Placas e Lajes

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Placas - Lajes Placas são estruturas planas onde duas de suas três dimensões -largura e comprimento - são muito maiores do que a terceira, que é a espessura. As cargas nas placas estão fora do plano da placa. As placas são as lajes nos edifícios. 1 As lajes podem ter as mais variadas formas: retangulares, circulares, elípticas, com ou sem furos. As lajes mais comuns são as lajes retangulares com apoio ao longo do seu perímetro. Vamos fazer considerações sobre lajes retangulares ou qua- dradas apoiadas ao longo dos quatro lados. --~-- •.. laje viga w pilar Esse apoio é feito por vigas. As placas resistem às cargas por flexão e por torção. 270 ~ Vejamos inicialmente o comportamento por flexão, considerando uma laje retangular com carga unifonnemente distribuída em toda a sua superfície, que chamaremos de "g". Nessa laje, consideremos duas vigas paralelas aos lados que se cruzam no meio do vão da laje. Ação de Flexão 0 \fy y tx f x Temos que supor as vigas de largura unitária para considerar a carga g sobre a viga com valor numericamente igual à carga distribuída da viga. A viga (1) de vão f. r recebe a carga g da laje, porém ela é ajudada pela reação da viga (2) de vão ir Como não conhecemos essa ajuda, chama- remos de s essa carga ainda incógnita. I~~~~~~~~~~~~~~-~- ~ krrrrrrrrrrrrrrrrrr r fx 9 5 Essa carga é distribuída porque devemos imaginar um conjunto de vigas tipo (1) e tipo (2), lado-a-lado, formando a laje. 271

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Cargas em Lajes.

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Placas - Lajes

Placas são estruturas planas onde duas de suas três dimensões -largura ecomprimento - são muito maiores do que a terceira, que é a espessura.As cargas nas placas estão fora do plano da placa.As placas são as lajes nos edifícios.

1As lajes podem ter as mais variadas formas: retangulares, circulares,elípticas, com ou sem furos.As lajes mais comuns são as lajes retangulares com apoio ao longo do seuperímetro. Vamos fazer considerações sobre lajes retangulares ou qua-dradas apoiadas ao longo dos quatro lados.

--~-- •..

laje

viga

w pilar

Esse apoio é feito por vigas.As placas resistem às cargas por flexão e por torção.

270

~

Vejamos inicialmente o comportamento por flexão, considerando uma lajeretangular com carga unifonnemente distribuída em toda a sua superfície,que chamaremos de "g". Nessa laje, consideremos duas vigas paralelasaos lados que se cruzam no meio do vão da laje.

Ação de Flexão

0

\fy

y txf

x

Temos que supor as vigas de largura unitária para considerar a carga gsobre a viga com valor numericamente igual à carga distribuída da viga.A viga (1) de vão f. r recebe a carga g da laje, porém ela é ajudada pelareação da viga (2) de vão ir Como não conhecemos essa ajuda, chama-remos de s essa carga ainda incógnita.

I~~~~~~~~~~~~~~-~-~~~~krrrrrrrrrrrrrrrrrr r

fx

9

5

Essa carga é distribuída porque devemos imaginar um conjunto de vigastipo (1) e tipo (2), lado-a-lado, formando a laje.

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As duas vigas situam-se no mesmo plano. As duas flechas das vigas (1) e(2), no meio do vão, devem ser iguais pois são solidárias. A flecha de urnaviga simplesmente apoiada com carga uniformemente distribuída é:

5 q . .e4f=384'~

Então, a flecha na viga (1) é:

5 ( g - s ) ·~xfi = 384 . E . J

A viga (2) que colabora com a viga (I), com uma reação s, está obviamentesujeita a essa mesma carga s. Assim, a flecha será:

45 s· ~I

12 =384'~

Como ~ =~, vem:

5384

(g-s)·e4r

E·J

45 s . el=_._-'-

384 E· J

( g - s ) . e/ = s . ~/

4 4 4s :« -S·e =S·ex .t y

4 4 4s«. =S·ey +S'~f

4 4 4S . (ey + ex ) = g . fx

S=g·_-"---

Assim, a viga (1) fica aliviada de uma carga "s" e a outra viga carregadadesse valor.

