GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano

Problemas MétricosÂngulo entre Recta e Plano

© antónio de campos, 2010

GENERALIDADESO ângulo entre uma recta e um plano é o ângulo formado entre a recta dada e a projecção ortogonal da recta sobre o plano.

r

I

p

P’

r’θº

P

α

r

I

p

P’

r’θº

P

α

P’’θ1ºI’

r’’

β

Se uma recta r faz um ângulo θ com um dado plano α, qualquer recta paralela à recta r fará o mesmo ângulo com qualquer plano paralelo ao plano α.

Ângulo entre uma Recta Horizontal e o Plano Frontal de Projecção

Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta horizontal h e o Plano Frontal de Projecção.

x

h2

h1

Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano.

Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano.

O ângulo entre a recta h e o Plano Frontal de Projecção é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano.

F1

F2

αº

Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Horizontal

Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta r e um plano horizontal υ.

x

r1

Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano.

Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano, rebatendo a recta r.

O ângulo entre a recta r e o plano horizontal υ é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano, ou seja entre a rr e a r1r.

r2

(fυ)

H1

H2

≡ e1

≡ e2

A1

A2

Ar

≡ Hr

rr≡ r1r

αº

É dada uma recta frontal f, definida pelos pontos A (3; 2; -1) e B (-2; 2; 5). Determina a V.G. do ângulo entre a recta f e o Plano Horizontal de Projecção.

x

y ≡ z

A1

A2

B1

B2

f1

f2

Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano.

Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano.

O ângulo entre a recta f e o Plano Horizontal de Projecção é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano. H1

H2

αº

É dada uma recta oblíqua r, definida pelos pontos A (2; -1; 2) e B (-3; 4; 5). É dado um plano frontal φ, que tem 2 cm de afastamento. Determina a V.G. do ângulo entre a recta r e o plano φ.

x

y ≡ z

A1

A2

B1

B2

r1

r2

(hφ)

Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano.

Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano, rebatendo a recta r.

O ângulo entre a recta r e o plano frontal φ é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano.

F1

F2

(fυ)≡ (e2)

e1

Br

≡ Fr

rr

αº

Ângulo entre uma Recta de Perfil e um Plano FrontalPretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta de perfil p e um plano frontal φ.

x

Primeiro há que rebater a recta de perfil para determinar o ponto de intersecção da recta com o plano.

Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano.

O ângulo entre a recta p e o plano frontal φ é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano, ou seja entre a pr e a p2r.

p1 ≡ p2

(hφ)

A1

B2

A2

B1

Ar

Br

≡ e2

F1≡ (e1)

pr

Fr ≡ F2

≡ p2r

αº

É dada uma recta de perfil p, definida pelos pontos M (4; 5) e N (2; 1). É dado um plano horizontal υ, que tem 3 cm de cota. Determina a V.G. do ângulo entre a recta p e o plano υ.

x

p1 ≡ p2

(fυ)

M1

M2

N1

N2

Primeiro há que rebater a recta de perfil para determinar o ponto de intersecção da recta com o plano.

Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano.

O ângulo entre a recta p e o plano horizontal υ é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano, seja entre pr e hπr com vértice em Hr. (e1)

≡ fπ ≡ hπ ≡ e2

≡ hπr

≡ fπr

Mr

Nr

pr

Hr

αº

Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano VerticalPretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta oblíqua r e um plano vertical α.

x

r2

r1

fα

hα

Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano.

Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano.

O ângulo entre a recta r e o plano α é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano, ou seja entre rr e r’r com vértice em Ir.

I1

I2

P1

P2

p1

p2

P’1

P’2

≡ r’1

r’2

≡ (fυ) ≡ e2

≡ e1

≡ P’r

≡ PrIr1

Irrr

≡ r’r

θº

É dada uma recta oblíqua r, paralela ao β1,3, contém o ponto A (0; 3; 4) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x.É dado um plano de topo θ, que faz um diedro de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção e corta o eixo x num ponto com –2 cm de abcissa. Determina a V.G. do ângulo entre a recta r e o plano θ.

x

y ≡ z

A1

A2

r2

r1

hθ

fθ

Determina-se o ponto de intersecção da recta com o plano.

Determina-se a projecção ortogonal da recta sobre o plano.

O ângulo entre a recta r e o plano α é o ângulo entre a recta e a sua projecção ortogonal no plano, ou seja entre rr e r’r com vértice em Ir.

