plugin-TOM 8%C2%BA e 9%C2%BA EF Aulas 1,2,3

AULA 1

ALGORITMO DE EUCLIDES

Sejam a e b dois números naturais com 0 , a , b. Existem dois únicos números naturais q e r tais que:

b = a ⋅ q + r, com r , a.

Exercícios Resolvidos

1. (OBMEP) Uma professora tem 237 balas para dar a seus 31 alunos. Qual é o número mínimo de balas a mais que

ela precisa conseguir para que todos os alunos recebam a mesma quantidade de balas, sem sobrar nenhuma?

a) 11 d) 31

b) 20 e) 41

c) 21

Resolução:

O algoritmo de divisão de Euclides nos dá 237 = 7 × 31 + 20; logo 237 não é divisível por 31. Isso quer dizer que a

professora realmente vai ter que comprar mais balas para que todos os alunos recebam o mesmo número de

balas. De acordo com o enunciado, devemos então adicionar à expressão 7 × 31 + 20 o menor inteiro positivo x tal

que 7 × 31 + 20 + x seja múltiplo de 31. Como 31 = 20 + 11, basta que a professora compre 11 balas.

Alternativa A

2. Qual o algarismo decimal que ocupa a posição 2009 na divisão de 2 por 7?

Resolução:

O número = 0,2857142857142... é uma dízima periódica cujo período tem 6 elementos.

período

Como 2009 = 334 ⋅ 6 + 5 podemos afirmar que esse algarismo é o 1.

1. Qual o algarismo da unidade de 141415?

2. Considere a sequência ABAABBAAABBBABAABBAAABBB... Veja que o primeiro B ocupa a segunda posição; o

segundo B, a quinta posição; o terceiro, a sexta e assim, sucessivamente. Então responda: qual a posição que o 2009º- B

ocupa na sequência?

3. Uma sequência de números é formada iniciando com um número de dois algarismos, multiplicando esses dois alga-

rismos, escrevendo à direita este resultado e em seguida prosseguindo assim indefinidamente, isto é, sempre multi-

plicando os dois últimos algarismos obtidos. Por exemplo, começando com 67 obtemos 6742816... Se agora,

começarmos com 77, o 2009º- número na sequência é igual a:

a) 1

b) 3

c) 4

d) 6

e) 8

ClasseEm

2

7

SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática

www.cursoanglo.com.br2009

N • Í • V • E • L 2

Treinamento paraOlimpíadas de

Matemática


1. Qual o algarismo da unidade de 422009 + 532009?

2. (OBMEP) A, B, C, D, E, F, G e H são os fios de apoio que uma aranha usa para construir sua teia, conforme mos-

tra a figura.

A aranha continua seu trabalho. Sobre qual fio de apoio estará o número 118?

a) B d) G

b) D e) H

c) E

3. Qual a 2009º- letra na sequência ABCDEDCBAABCDEDCBAABCDEDCBA...?

a) A d) D

b) B e) E

c) C

4. (Olimpíada RN) Os inteiros maiores do que 1 são agrupados em cinco colunas como segue:

2 3 4 5

9 8 7 6

10 11 12 13

17 16 15 14

.... .... .... .... ....

.... .... .... .... ....

Em que coluna se encontra o número 2200?

5. A televisão de Chico das Contas consegue sintonizar os canais de 2 a 42. Se Chico das Contas começa sintoni-

zando o canal 15 e aperta o botão que avança o canal 2009 vezes, com que canal estará sintonizado ao parar?

a) 14 d) 17

b) 15 e) 18

c) 16

6. Suponha que uma calculadora possua uma tecla especial que troque o número x que aparece no visor pelo

número dado pela fórmula . Por exemplo, se a calculadora exibe no visor o número 2, quando essa tecla espe-

cial for pressionada aparecerá no seu lugar o número –1 uma vez que = –1. Supondo que coloquemos no visor

o número 5 e apertemos essa tecla especial 2009 vezes, que número aparecerá no visor?

