Plataforma computacinal para

projecto de sistemas de vácuo

Dissertação apresentada na Faculdade de Ciências e Tecnologia

da Universidade Nova de Lisboa para obtenção do

Grau de Mestre em Engenharia Física

João Trigueiro Santos

Orientador: Prof. Doutor Orlando Teodoro

Monte de Caparica, Maio de 2011

1

Agradecimentos

Gostaria de agradecer ao professor Orlando Teodoro, por me propor o

desenvolvimento deste projecto, e pela orientação dada durante este último ano.

2

Resumo

Neste projecto desenvolveu-se uma aplicação em Java para simulação de sistemas

de vácuo. A aplicação permite simular uma série de sistemas com topologias típicas de

sistemas de vácuo primário e alto-vácuo. Cada sistema permite o dimensionamento das

bombas de vácuo, câmaras, tubos, medidores de pressão, e a alteração do estado de

válvulas em tempo real, sendo a característica principal da plataforma poder observar a

evolução da pressão no tempo para cada sistema.

O algoritmo usado para o cálculo da evolução da pressão tem por base um novo

método, proposto por Livesey[2], para o cálculo do fluxo entre dois pontos a pressões

diferentes, unidos por um tubo. O fluxo é calculado a partir da solução de equações

termodinâmicas de fluxo adiabático. Este modelo de cálculo abrange todos os regimes

de escoamento, e não tem limitações práticas importantes.

O modelo usado foi comparado com o modelo clássico. Analisou-se a diferença dos

modelos para fluxos de gás em regime turbulento e em modo choked, e comparou-se a

evolução da pressão em sistemas de vácuo primário e alto vácuo.

3

Abstract

In this project, a Java application for simulating vacuum systems was developed.

The application allows the user to simulate a series of systems with typical topologies of

primary vacuum and high-vacuum systems. Each system allows the sizing of pumps,

vacuum chambers, ducts, gauges, and the change of valves‟ states in real time. The main

feature of the platform is to show the pressure evolution over time for each system.

The algorithm used to model the pressure evolution is based on a new method,

proposed by Livesey[2], to calculate the flow between two volumes at different

pressures, connected by a single duct. The flow is calculated from the solution of the

thermodynamic equations for adiabatic flow. This model covers all flow regimes, and

has no important practical limitations.

The Livesey model was compared with the classical model. The differences of the

models for choked and turbulent flow are analyzed, as well as the pressure evolution in

primary and high vacuum systems.

4

Índice de conteúdos

Agradecimentos ...........................................................................................................................1

Resumo ........................................................................................................................................2

Abstract ........................................................................................................................................3

Índice de conteúdos .....................................................................................................................4

Índice de Figuras ..........................................................................................................................6

I. Introdução e enquadramento ...................................................................................................8

1. Objectivos.............................................................................................................................8

2. Projecto de sistemas de vácuo .............................................................................................8

3. Fluxos e condutâncias ........................................................................................................10

3.1. Fluxo gasoso ................................................................................................................12

3.2. Modelo clássico de condutância ..................................................................................16

3.3. Introdução ao novo modelo ........................................................................................19

3.4. Evolução da pressão no tempo....................................................................................21

3.5. Comparação dos modelos de cálculo ..........................................................................23

II. Plataforma computacional .....................................................................................................27

1. Conteúdo ............................................................................................................................27

1.1. Sistemas de vácuo primário.........................................................................................27

1.2. Sistemas de alto-vácuo ................................................................................................30

2. Linguagem de programação Java .......................................................................................32

3. Desenvolvimento ...............................................................................................................33

4. Aplicações ..........................................................................................................................34

III. Fundamentos teóricos ...........................................................................................................35

1. Fluxo contínuo ....................................................................................................................35

2. Método de cálculo geral do fluxo contínuo ........................................................................37

3. Fluxo choked .......................................................................................................................39

4. Simplificação para fluxos e pressões baixas .......................................................................40

5. Fluxo molecular ..................................................................................................................40

5.1 Condutância molecular.................................................................................................41

6. Desgaseificação ..................................................................................................................42

6.1 Evolução da desgaseificação no tempo ........................................................................46

6.2 Fluxo de desgaseificação ..............................................................................................47

IV. Implementação dos fundamentos teóricos ..........................................................................48

5

1. Cálculo do fluxo contínuo ...................................................................................................48

2. Cálculo de Kc ......................................................................................................................49

3. Cálculo do Mach Number de entrada .................................................................................51

3.1. Método da falsa posição .............................................................................................51

4. Critérios de convergência ...................................................................................................53

4.1. Número de Reynolds ...................................................................................................53

4.2. Mach Number ..............................................................................................................53

5. Optimização do tempo de cálculo ......................................................................................54

5.1. Número de Reynolds ...................................................................................................54

5.2. Mach Numbers ............................................................................................................54

6. Taxa de desgaseificação .....................................................................................................55

7. Bombas de vácuo e evolução da sua velocidade de bombeamento ..................................58

7.1. Bombas com pressão mínima ......................................................................................60

7.2. Bombas com pressão mínima e máxima .....................................................................61

8. Determinação e optimização do intervalo de tempo entre iterações ................................63

9. Contribuição dos tubos de ligação para o volume ..............................................................65

V. Apresentação e discussão de resultados................................................................................66

1. Sistemas ensaiados.............................................................................................................66

2. Análise de resultados .........................................................................................................68

VI. Descrição da interface ...........................................................................................................72

VII. Conclusão .............................................................................................................................75

Referências Bibliográficas ..........................................................................................................76

6

Índice de Figuras

Figura 1- Exemplo de sistema de vácuo usado em análise de superfícies .................................................. 8

Figura 2 – Contribuições de fluxo ............................................................................................................ 12

Figura 3 – Fluxo laminar [5] .................................................................................................................... 13

Figura 4 – Fluxo turbulento [5] ................................................................................................................ 13

Figura 5 – Colisões com as paredes do tubo em regime molecular [5] ..................................................... 14

Figura 6 – Reservatório e tubo através do qual se faz o bombeamento[1] .............................................. 16

Figura 7 – Valor de Y em função da razão b/a (b<a) [4] .......................................................................... 17

Figura 8 – Valor de K em função da razão b/a (b<a) [4] .......................................................................... 18

Figura 9 – Condutância de tubos de diferentes diâmetros em função da pressão [1] .............................. 19

Figura 10 – Câmara com ligação a bomba de vácuo ............................................................................... 21

Figura 11 – Comparação de condutâncias em regime contínuo .............................................................. 23

Figura 12 – Comparação do fluxo para diferentes valores de K (Pu /Pd) ................................................... 24

Figura 13 – Desvio dos modelos de Livesey (Model) e de Knudsen em relação à solução de Sharipov e

Seleznev da equação de Bolztmann para um tubo longo ........................................................................ 25

Figura 14 – Comparação dos resultados do modelo de Livesey (linhas sólidas) com resultados

experimentais para o fluxo de ar por um orificio circular ........................................................................ 26

Figura 15 – a) Sistema Primário 1 ; b) Sistema Primário 2 [1] .................................................................. 27

Figura 16 – a) Sistema de Alto-Vácuo 1; b) Sistema de Alto-Vácuo 2 [1] .................................................. 29

Figura 17 – Processos até à execução de um programa em java ............................................................. 32

Figura 18 – Esquema da portabilidade dos programas escritos em Java ................................................. 33

Figura 19 - Parâmetros do fluxo adiabático ............................................................................................ 35

Figura 20 - Ciclo de cálculo do fluxo contínuo .......................................................................................... 38

Figura 21 – Processos de desgaseificação ............................................................................................... 43

Figura 22 – Diagrama de fluxos para o cálculo do fluxo contínuo ............................................................ 48

Figura 23 – Diagrama de fluxos para o cálculo de Kc .............................................................................. 50

Figura 24 – Exemplo: 1ª iteração ............................................................................................................ 52

Figura 25 - Exemplo: 2ª iteração ............................................................................................................. 52

Figura 26 – Decréscimo exponencial ....................................................................................................... 56

Figura 27 – Taxa de desgaseificação para o conjunto de 4 pontos da tabela 1 ........................................ 57

Figura 28 – Taxa de desgaseificação com transição “suave” ................................................................... 58

Figura 29 – Bomba de vácuo ................................................................................................................... 59

Figura 30 – Evolução da pressão num sistema de alto-vácuo, com diferentes volumes internos das

bombas .................................................................................................................................................. 59

Figura 31 – Comparação do efeito dos parâmetros ‘a’ e ‘b’ nas velocidades de bombeamento............... 61

Figura 32 – Evolução de velocidade de bombeamento com pressão mínima e máxima........................... 62

Figura 33 – Comparação dos resultados para diferentes valores da percentagem mínima de variação da

pressão ................................................................................................................................................... 64

Figura 34 – Ilustração da contribuição dos tubos para o volume das câmaras ........................................ 65

Figura 35 – Sistema primário para avaliação de resultados .................................................................... 66

Figura 36– Sistema de Alto-Vácuo para teste .......................................................................................... 67

Figura 37 – Comparação de resultados para a simulação do sistema de vácuo primário (Esquema 1) .... 68

Figura 38 – Comparação de resultados para a simulação do sistema de alto vácuo (Esquema 2) ............ 69

Figura 39 – Ensaio para análise do regime turbulento. ........................................................................... 70

Figura 40 – Comparação das condutâncias moleculares no sistema de alto vácuo .................................. 71

Figura 41 – Botões Start/Stop/Pause e vista do sistema.......................................................................... 72

Figura 42 – Indicadores de tempo e pressão e botões dos gráficos respectivos ....................................... 73

Figura 43 – Barra de controlo da velocidade de cálculo .......................................................................... 73

7

Figura 44 – Barra de controlo de válvula de fluxo controlado .................................................................. 74

Figura 45 - Pressão inicial ....................................................................................................................... 74

8

I. Introdução e enquadramento

1. Objectivos

Este projecto tem como objectivo desenvolver uma plataforma de cálculo para

sistemas de vácuo. A plataforma permitirá projectar, manipular e simular a evolução de

sistemas de vácuo primário e alto-vácuo, baseados em modelos pré-definidos. A

simulação deverá suportar todos os regimes de escoamento, assim como permitir uma

manipulação simples dos parâmetros que definem o sistema.

2. Projecto de sistemas de vácuo

Os sistemas de vácuo são hoje em dia uma parte essencial de inúmeros projectos

científicos e industriais, usados nas mais variadas aplicações, que se estendem a

praticamente todas as áreas de engenharia. Projectar correctamente estes sistemas é um

passo de extrema importância, pois o custo e o tempo despendido nesse trabalho podem

aumentar consideravelmente quando o resultado não corresponde ao esperado

(projectado).

