 3) 6x 24 2x 6

8x 18

c) 5(x 2) 3(4 x) 5(x 2) 3(4 x) 5x 10 12 3x

8x 2

d) 4(x 3) 2(3 x) 4(x 3) 2(3 x) 4x 12 6 2x

6x 18

e) 7(x 2) 5(x 3) 3(x 1) 7(x 2) 5(x 3) 3(x 1) 7x 14

5x 15 3x 3 9x 2

f) (x 1) 3(2x 3) 2(x 4) (x 1) 3(2x 3) 2(x 4) x 1 6x

9 2x 8 3x 16

20 Monte uma expressão para: metade de um número, mais a terça parte desse número, menos 1. Depois calcule o valor dessa expressão quando o número mencionado for o 12.

Seja x este número V 1 __ 2 x 1 __ 3 x 1 x __ 2 x __ 3 1

Para x 12 V 12 __ 2 12 __ 3 1 6 4 1 9

21 Dona Maria quer dividir um bolo quadrado para cada um de seus 3 netos. Sabe-se que o bolo tem lado x e que o neto mais velho vai receber dois quintos do bolo e o mais novo vai receber um quin-to do bolo.

a) Represente a área do bolo todo com uma ex-pressão algébrica.

Área lado lado " x x x2

b) Represente a expressão da área da parte do bolo que o mais velho receberá.

2 __ 5 x2 2x2 ____ 5

c) Represente a expressão que corresponde à parte do bolo que o neto do meio receberá. Calcule sub-traindo do total as partes dos outros dois netos.

Total do bolo x2

Parte do neto mais velho 2x2 ____ 5

Parte do neto mais novo 1 __ 5 x2 x2 __ 5

Parte do neto do meio x2 2x2 ____ 5 x

2 __ 5

5x2 2x2 x2 ______________ 5 2x2

____ 5 2 __ 5 x2

d) Se o bolo tem 40 cm de lado, qual é a área que cada neto vai receber?

x 40 cm

O mais velho receberá: 2 402 _______ 5 2 1 600 ________ 5

640 cm2.

O neto do meio receberá, igualmente, 640 cm2.

O neto mais novo receberá: 402 ____ 5 1 600 _____ 5

320 cm2.

22 Represente cada expressão e diga quais delas são iguais, qualquer que seja o número: o produto de um número por ele mesmo; a soma de um número com ele mesmo; um número ao quadrado; o dobro de um número. Seja x este número V x x; x x; x2; 2x. As expres-sões iguais são: x x x2 e x x 2x


1 João e Gabriel gostam de brincar de jogar bolinhas de gude. A quantidade de bolinhas de gude que Ga-briel possui é igual à metade da quantidade de bo-linhas de gude que João possui mais 12 unidades.

a) Representando por x a quantidade de bolinhas de gude de João, copie e complete a tabela abaixo em seu caderno.

Quantidade de bolas de João

Quantidade de bolas de Gabriel

Equação que representa o problema

x x __ 2 12 x x __ 2 12 27

b) Verifique se os valores x 8, x 10 e x 12 são raízes da equação encontrada.

para x 8 " 8 8 __ 2 12 8 4 12 24

Portanto, 8 não é raiz.

para x 10 " 10 10 ___ 2 12 10 5 12 27

Portanto, 10 é raiz.

para x 12 " 12 12 __ 2 12 12 6 12 30

Portanto, 12 não é raiz.

2 Nas figuras, o perímetro do triângulo é igual à metade do perímetro do hexágono. O hexágono é regular e o triângulo é equilátero.

Módulo 2: Equações

x x

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a) Represente a situação descrita com uma equa-ção.

Perímetro hexágono

___________________ 2 Perímetro triângulo V

V 6x ___ 2 3x

b) Que tipo de números não podem fazer parte do conjunto universo dessa equação?

Dica: x representa uma medida.

x não pode ser negativo, pois representa a medida do lado.

3 Transforme as seguintes sentenças em equa ções.

a) Um número tal que o triplo desse número adi-cionado a 20 é igual a 56.

3x 20 56

b) Um número cujo dobro excede esse número em 12 unidades.

2x x 12

c) Um número tal que o dobro da soma desse nú-mero com 5 resulta em 40.

2(x 5) 40

d) Um número tal que a metade da diferença desse número e 5 é igual a 8.

x 5 ______ 2 8

4 Nos itens abaixo são dadas equações e um valor para a incógnita. Verifique em cada caso se o valor forne-cido é raiz da equação.

a) 5(x 4) (x 1) 40, x 6 5(x 4) (x 1) 40 Se x 6 V

V 1o membro 5(6 4) (6 1) 5 10 (5) 50 5 45

2o membro 40 45 40 V 1o membro 2o membro Logo, 6 não é raiz da equação.

b) 3t2 4 16, t 2 3t2 4 16 Se t 2 V

V 1o membro 3 22 4 3 4 4 12 4 16

2o membro 16

16 16 V 1o membro 2o membro Logo, 2 é raiz da equação.

c) 2z2 3z 14 0, z 2 2z2 3z 14 0 Se z 2 V

V 1o membro 2(2)2 3 (2) 14 2 4 6 14 0

2o membro 0 0 0 V 1o membro 2o membro Logo, 2 é raiz da equação.

d) 5(12 x)

_________ 4 3x 2, x 4

5(12 x)

_________ 4 3x 2

Se x 4 V

V 1o membro

5(12 4) _________ 4 5 8 _____ 4 40 ___ 4 10

2o membro 3 4 2 12 2 10

10 10 V 1o membro 2o membro Logo, 4 é raiz da equação.

e) x3 12 0, x 3 x3 12 0 Se x 3 V

V 1o membro 33 12 27 12 15

2o membro 0

15 0 V 1o membro 2o membro Logo, 3 não é raiz da equação.

5 Qual o conjunto universo da equação “x é igual ao dia da semana que começa com s”? U {os 7 dias da semana} {segunda-feira; terça-feira; quarta-feira; quinta-feira; sexta-feira; sábado e domingo}(Note que somente segunda-feira, sexta-feira e sá-bado são "raízes" da equação)

6 Copie a tabela abaixo e complete-a em seu cader-no, seguindo o modelo.

PerguntaEquação e conjunto universo

Resposta ou conjunto

solução

Qual número inteiro, elevado ao quadrado dá 49?

x2 49; U Z x 7 ou x 7;S {7; 7}

Qual número inteiro negativo

elevado ao quadrado dá 49?

x2 49; U Z2 x 7; S {7}

Qual número inteiro elevado ao quadrado dá 5?

x2 5, U Z

S

(não há x inteiro que satisfaça a

equação)

Qual número inteiro positivo elevado ao

cubo dá 8?

x3 8,U Z

S

(não há x inteiro positivo que satisfaça a equação)

Qual número inteiro elevado à quarta potência dá 1?

x4 1; U Z x 1 ou x 1; S {1; 1}

Qual número inteiro tem sua

metade igual à sua terça parte?

x __ 2 x __ 3 ; U Z x 0; S {0}

Qual número natural tem seu

triplo menor que 12?

3x 12, U N

x , 4 V x 0 ou x 1 ou x 2 ou

x 3; S {0; 1; 2; 3}

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7 A altura de um triângulo tem 2 m a mais que a base relativa a essa altura. Se x é o valor da medi-da da base, escreva uma equação para expressar que a área do triân gulo é igual a 24 m2.

altura x 2 e área 24 m2.

Como área base altura ____________ 2 , temos 24 x (x 2)

__________ 2

8 Do valor de seu salário, Joaquim gasta a terça par-te com alimentos, um quarto com transporte, um sexto com água, luz e telefone e ainda lhe restam RS|| 150,00. Escreva uma equação que represente essa situa ção em relação ao salário do Joaquim. Sendo x o salário de Joaquim, temos:

gasto com alimentos x __ 3

gasto com transporte x __ 4

gasto com água, luz e telefone x __ 6

Parte restante do salário RS|| 150,00

Logo, x x __ 3 x __ 4 x __ 6 150.


9 Os dois pratos de uma balança foram equilibrados colocando-se 3 bolas grandes e duas pequenas num prato e um peso com massa de 1 000 gramas no ou-tro, como representado abaixo.

a) Sabendo que cada bola grande tem massa igual ao dobro da massa da pequena, represente com uma equação a situação de equilíbrio da balança.

massa da bola grande " 2m massa da bola pequena " m 3 2m 2m 1 000

b) Qual é a massa de cada bola? 6m 2m 1 000 V 8m 1 000 V m 125 g

10 Represente as sentenças a seguir utilizando equa-ções.

a) O dobro de um número, menos seis, resulta em 32.

2x 6 32

b) O quíntuplo da soma de um número com dez é igual a sessenta.

5(x 10) 60

c) A diferença entre o quadrado de um número e esse mesmo número é igual a quarenta e dois.

x2 x 42

d) O quadrado da soma de um número com sete é igual ao cubo da diferença entre esse número e onze.

(x 7)2 (x 11)3

11 Escreva a equação correspondente a cada uma das sentenças a seguir e determine as raízes das equações obtidas para responder às questões:

a) Que número deve ser adicionado a vinte e três para obter trinta?

x 23 30 V x 7

b) Que número inteiro elevado ao quadrado dá 100?

x2 100 V x 10 ou x 10

c) A metade do triplo de um número é 12. Que nú-mero é esse?

3x ___ 2 12 V x 8

d) Quais são os dois inteiros consecutivos cuja soma é igual a 31?

x (x 1) 31 V x 15, logo x 1 16

e) Que número elevado a 100 dá zero?

x100 0 V x 0

f) Quais são os dois números ímpares consecuti-vos cuja soma dá 44?

x y 44, x e y são ímpares consecutivos V V x 2a 1 e y 2a 3 (a Ñ N) V V (2a 1) (2a 3) 44 V a 10 Logo, x 21 e y 23.

g) Qual é o número inteiro cuja metade é igual ao quadrado de quatro?

x __ 2 42 V x 32

h) A soma dos quadrados de 6 e 8 é igual ao qua-drado de qual número?

62 82 x2 V x2 100 V x 10

12 Verifique se x 4 é raiz das equações seguintes.

a) 4x 12 3 para x 4 V 4 4 12 3 V 16 12

3 V 4 3 " "F"

b) x3 64 0 para x 4 V 43 64 0 V 64 64

0 V 0 0 " "V"

c) (x 1)3 15 para x 4 V (4 1)3 15 V 53 15 V

V 125 15 " "F"

d) (2x 1)3 343 para x 4 V (2 4 1)3 343 V

V 73 343 V 343 343 " "V" Logo, 4 é raiz das equações dos itens b) e d).

13 Determine o conjunto universo e o conjunto solução das seguintes sentenças abertas.

a) t é um divisor natural de 6.

U N, S {1; 2; 3; 6}

b) z é um inteiro cujo módulo é 5.

U Z, S {5; 5}

c) k é um número natural, múltiplo de 5.

U N, S {0; 5; 10; 15; 20; ...}

ou S {x Ñ N | x 5a com a Ñ N}

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14 Copie e complete a tabela em seu caderno.

Equação1o

membro2o

membro2 é raiz?

4x 1 2 5 18 4x 1 2 18 4 ? 2 1 2 5 18 V

V 10 5 18 "F" V Não

6(k 1 3) 5

5 15k6(k 1 3) 15k

6 ? (2 1 3) 5 15 ? 2 V V 30 5 30 "V" V Sim

s3 1 8 5 0 s3 1 8 0 23 1 8 5 0 V 16 5

5 0 "F" V Não

15 Considere a sentença “A quarta parte da soma de um número inteiro com dois é igual à terça parte desse número”.

a) Qual das equações representa essa sentença?

I) x __ 4 1 2 5 x __ 3 III) x 1 2 ______ 4 5 x __ 3

II) x __ 4 1 2 5 3x

A sentença correta é a III: x 1 2 ______ 4 5 x __ 3 .

Note que I V

x __ 4 1 2 5 x __ 3 corresponde a: "A soma da

quarta parte de um número inteiro com 2 é igual à terça parte desse número".

II V

x __ 4 1 2 5 3x corresponde a: "A soma da

quarta parte de um número inteiro com 2 é igual ao triplo desse número".

b) Qual é o conjunto universo da equação?

U 5 Z " conjunto dos números inteiros

c) 8 é raiz dessa equação?

Se x 5 8 V 8 1 2 ______ 4 5 8 __ 3 V 10 ___ 4 5 8 __ 3 "F".

Logo, 8 não é raiz dessa equação.

16 Escreva sentenças que representem as equações a seguir.

a) 10 2 2x 5 3x 1 15 A diferença entre 10 e o dobro de um número é

igual à soma do triplo desse número com 15.

b) 2x2 2 10 5 x 1 5 A diferença entre o dobro do quadrado de um nú-

mero e 10 é igual à soma desse número com 5.

c) 4(3x 2 1) 5 68 O quádruplo da diferença entre o triplo de um nú-

mero e a unidade é 68.

d) x100 5 1 A centésima potência de um número é igual a um.

17 Calcule mentalmente as raízes das equações abai-xo e indique quais delas têm o mesmo conjunto so-lução.

a) 3x 2 8 5 7 c) 3x ___ 2 5 9 x 5 5 x 5 6

b) 15 2 x 5 9 d) 40 2 2x ________ 3 5 10

x 5 6 x 5 5

Têm o mesmo conjunto solução os itens: a) e d); S 5 {5} e b) e c); S 5 {6}.

18 O dobro de um número é adicionado à sua terça parte. Dessa soma é retirada a metade do número inicial e verifica-se que o resultado é 25. Escreva uma equação que represente esse problema e ve-rifique se 6 é raiz da equação que você escreveu.

@ 2x 1 x __ 3 # 2 x __ 2 5 25

Para x 5 6 V @ 2 ? 6 1 6 __ 3 # 2 6 __ 2 5 25 V (12 1 2) 2 3 5

5 25 V 14 2 3 5 25 V 11 5 25 " "F". Logo, 6 não é raiz da equação.

Boxe Cálculo mentalPágINA 126

Em uma balança cujos pratos estão equilibrados e todos os cubos possuem a mesma massa, descu-bra a massa, em kg, de cada cubo.

