Plínio Andrade - Simulação Filtros no MatLab

Engenharia Elétrica – 1/2013 – UnilesteMG Projeto F iltros - Página 1 de 21

Centro Universitário do Leste de Minas Gerais Engenharia Elétrica

Circuitos Elétricos III

Projetos de Filtros

Autor: Plínio Fernando Portes Andrade A06149022 Professor Orientador: Lopes, Ramon C.

1 RESUMO

Este artigo descreve a contrução de dois filtros passivos passa-

faixa ligados paralelo formando um filtro principal com duas

faixas de passagens. Para isto será demostrados os passos para a

sua construção e suas definições.

Palavras-Chave: Filtros, Passa-Faixa, Passa-Baixas,

Passa-Altas, Filtros Passivos, Filtros Ativos,

Butterworth, Chebyshev

2 INTRODUÇÃO

Este artigo descreve o projeto de um filtro com duas faixas de

passagens sendo a construção do mesmo feita em quatro etapas

à saber: Etapa 1: Filtro passivo de segunda ordem, Etapa 2: Filtro

ativo de segunda ordem, Etapa 3: Filtro de Butterworth com

inclinação de 300dB/década e, por fim, Etapa 4: Filtro de

Chebyshev com inclinação de 300dB/década.

1. Etapa 1: Filtro passivo de segunda ordem

Esta etapa consiste em projetar o filtro de acordo com as

especificações geradas por um algoritmo disponibilizado pelo

orientador Ramon Lopes. O algoritmo gerou o ganho da função

de transferência do filtro de acordo com a frequência de entrada

a partir daí obteve-se o gráfico de resposta do filtro usando uma

rotina do MatLab. A partir do gráfico gerado pelo MatLab foi

possível obter as especificações de faixa de passagem de cada

filtro já que o gráfico possuía duas faixas de passagem, ou seja,

dois filtros passa-faixas ligados em paralelo.

2. Etapa 2: Filtro ativo de segunda ordem

A segunda etapa consiste em fazer um novo projeto do filtro

baseado nos dados obtidos na Etapa 1 porém com uso de

componentes de circuito ativos (Amplificador Operacionais) e

levando em consideração o ganho na faixa de passagem. Para o

desenvolvimento desta etapa foi aproveitado os dados das

frequências de corte obtidos na etapa anterior e a partir destes

dados foram feitos os cálculos para os valores dos componentes

(Resistores e Capacitores) para o novo circuito.

3. Etapa 3: Filtro de Butterworth com inclinação

de 300dB/década

Nesta etapa do trabalho será usado uma equação matemática

prática para cálculo da ordem de cada filtro de Butterworth para

que a atenuação esteja de acordo o necessário que é

300dB/década. Após o cálculo da ordem do filtro será usado um

algoritmo que irá calcular os coeficientes do polinômio do

denominador da função de transferência (polos)do circuito do

filtro de Butterworth que deverá ser construído.

4. Etapa 4: Filtro de Chebyshev com inclinação

de 300dB/década

A quarta etapa, que é a última etapa do projeto, consiste em obter

a ordem do filtro de Chebyshev a partir do algoritmo

disponibilizado pelo professor orientador. A ordem do filtro é

obtida de forma que a atenuação esteja de acordo o necessário

que é 300dB/década. Após o cálculo da ordem do filtro será

usado um outro algoritmo que irá calcular os coeficientes do

polinômio do denominador da função de transferência (polos)

do circuito do filtro de Chebyshev que deverá ser construído.


3 REVISÃO DE LITERATURA

As revisões de literaturas foram divididas de acordo com cada

etapa do trabalho a saber:


Um filtro passa-faixa é um dispositivo que permite a passagem

das frequências de certa faixa e rejeita (atenua) as frequências

fora dessa faixa. Um exemplo de um filtro passa-faixa analógico

é o circuito RLC (um circuito resistor-indutor-capacitor). Estes

filtros também podem ser obtidos através da combinação entre

um filtro passa-baixa e um filtro passa-alta.

Um filtro ideal possui uma banda passante totalmente plana

(sem atenuação), e atenua completamente todas as frequências

fora desta banda. Adicionalmente, a transição para fora da banda

seria instantânea em frequência. Na prática, nenhum filtro passa-

faixa é ideal. O filtro não atenua todas as frequências fora da

faixa desejada; existe uma região em particular fora da banda

desejada em que as frequências são atenuadas, mas não

rejeitadas. Este é conhecido como o roll-off do filtro, e é

geralmente expresso em dB de atenuação por oitava de

frequência. Geralmente, o projeto de um filtro busca tornar o

roll-off o mais seletivo possível para que posteriormente o filtro

trabalhe o mais próximo do desejado. Entretanto, conforme o

roll-off é tornado mais seletivo, a banda passante não é mais

plana, ela começa a produzir um 'ripple'. Este efeito é

particularmente aparente na queda da banda passante, um efeito

conhecido com fenômeno de Gibbs.

Entre a frequência de corte (ω) e a frequência de corte (ω) de um faixa de frequências está à frequência de

ressonância, na qual o ganho do filtro é o máximo. A largura de

banda de um filtro é a diferença entre ω e ω.


