Pirâmide 2016 Nível Fácil -...

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Pirâmide – 2016

Nível Fácil

1. (Unisc 2016) Em uma pirâmide regular, a base é um quadrado de lado q. Sabendo que as

faces laterais dessa pirâmide são triângulos equiláteros, pode-se afirmar que o seu volume é

a) 3q 2

b) 3q 2

6

c) q 2

2

d) 3q 3

6

e) 3q 3

3

2. (Uepa 2015) Leia o texto para responder à questão. A arte é uma forma de expressão da racionalidade humana. O origami é uma técnica japonesa baseada em juntar módulos individuais de papel dobrando para criar prismas e cubos, conforme ilustra a figura abaixo.

Todas as pirâmides ilustradas na composição artística acima são tetraedros regulares de base

triangular de aresta L 1dm ligados uns aos outros, por meio de suas arestas e mantendo

suas bases sobre um mesmo plano. Nestas condições, a área total, em 2dm , de um desses

tetraedros regulares é:

a) 2

2 b)

3

2 c) 3 d) 2 2 e) 2 3


3. (Uel 2015) Na molécula do Metano 4(CH ), o átomo de carbono ocupa o centro de um

tetraedro regular em cujos vértices estão os átomos de hidrogênio.

Considerando que as arestas do tetraedro regular medem 6 cm e que a altura mede

1h 6,

3 assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o volume desse tetraedro.

a) 33 3 cm

b) 318 2 cm

c) 318 3 cm

d) 336 2 cm

e) 354 2 cm

4. (Ufjf-pism 2 2015) Um monumento será construído no formato de uma pirâmide de base hexagonal regular.

Sabendo que a altura h do monumento é 4 m, a aresta lateral a mede 7 m, a aresta da base

mede 4 6 m e desconsiderando possíveis perdas, determine:

a) a área ocupada pela base do monumento em metros quadrados. b) a área mínima de espelhos necessária para cobrir completamente as laterais do

monumento. c) o volume desse monumento. 5. (Uece 2015) A medida da aresta de um tetraedro regular com altura igual a 5 metros é

a) 5 2,5m.

b) 5 1,5m.

c) 2 1,5m.

d) 3 2,5m.

6. (Esc. Naval 2015) Em um polígono regular, cujos vértices A,B e C são consecutivos, a

diagonal AC forma com o lado BC um ângulo de 30 . Se o lado do polígono mede

unidades de comprimento, o volume da pirâmide, cuja base é esse polígono e cuja altura vale o triplo da medida do lado, é igual a

a) 33 3

2 b)

23 3

2 c)

3 3

2 d)

3 3

4 e)

33 3

3


TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Utilize as informações a seguir para a(s) quest(ões) abaixo. Uma artista plástica está criando uma nova obra, que será um quadro com alto relevo de formas geométricas. Para iniciar o projeto, ela desenhou o quadrado base da obra, mostrada abaixo.

Esse quadrado tem 40 cm de lado e o ponto P foi posicionado 8 cm para a direita e 8 cm

para baixo do ponto A. Traçando a diagonal do quadrado e tomando o ponto P como vértice, ela construiu o triângulo em preto e, usando a simetria em relação à diagonal, ela construiu o

triângulo em branco, com vértice no ponto Q.

Em seguida, reproduzindo esse quadrado base 16 vezes, ela construiu o quadro em relevo

mostrado abaixo, elevando 2 tetraedros sobre cada quadrado base, cada um com altura de

6 cm em relação ao plano do quadrado base, conforme ilustra a figura a seguir.

7. (Insper 2015) Para garantir o efeito visual que desejava, a artista plástica fez as faces dos tetraedros de material transparente e encheu com um líquido contendo material reflexivo. O volume de líquido necessário para encher todo o quadro é de, aproximadamente, a) 45 litros. b) 47 litros. c) 49 litros. d) 51 litros. e) 53 litros. 8. (Mackenzie 2014) Se um tetraedro regular tem arestas de comprimento 6 m, então

podemos afirmar que

a) a altura é igual a 3 3 m.

b) a altura é igual a 3 6 m.

c) a altura é igual a 4,5 m.

d) o volume é igual a 327 3m .

2

e) o volume é igual a 318 2m .


9. (Uepa 2014) As pirâmides comunicam, ainda hoje, os valores culturais de uma das

civilizações mais intrigantes da humanidade. Foram construídas para a preservação do corpo do faraó. De acordo com a lenda de Heródoto, as grandes pirâmides foram construídas de tal modo que a área da face era igual ao quadrado da altura da pirâmide.

Texto Adaptado: “Contador”, Paulo Roberto Martins. A Matemática na arte e na vida – 2ª Ed. rev. – São Paulo: Editora Livraria da Física, 2011.

Considere a pirâmide de base quadrada, cujo lado mede 2a, a altura H e altura da face h,

construída segundo a lenda de Heródoto. Se S expressa a área da face da pirâmide, então é

correto afirmar que:

a) S a h a h . b) S h a h a . c) 2

S a h . d) 2

S h a . e) 2 2S a h .

