Sequência didática

Funções e representações algébricasNesta sequência didática, serão trabalhados o conceito de função e suas

representações algébrica, numérica e gráfica, e também a resolução de equações do 2º grau por meio de fatoração de expressões algébricas.

A BNCC na sala de aula

Objetos de conhecimento

Funções: representações numérica, algébrica e gráfica.Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis.Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações.

Competências específicas

2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

Habilidades

(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.

Material disponibil izado em licença aberta do tipo Creative Commons – Atribuição não comercial(CC BY NC – 4.0 International). Permitida a criação de obra derivada com fins não comerciais,desde que seja atribuído crédito autoral e as criações sejam l icenciadas sob os mesmos parâmetros.

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Matemática – 9º ano – 3º bimestre – Plano de desenvolvimento – 1ª sequência didática

Objetivos de aprendizagem

Compreender o que são funções em matemática e suas múltiplas representações.Fatorar expressões algébricas.

ConteúdosFunções.Fatoração.

Materiais e recursos Computadores com software de geometria dinâmica.

Projetor multimídia.

Desenvolvimento Quantidade de aulas: 4.

Aula 1Esta aula deverá ser realizada no laboratório de informática. Iniciar

perguntando aos alunos se eles já usaram algum software de geometria dinâmica para aprender Matemática. Se necessário, explicar resumidamente o que é e quais os possíveis usos desses softwares e deixar que explorem as ferramentas para construir gráficos de funções.

Comentar que toda função é uma relação, mas que nem toda relação é uma função. Revisar o significado de relação em Matemática, se for necessário. Explicar que o valor numérico de uma função é dado pela lei dessa função, podendo representar a relação entre duas grandezas variáveis. Usar expressões como "y está em função de x" ajudará os alunos a compreender a ideia de que uma variável está em função de outra.

Exemplificar essa ideia por meio de um exemplo de função, como y=2x+1. Realizar perguntas como "qual será o valor de y se x for igual a 3?" ou "Qual será o valor de x se y for igual a 9?". Realizar os passos e cálculos com os alunos se necessário. Dizer que será análogo para funções do segundo grau.

Em seguida, usar o software de geometria dinâmica para construir um exemplo de gráfico de função do segundo grau com os alunos, como f (x)=x ²−6 x+5. Porém, antes disso, solicitar que calculem manualmente as

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raízes dessa função. Auxiliá-los em relação à aplicação dos conhecimentos relativos à equação do 2º grau. Questionar se eles sabem o significado das raízes de uma função e o que elas podem representar. Pedir para que citem exemplos.

Posteriormente, solicitar que construam no software de geometria dinâmica os gráficos das funções a seguir.

y=x ²−6 x+5

Elaborado pelo autor.

y=2x ²+3 x−11

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Elaborado pelo autor.

y=0,5x ²−3x−8

Elaborado pelo autor.

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y=−2x ²+4 x−6

Elaborado pelo autor.

y=−3x ²+4

Elaborado pelo autor.

y=−x ²−2x+1

Elaborado pelo autor.

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Pedir que observem o valor do coeficiente a e o que muda no gráfico quando ele é positivo e quando é negativo. Os alunos deverão observar que o coeficiente a é responsável pela concavidade do gráfico ser voltada para cima ou para baixo. Propor que representem outras funções para verificar nelas essa propriedade.

Para calcular as raízes, os alunos poderão resolver a equação do segundo grau referente à função do segundo grau dada. Por exemplo, para calcular as raízes da função y=x ²−6 x+5 a equação x ²−6 x+5=0 deve ser resolvida, obtendo para x os valores x' = 1 e x" = 5. Solicitar que relacionem esses valores com o gráfico dessa função. Questionar os alunos sobre suas conclusões. Eles deverão perceber que as soluções da equação do segundo grau são as raízes da função do segundo grau. Pedir para que localizem e determinem os pontos dessas raízes para cada gráfico citado anteriormente.

Aula 2Organizar os alunos em duplas ou trios e pedir para encontrarem os

pontos que as funções a seguir cruzam o eixo x.

y=x ²−6 x+5

x' = 5 e x" = 1 y=x ²−7 x+10

x' = 5 e x" = 2 y=x ²+5 x+4

x' = –4 e x" = –1 y=3 x ²

x = 0 y=x ²+4 x+4

x = –2 y=x ²+2 x−15

x' = –5 e x" = 3Ressaltar que, para um ponto cruzar um dos eixos, a coordenada referente

ao outro eixo é zero, ou seja, se um ponto cruza o eixo x, a coordenada y desse ponto é igual a zero.