a) –0,25 d) 1,333...

b) 0,25 e) 5

c) 0,8

1

1 – 2

1

1 – x

C B A

D H

17

18

19

E F G

11 3

2

1

0

10

9

8

7

6

54

16

15

14

13

12

CasaEm

7. (XXIX OBM) Seja {an} uma seqüência na qual cada termo é definido como o dobro da soma dos algarismos do

termo anterior, mais uma unidade. Por exemplo, se an = 234, então an + 1 = 2 ⋅ (2 + 3 + 4) + 1. Se, a1 = 1 o valor

de a31 + a32 + a33 + a34 + a35 é igual a:

a) 44 d) 75

b) 54 e) 84

c) 64

8. Cinco pontos sobre uma circunferência estão numerados consecutivamente por 1, 2, 3, 4, e 5, no sentido dos

ponteiros do relógio. Uma pulga pula de um ponto a outro da seguinte forma: se ela estiver sobre um ponto ímpar

move-se um ponto; e se ela estiver sobre um ponto par, move-se dois pontos (sempre no sentido dos ponteiros

do relógio). Se a pulga estiver inicialmente no número 1, em qual ponto ela estará após 2009 pulos?

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

9. Zé da Álgebra criou uma sequência de inteiros positivos segundo três regras. Começando com um inteiro positivo,

ele aplica ao resultado a regra apropriada, dentre as abaixo relacionadas, e continua sempre dessa forma.

Regra 1: Se o inteiro é menor do que 10, multiplica-o por 9.

Regra 2: Se o inteiro é par e maior do que 9, divide-o por 2.

Regra 3: Se o inteiro é ímpar e maior do que 9, dele subtrai 5.

Um exemplo de tal sequência é dado por (23, 18, 9, 81, 76,...)

Qual o 2009º- termo da sequência que começa com (98, 49,...)

a) 6 d) 27

b) 11 e) 54

c) 22

10. (Olimpíada da Costa Rica) Os inteiros positivos são colocados na tabela abaixo:

linha 1 3 11 19 .....

linha 2 2 6 10 14 18 22 .....

linha 3 1 5 9 13 17 21 .....

linha 4 4 8 12 16 20 24 .....

linha 5 7 15 23 .....

O número 2009 ocupa qual linha?

a) primeira

b) segunda

c) terceira

d) quarta

e) quinta

Problema de raciocício lógico:

(XXIX OBM) Uma avenida possui 100 prédios numerados de 1 a 100, onde prédios com numeração par se situam

do lado direito da rua e prédios com numeração ímpar se situam no lado esquerdo. A quantidade de andares de

cada prédio é igual à soma dos algarismos do número correspondente ao prédio. Assim, podemos afirmar que:

a) A quantidade de prédios com mais de 10 andares é maior do lado direito da rua.

b) A quantidade de prédios com menos de 5 andares é maior do lado direito da rua.

c) Pelo menos metade dos prédios possui 10 ou mais andares.

d) Em ambos os lados da rua há a mesma quantidade de prédios com exatos 8 andares.

e) Pelo menos 25% dos prédios possui menos de 5 andares.



AULA 2

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE

Na primeira aula vimos o Algoritmo de Euclides, que novamente é apresentado abaixo:

Sejam a e b dois números naturais com 0 , a , b. Existem dois únicos números naturais q e r tais que:

b = a ⋅ q + r, com r , a.

(i) se r = 0, então b = a ⋅ q . Nesse caso, dizemos que b é múltiplo de a ou a divisor de b.

Usaremos as notaçõesb/a para representar que b divide a.

b / a para representar que b não divide a.

(ii) se r ≠ 0, então: a/(b – r) e a/(b + a – r)

Exemplo: Observe que 17 = 5 ⋅ 3 + 2, portanto 5 / 17. Mas 5/(17 – 2) e 5/(17 + 5 – 2).