5 5 3m 1 0,5 V 4,5 5 3m

m 5 4,5 ; 3 5 1,5 kg

Atividades para classePágINA 128

1 Determine o conjunto solução das seguintes equa-ções, sabendo que o conjunto universo delas é o conjunto dos números racionais.

a) 3x 5 7

3x 5 7 V 1 __ 3 ? 3x 5 1 __ 3 ? 7 V x 5 7 __ 3 Ñ Q V S 5 2 7 __ 3 3 b) 6x 5 9

6x 5 9 V 1 __ 6 ? 6x 5 1 __ 6 ? 9 V x 5 9 __ 6 V x 5 3 __ 2 Ñ Q V

V S 5 2 3 __ 2 3 c) 25x 5 18

25x 5 18 V 2 1 __ 5 ? (25x) 5 2 1 __ 5 ? 18 V

V x 5 2 18 ___ 5 Ñ Q V S 5 2 2 18 ___ 5 3 d) 4x ___ 3 5 10

4x ___ 3 5 10 V 3 __ 4 ? 4x ___ 3 5 3 __ 4 ? 10 V x 5 30 ___ 4 V

V x 5 15 ___ 2 Ñ Q V S 5 2 15 ___ 2 3 e) 2 5x ___ 9 5 18

2 5x ___ 9 5 18 V 2 9 __ 5 ? @ 2 5x ___ 9 # 5 @ 2 9 __ 5 # ? 18 V

V x 5 2 162 ____ 5 Ñ Q V S 5 2 2 162 ____ 5 3

Módulo 3: Equações do 1o grau com uma incógnita

83

Resoluçãodeatividades Capítulo 6

4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 83 12.12.08 13:44:40

f) 6x ___ 7 12 ___ 35

6x ___ 7 12 ___ 35 V 7 __ 6 @ 6x ___ 7 # 7 __ 6 12 ___ 35 V

V x 2 __ 5 Ñ Q V S 2 2 __ 5 3 g) 4x ___ 7 10 ___ 49

4x ___ 7 10 ___ 49 V 7 __ 4 @ 4x ___ 7 # 7 __ 4 10 ___ 49 V

V x 5 ___ 14 Ñ Q V S 2 5 ___ 14 3 h) 9x 0

9x 0 V 1 __ 9 9x 1 __ 9 0 V x 0 Ñ Q V S {0}

i) 0 3x ___ 47

0 3x ___ 47 V 0 47 ___ 3 3x ___ 47 47 ___ 3 V x 0 Ñ Q V

V S {0}

j) 12x ____ 5 1

12x ___ 5 1 V 5 __ 12 12x ___ 5 5 __ 12 1 V x 5 __ 12 Ñ Q V

V S 2 5 __ 12 3 k) 6x ___ 13 1

6x ___ 13 1 V 13 __ 6 @ 6x ___ 13 # @ 13 __ 6 # 1 V V x 13 __ 6 Ñ Q V S 2 13 __ 6 3 l) 5x ___ 8

10 ___ 24

5x ___ 8 10 ___ 24 V 8 __ 5 5x ___ 8 8 __ 5 @ 10 ___ 24 # V V x 2 __ 3 Ñ Q V S 2 2 __ 3 3

2 Há quinze anos o pai de Flávia tinha 42 anos. Se hoje a idade dela é a terça parte da idade dele, qual é a idade de Flávia?

P 42 15 V P 57 anos

F P __ 3 V F 57 ___ 3 V F 19 anos

3 Resolva em U Q as seguintes equações.

a) 2x 5 9

2x 5 9 V 2x 5 5 9 5 V

V 2x 14 V 1 __ 2 2x 1 __ 2 14 V x 7 Ñ Q V S {7}

b) 6x 5 37

6x 5 37 V 6x 5 5 37 5 V

V 6x 42 V 1 __ 6 6x 1 __ 6 (42) V x 42 ___ 6 V

V x 7 Ñ Q V S {7}

c) 8 5x 13

8 5x 13 V 8 8 5x 13 8 V

V 5x 5 V 1 __ 5 (5x) 1 __ 5 5 V x 5 __ 5 V

V x 1 Ñ Q V S {1}

d) 16 4x 30

16 4x 30 V 16 16 4x 30 16 V

V 4x 14 V 1 __ 4 4x 1 __ 4 14 V x 14 ___ 4 V

V x 7 __ 2 Ñ Q V S 2 7 __ 2 3 e) 0 12 20x

0 12 20x V 12 20x 0 V 12 12 20x

0 12 V 20x 12 V 1 ___ 20 (20x)

1 ___ 20 (12) V x 12 ___ 20 V x 3 __ 5 Ñ Q V S 2 3 __ 5 3 f) 12 3x x

12 3x x V 12 12 3x x 12 V 3x x 12 V 3x x x x 12 V 4x

12 V 1 __ 4 (4x) 1 __ 4 (12) V x 12 __ 4 V

V x 3 Ñ Q V S {3}

g) 7x 8 12 2x

7x 8 12 2x V 7x 2x 8 8

2x 2x 12 8 V 5x 20 V 1 __ 5 5x 1 __ 5 20 V

V x 20 ___ 5 V x 4 Ñ Q V S {4}

h) 6 4x 8 2x

6 4x 8 2x V 6 6 4x 2x

8 6 2x 2x V 2x 2 V 1 __ 2 (2x)

1 __ 2 2 V x 2 __ 2 V x 1 Ñ Q V S {1}

i) 3 5x 8 3x

3 5x 8 3x V 3 3 5x 3x

8 3 3x 3x V 8x 5 V 1 __ 8 8x 1 __ 8 5 V

V x 5 __ 8 Ñ Q V S 2 5 __ 8 3 j) 4x 13 x 20

4x 13 x 20 V 4x x 13 13 x x 20 13 V 3x 7 V 1 __ 3 3x 1 __ 3 7 V

V x 7 __ 3 Ñ Q V S 2 7 __ 3 3 k) 10x 8 3x 55

10x 8 3x 55 V 10x 3x 8 8

3x 3x 55 8 V 7x 63 V 1 __ 7 7x

1 __ 7 (63) V x 63 ___ 7 V x 9 Ñ Q V

V S {9}

l) 12x 9 6x

12x 9 6x V 12x 6x 9 6x 6x V 18x

9 V 1 ___ 18 18x 1 ___ 18 9 V x 9 ___ 18 V x 1 __ 2 Ñ Q V

V S 2 1 __ 2 3

84


3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 84 08.12.08 14:22:22

4 Eliana foi a um determinado supermercado e comprou 2x dúzias de laranja e x dúzias de banana, gastando 12 reais.

a) Determine o valor de x. 2x?31x?2512V6x12x512V8x512V

Vx512__853__2Vx51,5

b) Quantas laranjas e quantas bananas Elia na comprou?

laranjas"2x53dúziasou36laranjas bananas"x51,5dúziaou18bananas

5 Determine a medida de cada lado do retângulo ilustrado sabendo que o perímetro dele é igual a 42 centímetros.

2?(2x141x12)542V2x141x12521VV3x16521V3x515Vx55x1257e2x14514Osladosdoretângulosão7e14.

6 Márcia está fazendo uma dieta e precisa emagre-cer 8 kg para ficar com 72 kg. Qual é a massa de Márcia? Sejam amassa deMárciaVm 2 8 5 72Vm 5 57218Vm580.AmassadeMárciaéde80kg.

7 Numa prova de 36 testes, Paulo acertou o triplo do que errou. Quantos ele errou? SejaeaquantidadedetestesquePauloerroueaaquantidadedetestesqueeleacertouV

V2 a1e536a53e      V

V3e1e536V4e536Ve536___4Ve59

Logo,Pauloerrou9testes.

8 Renata é dois anos mais nova que Aline e, há dez anos, a soma da idade delas era igual a 46 anos. Quantos anos tem cada uma?Sejam:R5 IdadedeRenatahoje eA5 idadedeAlinehojeVHá10anosRenatatinhaR210eAline,A210.ComoRenataé2anosmaisnovaqueAline,tem-se:R5A22.Tem-se(R210)1(A210)546.SubstituindoR5A22V(A22210)1(A210)546VVA2121A210546V2A222546VV2A568VA534Logo,R5 342 2VR5 32,ou seja,Renata tem32anoseAlinetem34anos.

9 Uma fábrica produz diariamente 1 000 caixas, de tama-nhos grande e pequeno, sendo que o número de caixas pequenas é o quádruplo do número de caixas grandes. Quantas caixas de cada tipo são fabricadas por dia? Sendo P a quantidade de caixas pequenas e G aquantidadede caixasgrandes, temosporum lado

queP1G51000e,poroutro,queP54G.Assim,

4G1G51000V5G51000VG51000_____5 V

VG5 200VP54?200VP5800Logo,sãofabricadasdiariamente200caixasgran-dese800caixaspequenas.

10 Ana percorreu três quartos de uma trilha e faltam 400 m para ela chegar ao final.

Quantos metros tem essa trilha?

Sejatadistânciatotaldatrilha"3__4t14005t(mmc54)V3t14?40054?tV3t1160054t VV2t521600Vt51600Logo,atrilhatem1600m.

11 Haroldo e Bruno têm, juntos, RS|| 1 200,00. Se Ha-roldo tem RS|| 300,00 a mais que Bruno, quanto tem Haroldo? SendoH aquantiadeHaroldoeBoquantoBrunotem,temosqueH1B51200eH5B1300.SubstituindoH5B1300emH1B51200:B13001B51200V2B512002300V2B55900VB5450VH54501300VH5750Logo,HaroldotemRS||750,00

12 A soma de dois números inteiros consecutivos é igual a 57. Quais são esses números? Sejan onúmero inteiro, logoo seu consecutivoén1 1.Assim,n1 (n1 1)557V2n5572 1VV2n556Vn528e,portanto,n11529.Osdoisnúmerosprocuradossão28e29.

13 Numa prova de 40 testes, o número de acertos de Ana excedeu em 4 o número de erros. Quantos tes-tes Ana acertou? SejameonúmerodeerrosdeAnaeaonúmerodeacertosVa1e540ea541e.Assim,41e1e540V2e536Ve518VVa54118Va522Logo,Anaacertou22testes.

14 José, Raimundo e Pedro pescaram 40 peixes, sen-do que Raimundo pescou dois terços da quanti-dade pescada por José, e este pescou 8 peixes a menos que Pedro. Quantos peixes José pescou?

2x � 4

x � 2

85


4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 85 12.12.08 13:45:34

J R P 40, em que J, R e P são as quantida-des de peixe que José, Raimundo e Pedro pescaram, respectivamente.

R 2 __ 3 J

J P 8

Substituindo J P 8 em R 2 __ 3 J, tem-se:

R 2 __ 3 (P 8) V R 2 __ 3 P 16 ___ 3

Substituindo J P 8 e R 2 __ 3 P 16 ___ 3 em

J R P 40, tem-se: (P 8) @ 2 __ 3 P 16 ___ 3 # P

40 V (mmc 3) V 3P 24 2P 16 3P 120 V 8P 40 120 V 8P 120 40 V 8P

160 V P 160 ____ 8 V P 20

Logo, J 20 8 V J 12

Portanto, José pescou 12 peixes.


15 Determine o conjunto solução das seguintes equa-ções em Q.

a) 3(x 10) 41

3(x 10) 41 V 3x 30 41 V 3x 30 30

41 30 V 3x 11 V 1 __ 3 3x 1 __ 3 11 V

V x 11 __ 3 Ñ Q V S 2 11 __ 3 3 b) 5(x 4) 2(x 8) 90

5(x 4) 2(x 8) 90 V 5x 20 2x 16 90 V 7x 4 90 V 7x 4 4 90 4 V

V 7x 86 V 1 __ 7 7x 1 __ 7 86 V x 86 ___ 7 Ñ Q V

V S 2 86 ___ 7 3 c) 4(x 5) 6 3(6 x) 4

4(x 5) 6 3(6 x) 4 V 4x 20 6 18 3x 4 V 4x 26 22 3x V 4x 3x 26 26 22 26 3x 3x V 7x

4 V 1 __ 7 7x 1 __ 7 (4) V x 4 __ 7 Ñ Q V

V S 2 4 __ 7 3 d) 2(3x 4) 3(5 2x) 5(2x 3) 2(3x 4) 3(5 2x) 5(2x 3) V 6x 8

15 6x 10x 15 V 12x 7 10x 15 VV 12x 10x 7 7 10x 10x 15 7 V

V 2x 22 V 1 __ 2 2x 1 __ 2 (22) V x 22 _____ 2 V

V x 11 Ñ Q V S {11}

e) 3(4x 1) 2(x 3) 4(5 x) 20 3(4x 1) 2(x 3) 4(5 x) 20 V

V 12x 3 2x 6 20 4x 20 V 10x 23 20 V 10x 23 23 20 23 V

V 10x 3 V 1 ___ 10 10x 1 ___ 10 (3) V

V x 3 ___ 10 Ñ Q V S 2 3 ___ 10 3

16 Determine o conjunto solução das seguintes equa-ções, no universo dos racionais.

a) 4x 15 ________ 3 15

4x 15 _______ 3 15 V 4x 15 3 15 V 4x 15

45 V 4x 15 15 45 15 V 4x 30 V

V 1 __ 4 4x 1 __ 4 30 V x 30 ___ 4 V x 15 ___ 2 Ñ Q V

V S 2 15 ___ 2 3 b) 9 x ______ 2 x 7 ______ 3 6

9 x ______ 2 x 7 ______ 3 6 V (mmc 6) V 3(9 x)

2(x 7) 6 6 V 27 3x 2x 14 36 VV x 41 36 V x 41 41 36 41 VV x 5 V 1 (x) 1 (5) V

V x 5 Ñ Q V S {5}

c) 2x 3 _______ 4 x 3 ______ 3 x 5 ______ 8

2x 3 _______ 4 x 3 ______ 3 x 5 ______ 8 V (mmc 24) V 6 (2x

3) 8 (x 3) 3 (x 5) V 12x 18 8x 24 3x 15 V 4x 6 3x 15 V 4x 3x 6 6 3x 3x 15 6 V x 9 Ñ Q VV S {9}

d) x 7 ______ 4 9 x ______ 6 x 4 ______ 3 5

x 7 ______ 4 9 x ______ 6 x 4 ______ 3 5 V (mmc 12) V

V 3 (x 7) 2 (9 x) 4 (x 4) 12 5 VV 3x 21 18 2x 4x 16 60 V 3x 23 60 V 3x 23 23 60 23 V

V 3x 37 V 1 __ 3 (3x) 1 __ 3 37 V

V x 37 ___ 3 Ñ Q V S 2 37 ___ 3 3 e) 5 x ______ 6 3 2x _______ 8 x 10 ______ 3 163 ____ 24

5 x ______ 6 3 2x _______ 8 x 10 ______ 3 163 ____ 24 V (mmc 24) V

V 4 (5 x) 3(3 2x) 8(x 10) 163 VV 20 4x 9 6x 8x 80 163 V 18x 91 163 V 18x 91 91 163 91 VV 18x 72 V 1 ___ 18 (18x) 1 ___ 18 72 V

x 72 ___ 18 V x 4 Ñ Q V S {4}

17 Fernando comprou uma calça e uma camisa e gastou com isso RS|| 180,00. A calça cus-tou o dobro do valor da cami-sa. Qual é o valor que Fernan-do pagou pela calça?

Sejam x preço da cal-ça e y preço da camisa V x y 180. Como x 2y, temos 2y y 180 VV 3y 180 VV y 180 ____

3 V y 60

Logo, x 60 180 V x 120. Ou seja, Fernando pagou RS|| 120,00 pela calça.

86


3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 86 08.12.08 14:22:24

18 Para comprar um presente para o professor, doze alunos fizeram algumas contas e viram que cada um deveria contribuir com 10 reais. Porém, quatro alunos desistiram de última hora. De quanto será a contribuição de cada um dos outros alunos, se eles quiserem comprar o mesmo presente?

O presente custa 12 RS|| 10,00 RS|| 120,00

Como 4 alunos desistiram, restam 8 alunos VV 120 : 8 15 V cada um dos 8 alunos deve contri-buir com RS|| 15,00.

19 Humberto tem um número de CD‘s de rock que su-pera em seis os de música popular, e estes são 8 a mais que os CD‘s de música sertaneja. Se o total de CD‘s de Humberto é 52, quantos são os de rock?

