1 - INTRODUÇÃO

Os problemas de interação fluido estrutura são importantes em vários sistemas físicos,

Exemplos destes sistemas são: os componentes de um transbordador espacial,

navios, tanques de combustível, reatores nucleares e químicos, estruturas offshore,

barragens, reservatórios de agua, sistemas de tubulações.

Observa-se uma vasta aplicação nas áreas da engenharia civil, aeroespacial, nuclear,

naval e petroquímica, A Figura 1-1 mostra alguns exemplos de problemas de interação

fluido-estrutura. Nestes casos o fluido tem um papel muito importante na resposta

dinâmica das estruturas. Estes estudos estão também sendo atualmente muito aplicados

em áreas médicas. Analise de fluxo sanguíneo em veias e artérias.

Na engenharia, torna-se necessário o estudo dos efeitos da interação entre estruturas e

fluidos, a fim de se conhecer o real comportamento desses sistemas.

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 1-1- Exemplos de interação fluido em estruturas cilíndricas

(a) Estrutura transbordador aeroespacial, (b) Estruturas offshore, (c) Reservatório de

água, (d) Núcleo reator.

Uso sofisticado de cascas também estão empregados em mísseis, veículos espaciais,

submarinos, reatores nucleares, equipes de refinaria, entre outros.

Na Figura 1-2 apresenta um modelo numérico de interação fluido estrutura em casca

cilíndrica, caso e estudo

Estrutura desacoplada

Cavidade Acústica desacoplada

Cavidade - Estrutura acoplada

Figura 1-2: Modelo numerico IFE (ANSYS V.11)

A grande vantagem da casca cilíndrica, além da facilidade de fabricação, é sua

capacidade de resistir carregamentos através de esforços de membrana, o que permite a

construção de estruturas bastante leves e esbeltas. Esforços de flexão, quando presentes,

estão em geral restritos a pequenas regiões, como, por exemplo, os apoios. Apesar de ter

uma forma geométrica simples, a casca cilíndrica pode apresentar um complexo

comportamento quando submetida a solicitações externas, em virtude da sua não

linearidade geométrica e sensibilidade às imperfeições.

Cilindros de paredes finas aparecem como elementos de transporte de cargas

praticamente em todos os equipamentos industriais modernos, sendo usualmente

empregados para suportar cargas axiais e de pressão lateral.

Estrutura Casca cilíndrica (desacoplada)

Cavidade acústica (Desacoplada)

Estrutura casca-cavidade (sistema acoplado)

Além disso, este campo de conhecimento fornece uma grande contribuição para a

análise de estruturas hidráulicas ou hidrotécnica.

2 - JUSTIFICATIVA E RELEVÂNCIA

Componentes de centrais nucleares, reservatórios de líquidos, containers de

armazenamento, vasos sob pressão, circuitos tubulares, são caracterizadas por ser cascas

cilíndricas submetidas a solicitações de natureza dinâmica.

Muitas solicitações dinâmicas podem provocar esforços ou deformações que excedem

os limites toleráveis de resistência, e do bom funcionamento destas estruturas, levando-

as à deterioração ou mesmo ao colapso. Por tanto, o estudo do seu comportamento

dinâmico é de capital interesse e importância, para o cumprimento das normas de

funcionamento e a integridade destes componentes estruturais, e condição essencial para

uma avaliação correta das consequências de um acidente.

Essas solicitações dinâmicas sobre o elemento tipo casca são consequência da interação

fluido-estrutura. Além disso a casca cilíndrica circular é uma das mais aplicadas nas

várias áreas da engenharia, sendo frequente a utilização em depósitos (silos e

reservatórios), túneis de vento, indústria naval, aeroespacial, submarina, bem como a

aplicação em estruturas hidráulicas, hidrotécnica, etc.

Sendo importante a análise da interação fluido-estrutura para cascas cilíndricas

circulares retas, este trabalho espera aportar com soluções numéricas a possíveis

problemas estruturais nesta área.

3 - CARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMA

Neste pré-projeto, o problema de interação fluido-estrutura (IFE) está diretamente

ligado ao comportamento mecânico de estruturas tipo cascas cilíndricas.

Quando estas cascas estão submetidas às solicitações dinâmicas geradas pela ação de

fluidos acontecem deformações, chegando a passar os limites de resistência do

material, induzindo a um possível colapso da estrutura.

4 - OBJETIVOS

4.1 - Objetivos Gerais

Este trabalho pretende desenvolver um estudo teórico-analítico-numérico do

acoplamento clássico acústico-mecânico, através da formulação potencial (U--P0),

apresentada por Oslon & Bathe (1985) para estruturas tipo cascas cilíndricas (elemento

Shell).

Serão também repertoriados trabalhos realizados nesta área por outros autores. Estes

servirão de suporte no desenvolvimento da tese. Serão apresentados, também, os

aspectos teóricos relacionados com problema e desenvolvimento de algoritmos para

a análise dos casos utilizando o método de elementos finitos na discretização do

fluido e da estrutura.