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Indagar o que esses pontos são das funções. Espera-se que percebam que são as raízes, compreendendo que para encontrar as raízes de uma função do segundo grau basta igualá-la a zero e resolver a equação do segundo grau.

Mostrar aos alunos que uma função do segundo grau pode ser fatorada e escrita como y=(x−m).(x−n), em que m e n são as raízes da função. Exemplificar usando a função y=x ²−6 x+5, cujas raízes são x' = 1 e x" = 5. Assim, essa função pode ser escrita como y=(x−1).( x−5), pois (x−1) .(x−5)=x ²−6 x+5. Pedir para os alunos que façam o mesmo para as outras funções.

Concluir generalizando essa propriedade de que uma função do segundo grau pode ser escrita a partir de suas raízes, caso sejam conhecidas, como:

f (x)=(x−m). (x−n)

Em que m e n são raízes da função f (x).

Aulas 3 e 4Para iniciar a aula, organizar os alunos em duplas ou grupos. Perguntar o

que se lembram das discussões e atividades que relacionam equação do segundo grau, função do segundo grau e gráficos de funções do segundo grau.

É esperado que mencionem que, ao igualar uma função do segundo grau a zero, obtém-se uma equação do segundo grau que, se resolvida, dará como resultado as raízes da função. No gráfico, as raízes são representadas pelos pontos da interseção entre o eixo x e o gráfico.

Para auxiliar o trabalho dos alunos, propor que construam o gráfico das funções a seguir e façam no plano cartesiano os pontos que representam as raízes das funções. Escrever também a função usando a forma fatorada. O gráfico deverá ser construído no software de geometria dinâmica, digitando cada função como entrada.

y=x ²−2 x−8

As raízes são x' = 4 e x" = –2 e a forma fatorada dessa função é y=(x−4)‧ (x+2). y=x ²−6 x+9

As raízes são x' = x"=3 e a forma fatorada dessa função é y=(x−3) ².

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y=x ²+7 x−18

As raízes são x' = 2 e x" = –9 e a forma fatorada dessa função é y=(x−2)‧ (x+9).Orientar os alunos a criar pelo menos três funções e trocar entre as duplas

ou grupos, escolhendo um dos casos para socializar com a turma toda. É importante salientar que os alunos devem compartilhar suas informações e formas de como fizeram a atividade durante a aula e com todos da turma.

Para trabalhar dúvidasAbordar as propriedades envolvidas no processo de aprendizagem desses

conceitos, como a fatoração, propriedade distributiva, cálculos de potências e raízes e equação do segundo grau, se necessário.

Utilizar atividades na malha quadriculada ou no software de geometria dinâmica para propor aos alunos que construam os gráficos de funções do segundo grau. Nessas atividades, explorar diferentes tipos de gráficos: com nenhuma, uma ou duas raízes distintas.

AvaliaçãoDurante as aulas da sequência didática, verificar se os alunos conseguem

fazer as atividades propostas adequadamente e se percebem a relação entre função do segundo grau, equação do segundo grau e o gráfico de funções do segundo grau.

Também pode-se propor que apliquem os conhecimentos resolvendo questões como as sugeridas a seguir:

1. Determine as raízes e construa o gráfico da função y=x ²+x−20, utilizando um software de geometria dinâmica. Escreva também a função na forma fatorada.

Raízes: x=4 e x=−5Gráfico:

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Elaborado pelo autor.

Expressão fatorada da função: y=(x−4)‧ (x+5) 2. Determine as raízes e construa o gráfico da função y=x ²+x−12, utilizando

um software de geometria dinâmica. Escreva também a função na forma fatorada.

Raízes: x=3 e x=−4Gráfico:

Elaborado pelo autor.

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Expressão fatorada da função: f (x)=(x−3) ‧ (x+4)

3. Considere o gráfico a seguir e, com base nas informações fornecidas, determine a expressão algébrica da função que o representa.

Elaborado pelo autor.

y=(x−2)‧ (x−7) ou f (x)=x ²−9 x+14

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