Um filtro ativo é um tipo de filtro electrônico analógico,

distinguido dos outros pelo uso de um ou mais componentes

activos, que podem prover alguma forma de amplificação da

potência. Tipicamenta este componente pode ser uma válvula

termoiónica, um transistor ou um amplificador operacional.

Um amplificador operacional ou amp op é um amplificador com

ganho muito elevado. Tem dois terminais de entrada: um

terminal designado por terminal inversor(-) e o outro

identificado por terminal não inversor(+). A tensão de saída é a

diferença entre as entradas + e - , multiplicado pelo ganho em

malha aberta

A saída do amplificador pode ser única ou diferencial, o que é

menos comum. Os circuitos que utilizam amp ops

frequentemente utilizam a realimentação negativa (negative

feedback). Porque devido ao seu ganho elevado, o

comportamento destes amplificadores é quase totalmente

determinado pelos elementos de realimentação (feedback).


de 300dB/década

O filtro Butterworth é um tipo de projeto de filtros eletrônicos.

Ele é desenvolvido de modo a ter uma resposta em frequência o

mais plana o quanto for matematicamente possível na banda

passante.

Os filtros Butterworth foram descritos primeiramente pelo

engenheiro britânico S. Butterworth (cujo primeiro nome

acredita-se ser Stephen) em sua publicação "On the Theory of

Filter Amplifiers", Wireless Engineer.

A resposta em frequência de um filtro Butterworth é muito plana

(não possui ripple, ou ondulações) na banda passante, e se

aproxima do zero na banda rejeitada. Quando visto em um

gráfico logarítmico, esta resposta desce linearmente até o

infinito negativo. Para um filtro de primeira ordem, a resposta

varia em −6 dB por oitava (−20 dB por década)

O Butterworth é o único filtro que mantém o mesmo formato

para ordens mais elevadas (porém com uma inclinação mais

íngreme na banda atenuada) enquanto outras variedades de

filtros (Bessel, Chebyshev, elíptico) possuem formatos

diferentes para ordens mais elevadas.

Comparado com um filtro Chebyshev do Tipo I/Tipo II ou com

um filtro elíptico, o filtro Butterworth possui uma queda

relativamente mais lenta, e portanto irá requerer uma ordem

maior para implementar um especificação de banda rejeitada

particular. Entretanto, o filtro Butterworth apresentará uma

resposta em fase mais linear na banda passante do que os filtros

Chebyshev do Tipo I/Tipo II ou elípticos.


de 300dB/década

Os filtros Chebyshev são filtros analógicos ou digitais que

possuem um aumento na atenuação (roll-off) mais íngreme e

uma maior ondulação (ripple) na banda passante que os Filtros


Butterworth. Os filtros Chebyshev possuem a propriedade de

minimizarem o erro entre as características do filtro idealizado e

o atual com relação à faixa do filtro, porém com ripples na banda

passante. Este tipo de filtro recebeu seu nome em honra a

Pafnuty Chebyshev, devido a suas características matemáticas

serem derivadas dos polinômios de Chebyshev.

A ordem de um filtro Chebyshev é igual ao número de

componentes reativos (como os indutores) necessários para a

montagem do filtro utilizando eletrônica analógica.

4 PROCEDIMENTO PRÁTICO

Cada etapa do trabalho possui um sequência de procedimentos

práticos espécifica para a construção do filtro nesta etapa. A

seguir estão os procedimentos práticos para cada etapa:


Todo material de apoio para o projeto foi disponibilizado pelo

professor orientador através do link de acesso:

http://arquivo.eng.br/c3/c3b.zip, rodando o algoritmo com os

parâmetros do Registro Acadêmico do aluno, obteve-se os

valores aprensentados pela Tabela 1.

Frequência ()(/) Ganho () 0.1 0,0470

0.5 0,2329

1 0,4595

5 2,0799

10 3,7336

50 10,6810

100 14,2351

500 19,1765

1000 18,9510

5000 13,3529

10000 9,9834

50000 5,1925

100000 5,4368

500000 11,0483

1000000 14,4172

5000000 19,1906

10000000 18,9228

50000000 13,1237

100000000 9,5258

500000000 3,1131

1000000000 1,7038

5000000000 0,3696

10000000000 0,1868

50000000000 0,0376

100000000000 0,0188

500000000000 0,0037

1000000000000 0,0018

5000000000000 0,0003

Tabela 1: Frequência x Ganho - RA: 149022

Após a obtenção deste valores foi utilizado o software

MATLAB para a construção do gráfico de Bode e partir deste

foi feito a determinação das frequências d ecorte de cada filtro

conforme a Figura 1.

De acordo com o gráfico, apresentado na Figura 1, foi possível

notar que se tratava de um filtro passa-faixa com duas bandas de

passagem sendo a primeira banda de passagem delimitada por

ωc1=2,8*102 rad/s e ωc2=1,3*103 rad/s e a segunda banda de

passagem delimitada por ωc3=2,8*106 rad/s e ωc4=1,5*107

rad/s.

Assim é preciso construir dois filtros passa-faixa ligados em

paralelo para permitir a passagem nas duas faixas de passagem:

1º Filtro passa-faixa:

Como a função transferência H(s) do filtro passa-faixa RLC em

série é dada por:

() = + +

Em que:

= − = ;

= ∗ =! "#

Como $% = , ' ∗ ()/* e $% = , + ∗ +()/*.