I1

I2

p2

p1 A’1

A’2

r’1

≡ r’2

≡ (hφ) ≡ e1

≡ e2

≡ A’r

≡ ArIr1Ir

≡ r’r

rr

αº

α

90º - θº

θº

θº

rp

s

r’

P

P’I

Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano Oblíquo

Utilizando o método geral para a determinação de ângulos entre rectas e planos resulta numa enorme complexidade de traçados, sendo mais adequado o método do ângulo complementar. Tal solução é sempre preferível quando o plano é não projectante.

É conduzida por um ponto qualquer P da recta r, uma recta p ortogonal ao plano α.

Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, r e p.

90º - θº é a V.G. entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido.

θº é a V.G. do ângulo entre e recta r e o plano α.

Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta oblíqua r e um plano oblíquo δ.

x

r1

r2

fδ

P1

P2

Utilizando o método geral para a determinação de ângulos entre rectas e planos resulta numa enorme complexidade de traçados, sendo mais adequado o método do ângulo complementar. Tal solução é sempre preferível quando o plano é não projectante.

É conduzida por um ponto qualquer P da recta r, uma recta p ortogonal ao plano δ.

Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, r e p, via rebatimento.

90º - βº é a V.G. entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido.

βº é a V.G. do ângulo entre e recta r e o plano δ.

p2

p1

(hφ) B1

B2

A1

A2

≡ e1

e2

≡ Br

≡ Ar

Pr1

Pr

pr

rr

90º-βº

βº

hδ

É dada uma recta oblíqua m contém o ponto M (0; 4; 5). A projecção horizontal da recta m faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. É dado um plano oblíquo δ, ortogonal ao β1,3, intersecta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa e o seu traço horizontal faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre a recta m e o plano δ.

x

y ≡ z

M1

M2

m1

m2

hδ

fδUtilizando o método geral para a determinação de ângulos entre rectas e planos resulta numa enorme complexidade de traçados, sendo mais adequado o método do ângulo complementar. Tal solução é sempre preferível quando o plano é não projectante.

É conduzida pelo um ponto M da recta m, uma recta p ortogonal ao plano δ.

Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, m e p, via rebatimento.

90º - αº é a V.G. entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido.

αº é a V.G. do ângulo entre e recta m e o plano δ. p1

(hφ) A1

A2

B1

B2

p2

≡ e1

e2

≡ Ar

≡ Br

Mr1

Mr

mr

pr

90º- αº

αº

Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano de Rampa

Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta oblíqua r e um plano de rampa ρ.

x

Uma vez que que se trata de um plano não projectante, será mais adequado o método do ângulo complementar.

É conduzida por um ponto qualquer P da recta r, uma recta p ortogonal ao plano ρ.

Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, r e p, depois do processo de rebatimento das rectas. O plano π é o plano de perfil que contém a recta p. A recta i é a recta de intersecção entre os planos π e ρ, definida pelos seus traços, F e H.

Para determinar a V.G. do ângulo, existe a necessidade de rebater o plano definido pelos duas rectas r e p, para um plano horizontal υ. 90º - βº é a V.G. entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido.

βº é a V.G. do ângulo entre e recta r e o plano ρ.

r1

r2

fρ

hρ

p1 ≡ p2

P1

P2

≡ fπ ≡ hπ

F1

F2

H1

≡ H2

≡ i1 ≡ i2

≡ (e2)

≡ e1≡ hπr

≡ fπr

Pr

Fr

≡ Hr

ir

pr

Ar

A1

A2(fυ) ≡ e’2 B2

B1

≡ Ar1

≡ Br

e’1

Pr1Pr2

pr1

rr190º-βº

βº

Uma recta de perfil p é definida pelos pontos A (1; 1) e B (3; 2). É dado um plano de rampa ρ, com o seu traço horizontal de 5 cm de afastamento, e o seu traço frontal de 3 cm de cota. Determina a V.G. do ângulo entre a recta p e o plano ρ.

x

p1 ≡ p2

A1

A2

B1

B2

hρ

fρ

Neste caso, o processo mais simples é via o processo de mudança do diedro de projecção.

É conduzida por um ponto qualquer P da recta r, uma recta p ortogonal ao plano ρ.

O ponto C de fρ é utilizado para determinar o traço do plano ρ no plano 4.

O ângulo entre a recta p e o plano ρ é o ângulo entre p4 e f4ρ.

21

x’

41

C1

C2

A4

B4

C4

p4

f4

ρ

αº