Ministério da Educação

Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica

Instituto Federal Catarinense - Campus Avançado Sombrio

Curso de Licenciatura em Matemática

PLANO DE AULA

1 IDENTIFICAÇÃO:

Escola: Instituto Federal Catarinense – Campus Avançado Sombrio

Município: Sombrio

Disciplina: Matemática

Ano: 1º ano

Nível: Ensino Médio

Professores: Rabechy Machado Rodrigues e Thiano Trajano Lopes

Tempo estimado: 12 períodos (47 minutos cada)

2 TEMA:

3 CONTEÚDO: Função de primeiro grau.

4 JUSTIFICATIVA:

O conteúdo de funções é um conteúdo abrangente, e por conta disso

frequentemente os alunos apresentam dificuldades no seu aprendizado. Segundo os

parâmetros curriculares nacionais, não apenas se tratando do conteúdo específico de

função, mas como um todo, orienta-se trabalhar a matemática de forma integral.

Devemos observar que uma parte importante da Trigonometria diz respeito

às funções trigonométricas e seus gráficos. As seqüências, em especial

progressões aritméticas e progressões geométricas, nada mais são que

particulares funções. As propriedades de retas e parábolas estudadas em

Geometria Analítica são propriedades dos gráficos das funções

correspondentes. Aspectos do estudo de polinômios e equações algébricas

podem ser incluídos no estudo de funções polinomiais, enriquecendo o

enfoque algébrico que é feito tradicionalmente. (BRASIL, 1997, p. 43)

Portanto, o foco das orientações dos PCN’s apoia-se na ideia de que o aluno

deve adquirir uma flexibilidade para trabalhar com o conceito de funções, devido a suas

várias relações com outros conteúdos e até mesmo disciplinas. Pode-se dizer, então, que

o conteúdo de funções é muito importante para a matemática, e deve ser trabalhado

sempre de forma a instigar os alunos a construir seu conhecimento.

Os parâmetros curriculares nacionais

5 OBJETIVOS:

a) Traduzir situações-problema em funções de primeiro grau.

b) Diferenciar os diferentes casos particulares das funções de primeiro grau.

c) Representar graficamente uma função de primeiro grau.

d) Identificar se a função de primeiro grau é crescente ou decrescente.

e) Calcular as inequações apresentadas.

f) Representar graficamente nas retas reais o estudo dos sinais das

inequações.

6 CONTEÚDOS ENVOLVIDOS:

Equações do 1o grau, operações com frações, operações com polinômios.

7 ESTRATÉGIAS:

7.1 RECURSOS:

Quadro, pincel, computador com software de geometría dinámica.

7.2 TÉCNICAS:

Aula expositiva e dialogada, com auxílio de softwares de geometria dinâmica.

8 PROCEDIMENTOS:

8.1 PROBLEMATIZAÇÃO:

O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro

município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A

primeira cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de

R$ 350.000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por km (n), acrescidos de

um valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas apresentaram o mesmo padrão de

quantidade de serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do

ponto de vista econômico, qual equação possibilitará encontrar a extensão da rodovia

que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas

apresentadas?

8.2 HISTORICIZAÇÃO:

O saber matemático formalizado que atualmente conhecemos e divulgamos em

nossa prática docente, não foi construído de uma hora para outra, em um momento

único e isolado. As necessidades do homem, com os mais variados propósitos, fizeram

dela, através dos tempos, um estudioso dos problemas naturais, bem como de suas

causas e efeitos.

O conceito de função, tal qual o concebemos hoje, não fugiu a essa regra. Esse

conceito possui notável relevância na formação matemática de qualquer cidadão atuante

na sociedade contemporânea. Na linguagem do dia-a-dia é comum ouvirmos frases

como: “Uma coisa depende da outra” ou “Uma está em função da outra”. Não é raro

também abrirmos revistas e jornais e encontrarmos gráficos, sobre os mais variados

assuntos, mostrando a dependência entre os fatores em estudo.

A ideia de um fator variar em função do outro e de se representar essa variação

por meio de gráficos, de certa forma, já se tornou familiar em nossos dias. No entanto

essa forma de representação não foi sempre assim. O conceito de função sofreu várias

interpretações até chegar ao modernamente utilizado.

8.3 OPERACIONALIZAÇÕES DAS AULAS:

8.3.1 Primeira aula (2 períodos):

Em primeiro momento, inicia-se a aula explicando o que é uma função de

primeiro grau com um exemplo que possibilite os alunos a construir uma fórmula do

tipo 𝑎𝑥 + 𝑏. Então, explicar que isso é uma função de primeiro grau, ou seja, é uma

função 𝑓: ℝ → ℝ que associa todo número 𝑥 a um número real 𝑎𝑥 + 𝑏, sendo 𝑎 ≠ 0.