Tendo ω c1 e ω c2 determinamos ω,:

=ω ∗ ω =2,8 ∗ 10 ∗ 1,3 ∗ 102= 3+, +4/

5 = ω −ω = 1,3 ∗ 102 − 2,8 ∗ 10 = , ()/*


Escolhendo o valor de # = μ7 para calcular os valores de 8 e 9 a partir do valor do capacitor já que as limitações de valores

de capacitores no mercado são maiores. Calculamos o valor de 9 por:

: ;∗∗,<= 603,324; ∗,<=∗; 364 ∗ 102;

9 2@A∗,<B; " , C4D

Calculamos o valor de 8 por:

1020,0 E,FA; G , ' ∗ +Ω , 'IΩ

Assim para o 1º filtro passa-baixa temos a função de

transferência:

D* ** * +34

Figura 1 - Curva do filtro passa-faixa de 2ª ordem

E o circuito:

Figura 2 - Circuito para o primeiro filtro passa-faixa

2º Filtro passa-faixa:

Como a função transferência H(s) do filtro passa-faixa RLC em

série é dada por:

Em que:

;

∗ ! "#

Como ω c3=2,8*106 rad/s e ω c4=1,5*107 rad/s.


Tendo ω c3 e ω c4 determinamos ω,:

ω2 ∗ ωA =2,8 ∗ 10@ ∗ 1,5 ∗ 10F= 3, 4' ∗ 3/

5 = ωA −ω2 = 1,5 ∗ 10F − 2,8 ∗ 10@= , ∗ 3()/*

Escolhendo o valor de # = μ7 para calcular os valores de 8 e

9 a partir do valor do capacitor já que as limitações de valores

de capacitores no mercado são maiores. Calculamos o valor de

9 por:

: ;∗∗,<= = 6,48 ∗ 10@; ∗,<=∗; =4,2 ∗ 102;

9 = (A,∗,K); " = +, ' ∗ LMD = +, 'NDCalculamos o valor de 8 por:

12,2 ∗ 10@ = E2,O∗,<P; G = M, 4' ∗ L+Ω = MQΩ

Assim para o 1º filtro passa-baixa temos a função de

transferência:

D(*) = , ∗ 3** + , ∗ 3* + 4, ∗ +

E o circuito:

Figura 3 - Circuito para o segundo filtro passa-faixa

Assim o circuito completo para o filtro passa-faixa com duas

bandas de passagem é a ligação em paralelo dos dois circuitos

anteriores, os dois resistores de 500kΩ(G+RG4) é necessário

para que um circuito não interfira no outro. O circuito final para

esta etapa do trabalho pode ser observado na Figura 4.

E a resposta a uma fonte senoidal de 1V de amplitude, variando

de 1Hz a 159*106 Hz é dado pelo gráfico apresentado pela

Figura 5.


Nesta segunda etapa do projeto um novo circuito será feito com

uso de um componente ativo denominado amplificador

operacional (OpAmp). O filtro principal do projeto será

decomposto em dois filtros passa-faixas ligados em paralelo e

cada um dos dois filtros passa-faixas será decomposto em um

filtro passa-altas e um filtro passa-baixas estes dois últimos

ligados em série para formar o filtro passa-faixa correspondente.

Pela Etapa 1 obtemos as frequências de cortes

ωc1=2,8*102 rad/s (passa-altas) e ωc2=1,3*103 rad/s (passa-

baixas) da primeira faixa de passagem e a segunda faixa de

passagem delimitada por ωc3=2,8*106 rad/s (passa-altas) e

ωc4=1,5*107 rad/s (passa-baixas).


Figura 4 - Circuito filtro passivo com duas faixas de passagem

Figura 5 - Diagrama de Bode de resposta ao circuito apresentado na Figura 4

Para a primeira faixa de passagem será construído um filtro

passa-altas e um filtro passa-baixas. O circuito do filtro ativo

passa-altas está apresentado na Figura 6 enquanto o circuito

para o filtro ativo passa-baixas está apresentado na Figura 7. Os

valores de componentes para o filtro passa-altas ativo são

calculados de acordo com a frequência de corte ωc1=2,8*102

rad/s. Os valores de componentes para o filtro passa-baixas


ativo são calculados de acordo com a frequência de corte

ωc2=1,3*103 rad/s.

Figura 6 - Filtro ativo passa-altas

Figura 7 - Filtro ativo passa-baixas

Para calcular os valores dos componentes do circuito do filtro

passa-altas referente a primeira faixa de passagem (Figura 6)

de acordo com a frequência de corte ωc1=2,8*102 rad/s Usamos

a equação:

$% G ∗ #

Escolhendo o valor de capacitor S 1TU, temos:

, ' ∗ G ∗ L3

G +. WC4 ∗ +Ω 3,5714YΩ

Como o ganho do filtro deve ser 1 (o ganho da faixa de passagem

será feito por um OpAmp ligado na saída do circuito principal),

temos:

G G 3,5714YΩ


passa-baixas referente a primeira faixa de passagem (Figura

7) de acordo com a frequência de corte ωc2=1,3*103 rad/s

Usamos a equação:

$% G ∗ #

Escolhendo o valor de capacitor S 1TU, temos:

, + ∗ + G ∗ L3

G C3M, +'Ω



temos:

