Fluidos Viscoelásticos

Profa. Mônica F. Naccachenaccache@puc-rio.br

Sala 153-L, R 1174

http://naccache.usuarios.rdc.puc-rio.br/Cursos/FNNIP.html

Fluidos viscoelásticos

• Fluidos estruturadosw têm condição natural de repouso que representa um

estado de energia mínimaw quando ocorre deformação, forças termodinâmicas

tendem a fazer com que este estado sejarestabelecido

w movimento a partir do repouso representa um armazenamento de energia

• Possuem comportamento elástico e viscoso• Deformação depende da história da tensão• Pequenas deformações: viscoelasticidade linear• Grandes deformações: efeitos não-lineares• Altos valores de viscosidade extensional

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

• Muitos fenômenos ocorrem devido àscaracterísticas elásticas

• Elasticidade é importante em:w Escoamentos dependentes do tempow Escoamentos em desenvolvimento

(aceleração e desaceleração)w Escoamentos em geometrias complexas

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Parâmetros adimensionais

• Número de Deborah e número de Weissenberg: comparação entre um tempo característico do escoamento eo tempo característico do fluido

• Def.:

€

De ≡ λt f

Wi ≡ λti

λ: tempo fluidotf : tempo característico do escoamentoti : tempo característico de deformação do fluido

€

(=1/ ˙ γ c )

Ex.: Escoamento num tubo

€

De =λ

L /VWi = λ ˙ γ w ≈ λ

VD

⇒ De ≈Wi DL

Wi,De<<1: • forças elásticas são desprezíveis• modelo FNP é satisfatório

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Viscoelasticidade linear

• Estudo do comportamentoviscoelástico a baixas deformações

• As deformações tem que ser pequenaso suficiente tal que a estrutura do material permaneça não perturbada aolongo da história do escoamento.

€

γ ou ˙ γ ( )

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Viscoelasticidade linear

• Objetivos: w Entender a estrutura de equilíbrio dos materiais e

determinar suas principais características em termos de peso molecular, distribuição de peso molecular, flexibilidade das cadeias, etc. Relacionar a estrutura com a resposta mecânica.

w Determinar efeitos (qualitativos) da elasticidade e o seuimpacto no comportamento do escoamento. Por exemplo, dados de viscosidade complexa podem ser usadas para obtero tempo característico do fluido – Método empírico de Cox-Merz:

€

λ =G'G''ω

=η''η'ω

G’: módulo armazenamentoG’’: módulo de perdaη’: viscosidade dinâmicaη’’: rigidez dinâmicafrequência ω (rd/s) – em esc.

simples, ≈ taxa deformaçãocaracterística do escoamento

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Modelos mecânicosComponente elástico: mola (armazenamento de energia)

€

σ =Gγ

€

σ =η ˙ γ =ηγ 0dHdt

=ηγ 0δ(t)

γ =σηt

Componente viscoso: amortecedor (dissipação de energia)

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Modelo de Maxwell

€

γ = γ a + γ b

˙ γ = ˙ γ a + ˙ γ b =τµ

+˙ τ G

⇒ τ +µG

˙ τ = µ˙ γ

€

τ = µ˙ γ

€

τ =Gγ

•Dois parâmetros•Viscosidade constante (inconsistente com obsexperimentais)•Não prevê tensões normais em escoamentos de cisalhamento•Não obedece ao princípio da objetividade

ga gb

t

•Amortecedor:

•Mola:

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Resposta do fluido de Maxwell a uma deformação constante

€

γ = γ 0H( t)

⇒ t > 0 ˙ γ = 0⇒ dσdt

+Gησ = 0

dσσ

= −Gηdt⇒σ =σ 0e

−(G /η ) t

€

Taxa de decaimento da tensão em t = 0 :dσdt

= −σ0Gηe−(G /η )t

Tempo de relaxação do fluido : tempo no qual a tensão decairia a zero se a taxa fosse cte

tR = λ =ηG

Casos limite :Material viscoso - G →∞⇒ λ →0Material elástico - η→∞⇒ λ →∞

σ +ηG!σ =η !γ

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

ga gb

t

• Exemplos de valores de tempos de relaxação

Fluido η(Pa.s) λ(s) G(Pa)

água 10-3 10-12 109

óleo 0.1 10-9 108

sol. polimérica

1 0.1 10

polímerofundido

105 10 104

vidro >1015 105 >1010

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Parâmetros reológicos

Forma integral do modelo de Maxwell

• Expressa a idéia de que os fluidosviscoelásticos tem memória evanescente, poissão mais influenciados pela cinemática maisrecente

• Integrando a eq. diferencial e considerando!γ finito para t→−∞ :

σ =ηλ−∞

t∫ e

−t−t 'λ

%

&'

(

)*!γ (t ')dt '

ηλe−t−t 'λ

%

&'

(

)*:

Módulo de relaxação. A tensão depende da taxa de deformação em t e nos instantes anteriores, o mód. Relax. Atua como um fator peso: “fading memory”, i.e., fluidolembra melhor da história mais recente

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Modelo de Maxwell

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Tempo de relaxação adimensional

G’ e G’’ – Modelo Maxwell

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Ajuste com modelo de Maxwell com 1 tempo de relaxação: inadequado paradescrever o comportamento de fluidos reais. Desenvolvimento de outros modelos, como o modelo de Maxwell generalizado

Ajuste com modelo de Maxwell com 5 tempos de relaxação

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Modelo de Maxwell Generalizado

- Superposição de modelos de Maxwell: - Espectro de tempos de relaxação e viscosidades

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

• A memória é governada pelo máximotempo de relaxação. Num escoamentocisalhante em que as taxas de deformação são << 1/lmax a memórianas maiores deformações édesprezível e não contribui para a tensão.

σ =ηk

λke−t−t 'λk

"

#$

%

&'

!γ (t ')k=1

∞

∑−∞

t∫ dt '

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Modelo de Maxwell Generalizado

• A derivada no tempo é substituída pela derivada convectada

• O modelo satisfaz os princípios de determinismo, ação local e objetividade

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Modelo de Maxwell 3D

Modelo de Kelvin-Voight

• Elementos elástico e viscoso emparalelo

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

τ =G γ +η0Gλ!!γ

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

Modelo de Jeffreys

⌧ + ✓1⌧̇ = ⌘��̇ + ✓2 ˙̇�

�

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

3 parâmetros reológicos: tempo de relaxação, tempo de retardo e viscosidade

Modelo de White-Metzner

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

τ +η( !γ )G!τ =η( !γ ) !γ

- Tempo de relaxação dependente da taxa de deformação

- Viscosidade dependente da taxa de deformação

Aplicações das equaçõesconstitutivas

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Aplicações das equaçõesconstitutivas