Para verificar se um número é divisível por outro, devemos efetuar uma divisão muitas vezes lenta e trabalhosa.

Existem, porém, algumas regras que nos permitem verificar rapidamente se um número é divisível por outro ou

não, sem efetuar a divisão. Os critérios de divisibilidade normalmente são abordados em sala de aula e

todos utilizam apenas os algarismos do número que se quer atestar a divisibilidade por um dado inteiro. Podemos

dividir os critérios que utilizam apenas os algarismos em dois grupos, um que utiliza todos os algarismos (por

exemplo, 3 e 11) e outro que utilizam apenas alguns (por exemplo, 2 e 5). Vejamos algumas dessas regras:

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando é par.


Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos é divisível por 3.


Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da

direita for divisível por 4.


Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for zero ou 5.


Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.


Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o número obtido eliminando o último algarismo e o dobro do

número representado por esse algarismo, for divisível por 7. Se o número obtido for grande, de tal forma que ainda

não seja capaz de se averiguar facilmente se é divisível por 7, repete-se o processo, tantas vezes quantas as

necessárias. Por exemplo, 165928 é divisível por 7 pois: 16592 – 16 = 16576; 1657 – 12 = 1645; 164 – 10 = 154;

15 – 8 = 7. Como a diferença é divisível por 7, o número dado inicialmente também é divisível por 7.


Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos

da direita for divisível por 8.


Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos é divisível por 9.


Um número é divisível por 10 quando termina em 0.


Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem

ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.


1. Em relação ao número N = 123456789, responda:

a) É divisível por 9? Em caso negativo, determine o número mais próximo de N que é divisível por 9.

b) É divisível por 11? Em caso negativo, determine o número mais próximo de N que é divisível por 11.

Resolução:

a) Um número é divisível por 9 se a soma de seus algarismos é divisível por 9. Aplicando o critério de

divisibilidade, temos que: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 que é múltiplo de 9, logo 9/N.

b) Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de

ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. Aplicando o critério, temos que:

soma dos algarismos de ordem ímpar = Si = 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25

soma dos algarismos de ordem par = Sp = 8 + 6 + 4 + 2 = 20

Si – Sp = 25 – 20 = 5 que não é múltiplo de 11, logo 11 / N.

Assim, o número mais próximo de N é 123456789 – 5 = 123456784.

2. Se somarmos todos os números de 1 a 2009, qual o resto da divisão por 3?

Resolução:

O resto de (1 + 2 + 3) : 3 é 0; o resto de (4 + 5 + 6) : 3 é 0; e assim por diante, sempre indo de três em três até o

próximo múltiplo de 3. Temos que nos preocupar apenas com os números após o último múltiplo de 3, no caso

2007 (pois 2 + 0 + 0 + 7 = 9). Basta verificar a soma 2008 + 2009 = 4017. A soma dos algarismos é 12, que é

múltiplo de 3. Logo, o resto será 0.

3. Quando passeavam por uma cidade, 3 matemáticos observaram que o motorista de um automóvel violou uma das

regras do trânsito. Nenhum dos matemáticos recordava o número da placa (que tinha 4 algarismos), mas cada um

deles notou uma particularidade. Um deles notou que os dois primeiros algarismos eram iguais. O segundo notou que

os dois últimos eram iguais. E o terceiro garantia que o número era um quadrado perfeito. Qual o número da placa?

Resolução:

O número tem a forma aabb é divisível por 11, pois b – b + a – a = 0 e 11/0. Se é divisível por 11 deve ser divisível

por 121 para ser um quadrado perfeito. Ao dividir aabb por 11 o resultado é a0b (*). Veja que para a0b ser divisível

por 11 é necessário que b – 0 + a seja múltiplo de 11, ou seja, a + b = 11.