G G C3M, +'Ω

Para a segunda faixa de passagem é necessário fazer os mesmos

cálculos considerando ωc3=2,8*106 rad/s para o filtro passa-

altas e ωc4=1,5*107 rad/s para o filtro passa-baixas.


passa-altas referente a segunda faixa de passagem (Figura 6)


a equação:

$%+ G ∗ #

Escolhendo o valor de capacitor S 1ZU, temos:

, ' ∗ 3 G ∗ LM

G 357,1429Ω



temos:

G G 357,1429Ω


passa-baixas referente a segunda faixa de passagem (Figura 7)



a equação:

$%4 G ∗ #

Escolhendo o valor de capacitor S = 1ZU, temos:

, W ∗ C = G ∗ LM

G = 33, 333CΩ



temos:

G =G = 33, 333CΩ

Por fim fazemos o ganho do projeto de filtro adicionando a saído

do circuito um Amplificador Operacional de ganho K igual ao

ganho observado na faixa de passagem do filtro. De acordo com

a Figura 1 o ganho da faixa de passagem é K = 19 dB. O circuito

para o ganho é mostrado na Figura 8:

Figura 8 - Circuito para ganho K= -Rf/R1

Para calcular os valores dos componentes partimos da ideia: \]Zℎ_`abc = 20 ∗ d_e,(8f/8) Tomando 8 = 5gΩ, calculamos 8f por: 10hPij = klm∗,= ; Rf = 4.4563 ∗10@Ω O circuito final para o filtro ativo de segunda ordem exigido pelo

projeto está apresentado na Figura 9 e a resposta a uma fonte

senoidal de 1V de amplitude, variando de 1Hz a 159*106 Hz é

dado pelo gráfico apresentado pela Figura 10.

Figura 9 - Circuito final para o filtro ativo com duas faixas de passagem com ganho de 19dB nas faixas de passagem


Figura 10 - Diagrama de Bode da resposta do Circuito da Figura 9


de 300dB/década

Para esta etapa do projeto foi utilizado uma fórmula matemática

para calcular a ordem do filtro de Butterworth necessário para se

obter a atenuação de 300dB/década. A fórmula matemática é

dada:

obp 20 ∗ d_e,qrrs 1!1 + tuvw∗xy

zz

Onde a razão ||~ foi tomada como sendo igual a 10 por se tratar

de uma década e obp = 300. Com estes dados e entrada

encontrou n = 15.

Para implementação do circuito é necessário então o

desenvolvimento de quatro filtros Butterworth de ordem 15

separados (ver Etapa 2) que juntos formam o filtro principal com

duas faixas de passagem.

Utilizando o algoritmo disponibilizado pelo professor orientador

para se calcular as n=15 polos da função de transferência de um

filtro Butterworth de ordem 15 obtemos a sequência de polos

dada por:

-0.1045 + 0.9945i

-0.1045 - 0.9945i

-0.3090 + 0.9511i

-0.3090 - 0.9511i

-0.9781 + 0.2079i

-0.9781 - 0.2079i

-0.9135 + 0.4067i

-0.9135 - 0.4067i

-0.8090 + 0.5878i

-0.8090 - 0.5878i

-0.6691 + 0.7431i

-0.6691 - 0.7431i

-0.5000 + 0.8660i

-0.5000 - 0.8660i

-1.0000 + 0.0000i

O algoritmo disponibilizado pelo professor orientador faz ainda

a convolução dos polos complexos conjugados de acordo com a

ordem n=15 e exibe os coeficientes de cada parcela da função

transferência total dividida em funções transferências de 1º e 2º

graus. Assim obteve-se os seguintes coeficientes:

1.0000 0.2091 1.0000

1.0000 0.6180 1.0000


1.0000 1.0000 1.0000

1.0000 1.3383 1.0000

1.0000 1.6180 1.0000

1.0000 1.8271 1.0000

1.0000 1.9563 1.0000

0 1.0000 1.0000

Em posse dos coeficientes do denominador da função

transferência passamos ao projeto do primeiro filtro da primeira

faixa de passagem. Este filtro deve ser um filtro passa-altas com

frequência de corte ωc1=2,8*102 rad/s e função transferência H

ωc1 (s):

% * 0.2091 ∗ ∗ % %∗ * 0.6180 ∗ ∗ % % ∗∗ * 1 ∗ ∗ % %∗ * 1.3383 ∗ ∗ % %∗ * 1.6180 ∗ ∗ % %∗ * 1.8271 ∗ ∗ % %∗ * 1.9563 ∗ ∗ % % ∗ %

O circuito de implementação dos termos de 2ª ordem da função

de transferência % acima é mostrado na Figura 11:

Figura 11 – Topologia Sallen-Key passa-altas de 2ª ordem

Para a função transferência % teremos então sete circuitos

como o apresentado na Figura 11 ligados em série onde os

valores de seus componentes serão calculados de acordo com os

coeficientes da parcela de 2º grau que este representa em

% já considerando a frequência de corte %. A fórmula

matemática usada para calcular os valores os componentes do

circuito apresentado na Figura 11 são:

p 28 % 18 ∗ 8

Onde p é o coeficiente que acompanha s. Para a primeira

parcela de 2º grau da função de transferência % temos que:

p 0.2091 ∗ % 58.548

8 2p 0.03416Ω

8 18 ∗ % 3.7332 ∗ 10LAΩ

Uma observação muito importante a se fazer é que os valores de

capacitores calculados acima é válido para o circuito da Figura

11 em que S S 1U. Para se obter valores mais realistas

de componentes, especialmente capacitores, faz-se uso da

técnica denominada “Mudança de Escala”.