4.2 - Objetivos Específicos

Destacam-se os seguintes objetivos específicos:

Estudar o fenômeno da interação fluido estrutura em cascas cilíndricas.

Realizar um programa para a resolução de modelos utilizando o método dos elementos

finitos.

Desenvolver estudos e análises de simulações utilizando o programa realizado na

tentativa de reproduzir e compreender os mecanismos de fenômenos envolvidos no

problema;

Analisar e identificar os modos de vibração de sistemas acoplados fluido-estrutura em

casca cilíndrica.

Validar os sub-programas implementados com o apoio de formulações analíticas

desenvolvidas e também com código(s) comercial(ais) (ANSYS, MATLAB, C++ e

outros);

Utilizar outros métodos numéricos como diferenças finitas, volumes finitos, método

sem malha (NEM- Meshless Numerical Method) e elemento de contorno nos problemas

de interação fluido-estrutura, comparando com o método dos elementos finitos,

mostrando suas vantagens e desvantagens, e/ou abordando aspectos que poderiam ser

mais favoráveis num outro caso.

5 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Esses problemas acoplados têm sido resolvidos por uma variedade de técnicas

numéricas que diferem entre si, principalmente na maneira como o fluido é modelado.

O método dos elementos finitos (MEF) tem se destacado nas últimas décadas, como

sendo uma poderosa ferramenta de análise, pois se caracteriza por ser versátil e de boa

precisão, Everstine (1995).

A estrutura pode ser usualmente modelada pelo método dos elementos finitos, que

inclui desde sólidos, vigas, placas, até mesmo elementos mais complexos como cascas,

estudado por Paula (2003). O fluido também pode ser modelado pelo método dos

elementos finitos ou de contorno (MEC): Rajakumar & Ali (1996). A combinação entre

as diversas técnicas numéricas foi utilizada por Júnior (2004) que aplicou o MEF-MEC

para o problema acoplado.

As soluções analíticas inspiraram alguns trabalhos importantes como Lamb (1945),

Blevins (1979,1990), entre outros. Seus textos consistem de equações que governam o

fenômeno, bem como apresentam as deformadas modais para diversas condições de

contorno. Hong & Kim (1995,1995) propuseram o estudo de uma formulação analítica

para análise de vibrações livres para o problema acústico–estrutural acoplado em uma

dimensão, duas e três dimensões.

Existem duas formulações clássicas que abordam o problema fluido-estrutura, as

Lagrangeanas e Eulerianas. A formulação U-P pode ser classificada dentro de um grupo

de formulações acústicas chamadas Eulerianas. Zienkiewicz & Newton (1969) foi um

dos primeiros trabalhos a aplicar essa abordagem e utilizava a pressão p como variável

nodal para o fluido e os deslocamentos u para a estrutura, então sendo chamada de U-P.

Outros pesquisadores Daniel (1980,1980) e Müller (1981) usaram uma formulação

similar. Porém, pela dificuldade numérica devido aos sistemas serem não simétricos

Everstine (1981) optou pelo potencial de velocidade como uma variável escalar para o

problema acústico (formulação U-).

Vale ressaltar que o programa ANSYS, baseia-se em outra formulação acústica (U-P),

todavia fornece bons resultados, quanto comparados com a solução analítica e também

com outra formulação acústica, o que pode ser comprovado no trabalho de Souza

(2007).

Porém, esse método impossibilitava a solução de problemas estáticos. Logo, Olson &

Bathe (1985) ampliou essa formulação, acrescentado termos relacionados à pressão

estática P0, assim chegando à formulação potencial simétrica (U--P0). Outros

pesquisadores utilizaram dela em seus trabalhos como: Galli & Pavanelo (1993,1994),

Casas & Pavanello (1996), Pedroso (1996), Barbosa & Pedroso (1997), Wang (1998),

Barbosa (1998), Barbosa, Souza & Pedroso (2006) e Souza (2007).

6 - METODOLOGIA

O estudo seguirá as seguintes etapas:

Cursar disciplinas que irão servir de base para o desenvolvimento da

tese.

Revisão da Literatura: Busca, estudo e sistematização de material

bibliográfico disperso na literatura

Realizar estudos teóricos diretamente aplicados na resolução dos

problemas que serão abordados;

Estudo de Formulações e Modelos: analíticos e numéricos.

Elaboração de Algoritmos e Programação de modelos.

Utilização de programas comerciais específicos de engenharia como

ANSYS na validação de Rotinas (subprogramas) e Simulações Computacionais.

Estudos de caso, visando à aplicação dos conhecimentos gerados no

entendimento e solução de casos reais na prática em engenharia.

7 - FORMULAÇÃO VARIACIONAL DO PROBLEMA ACOPLADO

As formulações de interação fluido-estrutura se caracterizam pelo acoplamento entre as

variáveis da estrutura e do fluido. Para a formulação baseada na velocidade potencial, a

estrutura é representada pelo campo de deslocamento (u), enquanto que a incógnita do

fluido está associada ao potencial de velocidades . Olson & Bathe (1985) introduziu a

variável relacionada com a pressão estática P0, chegando-se à formulação (U--P0),

caracteriza-se que o fluido apresenta como incógnitas o potencial de velocidades e

pressão estática P0.

