FACULDADE ANHANGUERA DE JOINVILLE UNIDADE 2CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA CIVIL 2 E 3 FASECLCULO II

Titulo

PROF. _________

Joinville - SC2 Semestre/2014

SUMRIO1. INTRODUO22. DERIVAO E O MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO32.1 Velocidade instantnea32.2 Grficos do espao x tempo e velocidade x tempo32.3 Acelerao instantnea32.4 Grfico da acelerao x tempo43. DERIVAO: FUNO EXPONENCIAL43.1 Constante de Euler43.2 Sries harmnicas43.3 Crescimento populacional43.4 Grfico do crescimento populacional x tempo54. TAXAS RELACIONADAS E OTIMIZAO44.1 Maximizando o volume da lata de leo54.2 Layout e modelo da lata de leo44.3 Clculo do bico de envasadura44.4 Clculo de volume e velocidade do leo45. APLICAES MARGINALIDADE45.1 Funo custo e funo receita55.2 Lucro mximo45.3 Receita marginal e custo mdio46. CONCLUSO67. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS7

1. INTRODUO

A noo da aplicabilidade de derivadas um desafio aos estudantes de clculo. Neste trabalho procurou-se apresentar possveis aplicaes de clculos.Analisando a relao entre a teoria e a prtica, o trabalho descreve o estudo da matemtica em geral, bem como o estudo de derivadas, focando nas tcnicas de derivao. Considera-se o envolvimento de todos os passos que utilizam inmeras ferramentas para concluir a real formulao do trabalho.Objetivando o aprofundamento e o estudo das tcnicas de derivao, o trabalho engloba tambm algumas aplicaes de clculos de derivadas para o cotidiano.

2. DERIVAO E O MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

2.1. Velocidade Instantnea

Pesquisar o conceito de velocidade instantnea a partir do limite, com t0. A velocidade instantnea , portanto definida como o limite da relao entre o espao percorrido em um intervalo de tempo, onde este ltimo tende a zero. Quando se considera um intervalo de tempo que no tende a 0, a velocidade considerada mdia. A velocidade instantnea pode ser entendida como a velocidade de um corpo no exato instante escolhido. No movimento retilneo uniforme, a velocidade instantnea coincide com a mdia em todos os instantes. Por exemplo: Sabemos que um automvel est percorrendo uma estrada a uma velocidade mdia de 10km/h, isso significa que ele percorre uma distncia de 10km em 1 hora, mas durante esta 1hora ele ir acelerar, frear, consecutivamente... Ento, se quisermos saber a velocidade deste automvel, em cada instante desta 1 hora, precisar utilizar a velocidade instantnea a partir do limite, com t 0.Na Fsica temos:x = x0 + v0 t + at/2Quando se considera um intervalo de tempo que no tende a zero, a velocidade considerada mdia. A velocidade instantnea pode ser entendida como a velocidade de um corpo no exato instante escolhido (limite tendendo a zero). No movimento retilneo uniforme, a velocidade instantnea coincide com a mdia em todos os instantes.Devemos adotar a seguinte frmula:S = s0 + v0t + a.t/2Derivando obtemos:v = s(t)Com a derivao da frmula acima podemos calcular a velocidade de um objeto a partir do grfico Espao(s) x Tempo(t), fornecendo assim, a inclinao da reta tangente ao ponto na curva correspondente, sendo essa a velocidade instantnea. S = s0 + v0t + a.t/2, onde s0=2, v0=6 e a = 11 (somatria dos RAs), obtemos o seguinte clculo:S= 2 + 6t + 11t/2Derivando para velocidade, temos: v = s(t) = 22t + 6.2.2. Grficos do Espao x Tempo e Velocidade x Tempo

Grfico do espao versus tempo:

Tempo (s)012345

Posio (m)213,53669,5114169,5

S0= 2+6x0 + 11 x 0/2 S1 = 2+ 6x1 + 11x1/2S2 = 2 + 6x2 + 11x2/2S0 = 2 +0S1 = 8+ 5,5S2 = 14 + 22S0 = 2mS1 = 13,5mS2 = 36m

S3 = 2 + 6x3 + 11x3/2S4 = 2+ 6x4 + 11x4/2S5 = 2+ 6x5 + 11x5/2S3 = 20 + 49,5S4= 26 + 88S5 = 32 + 137,5S3 =69,5mS4= 114mS5 = 169,5 m