O último algarismo de um quadrado perfeito deve ser 0 ou 1 ou 4 ou 5 ou 6 ou 9. Assim temos:

b = 0 e a = 11 (absurdo)

b = 1 e a = 10 (absurdo)

b = 4 e a = 7

b = 5 e a = 6

b = 6 e a = 5

b = 9 e a = 2

Logo, temos 7744 ou 6655 ou 5566 ou 2299 como possíveis soluções. Porém apenas 7744 é quadrado perfeito.

(*) aabb = 1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = 11 ⋅ (100a + b).

Dividindo aabb por 11 obtemos 100a + b = a0b.

4. (Olimpíada do Ceará) O número de três dígitos 2a3 é adicionado ao número 326 para dar o número de três dígitos

5b9. Se 5b9 é divisível por 9, calcule a + b.

Resolução:

Se 5b9 é divisível por 9, então a soma de seus algarismo é divisível por 9.

Como 0 < b < 9, então 14 < 5 + b + 9 < 23. O único múltiplo de 9 nesse intervalo é o 18. Logo, devemos ter

5 + b + 9 = 18, de onde obtemos b = 4. Daí, segue que 2a3 + 326 = 549. Logo, 2a3 = 223, de onde obtemos a = 2.

Portanto, a + b = 6.

1. N = a539984b é um número inteiro positivo com oito algarismos, sendo o primeiro e o último desconhecidos,

representados pelas letras A e B. Sabendo que N é um múltiplo de 198, determine a soma de seus algarismos.

a) 45 d) 48

b) 46 e) 49

c) 47

2. (Olimpíada da Costa Rica) Sejam A e B dois dígitos. Se o produto dos números de três dígitos 2A5 e 13B é

divisível por 36, a quantidade de possíveis pares de inteiros positivos (A, B) que satisfazem a condição do

enunciado é igual a:

a) 6 d) 3

b) 1 e) 5

c) 4

ClasseEm



1. (OBMEP - banco 2007) No número 6a78b, a é o algarismo da unidade de milhar e b é algarismo da unidade. Se 6a78b é

divisível por 45, então o valor de a + b é:

a ) 5 d ) 8

b ) 6 e ) 9

c ) 7

2. Chico das Contas escreveu 4 1 6 3 no quadro de sua sala. Disse para seus colegas que eles

dispunham dos algarismos 9, 8 e 5 para colocar dois deles em dois quadrados vazios, apagar os quadrados não

preenchidos e assim obter um número de seis algarismos distintos. Quais algarismos devem ser escolhidos e onde

colocá-los para formar o maior número possível que seja divisível por 6?

3. (Olimpíada do RN) Durante os festejos do ‘CARNATAL’, três estudantes observaram num letreiro luminoso um número

inteiro de 4 algarismos, que apagava e acendia, ao som da música. Depois dos festejos, nenhum dos estudantes lembrava

do número do letreiro luminoso, mas, como os três gostavam de Matemática, cada um deles havia registrado alguma

particularidade desse número. Um deles notara que o número era maior que 4000 e tinha exatamente dois algarismos

iguais: o primeiro e o terceiro. O outro lembrava que o sucessor do primeiro algarismo, na sequência dos números naturais,

era um quadrado perfeito. Quanto ao último, ele garantia que o número observado era divisível por 2, 3 e 5. Conclui-se que

o menor número possível para ser aquele observado no letreiro luminoso tem a soma dos algarismos igual a:

a ) 1 8 d ) 1 5

b ) 2 1 e ) 2 7

c ) 2 4

4. Dois algarismos do número 273*49*5 foram apagados. Determine estes algarismos, sabendo-se que o número é

divisível por 99.

5. (Olimpíada do Ceará) Perguntaram a um homem de 59 anos, quais as idades de seus filhos. ele respondeu: a idade de

um deles é igual a três vezes a soma dos dígitos de sua idade mais 1 e a idade de cada um dos outros é igual a três

vezes a soma dos dígitos de cada idade mais 3. Quantos filhos tem o homem e quais suas idades? Justifique.