Nível Médio

10. (Ufrgs 2016) Considere ABCDEFGH um paralelepípedo reto-retângulo conforme

representado na figura abaixo.

Se as arestas do paralelepípedo medem 3, 6 e 10, o volume do sólido ACDH é

a) 10. b) 20. c) 30. d) 60. e) 90. 11. (Ufjf-pism 2 2016) Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de lado e N é um

ponto sobre a aresta AC tal que 2AN NC.

a) Calcule DN. b) Calcule a área do triângulo

BDN.


12. (Ufpr 2016) Temos, abaixo, a planificação de uma pirâmide de base quadrada, cujas faces

laterais são triângulos equiláteros. Qual é o volume dessa pirâmide?

a) 3163 cm .

3 b) 316 3 cm . c) 332 cm . d) 332

2 cm .3

e) 364cm .

3

13. (Ufsm 2015) Desde a descoberta do primeiro plástico sintético da história, esse material vem sendo aperfeiçoado e aplicado na indústria. Isso se deve ao fato de o plástico ser leve, ter alta resistência e flexibilidade. Uma peça plástica usada na fabricação de um brinquedo tem a

forma de uma pirâmide regular quadrangular em que o apótema mede 10mm e a aresta da

base mede 12mm. A peça possui para encaixe, em seu interior, uma parte oca de volume igual

a 378mm . O volume, em 3mm , dessa peça é igual a

a) 1152. b) 1074. c) 402. d) 384. e) 306. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Utilize o fragmento e as imagens abaixo como auxílio para responder à(s) quest(ões) a seguir. Existem variados tipos de blocos de concreto para o uso de contenção às ondas marinhas, em especial o Tetrápode – bloco criado na década de 1950 e utilizado no molhe leste da Barra Cassino (Rio Grande – RS). Constituído em concreto maciço, o bloco é disposto de um eixo central, no qual são tangentes quatro cones alongados (patas) e arredondados, distribuídos

igualmente a 120 no espaço. Essas “patas” facilitam a conexão entre os blocos, tornando a

estrutura mais estável. O centro de gravidade do Tetrápode encontra-se na união das quatro “patas”, o que dificulta o balanço e o rolamento da carcaça.

Imagens e Fragmento extraído de “Tipos de blocos de concreto para estrutura hidráulica de proteção às ondas marinhas e análise visual dos Tetrápodes da Barra de Rio Grande”

(Adaptado). Disponível em: http://www.semengo.furg.br/2008/45.pdf Acesso: 10 abr. 2015.

14. (Ifsul 2015) Unindo-se as pontas dos eixos das 4 “patas”, forma-se um sólido geométrico

chamado a) Pirâmide Quadrangular Regular. b) Cilindro Equilátero. c) Tetraedro Regular. d) Tronco de Pirâmide.


15. (Uece 2014) Sejam X, Y e Z três pontos fixos distintos e não colineares, e P um ponto do

espaço, vértice de uma pirâmide cuja base é o triângulo XYZ e cuja medida do seu volume é 3 m

3. O conjunto de todos os pontos P que cumprem esta condição é formado por

a) duas retas paralelas. b) um plano. c) dois planos. d) exatamente dois pontos. 16. (Unifesp 2014) A figura indica uma pirâmide regular quadrangular reta cujas faces laterais são triângulos equiláteros. A aresta da base dessa pirâmide mede 12 cm.

Duas formigas, F1 e F2, partiram do ponto médio da aresta VA para o ponto médio da aresta

VC, sempre caminhando por faces, arestas, ou cruzando arestas. Dentre todos os caminhos

possíveis ligando os dois pontos, a formiga F1 escolheu o mais curto deles. Já a formiga F2 escolheu o caminho mais curto dentre todos que passam pela base ABCD da pirâmide. Calcule: a) a distância percorrida pela formiga F1.

b) a distância percorrida pela formiga F2.


17. (Uerj 2014) Um quadrado ABCD de centro O está situado sobre um plano á. Esse plano

contém o segmento OV, perpendicular a BC, conforme ilustra a imagem:

Admita a rotação de centro O do segmento OV em um plano perpendicular ao plano a, como se observa nas imagens:

Considere as seguintes informações: - o lado do quadrado ABCD e o segmento OV medem 1 metro;

- a rotação do segmento OV é de x radianos, sendo 0 x2

π ;

- x corresponde ao ângulo formado pelo segmento OV e o plano α ;

- o volume da pirâmide ABCDV, em metros cúbicos, é igual a y. O gráfico que melhor representa o volume y da pirâmide, em m

3, em função do ângulo x, em

radianos, é:

a) b)

c) d)

18. (Uepb 2014) O volume de um tetraedro regular de aresta 2 cm é igual a:

a) 32cm

3

b) 32cm

3

c) 32 cm

d) 31cm

3

e) 33cm

3


Gabarito: Resposta da questão 1:

[B] Desde que as faces laterais são triângulos equiláteros de lado q, segue que o apótema da

pirâmide mede q 3

.2

Em consequência, sendo a medida do apótema da base igual a q

,2

pelo

Teorema de Pitágoras, segue que a altura da pirâmide mede q 2

.2

Portanto, a resposta é

321 q 2 q 2

q .3 2 6

Resposta da questão 2: [C] A área total de cada tetraedro é igual a

2 2 2L 3 1 3 3 dm .