Temos R P 6, P S 8 e R P S 52, em que R é a quantidade de CD's de rock, P de música popu-lar e S a quantidade de CD's de música sertaneja.

P S 8 V S P 8

Assim, P 6 P P 8 52 V 3P 2 52 V

R S

V 3P 54 V P 18 V R 18 6 V R 24 VV Humberto tem 24 CD's de rock.

20 A soma de três números inteiros consecutivos é igual a 153. Determine quais são esses números.

Seja x o menor número inteiro. Seus consecutivos são: x 1 e x 2.

Logo, x (x 1) (x 2) 153 V 3x 3 153 V

V 3x 150 V x 150 ____ 3 V x 50 V x 1 51 e

x 2 52.

Portanto, os três números são: 50, 51 e 52.

21 Matheus tem 10 anos e Pedro tem 4 anos. Daqui a quantos anos o dobro da idade de Matheus será o quádruplo da de Pedro?

Hoje M 10 e P 4, em que M é a idade de Matheus e P a de Pedro.

Note que, daqui a x anos, Matheus terá (10 x) anos e Pedro (4 x) anos; então 2 (10 x) 4 (4 x) V 20 2x 16 4x V 2x 4x 16 20 VV 2x 4 V x 2. Logo, daqui a 2 anos.

22 Num certo terreiro, se subtrairmos da quantidade de patos a quantidade de galinhas, o resultado é 14. Se somarmos essas quantidades, o resultado é 46.

Quantos patos e quantas galinhas há?P G 14, em que P quantidade de patos e G de galinhasPor outro lado, P G 46 V P 46 G.

Substituindo-se P 46 G em P G 14 temos:46 G G 14 V 46 2G 14 VV 2G 32 V G 16. Logo P 46 16 V P 30Portanto, são 30 patos e 16 galinhas.

23 A soma de dois números é igual a 55, e o maior excede o menor em 13 unidades. Quais são esses números?Sejam x e y esses dois números, tais que x y VV x y 55 e x y 13Logo, y 13 y 55 V 2y 42 V y 21 VV x 21 13 V x 34Os dois números são 34 e 21.

24 De um barril cheio de água é retirada metade da água e, depois, um terço do restante, ficando ainda no barril 200 litros. Calcule a capacidade do barril.Seja C a capacidade do barril.

1o) C C __ 2 C __ 2 Destes, retira-se 1 __ 3 V 1 __ 3 C __ 2 C __ 6

Já foram retirados C __ 2 e C __ 6 V C __ 2 C __ 6 3C C _______ 6

4C ___ 6 2C ___ 3 " Até agora retirou-se 2C ___ 3 .

Sobrou: C 2C ___ 3 3C 2C ________ 3 C __ 3 200 V C 600

A capacidade do barril é 600 L.

25 Marina recebeu seu primeiro salário no seu novo emprego. Dessa quantia ela gastou um terço com mantimentos para o mês e, do que restou, gas-tou um oitavo com roupas novas, sobrando ainda RS|| 350,00. Quanto Marina recebeu de salário? Seja S salário de Marina.

Gastou com mantimentos 1 __ 3 S.

Sobrou S 1 __ 3 S 3S 1S _______ 3 2 __ 3 S

Destes 2 __ 3 S, gastou 1 __ 8 com roupas V 2 __ 3 S 1 __ 8

2 ___ 24 S 1 __ 12 S

Ao todo, gastou até agora 1 __ 3 S 1 __ 12 S 4S S _______ 12

5 __ 12 S V Sobrou S 5 __ 12 S 12S 5S _________ 12 7 __ 12 S

Assim, 7 __ 12 S 350 V S 12 __ 7 350 V S 12 50 V

V S 600Logo, Marina recebeu RS|| 600,00.

26 Cristina queria comprar bonecas, todas iguais, para distribuir no dia das crianças. Cristina observou que, com o dinheiro que tinha, conseguiria comprar 80 bonecas. Porém, se o preço da boneca fosse RS|| 10,00 a menos, ela conseguiria comprar 120 bone-cas. Calcule quanto custa cada boneca e quanto Cris-tina tem em dinheiro para a compra das bonecas.Se o preço é x, ela compra 80 bonecas.Se o preço cai para (x 10), ela compra 120 bonecas.Logo, 80 x 120 (x 10) VV 80x 120x 1 200 V 40x 1 200 VV x 30 e 80 x 80 30 2 400Portanto, cada boneca custa RS|| 30,00 e Cristina tem RS|| 2 400, 00.

87


3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 87 08.12.08 14:22:24

27 Numa prova de 50 testes, cada acerto vale 2 pon-tos e cada erro vale 21 ponto.

a) Se Vanessa acertou 30 testes, que nota ela tirou?

30testescertosV20testeserradosV30?21

120?(21)560220540Vsuanotafoi40.

b) Se Felipe teve nota 70, quantos testes ele acertou?

c?21e?(21)570

emquec5certo,e5erradoee5502c

Logo,2c1 (502c) ? (21)570V2c2501 1c570V3c5120Vc540VFelipeacertou

40testes.

28 Um lojista estava vendendo calças e camisas por um mesmo preço. Caio pediu um desconto, e o dono da loja diminuiu 10 reais no preço da camisa e 20 reais no preço da calça. Caio levou 3 calças e 4 camisas e o total da sua compra foi RS|| 250,00. Qual era o preço de uma calça, antes do desconto?

Sejaxopreçodecadacalçaedecadacamisa.Comodesconto,opreçodacamisapassouaserx210eodacalça,x220.

Nacompra:3(x220)14(x210)5250V3x260114x2405250V7x21005250V7x5350Vx550.AntesdodescontoacalçacustavaRS||50,00.

Boxe Cálculo mentalPágiNA131

Determine mentalmente as soluções das inequações:

a) 3x . 12

3x.12V1__3?3x.1__3?12Vx.4

S5{xÑQ |x.4}

b) 5x , 30

5x,30V1__5?5x,1__5?30Vx,6

S5{xÑQ |x,6}

c) 4x 1 8 . 12

4x18.12V4x1828.1228V4x.4V Vx.1

S5{xÑQ |x.1}

d) 5 2 2x , 7

522x,7V251522x,725V22x,2V 2x.22Vx.1

S5{xÑQ |x.21}

Atividades para classePágiNA132

1 O conjunto universo da inequação 4 2 3x . 6 é U 5 5 {25; 24; 23; 0; 1; 2; 3}. Qual é o conjunto solução dessa inequação?

423x.6V42423x. 624V23x.2V

V21__3?(23x),2 1__3?2 Vx,22__3V osnúmerosque

Módulo 4: Inequações

satisfazemessainequaçãoequepertencemaoconjun-touniversosão:

25;24e23VS5{25;24;23}

2 Responda em cada caso se o número dado faz par-te do conjunto solução da inequação dada, sendo U 5 Q.

a) 4 1 2x . 8 (x 5 3)

412x.8V42412x.824V2x.4V

V1__2?2x.1__2?4Vx.2VS5{xÑQ |x.2}

Como3ÑQe3.2,então3ÑS.

ou

412x.8,parax53V412?3.8V V416.8510.8"V"

Como3ÑQe3tornaadesigualdadeverdadeira,

então3ÑS.

b) 3x 2 4 , 12 (x 5 0)

3x 2 4 , 12 V 3x 2 4 1 4 , 12 1 4 V

V 3x , 16 V 1__3 ? 3x , 1__3 ? 16 V x , 16___3 V

Vx,51__3VS52 xÑQ |x,51__33 Como0ÑQe0,51__3,então0ÑS.

ou

3x 2 4 , 12, para x 5 0 V 3 ? 0 24 , 12 V V024,12V24,12"V".Como0ÑQe0

tornaadesigualdadeverdadeira,então0ÑS.

c) 4 ? (2x 2 1) , 9 (x 5 3)

4(2x 2 1) , 9 V 8x 2 4 , 9 V 8x 2 4 1

14,914V8x,13V1__8?8x,1__8?13Vx,13__8V

Vx,15__8V S52 xÑQ |x,15__83 Como3ÑQ ,porém3.15__8,então3ÉS.

ou

4?(2x21),9,parax53V4?(2?321),9V V4?(621),9V4?5,9V20,9"F".Como3ÑQ,porémfazcomqueadesigualdadeseja

falsa,então3ÉS.

d) 5 ? (1 2 x) . 10 (x 5 22)

5?(12x).10V525x.10V V52525x.1025V25x.5V

V21__5?(25x),21__5?5Vx,21V

VS5{xÑQ |x,21}

Como22ÑQe22,21,então22ÑS.

ou

5?(12x).10,parax522V5(12(22)).10V V5(112). 10V 5 ? (3). 10V 15. 10"V".Como22ÑQetornaadesigualdadeverdadeira,então22ÑS.

88


4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 88 12.12.08 13:46:55

e) 5x 8 12 (x 4)

5x 8 > 12 V 5x 8 8 > 12 8 V

V 5x > 20 V 1 __ 5 5x > 1 __ 5 (20) V x > 4 V

V S {x Ñ Q | x > 4}

Como 4 Ñ Q e 4 . 4, então 4 Ñ S.

ou

5x 8 > 12, para x 4 V 5 4 8 > 12 VV 20 8 > 12 V 28 > 12 "V". Como 4 Ñ Q e torna a desigualdade verdadeira, então 4 Ñ S.

f) 3 (2 3x) 15 (x 5)

3 (2 3x) < 15 V 6 9x < 15 V V 6 6 9x < 15 6 V 9x < 9 V

V 1 __ 9 (9x) > 1 __ 9 9 V x > 1 V

V S {x Ñ Q | x > 1}

Como 5 Ñ Q, porém 5 , 1, então 5 É S.

ou

3 (2 3x) < 15, se x 5 V 3 (2 3 (5)) < 15 VV 3(2 15) < 15 V 3 (17) < 15 V 51 < 15 "F". Como 5 Ñ Q porém torna a desigualdade falsa, então 5 É S.

3 O número 7 pertence ao conjunto solução de quais inequações abaixo? Se U Q.

a) 3x 22

3x . 22 V 1 __ 3 3x . 1 __ 3 22 V x . 22 ___ 3 V x . 7 1 __ 3 V

V S 2 x Ñ Q | x 7 1 __ 3 3 Como 7 Ñ Q, porém 7 , 7 1 __ 3 , então 7 É S.

ou

3x . 22, para x 7 V 3 7 . 22 V 21 . 22 "F". Como 7 Ñ Q torna a desigualdade falsa, então

7 É S.

b) 4x 30

4x < 30 V 1 __ 4 4x < 1 __ 4 30 V x < 30 ___ 4 V x < 15 ___ 2 V

V x < 7 1 __ 2 V S 2 x Ñ Q | x < 7 1 __ 2 3 Como 7 Ñ Q e 7 7 1 __ 2 , então 7 Ñ S.

ou

4x < 30, para x 7 V 4 7 < 30 V 28 < 30 "V". Como 7 Ñ Q e torna a desigualdade verdadeira,

então 7 Ñ S.

c) 5x 10 20

5x 10 . 20 V 5x 10 10 . 20 10 V

V 5x . 30 V 1 __ 5 5x . 1 __ 5 30 V x . 6 V

S {x Ñ Q | x . 6}


ou

5x 10 . 20, para x 7 V 5 7 10 . 20 VV 35 10 . 20 V 25 . 20 "V". Como 7 Ñ Q e

torna a desigualdade verdadeira, então 7 Ñ S.

d) 12 x 8

12 x , 8 V 12 12 x , 8 12 V x , 4 VV 1 (x) . 1 (4) V x . 4 V

V S {x Ñ Q | x . 4}


ou

12 x , 8, para x 7 V 12 7 , 8 V 5 , 8 "V". Como 7 Ñ Q e torna a desigualdade verdadeira, então 7 Ñ S.

4 O número 4 pertence ao conjunto solução de 6 (x 2) 5 (8 x) 3 (x 1) 2x 3?

Para x 4 V 6 (4 2) 5(8 4) . 3 (4 1) 2 4 3 V 6 2 5 4 . 3 3 8 3 VV 12 20 . 9 8 3 V 8 . 14 "F"

Logo, 4 não é solução da inequação.

5 Resolva as seguintes inequações, em U Q.

a) x 7 0

x 7 . 0 V x 7 7 . 0 7 V x . 7 V V S {x Ñ Q | x . 7}

b) 12 x 9

12 x > 9 V 12 12 x > 9 12 V x > 3 VV 1 (x) < 1 (3) V x < 3 VV S {x Ñ Q | x < 3}

c) 0 3 x

0 . 3 x V 0 x . 3 x x V x . 3 VV S {x Ñ Q | x . 3}

d) 12 5 x

12 < 5 x V 12 5 < 5 5 x V 7 < x VV x > 7 V S {x Ñ Q | x > 7}

e) 13 x x

13 x > x V 13 13 x x > x x 13 V

V 2x > 13 V 1 __ 2 (2x) < 1 __ 2 (13) V

V x < 13 __ 2 V S 2 x Ñ Q | x < 13 __ 2 3 f) x 5 14

x 5 , 14 V x 5 5 , 14 5 VV x , 19 V 1 (x) . 1 19 V x . 19 VV S {x Ñ Q | x . 19}

6 Resolva as seguintes inequações, em U Q.

a) 4x 12

4x . 12 V 1 __ 4 4x . 1 __ 4 12 V x . 3 V

V S {x Ñ Q | x . 3}

b) 2x 50

2x , 50 V 1 __ 2 (2x) . 1 __ 2 50 V x . 25 V

V S {x Ñ Q | x . 25}

89


3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 89 08.12.08 14:22:26

c) 6 ___ 10 x 36 ___ 5

6 ___ 10 x . 36 ___ 5 V 10 ___ 6 6 ___ 10 x . 10 ___ 6 36 ___ 5 V x . 12 V

V S {x Ñ Q | x . 12}

d) 4x 40

4x , 40 V 1 __ 4 (4x) . 1 __ 4 (40) V x . 10 V

V S {x Ñ Q | x . 10}

e) 26 4x

26 > 4x V 4x < 26 V 1 __ 4 (4x) > 1 __ 4 26 V

V x > 13 __ 2 V S 2 x Ñ Q | x > 13 __ 2 3 7 Determine o conjunto solução das seguintes

inequações, sendo U Z, depois verifique se há algum número inteiro que é solução das quatro inequações.

a) 5x 2 3

5x 2 , 3 V 5x 2 2 , 3 2 V 5x , 1 V

V 1 __ 5 5x , 1 __ 5 1 V x , 1 __ 5

Logo, S 2 x Ñ Z | x , 1 __ 5 3 {... 3; 2; 1; 0}

b) 6x 12 18

6x 12 , 18 V 6x 12 12 , 18 12 V

V 6x , 30 V 1 __ 6 6x , 1 __ 6 30 V x , 5

Logo, S {x Ñ Z | x , 5} {... 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4}

c) 4x 9 9

4x 9 > 9 V 4x 9 9 > 9 9 V

V 4x > 0 V 1 __ 4 4x > 1 __ 4 0 V x > 0 __ 4 V x > 0

Logo, S {x Ñ Z | x > 0} N {0; 1; 2; 3; ...}

d) 40 3x 6

40 3x . 6 V 40 40 3x . 6 40 V

V 3x . 34 V 1 __ 3 (3x) , 1 __ 3 (34) V

V x , 34 ___ 3 V x , 11 1 __ 3

S 2 x Ñ Z | x , 11 1 __ 3 3 {... 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3;

4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}

Há um único número inteiro que pertence aos quatro conjuntos soluções: é o 0 (zero).

