EM974 – Métodos Computacionais em Engenharia Térmica e Ambiental

Professor Eugênio Spanó Rosa29 de junho de 2012

Taylor Couette Flow

Marcelo Ryudi Tsuzuki 074925Rafael Riedo Zanetti 074981

Introdução

Taylor Couette Flow é uma variação do escoamento de Couette Flow, que ocorre entre placas paralelas. O escoamento de Taylor Couette Flow, ocorre entre cilindros coaxiais, no qual o cilindro interno possui determinada velocidade de rotação e o cilindro externo permance estático.

A motivação do grupo pelo estudo deste caso, baseou-se no comportamento particular encontrado neste tipo de escoamento. Com baixas velocidades de rotação, o fluxo do fluido entre os cilindros apresenta comportamento típico, fluindo com velocidade maior nas proximidades do cilindro interno e em velocidades menores nas regiões próximas ao cilindro externo, sem presença de velocidade axial significativa.

Existe, entretanto, um valor de velocidade crítica descrita por Taylor, a partir da qual o fluido passa a apresentar movimentos de recirculação em relação ao eixo do cilindro. Esta velocidade crítica pode variar de acordo com os parâmetros do experimento, de acordo com a equação (1) descrita por Taylor de acordo com Ref. [3].

Ta=(U 02d2

v2 )( dR1 )Sendo que U0 é a velocidade de rotação do cilindro interno, dado em m/s, d é o

gap entre cilindros interno e externo, em metros, e v é a viscosidade dinâmica do fluido confinado entre os cilindros, dado em m²/s.

De acordo com a Ref. [3], o valor de Taylor crítico, ou seja, o valor de Taylor acima do qual os vórtices de recirculação começam a ser observados, é de 1708. Além do parâmetro de Taylor, o número adimensional de Reynolds, também pode ser utilizado como referência para estabelecer um ponto crítico, relativo ao início da formação dos vórtices de recirculação. De acordo com Ref. [6], o número crítico de Reynolds vale 132. Este valor foi obtido empiricamente e está consistente com o valor crítico de Taylor.

ℜ=(U0dv )

Na equação [2], as variáveis são as mesmas e assumem as mesmas unidades utilizadas na equação [3].

A figura (1), a seguir, ilustra de forma clara o experimento de Taylor-Couette flow ao atingir um valor de Taylor correspondente ao crítico, porque é possível distinguir os vórtices estudados por Taylor.

eq. [1]

eq. [2]

Fig 1. Vórtices de recirculação.

A figura (2) trata-se de uma ilustração dos vórtices de Taylor, sendo que z é o eixo de rotação comum entre os dois cilindros, d é o gap entre os cilindros, e λ se refere ao comprimento de dois vórtices. Neste trabalho, utilizaremos os recursos do software para determinar o tamanho de λ do modelamento assumido.

Fig 2. Corte transversal do gap com vórtices esperados.

A tabela 1 explicita todos os parâmetros geométricos e relacionados ao fluido, juntamente com suas respectivas unidades e denominações. Esta tabela fornece todas as variáveis necessárias para desenvolvimento do modelo simulado neste trabalho.

Parâmetro Unidade SignificadoTa [1 ] Número adimensional de Taylorℜ [1 ] Número adimensional de Reynolds

U 0 [ms ] Velocidade de rotação do cilindro interno

v [m2s ] Viscosidade dinâmica do fluido

ρ [ kgm3 ] Densidade do fluido

μ [Pa. s ] Viscosidade do fluidoR¿ [m ] Raio do cilindro internoRout [m ] Raio do cilindro extenod [m ] “gap” (folga entre os cilindros)

Tab 1. Parâmetros do experimento.

Com o aumento da velocidade, já acima do ponto crítico de recirculação, nota-se que a intensidade deste fenômeno se intensifica até atingir um ponto de turbulência (Ref. [4]), o qual não foi estudado neste trabalho. É preciso ressaltar que o a criticidade dos números adimensionais de Taylor ou Reynolds não está se referindo a turbulência do escoamento. Estes adimensionais, quando críticos, apenas evidenciam o começo do aparecimento de vórtex, enquanto o cilindro interno gira. Entretanto, estes vórtex acontecem um uma velocidade de rotação abaixo da velocidade que caracteriza o escoamento como turbulento. Aliás, em imagens de experimentos já encontrados na bibliografia, é possível distinguir a diferença dos casos em que os adimensionais estão na faixa turbulenta ou na faixa crítica.