Resposta da questão 3: [B]

O volume do tetraedro regular de aresta 6cm é dado por 3 3

32 6 218 2 cm .

12 12

Resposta da questão 4:

a) A área da base é dada por 2

23 (4 6) 3144 3 m .

2

Observação: Os dados são inconsistentes. De fato, considerando o triângulo retângulo

formado pela altura do monumento, uma aresta lateral e o respectivo raio r do círculo circunscrito à base, pelo Teorema de Pitágoras, vem

2 2 2r 4 7 r 33.

Ora, segue que r . Contradição.

b) O apótema m do monumento é dado por

2

2 2 24 6p 7 p 49 24 p 5 m.

2

Desse modo, a área lateral do monumento é igual a

24 6 56 60 6 m .

2

Observação: Pelo mesmo motivo da observação em (a), é possível obter outro resultado para a área lateral.

c) O volume do monumento é 31144 3 4 192 3 m .

3

Observação: Pelo mesmo motivo da observação em (a), é possível obter outro resultado para o volume.



[B]

Sabendo que a altura de um tetraedro regular de aresta é dada por 6

h ,3

temos

6 155

3 6

5 6

2

65

4

5 1,5 m.


[A]

Desde que BCA 30 e AB BC, temos CAB 30 . Em consequência, vem ABC 120 e,

portanto, a base da pirâmide é um hexágono regular de lado . Desse modo, sendo h 3 a

altura da pirâmide, seu volume é igual a

2 31 3 3 3 33 .

3 2 2


[D] A área da base de cada tetraedro corresponde à metade da área do quadrado base, isto é,

2 2140 800cm .

2 Portanto, como são 2 16 32 tetraedros, segue o volume de líquido

necessário para encher todo o quadro é

3132 800 6 51.200cm 51L.

3

Resposta da questão 8: [E]

A altura do tetraedro regular é igual a 6 6

2 6 m,3

e seu volume é 3

36 218 2 m .

12


[B]

De acordo com a lenda de Heródoto, segue que 2S H .

Por outro lado, pelo Teorema de Pitágoras, vem

2 2 2 2 2h H a h S a

S (h a)(h a).



[C]

O volume V da pirâmide será dado por:

b1

V A h,3

onde bA é a área da base da pirâmide e h é a altura.

Logo:

21 3 10V 6 30cm

3 2


a) Seja M o ponto médio de AC. Desde que 2 AN NC e ADC é um triângulo equilátero

de lado , temos 3

DM2

e

MN AM AN

2 3

.6

Portanto, do triângulo retângulo DMN, pelo Teorema de Pitágoras, vem

2 2

2 2 2 2

22

3DN DM MN DN

2 6

28DN

36

7DN .

3


b) É fácil ver que o triângulo BDN é isósceles. Se P é o ponto médio de BD, então, pelo

Teorema de Pitágoras, segue que

2 22 2 2 2

22

7BN BP NP NP

3 2

19NP

36

19NP .

6

Em consequência, a resposta é

2

1(BDN) BD NP

2

1 19

2 6

19.

12

Resposta da questão 12: [D] Observe a figura a seguir:

L 3 4 3

h h h 2 32 2

Observe a figura abaixo:

2 22 2 2 2h H r 2 3 H 2 H 2 2 cm

Portanto,

2 23

pir. pir.L H (4) 2 2 32

V V 2 cm3 3 3



[E]

Cálculo da altura da Pirâmide: mm8h106h 222

Volume da peça como diferença do volume da pirâmide e o volume da parte oca.

peça pirâmide

2peça

3peça

V V 78

1V 12 8 78

3

V 306mm

Resposta da questão 14: [C]

Os triângulos OWX, OXY, OYZ, OZW, OZX e OWY são congruentes entre si pelo caso LAL. Portanto, a pirâmide formada é um tetraedro regular. Resposta da questão 15: [C]

Para que o volume permaneça 3m3, as

distâncias dos pontos P ao plano(XYZ) deverão ser iguais, pois representam as alturas das pirâmides. Portanto, qualquer ponto P deverá pertencer a um dois planos paralelos e equidistantes do plano (XYZ).



a)

12 3h 6 3

2

AC 2h 12 3

Logo,

12 3MN 6 3cm .

2

b)

AHcos60 AH 3cm

6

MHcos60 MH 3 3

6

ME NE 12 3 3 3 9 3 3

Logo,

(9 + 2 2 2MN (9 3 3) (9 3 3)

Portanto,

MN (9 3 3) 2

MN (3 3) 3 2 m



[A]

Seja h a altura da pirâmide logo, h 1 sen(x) e volume da pirâmide será dado por:

21 sen(x)V(x) 1 sen(x)

3 3

Logo, o gráfico que representa a variação do volume será dado pela

Função sen(x)

y V(x) , para 0 x .3 2


[D]

Fórmula para o volume de um tetraedro regular de aresta a: 3a 2

V12

Considerando a 2 cm, temos:

33a 2 2 2 4 1V .

12 12 12 3

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