8 Determine o menor número inteiro que satisfaz a ine-quação 3x 2 (2 x) 1 x.

3x 2 (2 x) , 1 x V 3x 4 2x , 1 x VV 5x 4 , 1 x V 5x x 4 4 , 1 x

x 4 V 4x , 3 V 1 __ 4 (4x) . 1 __ 4 (3) V

V x . 3 __ 4

x . 3 __ 4 Ñ Z {1; 2; 3; 4; 5; ...} o menor deles é o 1.

9 Determine o menor número natural que satisfaz a inequação 2x 10 4x 2. 2x 10 . 4x 2 V 2x 4x 10 10 . 4x

4x 2 10 V 6x . 12 V 1 __ 6 6x 1 __ 6 (12) VV x . 2x 2 Ñ N {0; 1; 2; 3; ...}; o menor deles é o 0 (zero).

10 Resolva em Q as inequações a seguir.

a) 3 (x 5) x 12 3 (x 5) , x 12 V 3x 15 , x 12 V

V 3x x 15 15 , x x 12 15 V 2x , 3 VV 1 __ 2 2x , 1 __ 2 (3) V x , 3 __ 2 V

V S 2 x Ñ Q | x , 3 __ 2 3 b) 7 (x 3 ) 2x 3 (x 4) 7 (x 3) , 2x 3 (x 4) V 7x 21 , 2x

3x 12 V 7x 21 21 , 5x 12 21 V 7x 5x , 5x 5x 9 V 2x , 9 V V 1 __ 2 2x , 1 __ 2 9 V x , 9 __ 2 V

V S 2 x Ñ Q | x , 9 __ 2 3 c) 9 (x 6) 2 (x 5) 3 (10 x) 9 (x 6) 2 (x 5) , 3 (10 x) V 9x

54 2x 10 , 30 3x V 7x 64 , 30 3x VV 7x 3x 64 64 , 30 3x 3x 64 V

V 10x , 34 V 1 ___ 10 10x , 1 ___ 10 (34) V

V x , 34 ___ 10 V x , 17 __ 5 V S 2 x Ñ Q | x , 17 __ 5 3 d) 3 (x 1) 2 (4 x) 9 x 3 (x 1) 2 (4 x) > 9 x V 3x 3 8

2x > 9 x V 5x 5 > 9 x V 5x 5 5

x > 9 5 x x V 6x > 4 V 1 __ 6 6x > 1 __ 6 4 V

V x . 4 __ 6 V x > 2 __ 3 V S 2 x Ñ Q | x > 2 __ 3 3 e) 5 (x 1) 4 (x 2) 6 (x 1) 5 (x 1) 4(x 2) < 6(x 1) V 5x 5

4x 8 < 6x 6 V 9x 13 < 6x 6 VV 9x 6x 13 13 < 6x 6x 6 13 V 3x < 7 V

V 1 __ 3 3x < 1 __ 3 7 V x < 7 __ 3 V S 2 x Ñ Q | x < 7 __ 3 3 f) 2 (3x 4) x 2 2x 14

2 (3x 4) x 2 . 2x 14 V 6x 8 x 2 . 2x 14 V 7x 10 . 2x 14 VV 7x 2x 10 10 . 2x 2x 14 10 VV 5x . 24 V 1 __ 5 5x . 1 __ 5 24 V x . 24 ___ 5 V

V S 2 x Ñ Q | x . 24 ___ 5 3 g) 1 __ 2 (x 4) 3 __ 2 (2 8x) 11 __ 2

1 __ 2 (x 4) 3 __ 2 (2 8x) . 11 __ 2 V 1 __ 2 x 4 __ 2 6 __ 2

24 ___ 2 x . 11 __ 2 V 2 @ 1x 4 6 24x ________________ 2 # . 2 11 __ 2 V

V x 4 6 24x . 11 V 25x 2 . 11 VV 25x 2 2 . 11 2 V 25x . 13 V

V 1 ___ 25 25x . 1 ___ 25 13 V x . 13 ___ 25 V

V S 2 x Ñ Q | x . 13 ___ 25 3 90


3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 90 08.12.08 14:22:26

11 As medidas dos lados de um retângulo, em centí-metros, são expressas por (2x 1 3) e (x 2 1).

a) Escreva em seu caderno a expressão que repre-senta o perímetro desse retângulo.

Operímetrodesseretânguloép52?(2x13)1 12?(x21).

b) Calcule qual deve ser o menor valor de x para que o perímetro do retângulo seja no mínimo 34 cm.

Comop>34V2?(2x13)12?(x21)>34VV 4x 1 6 1 2x 2 2> 34V 6x 1 4> 34VV6x1424>3424V6x>30V

V1__6?6x>1__6?30Vx>30___6Vx>5

Logo,omenorvalorpossívelparaxé5.

12 O carro de Pedro faz 9 quilômetros com um litro de álcool. Com quantos litros, no mínimo, Pedro deve-rá abastecer seu carro para realizar uma viagem de 300 quilômetros?Seocarrofaz9quilômetroscom1Ldeálcool,comxlitroselefaz9?xquilômetros.Então,tem-se:9x.300Vx.300____9 Vx.100____3 Vx.33,333...L

Portanto, para rodar 300 km ele gastará cerca de33,3L.

13 Um taxista cobra uma taxa fixa de RS|| 3,00, chama-da de bandeirada, mais RS|| 1,50 a cada quilômetro rodado.

Qual é o menor número inteiro de quilômetros que o taxista deverá percorrer para receber, no míni-mo, um valor igual a RS|| 50,00 numa corrida? 3 1 1,5 ? x> 50V 3 2 3 1 1,5x> 50 2 3V

V 1,5x>47V 1___1,5 ? 1,5x> 1___1,5 ?47Vx> 47___1,5V

Vx>31,33...Comox>31,333...exÑZ,omenorxpossívelé32;ouseja,otaxistadeverápercorrer32km.

14 Felícia quer arrumar um emprego tal que, com o

salário que receber, possa gastar 1 __ 4 com alimenta-

ção, 2 __ 5 com aluguel e 400 reais com roupas e lazer,

de modo a sobrar, no mínimo, 249 reais. Para tudo isso, quanto deve ser, no mínimo, o salário de Felícia?

Seja S o salárioV gasto com alimentação 5 1__4S;

gastocomaluguel52__5S

Assim,1__4S12__5S14001249<SV(mmc520)V

V5S18S1800014980<20SVV13S112980<20SV13S220S1112980212980<20S220S212980V

V27S<212980V21__7?(27S)>21__7?(212980)VVS>1854,29Osaláriodeveser,nomínimo,deRS||1854,29.

Atividades para casaPáginA133

15 Copie a tabela abaixo e preencha-a em seu caderno.

Inequação 1o membro 2o membro

40x12.22 40x12 22

3x18.12 2 x 3x18 122x

4t>4?(1229t) 4t 4?(1229t)

3y12?(425y)<0 3y12?(425y) 0

16 Resolva as seguintes inequações, no conjunto uni-verso dos racionais.

a) 2x 2 30 . 66

2x 2 30. 66V 2x 2 30 1 30. 66 1 30

V 2x. 96V 1__2 ? 2x . 1__2 ? 96V x. 96___2 V

Vx.48VS 5 {xÑQ|x.48}

b) 12 2 8x , 39

12 2 8x, 39V 12 2 12 2 8x, 39 2 12V

V28x,27V21__8?(28x).21__8?27Vx.227___8V

VS52 xÑQ|x.227___83c) 3 ? (5x 1 18) , 46

3(5x118),46V15x154,46V

V15x154254,46254V15x,28V

V 1___15?15x, 1___15?(28)Vx,2 8___15V

VS52 xÑQ|x,2 8___153

d) 8x 2 14 . 230

8x214.230V8x214114.230114V

V8x.216V1__8?8x.1__8?(216)Vx.22V

VS5{xÑQ|x.22}

e) 9x 1 120 , 26

9x1120,26V9x11202120,262120V

9x,2126V1__9?9x,1__9?(2126)Vx,2126____9 V

Vx,214VS5{xÑQ|x,214}

f) 6 . 12 ? (3x 2 20)

6 . 12(3x 2 20) V 6 . 36x 2 240 VV 6 2 6 2 36x. 36x 2 36x 2 240 2 6V

V236x.2246V2 1___36?(236x),2 1___36?(2246)V

Vx,246____36Vx,41___6VS52 xÑQ|x,41___63

91


4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 91 12.12.08 13:47:51

17 Resolva, sendo U N, as seguintes inequações.

a) x 2 __ 3 3 __ 4

x 2 __ 3 . 3 __ 4 V (mmc 12) V 12x 8 . 9 V

V 12x 8 8 . 9 8 V 12x . 1 V

V 1 __ 12 12x 1 ___ 12 1 V x . 1 __ 12 V

V S 2 x Ñ N | x . 1 __ 12 3 {1; 2; 3; 4;...}

b) 8 x 1

8 < x 1 V 8 8 x < x x 8 1 VV x < 7 V 1 (x) > 1 (7) V x > 7 VV S {x Ñ N | x > 7} {7; 8; 9; 10;...}

c) 19 11 x

19 > 11 x V 19 19 x > 11 19 x x VV x > 8 V S {x Ñ N | x > 8} N

d) 4 x 5 x

4 x , 5 x V 4 4 x x , 5 4

x x V 2x , 1 V 1 __ 2 (2x) . 1 __ 2 1 V

V x . 1 __ 2 V S 2 x Ñ N | x . 1 __ 2 3 N

18 Determine o maior número inteiro que satisfaz a ine-quação 3(x 4) 12(x 1) 30.

3(x 4) 12(x 1) , 30 V 3x 12

12x 12 , 30 V 15x 24 , 30 V 15x 24

24 , 30 24 V 15x , 54 V 1 ___ 15 15x , 1 ___ 15 54 V

V x , 54 ___ 15 V x , 18 ___ 5 V x , 3 3 __ 5

Como x , 3 3 __ 5 e x Ñ Z, o maior valor inteiro que x

pode assumir é 3.

19 Quantos números inteiros satisfazem simultanea-mente as inequações 3x 4 2 e 5 x x 7?

3x 4 < 2 V 3x 4 4 < 2 4 V 3x < 6 V

V 1 __ 3 3x < 1 __ 3 6 V x < 2 V S1 {x Ñ Z | x < 2}; isto é,

S1 {... 3; 2; 1; 0; 1; 2}

5 x < x 7 V 5 5 x x < x x 7 5 V

V 2x < 2 V 1 __ 2 (2x) > 1 __ 2 2 V x > 1 V

V S2 {x Ñ Z | x > 1} V S2 {1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}

Comparando S1 e S2, os elementos comuns são {1; 0; 1; 2}, ou seja, 4 números inteiros satisfazem simul-taneamente as 2 inequações.

20 Duas fábricas de bonecas A e B produzem respecti-vamente 1 000 e 800 bonecas por mês. A partir de um certo mês, a fábrica A vai aumentar sucessiva-mente a produção em 80 bonecas por mês e a fá-brica B vai aumentar sucessivamente a produção em 100 bonecas por mês.

Em quantos meses a produção da fábrica B supe-rará a produção da fábrica A?

Seja x a quantidade de meses procurada.

800 100x . 1 000 80x V 800 800 100x 80x . 1 000 800 80x 80x V

V 20x . 200 V 1 ___ 20 20x . 1 ___ 20 200 V x . 10

Logo, serão necessários 10 meses.

21 Para obter lucro, uma fábrica deve produzir x pe-ças por dia, de modo que seja satisfeita a desigual-dade 4x 1 200 162 2x. Quantas peças a fábri-ca deverá produzir diariamente para ter lucro?

4x 1 200 > 162 2x V 4x 2x 1 200

1 200 > 162 2x 2x 1 200 V 6x > 1 362 VV 1 __ 6 6x > 1 __ 6 1 362 V x > 227

A fábrica deverá produzir, no mínimo, 227 peças.

22 No dia primeiro de janeiro, Pedro e Beto têm guar-dado em seus cofrinhos 500 e 700 reais, respecti-vamente. Se, a partir do dia primeiro de cada mês subsequente, Pedro depositar 20 reais em seu co-frinho e Beto retirar 20 reais de seu cofrinho, em quantos meses o total acumulado por Pedro ultra-passará o montante de Beto?

Seja x a quantidade de meses procurada.

500 20x . 700 20x V 500 500 20x 20x . 700 500 20x 20x V 40x . 200 V

V 1 ___ 40 40x . 1 ___ 40 200 V x . 5

Logo, a quantia acumulada por Pedro será maior que o montante de Beto daqui a 5 meses.

23 A empresa de telefonia A cobra, por mês, uma assinatura de RS|| 52,00 mais RS|| 0,40 por minu-to utilizado. A empresa de telefonia B cobra, por mês, uma assinatura de RS|| 40,00 mais RS|| 0,50 por minuto utilizado. A partir de quantos minutos de utilização o plano da empresa A passa a ser mais vantajoso para os clientes do que o plano da empresa B, ou seja, a partir de quantos minutos o cliente pagará um valor menor no plano A do que o valor no plano B?

Temos: empresa A " 52 0,40x

empresa B " 40 0,50x,

em que x é a quantidade de minutos procurada VV 52 0,40x , 40 0,50x V 52 52

0,40x 0,50x , 40 52 0,50x 0,50x VV 0,10x , 12 V 1 ____ 0,10 (0,10x) . 1 ____ 0,10 (12) V

V x . 12 ____ 0,10 V x . 120

Logo, a empresa A passa a ser mais vantajosa a par-tir de 120 min.

24 Na escola de Artur, a média final para aprovação em matemática é 5. Se a média final é a média arit-mética dos 4 bimestres, e Artur tirou notas 3, 4 e 6 nos três primeiros bimestres, quais notas ele de-verá tirar no último bimestre para ser aprovado?

Seja x a nota do último bimestre V

V Média 3 4 6 x _____________ 4 5 V 13 x ______ 4 > 5 V

92


3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 92 08.12.08 14:22:28

V (mmc 4) V 13 x > 20 V 13 13 x > 20 13 VV x > 7. Artur deverá tirar, no mínimo, nota 7; isto é, 7 < x < 10.

25 O pagamento do salário de Osvaldo no último mês de abril veio com um abono de um terço do salá-rio. Calcule entre quais valores está o salário ori-ginal de Osvaldo, sabendo que a quantia que ele recebeu foi maior que RS|| 4 000,00 e menor que RS|| 5 000,00.

4 000 , x 1 __ 3 x , 5 000 V (mmc 3) V

V 12 000 3x x , 15 000 V 12 000 , 2x , 15 000 V

V 1 __ 2 12 000 , 1 __ 2 2x , 1 __ 2 15 000 V

V 6 000 , x , 7 500Logo, o salário original é superior a RS|| 6 000,00, po-rém inferior a RS|| 7 500,00.