Figura 1- Exemplo de sistema de vácuo usado em análise de superfícies

Uma das partes importantes do projecto de um destes sistemas consiste em

conseguir prever correctamente a evolução da pressão no seu interior, com base nos

componentes constituintes do sistema (bombas de vácuo, tubagem, etc.), e em

dimensionar estes componentes por forma a se obter a evolução de pressão desejada.

9

Para sistemas de vácuo primário, o processo é relativamente simples, mas para

sistemas de alto e ultra-alto-vácuo os cálculos necessários são mais elaborados. A

modelação do fluxo de ar bombeado do sistema torna-se mais complexa, devido à

mudança de regime (contínuo para molecular), e a contribuição da desgaseificação do

gás das paredes internas do sistema deixa de ser desprezável, pelo que fazer previsões

da evolução da pressão no tempo para estes sistemas pode ser uma tarefa difícil.

Por este motivo, uma plataforma computacional capaz de projectar sistemas de

vácuo terá grande utilidade, pois irá permitir o seu dimensionamento com relativa

facilidade, poupando-se tempo e evitando eventuais erros nos cálculos. Para além da sua

utilidade em áreas profissionais, é também bastante útil para um estudante poder

aprender e treinar a operação destes sistemas através de uma plataforma virtual. A

simulação deverá aproximar-se da realidade, de forma a que se possam realizar

alterações ao sistema em tempo real (abrir/fechar válvulas, etc.) e avaliar o sucesso ou

insucesso de certa operação, o que será bastante didáctico.

Com estes objectivos, propõe-se neste projecto o desenvolvimento de uma

aplicação disponível online, capaz de simular a evolução temporal de sistemas de alto-

vácuo, abrangendo todos os regimes de escoamento. Usando uma série de modelos

genéricos, pretende-se que o utilizador da plataforma possa definir e alterar os

parâmetros principais do modelo, tais como a velocidade de bombeamento da(s)

bomba(s) de vácuo, as características das conexões usadas (tubos cilíndricos,

rectangulares, o seu comprimento, raio, etc.), válvulas, volume da(s) câmara(s), etc.

Serão usadas na plataforma computacional topologias típicas pré-definidas, de sistemas

de vácuo primário e alto-vácuo, e espera-se que o uso destes modelos seja suficiente

para abranger os tipos de sistemas de vácuo mais importantes, e que a plataforma criada

sirva como uma boa substituição a um sistema real.

É possível encontrar no mercado outras plataformas de simulação de sistemas

vácuo, como o VacMaster 2.0®, ou o VacSim

®, embora a distribuição deste tenha sido

aparentemente descontinuada (o site não se encontra disponível). Ambos os softwares

têm a possibilidade de construir sistemas de vácuo com base em listas de bombas

presentes no mercado, materiais dos componentes, escolha da natureza do gás presente

no sistema, entre outras características, que são boas qualidades neste tipo de

plataforma. No entanto, a interface dos programas é pouco intuitiva, e a sua aplicação

para uso didáctico fica bastante comprometida por isso.

10

A plataforma VacMaster 2.0® baseia-se nos princípios da condutância clássica, que

tem em conta os regimes de escoamento viscoso, molecular, e transitório, mas não o

regime turbulento, nem o limite de velocidade do gás ao escoar por um tubo (velocidade

do som). A base física da plataforma computacional criada neste projecto será feita a

partir de um modelo de cálculo de fluxos proposto por Livesey [2], que suporta todos os

regimes de escoamento e tipos de tubos, e é portanto um avanço em relação ao modelo

de condutância clássico. Espera-se que o uso deste novo modelo permita simular um

sistema de vácuo de forma mais realista, e com menos limitações.

3. Fluxos e condutâncias

A geração de vácuo num sistema fechado consiste essencialmente na remoção de

átomos/moléculas de gás do interior desse sistema. Como a taxa de transferência do gás

determina a evolução da pressão no interior do sistema, a descrição desta grandeza é

essencial para a física da geração de vácuo.

A taxa de transferência de gás define-se como a quantidade de gás transportada por

unidade de tempo. Como não existe apenas uma grandeza para determinar uma

quantidade de gás, pode-se calcular esta taxa de várias formas, quer seja pelo volume de

gás transportado, massa de gás ou quantidade de partículas/moles.

Considere-se a taxa de partículas:

Recorrendo à equação dos gases, o número de moléculas pode ser substituido por:

Considerando a temperatura constante, tem-se:

11

Em ciência de vácuo, é comum usar-se a taxa , chamada de fluxo pV, ou throughput.

Esta taxa é proporcional à taxa , e tem a vantagem de ser mais fácil de trabalhar, pois

a sua gama de valores é mais pequena, e as grandezas pressão e volume são

relativamente simples de medir num sistema de vácuo, ao contrário da massa ou número

de particulas. Esta taxa é também referida como taxa de fluxo (flow rate), ou

simplesmente fluxo, representa-se habitualmente pela letra Q e tem as unidades

.

O volume de gás bombeado relaciona-se com o fluxo Q pela expressão:

(1)

Em que corresponde ao volume de gás bombeado por unidade de tempo, ou

velocidade de bombeamento.

A entrada/saída de gás num sistema fechado produz uma variação de pressão no seu

interior. Para uma câmara de volume V, num intervalo de tempo , durante o qual se

pode considerar o fluxo total Q constante, esta variação de pressão é dada por:

(2)

Nesta equação, o fluxo Q corresponde à soma de todos os fluxos de entrada e saída

de gás da câmara, que se dividem essencialmente em 3 contribuições:

A parcela refere-se ao fluxo gasoso, que é correspondente ao gás “livre” retirado

da câmara, corresponde ao fluxo de desgaseificação, e ocorre devido à desorção das

particulas de gás das paredes da câmara, e corresponde ao fluxo de gás que entra na

câmara devido a possíveis fugas (falhas no isolamento do sistema).

12

Figura 2 – Contribuições de fluxo

O fluxo por fugas pode ser facilmente simulado a partir de um valor directo,

constante ou não, mas o fluxo gasoso e o fluxo por desgaseificação têm de ser

modelados, o que se pode tornar bastante complexo. Algumas formas de modelação

destes fluxos serão descritas no decorrer deste trabalho, uma vez que são essenciais para

poder prever o comportamento de um sistema de vácuo. Além disso será introduzido

um novo modelo de cálculo para o fluxo gasoso , que, embora seja mais complexo

que os modelos clássicos, espera-se que produza melhores resultados, e que não tenha

limitações na sua aplicação.

3.1. Fluxo gasoso

Em sistemas de vácuo, o bombeamento do gás do interior de uma câmara é feito

através de bombas de vácuo, ligadas à câmara geralmente por um tubo/orifício com uma

certa condutância. A bomba expele o gás que está no seu interior para a atmosfera,

fazendo com que a pressão num dos lados do tubo diminua, e criando assim um

gradiente de pressão até ao outro lado, ligado à câmara. Como os gases se deslocam da

pressão alta para a pressão baixa, este gradiente cria um fluxo de gás ao longo do tubo,

do interior da câmara para o interior da bomba, diminuindo assim a pressão na câmara.

O conhecimento das leis que determinam o comportamento deste fluxo é vital para

poder projectar um sistema de vácuo e conhecer o seu desempenho, pois não é possível

prever a evolução da pressão no interior do sistema sem saber a quantidade de gás que

entra/sai, por unidade de tempo.

À medida que a pressão do sistema diminui, a natureza do fluxo ao longo do tubo

vai-se alterando. Ao bombear-se o gás a partir da pressão atmosférica, o fluxo irá passar

pelos regimes contínuo, intermédio e molecular.

13

Fluxo contínuo

O fluxo contínuo pode ter duas formas de propagação, laminar e turbulenta. Estes

tipos de fluxo ocorrem quando o percurso livre médio das partículas é bastante inferior

às dimensões do tubo, e o comportamento do gás é governado pelas suas forças de

inércia e viscosidade, assim como as forças de atrito com a superfície do tubo.

Fluxo viscoso ou laminar - Este regime ocorre quando a velocidade do fluxo é

relativamente baixa, e as moléculas do gás deslocam-se todas na mesma direcção, com

as camadas exteriores a deslocarem-se mais lentamente, devido ao atrito com a

superfície do tubo. O gás desloca-se em camadas paralelas, cada uma com velocidade

aproximadamente constante, e a velocidade das partículas é tanto maior quanto mais

afastadas da superfície estiverem.

Figura 3 – Fluxo laminar [5]

Fluxo turbulento - Em regime turbulento, o gás desloca-se caoticamente, criando

remoinhos e vortexs que dificultam a sua propagação. Este tipo de fluxo ocorre quando

a velocidade e a pressão do gás são altas. Quando a velocidade do gás aumenta, as

forças de atrito das camadas exteriores aumentam também, causando maior

desaceleração nesta zona, que leva à deflexão das camadas interiores, criando um fluxo

mais caótico.

Figura 4 – Fluxo turbulento [5]

14

Para saber o tipo de fluxo em regime contínuo, usa-se o número de Reynolds, que

representa o quociente entre as forças de inércia e as forças de viscosidade do gás ao

percorrer o tubo. Para um fluxo Q, o número de Reynolds tem o valor de [2]:

(3)

Em que é o fluxo de gás, M a massa molar do gás, a constante dos gases, a

temperatura, o perimetro da secção, e a viscosidade do gás.

Definindo , em que corresponde ao Shape Factor da secção do

tubo, podemos dizer que o fluxo se encontra em regime de escoamento laminar quando

, e em regime turbulento quando , estando em regime de

trânsição entre estes dois valores[2].

Fluxo molecular

Com a diminuição da pressão e da velocidade do gás, o regime do fluxo altera-se de

contínuo para molecular. O livre percurso médio das partículas começa a aumentar, e as

forças de viscosidade do gás tornam-se gradualmente menos relevantes. Em regime

contínuo, as partículas colidem maioritariamente entre si, devido ao baixo percurso livre

médio, mas, com a diminuição da pressão e da velocidade, este número de colisões

começa a diminuir, e as colisões das partículas com as paredes do tubo deixam de ser

desprezáveis. Em regime intermédio, os dois tipos de colisões ocorrem com a mesma

frequência, e em regime molecular a quantidade de colisões entre moléculas torna-se

desprezável, e são as colisões com as paredes do tubo que ditam o comportamento do

fluxo.

Figura 5 – Colisões com as paredes do tubo em regime molecular [5]

15

Uma forma de determinar a transição do fluxo contínuo para molecular é usando o

número de Knudsen, definido por:

(4)

Este expressão corresponde ao quociente entre o livre percurso médio das partículas do

gás e o diâmetro do tubo. Assim, quanto maior for valor de Kn, maior será o número de

colisões das moléculas com as paredes do tubo (maior corresponde a menos colisões

com moléculas, e menor D corresponde a uma distância menor entre colisões com o

tubo).