A abordagem de acoplamento permite descrever o comportamento do sistema de

maneira integrado. A Figura 7-1 ilustra bem o acoplamento fluido-estrutura discretizada

por elementos finitos, onde os domínios do sólido e fluido são dados respectivamente

pelas regiões S e F, enquanto a superfície I define a interface.

Fluido

,U

U

P

Interface

F

SólidoS

I

Figura 7-1- Domínio do problema fluido-estrutura

O problema no domínio estrutura está submetido a algumas hipóteses iniciais

comportamento elástico linear, material isotrópico e homogêneo, com módulo de

elasticidade constante e que sofre pequenos deslocamentos se comparados com as

dimensões da estrutura. Para o sólido a análise variacional do problema dinâmico

apresentada por Bathe (1982) e é dada por:

dtdIfudSuudSC IITT

s

T

2

1

2

1

(1)

Onde:

Cs = a matriz de tensão-deformação do material.

s = densidade do sólido; u = vetor de deslocamento.

f I = vetor de forças na interface.

Considerando-se a variação do funcional da equação (1) em relação ao tempo igual a

zero, chega-se à expressão correspondente ao princípio dos trabalhos virtuais para o

sólido.

dIfudSuudSC IITT

s

T

(2)

Para o caso do fluido compressível, invíscido e que sofre pequenos deslocamentos o

funcional do problema acústico é dado por:

dtdIuPdFdFP N

I

fFf

0

2

02

11

2

1 (3)

Onde:

f = densidade do fluido

= potencial de velocidade do fluido

uN = deslocamento imposto externamente e normal ao contorno do fluido e positivo na

direção do fluido.

= rigidez volumétrica (Bulk Modulus)

Nota-se que a pressão em um ponto do fluido é a soma da pressão hidrostática P0 com a

pressão dinâmica relacionada com a velocidade potencial )( f

. Aplica-se o princípio

dos trabalhos virtuais impondo o funcional estacionário em relação à e P0. Chega-se a:

dIudIuP

dFdFdFPdFPdFPP

N

I

FN

F

FFF

0

2

0000 .1

(4)

Obtidas as expressões dos dois meios e considerando-se que os domínios apresentam a

mesma interface I, desenvolve-se a equação que possibilite o acoplamento entre esses

meios. A expressão final de acoplamento para o sólido é dada por:

dInudInPudIfudSuudSC IIT

F

ITEITT

s

T

0

(5)

Como os deslocamentos do fluido devem corresponder aos deslocamentos dos

elementos sólido na interface. Obtém-se a expressão final de acoplamento para o fluido:

dIundIunP

dFdFdFPdFPdFPP

ITI

F

IT

F

FFF

0

2

0000

1

.1

(6)

Aplica-se uma a discretização clássica das expressões de trabalhos virtuais (5) e (6) por

elementos finitos padrão e chega-se à formulação de acoplamento na forma matricial:

0

0

0

00

0

00

0

00

000

00

00

000

s

PPPS

FF

T

PSSS

PF

T

PFFS

T

FS

FF

SS R

P

U

KK

K

KK

P

U

C

CC

C

P

U

M

M

(7)

Onde:

MSS e MFF = matrizes de massa da estrutura e fluido respectivamente;

KSS e KFF = matrizes de rigidez da estrutura e fluido respectivamente;

CFS =matriz de acoplamento fluido-estrutura;

CPF, KPS = matrizes adicionais de acoplamento com a pressão estática.

KPP = matriz de rigidez associada à pressão estática.

A análise modal torna possível a obtenção das freqüências fundamentais de vibração do

sistema físico e suas respectivas formas modais. Para a análise do domínio da

freqüência considera-se que as partículas do sistema acoplado executam um movimento

harmônico em torno de uma posição de equilíbrio. Aplicando essa hipótese em (7) tem-

se que:

0

0

0

000

00

00

00

0

00

0

00

0

0

2

00 P

U

M

M

P

U

C

CC

C

P

U

KK

K

KK

FF

SS

PF

T

FSFS

T

FS

PPPS

FF

T

PSSS

.

(8)

Ou ainda:

0'2'' XMXCXK (9)

Apesar do problema de autovalor e autovetor da equação (8) ser quadrático, as matrizes

do sistema (K’, C’ e M’) são simétricas, como mostra a equação (9). A resolução torna-

se menos complicada se comparada com problemas assimétricos, através de uma

operação matricial simples como sugerida por Barbosa (1998). Assim, a formulação U-

-P0 permite a utilização de algoritmos clássicos de solução de problemas autovalores e

autovetores, pois as matrizes do problema acoplado são simétricas. Uma proposta para a

solução do problema de autovalores quadráticos é apresentada em Olson & Bathe

(1985) e Barbosa (1998).

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