26 Carlos vai comprar um terreno retangular para construir sua casa. Se ele quer um terreno de no mínimo 330 m2 com uma frente de 15 m de compri-mento, a partir de qual largura ele pode comprar o terreno?comprimento largura área V c l A VV como o terreno deverá ter, no mínimo, 330 m2,

15 l > 330 V 1 ___ 15 15 l > 1 ___ 15 330 V l > 22

O terreno deverá ter, no mínimo, 22 m de largura.

Boxe DesafioPÁGINA 134

Em uma balança cujos pratos estão equilibrados, cal-cule a massa, em kg, de cada cubo e de cada bola.

3

3

10

12

c massa do cubo.b massa da bola.

2 4c 3b 10 3 3c 4b 12 3 V 2 4c 3b 13 (I) 3c 4b 15 (II)

de (I): 4c 3b 13 V 4c 13 3b V c 13 3b _______ 4

em (II): 3c 4b 15 V 3 (13 3b)

_________ 4 4b 15 VV 39 9b 16b 60 V 7b 21 V b 3 kg

Substituindo em (I): c 13 3b _______ 4 V c 13 9 ______ 4 VV c 1 kg

Módulo 5: Sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas

Boxe Cálculo mentalPÁGINA 137

Determine mentalmente os valores de x e de y que são soluções dos sistemas abaixo.

a) 2 x y 15 x y 11

2 x y 15 x y 11 " x 13 y 2

b) 2 x y 28 x y 22

2 x y 28 x y 22 " x 25 y 3

c) 2 x y 36 x y 15

2 x y 36 x y 15 "

x 25,5 y 10,5


1 Represente em seu caderno cada uma das seguin-tes situações por uma equação.

a) A soma de um número x com um número y é igual a 45.

x y 45

b) A diferença entre o preço y de uma caneta e o preço z de um caderno é igual a dois reais.

y z 2

c) Antonio tem x DVDs e Paula, y DVDs. A soma da quantidade de DVDs de Paula com o triplo da de Antonio é igual a 12.

y 3x 12

2 Dentre as equações dadas abaixo, identifique aquelas que são do 1o grau com duas incógnitas.

a) x y2 z

Do 2o grau, com 3 incógnitas.

b) x2 x 1 0

Do 2o grau, com 1 incógnita.

c) 2x y 3


d) x 5y 1 0


3 Verifique quais dos pares ordenados abaixo é solu-ção da equação 3x y 1.

a) (4; 5)

(4; 5) V x 4 e y 5 V 3 4 5 1 V

V 17 1 "F"

Logo, (4; 5) não é solução dessa equação.

b) (1; 2)

(1; 2) V x 1 e y 2 V 3 1 (2) 1 VV 3 2 1 V 1 1 "V"

Logo, (1; 2) é solução dessa equação.

c) (1; 0)

(1; 0) V x 1 e y 0 V 3 1 0 1 V

V 3 1 "F"


93


3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 93 08.12.08 14:22:28

d) (5; 1)

(5; 1) V x 5 e y 1 V 3 5 (1) 1 VV 15 1 1 V 14 1 "F"


e) (0; 1)

(0; 1) V x 0 e y 1 V 3 0 1 1 V

V 1 1 "V" Logo, (0; 1) é solução dessa equação.

f) (3; 0)

(3; 0) V x 3 e y 0 V 3 3 0 1 V

V 9 1 "F" Logo, (3; 0) não é solução dessa equação.

4 Determine em seu caderno o valor de x para que o

par ordenado (x; 5) seja solução da equação 2x y 35. (x; 5) é solução V y = 5 e 2x y 35 V V 2x 5 35 V 2x 30 V x 15

5 Verifique se o par ordenado (2; 2) é solução dos sistemas de equações a seguir.

a) 2 3x y 10 x y 2

(2; 2) não é solução, pois 2 3 2 2 10 2 2 2

b) 2 x y 6 2x 3y 15

(2; 2) não é solução, pois 2 2 2 6 2 2 3 2 15

c) 2 2x y 7 x y 4

(2; 2) não é solução, pois 2 2 2 2 7 2 2 4

d) 2 5x y 12 x y 0

(2; 2) é solução, pois 2 5 2 2 12 2 2 0

e) 2 3x 4y 6 2x 5y 11

(2; 2) não é solução, pois 2 3 2 4 2 6 2 2 5 2 11

f) 2 2x y 3 4x 5y 10

(2; 2) não é solução, pois 2 2 2 2 3 4 2 5 2 10

6 Determine em seu caderno dois números naturais cuja soma é igual a 102 e cuja diferença é igual a 26.

Sejam x e y esses números V 2 x y 102 x y 26

2x 128 V x 64Substituindo x 64 na 1a equação, temos:

64 y 102 V y 38

7 Em um estacionamento há automóveis e motos, de modo que no total há 10 veículos e 34 rodas.

Quantos automóveis e quantas motos há nesse es-tacionamento? A M 10, em que A é a quantidade de automóveis e M a quantidade de motos.Cada automóvel tem 4 rodas e cada moto tem duas rodas V 4A 2M 34.

Assim, temos 2 A M 10 V A 10 M 4A 2M 34

Substituindo A 10 M na 2a equação, temos:

4(10 M) 2M 34 V 40 4M 2M 34 VV 2M 6 V M 3

Substituindo M 3 em A 10 M, temos:

A 10 3 V A 7

Logo, são 7 automóveis e 3 motos.

8 Na banca de João, 2 abacates e 3 peras custam RS|| 7,00. João diz que 3 abacates e 1 pera também custam RS|| 7,00.

Quanto custa um abacate? E uma pera?

Sejam: a a quantidade de abacates e p a de peras V

V 2 2a 3p 7 3a 1p 7 V p 7 3a

Substituindo p 7 3a na 1a equação: 2a 3(7 3a) 7 V 2a 21 9a 7 VV 7a 14 V a 2

Cada abacate custa RS|| 2,00.Substituindo a 2 em p 7 3a V p 7 3 2 VV p 1Cada pera custa RS|| 1,00.

9 Resolva os sistemas de equações a seguir, utilizan-do o método da substituição.

a) 2 x y 10 3x y 14

2 x y 10 3x y 14 V y 14 3x

Substituindo y 14 3x na 1a equação:

x (14 3x) 10 V 2x 4 V x 2

Substituindo x 2 em y 14 3x:

y 14 3 2 V y 8

S {(2; 8)}

b) 2 x 2y

3x y 20

2 x 2y

3x y 20

Substituindo a 1a equação na 2a equação:

3(2y) y 20 V 6y y 20 V V 5y 20 V y 4

Substituindo y 4 na 1a equação:

x 2 (4) V x 8

S {(8; 4)}

c) 2 2x 3y 1 3x y 2

2 2x 3y 1 3x y 2 V y 2 3x

Substituindo y 2 3x na 1a equação:

2x 3 (2 3x) 1 V 2x 6 9x 1 V

V 7x 7 V x 1 Substituindo x 1 em y 2 3x: y 2 3(1) V y 1 S {(1; 1)}

94


3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 94 08.12.08 14:22:29

d) 2 x 2y 5 3x 4y 11

2 x 2y 5 V x 5 2y 3x 4y 11

Substituindo x 5 2y na 2a equação: 3(5 2y) 4y 11 V 15 6y 4y 11 V

V 2y 4 V y 2 Substituindo y 2 em x 5 2y: x 5 2 2 V x 1 S {(1; 2)}

10 Resolva os sistemas de equações a seguir, utilizan-do o método da comparação.

a) 2 5x y 17 4x y 14

2 5x y 17 V y 17 5x 4x y 14 V y 14 4x V

V Comparando as duas equações V V 17 5x 14 4x V x 3 V x 3 Substituindo x 3 na 1a equação: 5 3 y 17 V y 17 15 V y 2 S {(3; 2)}

b) 2 3x y 2

x y 6

2 3x y 2 V y 2 3x

x y 6 V y 6 x V

V Comparando as duas equações V V 2 3x 6 x V 4x 8 V x 2 Substituindo x 2 em y 6 x: y 6 2 V y 4 S {(2; 4)}

c) 2 4x y 22 3x y 17

2 4x y 22 V 4x 22 y 3x y 17 V 3x 17 y V

V Comparando as duas equações V V 4x 22 3x 17 V x 5 Substituindo x 5 em 3x 17 y: 3 5 17 y V 2 y S {(5; 2)}

d) 2 4x y 11 2x 3y 13

2 4x y 11 V y 11 4x

2x 3y 13 V y 13 2x _______ 3 V

V Comparando as duas equações V

V 11 4x 13 2x _______ 3 V (mmc 3) V

V 33 12x 13 2x V 10x 20 V x 2

Substituindo x 2 em y 11 4x:

y 11 4 2 V y 5 3 S {(2; 3)}

e) 2 x 3y 0 2x 5y 1

2 x 3y 0 V x 3y

2x 5y 1 V x 1 5y

______ 2 V


V 3y 1 5y

______ 2 V (mmc 2) V 6y 1 5y V V y 1 V y 1 Substituindo y 1 em x 3y: x 3 (1) V x 3 S {(3; 1)}

f) 2 3x 5y 1 5x 2y 11

2 3x 5y 1 V x 1 5y

________ 3

5x 2y 11 V x 11 2y

_______ 5 V


V 1 5y

________ 3 11 2y

_______ 5 V (mmc 15) V

V 5(1 5y) 3(11 2y) V

V 5 25y 33 6y V 19y 38 V y 2

Substituindo y 2 em x 11 2y

_______ 5 :

x 11 2(2)

__________ 5 V x 11 4 ______ 5 V x 15 ___ 5 V x 3 V

S {(3; 2)}

11 Resolva os sistemas de equações a seguir, utilizan-do o método da adição.

a) 2 4x y 10 5x y 17

2 4x y 10 5x y 17

9x 27 V x 27 ___ 9 V x 3

Substituindo x 3 na 1a equação: 4 3 y 10 V y 10 12 V y 2 V S {(3; 2)}

b) 2 7x 2y 12 5x 2y 12

2 7x 2y 12 5x 2y 12

12x 24 V x 24 ___ 12 V x 2

Substituindo x 2 na 2a equação: 5 2 2y 12 V 2y 12 10 V 2y 2 V y 1 VV S {(2; 1)}

c) 2 3x y 20 4x 3y 18

2 3x y 20 ( 3) 4x 3y 18 V 2 9x 3y 60

4x 3y 18

13x 78 V x 78 ___ 13 VV x 6

Substituindo x 6 na 1a equação V 3 6 y 20 V y 20 18 V y 2 V S {(6; 2)}

d) 2 4x y 11 8x 5y 1

2 4x y 11 ( 2) 8x 5y 1 V 2 8x 2y 22

8x 5y 1

7y 21 V y 3

Substituindo y 3 na 2a equação: 8x 5 3 1 V 8x 1 15 V 8x 16 V x 2 VV S {(2; 3)}

95


3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 95 08.12.08 14:22:30

e) 2 3x22y524x13y531

2 3x22y52 (?3)4x13y531 (?2)V2 9x26y56

8x16y5621

17x 568Vx54

Substituindox54na1aequação:3?422y5 52V22y52212V22y5210Vy55V VS5{(4;5)}

f) 2 4x15y572x13y53

2 4x15y572x13y53 (?22)V2 4x15y57

24x26y5261

2y51Vy521

Substituindoy521na1aequação:4x15?(21)5 5 7 V 4x 2 5 5 7 V 4x 5 12 V x 5 3 V VS5{(3;21)}

12 Emumasaladeaulahá40estudantes.Sedobrara quantidade demeninos e subtrair dessa quan-tidade 11, o resultado será igual à quantidadedemeninas.Quantosmeninosequantasmeninashánessasaladeaula?Sejamaeoasquantidadesdemeninasemeninos,respectivamente.

Assim,2 a1o5402?o2115aVa52o211

Substituindoa52o2 11na 1aequação:2o2 111 1o540V3o540111V3o551Vo517Substituindoo517ema52o211VV a52?17211Va534211Va523.São23meninase17meninos.

Atividades para casaPáginA139

13 Verifiqueseoparordenado (24; 1)ésoluçãodo

sistema2 5x1y50x2y52

2 5x1y50x2y52

Substituindox524ey5 1naprimeiraequação:5?(24)1152201152190Logo,(24;1)nãoésoluçãodosistema.

14 Resolvaossistemasdeequaçõesaseguir,utilizan-doométododasubstituição.

a) 2 4x23y526x1y59

2 4x23y526x1y59Vx592y

Substituindox592yna1aequação:

4(92y)23y526V3624y23y526V V27y5242Vy56

Substituindoy56emx592y:

x5926Vx53VS5{(3;6)}

b) 2 5x1y5384x12y534

2 5x1y538Vy53825x4x12y534

Substituindoy5 3825xna2aequação:4x1 12(3825x)534V4x1762 10x534V V26x5242Vx57

Substituindox57emy53825x:

y 5 38 2 5 ? 7 V y 5 38 2 35 V y 5 3 V VS5{(7;3)}

c) 2 x12y563x2y511

2 x12y56Vx5622y3x2y511

Substituindox5622yna2aequação:

3(622y)2y511V1826y2y511V

V 27y527Vy51

Substituindoy51emx5622yVx5622?1V Vx54VS5{(4;1)}

d)2 3x12y555x1y521

2 3x12y555x1y521Vy52125x

Substituindoy52125xna1aequação:

3x12(2125x)55V3x22210x55V V 27x57Vx521


:y52125?(21)Vy52115Vy54

S5{(21;4)}

e) 2 2x2y5143x12y514

2 2x2y514V2x2145y3x12y514

Substituindoy52x214na2aequação:

3x12(2x214)514V3x14x228514V V 7x542Vx56

Substituindox56emy52x214Vy52?6214V Vy522

S5{(6;22)}

f) 2 x1y572x13y516

2 x1y57Vx572y2x13y516

Substituindox572yna2aequação:2(72y)1 13y516V1422y13y516Vy516214V Vy52


x5722Vx55

S5{(5;2)}

15 Resolvaossistemasdeequaçõesaseguir,utilizan-doométododacomparação.

a) 2 x1y5312x2y520

2 x1y5312Vx53122yV x2y520Vx5201y

96


4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 96 12.12.08 16:36:24

VComparandoasduasequações:

V201y53122yV2y5292Vy5146


x5201146Vx5166VS5{(166;146)}

b) 2 x15y5473x12y550

2 x15y547Vx54725y   

3x12y550Vx55022y

 ________3 V


V4725y55022y

 ________3 V(mmc53)V141215y5 

55022yV213y5502141V213y5291V Vy57


x54725?7Vx547235Vx512V

V S5{(12;7)}

c) 2 5x12y5214x13y59

2 5x12y521Vy52125x _______2

4x13y59Vy5924x _______3 V


V2125x ________2 5924x _______3 V(mmc56)V3(2125x)5 

52(924x)V23215x51828xV27x521V Vx523

Substituindox523emy52125x ________2 :

y52125(23)