Grfico da velocidade versus tempo:

Tempo (s)012345

Velocidade (m/s)628507294116

V0= 22x0 + 6V1 = 22x1 + 6V2 = 22x2 + 6V3 = 22x3 + 6V0 = 6 m/sV1 = 28 m/sV2 = 50 m/s V3 = 72 m/s

V4= 22x4 + 6V5 = 22x4 + 6V4 = 94 m/sV5 = 116 m/s

Clculo da rea formada pela funo da velocidade

A = (b * h)/2 A = b * hA = (5 * 160)/2 A = 5 * 8 A = 800/2 A = 40 m/sA = 400 m/s

rea da funo da velocidade = 400 + 40 => 440 m/s

2.3. Acelerao Instantnea

Em fsica a acelerao a taxa de variao (ou derivada em funo do tempo) da velocidade. Ela uma grandeza vetorial, desacelerao a acelerao que diminui o valor absoluto da velocidade. Para isso, a acelerao precisa ter componente negativa na direo da velocidade. Isto no significa que a acelerao negativa. Assim a acelerao a rapidez com a qual a velocidade de um corpo varia. Desta forma o nico movimento que no possui acelerao o MRU.

Assim de acordo com o exemplo anterior temos:

S = 2 +6t + 11tS = V= 0 + 22t + 6S = V = a = 22 m/s2.4. Grfico da Acelerao x Tempo

A acelerao nesse movimento no depende do tempo, ou seja, constante. Desta forma os valores da acelerao no aumentam e tambm no diminui com o passar do tempo.Nesse caso temos a seguinte acelerao x tempo:Tempo (s)012345

Acelerao (m/s)222222222222

Quando a velocidade de uma partcula varia diz-se que a partcula sofre acelerao, para sabemos como ela esta variando pegamos a sua velocidade e a derivamos em relao ao tempo sendo: a = dv/dt, pois a acelerao da partcula em qualquer instante a taxa na qual sua velocidade est mudando naquele instante. Graficamente, a acelerao em qualquer ponto a inclinao da curva de v(t) naquele ponto. Em palavras, a acelerao de uma partcula em qualquer instante dada pela derivada segunda de sua posio x(t) em relao ao tempo a = dx/dt = ddt, dx/dt = dxdt. Derivando velocidade em relao ao tempo: a = dv/dt 12t-2 a = 12.1t1-1 a =12A acelerao a taxa de variao da velocidade: quanto maior a acelerao, mais rpido a velocidade varia. Se a acelerao for positiva, e a velocidade for positiva, ento o mdulo da velocidade aumenta. Se ela for negativa, e a velocidade, positiva, ento o mdulo da velocidade diminui. Assim, a acelerao "puxa" a velocidade na direo dela, fazendo-a crescer caso ambas estejam no mesmo sentido, e diminuir caso estejam em sentidos opostos. A relao entre acelerao mdia e instantnea a mesma que h entre a velocidade mdia e a instantnea.

3. DERIVAO: FUNO EXPONENCIAL

3.1. Constante de Euler

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemtico suo Leonhard Euler no artigo de Progressionibus Harmonicus Observationes, publicado em 1735. Euler usou a notao C para a constante, e inicialmente calculou seu valor at 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus clculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemtico italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notao para a constante, e tentou estender o clculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de clculos subsequentes terem mostrado que ele cometera erros na 20, 22 e 32 casas decimais. (do 20 dgito, Mascheroni calculou 1811209008239.) (Wikipdia, 24/03/2012). No se sabe se a constante de Euler-Mascheroni ou no um nmero racional. No entanto, anlises mostram que se for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dgitos (Havil, page 97). Em 1736, quando publicou o seu livro Mechanica, onde a dinmica de Newton (1642-1727) foi apresentada de forma analtica, foi impresso pela primeira vez o nmero . A partir deste momento, a notao do nmero foi facilmente aceita e adotada nos clculos matemticos, bem como a padronizao da denominao de exponencial. A constante de Euler-Mascheroni uma constante matemtica com mltiplas utilizaes em teoria dos nmeros. Ela definida como o limite da diferena entre a srie harmnica e o logaritmo natural. Que pode ser condensada assim: em que E(x) a parte inteira de x.Resumidamente a constante de Euler nos mostra o valor do limite quando n tende para o infinito, n = lim 1+1 n 1+1: = lim (2) = lim = 2 = lim 5 = lim 1+1 5;Valores de n 1 5 10 50 100 500 1000 5000 10000 100000 1000000 (0,000001) 1: = lim (1,2) = lim = 2,48832;Constante 2 2,48832 2,59374246 2,691588029 2,704813829 2,71556852 2,716923931 2,718010049 2,718145935 2,718268297 1000000 2,718 2,717 2,716 2,705 2,692 2,594 2,488 2 1 5 10 50 100 500 1000 5000 10000 100000 n.Conforme a funo tende a +, mais ela se aproxima de 2,72.Veja a tabela abaixo:

= lim (1+1)nnn

1 2

5 2,48832

10 2,59374246

50 2,691588029

100 2,704813829

500 2,715568521

1000 2,716923932

5000 2,71801005

10000 2,718145927

100000 2,718268237

1000000 2,718280469

3.2. Sries Harmnicas

Em fsica, srie harmnica o conjunto de ondas composto da frequncia fundamental e de todos os mltiplos inteiros desta frequncia. De forma geral, uma srie harmnica resultado da vibrao de algum tipo de oscilador harmnico. Entre estes esto inclusos os pndulos, corpos rotativos (tais como motores e geradores eltricos) e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As principais aplicaes prticas do estudo das sries harmnicas esto na msica e na anlise de aspecto eletromagnticos, tais como ondas de rdio e sistemas de corrente alternada. Em matemtica, o termo srie harmnica refere-se a uma srie infinita. Tambm podem ser utilizadas outras ferramentas de anlise matemtica para estudar este fenmeno, tais como as transformadas de Fourier.A srie harmnica uma srie infinita, composta de ondas senoidais com todas as frequncias mltiplas inteiras da frequncia fundamental. Tecnicamente, a frequncia fundamental o primeiro harmnico, no entanto, devido a divergncias de nomenclatura, alguns textos apresentam a frequncia 2F como sendo o primeiro harmnico.Na matemtica, para evitar ambiguidades, consideramos, no mbito desse artigo, que a fundamental corresponde ao primeiro harmnico. No existe uma nica srie harmnica, mas sim uma srie diferente para cada frequncia fundamental. Esta srie Harmnica a serie infinita definida como: Progresso Geomtrica, que uma sequncia numrica em que cada termo, a partir do segundo, igual ao produto do termo anterior por uma constante Q. Essa constante chamada de razo da progresso.Exemplos de progresso geomtrica constante: * P.g.(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) - razo q = 1; * P.g.(0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razo nula ou indeterminada.Exemplos de progresso geomtrica crescente: * P.G. (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...) - razo q = 2; * P.G. (2,6,18,54,162,486,1458,4374,13122,...) - razo q = 3; * P.G. (-100,-10,-1,-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001,-0.00001,...) - razo q = 1/10.Exemplos de progresso geomtrica decrescente: * P.G. (-1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512,-1024,-2048,-4096,...) - razo q = 2; * P.G. (8,4,2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...) - razo q = 1/2.Exemplos de progresso geomtrica oscilante: * P.G. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...) - razo q = -2; * P.G. (1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...) - razo q = -1.Exemplos de progresso geomtrica quase nula: * P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razo q = 0; * P.G. (-169,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razo q = 0.