Explicar então, o que é domínio e imagem, e consequentemente o que significa 𝑓: ℝ →

ℝ.

Então, explicar-lhes que o formato 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 se chama fórmula geral da

função de primeiro grau, e que necessariamente temos que 𝑎 ≠ 0, pois se 𝑎 = 0, temos

uma função constante, ou seja, não existem variáveis e para todo valor de 𝑥 temos um

mesmo valor para 𝑦, que é o termo 𝑏 da função.

Também explicar que 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Em primeiro momento talvez se perguntem o

porquê disso, então explica-se que futuramente será estudado os números complexos, e

não se pode trabalhar funções da mesma forma com números complexos.

Explicar então, que o elemento 𝑎 da função é chamado coeficiente angular e o

elemento 𝑏 é chamado coeficiente linear. Também explicar que o coeficiente angular é

o que determina se a função será crescente ou decrescente, sendo crescente se 𝑎 > 0 e

decrescente se 𝑎 < 0, porém, avisá-los que isso será melhor trabalhado junto ao gráfico,

futuramente.

Por fim, mostrar que existem casos particulares de função do primeiro grau, que

é a função linear, quando 𝑏 = 0, a função identidade, que é uma função linear de forma

𝑓(𝑥) = 𝑥, ou seja, com 𝑏 = 0 e 𝑎 = 1, e por fim a função constante, que tem forma

𝑓(𝑥) = 𝑏, ou seja, 𝑎 = 0. Então, entregar uma lista de exercícios para ser resolvida em

casa, referente a essa primeira parte introdutória do conteúdo (anexo I).

8.3.2 Segunda aula (1 período):

Nesta aula, explicar o que é o zero da função de primeiro grau, sendo o valor de

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 que zere a função. Ou seja, o valor de 𝑥 que tenha como imagem 0.

Então, explicar o porquê da fórmula 𝑥 = −𝑏

𝑎, mas também os lembrar que isso é tudo

interpretativo, e que eles não precisam se ater a essa fórmula.

8.3.3 Terceira aula (2 períodos):

Nesta aula, será explicado tudo relacionado aos gráficos de funções de primeiro

grau. Mostrar, preferencialmente, com a ajuda de um software, para passar mais

segurança aos alunos, assim como trabalhar de forma mais flexível de acordo com as

necessidades. Explicar, então, que o gráfico de uma função de primeiro grau é uma reta

não paralela ao eixo das abscissas e das ordenadas (desde que 𝑎 ≠ 0), e o zero da

função, trabalhado na aula anterior, é o ponto onde a reta intercepta o eixo das

abscissas, assim como o 𝑏 é o ponto onde o a reta passa no eixo das ordenadas.

Explicar, então, que o gráfico de uma função de primeiro grau pode ser feito a

partir de dois pontos da função, ou seja, desde que haja a ordem da função, pode-se

achar dois pontos (𝑥, 𝑦) quaisquer no plano cartesiano, e então traçar uma reta passando

por esses dois pontos.

Agora, para o processo inverso, quando se tem o gráfico de uma função de

primeiro grau e o que queremos é a ordem da função, novamente precisamos de dois

pontos. Com esses dois pontos (𝑥, 𝑦), pode-se substituir os valores na forma geral da

função de primeiro grau, e então resolver um sistema para achar os coeficientes 𝑎 e 𝑏.

Por exemplo, se temos os pontos (−1, −6) e (3, 2) , podemos montar duas

equações: −6 = −𝑎 + 𝑏 e 2 = 3𝑎 + 𝑏. Com essas equações, é possível resolvermos um

sistema de equações, e achar os coeficientes da função, montando assim a ordem dela.

8.3.4 Quarta aula (1 período):

Nesta quarta aula, faz-se a análise de função crescente e decrescente, dessa vez a

partir dos gráficos, explicando que graficamente, se a reta estiver inclinada para baixo,

tem-se uma função decrescente, e se estiver inclinada para cima tem-se uma função

crescente. Também explicar graficamente o que significa ser uma função linear, ou seja,

a reta passar pela origem, e o que significa ser função constante, que é relacionado a ser

uma reta perpendicular ao eixo das ordenadas e paralela ao eixo das abscissas (para todo

𝑥 mantém um mesmo valor 𝑦).

Explicar então o que é taxa de variação média. Sendo X1 e X2 dois elementos do

domínio de uma função, e X2 > X1, a taxa de variação média da função em relação a x

pode ser expressa pelo quociente 𝐴

𝐵=

Y2−Y1

X2−X1, que pode ser simplificada de forma a restar

𝐴

𝐵= 𝑎 , ou seja, o coeficiente angular é a taxa de variação de uma função. Então,

entregar uma lista de exercícios referente aos conteúdos envolvendo zeros da função e

análise e construção gráfica (anexo II).