Para a função de transferência % ainda temos que fazer a

manipulação da última parcela que representa um filtro passa-

altas de 1ª ordem com frequência de corte dada por %. O

circuito para esta parcela de % é o mesmo mostrado na

Figura 6 e o cálculo de seus componentes está descrito na Etapa

2 da Seção atual.

Como o cálculo dos componentes é exaustivo e repetitivo foi

desenvolvido um algoritmo que faz o cálculo descrito acima que

será usado para os cálculos dos componentes dos circuitos para

cada parcela de %. Assim temos que os componeneste

para este primeiro filtro passa-altas de 15ª ordem de

Butterworth, na ordem de cada parcela de % são:

R1 = 373.3159 Ohms R2 = 34167.0437 Ohms C = 1e-06 F

R1 = 1103.6321 Ohms R2 = 11557.3856 Ohms C = 1e-06 F

R1 = 1785.7143 Ohms R2 = 7142.8571 Ohms C = 1e-06 F

R1 = 2389.7522 Ohms R2 = 5337.4162 Ohms C = 1e-06 F

R1 = 2889.3464 Ohms R2 = 4414.5285 Ohms C = 1e-06 F

R1 = 3262.6623 Ohms R2 = 3909.4153 Ohms C = 1e-06 F

R1 = 3493.3843 Ohms R2 = 3651.2164 Ohms C = 1e-06 F

R1 = 3571.4286 Ohms R2 = 3571.4286 Ohms C = 1e-06 F

O circuito que implementa o filtro já com os valores dos

componentes corretos é mostrado na Figura 12.


Partimos agora ao projeto do segundo filtro da primeira faixa de

passagem. Trata-se de um filtro Butterworth passa-baixas de 15ª

ordem portanto utiliza os mesmos coeficientes calculados pelo

algoritmo na função transferência. O que muda aqui é os zeros

da função de transferência e a frequência de corte que passa de

% a % , + ∗ +/. Temos então que H ωc2 (s):

%() = % + 0.2091 ∗ ∗ % +%∗ % + 0.6180 ∗ ∗ % +% ∗∗ % + 1 ∗ ∗ % +%∗ % + 1.3383 ∗ ∗ % +%∗ % + 1.6180 ∗ ∗ % +%∗ % + 1.8271 ∗ ∗ % +%∗ % + 1.9563 ∗ ∗ % +% ∗ % + %

O circuito de implementação dos termos de 2ª ordem da função

de transferência %() acima é mostrado na Figura 13:

Figura 12 - Topologia Sallen-Key passa-baixas de 2ª ordem

Os cálculos dos componentes do circuito que implementa o filtro

Butterworth passa-baixas de 2ª ordem apresentado na Figura 12

são feitos pelas fórmulas matemáticas:

Figura 13 - Circuito Butterworth passa-altas de 15ª ordem para D%(*)


p 2S % = 1S ∗ S

Onde p é o coeficiente que acompanha s. Para a primeira

parcela de 2º grau da função de transferência %() temos que: p = 0.2091 ∗ % = 271.83

S = 2p =7.359 ∗ 10L2U

S = 1S ∗ % = 8.04 ∗ 10LmU

Uma observação muito importante a se fazer é que os valores de

capacitores calculados acima é válido para o circuito da Figura

11 em que 8 =8 = 1Ω. Para se obter valores mais realistas

de componentes, especialmente capacitores, faz-se uso da

técnica denominada “Mudança de Escala”.

Usaremos aqui o mesmo algoritmo desenvolvido para calcular

os valores dos componentes para o circuito da Figura 12.

Obtemos então:

R = 1000 Ohms C1 = 7.3591e-06 F C2 = 8.0407e-08 F

R = 1000 Ohms C1 = 2.4893e-06 F C2 = 2.3771e-07 F

R = 1000 Ohms C1 = 1.5385e-06 F C2 = 3.8462e-07 F

R = 1000 Ohms C1 = 1.1496e-06 F C2 = 5.1472e-07 F

R = 1000 Ohms C1 = 9.5082e-07 F C2 = 6.2232e-07 F

R = 1000 Ohms C1 = 8.4203e-07 F C2 = 7.0273e-07 F

R = 1000 Ohms C1 = 7.8642e-07 F C2 = 7.5242e-07 F

R1 = 1000 Ohms R2 = 1000 Ohms C = 7.6923e-07 F

O circuito que implementa o filtro já com os valores dos

componentes corretos é mostrado na Figura 14.

Assim finalizamos a primeira faixa de passagem do nosso

projeto de filtro principal. Por se tratar de um filtro passa-faixa

teremos que ligar os dois circuitos em série para formar o filtro

passa-faixa.

Para a segunda faixa de passagem vamos reduzir o detalhamento

dos cálculos pois o raciocínio é análogo: Temos que projetar um

filtro passa-altas e outro passa-baixas mas agora com as

frequências de corte ωc3=2,8*106 rad/s e ωc4=1,5*107 rad/s,

respectivamente.