O regime diz-se contínuo enquanto , e torna-se molecular a partir de

. Entre estes dois valores, o fluxo encontra-se no regime intermédio.

O livre percurso médio é dado por:

(5)

Em que é a constante de Boltzmann, T a temperatura, P a pressão e d o diâmetro

médio das partículas do gás. Para o ar a 20º, o percurso livre médio é aproximadamente:

Substituindo o valor do percurso livre médio na equação (4), podemos usar o valor

da pressão média no tubo para determinar a natureza do regime. Considerando o gás

como ar, a 20ºC, chega-se às seguintes relações[4]:

Fluxo contínuo - mbar cm

Fluxo molecular - mbar cm

Fluxo intermédio - mbar cm

16

Estas condições são aplicáveis a um tubo cilíndrico, uma vez que D representa o

diâmetro do tubo. No entanto, podem ser usadas como aproximações para outras

geometrias, considerando D a menor dimensão linear da secção do tubo, ou usando o

diâmetro hidráulico (13).

3.2. Modelo clássico de condutância

Figura 6 – Reservatório e tubo através do qual se faz o bombeamento[1]

Os tubos num sistema de vácuo actuam como as resistências num sistema eléctrico,

isto é, dificultam a passagem do gás/corrente, diminuindo a velocidade de

bombeamento do sistema. Conhecendo a condutância do tubo (inverso da impedância) e

a diferença de pressão aos terminais do tubo, é possível calcular o valor do fluxo, a

partir da expressão:

(6)

em que C é a condutância do tubo. No modelo clássico, esta condutância calcula-se com

base no conhecimento do regime de escoamento do gás. Neste capítulo serão

apresentadas as expressões clássicas para o cálculo da condutância em regime viscoso,

molecular e intermédio, para o ar a 20ºC.

Condutância em regime viscoso

A condutância em regime contínuo, num tubo cilíndrico, é dada pela expressão:

(7)

17

Em que e L correspondem ao diâmetro e ao comprimento do tubo, em cm, e

corresponde à pressão média do tubo, em mbar.

Para um tubo de secção rectangular, a condutância viscosa é dada por:

(8)

Em que e correspondem ao comprimento de cada lado da secção, em cm. A

variável Y depende da relação , da seguinte forma:

Figura 7 – Valor de Y em função da razão b/a (b<a) [4]

Condutância em regime molecular

A condutância em regime molecular, para o ar a 20ºC, num tubo cilíndrico, é dada

pela expressão:

(9)

Para um tubo de secção rectangular, a condutância molecular será dada por

18

(10)

Em que K depende também da razão , de acordo com o seguinte gráfico:

Figura 8 – Valor de K em função da razão b/a (b<a) [4]

Condutância em regime intermédio

No regime intermédio, o valor da condutância pode-se obter através da soma dos

valores da condutância nos regimes contínuo e molecular. Assim, para um tubo

cilíndrico:

E para um tubo de secção rectangular:

19

Figura 9 – Condutância de tubos de diferentes diâmetros em função da pressão [1]

Na figura 9 pode-se ver a transição de regimes, traduzida na evolução da

condutância de um valor constante, a pressões baixas, correspondentes ao regime

molecular, para valores dependentes da pressão, na zona de regime viscoso. Como as

expressões usadas para calcular o valor da condutância dependem directamente do

regime do fluxo, o seu uso pode comprometer a continuidade dos resultados. Para além

disto, este modelo clássico de condutância não está correctamente adaptado ao regime

turbulento, e produz resultados menos reais neste regime.

Por estes motivos, decidiu-se abandonar o modelo clássico de cálculo de fluxos,

baseado nas equações de condutância, e decidiu-se implementar o modelo proposto por

Livesey[2] para o calculo de fluxo.

3.3. Introdução ao novo modelo

O fluxo através de um tubo ou orifício é normalmente calculado usando o valor da

sua condutância, a partir de expressões adequadas ao regime de escoamento.

Quando a velocidade do fluxo é muito alta, estas expressões são imprecisas, pois o

fluxo pode alcançar um estado de velocidade máxima – fluxo choked, em que alcança a

velocidade do som. Uma forma de solucionar este problema é resolver as equações

termodinâmicas de fluxo adiabático. Esta solução traz consigo alguns problemas, pois a

resolução destas equações torna-se bastante difícil para pressões e fluxos baixos, devido

20

ao elevado grau de convergência necessário para chegar a um bom resultado nestas

circunstâncias.

O algoritmo aqui usado foi proposto e publicado por Livesey[2], e permite o

cálculo do fluxo entre dois pontos a diferentes pressões, separados por um tubo, e é

valido em todos os regimes de escoamento. A solução é feita através da solução das

equações termodinâmicas para pressão e fluxos maiores, e do uso de simplificações

destas equações para pressões e velocidades mais baixas, de modo a não se terem os

problemas de convergência já referidos. O fluxo total será dado pela expressão:

(11)

Onde Qv é o fluxo contínuo, e Qm o fluxo molecular.

A função é a uma função do número de Knudsen. Como o valor de vai

ser obtido directamente a partir da condutância molecular do tubo, esta função é

necessária para ponderar o seu valor adequadamente ao regime do fluxo. Como o valor

do número de Knudsen quantifica a transição do regime contínuo para molecular, a

função depende do seu valor, e é definida por:

(12)

Sendo L o comprimento do tubo, e:

A que a variável corresponde ao diâmetro hidráulico do tubo. Este termo é útil

quando se trabalha com tubos de secção não circular, pois permite encontrar um

diâmetro “equivalente”, e assim usar as expressões habituais para tubos cilíndricos.

Pode ser calculado pela expressão:

(13)

21

O número de Knudsen aqui usado tem o valor de:

(14)

O calculo dos fluxos e será descrito em pormenor nos capítulos III e IV. O

método de cálculo tem alguma complexidade, e considera-se que a descrição presente

no artigo publicado por Livesey[2] esta bastante condensada, e pode ser até de difícil

interpretação. Por esta razão, o modelo apresentado neste trabalho apresenta uma

descrição mais detalhada de alguns dos passos necessários para o cálculo do fluxo, em

particular do fluxo contínuo .

3.4. Evolução da pressão no tempo

Considere-se o seguinte sistema:

Figura 10 – Câmara com ligação a bomba de vácuo

Este sistema consiste numa câmara de volume , à pressão , ligada por um tubo

a um volume mais pequeno, , que por sua vez tem uma saída de gás com velocidade

de bombeamento .

Pode-se considerar este sistema como o equivalente a uma câmara ligada a uma

bomba de vácuo, de velocidade de bombeamento S, por um tubo de condutância C,

sendo que o volume representa o interior da bomba, onde se dão os processos físicos

que permitem bombear o ar da câmara. representa o fluxo por desgasificação das

paredes da câmara 1.

Para calcular a variação das pressões e é necessário calcular primeiro o valor

do fluxo . Como o fluxo entre estes dois volumes faz variar o valor das pressões, o

22

valor do fluxo altera-se com elas, num processo contínuo. Tendo em conta que pelo

modelo usado nesta plataforma[2] não é possível chegar a uma expressão analítica

directa para o valor do fluxo, não vai ser também possível encontrar uma expressão

analítica para a evolução da pressão no tempo, uma vez que o fluxo tem de ser

recalculado sempre que as pressões se alteram. Para resolver este problema, é necessário

simular a evolução temporal do sistema num processo iterativo infinitesimal, onde em

cada passo o sistema avança no tempo um intervalo infinitesimal , e durante o qual se

pode considerar o fluxo constante. Para um intervalo , a variação das pressões e

é dada por:

Para o volume 1:

Para o volume 2:

O fluxo de saída devido à velocidade de bombeamento S é dado por:

Consequentemente, tem-se:

Estas equações podem ser simplificadas para uma equação mais geral, que tem a forma:

Sendo o somatório de todas as parcelas de fluxo a entrar ou sair do volume .

Após o cálculo de e , pode-se “avançar” com o sistema no tempo.

23

3.5. Comparação dos modelos de cálculo

Relativamente ao método clássico aqui apresentado, o modelo proposto por

Livesey, usado no programa, tem a vantagem de se adequar ao regime turbulento, e de

ter em consideração a ocorrência de fluxo choked. Para além destas vantagens directas,

a transição de regimes é feita de forma mais contínua, uma vez que as contribuições do

fluxo contínuo e molecular estão sempre presentes, com a particularidade de o fluxo

molecular evoluir gradualmente, devido à ponderação com a função do número de

Knudsen (12).

De acordo com a publicação de Livesey[6], este modelo produz bons resultados,

coerentes com dados publicados, teóricos e experimentais. Fornece uma solução única

(no sentido de consistir num único modelo) para o cálculo de fluxo em quaisquer

condições, tubos curtos e longos, diferenças de pressão pequenas ou altas, qualquer

regime de escoamento, com suporte para o fluxo choked, o que faz deste modelo uma

solução bastante adequada ao uso numa plataforma computacional.

Podemos ver no gráfico seguinte a diferença dos valores obtidos pelos dois

modelos para a condutância de um tubo de 20 cm de comprimento e 2 cm de diâmetro,

em função da pressão média no tubo:

1 10 100 1000

100

1000

10000

100000

Condutâ

nci

a (

l/s )

Pressão (mbar)

Modelo Classico

Modelo Livesey

Figura 11 – Comparação de condutâncias em regime contínuo

24

A diferença dos modelos nas pressões muito altas, onde ocorre o regime turbulento,

é claramente visível por este gráfico. O modelo clássico não tem em consideração as

turbulências do fluxo ao atingir certas pressões/velocidades, turbulências estas que

interferem com o “livre” escoamento do gás. Por este motivo, o modelo clássico

mantém a variação linear da condutância com a pressão média, enquanto que no modelo

de Livesey a condutância cresce mais lentamente quando a pressão se aproxima da

pressão atmosférica (e o regime se torna turbulento), como se prevê teoricamente.

Outra diferença importante entre os modelos é a do cálculo do fluxo para diferenças

de pressão altas nos terminais de um tubo. A partir de certo valor da razão entre estas

pressões, o fluxo atinge a sua velocidade máxima, e entra em regime choked. Este tipo

de situações ocorre em vários processos/experiências que envolvem sistemas de vácuo,

e é portanto importante mostrar como o valor do fluxo se altera nesta situação:

1 10

0,01

0,1

1

10

100

1000

Q (

mb

ar

l /s

)

Pressure ratio

Modelo Classico

Modelo Livesey

Figura 12 – Comparação do fluxo para diferentes valores de K (Pu /Pd)

Podemos ver neste gráfico a evolução do fluxo ao longo de um tubo de 50 cm de

comprimento e 2 cm de diâmetro, em função da razão K entre as pressões aos terminais

do tubo, Pu e Pd. A pressão mais baixa, Pd, é mantida a 0.1 mbar, e aumentou-se

gradualmente o valor da pressão Pu. Neste ensaio, o fluxo entrou em modo choked

quando o valor de K é sensivelmente igual a 7.5. A partir deste valor, podemos observar

pelo gráfico que os modelos deixam de produzir o mesmo valor para o fluxo Q. Como o

modelo de Livesey tem em consideração a limitação da velocidade do fluxo, os valores

25

nesta zona são mais pequenos. A consideração deste limite é tanto mais importante

quanto maior for o valor de K, pois será também maior a diferença entre os valores dos

dois modelos.