8.3.5 Quinta aula (2 períodos):

Nesta aula, primeiramente será explicado aos alunos sobre o estudo do sinal nas

funções de primeiro grau. Trata-se de encontrar o zero da função, e de acordo com o

coeficiente 𝑎, ou seja, se a função é crescente ou decrescente, encontrar para quais

valores de 𝑥 a função tem imagem positiva, negativa ou zero. Se a função for crescente,

qualquer 𝑥 > −𝑏

𝑎 terá valores positivos, e terá valores negativos para qualquer 𝑥 < −

𝑏

𝑎.

Já na função decrescente é o contrário, a função terá valores positivos para qualquer

𝑥 < −𝑏

𝑎, e terá valores negativos para todo 𝑥 > −

𝑏

𝑎.

Após o estudo do sinal, iniciar o conteúdo de inequações. Explicar que as

inequações de primeiro grau, apresentadas no formato 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0, por exemplo, nada

mais são do que determinar para quais valores de x a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 tem

imagem maior que zero. Então, junto ao estudo do sinal estudado a pouco, resolver

exemplos de inequações, verificando nos gráficos a veracidade dos resultados, etc.

8.3.6 Sexta aula (1 período):

Nesta aula, apresentar sistemas de inequações. Se tivermos duas inequações, por

exemplo: 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 e 𝑐𝑥 + 𝑑 < 0 , devemos buscar separadamente a resolução de

ambas inequações, chegando assim a dois intervalos diferentes em que a afirmação é

verdadeira. Após isso, para que tenhamos um 𝑥 que satisfaça ambas inequações, é

preciso fazer a intersecção dos conjuntos verdade encontrados, para que então

encontremos uma resposta para o sistema. Representar os conjuntos verdade na reta

real, para que haja um melhor entendimento dos alunos, e que eles consigam visualizar

melhor a intersecção.

8.3.7 Sétima aula (2 períodos):

Na sétima e última aula de conteúdo, apresentar aos alunos sobre inequação-

produto, que é uma desigualdade do tipo 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) > 0. Para resolver, estuda-se o

sinal de ambas funções, de forma a determinar em qual intervalo elas são positivas ou

negativas. Feito isso, fazer uma comparação na reta real mostrando os intervalos em que

os sinais são iguais ou diferentes. Por exemplo, se uma inequação-produto ter ambos

termos positivos ou negativos em um intervalo, quer dizer que naquele intervalo

qualquer valor produzirá valores maiores que zero. Cabe então aos alunos identificar

quais são os intervalos que eles precisam para satisfazer a inequação-produto, e isso

nada mais é que multiplicar os sinais encontrados nos intervalos, de forma a achar em

qual (is) intervalo (s) a inequação-produto é verdadeira.

Por fim, explicar sobre a inequação-quociente, que é basicamente igual a

inequação-produto, sendo que a única coisa que difere é que o denominador da

inequação-quociente não pode zerar, excluindo o valor do domínio. Então, entregar uma

lista de exercícios para ser feita em casa pelos alunos, referente a todo o conteúdo

envolvendo inequações (anexo III).

8.3.8 Oitava aula (1 período):

Nesta última aula, será aplicado um trabalho de revisão para a avaliação (anexo

IV). Esse trabalho engloba todos os últimos 11 períodos de conteúdo até então, e deverá

ser entregue ao professor antes do término da aula. Ele terá peso 2 e a avaliação que

será aplicada nos próximos 2 períodos terá peso 8. O trabalho será feito individual com

consulta. Após isso, encerra-se a aula.

9 AVALIAÇÃO:

A avaliação se dará de forma contínua e processual, visto que a avaliação deve

ser um instrumento de acompanhamento pedagógico a ser utilizado pelo professor de

forma mais complexa do que a simples dinâmica de medir o conhecimento do aluno

atribuindo-lhe valor. Também, ao final do conteúdo, será aplicado além do trabalho uma

avaliação individual.

9.1 CRITÉRIOS:

Os critérios serão a participação do aluno em sala de aula, a assiduidade dele,

seu interesse em buscar conhecimento e também o respeito com o professor e demais

colegas, além de apresentar ter aprendido corretamente os conteúdos.

8.2 INSTRUMENTOS:

Os instrumentos serão a observação constante do professor, além do trabalho

que será aplicado antes da avaliação, e a avaliação que será feita posteriormente.

Também nota-se o desempenho dos alunos nas listas de exercícios, pois com elas, os

alunos podem além de revisar o conteúdo, descobrir em que áreas estão com

dificuldades e assim procurar auxílio do professor.

10 REFERÊNCIAS:

SILVA, Claudio Xavier da; BARRETO, Benigno Filho. Matemática aula por aula. – 2.

ed. renov. – São Paulo: FTD, 2005.