Figura 14 - Circuito Butterworth passa-baixas de 15ª ordem para D%(*)


A função de transferência %+ para o filtro passa-altas

responsável pela segunda faixa de passagem é idêntica a

% trocando apenas % por %+ e temos os seguintes

valores de componentes calculados pelo algoritmo:

R1 = 37.3316 Ohms R2 = 3416.7044 Ohms C = 1e-09 F

R1 = 110.3632 Ohms R2 = 1155.7386 Ohms C = 1e-09 F

R1 = 178.5714 Ohms R2 = 714.2857 Ohms C = 1e-09 F

R1 = 238.9752 Ohms R2 = 533.7416 Ohms C = 1e-09 F

R1 = 288.9346 Ohms R2 = 441.4528 Ohms C = 1e-09 F

R1 = 326.2662 Ohms R2 = 390.9415 Ohms C = 1e-09 F

R1 = 349.3384 Ohms R2 = 365.1216 Ohms C = 1e-09 F

R1 = 357.1429 Ohms R2 = 357.1429 Ohms C = 1e-09 F

O circuito para %+ é mostrado na Figura 15.

A função de transferência %4 para o filtro passa-altas

responsável pela segunda faixa de passagem é idêntica a

% trocando apenas % por %4 e temos os seguintes

valores de componentes calculados pelo algoritmo:

R = 1000 Ohms C1 = 6.3778e-10 F C2 = 6.9686e-12 F

R = 1000 Ohms C1 = 2.1574e-10 F C2 = 2.0601e-11 F

R = 1000 Ohms C1 = 1.3333e-10 F C2 = 3.3333e-11 F

R = 1000 Ohms C1 = 9.9632e-11 F C2 = 4.4609e-11 F

R = 1000 Ohms C1 = 8.2405e-11 F C2 = 5.3934e-11 F

R = 1000 Ohms C1 = 7.2976e-11 F C2 = 6.0903e-11 F

R = 1000 Ohms C1 = 6.8156e-11 F C2 = 6.521e-11 F

R1 = 1000 Ohms R2 = 1000 Ohms C = 6.6667e-11 F

O circuito para %+ é mostrado na Figura 16.

O circuito final consiste na ligação em série do primeiro passa-

altas (%) ligado em série com o primeiro passa-baixas

(%), formando um filtro passa-faixa que deve ser ligado

ao segundo filtro passa-faixa constituído pelo segundo passa-

altas (%+) ligado em série com o segundo passa-baixas

(%4). Por fim é ligado um Amplificador Operacional pra

gerar o ganho já caluculado na Etapa 2 desta Seção. O circuito

Final é mostrado na Figura 17.

Figura 15 - Circuito Butterworth passa-altas de 15ª ordem para D%+*


Figura 16 - Circuito Butterworth passa-baixas de 15ª ordem para D%4*

Figura 17 - Circuito final para o filtro Butterwort h de 15ª ordem com duas faixas de passagem


Note que os quadrados exibidos na Figura 17 são os sub-

circuitos exibidos nas Figuras 13, 14, 15 e 16.

E a resposta a uma fonte senoidal de 1V de amplitude, variando de 1Hz a 159*106 Hz é dado pelo gráfico apresentado pela Figura 18.

Figura 18 - Diagrama de Bode de resposta do circuito da Figura 17

Finalizamos assim a Etapa 3 do nosso projeto.


de 300dB/década

Nesta etapa do projeto usaremos um algoritmo fornecido pelo

professor orientador para calcular a ordem do filtro de

Chebyshev. Entrando com alguns valores de N e o intervalo de

frequências o algoritmo retorna a atenuação, incrementando N

até que se obtenha o ganho necessário (300dB/década) obtemos

que N deve ser igual a 12 para termos um ganho mais próximo

de 300dB/década que é de 300.0968 dB/década.

Para cálculo da ordem o filtro de Chebyshev o algoritmo faz uso

da seguinte fórmula matemática:

o 10 ∗ d_e10 11 + ∗ _ℎ ∗ acosh ,

Onde: o = Atenuação;

= :10vv, − 1 Após conhecermos a ordem do filtro necessária para termos

uma atenuação de acordo com o projeto calculamos os polos da

função de transferência utilizando um algoritmo

disponibilizado pelo orientador que faz uso da seguinte fórmula

matemática:

−sin t2 ∗ Y − 1 ∗ 2w ∗ sinh t1 ∗ asinh t1ww + ∗ cos t2 ∗ Y − 1 ∗ 2w∗ cosh t1 ∗ asinh t1ww

Encontramos então os seguintes polos: -0.0156 + 0.9985i -0.0456 + 0.9304i -0.0726 + 0.7990i -0.0946 + 0.6131i -0.1102 + 0.3854i -0.1183 + 0.1315i -0.1183 - 0.1315i -0.1102 - 0.3854i -0.0946 - 0.6131i -0.0726 - 0.7990i -0.0456 - 0.9304i -0.0156 - 0.9985i Os polos acima estão situados no hemisfério esquerdo do plano

real X complexo e estão sobre uma elipse com centro na

origem como mostra a Figura 19.