A grande desvantagem do modelo de Livesey é a sua complexidade, em particular

o tempo de cálculo necessário para obter resultados coerentes. Isto acontece porque o

processo de cálculo do fluxo implica uma série de processos iterativos, e da resolução

de algumas equações sem solução analítica.

Para o uso em cálculos onde a precisão dos resultados não é muito importante, ou

para simples resolução de problemas didácticos, o modelo clássico é mais

recomendável, uma vez que é bastante simples de implementar, e produz bons

resultados na maioria dos casos. No entanto, esta plataforma computacional deve estar

preparada para qualquer situação, pelo que a escolha do modelo proposto por Livesey é

obviamente a melhor escolha, relativamente ao modelo clássico.

Existem ainda uma série de outros modelos baseados em expressões empíricas e

soluções numéricas, e que têm grande utilidade em certos casos práticos, mas cuja

aplicação está geralmente restrita a circunstância particulares (como tubos longos,

orifícios, diferenças de pressão muito altas, etc.), ou têm alguma limitação teórica. O

modelo proposto por Livesey e adoptado neste plataforma não tem estas limitações

práticas dos outros modelos, e é aplicável a todos os tipos de fluxos, assim como

qualquer comprimento de tubo. A publicação do modelo[6] está acompanhada por

algumas comparações com resultados experimentais e com os resultados produzidos por

outros modelos. Estas comparações indicam que o modelo produz resultados correctos,

em concordância com os modelos já existentes e com resultados experimentais

publicados.

Figura 13 – Desvio dos modelos de Livesey (Model) e de Knudsen em relação à solução de Sharipov e Seleznev da equação de Bolztmann para um tubo longo

26

Figura 14 – Comparação dos resultados do modelo de Livesey (linhas sólidas) com resultados experimentais para o fluxo de ar por um orifício circular

27

II. Plataforma computacional

1. Conteúdo

A plataforma computacional é constituída por uma série de sistemas de vácuo, onde

será possível para cada um simular a sua evolução no tempo. Estes sistemas descrevem

topologias tipicamente usadas em projectos de sistemas de vácuo, e estas devem ser

simples o suficiente para poderem ser usadas como material didáctico, mas também

complexas o suficiente para que possam ter utilidade prática em projectos de

engenharia.

Serão implementados os seguintes sistemas de vácuo:

Sistema de vácuo primário com bombeamento por bomba rotativa

Sistema de vácuo primário com bombeamento por bomba rotativa + bomba roots

Sistema de alto-vácuo com bombeamento por bomba rotativa + bomba

Turbodrag

Sistema de alto-vácuo com bombeamento por bomba rotativa + bomba difusora,

com bypass

Todos os sistemas têm uma câmara de bombeamento com medidor e pelo menos

uma válvula de entrada de ar na câmara.

1.1. Sistemas de vácuo primário

Figura 15 – a) Sistema Primário 1 ; b) Sistema Primário 2 [1]

28

Sistema primário 1

Este sistema tem uma topologia simples, e corresponde a uma bomba rotativa ligada

a uma câmara de vácuo pelo tubo C1 e válvula V1. Tem ainda uma válvula de entrada

de ar, V2, e um medidor de pressão, M1. O sistema tem as seguintes características:

Tabela 1 – Características do Sistema Primário 1

* - Predefinição

Sistema primário 2

Este sistema é ligeiramente mais complexo que o sistema primário 1. Possui duas

bombas de vácuo, rotativa e roots, ligadas em série através do tubo C1. A bomba roots

está ligada à câmara de vácuo, pelo tubo C2 e válvula V1, a câmara tem um medidor de

pressão M1, duas válvulas de entrada de ar, V2 e V3, sendo a válvula V3 de fluxo

controlado. O sistema tem as seguintes características:

29

Tabela 2 – Características do Sistema Primário 2

Figura 16 – a) Sistema de Alto-Vácuo 1; b) Sistema de Alto-Vácuo 2 [1]

30

1.2. Sistemas de alto-vácuo

Sistema de alto-vácuo 1

Consiste num sistema de alto-vácuo relativamente simples. Uma bomba rotativa

está ligada a uma bomba Turbodrag, através do tubo C1 e válvula V1. A bomba

Turbodrag está ligada à câmara de vácuo também por um tubo e válvula, C2, e V2. A

válvula V3 serve para entrada de ar, e os sensores M1 e M2 medem a pressão à entrada

da bomba rotativa e no interior da câmara, respectivamente. O sistema tem as seguintes

características:

Tabela 3 – Características do Sistema de Alto-Vácuo 1

31

Sistema de alto-vácuo 2

Consiste num sistema semelhante ao anterior, mas com uma bomba de difusão, em

vez da Turbodrag. Como a bomba de difusão funciona com aquecimento de óleo, não

pode ser exposta a pressões altas com o óleo aquecido, pelo que é necessário um bypass

à bomba, feito pela válvula e tubo V3 e C3, respectivamente. Por este mesmo motivo, o

programa deverá informar o utilizador quando a bomba de difusão estiver exposta a

uma pressão demasiado alta (maior que 0.1 mbar habitualmente). O sistema tem as

seguintes características:

Tabela 4 - Características do Sistema de Alto-Vácuo 2

32

Tabela 5 - Características do Sistema de Alto-Vácuo 2

2. Linguagem de programação Java

O Java é uma linguagem de programação em classes, com uma sintaxe similar à do

C++. Permite a criação de GUI (Graphic User Interface), para o desenvolvimento de

programas que requeiram uma interacção com o utilizador. Os seus programas podem

ainda ser executados através de um web browser, conhecidos por “applets”.

Uma das principais e mais úteis características do Java é a sua portabilidade. Isto

significa que um programa escrito em linguagem Java deverá correr de forma igual em

qualquer sistema operativo/hardware que suporte esta linguagem. Isto é alcançado

compilando o código inicial para um código intermédio, denominado Java Bytecode em

vez de compilar directamente para a “linguagem da máquina” (Machine Code). As

instruções presentes no Java Bytecode são análogas às de Machine Code, mas são

desenhadas para serem lidas por uma máquina virtual (Java VM), escrita

especificamente para o hardware do computador em questão.

Figura 17 – Processos até à execução de um programa em java

Isto permite que o mesmo programa, escrito com o mesmo código, possa correr em

qualquer PC, desde que este tenha uma máquina virtual específica para as suas

características (sistema operativo e hardware), pois a máquina virtual de Java será capaz

de ler o Java Bytecode, e convertê-lo para o Machine Code do PC onde está a correr.

33

Podemos ver no esquema seguinte o caminho de um ficheiro de código, escrito num

ficheiro de extensão .java. Este é compilado para um ficheiro .class, que depois será

lido pela máquina virtual (Java VM) de cada computador diferente.

Figura 18 – Esquema da portabilidade dos programas escritos em Java

A dupla conversão de código implica que o programa corra mais lentamente que o

mesmo programa escrito noutra linguagem (que não tenha esta característica). No

entanto, a tecnologia Java tem evoluído, e já disponibiliza compiladores “Just-in-Time”,

que compilam o Java Bytecode para Machine Code durante a execução do programa.

Ao longo dos anos, esta adição à VM foi optimizada ao ponto da sua performance

rivalizar com a da linguagem C.

3. Desenvolvimento

O desenvolvimento da plataforma começou com a escrita em linguagem de

programação do modelo físico proposto para o cálculo de fluxo entre dois pontos,

separados por uma condutância, à qual se seguiram alguns testes de avaliação, para

determinar se o algoritmo foi escrito correctamente. O modelo físico para o calculo de

fluxo encontra-se descrito no capitulo III.

Após esta fase inicial, avaliou-se a melhor forma de adaptar este cálculo de fluxo à

simulação da evolução de pressão no tempo num sistema de vácuo completo. Foi

estudada a forma como varia a pressão em função do valor do fluxo, como se controla o

avanço do sistema no tempo, ou como se simula a velocidade de bombeamento das

34

bombas de vácuo, entre outros pormenores. Estas implementações estão descritas no

capitulo IV.

Após a conclusão da fase do estudo da implementação do algoritmo, procedeu-se ao

desenvolvimento da interface da plataforma, com a implementação das topologias dos

sistemas de vácuo primário e alto vácuo propostos. Os componentes essências da

interface do programa estão descritos no capitulo VI.

4. Aplicações

Esta plataforma de cálculo será bastante útil para uma vasta gama de aplicações,

pois qualquer projecto em que um sistema de vácuo esteja envolvido poderá beneficiar

do seu uso.

A plataforma poderá ser útil para projectar e/ou dimensionar os diversos

componentes que compõem um sistema - os tubos que fazem as ligações, o modelo de

bomba a usar (tipo, velocidade, etc.), quanto tempo poderá o sistema demorar a atingir a

pressão final, o valor desta pressão final, entre muitas outras hipóteses.

Outra vantagem desta plataforma é a sua utilidade didáctica. Por ser possível aceder

pela internet e ter uma interface intuitiva, será possível aprender diversos conceitos

sobre vácuo, fluxos, condutância, etc., de uma forma simples e experimental.

Os alunos poderão alterar diversos componentes do sistema, ligar/desligar válvulas

e bombas, e saber assim quais as consequências das suas acções/alterações. A prática

neste tipo de operações deverá evitar erros posteriores em laboratório, poupando tempo

e evitando que material se danifique.

35

III. Fundamentos teóricos

A equação geral de fluxo (11) apresentada no capítulo I.3.3 pressupõe o cálculo do

fluxo contínuo e do fluxo molecular, Qv e Qm. Neste capítulo será descrito o cálculo

destes valores, e de outras grandezas necessárias, como os Mach Numbers do gás à

entrada e saída de um tubo de ligação, ou o darcy friction factor, um factor que

quantifica a relevância das perdas de energia do fluxo devido ao atrito do gás com as

paredes do tubo e devido às turbulências internas criadas pelo próprio gás. Além dos

valores do fluxo contínuo e molecular, descreve-se ainda um modelo de cálculo para o

fluxo de desgaseificação, causado pela desorção de moléculas de gás das superfícies

internas do sistema.