Anexo I

Lista de exercícios – 01

1. Analisando as funções abaixo, definir qual o valor 𝒂 e o 𝒃 de cada uma delas:

a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 7

b) 𝑓(𝑥) = −7𝑥 −5

4

c) 𝑓(𝑥) = 16𝑥

d) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 18

2. Determinar se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes em função do

seu coeficiente 𝒂:

a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 8

b) 𝑓(𝑥) = −1

2𝑥 − 5

c) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 4

d) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 6

3. Classificar as funções abaixo como função linear, identidade ou constante:

a) 𝑓(𝑥) = 9

b) 𝑓(𝑥) = 11𝑥

c) 𝑓(𝑥) = √17

d) 𝑓(𝑥) = 𝑥

e) 𝑓(𝑥) = 19𝑥

Anexo II

Lista de exercícios - 02

01. (UNIFOR) A função 𝑓, do 1° grau, é definida por 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑘. O valor de 𝑘

para que o gráfico de 𝑓 corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

02. (UFF) O gráfico da função 𝒇 está representado na figura.

a) Determine o domínio de 𝒇.

b) Determine a imagem de 𝒇.

c) Analise o crescimento e decrescimento da função.

d) Determine os intervalos onde 𝑓 > 0, 𝑓 = 0 e 𝑓 < 0.

03. (FGV) O gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 passa pelos pontos (−1,3) e (2,7). O

valor de 𝒂 vale:

a) 5

3 b)

4

3 c) 1 d)

3

4 e)

3

5

04. Determine a função afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, sabendo que 𝑓(1) = 5 e 𝑓(– 3) = – 7.

Faça o gráfico da função.

05. Determinei a lei que define a função

representada no gráfico a seguir:

Anexo III

Lista de exercícios – 03

01. (UFPI) A função real de variável real, definida por 𝒇(𝒙) = (𝟑 – 𝟐𝒂)𝒙 + 𝟐, é

crescente quando:

a) 𝑎 > 0 b) 𝑎 <3

2 c) 𝑎 =

3

2 d) 𝑎 >

3

2 e) 𝑎 < 3

02. Resolva as inequações a seguir:

a) −4𝑥 − 1 < 0

b) 2𝑥 − 3 ≥ 𝑥

c) 𝑥 + 2 > 0

d) 3𝑥 + 5 ≤ 2

03. Resolva os sistemas de inequações a seguir:

a) {3𝑥 − 2 ≥ 7

−4𝑥 − 8 < 0

b) – 𝑥 + 4 < 𝑥 + 2 < 3𝑥 − 2

c) {−3𝑥 + 5 ≤ 02𝑥 − 5 < 𝑥

04. Resolva as inequações-produto a seguir:

a) (𝑥 − 3) . (𝑥 + 6) > 0

b) (3𝑥 − 12) . (−2𝑥 + 6) ≥ 0

c) (4𝑥 − 2) . (−3𝑥 + 1) . (𝑥 + 5) ≥ 0

05. Resolva as inequações-quociente a seguir:

a) 𝑥−2

𝑥−3 ≥ 0

b) 3𝑥−2

𝑥−1≤ 0

05. Entre as opções a seguir, qual é a que melhor representa a idade de Maria?

Ana tem duas vezes a idade que Maria terá daqui a dez anos, entretanto,

a idade de Ana não supera o quádruplo da idade de Maria.

a) A idade de Ana é maior que a idade de Maria.

b) A idade de Maria é menor que a idade de Ana.

c) A idade de Ana é maior que 10 anos.

d) A idade de Maria é maior que 10 anos.

e) A idade de Maria é menor que 10 anos.

06. Uma empresa que trabalha com cadernos tem gastos fixos de R$400,00 mais o custo

de R$3,00 por caderno produzido. Sabendo que cada unidade será vendida a R$11,00,

quantos cadernos deverão ser produzidos para que o valor arrecadado supere os gastos?

a) 50 cadernos

b) 70 cadernos

c) 90 cadernos

d) A arrecadação nunca será superior

e) Os gastos nunca serão superiores

Anexo IV

Trabalho sobre funções do primeiro grau

Nome: __________________________________________ Data: __________

01. Analisando o gráfico a seguir responda as seguintes questões:

a) Determine a lei da função;

b) Determine o domínio e a imagem da

função;

c) Classifique a função como crescente ou

decrescente;

d) Calcule 𝑓(2) + 𝑓(5)

02. Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 4 e classifique como crescente ou

decrescente.

03. Uma loja compra um pacote de mercadorias do distribuidor pelo valor de

R$300,00 e é informado que o gerente de vendas pretende vender cada unidade por

R$5,00. Com isso podemos afirmar que o lucro final desta empresa será dado em

função das x unidades vendidas. Responda:

a) Qual a lei de formação desta função?

b) Qual será o intervalo dos valores de 𝑥 em que teremos 𝑓(𝑥) < 0?