Objetivos

O objetivo deste trabalho é simular o Taylor Couette flow com o uso de um software aplicado em mecânica de fluidos. É esperado que obtenhamos um perfil de velocidade e pressão congruente com a realidade, podendo ser confrontada com resultados presentes na literatura.

Sendo assim, serão discutidos resultados de:

A) Velocidade resultanteB) Velocidade azimutalC) Velocidade axialD) Velocidade radialE) Perfil de pressões

Modelamento

Para o modelamento do problema foram utilizados os parâmetros da tabela 2, simulando o comportamento de um fluido com viscosidade alta (Ref. [5]), de modo a facilitar a observação do fenômeno em estudo. O fluido adotado para este caso foi a glicerina à 20 °C. Suas propriedades encontram-se na tabela 2.

As dimensões adotadas para os cilindros, também constam na tabela 2. Observou-se que a recirculação ocorre de forma mais intensa quando o “gap” é relativamente pequeno.

Quanto à geometria do domínio, foi observado que o tempo de solução do solver, seria um problema crítico, portanto o modelo foi restrito à uma pequena seção angular, buscando reduzir a sobrecarga do software, sem comprometer o valor dos resultados.

Muitas tentivas foram feitas, até que se obtivesse um refinamento de malha adequado, combinado com tolerâncias corretas, parâmetros de modelamento e resolução consistentes para que os resultados esperados fossem obtidos.

Estas tentativas foram fundadas nas referências bibliográficas, porém, mesmo com dados disponíveis para modelamento, foi preciso simular com poucas iterações, para determinar quais variáveis mais influenciavam nos resultados. Como resultado desta análise de sensibilidade, foi percebido que o tamanho do gap é um fator importante para convergência dos resultados, assim como a altura (eixo z) do domínio que conterá a malha. A partir desta análise com simulações rápidas, foram escolhidas as dimensões geométricas do problema.

Segue na Tabela (2) os valores de parâmetros geométricos escolhidos após a análise de sensibilidade e, também, valores associados à propriedades do fluido utilizado.

Parâmetro Unidade Valor

U 0 [ms ] 20

Ta [1 ] 2897,239ℜ [1 ] 170,2128

v [m2s ] 0.001175

ρ [ kgm3 ] 1200

μ [Pa. s ] 1,41R¿ [m ] 0,1Rout [m ] 0,11d [m ] 0,01

Tab 2. Valor dos parâmetros do modelo

No caso deste experimento, o valor de velocidade de rotaçãoU0 obtido para o caso de Taylor crítico, foi de 15,35 m/s, portanto trabalhamos com o valor de 20 m/s, com valores de Taylor e Reynolds expressivamente acima do valor crítico. Isso porque, segundo vídeos de experimentos realizados, foi percebido que o padrão formado no escoamento com Taylor maior que o critico se forma consistentemente após algum tempo. Sendo assim, com a velocidade partindo do zero, após algum tempo, a velocidade necessária para o Reynolds é atingida, pois se verifica o padrão no escoamento. Porém, este padrão fica mais bem determinado visualmente algum tempo depois, porque o cilindro interno aumenta sua velocidade acima do Taylor crítico. Por tal conclusão, escolhemos a velocidade do cilindro interno igual a 20 m/s.

Na tabela 3, são mostrados os parâmetros do domínio utilizados para os ensaios no software Phoenics. A princípio, a construção da malha foi feita referenciada nas dimensões geométricas do problema, entretanto ao longo das diversas rodagens do solver,

observamos experimentalmente que o refinamento ao longo de cada coordenada possuía relevâncias e sensibilidades distintas. Portanto, de acordo com o interesse de obtenção de melhores resultados, combinado com a otimização do tempo de resolução do solver, chegamos às razões de aspecto explicitadas na tabela 4. As razões de aspecto das células representam a razão de refinamento das malhas em cada coordenada. Vale ressaltar, que o aumento e a redução das razões de aspecto foram calibrados com acompanhamento constante da variação da qualidade dos resultados, de modo a não comprometê-los em detrimento da redução do tempo de rodagem.