3.3. Crescimento Populacional

A Teoria da Populao de Thomas Malthus publicada em 1798 demonstra sua preocupao diante da questo social agravada pela misria crescente do operariado na Inglaterra. Segundo ele, a populao crescia em progresso geomtrica, enquanto os meios de subsistncia cresciam em progresso aritmtica, o que resultava em misria e pobreza. Malthus era contrrio a qualquer interveno do Estado para tentar resolver o problema e afirmava que isso serviria apenas para estimular o aumento da populao e o agravamento da questo. Para ele, a prpria natureza seria incumbida de resolver tal problema, pois aumentaria a mortalidade devido fome.O essencial da teoria de Malthus, como enfatiza Hugon (1995, p. 112), se resume que h uma falta de concordncia entre o poder de reproduo da espcie humana e a capacidade de produo dos meios de subsistncia e que o excedente deve desaparecer.Um homem que nasce em um mundo j ocupado no tem o direito de reclamar parcela alguma de alimento, no grande banquete da natureza no h lugar para ele. A natureza intima-o a sair e no tarda em executar essa intimao (Hugon, 1995, p. 112).Preocupado com o crescimento populacional acelerado, Malthus publica uma srie de ideias, alertando a importncia do controle da natalidade, afirmando que o bem-estar populacional estaria intimamente relacionado com o crescimento demogrfico do planeta. Ele acreditava que o crescimento desordenado acarretaria a falta de recursos alimentcios para a populao gerando, como consequncia, a misria e a fome. (Coulon, 1995).Exemplo: Considerar uma colnia de vrus em um determinado ambiente. Um analista de um laboratrio ao pesquisar essa populao, percebe que ela triplica a cada 8 horas.Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus, quantos vrus haver na colnia aps 48 horas em relao ltima contagem?Considerando que, no instante inicial havia 200 bactrias, ento No = 200, aps 12 horas havia 600 bactrias, ento N(12) = 600 = 200 er12;logo, e12r = 600/200 = 3.Assim, ln(e12r) = ln(3), como Ln e exp so funes inversas uma da outra, segue que:12r = ln(3)r = ln(3)/12 = 0,0915510N(48) = 200 e 48 . (0,0915510) = 16200 bactriasEnto, aps 36 horas da ltima contagem, ou seja, 48 horas do incio da contagem, haver 16200 bactrias.

3.4. Grfico do Crescimento Populacional x Tempo

Grfico do crescimento populacional e versus tempo:

Tempo (s)048121618

Cresc. Populacion.200600

Grfico

4. TAXAS RELACIONADAS E OTIMIZAO

4.1. Maximizando o Volume da Lata de leo

A empresa Soy Oil, desejando inovar, na apresentao de sua nova linha de leo para cozinha, contrata a empresa MADEL Engenharia Ltda para criar uma nova embalagem da lata, a qual dever armazenar o produto. Slogan: Voc imagina e ns colocamos em prtica para sua empresa.Depois de muito pensarem, a empresa decidiu que a lata dever ser construda de forma que seja um cilindro circular reto de volume mximo que possa ser inscrito em uma esfera de dimetro D = 1*cm.Onde D uma dezena do intervalo [10, 19], em que o algarismo da unidade (*) dado pelo maior algarismo dos algarismos que compe os RAs dos alunos do seu grupo; Exemplo: Se o grupo uma dupla com os seguintes RAs 100456012 e 1000032467, observa-se que o maior algarismo presente nos RAs o 7, portanto deve-se usar D = 17. Lembre-se que D = 2.R.Com base nessas informaes, calcular qual ser a altura mxima da lata e qual o volume de leo que ela comporta. Observar a figura 4.1. Notar que a altura da lata (H) igual a soma de h + h, ou seja: H = 2h.Criao de nova embalagem para leo de cozinha, 01 cilindro circular reto de volume mximo que possa ser inscrito em uma esfera de 19 cm. Lembrando que D = 2*R. Calcular qual ser a altura mxima da lata e qual o volume de leo que ela comporta. H = h + h, ou seja, H = 2*H.

Figura 4.1. Cilindro inscrito na esferaR = h + r9,5 = h + rr = 90,25 - h em cm

H = 2h em cmV = r . HV = (90,25 - h) . 2hV = 2 (890,25h - h)V = 90,25 3hh = 5,4848

h = 5,4848, temos: H = 2*h = 10,97cmr = 90,25 5,4848r = 90,25 (5,4848) r = 7,757cm

V = r . HV = . (7,757) . 10,97 = 2,08 cmV = 0,00208 litros (L)4.2. Layout e Modelo da Lata de leo

Esta nova embalagem trar para a empresa um novo visual, sendo ela confeccionada com materiais nobres que recebem tratamento para poder armazenar com maior qualidade o produto Soy Oil. um recipiente visivelmente mais bonito e tambm seu custo inferior ao do recipiente utilizado atualmente pela empresa. Seu tempo de produo tambm inferior, agregando assim valores ao produto.Soy Oil. A otimizao do tempo e dos custos so grandes vantagens, haja vista que tais qualidades fazem com que a empresa possa se destacar no mercado.

