Polígonos e números construtíveisPolígonos e números construtíveis Introdução Construção...

Polígonos e números construtíveis


Arthur Rezende Alves Neto

Universidade Federal do Paraná

13 de agosto de 2020

Arthur Rezende Alves Neto UFPR



1 Introdução.2 Construções.3 Números complexos.4 Algebrização.



Polígonos e números construtíveisIntrodução

Construção euclidiana

Para os matemáticos gregos solucionar um problema, provaruma proposição ou teorema era equivalente a construir,geometricamente, uma solução. E a maneira de se escreveressas soluções podem ser dadas por construções utilizandorégua e compasso.

A régua utilizada não é graduada, apenas permite traçar umareta passando por dois pontos ou estender uma reta dada. Ocompasso é utilizado para traçar circunferências dado umcentro (ponta seca) e um raio (abertura do compasso), mastambém pode ser utilizado para transportar segmentos.



Polígonos e números construtíveisIntrodução

Na prática estaremos utilizando os seguintes axiomaseuclidianos:

SejamA eB dois pontos dis-tintos. Podemos traçar umaúnica reta que passa porA eB.

Dado um segmento de me-dida r e um ponto C, traça-mos uma circunferência deraio r e centro em C.



Polígonos e números construtíveisConstruções

A partir desses axiomas podemos começar com algumasconstruções básicas.

1 Sejam r uma reta e A um ponto, podemos construir umareta g, que contêm o ponto A e é perpendicular à reta r.

2 Sejam r uma reta e A um ponto exterior à r, podemosconstruir uma reta g, que contêm o ponto A e é paralela àreta r.

3 Seja α um ângulo, podemos dividir α em dois ânguloscongruentes.




Definições

Um segmento é construtível se pode ser obtido a partir de umnúmero finito de construções utilizando os dois axiomasmencionados.

DefiniçãoUm número real x é dito construtível se: x = 0 ou se existe umsegmento de medida |x| construtível. Tudo a partir de umaunidade pré-definida.

Seja n ∈ Z, então é construtível e 1/n é construtível.Sejam a e b dois números construtíveis, então a+ b, a− be ab são números construtíveis.Se a é um número construtível, então

√a também é.




Definições



Seja n ∈ Z, então é construtível e 1/n é construtível.

Sejam a e b dois números construtíveis, então a+ b, a− be ab são números construtíveis.Se a é um número construtível, então

√a também é.




Definições



Seja n ∈ Z, então é construtível e 1/n é construtível.Sejam a e b dois números construtíveis, então a+ b, a− be ab são números construtíveis.

Se a é um número construtível, então√a também é.




Definições



Seja n ∈ Z, então é construtível e 1/n é construtível.Sejam a e b dois números construtíveis, então a+ b, a− be ab são números construtíveis.Se a é um número construtível, então

√a também é.




Seja C = {x ∈ R;x é um número construtível}.

Dado o fatode que

1 ∈ C;se a, b ∈ C, então a± b ∈ C, ab ∈ C e a

b∈ C.

Concluímos que C é um corpo, e mais ainda Q ⊆ C.

O ambiente mais natural para considerar as construções quefazemos é o plano, mais ainda, podemos pensar C ⊆ C.

DefiniçãoSeja z ∈ C, dizemos que é um número construtível se z = 0 ouse o segmento definido por z é construtível.




Seja C = {x ∈ R;x é um número construtível}. Dado o fatode que

1 ∈ C;se a, b ∈ C, então a± b ∈ C, ab ∈ C e a

b∈ C.

Concluímos que C é um corpo, e mais ainda Q ⊆ C.

O ambiente mais natural para considerar as construções quefazemos é o plano, mais ainda, podemos pensar C ⊆ C.

DefiniçãoSeja z ∈ C, dizemos que é um número construtível se z = 0 ouse o segmento definido por z é construtível.



Polígonos e números construtíveisNúmeros complexos

Seja z = a+ ib ∈ C, então são equivalentes:z é um número construtível,a e b são números construtíveis,|z| é um número construtível e o argumento de z é umângulo construtível.