Parâmetro ValorNúmero de células em x 40Número de células em y 50Número de células em z 50

Tolerância em x 10−6mTolerância em y 10−6mTolerância em z 10−6m

Tab 3. Parâmetros do domínio

Parâmetro Valorxz 4,31

yz 0,11

Tab 4. Razão de aspecto

Para um completo entendimento do modelo assumido, é preciso relatar que não houve qualquer tipo de objetos do tipo “inlet” ou “outlet”. Isto porque, o procedimento experimental do problema de Taylor-Couette, como já dito, trata-se de um fluido confinado entre a distância das paredes de dois cilindros de diâmetros diferentes. Para resolver esta característica do modelo, foi inserido às linhas de comando a ferramente XCYCLE=T, no qual é responsável por tornar a simulação periódica, em relação ao eixo x.

Ao mesmo tempo, é preciso salientar que neste modelo, não foi utilizado nenhum objeto nas fronteiras norte e sul do domínio, portanto, para o software utilizado, é considerado um espelhamento nestas fronteiras.

Procedimento

As primeiras tentivas não foram bem sucedidas, pois, a velocidade axial permanecia constante, independente do refinamento da malha, das tolerâncias ou dos parâmetros adotados. O fenômeno descrito no experimento de Taylot Couette Flow, só pode ser observado com o uso do alívio de pressão. Sem uso de inlets ou outlets, o programa Phoenics requer o recurso provido pelo objeto pressure relief, para propósitos de referenciação.

A partir deste ponto, a recirculação foi observada de forma bastante clara, entretanto os resultados ainda não se mostravam satisfatórios devido à algumas incoerências. Por exemplo, a velocidade de rotação do fluido nas proximidades do cilindro interno, muito distantes dos valores do próprio cilindro. Novamente, o problema persistiu

apesar das inúmeras tentativas com diversas variações de refinamento de malha em busca de resultados melhores.

O próximo passo adotado foi o uso de escoamento em regime transiente. O incoveniente deste método, foi o tempo demasiadamente longo de execução do sistema solver do software. Os resultados ainda permaneceram insatisfatórios, sem convergência e apresentando problemas como nos casos anteriores.

Por fim, foi adotado um procedimento de resolução transiente, seguida de resolução permanente, para simular o que ocorre na situação experimental do Couette Flow. O tempo total de rodagem do software foi próximo de 4 horas, resultando, entretanto em resultados bastante satisfatórios e condizentes com o esperado.

Após inúmeras tentativas, foram observados fenômenos descritos pela literatura coletada sobre este assunto. Dentre estas observações podem ser citados: valores de z-velocity com sinais antagônicos porém módulo semelhante nas proximidades dos cilindros interno e externo respectivamente, velocidade de rotação x-velocity muito próximas da velocidade de rotação do cilindro interno nas proximidades do mesmo e ondas de recirculação visíveis em todos os cortes relevantes às observações do experimento.

Resultados

O comprimento de onda encontrado neste experimento é mostrado na figura 34, o qual foi medido segundo Ref. [6]. O valor obtido foi de 5 cm. Segundo Ref. [6], o comprimento de onda não deve exceder 4,8 vezes o valor do gap. Como o valor da folga neste experimento é de 0,01 m, o valor de λ obtido é coerente, valendo mencionar que tal medição é subjetiva, pois, é impossível determinar os exatos pontos de início e fim de cada vórtice.

As figuras a seguir, mostram os perfis de pressão e de velocidade em diversos cortes diferentes, retratando as condições dos melhores resultados obtidos ao longo deste trabalho, após diversas tentativas.

Fig 3. Perfis de pressão e resíduos de pressão.

Fig 4. Perfis de x-velocity e resíduos de x velocity.

Fig 5. Perfis de y-velocity e resíduos de y-velocity.

Fig 6. Perfis de z-velocity e resíduos de z-velocity.

Fig 7. Perfis em corte de z-velocity e pressão.

Fig 8. Imagem do solver.

Fig 9. Medição do parâmetro λ.

Segundo ref.[9], o equacionamento do fenômeno de Taylor Couette flow se dá pela manipulação matemática da equação de Navier-Stokes.

A ref.[3], mostra que o perfil de velocidade deve seguir a eq.[4], na qual temos os parâmetros A e B, que podem ser determinados a partir das eq.[5] e eq.[6].

u (r )=Ar+ rB eq.[4]

A=ω1η²−λη ²−1 eq.[5]

5 cm

B=R12ω1

1−λ1−η ² eq.[6]

Sendo, ω1 a rotação do cilindro interno, R1 o raio do cilindro interno, η é a razão entre o raio interno sobre o raio externo, e λ é a razão de velocidades do cilindro externo sobre o cilindro interno. Vale lembrar que para este caso, o cilindro externo se encontra em repouso.