Neste ponto esta etapa do trabalho assemelha-se muito a etapa

anterior. O que temos que fazer aqui é a convolução dos polos

complexo conjugados e então encontrar a função transferência


para o filtro normalizado tanto para o filtro passa-altas quanto

para o filtro passa-baixas depois representamos a função

transferência em partes de 1ª e 2ª ordens e utilizamos a mesma

técnica da etapa anterior para se calcular os valores dos

componentes para o circuito que também se assemelha com os

circuitos passa-altas e passa-baixas do filtro Butterworth.

Figura 19 - Polos Chebyshev normalizado de 12ª ordem

Para o filtro de Chebyshev passa-altas de ordem N=12 e

frequência de corte % . ' ∗ ()/*a função

transferência %()é dada por:

%() = 0.9972 ∗ + 0.03114 ∗ ∗ % + 0.9972 ∗ %∗ 0.8678 ∗ + 0.09129 ∗ ∗ % + 0.8678 ∗ % ∗∗ 0.6436 ∗ + 0.1452 ∗ ∗ % + 0.6436 ∗ %∗ 0.3848 ∗ + 0.1893 ∗ ∗ % + 0.3848 ∗ %∗ . 3C ∗ + 0.2204 ∗ ∗ % + 0.1607 ∗ %∗ 0.03126 ∗ + 1.8271 ∗ ∗ % + 0.03126 ∗ %

E, como na seção anterior, o circuito que implementa cada

parcela de 2ª ordem dessa função de transferência está

apresentado na Figura 11 e os valores de seus componentes

são calculados por:

p = 28 ∗ % = 18 ∗ 8

Assim temos os valores de componentes dado pelo algoritmo

da etapa anterior apenas trocando os valores de p e para os

novos valores. Por exemplo: para a primeira parcela de %() temos que p = 0.03114 ∗ % e = 0.9972 ∗%.

Temos então de acordo com as fórmulas matemáticas acima os

valores de componentes para o primeiro filtro passa-altas

responsável pela primeira faixa de passagem de nosso projeto de

filtro dado por:

R1 = 55.7604 Ohms R2 = 229393.0966 Ohms C = 1e-06 F

R1 = 187.8605 Ohms R2 = 78241.7134 Ohms C = 1e-06 F

R1 = 402.9137 Ohms R2 = 49184.7972 Ohms C = 1e-06 F

R1 = 878.2482 Ohms R2 = 37740.8223 Ohms C = 1e-06 F

R1 = 2449.4886 Ohms R2 = 32408.7788 Ohms C = 1e-06 F

R1 = 13508.966 Ohms R2 = 30200.1741 Ohms C = 1e-06 F

Da mesma forma os valores calculados aqui consideram S =S = 1U e a técnica de “Mudança de Escala” deve ser usada

para valores mais realistas de componentes. O circuito já com

valores realistas para o primeiro filtro passa-altas da primeira

faixa de passagem está apresentado na Figura 20.

Para o primeiro filtro passa-baixas da primeira faixa de

passagem o processo é o mesmo da seção anterior, considerando

porém os novos coeficientes da função de transferência %() para que a frequência de corte seja % = . + ∗+()/* :

%() = 0.9972 ∗ % + 0.03114 ∗ ∗ % + 0.9972 ∗ %∗ 0.8678 ∗ % + 0.09129 ∗ ∗ % + 0.8678 ∗ % ∗∗ 0.6436 ∗ % + 0.1452 ∗ ∗ % + 0.6436 ∗ %∗ 0.3848 ∗ % + 0.1893 ∗ ∗ % + 0.3848 ∗ %∗ 0.1607 ∗ % + 0.2204 ∗ ∗ % + 0.1607 ∗ %∗ 0.03126 ∗ % + 1.8271 ∗ ∗ % + 0.03126 ∗ %


O circuito que implementa cada parcela de 2ª ordem dessa

função de transferência é o mesmo apresentado na Figura 12 e

os valores de seus componentes é dado por:

p 2S ∗ % = 1S ∗ S

Figura 20 - Circuito Chebyshev passa-altas de 12ª ordem para D%(*)

Figura 21 - Circuito Chebyshev passa-baixas de 12ª ordem para D%(*)


Assim temos os valores de componentes dado pelo algoritmo

da etapa anterior apenas trocando os valores de p e para os

novos valores. Por exemplo: para a primeira parcela de

% temos que p 0.03114 ∗ % e = 0.9972 ∗%.

Temos então de acordo com as fórmulas matemáticas acima os

valores de componentes para o primeiro filtro passa-altas

responsável pela primeira faixa de passagem de nosso projeto de

filtro dado por:

R = 1000 Ohms C1 = 4.9408e-05 F C2 = 1.201e-08 F

R = 1000 Ohms C1 = 1.6852e-05 F C2 = 4.0462e-08 F

R = 1000 Ohms C1 = 1.0594e-05 F C2 = 8.6781e-08 F

R = 1000 Ohms C1 = 8.1288e-06 F C2 = 1.8916e-07 F

R = 1000 Ohms C1 = 6.9804e-06 F C2 = 5.2758e-07 F

R = 1000 Ohms C1 = 6.5047e-06 F C2 = 2.9096e-06 F

Da mesma forma os valores calculados aqui consideram 8 =8 = 1Ω a técnica de “Mudança de Escala” deve ser usada

para valores mais realistas de componentes. O circuito já com

valores realistas para o primeiro filtro passa-altas da primeira

faixa de passagem está apresentado na Figura 21.