___________2 Vy521115________2 Vy514___2Vy57V

VS5{(23;7)}

d)2 6x15y58x1y51

2 6x15y58Vx5825y

 _______6 x1y51Vx512y  V

VComparandoasduasequações

825y

 _______6 512yV(mmc56)V

V 825y5626yVy522


x512(22)Vx53VS5{(3;22)}

e) 2 3x14y519x12y57

2 3x14y519Vx51924y

 ________3 x12y57Vx5722y  V


V1924y

 ________3 5722yV(mmc53)V

V 1924y52126yV2y52Vy51


x5722?1Vx55VS5{(5;1)}

f) 2 4x1y523x12y54

2 4x1y523Vy52324x   

x12y54Vy542x ______2 V


V2324x542x ______2 V(mmc52)V

V 4628x542xV27x5242Vx56


y52324?6Vy521VS5{(6;21)}

16 Resolvaossistemasdeequaçõesaseguir,utilizan-doométododaadição.

a) 2 2x15y5163x25y521

2 2x15y5163x25y5211

5x 515 Vx53

Substituindox53na1aequação:2?315y5 516V5y510Vy52VS5{(3;2)}

b) 2 4x23y5135x13y577

2 4x23y5135x13y5771

9x 590 Vx510


c) 2 3x12y5674x23y527

2 3x12y567 (? 3)4x23y527 (? 2)V2 9x16y5201

8x26y52141

17x 5187Vx511

Substituindox51na1aequação:3?1112y567V V2y534Vy517VS5{(11;17)}

d)2 6x13y5185x22y551

2 6x13y518 (? 2)5x22y551 (? 3)V2 12x16y536

15x26y51531

27x 5189Vx57


e) 2 3x17y524x13y528

2 3x17y52 (? 23)4x13y528 (? 7)V2 29x221y526

28x121y51961

19x5190Vx510


f) 2 2x19y575x17y564

2 2x19y57 (? 5)5x17y564 (?22)V

V2 10x145y535

210x214y521281

31y5293Vy523

Substituindoy523na1aequação:2x19?(23)5 5 7 V 2x 5 7 1 27 V 2x 5 34 V x 5 17 V VS5{(17;23)}

97


4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 97 12.12.08 14:21:55

17 Determineemseucadernoosvaloresdexeynosretângulosaseguir.

a)

17

3x � y

4 2x � 3y

2 3x1y517 (? 3)2x23y54 V2 9x13y551

2x23y541

11x  555Vx55

Substituindox5 5 na 1a equação: 3 ? 51y5 517Vy517215Vy52VS5{(5;2)}

b)

2y

x � 6

x y � 2

2 x1652y x5y22

Substituindoa2aequaçãona1a:

y2 21652yV2y524Vy54

Substituindoy54na2aequação:

x5422Vx52VS5{(2;4)}

18 Emumaprovacompostade50testes,cadates-te respondido corretamente recebe 5 pontos ecada teste respondido incorretamente recebe22pontos.Umestudantefezessaprovaeobte-ve110pontos.Calculequantostestesesseestu-danterespondeucorretamente.

c1e5 50 emquec5 resposta certaee5respostaerrada

V2 c1e550Ve5502c   5?c1(22)?e5110V5c22e5110

Substituindo e 5 50 2 c em 5c 2 2e 5 110 V V5c22(502c)5110V5c210012c5110V V7c5210Vc530

Logo,elerespondeucorretamente30testes.

19 Mariana vendeu sua coleção de 92 revistas.Algumas foram vendidas por RS|| 12,00 e outrasporRS||8,00.Nototal,elaarrecadouaquantiadeRS||896,00.QuantasrevistasdeRS||12,00Marianaconseguiuvender?

SejaxaquantidadederevistasqueMarianavendeuporRS||12,00cadaeyaqueelavendeuporRS||8,00cada.

Assim,2 x1y592 Vy5922x   12?x18?y5896

Substituindoy5922xna2aequação:

12x18(922x)5896V12x173628x5896V V 4x5160Vx540Elavendeu40revistasporRS||12,00cada.

20 Emumquintalhácoelhosegalinhas,numtotalde77animaise206patas.Quantossãooscoelhosequantassãoasgalinhas?

c5quantidadedecoelhos(4patascada)g5quantidadedegalinhas(2patascada)

 2  c1g577 Vc5772g   4c12g5206

Substituindoc5772gna2aequação:4(772g)112g5206V30824g12g5206VV 22g52102Vg551Substituindog551emc5772g:c577251VV c526São51galinhase26coelhos.

21 Determineaidadededuaspessoas,sabendoquehá10anosaidadedeumadelaseraequivalentea4ve-zesaidadedaoutra,edentrode20anosaidadedaprimeiraseráapenasodobrodaidadedasegunda.

Sejamxeyasidades,hojeV

V2 x21054(y210)x12052(y120)V2 x21054y240

x12052y140V

V 2 x24y5230 (?21)x22y520 V2 2x14y530

    x22y5201

2y550 Vy525Substituindoy525emx22y520:x22?25520VVx520150Vx570Asidadessão25anose70anos.

22 Alarguradeumretângulo,cujoperímetroéiguala

56m,correspondea2__5docomprimento.Determi-

neemseucadernoasdimensõesdesseretângulo.

Sendoc5comprimentoel5larguraV

V2 2c12l556l52__5c

      

Substituindoa2aequaçãona1a:2c12?2c ___5556V

2c14c ___5556V(mmc55)V10c14c5280V

V14c5280Vc520

Substituindoc520eml52__5?c:l52__5?20Vl58

Logo,oretângulotem20mdecomprimentoe8mdelargura.

23 Adiferençaentreasdimensõesdeumretânguloéiguala2cm.Aumentando2cmcadaladodesseretângulo,operímetroficavalendo24cm.Qualéamedidadosladosdesseretângulo?Sendoc5comprimentoel5larguraV

V2 c2l522(c12)12(l12)524

Da1aequação:c521lSubstituindoc521lna2aequação:2(21l12)112(l12)524V2(41l)12(l12)524VV 812l12l14524V4l524212V4l512VVl53Substituindol53emc521l:c5213Vc55Logo,oretângulotem5cmdecomprimentoe3cmdelargura.

98


4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 98 12.12.08 14:21:55

24 Asomadosdoisalgarismosdeumnúmeroé8.Adicionando18unidadesaessenúmero,oresultadoéformadopelosmesmosalgarismosemordeminversa.Determineonúmero.

Sejamao1oalgarismodonúmero,ebo2o.

 2  a1b58(I)10a1b118510b1a(II)V2 a1b589a29b5218V2 a1b5 8a2b5221

2a     56Va53Substituindoem(I)V31b58Vb55Onúmeroé35.

25 Umcomercianteverificouque,sevendesse25caixasdebombonspordiadurantexdias,oestoqueduraria2diasamaisdoquesevendesse30caixaspordiaduranteydias.Determinequantascaixasdebombonsessecomerciantetinhanoestoqueparavender.

2 x521y 25x530y

Substituindoa1aequaçãona2a:25(21y)530yV50125y530yV25y5250Vy510VV 30y530?105300caixas.

ocercadoparaosboisdeHumbertoHumbertodesejacercarumapartedesuafazendacomarameparaqueseusboisnãofujam.Paraisso,elere-servouumterrenogrande,deformatriangular,comdoisladosiguaiseumdiferente.OvendedordacercadisseaHumbertoqueprecisasaberquantomedecadaladodoterrenoqueserácercadoparapodercalcularovalordoarameaservendido.

MasHumbertocriouumdesafiomatemáticoparaovendedoreresolveupassarasmedidas,emmetros,utilizan-doumaincógnita:5x120;3x176ex1196.Seráqueovendedorconseguirácalcularquaissãoasmedidasdosladosdesseterrenoemformadetriânguloisósceles?

Caracterização do problemaPágInA140

Épossívelimaginarasituaçãodescritaacima?Humbertocriouumproblemacomsoluçãopossívelparaoven-dedorresolver?Pararesponderaessasperguntas,énecessáriocompreenderquesituaçõescomoadescritaacimapodemapresentarmaisdeumasolução.Pararesolvê-la,énecessáriorepresentá-laapartirdosdadosfornecidosnoenunciado.

Representando a situaçãoPágInA140

Deve-se,pararesolveresseproblema,começardesenhandoospossíveistriângulosisóscelescomasmedidasqueHumbertodisse.

a)Humbertodefiniuquaissãoosladoscongruentes? não,Humbertonãodefiniuquaissãoosladoscongruentes.

Resolução de problemas

99


4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 99 12.12.08 14:21:56

b) Existe mais de uma possibilidade para as medidas do terreno que Humberto pretende cercar? Justifique sua resposta.

Sim, existem 3 possibilidades:

5x 20 e 3x 76 são congruentes, ou

3x 76 e x 196 são congruentes, ou

x 196 e 5x 20 são congruentes.

c) Reproduza em seu caderno os desenhos abaixo para representar as possíveis situa ções. Não se esqueça de inserir em seu desenho as equações que representem a igualdade entre os lados de cada triângulo isósceles.

5x � 20

3x � 76 x � 196

1°- caso

3x � 76

2°- caso

5x � 20 x � 196

x � 196

5x � 20 3x � 76

3°- caso

1o caso: 3x 76 x 196 2o caso: 5x 20 x 196 3o caso: 5x 20 3x 76

Resolução do problemaPÁGINA 141

a) Observando os triângulos que você reproduziu no caderno, é possível montar as equações que representam a congruência dos lados. Consi-derando o primeiro caso, monte a equação que representa essa situação e determine quais são as medidas dos lados do terreno.

1o caso: 3x 76 x 196 V 2x 120 VV x 60 V

Medidas

doslados

3x 76 3 60 76 256 mx 196 60 196 256 m5x 20 5 60 20 320 m

b) Considerando o segundo caso, monte a equação que representa essa situação e determine quais são as medidas dos lados do terreno.

2o caso: 5x 20 x 196 V 4x 176 VV x 44 V

Medidas

doslados

5x 20 5 44 20 240 mx 196 44 196 240 m3x 76 3 44 76 208 m

c) Considerando o terceiro caso, monte a equação que representa essa situação e determine quais são as medidas dos lados do terreno.

3o caso: 5x 20 3x 76 V 2x 56 VV x 28 V

Medidas

doslados

5x 20 5 28 20 160 m3x 76 3 28 76 160 mx 196 28 196 224 m

d) Quantas soluções foram encontradas no desafio matemático de Humberto? Por que esse proble-ma não tem apenas uma única solução?

Foram encontradas 3 soluções; porque Humberto não deu informações suficientes ao vendedor.

e) O que Humberto poderia ter dito ao vendedor para que o seu desafio tivesse apenas uma úni-ca solução? Quais seriam, então, as medidas e o perímetro do terreno?

Humberto precisaria ter dado mais alguma infor-mação, que poderia ser: a medida da área, o perí-metro, ou quais são os lados congruentes.

Se Humberto tivesse dito que a resposta correta é a que deixa o perímetro do terreno menor, tería-mos:

1o caso " 256 256 320 832 m 2o caso " 240 240 208 688 m 3o caso " 160 160 224 524 m O menor perímetro seria 524 m, com medidas

160 m, 160 m e 224 m.

Comunicação de resultadosPÁGINA 141

Faça uma história em quadrinhos contando o pro-blema do cercado para os bois de Humberto. Inven-te um desfecho, não se esquecendo de apresentar a resolução do problema.Resposta pessoal

Faça vocêPÁGINA 141

1 As medidas dos lados de um triângulo isósceles são expressas por (4x 4), (x 11) e (2x 8).

Determine em seu caderno a expressão que repre-senta o perímetro desse triângulo.

perímetro 4x 4 x 11 2x 8 7x 15

2 Três pontos A, B e C estão sobre a mesma reta r. Se a distância entre o ponto A e o ponto B é igual a 46 cm e a distância entre o ponto B e o ponto C é igual a 32 cm, determine a distância entre os pontos A e C.

Se B Ñ ___

AC V A B

46 cm 32 cm

C V

V dA, C 46 32 78 cm

Se B É ___

AC V A C

46

32

B V

V dA, C 46 32 14 cm

100


3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 100 08.12.08 14:22:34

3 Três semirretas, ___

OA,

___ OB e

___ OC, são coplanares, de

modoqueoânguloA OBtemmedidaiguala108ºeB OC iguala43º.Nessascondições, façaumafiguraemseucadernoedetermineamedidadoânguloA OC.

Caso 1 V

O

A

C108º

43ºB

V A  O C 5 108° 2 43° 5 65°

Caso 2 V

O

A B108º

43º

C

4 Quantassoluçõestemainequação4x15<53,noconjuntouniversodosnúmerosnaturais?

4x 1 5 < 53 V 4x < 48 V x < 12 VV S 5 {x Ñ N | x < 12} 55 {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} V n(S) 5 13Ou seja, a inequação admite 13 soluções distintas em N.

5 Três amigos têm juntos RS|| 180,00. Sabe-se quedoisdeles têmquantias iguaisequeooutro temRS||40,00.Quantosreaistemcadaumdessesami-gos?

Sejam A, B e C as quantias que cada um deles tem V V A 1 B 1 C 5 RS|| 180, 00

2 A 1 B 1 C 5 180 A 5 B e C 5 40 V

V A 1 A 1 40 5 180 V 2A 5 140 V A 5 70

Logo, as quantias são: RS|| 70,00; RS|| 70,00 e RS|| 40,00.

6 Paulo,Márcio e Fernando têm juntos RS|| 180,00.Sabe-sequedoisdelestêmquantiasiguaisequeasomadasquantiasqueelespossuemé100reais.Quantosreaistemcadaumdeles?

A 1 B 1 C 5 180 (I)A 5 B (II)A 1 B 5 100 (III)

123

Substituindo (II) em (III) " A 1 A 5 100 V A 5 50 e B 5 50Substituindo em (I) " 50 1 50 1 C 5 180 V C 5 80Dois deles têm RS|| 50,00 e o outro tem RS|| 80,00.

QuestõesglobaisPágIna 144

1 Emcadaitem,calculeovalornuméricodaexpres-sãoconsiderandoovalorfornecidoparaavariável.

a)n212n230,paran55 para n 5 5 V 52 1 2 ? 5 2 30 = 25 1

1 10 2 30 = 5

b) n122_______4 ,paran550

para n 5 50 V 50 1 22 ________ 4 5 72 ___ 4 5 18

c) (2t11)2?(t21),parat53 para t 5 3 V (2 ? 3 1 1)2 ? (3 2 1) 5

5 72 ? 2 5 49 ? 2 5 98

2 Considereaequação2x2y514,sendoquexeysãonúmerosnaturais.SejaSoconjuntosoluçãodessaequação.

a)Ovalorx53forneceumpar(x;y)pertencenteaoconjuntosolução?

Substituindo x 5 3 V 2 ? 3 2 y 5 14 V 2y 5 8 V V y 5 28 É N

Logo, (3; y) 5 (3; 28) É S.

b)Sex510,(x;y)pertenceaoconjuntosoluçãodaequação?

Substituindo x 5 10 V 2 ? 10 2 y 5 14 V

V 2y 5 26 V y 5 6 Ñ N V (10; 6) Ñ S.

c)Qualéomenorvalordexparaoqual(x;y)per-tenceaoconjuntosolução?

2x 2 y 5 14 V 2y 5 14 2 2x V y 5 2x 2 14. Como y Ñ N V 2x 2 14 Ñ N V 2x 2 14 > 0 (pois 0 é o menor número natural) V 2x > 14 V x > > 7. Para x 5 7 (7 é o menor valor que x pode ter), 2 ? 7 2 y 5 14 V 14 2 y 5 14 V y 5 0 Ñ N V V (7; 0) Ñ S.