1. Fluxo contínuo

Considere-se o seguinte sistema:

Figura 19 - Parâmetros do fluxo adiabático

O gás irá fluir do volume a pressão Pu (upstream pressure) para o volume a

pressão Pd (dowstream pressure), através do tubo que faz a ligação. O termo Ma

corresponde ao Mach Number (fracção da velocidade do som) do gás, T0 a temperatura

do gás parado (a temperatura ao longo do tubo não é constante) e Q o valor do fluxo

induzido pela diferença de pressões.

Considera-se inicialmente o gás na câmara, à pressão Pu. Ao deslocar-se pelo tubo,

o gás aumenta de velocidade, atingindo a velocidade máxima à saída deste. Os valores

Man, Pn, Tn, e Max, Px, e Tx correspondem ao Mach number, pressão e temperatura à

entrada e saída do tubo, respectivamente.

36

O cálculo do fluxo contínuo é baseado nas equações de fluxo adiabático, em

particular uma equação que nos dá a relação dos Mach numbers de entrada e saída do

tubo com a sua geometria.

(15)

Em que é a razão dos calores específicos, e o head loss, definido por:

(16)

Este termo corresponde à contribuição da geometria do tubo na equação (15). O termo

é um coeficiente de perdas de fluxo devido a obstruções no tubo, tais como cantos

(um ângulo de 90º corresponde a nc=1). A variável corresponde a uma alternativa ao

comprimento do tubo, aqui chamada de “comprimento efectivo”, e é usado no cálculo

do fluxo contínuo como substituto do comprimento real. O termo corresponde ao

Darcy friction factor, cujo cálculo será descrito mais a frente.

O comprimento efectivo é dado por:

Pode-se ainda chegar à seguinte relação, verdadeira quando o fluxo está em regime

viscoso laminar (em oposição a turbulento):

(17)

Aqui, corresponde à conductância viscosa do tubo, calculada à pressão .

corresponde ao termo , sendo a constante dos gases, a área da secção

do tubo, a massa molar do gás e a sua temperatura.

Conhecendo o valor do Mach Number de entrada é possível determinar o valor do

fluxo contínuo, que será dado por:

37

(18)

A partir do valor de (3), é possível calcular o Darcy friction factor, ,

necessário para a determinação do fluxo. Para o escoamento viscoso laminar, com

, tem-se:

(19)

Em regime turbulento, , é calculado pela expressão:

(20)

Em que corresponde à rugosidade das paredes do tubo. Para o regime de transição,

pode ser obtido através de uma interpolação linear entre os valores limite (

), isto é, os valores podem ser obtidos pela equação da recta que

une os dois pontos.

2. Método de cálculo geral do fluxo contínuo

No início dos cálculos, só se tem conhecimento das pressões à entrada e saída do

tubo, Pu e Pd. Para iniciar o cálculo do fluxo contínuo é preciso conhecer primeiro o

regime de escoamento, ou seja, o valor do número de Reynolds. Porém, este valor só

pode ser calculado conhecendo previamente o valor do fluxo, pela equação (3), pelo que

é necessário começar por assumir arbitrariamente um valor do número de Reynolds, e

efectuar os cálculos a partir daí. Usando este valor, calcula-se o fluxo correspondente, e

usa-se depois o valor desse fluxo para voltar a calcular o número de Reynolds.

38

Figura 20 - Ciclo de cálculo do fluxo contínuo

Começa-se por assumir um valor para o número de Reynolds (e consequentemente

um regime de escoamento). O Darcy friction factor é calculado com base neste valor, e

depois usado para a determinação do fluxo. Este valor de fluxo é depois usado para

recalcular o número de Reynolds, dando inicio a uma nova iteração. Repetindo este

processo, os valores irão convergir, ou seja, a cada iteração do ciclo os valores de cada

variável aproximam-se cada vez mais do seu valor “real”. O processo acaba quando se

atingir o grau de convergência desejado, dado por um valor de variação mínima

escolhido para uma das variáveis.

Para o fluxo contínuo normal (não choked), a relação entre os Mach Numbers de

entrada e saída do tubo é a seguinte:

(21)

Esta equação define apenas em função de , o que permite eliminar

da equação (15), e assim resolvê-la para encontrar . Conhecendo o Mach Number

de entrada, o fluxo pode ser calculado pela equação (18).

39

3. Fluxo choked

Dentro do tubo, o gás não pode ultrapassar a velocidade do som. Assim, a

velocidade máxima possível do fluxo é atingida quando . Neste cenário, o

fluxo encontra-se choked, e o seu cálculo terá de ser feito tendo este limite em

consideração.

A velocidade do fluxo irá depender da razão entre as pressões à entrada e saída do

tubo. Existe uma razão mínima entre as pressões a partir da qual o fluxo atingirá a

velocidade do som na saída do tubo. Assim, se a razão entre as pressões for maior que

este valor, o fluxo estará choked. O valor da razão entre pressões mínima é dado por:

(22)

Para calcular este valor, é preciso primeiro calcular o valor correcto de .

Assumindo primeiro um valor para o número de Reynolds (como se explicou

anteriormente), o valor de pode ser encontrado a partir da solução da equação (15),

com . A partir daqui é possível calcular o fluxo, usando a equação (18).

Calcula-se depois o número de Reynolds pela expressão (3), e repete-se o ciclo, até ao

grau de convergência desejado, como já foi descrito.

Usando agora o valor obtido de para calcular o , compara-se este valor com

o de K. Sendo:

Se , então o fluxo encontra-se choked. Neste caso, o fluxo é calculado

usando a expressão:

(23)

40

4. Simplificação para fluxos e pressões baixas

Para pressões e fluxos baixos, a solução das equações termodinâmicas torna-se

muito difícil de alcançar, uma vez que o número de iterações necessárias para alcançar o

mesmo grau de convergência sobe bastante. Para resolver este problema, podem-se usar

algumas aproximações.

Estas aproximações devem ser usadas quando o seguinte critério for verdadeiro:

(24)

Se esta inequação for verdadeira, então podemos determinar o fluxo contínuo

directamente, através das seguintes expressões:

Se , tem-se:

(25)

Em que corresponde à condutância viscosa do tubo, calculada à pressão .

Se , tem-se:

(26)

Para encontrar o número de Reynolds correcto, usa-se o mesmo método usado no cálculo

normal, isto é, assume-se um valor inicial, e repete-se o cálculo até à convergência desejada.

5. Fluxo molecular

Para o cálculo do fluxo molecular usa-se a expressão habitual para o cálculo de

fluxos, com recurso à condutância do tubo, mas com algumas alterações no cálculo

desta. Assim, o fluxo molecular terá o valor de:

41

(27)

Sendo a conductância molecular, cuja cálculo será explicado a seguir, e a

diferença de pressões .

5.1 Condutância molecular

A condutância molecular é calculada a partir da expressão:

(28)

Em que é a conductância molecular duma secção do tubo, e a probabilidade de

trânsmissão do tubo (duct transmission probability), ambas calculadas especificamente

para o tipo de secção (tubo cilíndrico ou tubo rectangular).

A condutância molecular de uma abertura é dada por:

(29)

Em que A é a área da secção do tubo.

Condutância tubo cilíndrico:

Para o tubo cilíndrico, pode ser calculado da seguinte forma:

(30)

Em que R é o raio do tubo, e o comprimento equivalente, obtido através da equação:

42

Condutância tubo rectangular:

Sendo os parâmetros do tubo: , com , e .

Define-se

, e compara-se com o valor de . Se ,

então .

A partir daqui pode-se calcular pelas seguintes expressões:

Finalmente:

(31)

6. Desgaseificação

Os diferentes graus de vácuo dividem-se em:

Vácuo primário – 1013 mbar a 10-3

mbar

Alto vácuo – 10-3

mbar a 10-8

mbar

Ultra-alto vácuo – a partir de 10-8

mbar

Em vácuo primário e alto vácuo, a contribuição da desgaseificação do gás das

paredes do sistema para a pressão final é relativamente desprezável, embora para as

pressão mais baixas em alto vácuo esta já tenha relevância. Se não houvesse fluxo de

desgaseificação, e só fosse necessário bombear o gás que se encontra inicialmente

43

“livre” dentro do sistema, toda a tecnologia de vácuo seria bastante mais simples, e

alcançar pressões na zona de ultra-alto vácuo seria uma tarefa muito menos árdua.

A desgaseificação num sistema de vácuo consiste na libertação de partículas de gás

presentes nas paredes das câmaras/tubos/etc. para o sistema, aumentando a sua pressão.

Figura 21 – Processos de desgaseificação

Existem uma série de processos que contribuem para a libertação de partículas de

gás pela superfície de um material. Estas podem penetrar pelo exterior, por permeação e

difusão, ou podem ser adsorvidas na superfície, criando uma ligação de atracção, e ser

posteriormente desorvidas, quando a partícula adquire energia suficiente para quebrar

essa ligação. O processo que maior efeito tem na pressão dos sistemas de vácuo é o de

desorção/adsorção. Este processo será aqui analisado, de forma a poder acrescentar a

sua contribuição no cálculo da evolução da pressão no sistema [3].

Para uma molécula adsorvida na superfície de um material, a probabilidade de esta

se libertar, por unidade de tempo, é dada por:

(32)

Em que é a frequência de oscilação da molécula, uma espécie de número de

tentativas de “libertação” por segundo, é a energia de activação para desorpção,

a constante de Boltzmann e a temperatura.

44

A quantidade de moléculas desorvidas por unidade de tempo e por unidade de área

pode ser descrita pela equação:

Em que corresponde ao número de moléculas adsorvidas por unidade de área.

Para aumentar a precisão do cálculo, pode-se ter ainda em conta o número de

moléculas novas adsorvidas por unidade de tempo, por unidade de área, que é dado por:

Em que „ ‟ é definido como a taxa de moleculas a atingir a superfície, por unidade

de area, e „ ‟ é a probabilidade de uma molécula que atinge a superfície ser adsorvida,

ou coeficiente de acomodação (sticking coefficient).

A função „ ‟ pode ser calculada da seguinte forma:

Em que „ ‟ é a concentração de moléculas do gás, e a sua velocidade térmica

média. O valor de pode ser calculado por:

Em que „ ‟ é a massa de uma molécula, a constante de Boltzmann e a

temperatura.

A concentração „ ‟ pode ser obtida a partir da lei dos gases, e é dada por:

45

Substituindo o valor de e , tem-se:

(33)

Que também pode ser escrito na forma:

Em que é a massa molar do gás, em kg/mol, e a constante dos gases.

O coeficiente de acomodação „ ‟ será função da temperatura da superfície e da sua

cobertura (quantidade de área sem moléculas adsorvidas), e é dado por:

(34)

em que é a fracção de área ocupada, e corresponde ao valor de „ ‟ para , à

temperatura . O valor da fracção de área ocupada é dado por:

Sendo o número máximo de moléculas possível de adsorver.

A função pode ser simplificada para dar a fracção de área disponível, pelo que

será dada por:

Uma vez que corresponde à fracção de área ocupada.