6. (XXX OBM) De quantas maneiras podemos dividir R$10,00 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos, se pelo

menos uma moeda de cada valor tem que ser usada?

a ) 1 5 d ) 1 8

b ) 1 6 e ) 1 9

c ) 1 7

7. Uma velha nota fiscal mostrava que 72 cadernos foram comprados por R$*67,9*, na qual o primeiro e o último dígito

estavam ilegíveis. Qual era o preço de cada caderno?

8. (Olimpíada de Matemática da Unicamp) Escolhendo um número natural qualquer de 3 algarismos e escrevendo-o duas

vezes obtemos um número de seis algarismos. Mostre que é divisível por 143.

9. (Olimpíada do Ceará) Considere os números obtidos repetindo-se 1998, isto é: 1998; 19981998; 199819981998; etc.

Em que passo aparece pela primeira vez um múltiplo de 126?

10. (OPM) Neste exercício, estudaremos o critério de divisibilidade por 19:

Seja n um número natural e n = (akak – 1... a1a0) sua representação decimal, isto é, ak, ak – 1, ..., a1 e a0 são os algarimos

de n. Então:

n = (akak – 1... a1a0) é divisível por 19

se, e somente se,

2 a0 + (akak – 1... a1) é divisível por 19.

Ou seja, n é divisível por 19 se, e somente se, a soma do dobro do algarismo das unidades de n com o número obtido

tirando o algarismo das unidades de n é divisível por 19.

Por exemplo, considere n = 1406. esse número é divisível por 19 se, e somente se, 2 ⋅ 6 + 140 = 152 é divisível por 19.

Já 152 é divisível por 19 se, e somete se, 2 ⋅ 2 + 15 = 19 é divisível por 19, o que é verdade.

Assim, 1406 é divisível por 19.

a ) O número 14082004 é divisível por 19? Lembre-se: você deve justificar sua resposta.

b ) Mostre que 84444...44555 é divisível por 19.

2004 quatros

CasaEm


(XXX OBM) O desenho abaixo mostra um dado comum cujas somas das pontuações em faces opostas é sempre

igual a 7. Ele é colocado em uma mesa horizontal com a face “1” voltada para Leste. O dado é, então, movido

quatro vezes.

Um movimento consiste em uma rotação de 90° em relação a uma aresta. Depois do primeiro movimento a face

em contato com a mesa passa a ser a “1”, depois a “2”, então a “3” e, finalmente, a face “5”.

Para que sentido está voltada a face “1” após esta seqüência de movimentos?

a) Oeste

b) Leste

c) Norte

d) Sul

e) Cima

AULA 3

NÚMEROS PRIMOS, PARES E ÍMPARES EM IN

Resumo:

1. Definição

Um número inteiro n . 1 é chamado primo se possui exatamente dois divisores positivos, ele mesmo e 1. Se n

não é primo, então é um número composto. Assim, por exemplo: 2, 3, 5 e 7 são números primos e 4, 6, 9 e 12 são

números compostos.

2. Teorema Fundamental da Aritmética – TFA

Todo número inteiro positivo maior que 1 ou é primo ou se escreve de modo único, a menos da ordem dos fatores,

como um produto de números primos.

3. Teorema de Euclides

O conjunto dos números primos é infinito.

4. Classificação quanto a paridade:

a) Número Par

O número par é um natural múltiplo de 2.

conjunto dos pares = {0, 2, 4, ...}

b) Número Ímpar

O número ímpar não é múltiplo de 2.

conjunto dos ímpares = {1, 3, ...}

Em símbolos:

p é par: p ∈ IN e p = 2k, sendo k ∈ IN.

i é ímpar: i ∈ IN e i = 2k + 1, sendo k ∈ IN.

Conclusão: Todo número natural pode ser representado na forma 2k ou 2k + 1, sendo k ∈ IN.