4.3. Clculo do bico de envasadura

A empresa Soy Oil adquiriu uma nova mquina para evaso do leo dentro das latas que sero comercializadas. O bico da envasadura em formato de uma pirmide hexagonal regular invertida, com 50 cm de altura e de aresta da base de 10 cm. O leo escoa por meio de uma pequena abertura no bico da pirmide, aps a pirmide atingir seu volume mximo.Sabendo que o leo flui no bico a uma taxa de 3 cm3/s. Com que velocidade o nvel do leo estar se elevando quando atingir 20 cm de altura?

3 cm/s = 50 cm x3 cm/s .x = 50 cmx = 50 cm 3cm/s x = 16,6s

V = 50 cm 20 cm 17s 6,64 sV = 30 cm 10,36sV = 2,89 cm/s

4.4. Clculo de Volume e Velocidade do leo

Calcular qual o volume mximo de leo que cabe no bico? Qual a velocidade com que o nvel do leo estar se elevando quando atingir 45 cm de altura?

Clculo do volume do bico:

V = ab * h 3

V = 283,5 * 45 cm 3V= 12757,5 cm 3

V = 4252,5 cm

Clculo da velocidade do leo:3 cm/s = 45 cm x3 cm/s .x = 45 cmx = 45 cm 3cm/s x = 15s

V = 45 cm 20 cm 15s 6,64sV = 25 cm 8,36sV = 2,99 cm/s

5. APLICAES MARGINALIDADE

5.1. Funo Custo e Funo Receita

Se ao analisar a situao da empresa Soy Oil, sua equipe concluir que a Funo Preo (cuidado!) e a Funo Custo em relao s quantidades produzidas de 1000 unidades, so dadas respectivamente por: e, em que a representa a soma dos ltimos 3 nmeros dos RAs dos alunos que participam do grupo, observando o seguinte arredondamento: caso a soma d resultado variando entre [1000 e 1500], utilizar a = 1000; caso a soma d resultado variando entre [1500 e 2000], utilizar a = 1500; caso a soma d resultado variando entre [2000 e 2500], utilizar a = 2000; e assim sucessivamente. Construir uma tabela para a funo Custo e uma tabela para a funo Receita em milhares de reais em funo da quantidade e plotando num mesmo grfico.Utilizando os trs ltimos nmeros dos RAs (411, 190, 503, 847 e 619) do grupo, encontramos o numero 2570.

Funo de Preo:P(q) = -0,1q + a P (1000) = -0,1*1000 + 2500 - R$ 2.400P (2000) = -0,1*2000 + 2500 - R$ 2.340P (3000) = -0,1*3000 + 2500 - R$ 2.200P (4000) = -0,1*4000 + 2500 - R$ 2.100P (5000) = -0,1*5000 + 2500 - R$ 2.000Obs.: a = 2.500

Funo de Custo:C(q) = 0,002q3 - 0,6q2 + 100q + a C(1000) = 0,002* (1000)3 - 0,6*(1000)2 + 100*1000 + 2500 - R$ 1.502,500C(2000) = 0,002* (2000)3 - 0,6*(2000)2 + 100*1000 + 2500 - R$ 13.802,500C(3000) = 0,002* (3000)3 - 0,6*(3000)2 + 100*1000 + 2500 - R$ 48.906,500C(4000) = 0,002* (4000)3 - 0,6*(4000)2 + 100*1000 + 2500 - R$ 118.892,500C(5000) = 0,002* (5000)3 - 0,6*(5000)2 + 100*1000 + 2500 - R$ 235.502,500

5.2. Lucro Mximo

Responder para qual intervalo de quantidades produzidas, tem-se R(q) > C(q)? Para qual quantidade produzida o Lucro ser o mximo? Fazer todas as anlises, utilizando a primeira e a segunda derivada para justificar suas respostas, mostrando os pontos de lucros crescentes e decrescentes.

Quantidade | Preo ( R$) | Receita (R$) | Custo (R$) 1000 | 2.400 | 2 400 000 | 1 502 500 2000 | 2.300 | 4 600 000 | 13 802 500 3000 | 2.200 | 6 600 000 | 48 906 500 4000 | 2.100 | 8 400 000 | 118 892 500 5000 | 2000 | 10 000 000 | 235 502 500

De acordo com os dados da tabela, somente no 1 intervalo a receita ultrapassa o custo. Portanto, o lucro mximo, ser quando for produzido 1000 unidades.