46

Número de moléculas numa monocamada

Uma monocamada consiste numa camada superficial com espessura de 1 átomo,

constituída por átomos adsorvidos na superfície dos materiais do sistema de vácuo.

Considerando uma molécula de diâmetro „ ‟, e assumindo que as moléculas formam

uma grelha quadriculada, o número de moléculas na monocamada (completa) por

unidade de área é dado por:

Para o caso de o gás ser ar, podemos considerar o diâmetro médio das moléculas

como aproximadamente 0.3 nm. O número de moléculas por unidade de área neste caso

será de aproximadamente

6.1 Evolução da desgaseificação no tempo

Uma vez que o sistema avança no tempo diferencialmente, é possível calcular o

número de moléculas a ser desorvidas e adsorvidas independentemente para cada

instante. Assumindo que inicialmente toda a superfície está coberta por moléculas do

gás adsorvidas (monocamada completa), para o primeiro instante:

Com

Para o próximo cálculo, terá o valor de , e o número novo de

moléculas adsorvidas será actualizado pelo valor , pelo que .

O número total de moles retiradas/acrescentadas ao gás da câmara por

adsorção/desorção, no intervalo de tempo , é dado por:

47

sendo a area da superfície, e o número de Avogadro. A taxa de transferência de

molés de gás para o sistema é portanto dada por:

6.2 Fluxo de desgaseificação

Usando a equação dos gases, é possível saber o valor do fluxo de desgaseificação:

(35)

O valor deste fluxo conclui as grandezas necessárias para o calculo da evolução da

pressão, e – fluxo gasoso, fluxo de desgaseificação, e fluxo de fugas, sendo

que o fluxo de fugas é característico de cada sistema, e o seu valor tem de ser indicado

directamente pelo operador. Pode-se agora proceder à implementação dos conceitos

descritos neste capítulo a um sistema de vácuo completo, e avaliar os algoritmos

(processos iterativos, resolução de funções sem solução analítica, etc.) necessários para

o cálculo do fluxo gasoso, com base no modelo de Livesey.

48

IV. Implementação dos fundamentos teóricos

1. Cálculo do fluxo contínuo

Tal como já foi referido, o cálculo do fluxo contínuo entre dois pontos a pressões

diferentes, usando o método proposto por Livesey, não tem uma solução analítica.

Assim, é necessário um processo iterativo cíclico, onde as mesmas variáveis são

recalculadas consecutivamente, para chegar a uma convergência nos resultados. O

algoritmo utilizado consiste em:

Figura 22 – Diagrama de fluxos para o cálculo do fluxo contínuo

49

Começando por assumir um número de Reynolds para os cálculos, a primeira tarefa

será determinar se o fluxo se encontra choked. Se , o fluxo alcançou a

velocidade do som, e tem de ser calculado por outra expressão. O seu valor será obtido a

partir do valor de , como indica a equação (23).

No caso contrário, o algoritmo segue para o cálculo do fluxo contínuo “normal”.

Começando por usar o valor do número de Reynolds inicial (arbitrário), calcula-se o

Darcy friction factor e o Mach Number de entrada. A partir deste valor é possível

calcular o fluxo, de acordo com a equação (18).

Para confirmar que o fluxo calculado está em concordância com o número de

Reynolds utilizado no início do ciclo para o calculo, o seu valor é recalculado, pela

equação (3). Este novo valor é depois comparado com o número de Reynolds anterior.

Se o critério de convergência for validado, retorna-se o valor do fluxo contínuo

calculado. Caso contrário, recomeça-se o cálculo (com o novo número de Reynolds). O

valor deste e de outros critérios de convergência está definido no capítulo IV.4

2. Cálculo de Kc

No diagrama anterior, o passo inicial corresponde ao cálculo do valor de . Para

encontrar este valor, é necessário calcular o valor do fluxo assumindo que este alcançou

a sua velocidade máxima, ou seja, que a velocidade à saída do tubo é igual à velocidade

do som ( ).

Assim, usa-se um processo iterativo cíclico semelhante ao anterior, com alguma

simplificação nas contas, e usa-se depois o valor do fluxo máximo calculado para

retornar o valor de .

Como se pode ver na figura 23, o algoritmo tem o mesmo ciclo do cálculo do fluxo

contínuo. Começa-se por assumir um valor para o número de Reynolds, e repetem-se os

cálculos do fluxo até se obter a convergência desejada. A diferença para este cálculo

está do Mach Number de entrada, que é feito a partir da condição .

50

Figura 23 – Diagrama de fluxos para o cálculo de Kc

Simplificação para fluxos e pressões baixas

No caso da condição da equação (24) ser verdadeira, o algoritmo da figura 22 não é

utilizado, e o fluxo pode ser calculado directamente. No entanto, como este cálculo

depende do regime de escoamento, é necessário confirmar o valor do fluxo calculado

com o valor do número de Reynolds assumido, da mesma forma descrita anteriormente.

51

3. Cálculo do Mach Number de entrada

Para calcular o Mach number de entrada no tubo é necessário resolver a equação

(15). Como esta equação não tem solução analítica, não é possível determinar

directamente o valor de , mesmo conhecendo todas as outras variáveis. Para isso é

necessário implementar um algoritmo de procura de raízes, tipicamente através de

processos iterativos.

O primeiro passo para qualquer um destes algoritmos é transformar a função na

forma , e procurar depois a raiz da função, isto é, o valor de para o qual

é zero.

Assim, para a equação (15) tem-se:

Existem vários métodos para a procura da raiz de uma função, entre eles o método

da bissecção, o método de Newton, ou o método da falsa posição, entre outros. O

método aqui usado será o da falsa posição, pela sua rapidez e robustez de execução, pois

combina as vantagens o método da bissecção e o método da secante (existem outros

algoritmos mais eficazes que este, que tiram partido das vantagens de vários métodos ao

mesmo tempo, mas cuja implementação é de maior complexidade).

3.1. Método da falsa posição

Para começar são necessários dois limites laterais, isto é, dois valores limites de ,

e , tais que . Isto assegura que a função tem um zero no

intervalo . Para o nosso caso, estes valores serão os limites possíveis de , ou

seja, 0 e 1.

Partindo destes pontos, o método irá iterativamente cortar o intervalo, para ,

sempre contendo entre estes pontos a raiz da função. O passo para cada iteração consiste

em:

52

Começa-se por construir a recta que une a . Definindo o ponto como

a raiz desta recta.

Para qualquer função , e intervalo , terá o valor de:

Figura 24 – Exemplo: 1ª iteração

Se tiver o mesmo sinal que , como no exemplo da figura 24, ou seja, se

a raiz estiver entre e , o intervalo da próxima iteração terá como valores

e . Caso contrário, tem-se e .

Na próxima iteração do exemplo teremos:

Figura 25 - Exemplo: 2ª iteração

53

Nesta 2ª iteração, os limites iniciais são , sendo que corresponde a , e

a . A nova recta que une a corta a abcissa em . Como tem o

mesmo sinal que , os limites para a 3a iteração terão os valores de

e .

O processo continua indefinidamente, até que se decida que o intervalo é

pequeno o suficiente, ou que está perto do zero o suficiente, ou simplesmente pre-

definindo um número fixo de iterações.

4. Critérios de convergência

Ao longo do cálculo do fluxo contínuo existem ciclos de convergência, onde é

necessário impor um limite ao cálculo, através de um critério. Para cada uma das

variáveis a convergir, os critérios são os seguintes:

4.1. Número de Reynolds

Três destes ciclos correspondem ao cálculo do número de Reynolds, e estão

presentes no cálculo do fluxo contínuo “normal”, fluxo contínuo choked, e na

aproximação para pressões e fluxos baixos.

Usa-se o seguinte critério de convergência para a determinação dos números de

Reynolds nestes ciclos:

Ou seja, o ciclo chega ao fim quando a variação do número de Reynolds for inferior

a uma parte em cem mil, ou quando se repetirem 20 ciclos, com um mínimo de 2.

4.2. Mach Number

Outro processo convergente presente no algoritmo corresponde ao método da falsa

posição, usado para calcular o Mach Number de entrada. Independentemente da

54

equação usada (para o fluxo “normal” ou choked), o critério de convergência usado é o

mesmo.

Sendo a raiz que se procura, e os limites à esquerda e direita da

raiz, respectivamente, o critério de convergência é alcançado quando as duas condições

seguintes forem verdade:

5. Optimização do tempo de cálculo

Para diminuir o tempo de cálculo sem comprometer a precisão dos resultados,

foram feitos os seguintes melhoramentos ao algoritmo:

5.1. Número de Reynolds

Ao se escolher um número inicial arbitrário constante, para todos os cálculos deste

ao longo do bombeamento, o número de ciclos necessários irá eventualmente começar a

aumentar, uma vez que o número de Reynolds inicial é constante, enquanto o número de

Reynolds real vai decrescendo à medida que o sistema é bombeado, distanciando-se

gradualmente do valor inicial.

Para resolver este problema, o algoritmo irá usar como valor inicial arbitrário o

último número de Reynolds calculado (para o tubo em questão), o que diminui

consideravelmente o número de ciclos necessários.

5.2. Mach Numbers

O número de iterações necessárias para encontrar a raiz de uma função usando o

método da falsa posição está directamente relacionado com o valor dos limites à

esquerda e à direita da raiz. No caso do Mach Number, os limites teóricos seriam 0 e 1

(o Mach Number representa a velocidade do gás, relativamente à velocidade do som.

Como o gás não pode passar da velocidade do som, o limite será 1).

55

Para aproximar os limites iniciais do valor da raiz, os limites máximos 0 e 1 serão

substituídos por valores próximos da última raiz calculada. Este valor corresponderá a

1% da distância da raiz ao limite máximo.

Assim, o valor inicial do limite lateral esquerdo será:

E o limite lateral direito:

Antes de se iniciar o cálculo do Mach Number com estes limites, é necessário

valida-los, ou seja, certificar-se que a raiz se encontra se encontra entre e . Para

isso, basta que:

No caso da raiz ficar fora dos limites calculados, restauram-se os limites para os

valores máximos, 0 e 1.

6. Taxa de desgaseificação

O método descrito no capítulo III.5 para calcular a taxa de desgaseificação e a sua

contribuição para a pressão na câmara, embora teoricamente correcto, não será usado

nos cálculos do programa. Isto acontece porque é bastante difícil simular correctamente

uma série de factores necessário para o seu cálculo, como o preenchimento das

monocamadas (existe mais que uma monocama? quantas estão preenchidas? etc.), ou

como a dificuldade em encontrar valores para as energias de desorção e coeficiente de

acomodação correctos - as superfície das câmaras de vácuo não correspondem

exactamente aos materiais testados para a obtenção destes valores, são superfícies

“técnicas”, impossíveis de reproduzir.