Logo, o menor valor que x pode ter é 7.

3 Resolvaasequaçõesabaixo,sendoU5Q.

a)4x210518

4x 5 28 V x 5 7 Ñ Q V S 5 {7}

b)3x1915124

3x 5 33 V x 5 11 Ñ Q V S 5 {11}

c)5x2135228

5x 5 215 V x 5 23 Ñ Q V S 5 {23}

d)1117x5213

7x 5 224 V x 5 2 24 ___ 7 Ñ Q V S 5 2 2 24 ___ 7 3 4 Escreva duas equações diferentes, mas que te-

nhamcomosoluçãoS5{12}.

Exemplo de uma resposta possível:

x 1 1 5 13 e x 2 2 5 10

5 Escrevaemseucadernoduasinequaçõesdiferen-

tescujoconjuntosoluçãosejaS5{xÑ Q|x.21}.

Exemplo de uma resposta possível:

x 1 8 . 7 e x 2 5 . 2 6

6 Determinequatronúmeros inteirosconsecutivos,sabendoquesuasomaéiguala450.

x 1 (x 1 1) 1 (x 1 2) 1 (x 1 3) 5 450 V 4x 1 6 5 5 450 V 4x 5 444 V x 5 111 V x 1 1 5 112, x 1 2 5 5 113 e x 1 3 5 114

Logo, os 4 números são 111, 112, 113 e 114.

7 Écomum,nocálculodaquantidadedelajotasne-cessáriaspararevestirumdeterminadopiso,ousodaseguintefórmula:Q5(área)120%?(área).

Anapretenderevestirumasalaretangularde3mdecomprimentopor2mdelargura.Qualquanti-dadedepisoAnadeverácomprar?

Como área 5 2 ? 3 5 6m2, temos Q 5 6 1 20% ? 6 V V Q 5 6 1 0,2 ? 6 V Q 5 6 1 1,2 V Q 5 7,2 m2 V ana deve comprar 7,2 m2.

V A  O C 5 108° 1 43° 5 5 151°

101

Resoluçãodeatividades Capítulo6

4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 101 15.12.08 09:39:15

8 Do meu salário, gastei a terça parte com aluguel, um quinto com alimentação e um oitavo com rou-pas e ainda me sobraram RS|| 210,00. Quanto é o meu salário?

S 1 __ 3 S 1 __ 5 S 1 __ 8 S 210 V (mmc 120) V 120S

40S 24S 15S 25 200 V 120S 79S 25 200 V 41S 25 200 V S 614,63 VV O meu salário é RS||614,63.

9 Gabriela não pode gastar mais do que RS|| 620,00 nas suas compras para o Na tal. Se ela já gastou RS|| 350,00, quantos brinquedos de RS|| 15,00 ainda poderá comprar?

620 350 270 e 270 ____ 15 18 V Gabriela poderá

comprar 18 brinquedos.

10 Numa viagem de ecoturismo, Cida percorreu um terço do caminho de bicicleta, um quarto a pé e um sexto do caminho foi de barco, faltando ainda5 km para completar a viagem. Quantos quilôme-tros no total tinha a viagem?

1 __ 3 x 1 __ 4 x 1 __ 6 x 5 x V (mmc 12) V 4x 3x

2x 60 12x V 9x 12x 60 V V 3x 60 V x 20A viagem tinha, no total, 20 km.

11 A idade de Norberto adicionada aos dois terços des-sa idade é igual a 25. Calcule a idade de Norberto.

n 2 __ 3 n 25 V (mmc 3) V 3n 2n 75 V

V 5n 75 V n 15 V Norberto tem 15 anos.

12 Cláudio tem 37 anos, e as idades de seus três filhos somam 25 anos. Daqui a quantos anos a soma das idades dos filhos será igual à idade de Cláudio? Sendo a, b e c as idades dos 3 filhos, temos: a b c 25 e (a x) (b x) (c x) 37 x, onde x é a quantidade de anos V a b c 3x 37 x V 25 3x 37 x V 2x 12 V x 6 V Daqui a 6 anos.

13 O dono da empresa "Maravilhus" resolveu organizar suas contas. Para isso, elaborou algumas fórmulas. O total de sua receita (em reais) depende da quanti-dade de produtos vendidos, e as despesas (em reais) dependem do número de dias trabalhados. Veja as fórmulas:Receita 2 p (sendo p o número de produtos vendidos)Despesas 30d 200 (sendo d a quantidade de dias trabalhados)Se durante os meses de março e abril foram vendi-dos 2 500 produtos, qual valor é maior, o da receita ou o das despesas? Receita 2 2 500 5 000 V Receita RS|| 5 000,00Despesas 30 (31 30) 200 V 30 61 200 2 030 V dias do mês de abril dias do mês de marçoV Despesa RS|| 2 030,00Lucro Receita Despesa VV Lucro 5 000 2 030 2 970A empresa teve lucro de RS|| 2 970, 00.

14 Sandra e Adolfo estão planejando uma viagem de cin-co dias, mas têm dúvida se visitarão "Boniteza" ou "Mimosa". Adolfo propôs que fizessem uma previ-são dos gastos e optassem pela cidade “mais ba-rata”. Os gastos serão basicamente com pedágios, gasolina e hospedagem. O valor de cada pedágio é RS|| 9,60, e o preço do litro de gasolina é RS|| 2,30. Adolfo equacionou as despesas da seguinte forma:

Despesas 9,60 p 2,30 d

________ 8 5 h

Analise a tabela abaixo, calcule os gastos e diga para qual cidade o casal irá.

CidadeNo de

pedágios (p)Distância

(d)valor dadiária (h)

Boniteza 3 250 320,00

Mimosa 4 120 400,00

Despesas 9,60 p 2,30 d

_______ 8 5 h

Viajando para Boniteza, a despesa será:

D 9,60 3 2,30 250

__________ 8 5 320 V

V D 28,8 575 ____ 8 1 600 V D 28,8 71,875

1 600 V D RS|| 1 700,68Viajando para Mimosa, a despesa será:

D 9,60 4 2,30 120

_________ 8 5 400 V D 38,4

276 ____ 8 2 000 V D 38,4 34,5 2 000 VV D RS|| 2 072,9Temos 1 700,68 , 2 072,9 V O casal irá para a cidade de Boniteza.

Questões globaisPÁGINA 145

15 Resolva os sistemas abaixo por substituição de in-cógnitas. Sendo U Z.

a) 2 x 2y 5 2x y 7

2 x 2y 5 V x 5 2y 2x y 7

Substituindo x 5 2y na 2a equação: 2 (5 2y) y 7 V 10 4y y 7 V 3y 3 V y 1

Substituindo y 1 em x 5 2y:

x 5 2 1 V x 3 V S {(3; 1)}

b) 2 x y 18 10x 2y 12

2 x y 18 V x 18 y 10x 2y 12

Substituindo x 18 y na 2a equação:

10(18 y) 2y 12 V 180 10y 2y 12 VV 8y 168 V y 21.

Substituindo y 21 em x 18 y:

x 18 21 V x 3 V S {(3; 21)}

c) 2 x y 9 20x 3y 4

2 x y 9 V y 9 x 20x 3y 4

102


3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 102 08.12.08 14:22:35

Substituindo y 9 x na 2a equação: 20x 3(9 x) 4 V 20x 27 3x 4 V

V 23x 23 V x 1

Substituindo x 1 em y 9 x:

y 9 1 V y 8 V S {(1; 8)}

d) 2 3x 2y 12 x 5y 38

2 3x 2y 12 x 5y 38 V x 38 5y

Substituindo x 38 5y na 1a equação: 3(38 5y) 2y 12 V 114 15y 2y 12 V

V 17y 102 V y 6


x 38 5 6 V x 8 V S {(8; 6)}

e) 2 5x y 23

9x 5y 13

2 5x y 23 V 5x 23 y

9x 5y 13

Substituindo y 5x 23 na 2a equação: 9x 5(5x 23) 13 V 9x 25x 115 13 VV 16x 128 V x 8

Substituindo x 8 em y 5x 23 VV y 5 8 23 V y 17 V S {(8; 17)}

f) 2 3x 4y 6 x 2y 8

2 3x 4y 6 x 2y 8 V x 8 2y

Substituindo x 8 2y na 1a equação:

3(8 2y) 4y 6 V 24 6y 4y 6 V

V 10y 30 V y 3


x 8 2 3 V x 2 V S {(2; 3)}

16 O perímetro de um triângulo isósceles é de 15 cm. A base do triângulo mede a metade de cada um dos lados congruentes. Encontre a medida de cada um dos lados desse triângulo.

a a a __ 2 15 V (mmc 2) V 2a 2a a 30 V

V 5a 30 V a 6

Logo, os dois lados iguais medem 6 cm cada e o ou-

tro lado mede 6 __ 2 3 cm.

17 Em uma caixa de doces, o número de balas de menta é o dobro do de balas de limão, e o número de balas de laranja é o triplo do número de balas de menta e limão juntas. Se no total há 312 balas na caixa, determine quantas balas há de cada sabor.

Sendo a, b, c o no de balas de menta, limão e laranja, respectivamente, temos: a 2b; c 3(a b) e a b c 312 V 1

23

a 2b (I)c 3(a b) V c 3a 3b (II)a b c 312 (III)

Substituindo (I) em (II): c 3 2b 3b V

V c 6b 3b V c 9b

Substituindo c 9b e (I) em (lII): 2b b 9b 312 VV 12b 312 V b 26 V a 2 26 V a 52 e

c 3 52 3 26 V c 156 78 V c 234Há 26 balas de limão, 52 de menta e 234 de laranja.

18 Um recipiente está cheio de água. Retira-se a me-tade da água e depois a metade do que restou, de modo que sobram no recipiente 200 litros. Calcule a capacidade do recipiente.

C C __ 2 C __ 2 Destes C __ 2 restantes retira-se a metade V

V C __ 2 1 __ 2 C __ 2 C __ 2 C __ 4 2C C _______ 4 C __ 4

Logo, C C __ 2 C __ 4 200 V (mmc 4) V

V 4C 2C C 800 V C 800 V A capacidade do recipiente é de 800 L.

19 Quinze amigos estão reunidos numa festa de ani-versário. Há três meninas a mais que meninos. Cal-cule o número de meninos e meninas usando um sistema de duas equações.

2 a o 15 a o 3

Substituindo a 2a equação na 1a: o 3 o 15 VV 2o 12 V o 6 V a 6 3 V a 9 V

V São 9 meninas e 6 meninos.

20 Encontre a solução de cada uma das equações abaixo. Sendo U Q.

a) x 9 2 (x 6)

x 9 2 (x 6) V x 9 2x 12 V V x 21 V x 21 V S {21}

b) 2x 3 4x 6 (x 4) 2

2x 3 4x 6(x 4) 2 V 2x 3 4x 6x 24 2 V 2x 3 10x 26 V

V 8x 29 V x 29 ___ 8 V S 2 29 ___ 8 3 c) 1 4 (x 2) 3x 5 (x 1)

1 4(x 2) 3x 5(x 1) V 1 4x 8 3x 5x 5 V 4x 7 2x 5 V 2x 12 VV x 6 V S {6}

d) 2 (x 3) 6 (x 5) 3x 4

2 (x 3) 6 (x 5) 3x 4 V 2x 6 6x 30 3x 4 V 4x 24 3x 4 V 7x 28 V x 4 V S {4}

e) 2 (x 6) 7x 3x 5x 8

2 (x 6) 7x 3x 5x 8 V 2x 12 7x 2x 8 V 5x 12 2x 8 V

3x 4 V x 4 __ 3 V S 2 4 __ 3 3 21 Pedro tem 10 anos e sua mãe tem 42. Dentro de

quantos anos a idade da mãe será o triplo da idade de seu filho?

(10 x) 3 42 x V 30 3x 42 x V

2x 12 V x 6 V Dentro de 6 anos.

103


3P_YY_M7_RA_C06_079A110.indd 103 08.12.08 14:22:36

22 Um grande tanque possui três torneiras de abaste-cimento para enchê-lo. Uma das torneiras é capaz de encher completamente o tanque em 36 horas, outra em 20 horas e a terceira enche o tanque em 30 horas. Quanto tempo leva para encher o tanque se forem abertas as três torneiras ao mesmo tempo?

Temos: T1"36hVem1hT1enche 1___36dotanque

T2"20hVem1hT2enche 1___20dotanque

T3"30hVem1hT3enche 1___30dotanque

1___361 1___201 1___30551916__________180 520____18051__9Vacada

hora as 3 torneiras juntas enchem 1__9 do tanque.

Logo, se as 3 torneiras forem abertas ao mesmo

tempo,acadahoraotanquecompleta1__9dasuaca-

pacidadetotal.Portanto,serãonecessários9hparaqueeleestejacheio.

23 O número de horas do dia que transcorreram é o quá-druplo do número de horas que faltam para acabar o dia. Determine em que hora do dia isso ocorre.

x54?(242x)Vx59624xV5x596V

V x 5 19,2 V São 19,2h (19 horas 1 0,2h, isto é,120%dahoraseguinte,quecorrespondea12minutos)Logo,são19h12min.

24 Olga tem em sua carteira cédulas de RS|| 5,00 e de RS|| 10,00, que somam RS|| 100,00. Se o número total de cédulas é 13, quantas cédulas ela tem de cada tipo? Escreva o sistema de equações apropriado e resolva-o.

x?51y?105100,emquexeysãoasquantidadesdecédulasdeRS||5,00edeRS||10,00,respectivamen-te.

2 x1y513 (? 25)5x110y5100 V2 25x25y5265

5x110y5100 1

5y 535 Vy57Vx1 7513Vx56Logo,são6notasdeRS||5,00e7notasdeRS||10,00.

25 Letícia tem 18 anos e afirma que sua idade é igual ao dobro da idade de seu irmão Paulo menos 6 anos. Determine a idade de Paulo.

2 L518L52P26 V 1852P26V2452PV

V 125PVPaulotem12anos.

26 Um hotel tem quartos com uma cama e quar-tos com duas camas. No total são 50 quartos e 87 camas. Quantos são os quartos com uma cama? Quantos são os quartos com duas camas?

2 x1y5501?x12?y587 em que x é a quantidade de

quartoscomumacamaeyadequartoscomduas

camas

2 x1y550 (?21)x12y587 V2 2x2y5250

x12y587

y537Vx137550Vx513.São13quartoscomumacamae37comduas.

27 Laura tem 30 anos a menos que seu pai, sendo que o pai tem o quádruplo de anos de Laura. Encontre a idade de cada um.

2 L5P230P54L emqueLePsãoasidadesdeLaurae

deseupai,respectivamente.SubstituindoP54Lna1aequação:L54L230V V 23L5230VL510VP54?10VP540Logo,Lauratem10anoseseupaitem40anos.