Observação: Os pares são fechados para a adição, subtração e multiplicação.

Os ímpares são fechados somente para multiplicação.

5. Primos de Fermat e Mersenne

Os números de Fermat (1601-1665) são da forma Fn= 22n+ 1. Temos que F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257 e F4 = 65537

são números primos. Fermat acreditava que os números gerados por F2 eram primos para todo n natural. Mas, em

1732, Euler mostrou que:

F5 = 225= 4.294.967.297 = 641 ⋅ 6700417

e portanto composto. Até hoje não se sabe se existem outros primos de Fermat.

Norte

Leste



Os números de Mersenne (1588 - 1648) são da forma Mp = 2p – 1, sendo p um número primo. Entre 1 e 5000 os

números de Mersenne correspondem aos seguintes valores de p: 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607,

1279, 2203, 2281, 2117, 4253 e 4423.

Em 15/12/2005 foi descoberto um novo número de Mersenne que é primo, M30402457.

6. Curiosidades

(i) Euler acreditava que o trinômio n2 + n + 41 assumia valores primos para quaisquer valores naturais de n.

Essa afirmação é verdadeira para valores menores ou iguais a 39. Observe o que ocorre para n = 40:

402 + 40 + 41

= 40 ⋅ ( 40 + 1) + 41

= 40 ⋅ 41 + 41

= 41 ⋅ ( 40 + 1)

= 41 ⋅ 41

= 412, que não é primo.

(ii) Primos gêmeos: a diferença entre dois primos é igual a 2. Exemplos: 3 e 5, 5 e 7; 11 e 13; 17 e 19; etc

conjectura : existem infinitos primos gêmeos.

(iii) Conjectura de Goldbach: todo inteiro par é soma de dois números que são primos ou iguais a 1.

2 = 1 + 1

4 = 2 + 2 = 1 + 3

6 = 3 + 3 = 1 + 5

8 = 3 + 5 = 1 + 7

........................

Já foi testada para todo número par menor que 1017!!


1. Verifique se o número 131 é primo.

Resolução:

Critério para reconhecer um primo

primeiro passo: determinar todos os primos cujos quadrados são menores ou iguais ao número em questão.

segundo passo: analisar se algum primo selecionado anteriormente é divisor do número em questão. Em caso

afirmativo, o número não é primo; em caso negativo, é primo.

O número 131 é primo, pois:

primeiro passo: 2, 3, 5, 7 e 11, pois 132 = 169 . 131.

segundo passo: nenhum dos primos selecionados divide 131, logo ele é primo.

Justificativa: Considere o produto d1 ⋅ d2, ambos números primos.

Se d1 . 11 e d2 . 11, então d1 ⋅ d2 . 131.

Logo, se 131 admitisse um divisor d1, d1 . 11, deveríamos ter um natural d2, d2 < 11, de modo que d1 ⋅ d2 = 131,

isto é, 131 teria um divisor menor ou igual a 11.

Porém, isso é absurdo, pois, como foi verificado anteriormente 131 não admite divisor menor ou igual a 11.

2. Em relação ao número 158760, responda:

a) quantos divisores naturais possui?

b) quantos divisores naturais são pares?

c) quantos divisores naturais são quadrados perfeitos?

d) quantos divisores naturais são múltiplos de 3?

Resolução:

O número 158.760 pode ser decomposto em fatores primos, sendo igual a 23 ⋅ 34 ⋅ 51 ⋅ 72. Seus divisores são da

forma 2a ⋅ 3b ⋅ 5c ⋅ 7d, sendo a = 0, 1, 2, 3; b = 0, 1, 2, 3, 4; c = 0, 1 e d = 0, 1, 2.

a) Seja N(d) o número de divisores naturais de d, assim:

O expoente a pode assumir 4 valores distintos; o expoente b, 5; o c, 2 e o d pode assumir 3 valores distintos.