* 1 Derivada fazer conforme a nova conta (precisa substituir pelos valores nossos)

C (1.000) = 0,002* (3.000)2 -0,6* (2.000)+100* (1.000)+ 0 = 116.800,00 C (2.000) = 0,002* (6000)2 -0,6* (4000)+100* (2.000) + 0 = 269.600,00 C (3.000) = 0,002* (9000)2 -0,6* (6000)+100* (3.000) + 0 = 458.400,00 C (4.000) =0,002* (12000)2 -0,6* (8000)+100* (4.000) + 0 = 683.200,00 C (5.000) = 0,002* (15000)2-0,6* (10000)+100* (5.000) + 0 = 944.000,00 * 2 Derivada fazer conforme a nova conta (precisa substituir pelos valores nossos) C (1.000) = 0,002* (6.000) -0,6*(2.000) +100* 0+ 0 = 12,00 C (2.000) = 0,002* (12000) -0,6*(4000) +100* 0 + 0 = 24,00 C (3.000) = 0,002* (18000) -0,6*(6000) +100*0 + 0 = 36,00 C (4.000) =0,002* (24000) -0,6*(8000) +100* 0 + 0 = 48,00 C (5.000) = 0,002* (30000)-0,6*(10000)+100* 0 + 0 = 60,00

Pontos de Lucros Crescentes e Decrescentes.

5.3. Receita Marginal e Custo Mdio

Responder qual o significado da Receita Mdia Marginal? Sendo a funo Custo Mdio da produo dado por Cme = C(q)/q, calcular o custo mdio para a produo de 100.000 unidades. vivel essa quantidade a ser produzida para a empresa?A expresso Receita Marginal (Rmg) designa a variao da receita total (RT) provocada pela variao em uma unidade na produo de determinado bem (Q). Em termos algbricos, Rmg = RT/Q, em que significa variao. C (100 000) = 0, 002 . (100 000)3 - 0,6. (100 000)2 + 100. 100 000 + 2500C (100 000) = 2.10 - 6.109 + 10 000 000 + 2500C (100 000) = 1.994.10 * CUSTO MDIOCme = C (q) / qCme = 1.994.10/ 100 000Cme = 19.940.000 * PREO P (q) = - 0,1 . 100 000 + 2500 P (q) = - 7500 * RECEITA PREO X QUANTIDADE RECEITA= - 7500 x 100 000 RECEITA= - 750 000

vivel essa quantidade a ser produzida pela empresa?

De acordo com os resultados obtidos anteriormente, vivel, pois teremos um custo menor do que a receita. Onde a negatividade da receita, refere-se ao conceito de Receita Marginal, onde diz que a RECEITA ser negativa se as empresas aumentarem a quantidade oferecida.

6. CONCLUSOCom a concluso das etapas podemos enfatizar ainda mais o assunto de Derivada, aprofundando o nosso conhecimento sobre a Constante de Euler, suas finalidades e a histria do mesmo. Aprendemos a desenvolver a equao que nos ajuda a determinar a populao em um determinado instante.O estudo foi de extrema importncia para aprender, utilizando a relao de dependncia entre as grandezas e uma forma de estabelecer a relao entre elas, e ainda, ser essencial para o desenvolvimento das competncias e habilidades requeridas na atuao do mercado de trabalho.

7. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Clculo volume 1. 8 ed. Porto Alegre: Bookmann, 2007.HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fsica I. 7 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L.; Clculo: um curso moderna e suas aplicaes. 10 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010.HUGHES-HALLETT, Deborah. Clculo de uma Varivel. 1 ed. Rio de Janeiro: LTC Livros. Tcnicos e Cientficos, 2009.LARSON, Ron; HOSTETLER, Robert P.; EDWARDS, Bruce H. Clculo. 8 ed. So Paulo: McGraw-Hill, 2006.

Sites pesquisados:

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0B9WAT R68YYLOMmJlM2RmNmItOGRiMy00ZWU1LTg4YTctODEzMWJmMDg4MzAy. Acesso em: 02 abril. 2013.. Acesso em: 02 abril. 2013.. Acesso em: 02 abril. 2013.

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