28 Encontre o número cuja metade mais sua quarta parte mais 1 é igual ao próprio número.

SejaxessenúmeroVx__21x__4115xV(mmc54)V V 2x 1 x 1 4 5 4x V 3x 2 4x 5 24 V V2x524Vx54

Questões globaisPágina146

29 Resolva os sistemas de equações abaixo. Sendo U 5 Z.

a) 2 2x 1 3y 5 4 2x 2 3y 5 4

2 2x13y542x23y541

4x 58 Vx52 Substituindox52na1aequação:2?213y54V3y50Vy50V VS5{(2;0)}

b) 2 2x 1 3y 5 8

22x 1 4y 5 6

2 2x13y58

22x14y561

7y514Vy52 Substituindo y 5 2na1aequação:2x13?258V2x52Vx51V VS5{(1;2)}

c) 2 3x 1 2y 5 7 4x 2 3y 5 15

2 3x12y57 (? 3)4x23y515 (? 2)V

V2 9x16y5 218x26y5301

17x551Vx53

Substituindox53na1aequação:3?312y57VV2y522Vy521VS5{(3;21)}

d) 2 11x 2 3y 5 63

23x 1 2y 5 23

2 11x23y563

 23x12y523Vy52313x________2

Substituindoyna1aequação:11x23?@ 2313x________2 #5

563V(mmc52)V22x23(2313x)5126V V22x1929x5126V13x5117Vx59

Substituindox59emy52313x________2 :

y52313?9__________2 Vy523127________2 V

Vy524___2Vy512VS5{(9;12)}

104


4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 104 12.12.08 14:32:34

e) 2 7x 1 4y 5 80 5x 2 6y 5 4

2 7x1 4y5 80 5x2 6y5 4 Vx5

802 4y________7 V Substituin-

doxna2aequação:5 ? @ 8024y________7 #26y54V

V (mmc 5 7) V 5(80 2 4y) 2 42y 5 28 V V400220y242y528V262y52372V

Vy56. Substituindoy56emx58024y

________7 :

x58024?6__________7 Vx580224________7 V

Vx556___7 Vx58VS5{(8;6)}

f) 2 2x 2 5y 5 25 3x 1 3y 5 11

2 2x25y525Vx52515y

________2

3x13y511Vx51123y

_______3 V

VComparandoasduaslinhas,temos:

2515y

________2 51123y

_______3 V(mmc56)V3(2515y)5

5 2(112 3y) V 751 15y5 222 6y V 21y5 

5  253 V y 5 253_____21 . Substituindo y  5 253_____21 na

1aequação:2x25?@ 253_____21 #525V2x1265____21 5  

5 25V (mmc521)V 42x12655525V42x5

5 260Vx5260____42Vx5130____21 VS52 @ 130____21 ;253_____21 #3

30 Determine os valores de x e y para que os triângu-los sejam equiláteros nos casos:

a)

x

3yy � 6

2 y1653yV 22y52 6Vy53x53y VComoy53Vx53?3Vx59

Logo,x59ey53.

b)

x � 4

2y x � y

2 x1y5x14V y54x1y52y VComoy54Vx1452?4V

Vx5824Vx54

Logo,x5y54.

31 Determine o comprimento e a largura de um re-tângulo de perímetro 80 m, sabendo que a largura

vale 2 __ 3 do comprimento.

2 2l12c580l52__3c

emqueléalarguraecéocompri

mentodoretângulo

Substituindo a 2a equação na 1a: 2 ? 2__3c 1 2c 5 

580V4__3c52c580V(mmc53)V4c16c5 

5240V10c5240Vc524Vl52__3?24Vl548___3 V

Vl516Portanto,oretângulotem24mdecomprimentoe16mdelargura.

32 Encontre o comprimento de uma peça de tecido, sa-bendo que depois de terem sido vendidas a metade, a quinta parte e a décima parte sobraram 20 m.

Sendococomprimentodapeça,temos:

c__2 1 c__5 1 c___10 1 20 5 c V (mmc 5 10 ) V 

V 5c12c1c1200 5 10cV8c210c52200V

V 22c52200Vc5100

Logo,apeçatem100mde comprimento.

33 As três quartas partes da idade de Susana excedem em 15 anos a idade de Davi. Há 4 anos a idade de Susana era o dobro da de Davi. Determine a idade de cada um.

2 3__4S5151DS2452?(D24)emqueSéaidadedeSusanae

DadeDavi

2 3S56014DS2452D28V2 3S24D560S22D524(? 22)V

V2 3S24D56022S14D581

S 5 68 V 68 2 2D 5 24 V 22D 5 272 V VD536

Logo,Susanatem68anoseDavitem36anos.

34 Escreva em linguagem algébrica as frases abaixo e encontre os números pedidos em cada item.

a) A soma de dois números que são consecutivos é 115.

x1(x11)5115V2x115115V2x5114V Vx557Vx11558

Osdoisnúmerossão57e58.

b) A soma de três números pares consecutivos é 54.

SexéparVx52n,nÑZ,eosparesconsecu-tivossão:2n12e2n14V2n1(2n12)1 1(2n14)554V6n16554V6n548V Vn58

Logo,x52?8Vx516eosnúmerosparescon-secutivossão:2n1252?812518e2n145 52?814520

Portanto,ostrêsnúmerossão16,18e20.

105


4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 105 12.12.08 14:32:35

c) Um número mais a quarta parte desse número é 45.

x1 x__4545V (mmc54)V4x1x5 180V V5x5180Vx536 Onúmeroé36.

d) A soma de três múltiplos de 4 consecutivos é 72.

Sexémúltiplode4Vx54n,nÑZeosmúlti-plosde4consecutivossão:4n14e4n18V V4n1(4n14)1(4n18)572V12n1125 572V12n560Vn55

Logo,os3númerossão: x54n54?5520;4n1454?514524e

4n1854?518528V20,24e28.

35 A soma de dois números naturais é 32 e um deles é igual à sétima parte do outro. Determine os dois números.

Sejamaebos2númerosV

2 a1b532a5b__7Vsubstituindoa

2aequaçãona1a:b__71b532V(mmc57)V

Vb17b5224VV 8b5224Vb528Va528___7Va54

Logo,osdoisnúmerossão4e28.

36 Pedro disse a seu amigo João: “eu tenho duas vezes a idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tu tiveres a idade que eu tenho, a soma de nossas idades será igual a 63 anos”. Calcu-le as idades de Pedro e de João.

idades Háxanos Hoje Daquiayanos

Pedro P2x P P1y

João J2x J J1y

Pedrodisse:"Eutenho2vezesaidadequetutinhas

P5 2? J2xquandoeutinhaaidadequetutens"V

P2x 5J

V 2 P=2(J2x)VP52J22xP2x5JVx5P2J

Substituindox5P2Jna1aequação,temos:

P52J22(P2J)VP52J22P12JV3P54JV

VP54__3J(i)

"Quando tu tiveres a idade que eu tenho, a

J1y 5Psomadasnossasidadesseráiguala63anos"V

(J1y)1(P1y) 563

V2 J1y5PVy5P2J(J1y)1(P1y)563VJ1P12y563

Substituindoy5P2Jna2aequação,temos:J1P12(P2J)563VJ1P12P22J563V V3P2J563(ii)

De(i)e(ii),temos:2 P54__3J3P2J563

SubstituindoP54__3Jna2aequação,temos:

3@ 4__3J#2J563V4J2J563V3J563VJ521

SubstituindoJ5 21 emP5 4__3J VP5 4__3 ? 21 V

VP528asidadeshojesão:João521anosePedro528anos.

37 O quociente de uma divisão é 3 e o resto 5. Se diminuímos duas unidades do divisor, o quociente aumenta uma unidade e o novo resto é 1. Calcule o dividendo e o divisor.Dividendo5quociente?divisor1restoVVD53?d15(i)eD54?(d22)11(ii)3d1554d2811"d512Substituindoem(i)VD53?1215541Odividendoé41eodivisoré12.

38 Paula tem 16 anos e sua mãe 38. Quantos anos faz que a idade da mãe de Paula era o triplo da idade de sua filha? SejamPeMasidadesdePaulaesuamãerespecti-vamente,exaquantidadedeanospassados.

2 P516,M538M2x53(P2x)V382x53(162x)V

V382x54823xV2x510Vx55.Portanto,faz5anos.

39 Ao verificar as economias que havia juntado em seu cofre, Laércio viu que possuía apenas moedas de 50 centavos e de 1 real e que tinha juntado 70 moe-das que totalizavam 50 reais. Qual a quantidade de moedas de cada tipo que ele possui?

SejamCeUasquantidadesdemoedasdecinquentacentavosderealedeumreal,respectivamente:

2 0,50?C11,00?U550,00V0,5C1U550C1U570VU5702C

SubstituindoU5702Cna1aequação:0,5?C1(702C)550V0,5C1702C550VV 20,5C5220VC540VU570240VVU5 30.Logo,Laérciotem40moedasdeRS||0,50e30moe-dasdeRS||1,00.

40 O comprimento de um retângulo mede 10 mm a mais que sua altura. Encontre as medidas do retân-gulo, sabendo que seu perímetro mede 260 mm.

Sendoc5comprimentoea5alturaV

V2 c5101a2c12a5260

Substituindoa1aequaçãona2a:2(101a)12a5 5 260 V 20 1 2a 1 2a 5 260 V 4a 5 240 Va560Vc510160Vc570Logo,o retângulo tem70mmdecomprimentoe60mmdealtura.

41 A soma de dois números é 51. Se dividimos o pri-meiro por 3 e o segundo por 6, a diferença entre os quocientes obtidos é 1. Determine esses números.

SejamxeyosdoisnúmerosV

V2 x1y551

x__32y__651V(mmc56)V2x2y56

V

106


4P_YY_M7_RA_C06_077A108.indd 106 12.12.08 14:32:36

V2 x1y5512x2y561

3x 557 Vx5 19.Substituindox5 19na1aequação:191y551Vy532Osdoisnúmerossão19e32.

42 Ana deu a metade dos seus discos a sua amiga Sônia; depois emprestou cinco discos a Davi. Com isso restou apenas um disco. Quantos discos Ana tinha inicialmente?

SendoDaquantidadedediscosqueanatinhaini-cialmente,tem-se:

D5D__21511VD5D__216V(mmc52)V

V2D2D512VD512Vanatinha,inicialmente,12discos.

43 Em um retângulo de perímetro de 152 cm, a base mede 9 cm a mais que a altura. Determine as di-mensões desse retângulo.

Sendob5baseea5alturaV

V2 2a12b5152b5a19

Substituindoa2aequaçãona1a:2a12(a19)5152V2a12a1185152VV4a5134Va533,5Vb533,519VVb542,5Vasdimensõessão33,5cme42,5cm.

44 Divida 473 em duas partes, de modo que, ao se dividir a parte maior pela menor, se obtenha quocien-te 7 e resto 9.

Sejamaebasduaspartes.

2 a1b5473a57b19

Substituindoa2aequaçãona1a:7b191b5473V8b5464Vb558VVa57?5819Va5415aspartessão58e415.

Questões globaisPágina147

45 Resolva as inequações abaixo, sabendo que U 5 Q.

a) 3x 2 2 < 16 3x22<16V3x<18Vx<18___3V VS52 xQ |x<18___33b) 12x 1 3 . 39 12x13.39V12x.36Vx.3V VS5{xQ |x.3}

c) 19 2 2x . 2 31 1922x.231V22x.250V2x,50V Vx,25VS5{xQ |x, 25}

d) 10 . 8x 1 5 10.8x15V28x.25V8x,5V Vx,5__8VS52 xQ |x,5__83e) 11 , 3x 2 4 11,3x24V23x,215V3x.15Vx.5V VS5{xQ |x.5}

f) 210 < 14 2 6x 210<1426xV6x<24Vx<4V VS5{xQ |x<4}

46 Quantos números inteiros satisfazem simultanea-mente as inequações

2x 2 4 > 11 1 3(x 2 1) e 3x < 28 1 7x? 2x24>1113(x21)V2x24>1113x23VV24x>814V24x>12V4x<212VVx<23VVS15{xZ |x<23}3x<2817xV24x<28V4x>228VVx>27VS25{xZ |x>27}ElementoscomunsaS1 eaS2:{xZ |27<x<23}5

5{27;26;25;24;23}5 elementos satisfazem simultaneamente as ine-quações.

47 Para não ter prejuízo, uma loja deve vender pelo menos x peças por dia, de modo que o triplo do número de peças menos 15 seja maior que 210. Quantas peças a loja deverá vender diariamente para ter lucro?

3x215.210V3x.225Vx.75

Devevendermaisde75peçasdiariamente.

48 Francisco vai cercar um terreno retangular de me-didas (x 1 5) e (25 2 2x) metros. Calcule qual deve ser o menor valor de x para que a cerca tenha no máximo 40 m de comprimento.

2?(x15)12?(2522x)<40VV2x11015024x<40V22x160<40VV22x<220V2x>20Vx>10

Omenorvalorpossíveldexé10m.Porémxdevesermenorque12,5m,casocontrárioumladoficanegativo.

49 Em um campeonato de basquete, cada time parti-ciparia de 10 jogos. Para cada vitória, o time ganha-va 5 pontos e, para cada derrota, perdia 3 pontos. Além disso, para serem classificados para a segun-da fase do campeonato os times deveriam ter um mínimo de 26 pontos. Qual é o menor número de vitórias que um time deve ter para se classificar para a segunda fase? Considerando-sequenãohaveráempates:D1V510,emqueDéonúmerodederrotaseV,onúmerodevitóriasVV?51D?(23)>26

2 D1V510VD5102V23D15V>26

SubstituindoD5102Vna2alinha:23(102V)15V>26VV230 13V15V>26V8V>56VV>7Um time precisa ter nomínimo 7 vitórias para seclassificar.

50 Existe algum valor para x que satisfaz simultanea-mente as inequações

2x . 22x 1 10 e 29 1 x . 5x?

2x.22x110Vx.10291x.5xV24x.229V4x,29V

Vx,29___4Vx,7,25

Logo,asinequaçõesnãotêmsoluçãocomum.

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51 Heloísaestáfazendoumadietadeengordaepre-cisa ganhar alguns quilogramas para ficar compelomenos50kg.Sabendoqueseeladobrarsuamassaatualestarácom20kgacimadesselimitemínimo,qualéamassadeHeloísaatualmente?SendomamassaatualdeHeloísa,então2m550120V2m570Vm535Atualmenteelatem35kg.

52 Máriotem15anoseRafaeléumgarotode3anos.DaquiaquantosanosMárioteráotriplodaidadedeRafael?SendoMaidadedeMário,RadeRaquelexaquan-

tidadedeanosV2 M515,R53M1x53?(R1x)V

V151x53(31x)V151x5913xVV22x526Vx53Daquia3anos.

53 Copieatabelaaseguirepreencha-aemseucaderno.

Termo algébrico Coeficiente Parte literal3x2 3 x2

2y3 21 y3

24mn 24 mn

zw 1 zw

22sp2 22 sp2

54 Qualéasomadomenoredomaiorvalorquesa-tisfazsimultaneamenteasinequaçõesnoconjun-toUniversodosnúmerosinteiros,0.22x110e10122x.x?0.22x110V2x.10Vx.5VVS5{xZ |x.5}5{6;7;8;9;...}10122x.xV23x.2101V3x,101Vx,33,66...VVS5{xZ|x,33,66...}5{xZ |x<33}55 {....;28;29;30;31;32;33}Logo,omenorvalorquesatisfazsimultaneamenteambasasequaçõesé6,eomaioré33.Asomadosdoisvaloresé6133539.

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