Para a segunda faixa de passagem vamos reduzir o detalhamento

dos cálculos pois o raciocínio é análogo: Temos que projetar um

filtro passa-altas e outro passa-baixas mas agora com as

frequências de corte ωc3=2,8*106 rad/s e ωc4=1,5*107 rad/s,

respectivamente.

A função de transferência %+() para o filtro passa-altas

responsável pela segunda faixa de passagem é idêntica a %() trocando apenas % por %+ = . W ∗ C()/*e

temos os seguintes valores de componentes calculados pelo

algoritmo:

R1 = 5.576 Ohms R2 = 22939.3097 Ohms C = 1e-09 F

R1 = 18.7861 Ohms R2 = 7824.1713 Ohms C = 1e-09 F

R1 = 40.2914 Ohms R2 = 4918.4797 Ohms C = 1e-09 F

R1 = 87.8248 Ohms R2 = 3774.0822 Ohms C = 1e-09 F

R1 = 244.9489 Ohms R2 = 3240.8779 Ohms C = 1e-09 F

R1 = 1350.8966 Ohms R2 = 3020.0174 Ohms C = 1e-09 F

O circuito para %+() é mostrado na Figura 22.

A função de transferência %4() para o filtro passa-altas

responsável pela segunda faixa de passagem é idêntica a %() trocando apenas % por %4 = . ' ∗ 3()/* e

temos os seguintes valores de componentes calculados pelo

algoritmo:

R = 1000 Ohms C1 = 4.282e-09 F C2 = 1.0409e-12 F

R = 1000 Ohms C1 = 1.4605e-09 F C2 = 3.5067e-12 F

R = 1000 Ohms C1 = 9.1812e-10 F C2 = 7.5211e-12 F

R = 1000 Ohms C1 = 7.045e-10 F C2 = 1.6394e-11 F

R = 1000 Ohms C1 = 6.0496e-10 F C2 = 4.5724e-11 F

R = 1000 Ohms C1 = 5.6374e-10 F C2 = 2.5217e-10 F

O circuito para %4() é mostrado na Figura 23.

O circuito final consiste na ligação em série do primeiro passa-

altas (%()) ligado em série com o primeiro passa-baixas

(%()), formando um filtro passa-faixa que deve ser ligado

ao segundo filtro passa-faixa constituído pelo segundo passa-

altas (%+()) ligado em série com o segundo passa-baixas

(%4()). Por fim é ligado um Amplificador Operacional pra

gerar o ganho já calculado na Etapa 2 desta Seção. O circuito

Final é mostrado na Figura 24.

Note que os quadrados exibidos na Figura 24 são os sub-

circuitos exibidos nas Figuras 20, 21, 22 e 23.

E a resposta a uma fonte senoidal de 1V de amplitude, variando

de 1Hz a 159*106 Hz é dado pelo gráfico apresentado pela

Figura 25.

Finalizamos assim nosso projeto de filtro seguindo todas as

especificações.


Figura 22 - Circuito Chebyshev passa-altas de 12ª ordem para D%+*

Figura 23 - Circuito Chebyshev passa-baixas de 12ª ordem para D%4*


Figura 24 - Circuito final para o filtro Chebyshev de 12ª ordem com duas faixas de passagem

Figura 25 - Diagrama de Bode da resposta do Circuito da Figura 24


5 COMENTÁRIOS FINAIS

Neste artigo foi possível observar todos os passos envolvidos no

projeto de um filtro mais complexo. O que se observa é o projeto

de um filtro deve atender as especificações do projeto sem deixar

de lado as limitações dos componentes e considerando ainda

aquilo que é mais vantajoso no quisito custo X benefício.

Outra observação importante é com respeito as varieades de

implementação dos filtros: Um filtro Butterworth exije mais

componentes que um filtro Chebyshev com a mesma atenuação.

No entanto o Butterworth tem uma resposta linear tanto na faixa

de passagem quanto na faixa de rejeição enquanto o Chebyshev

tem oscilações chamadas ‘ripple’.

Por último vale observar que com apesar de o filtro Butterworth

de uma ordem N qualquer ter uma inclinação mais íngreme com

relação ao filtro em cascata de mesma ordem N essa

característica não é evidenciada quando o projeto especifica uma

certa atenuação por década pois ambos tem a mesma atenuação

por década o que muda é a velocidade com que essa atenuação

acontece dentro da faixa de rejeição.

Considero então cumprido o objetivo deste artigo fazer uma

análise de projeto de filtros e servir de referência para futuros

projetos.

6 REFERÊNCIAS

http://professores.unilestemg.br/~ramon/c3/c3.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Low-pass_filter

http://en.wikipedia.org/wiki/High-pass_filter

http://en.wikipedia.org/wiki/Butterworth_filter

http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_filter

http://calypso.inesc-id.pt/FCUL/EAD/docs/FUNCAP1.pdf

http://docentes.fam.ulusiada.pt/~d1095/Filtros_Elec_0607.pdf

http://users.ece.gatech.edu/phasler/Courses/ECE6414/Unit1/Di

screte_02.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Sallen%E2%80%93Key_topology

Plínio Andrade - Simulação Filtros no MatLab

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