Então, conforme explicitado, é possível calcular o perfil de velocidade em x teórico e confrontar com os resultados obtidos na simulação via software. Conforme explicitado na figura (36), temos a linha azul fornecendo o calculado em teoria, e os pontos em vermelho os resultados da simulação. Foram utilizados apenas estes três pontos para comparação.

0.1

0.10

1

0.10

2

0.10

3

0.10

4

0.10

5

0.10

6

0.10

7

0.10

8

0.10

9

0.11

0

5

10

15

20

25

Fig. 10: Dados de velocidade teóricos confrontados com dados da simulação

Conclusões

O problema de Taylor Couette demanda alto potencial computacional, como discutido neste trabalho, uma vez que os detalhes da simulação podem levar a resultados insatisfatórios ou não convergentes. Isso porque, pelo fato de tratar-se de um fenômeno que é estável até uma determinada velocidade, e após atingida a mesma, seu comportamento muda drasticamente. Ao mesmo tempo, este estado crítico pode ser mais uma vez modificado se a velocidade de rotação do cilindro interno for superdimensionada, causando uma transferência no tipo de escoamento: laminar para turbulento. Ao atingirmos este caso, todos os parâmetros de simulação devem ser mudados, desde geometria de malha até modo de solução do software.

Apesar de tais condições, o estudo foi bem sucedido pois atingiu os objetivos estipulados no começo do texto. Foi determinado que a simulação deveria repetir os padrões de velocidade e pressão encontrados na literatura. E, como exposto nas figuras, estes padrões podem ser comparados às referências bibliográficas de maneira positiva.

Enfim, como sugestões para futuros trabalhos, a partir das análises e resultados deste estudo é indicado que a dimensão de altura, portanto no eixo z, seja aumentada. Como resultado deste aumento, é esperado que mais vórtices se formem, contribuindo para a análise de resultados. Ao mesmo tempo, segundo os resultados do mapa de resíduos, podemos concluir que os resultados poderiam ser mais satisfatórios se a malha fosse refinada exatamente na metade do “gap”. Referências Bibliográficas

[1] Avilas, M., http://www-fa.upc.es/websfa/fluids/marc/tc.php?lang=eng, Institute of Fluid Machanics, Friedrich- Alexander-Universitat Erlangen.

[2] Lopez J.M, Marques F., Modulated Taylor–Couette Flow: Onset of Spiral Modes, Theoretical and Computational Fluid Dynamics, 2002.

[3] Dou, H.-S., Khoo, B.C., and Yeo, K.S., instability of Taylor Couette Flow between Concentric Rotating Cylinders, Inter. J. of Thermal Science, Vol. 47, 2008, No. 11, 1422-1435.

[4] Sander G. Huisman, Dennis P.M van Gils, Siegfried Grossmann, Chao Sun, and Detlef Lohse, Department of Applied Physics and J.M. Burgers Centre for Fluid Dynamics, University of Twente, P.O. Box 217, 7500 AE Enschede, The Netherlands, Department ofPhysics, Renthof 6, University of Marburg, D-35032 Marburg, Germany.

[5] Kuhlmann H., Model for Taylor Couette Flow, Fachrichtung 11.1 Universitat des Saarlandes, December 1984.

[6] Noui Mehidi M.N., Ohmura N., Kataoka K., Gap Effect on Taylor Vortex Size Between Rotating Conical Cylinders, Thermal & Fluids Engineering Division, CSIRO, Manufacturing and Infrastructure Technology PO Box 56, Graham Rd, Highett, Vic, 3190 AUSTRALIA Department of Chemical Science and Engineering, Kobe University, Rokkodai, Nada Kobe 657-8501, JAPANKansai Chemical Engineering CO.

[7] Manela A., Frankel I., On the compressible Taylor–Couette problem, Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology, 77 Massachusetts Avenue, Cambridge, MA 02139, USA Faculty of Aerospace Engineering, Technion – Israel Institute of Technology, Haifa 32000, Israel, 2007.

[8] Dong S., Direct numerical simulation of turbulent Taylor–Couette flow, Center for Computational and Applied Mathematics, Department of Mathematics, Purdue University, West Lafayette, IN 47907, USA, 2007.

[9] Roick C., Taylor Coeutte Flow, Presentation, Maio, 2011.