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-,r- - li'

o g-5

I ~~~~~~~~~~~~~[TI

~ i. ~_

e 4.r

g . 4g - S = g - R. 4 + evx .

-s=g '[1- /:1' Jg f +,x .

L--.J I~ "

o r---,

5 1----'"iy

Para uniformização de índices, chamaremos de:

gx = g - S

e a carga que era a incógnita s, chamaremos de:

gy = s

Assim, o momento em relação às direções "x" e "y" são respectivamente:

M = gx '~xx -

8

2 ( 4 Jr, 2S: ]- . e.e4+R.4 xx y

8

My = gy '1:'./ _8 -

2Y

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Exemplo:Determinar as cargas g x' gy e depois os momentos M; e My da laje retan-gular de 3 m por 4 m com carga de 4,0 kNlm2• É um calculo aproximado!

L. ix= 4m

iy= 3m

(4 Jer ee, =s 1-e

x4 +e/

4r-g . 4g)- ?4+e) r

e = 4 m => 44 = 256

~, = 3 m => «4 = 81

256 =0,7596

g r =g ·0,2404

g y =g ·0,7596

Percebemos que a viga mais rígida é a de menor vão, recebendo portantocarga maior,

2O,2404'g ·4 =g .0,481 kN.m/mMx= n

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'-~-;:J- 'IDJço;t

32M - 0,7596· g. =s ·0,855 kN.m/m

y - 8

para g = 4 kNlm2, temos:

M = 1,923 kN.mlmx

M = 3,420 kN.mlmy

A unidade do momento é a força por comprimento. Como tomamos aviga com largura unitária, o momento obtido é por faixa unitária.O momento é maior na direção menor, por isso se encontra maior quantida-de de armadura na menor direção das lajes se comparada com a maior.A placa também resiste através da torção que se propaga de faixa a faixaaté os apoios.

Ações de torção na distribuição das cargas

Para visualizar essa distribuição, consideremos três vigas iguais, com omesmo vão, de seção transversal e de mesmo material, com três cargasconcentradas diferentes, agindo uma em cada viga.

Ação de Torção

As flechas são proporcionais às car-gas "P/'. As vigas, pela hipótese ini-cial' estão separadas e, portanto,deformam-se independentemente.Vamos agora imaginar que as três vi-gas estejam ligadas pelas suas faceslaterais, corno ocorre na realidade.Tudo se passa como se tivéssemosuma outra viga que obriga as fle-chas das três vigas a serem iguais.Podemos imaginar a largura dasvigas tão pequenas que possamosdesprezar essa variação.

3

~~d'Dld'DJd'1 2

3

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Vemos que a viga (1) colabora com aviga (2) e esta, com a viga (3). Tal co-laboração é desenvolvida por urna for-ça cortante que se manifesta na facelateral das vigas, pois na lajes essas vi-gas estão justapostas formando umcorpo único.

-- - - -- --- -----------1----1 2 3 d

D D D---ç-------------- ----------~~--------------------------j

Pl P2 P3

Ó!Q, Q,tÓ!Q, Q,tÓ1 2 3

Agora, as três vigas também estão submetidas às forças QI e Q2 que sãoas incógnitas.Viga (1):

PI + QIViga (2):

P2-QI + Q2

Viga (3):

P3- Q2

Como as três vigas têm a mesma flecha, cada uma tem como resultante kda soma das cargas P e assim poderemos escrever para a viga 1 e para aviga 3:

JPI +QI =3-( PI +P1 +P3) e

JP3 - Q 2 =3' (PI + P1 +P3 ) •

que permitem calcular Q I e Q2'

JQI =--( PI +P2 +P3 )-PI

3

276

QI =!L+!..L_~.p3 3 3 I

JQ2 =P3 -_.( PI +P2 +P3)