Tome z = a+ ib e w = c+ id dois números complexos:

z ± w = (a± c) + i(b± d),

zw = (a+ ib)(c+ id) = (ac− bd) + i(ad+ bc),z

w=a+ ib

c+ id=

(ac+ bd

c2 + d2

)+ i

(bc− adc2 + d2

).

Se z e w são construtíveis, então z ± w, zw e zw também são.






z ± w = (a± c) + i(b± d),

zw = (a+ ib)(c+ id) = (ac− bd) + i(ad+ bc),

z

w=a+ ib

c+ id=

(ac+ bd

c2 + d2

)+ i

(bc− adc2 + d2

).







z ± w = (a± c) + i(b± d),

zw = (a+ ib)(c+ id) = (ac− bd) + i(ad+ bc),z

w=a+ ib

c+ id=

(ac+ bd

c2 + d2

)+ i

(bc− adc2 + d2

).





Sejam z e w números complexos, e suas formas polaresz = |z|

(cos(θ) + isen(θ)

)e w = |w|

(cos(α) + isen(α)

)

zw = |z|(cos(θ) + isen(θ)

)|w|(cos(α) + isen(α)

)= |z||w|

(cos(θ) + isen(θ)

)(cos(α) + isen(α)

)= |z||w|

(cos(θ)cos(α)− sen(θ)sen(α)

)+(sen(θ)cos(α) + sen(α)cos(θ)

)= |z||w|

(cos(θ + α)

)+ i(sen(θ + α)

)Se z = |z|(cos(θ) + isen(θ)) é um número construtível, então

√z =

√|z|(cos

(θ

2

)+ isen

(θ

2

))também é.





(cos(θ) + isen(θ)

)e w = |w|

(cos(α) + isen(α)

)zw = |z|

(cos(θ) + isen(θ)


)= |z||w|

(cos(θ) + isen(θ)


)

= |z||w|(cos(θ)cos(α)− sen(θ)sen(α)


)= |z||w|

(cos(θ + α)

)+ i(sen(θ + α)


√z =

√|z|(cos

(θ

2

)+ isen

(θ

2

))também é.





(cos(θ) + isen(θ)

)e w = |w|

(cos(α) + isen(α)

)zw = |z|

(cos(θ) + isen(θ)


)= |z||w|

(cos(θ) + isen(θ)


)= |z||w|



)= |z||w|

(cos(θ + α)

)+ i(sen(θ + α)

)

Se z = |z|(cos(θ) + isen(θ)) é um número construtível, então

√z =

√|z|(cos

(θ

2

)+ isen

(θ

2

))também é.





(cos(θ) + isen(θ)

)e w = |w|

(cos(α) + isen(α)

)zw = |z|

(cos(θ) + isen(θ)


)= |z||w|

(cos(θ) + isen(θ)


)= |z||w|



)= |z||w|

(cos(θ + α)

)+ i(sen(θ + α)


√z =

√|z|(cos

(θ

2

)+ isen

(θ

2

))também é.



Polígonos e números construtíveisAlgebrização

Dado a natureza dos processos de construções euclidianas,vemos que C é um subcorpo de C que contêm Q, em outraspalavras C ⊇ Q.

DefiniçãoSejam K e F dois corpos, se K é um subcorpo de F, dizemosque F é uma extensão de K e escrevemos F|K.

R|Q, C|Q e C|R.Defina Q(

√2) = {a+

√2b | a, b ∈ Q} e

Q(i) = {a+ ib | a, b ∈ Q}. Então Q(√

2)|Q e Q(i)|Q.

Seja F|K, então podemos compreender F como um K-espaçovetorial e nessas circunstâncias definimos [F : K] := dimK F.

[C : R] = 2 e [Q(i) : Q] = 2.






R|Q, C|Q e C|R.

Defina Q(√

2) = {a+√

2b | a, b ∈ Q} eQ(i) = {a+ ib | a, b ∈ Q}. Então Q(

√2)|Q e Q(i)|Q.


[C : R] = 2 e [Q(i) : Q] = 2.






R|Q, C|Q e C|R.Defina Q(

√2) = {a+

√2b | a, b ∈ Q} e

Q(i) = {a+ ib | a, b ∈ Q}. Então Q(√

2)|Q e Q(i)|Q.