Assim:

N(158760) = 4 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 3 = 120

b) Um número natural é par se é múltiplo de 2. Logo, basta impor que o expoente a não pode ser igual a zero,

assim suas opções são 1, 2 ou 3. Sendo que os demais expoentes mantêm a mesma quantidade de opções.

Assim:

Npares(158760) = 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 3 = 90

c) Um número natural é quadrado perfeito se todos expoentes de seus fatores primos são pares. Os expoentes

passam a assumir os seguintes valores: a = 0, 2 ; b = 0, 2, 4 ; c = 0 e d = 0, 2. Assim:

Nquad. perfeitos(158760) = 2 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 2 = 12

d) Um número natural é múltiplo de 3 se é da forma 3k, k ∈ IN. Logo, basta impor que o expoente b é diferente

de zero, ou seja, assume os valores 1, 2, 3 ou 4. Assim:

Nmúlt. de 3(158760) = 4 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 96

2. Chico das Contas comprou um livro e reparou que ele tinha 500 páginas. Seu irmão mais novo arrancou ao acaso

26 folhas e somou os números das 52 páginas.

Explique porque o resultado dessa soma não pode ser igual a 2009.

Atenção: cada folha tem duas páginas. A primeira folha tem as páginas 1 e 2, a segunda folha tem as páginas 3

e 4, e assim por diante.

Resolução:

Como cada folha contém duas páginas tais que a soma dos seus respectivos números é ímpar, ao adicionarmos

todos esses 26 números, obteremos necessariamente uma soma par que, portanto, não pode ser igual a 2009.

4. Escreva o número 99 como soma de dois primos naturais.

Resolução:

O número 99 é ímpar. Para que a soma de dois números naturais seja ímpar, um deles deve ser par e o outro

ímpar. O único número natural primo e par é o 2. Ocorre que: 99 = 2 + 97 e 97 é primo. Portanto, os dois números

procurados são 2 e 97.

1. a) Quantos números inteiros positivos menores do que 2009 possuem um número ímpar de divisores positivos?

b) Qual o menor inteiro positivo com o mesmo número de divisores de 2009?

2. (Olimpíada Costa Rica) Determinar a quantidade de pares ordenados de números inteiros, que não contêm zeros e

que multiplicados dão produto 90.000.

a) 3 d) 12

b) 6 e) 16

c) 9

3. (Olimpíada Mexicana) Na figura, a, b, c, d, e e f são áreas das regiões

correspondentes. Se todos eles são números inteiros positivos diferentes entre si

e menores do que 10, cada triângulo formado por três regiões tem área par e a

área da estrela completa é 31, o valor de f é:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

1. Qual o algarismo das unidades do número N = p1 ⋅ p2 ⋅ ... p2 0 0 5, formado pelo produto dos 2009 primeiros números

primos, p1, p2, ..., p2009.

CasaEm

ClasseEm


d

cf

e

ab


2. (XXVI OBM) A soma de dois números primos a e b é 34 e a soma dos primos a e c é 33. Quanto vale a + b + c?

3. Eu e meu irmão caçula temos idades entre 10 e 20 anos e hoje nossas idades são expressas ambas por números

primos, fato que se repetirá pela próxima vez daqui a 18 anos. Determine minha idade sabendo que a idade de nosso

irmão mais velho, que, hoje, também é um número primo, é uma unidade maior do que a soma das nossas idades.

4. Quantos números naturais x, 1 , x , 100, possuem exatamente 3 divisores naturais?

a) 1 d) 6

b) 2 e) 8

c) 4

5. A professora desafia Chico das Contas e Zé da Álgebra com o seguinte jogo, em que eles jogam alternadamente.

Ela escreve no quadro-negro os inteiros de 1 a 2009. Uma jogada consiste em escolher dois dos números escritos,

apagar esses números, substituindo-os pela soma (Por exemplo, se Chico das Contas escolheu 8 e 23, apaga-os e

escreve 31). Depois de algum tempo, vai restar no quadro-negro um único número. Se esse número é par, o

ganhador é Chico das Contas, caso contrário, o ganhador é Zé da Álgebra. Quem vence o jogo: Chico das Contas

ou Zé da Álgebra? Justifique sua resposta

6. (XXX OBM) Quantos números inteiros positivos menores que 500 têm exatamente 15 divisores inteiros positivos?

