PME3230-2015-Analise Dimensional Semelhanca Modelos

7/23/2019 PME3230-2015-Analise Dimensional Semelhanca Modelos

http://slidepdf.com/reader/full/pme3230-2015-analise-dimensional-semelhanca-modelos 1/6

Análise Dimensional, Semelhança

e Modelos

1 Análise dimensional (A.D.)

• Ligada à abordagem experimental

• Planejamento e execução de experimentos; interpretação e corre-lação dos resultados obtidos

• Relação entre modelo e protótipo

• Aplicação não é restrita à Mecânica dos Fluidos

Relevância da A.D. – exemplo:

Determinação da força de arrasto no escoamento ao redor de uma auto-móvel, a partir do conhecimento das condições do escoamento∗.

Parâmetros importantes:

F a = f (D,V, ρ, µ)

F a: força de arrastoD: diâmetroV : velocidadeµ: viscosidade dinâmicaρ: massa específica

Como determinar f ?

∗Falar sobre túnel de vento

Solução óbvia: investigar como F a varia com cada parâmetro, mantendoos outros constantes.

Considerando 10 valores dife-rentes para cada parâmetro,teríamos 104 experimentos†.

+ Custo do equipamento;

+ Como combinar os resul-tados?

†Estimando 5min/experimento, total de 35 dias ininterruptos

A A.D. mostra que podemos agrupar as variáveis em duas combinações(ou grupos) adimensionais:

F aρV 2D2

= φ

ρV D

µ

A base para a simplificação são as dimensões envolvidas (MLt ou FLt).

1.1 Teorema Π de Buckingham

“Dada uma relação entre n parâmetros da forma g(q 1, q 2, . . . , q n) = 0,então os n parâmetros podem ser agrupados em n −m razões indepen-dentes adimensionais, ou parâmetros Π, que podem ser expressos em



forma funcional por

G(Π1,Π2, . . . ,Πn−m) = 0

ou Π1 = G1(Π2,Π3, . . . ,Πn−m).

O número m é usualmente, mas nem sempre, igual ao número mínimor de dimensões independentes necessárias para especificar as dimensões

de todos os parâmetros q 1, q 2, . . . , q n.”

O teorema‡ não prevê a forma de G ou G1, que deve ser determinadaexperimentalmente.

‡Este teorema é baseado no conceito de homogeneidade dimensional.

Determinação dos grupos Π

1. Liste os parâmetros envolvidos. {n}

2. Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias) –MLt ou FLt {r}.

3. Liste as dimensões dos parâmetros em termos das dimensões pri-márias (matriz dimensional).

4. Selecione da lista um número m de parâmetros, chamados de repe-tentes , que, em conjunto, incluam todas as dimensões primárias.Não selecione o parâmetro dependente. (m é igual ao posto damatriz dimensional)

5. Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros re-petentes com cada um dos remanescentes {n−meqs.}.

6. Verifique se cada grupo obtido é adimensional.

Aplicando o método para o nosso problema:

1 F a,D ,V, ρ, µ {n = 5}

2 Usaremos MLt {r = 3}

3 F a.

= ML

t2 ; D

.= L; V

.=

L

t ; µ

.=

M

Lt; ρ

.=

M

L3

Matriz dimensional:

F a D V ρ µ

M 1 0 0 1 1L 1 1 1 -3 -1t -2 0 -1 0 -1

(m = posto = 3)

4 Usaremos D , V e ρ

5 {n−m = 2 eqs.}

Π1 = F aDaV bρc = (MLt−2)(L)a(Lt−1)b(ML−3)c = M0L0t0

[M]: 1 + c = 0 ⇒ c = −1

[L]: 1 + a + b − 3c = 0

[t]: −2− b = 0 ⇒ b = −2

Substituindo os valores de b e c na eq. de L: a = −1 + 2 − 3 = −2

Π1 = F aρV 2D2

Π2 = µDaV bρc = (ML−1t−1)(L)a(Lt−1)b(ML−3)c = M0L0t0

[M]: 1 + c = 0 ⇒ c = −1

[L]: −1 + a + b − 3c = 0

[t]: −1− b = 0 ⇒ b = −1



Substituindo os valores de b e c na eq. de L: a = 1 + 1− 3 = −1

Π2 = µ

ρV D

6 Usando FLt (M = FL−1t2)

Π1 = F aρV 2D2

= F(FL−4t−2)(Lt−1)2(L)2

= F0L0t0 X

Π2 = µ

ρV D =

FL−2t

(FL−4t−2)(Lt−1)(L) = F0L0t0 X

∴ F aρV 2D2

= φ1

µ

ρV D

Qualquer potência ou produto de adimensionais§ também é adimensio-nal.

Π02

= Π−1

2 =

ρV D

µ

F aρV 2D2

= φ

ρV D

µ

( φ é determinado experimentalmente)

§incluindo constantes numéricas

Exercício 1

∆h = f (D, γ ,σ)

Exercício 2

Escoamento permanente incompressível viscoso através de um tubo re-tilíneo horizontal.

∆ p = f (ρ, V̄ ,D, `, µ, ε)

1.2 Grupos adimensionais importantes na MecFlu

Número de Reynolds Re = ρV L

µ =

F. inércia

F. viscosas

Número de Euler Eu = ∆ p1

2ρV 2

= F. pressão

F. inércia

Número de Froude Fr =

V √ gL =

F. inércia

F. gravidade

Número de Weber We = ρV 2L

σ =

F. inércia

F. tensão superficial

Número de Mach Ma = V

c =

F. inércia

F. compressibilidade

Número de Strouhal St = ωL

V =

F. acel. local

F. acel. convectiva



1.3 Correlação de dados experimentais

a) 1 parâmetro Π: Π1 = C ⇒ a A.D. revela a forma específicada relação.