3

Q2 =f'P3 _!2_!..L3 3

Tomando-se agora a viga (2), que é a viga do meio e decompondo-se ocarregamento das cargas QI e Q2 em dois outros equivalentes, que nãoalteram as condições de equilíbrio, temos:

P2 IP2

QrQ2Ql ~ 2

r 1-

r-

b -f,-Q2 bt

viga 1 forças

QrQ22

Ql+Q22

Ql+Q22

r + rOlmomento

torsor

Assim, a solidariedade das vigas provoca um alivio na viga (2) correspon-dente à diferença das cargas QI e Q2 e um momento de torsão igual à semi-soma das forças Q I e Q2 multiplicada pela metade da largura da viga.Essa é a ação de torção nas lajes.O calculo exato das lajes é feito pela teoria da elasticidade.

Ação de membrana nas lajes

Quando os deslocamentos correspondentes às flechas aumentam, come-ça a aparecer a ação de membrana, em que a laje trabalha a suspensão,fornecendo solicitações de tração na placa que aumentam ainda mais asua resistência.A ação de membrana é como se ela se comportasse como um tecido presonos lados, ou seja, com predominância da ação do cabo nas duas direções.

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Lajes nervuradas

Quando se quer diminuir o seu peso próprio, se faz nervuras nas lajes, nasduas direções, para aliviar o peso. A laje nervurada só se justifica para vãossignificativos, por exemplo, acima de J O m x J O m.

1lrJ[][][J[][]]

DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD~

Reação das lajes

Determinação da reação das placas sobre as vigas de borda.Podemos imaginar que as reações ocorrem de acordo com o esquema deruptura das lajes. As lajes retangulares com cargas uniformementedistribuídas apresentam a configuração a seguir:

, \ '" 45° /, /, ," /45°

fy "'" n fy ,//, .tX-2-- ,2 -. 2 /'------------~r-------------------~,

"" <./ ,

45°,// -.....,450

, ,/\ 45° 45°r"~,

ex

278

fy

Placas - lajes

A carga que está no trapézio é descarregada no lado Rx e a carga que estáno triângulo é descarregada no lado e . A carga é determinada pela área

ydas figuras, multiplicada pela carga por unidade de área da laje.Essa carga é depois distribuída linearmente pela viga, dividindo-se a car-ga obtida pelo comprimento e

xda viga, no caso do trapézio, e e

y, no caso

do triângulo. Vejamos como ficam as expressões:Área do trapézio:

e" 2· e - ee-2·'+e s..x 2 r A I'

Arrapézio =-.I'

2 2 2 2

2 . e . f. - e " ex' -v _I'x V \' ; _._

Arrapé:io = t: =-2- - 4

A carga Qx é a área do trapézio multiplicada pela carga g por unidade deárea.

[ex . f.y ~/ JQ =« ----

r 2 4

A carga ao longo lado f.x

é

q x = Qr

~( . el'q .' . e/42

/\

q X = f.x

[e e 2 J Jy .v._

q r =« l-e: 4

Esta é a reação por metro do lado ~."Vejamos a reação qy:

el'eY

'2Q\. =« -2

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Page 6: Placas e Lajes

•...Iacas - lajes

2-,'c, =q 04Qy

qy =-

q y =

yq o

4fy

fyq) =s 04

Exercício:Determine as reações de uma laje maciça de concreto de 3 m x 4 m, comespessura de 8 em, revestimento de cerâmica, e que pesa, com a arga-massa de assentamento, 1000 N/m20Cargas sobre a laje:

Peso próprio: pp = 0,08 025000 = 2000 N/m2

Revestimento: pr = 1000 = 1000 N/m2

Sobrecarga: se = 2000 = 2000 N/m2

Carga total por área: g = 5000 N/m2

Cálculo das reações:

ex = 4 m (lado maior)

e, = 3 m (3 32 I Jqx=50000 "2-404q = 4687,50 N/mr

3q = 5000 0_) 4q.\ = 3750 Nlm

280