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

7. (XXX OBM) Seja P(n) a soma dos algarismos pares do número n. Por exemplo, P(1234) = 2 + 4 = 6. Qual o valor de

P(1) + P(2) + P(3) + ... + P(100)?

a ) 2 0 0 d ) 9 0 0

b ) 3 6 0 e ) 2 2 5 0

c ) 4 0 0

8. (XXX OBM) Os algarismos a, b e c são tais que os números de dois algarismos aa—, bc—

e cb—

são números primos e

aa—

+ bc—

+ cb—

= aa—2 . Se b , c , então bc—

é igual a:

a ) 1 9 d ) 2 9

b ) 1 7 e ) 5 9

c ) 3 7

9. (XXX OBM) Cinco inteiros positivos a,b,c,d,e maiores que um satisfazem as seguintes condições:

a ⋅ (b + c + d + e) = 128

b ⋅ (a + c + d + e) = 155

c ⋅ (a + b + d + e) = 203

d ⋅ (a + b + c + e) = 243

e ⋅ (a + b + c + d) = 275

Quanto vale a soma a + b + c + d + e ?

a ) 9

b ) 1 6

c ) 2 5

d ) 3 6

e ) 4 9

10. (OBMEP- banco 2007) Se Sn = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ... + (–1)n + 1n, onde n é um inteiro positivo, então S1 9 9 2 + S1 9 9 3 é :

a ) –2

b ) –1

c ) 0

d ) 1

e ) 2

11. (OPM/2002) A Sequência de Fibonacci é definida da seguinte forma: o temo 0, representado por F0, é igual a 0, o

termo 1, representado por F1, é igual a 1 e, a partir do termo 2, cada termo é a soma dos dois anteriores. Por

exemplo: o termo 2, representado por F2, é igual a F0 + F1 = 0 + 1 = 1; o termo 3, representado por F3, é igual a

F1 + F2 = 1 + 1 = 2, e assim por diante.

Assim, os primeiros termos dessa sequência são: F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, F1 3 = 13, ...

a ) Calcule F8, F9, F1 0 e F1 1.

b ) F2 0 0 2 é par ou ímpar? Justifique.


(XXX OBM) O grupo A da última Copa do Mundo de futebol terminou com os seguintes resultados:

Equipe Número de Pontos

Áustria 7

Brasil 5

Camarões 4

Dinamarca 0

Sabe-se que Áustria e Camarões levaram apenas 1 gol, cada um. Além disso, Brasil e Dinamarca marcaram

apenas 1 gol, cada um, enquanto que Áustria marcou 3 gols. Qual o resultado da partida Áustria × Dinamarca?

O b s e r v a ç ã o: no grupo, cada seleção joga com as demais exatamente uma vez e, em cada partida, o time vencedor

ganha 3 pontos, o perdedor não ganha nem perde pontos e, em caso de empate, cada time ganha 1 ponto.

a) 1 × 0 d) 0 × 0

b) 2 × 1 e) Nada se pode afirmar.

c) 2 × 0


SISTEMA ANGLO DE ENSINO – Coordenação Geral: Nicolau Marmo; Coordenação do TOM: Marco Antônio Gabriades; Supervisão de

C o n v ê n i o s: Helena Serebrinic; Nível 2: CLÁUDIO de Lima VIDAL, FÁBIO Pelicano Borges Vieira, RAUL Cintra de Negreiros Ribeiro; Projeto Gráfico,

Arte e Editoração Eletrônica: Gráfica e Editora Anglo Ltda;

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