Exemplo: partícula esférica se movendo em fluido ultra-viscoso:

F a = f (d ,V,µ) ⇒ Π1 = F aµV d ⇒ F a = CµV d

b) 2 parâmetro Π: gráfico xy¶

c) 3 parâmetro Π: curvas de nível (gráfico xy com várias curvas)k

¶Mostrar gráfico do coeficiente de arrasto da esferakMostrar diagrama de Moody

2 Modelos e semelhança

2.1 Modelos

Representação de um sistema físico (protótipo) que pode ser utilizadopara predizer o comportamento de alguma característica do sistema.Podem ser matemáticos, computacionais, físicos , . . .

2.2 Semelhança

Característica que faz com que os dados obtidos em testes com modelospossam ser transpostos por escala e predizer características do protótipo.

3 tipos:

a) Geométrica: dimensões∗∗

b) Cinemática: velocidades no escoamento††

c) Dinâmica: forças aplicadas. Grupos adimensionais têm que tero mesmo valor no modelo e no protótipo.

Dinâmica ⇒ Cinemática ⇒ Geométrica

2.3 Escalas

Razão entre o valor de uma grandeza no modelo e o valor da mesmagrandeza no protótipo.

Comprimento: λL = Lm

L p, Velocidade: λV =

V mV p

∗∗razão de escala linear, ângulos e direções do escoamento preservados.††partículas homólogas atingem pontos homólogos em tempos homólogos

Massa específica: λρ = ρm

ρ p

Exemplo: números de Reynolds iguais

Re m = Re p ⇒V mLm

ν m=

V pL pν p

⇒ λV = λV

λL

Exercício 3

Um experimento para predizer a força de arrasto em um sonar de subma-rino é realizado com um modelo em escala 1:5 em água a 20�. Quandoa velocidade do escoamento no modelo é de V m = 60km/h, mede-seuma força F am = 30N. Sabendo que o protótipo navegará em águas a4�, qual será a velocidade do protótipo V p para que haja semelhançacompleta? Neste caso, qual será a força de arrasto correspondente F ap?



Exercício 4

Um hélice de 6 m de diâmetro desloca um barco com V = 7,5 m/s,girando a 120rpm. Para um modelo geometricamente semelhante, escala1:10, usado para medir a força axial F , determine qual a velocidade erotação do modelo, V m e nm, para que haja semelhança completa. Nessacondição, qual a escala das forças? Dado: F = f (ρ,V,D ,n ,g).

3 Semelhança incompleta

A semelhança dinâmica pode requere a duplicação de diversos adimen-sionais, o que pode não ser possível na prática. Analisaremos algunsexemplos.

3.1 Escoamentos com superfície livre

• gravidade (Fr ) e tensão superficial (We ) podem ser importantespara a formação de ondas.

• Casos típicos: navios, rios e lagos.

Exemplo: arrasto em navio.

Duas origens: resistência de onda (g), forças viscosas (µ)

C A = f (Fr ,Re )

Igualando os adimensionais do modelo e do protótipo:

Fr m = Fr p ⇒V m√ gLm

= V pp

gL p⇒ λV = λ

1/2L (1)

Re m = Re p ⇒V mLm

ν m=

V pL pν p

⇒ λν = λV λL (2)

Substituindo (1) em (2): λν = λ1/2L λL = λ

3/2L

Considerando λL ≈1

100 ⇒ λν =

1

1000.

Não existe líquido com ν = 0,001ν água!

Solução: utilizar a hipótese C A(Fr ,Re ) = C Ao(Fr ) + C Av(Re ) e utilizarrelações derivadas da teoria da camada limite para predizer C Av .

Procedimento:

1. Realiza-se o experimento com semelhança de número de Froudecom o protótipo.

2. Mede-se o arrasto total no modelo.

3. Calcula-se o arrasto viscoso no modelo com relação derivada dateoria da camada limite.

4. Subtrai-se o arrasto viscoso calculado do arrasto total medido paraobter o arrasto de onda no modelo.

5. Transpõe-se por escala o arrasto de onda para o protótipo (poisFr p = Fr m).

6. Calcula-se o arrasto viscoso no protótipo com relação derivada dateoria da camada limite.

7. Somam-se os arrastos viscoso e de onda no protótipo para se obtero arrasto total.

Exemplo: rios e lagos.

Pequena profundidade do modelo faz com que a tensão superficial torne-se importante no experimento. A solução normalmente adotada é utili-



zar duas escalas de comprimento diferentes, uma para o plano horizontale outra para a direção vertical.

3.2 Escoamentos confinados

• Internos ou externos, sem superfície livre

• Dominam forças de inércia e viscosas (Re é importante)

• Compressibilidade também é importante se Ma > 0,3

Exercício 5

Um modelo de automóvel em escala 1:5 será usado para estimar a forçade arrasto no protótipo andando a 90 km/h. Qual deve ser a velocidade

do modelo, V m? Qual será a escala de forças, λF = F Am/F Ap, nestacondição?

PME3230-2015-Analise Dimensional Semelhanca Modelos

Documents

Transcript of PME3230-2015-Analise Dimensional Semelhanca Modelos