Por este motivo, a taxa de desgaseificação será obtida a partir de valores

experimentais directos, a indicar pelo utilizador. A sua evolução será simulada a partir

56

do conjunto de pontos recebidos, e terá um decréscimo exponencial entre cada ponto,

dado pelas equações descritas em seguida:

Considere-se a seguinte recta

Figura 26 – Decréscimo exponencial

A recta presente neste gráfico consiste num decréscimo exponencial de y em função

de x, entre (x0,y0) e (x1,y1). A sua equação é dada por:

Com

, e

O valor da taxa com é então dado por:

(36)

Para , a taxa será dada pela recta obtida entre o conjunto de pontos seguintes,

(x1,y1) e (x2,y2).

57

Considere-se o seguinte conjunto de pontos arbitrários, usados apenas para

exemplificação da taxa de desgaseificação que se obtém a partir das equações descritas:

tempo (h) Taxa (mbar l /cm2 s)

0.01 2.50E-07

1 2.50E-09

10 2.50E-11

100 2.50E-12

Tabela 6 – Conjunto de pontos para taxa de desgaseificação

A taxa de desgaseificação correspondente terá o seguinte aspecto:

Figura 27 – Taxa de desgaseificação para o conjunto de 4 pontos da tabela 1

Desenvolveu-se ainda outra evolução para a taxa de desgaseificação, com base na

equação:

58

O cálculo de e é feito de forma análoga à descrita anteriormente, e o resultado é

uma transição mais suave entre os vários segmentos da função. A taxa de

desgaseificação calculada a partir dos pontos da tabela 5 tem o seguinte aspecto:

Figura 28 – Taxa de desgaseificação com transição “suave”

7. Bombas de vácuo e evolução da sua velocidade de bombeamento

O algoritmo aqui descrito necessita sempre de dois valores de pressão, para além

das dimensões do tubo, para poder calcular o fluxo ao longo deste. Como não é possível

ter uma pressão/variação de pressão sem ter um volume, as bombas de vácuo aqui

usadas têm um volume interno, que contribui para os cálculos. Esta situação é realista,

uma vez que as bombas de vácuo possuem de facto este volume, dentro do qual o gás

atravessa uma série de processos que levam ao seu bombeamento.

59

Figura 29 – Bomba de vácuo

A figura 29 representa uma bomba de vácuo, de volume e pressão . O fluxo Q

entra na bomba alterando a sua pressão, ao mesmo tempo que os mecanismos internos

expulsam o ar, com uma velocidade de bombeamento „ ‟.

O volume e velocidade de bombeamento definem a bomba de vácuo, sem que seja

necessário mais nenhum parâmetro ou variável para a simular (à excepção das bombas

difusoras, que não devem operar a certas pressões, o que tem de ser simulado). Assim, a

diferença entre os diferentes tipos de bomba está apenas no seu volume interno, e na sua

velocidade de bombeamento em função da pressão.

Para ter uma ideia da influência do volume interno das bombas na evolução da

pressão, simulou-se a evolução no tempo de um sistema de alto-vácuo com uma câmara

de 50 litros, uma bomba rotativa de 2 l/s e uma bomba turbo molecular de 50 l/s. Os

tubos de ligação entre as bombas e a câmara têm 10cm de comprimento e 2 cm de

diâmetro. A simulação é feita para diferentes valores do volume interno das bombas:

0 50 100 150 200 250 300 350 400

1E-3

0,01

0,1

1

10

100

1000

10000

100000

Pre

ssão

(P

a)

Tempo (s)

5 litros

1 litro

0.1 litros

Figura 30 – Evolução da pressão num sistema de alto-vácuo, com diferentes volumes internos das bombas

60

Pode-se ver aqui como o volume interno das bombas influencia directamente o

tempo de bombeamento, o que torna este um parâmetro importante nos cálculos. Assim,

o volume interno da bomba será um dos parâmetros a escolher pelo utilizador, pois

depende da bomba em questão que se quer simular.

A velocidade de bombeamento de uma bomba de vácuo não é constante, pelo que é

necessário criar um modelo matemático para a sua variação. Existem dois tipos gerais

de bombas, e respectivos bombeamentos – bombas que operam até uma pressão

mínima, e bombas que começam a operar a partir de uma pressão máxima, até à pressão

mínima (que pode ser infinitamente pequena). Para além do valor das pressões limite, as

curvas de bombeamento podem ter diferentes formas. Com o objectivo de simular estas

diferentes variações, foram criados dois modelos matemáticos para a velocidade de

bombeamento:

7.1. Bombas com pressão mínima

Assumindo que a velocidade de bombeamento depende apenas da pressão interna

da bomba, pode-se simular a evolução da sua velocidade de bombeamento com base

numa série de parâmetros:

Definindo previamente a velocidade de bombeamento máxima, , e a pressão

mínima que a bomba atinge, , a simulação pode ser feita através da variação

exponencial da velocidade de bombeamento com a pressão da câmara:

(37)

Em que „ ‟ e „ ‟ são constante arbitrárias, que ajudam a definir a forma da

exponencial. A variável „ ‟ altera declive do bombeamento, enquanto que a variável „ ‟

altera a pressão em que o bombeamento começa a decair. Ambas as variáveis são

adimensionais.

Para uma bomba rotativa típica com e , têm-se os

seguintes resultados, em função de diferentes valores de „ ‟ e „ ‟:

61

0,1 1 10 100 1000 10000 100000

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

1

10

100

Vel

oci

dad

e d

e B

om

bea

men

to (

l/m

)

Pressão (Pa )

a=100,b=2

a=20, b=4

Figura 31 – Comparação do efeito dos parâmetros ‘a’ e ‘b’ nas velocidades de bombeamento

Estão representadas neste gráfico a série vermelha, com um valor de e

, e a série preta, com „ ‟ = 100 e . Como a série preta tem um valor

de mais elevado, começa a decair primeiro que a série vermelha. No entanto, como o

valor de da série vermelha é maior, esta acaba por decair mais rapidamente, como se

pode observar. Ao alcançar o valor da pressão mínima da bomba (1 Pa neste caso), a

série vermelha tem uma velocidade de bombeamento inferior em mais que uma ordem

de grandeza em relação à série preta, que começou a decair a uma pressão maior que a

série vermelha. Assim, se o valor da velocidade de bombeamento para a pressão mínima

não for o desejado, as variáveis a e b podem ser usadas para tentar ajustar esse valor

para o pretendido.

7.2. Bombas com pressão mínima e máxima

Esta velocidade de bombeamento é simulada de forma semelhante à anterior. A sua

evolução é obtida a partir da combinação de exponenciais, dependentes da pressão a que

a bomba está exposta. A diferença para este caso é a da necessidade de duas

exponenciais, para simular o aumento e diminuição de velocidade de bombeamento.

Aproveitando a equação anterior, que produz uma subida de pressão a partir do valor de

62

, é possível obter uma exponencial idêntica, mas com o comportamento inverso,

isto é, um decréscimo da pressão a partir de um valor de pressão máxima ( ). Esta

exponencial é equivalente à anterior, mas com o valor inverso do expoente:

(38)

Combinando as duas exponenciais, obtêm-se uma velocidade de bombeamento que

aumenta de valor a partir de um valor , e começa a decrescer a partir de .

A equação que traduz este funcionamento é dada por:

(39)

Os diferentes parâmetros das exponenciais mantêm o seu efeito anterior, ou seja,

„ ‟ e „ ‟ ajustam a pressão em que a velocidade de bombeamento cresce/descresce, e

„ ‟ e „ ‟ ajustam o declive desta variação. Para , ,

, , , obteve-se o seguinte resultado:

Figura 32 – Evolução de velocidade de bombeamento com pressão mínima e máxima

63

8. Determinação e optimização do intervalo de tempo entre iterações

O valor do intervalo de tempo entre cada iteração tem de ser calculado de forma

a que as alterações de pressão não sejam muito altas, comparadas ao valor da pressão

nesse instante.

Para que a alteração máxima de pressão em qualquer ponto do sistema seja de por

cento, isto é, para que nenhum dos pontos de pressão tenha uma variação maior que

por cento, o valor de será calculado da seguinte forma:

Uma variação de por cento na pressão (positiva ou negativa), traduz-se numa

variação de:

Para o volume 1:

Substituindo o valor de na equação (2)

Para o volume 2:

Assim, ficamos com dois valores de : e . Como o sistema avança no

tempo todo de uma vez, ou seja, não faz sentido físico ter intervalos de tempo diferentes

dentro do mesmo sistema, a solução é escolher o mais pequeno dos dois, para garantir

que nenhum dos componentes excede a alteração de por cento.

Pode-se ainda deduzir uma expressão geral para , com base na equação (2)

(40)

64

Para encontrar um valor de suficientemente baixo para não comprometer a

continuidade e veracidade dos resultados, mas também suficientemente alto para não

afectar demais o tempo de cálculo, foram feitos alguns testes aos sistemas com

diferentes valores deste parâmetro.

200

0,1

1

10

100 5

2

0.5

0.1

Pre

ssao

(Pa )

Tempo(s )

Figura 33 – Comparação dos resultados para diferentes valores da percentagem mínima de variação da pressão

Os resultados presentes neste gráfico mostram a zona de transição de regime

(contínuo para molecular), pois é nesta zona que a alteração da percentagem mínima de

variação da pressão tem maior efeito. Os ensaios foram realizados para valores de „ ‟ de

5, 2, 0.5 e 0.1. Os resultados indicam que existe uma diferença dos ensaios a 5 e 2 por

cento para os ensaios a 0.5 e 0.1, e que a diferença entre estes últimos dois é mínima.

Como a 0.1 por cento o algoritmo realiza cerca de 5 vezes mais cálculos que a 0.5 por

cento, o programa começa a ficar bastante lento. Torna-se portanto evidente que o valor

de 0.1 é desnecessariamente baixo, e que se produzem resultados suficientemente

equivalentes a partir de 0.5 por cento, sem que haja necessidade de maior precisão a

partir deste valor.

65

9. Contribuição dos tubos de ligação para o volume

Para tornar a simulação do sistema o mais real possível, é preciso ter também em

conta o volume associado ao tubo, e o gás que nele se encontra presente. Assim, para a

variação da pressão no volume 1, os cálculos não serão feitos com o valor , mas com

, dado por:

Em que corresponde ao volume do tubo de ligação. O mesmo raciocinio é

aplicado para o volume 2. Esta substituição consiste em assumir que o ar que entra/sai

de cada câmara se “espalha” não apenas nessa câmara, mas também no tubo, sendo que

cada metade do tubo está associada à câmara a que se encontra ligada.

Figura 34 – Ilustração da contribuição dos tubos para o volume das câmaras

Se um certo volume tiver mais que um tubo ligado, o volume será dado por:

(41)

Em que a parcela corresponde ao somatório dos volumes dos tubos ligados à

câmara.

66

V. Apresentação e discussão de resultados

Para avaliação do algoritmo aqui usado, os valores da evolução da pressão no

tempo num sistema vácuo primário e alto-vácuo dados pelo programa serão comparados

com os valores obtidos usando as equações clássicas da condutância. Espera-se que os

resultados sejam equivalentes a partir do regime de fluxo viscoso laminar, uma vez que

o modelo clássico produz resultados correctos nesta zona. Como o algoritmo usado no

programa está preparado para o cálculo de fluxo em todos os regimes, a simulação será

feita a partir da pressão atmosférica, para verificar se existe alguma diferença entre os

dois modelos na fase inicial de bombeamento (regime turbulento).

1. Sistemas ensaiados

Sistema primário

Figura 35 – Sistema primário para avaliação de resultados Tabela 6, 7 e 8 – Características do sistema primário

67

Sistema de Alto Vácuo

Figura 36– Sistema de Alto-Vácuo para teste

Tabela 9, 10, 11 e 12 – Características do sistema de alto-vácuo

68

Tabela 13 - Características da câmara do sistema de alto vácuo

2. Análise de resultados

Para o sistema primário, bombeado apenas por uma bomba rotativa, foram obtidos

os seguintes resultados:

0 200 400 600 800 1000

0,01

0,1

1

10

100

1000

Pre

ssa

o(m

ba

r)

Tempo (s)

Modelo Classico

Modelo Livesey

Figura 37 – Comparação de resultados para a simulação do sistema de vácuo primário (Esquema 1)

E para o sistema de alto vácuo, com uma bomba turbo-molecular:

69

0 200 400

1E-5

1E-4

1E-3

0,01

0,1

1

10

100

1000

Pre

ssa

o(m

ba

r)

Tempo (s)

Modelo Classico

Modelo Livesey

Figura 38 – Comparação de resultados para a simulação do sistema de alto vácuo (Esquema 2)

Analisando os resultados do sistema primário, podemos concluir pela sua

semelhança (as duas curvas estão sobrepostas) que o algoritmo usado no programa para

o cálculo de fluxo produz valores relativamente correctos para o regime contínuo, uma

vez que o modelo clássico de cálculo está habitualmente em concordância com

resultados experimentais. A evolução da pressão na fase inicial de bombeamento é igual

nos dois modelos, o que significa que não houve alterações visíveis nos resultados na

zona de regime turbulento, o que se pode dever à elevada condutância do tubo simulado.

Uma simulação feita com tubos com uma condutância mais baixa, ou com uma bomba

com velocidade de bombeamento mais alta, pode trazer diferenças nos resultados na

zona de regime turbulento (a condutância do tubo actua como “limite” para o volume

bombeado, portanto quanto maior for a velocidade de bombeamento da bomba, mais

influência terá a condutância no valor do fluxo).

Para analisar o efeito da diferença dos modelos na zona de regime turbulento,

realizou-se um ensaio extra ao sistema primário 1, alterando-se o tubo C1 para um de

baixa condutância (comprimento de 1 metro e diâmetro de 1 cm), e a bomba rotativa

para uma de velocidade de bombeamento alta, de 10 litros por segundo. Obtiveram-se

os seguintes resultados:

70

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0,1

1

10

100

1000

Pre

ssã

o (

mbar)

Tempo (s)

Modelo Classico

Modelo Livesey

Figura 39 – Ensaio para análise do regime turbulento.

O ensaio aqui apresentado mostra que a condutância em regime turbulento

calculada pelo modelo de Livesey é mais baixa que a condutância calculada pelo

modelo clássico. Esta diferença traduz-se num decréscimo de pressão mais rápido no

modelo clássico (condutância maior), visível nesta figura, em particular nos instantes

iniciais, onde o regime turbulento tem lugar (a análise do número de Reynolds indica

que neste ensaio o fluxo está em regime turbulento nos primeiros 20 segundos).

No ensaio ao sistema de alto vácuo, os resultados obtidos diferem ligeiramente na

zona inicial de fluxo molecular, o que se pode dever à diferença no cálculo do fluxo

neste regime. Enquanto que no modelo clássico o fluxo em regime molecular é

calculado directamente pela diferença de pressões, multiplicada pelo valor da

condutância molecular, o algoritmo usado no programa não o faz desta forma. Como

não existe separação explícita dos regimes no programa, o fluxo molecular é ponderado

pela função do número de Knudsen , indicada na equação (12). Este ponderação

resulta numa diferença do valor do fluxo molecular na fase inicial deste regime, como

se pode verificar pelo gráfico da figura 40.

71

0 100 200 300 400

0,1

1

10

Ve

locid

ad

e B

om

be

am

en

to (

l/s)

Tempo (s)

Modelo Classico

Modelo Livesey

Figura 40 – Comparação das condutâncias moleculares no sistema de alto vácuo

Perto dos 200 segundos a condutância molecular tradicional passa a ser calculada

(linha azul), o que indica a passagem para o regime molecular (Kn>1). A condutância

molecular calculada no programa, devido ao ponderamento pela função do número de

Knudsen, aumenta bruscamente de valor na mesma zona, mas demora uns segundos a

atingir o seu valor máximo, o que pode explicar a ligeira diferença dos valores da

pressão nesta fase.

72

VI. Descrição da interface

A gestão de cada sistema de vácuo é feita numa janela independente, onde se

podem encontrar os indicadores e botões de controlo, cada um com uma função

específica para comandar o sistema. Neste capítulo serão descritos alguns destes

indicadores/controladores.

Figura 41 – Botões Start/Stop/Pause e vista do sistema

Botão Start – Inicia/recomeça a contagem de tempo no sistema, ao mesmo tempo que

desactiva a edição das características dos diversos componentes do sistema (dimensões

dos tubos, volume da câmara de vácuo, etc.).

73

Botão Pause – Interrompe a passagem de tempo. Neste estado, é possível recomeçar a

contagem de tempo, sem nenhuma alteração ao sistema, clicando no botão Start.

Botão Stop – Devolve ao sistema o seu estado inicial, interrompendo a contagem de

tempo. As bombas e válvulas voltam ao seu estado inicial (ligadas/desligadas,

abertas/fechadas), a contagem do tempo recomeça do zero, todas as pressões voltam ao

valor definido no campo da pressão inicial, e volta-se a activar a edição das

características dos componentes do sistema.

A figura mostra ainda a vista do sistema corrente, com os indicadores de estado

(círculos verdes e vermelhos) para as válvulas e bombas. Um clique nestes círculos

altera o estado da válvula/bomba. A cor verde representa uma válvula aberta/bomba

ligada, e a cor vermelha uma válvula fechada/bomba desligada.

Figura 42 – Indicadores de tempo e pressão e botões dos gráficos respectivos

Time: Indica o intervalo de tempo que passou no sistema desde que a sua contagem foi

iniciada

M1/M2: Indica o valor da pressão lida no sensor M1/M2 em mbar

Chart M1/M2: Abre uma janela com o gráfico dos valores de M1/M2 registados em

função do tempo.

Figura 43 – Barra de controlo da velocidade de cálculo

Cada sistema presente no programa pode funcionar a três velocidades diferentes –

Normal, Fast e Faster, escolhidas pelo slider visível na figura.

74

A velocidade Normal aproxima-se da realidade, isto é, o tempo que passa no

sistema é aproximado do tempo que passa para o utilizador. A velocidade Fast

corresponde a um factor de 5, ou seja, 5 segundos no sistema correspondem a 1 segundo

para o utilizador. A velocidade Faster corresponde à velocidade máxima possível para o

cálculo. Qualquer uma destas velocidades está limitada pelo tempo de cálculo, o que

quer dizer que é possível um sistema à velocidade Fast ser mais lento que a realidade.

Figura 44 – Barra de controlo de válvula de fluxo controlado

No sistema primário nº2 a válvula V3 é uma válvula de fluxo controlado. O valor

deste fluxo é manipulado no slider visível na figura, e indicado no texto acima do slider,

em mbar l /s (se a válvula estiver fechada o texto muda para “Closed”).

Figura 45 - Pressão inicial

O valor introduzido pelo utilizador neste campo dita o valor da pressão inicial de

todos os componentes do sistema. O valor predefinido é de 105 Pascais (pressão

atmosférica).

75

VII. Conclusão

Pode-se concluir que a plataforma computacional proposta neste projecto foi

realizada com êxito. Os sistemas de vácuo primário e alto-vácuo simulados encontram-

se a funcionar correctamente, e as modificações propostas para os vários parâmetros que

definem os sistemas foram todas implementadas correctamente, assim como as

manipulações em tempo real. O novo modelo físico para o cálculo do fluxo foi

implementado com sucesso, e a comparação com o modelo físico baseado nas equações

de condutância revelou que os resultados obtidos com o novo algorítmo estão próximos

da realidade.

Durante o desenvolvimento da plataforma ocorreram dificuldades inesperadas,

como a modelação da taxa de desgaseificação e da velocidade de bombeamento das

bombas de vácuo. Isto aconteceu porque não existem expressões gerais para estes

valores, cada bomba de vácuo tem a sua curva de velocidade de bombeamento

característica, e cada superfície tem a sua taxa de desgaseificação, diferente de qualquer

outra. Para corrigir esta falha, foi introduzida no programa a possibilidade de leitura de

um ficheiro com tabelas de valores para estes parâmetros, permitindo ao utilizador a

máxima personalização.

Como perspectivas de melhoramentos futuros da plataforma, pode-se disponibilizar

uma lista de materiais a escolher, aos quais estará associada uma determinada evolução

da taxa de desgaseificação, ou uma lista do tipo de gás(es) presente(s) no sistema. A

estrutura interna do programa já está preparada para esta característica, sendo apenas

necessário adicionar os valores para cada material/gás ao código, e implementar a

interface necessária. Outra característica a acrescentar seria uma listagem de bombas de

vácuo presentes no mercado, libertando o utilizador da necessidade de ajustar a equação

da velocidade de bombeamento, ou de gerar um ficheiro com os valores desejados.

Estas alterações iriam aproximar consideravelmente a plataforma do mundo “real”, o

que iria contribuir bastante para a sua aplicação directa em projectos de engenharia.

76

Referências Bibliográficas

[1] Obtido de Engenharia do vácuo: http://www.metrovac.eu/tmef/

[2] Livesey, R. (2004). Solution methods for gas flow in ducts through the whole pressure

regime. pp. 101-107.

[3] Chambers, A. (2006). Modern Vacuum Physics.

[4] A. M. C. Moutinho, M. E. (1980). Tecnologia de vácuo.

[5] Jousten, K. Handbook of Vacuum Technology

[6] Livesey, R. (2000). Method for calculation of gas flow in the whole pressure regime through ducts of any length. pp. 101-107.