[C : R] = 2 e [Q(i) : Q] = 2.




Suponha agora que [F : K]


Seja α um número algébrico, então existe mα(x) ∈ Q umpolinômio mônico (coeficiente líder é 1) de menor grau, talque mα(α) = 0. Tal polinômio é chamado de polinômiominimal de α.

ProposiçãoSejam F|K, α ∈ F e p(x) ∈ K[x] mônico, tal que p(α) = 0. Entãosão equivalentes:

p(x) é o polinômio minimal de α,se q(x) ∈ K[x], tal que q(α) = 0, então p(x)|q(x),p(x) é irredutível.




Sejam F|K e α ∈ F. Denotamos K(α) como o menor subcorpode F que contêm K e α.

ProposiçãoSejam F|K e α ∈ F algébrico sobre K. Se n = ∂(mα), então[K(α) : K] = n e {1, α, α2, ..., αn−1} é uma base de K(α) sobreK.

Exemplos: [Q( 3√

2) : Q] = 3 e [Q( 4√

2) : Q] = 4.

Vamos calcular [Q(√

2−√

3) : Q], primeiro tome√

2−√

3 = x⇒ 5− 2√

6 = x2 ⇒ −2√

6 = x2 − 5⇒ 24 = x4 − 10x2 + 25

Então√

2−√

3 é raiz de x4 − 10x2 + 1,que é irredutível, eportanto [Q(

√2−√

3) : Q] = 4.






Exemplos: [Q( 3√

2) : Q] = 3 e [Q( 4√

2) : Q] = 4.Vamos calcular [Q(

√2−√


2−√

3 = x

⇒ 5− 2√

6 = x2 ⇒ −2√

6 = x2 − 5⇒ 24 = x4 − 10x2 + 25

Então√

2−√


√2−√

3) : Q] = 4.






Exemplos: [Q( 3√

2) : Q] = 3 e [Q( 4√


√2−√


2−√

3 = x⇒ 5− 2√

6 = x2

⇒ −2√

6 = x2 − 5⇒ 24 = x4 − 10x2 + 25

Então√

2−√


√2−√

3) : Q] = 4.






Exemplos: [Q( 3√

2) : Q] = 3 e [Q( 4√


√2−√


2−√

3 = x⇒ 5− 2√

6 = x2 ⇒ −2√

6 = x2 − 5⇒ 24 = x4 − 10x2 + 25

Então√

2−√

3 é raiz de x4 − 10x2 + 1,

que é irredutível, eportanto [Q(

√2−√

3) : Q] = 4.






Exemplos: [Q( 3√

2) : Q] = 3 e [Q( 4√


√2−√


2−√

3 = x⇒ 5− 2√

6 = x2 ⇒ −2√

6 = x2 − 5⇒ 24 = x4 − 10x2 + 25

Então√

2−√


√2−√

3) : Q] = 4.




ProposiçãoSejam F|K e K|L duas extensões finitas, então a extensão F|Lé finita e

[F : L] = [L : K][K : F].

Sejam F|K e α1 ∈ F \K, podemos então considerar a extensãoK(α1). Tome agora α2 ∈ F \K(α1), então podemos fazer aextensão

K(α1, α2) := K(α1)(α2).

Note que

[Q(√

2,√

3) : Q] = [Q(√

2,√

3) : Q(√

2)][Q(√

2) : Q]≤ (2)(2)

mas√

3 /∈ Q(√

2), logo [Q(√

2,√

3) : Q] = 2.





[F : L] = [L : K][K : F].

Sejam F|K e α1 ∈ F \K, podemos então considerar a extensãoK(α1).

Tome agora α2 ∈ F \K(α1), então podemos fazer aextensão

K(α1, α2) := K(α1)(α2).

Note que

[Q(√

2,√

3) : Q] = [Q(√

2,√

3) : Q(√

2)][Q(√

2) : Q]≤ (2)(2)

mas√

3 /∈ Q(√

2), logo [Q(√

2,√

3) : Q] = 2.





[F : L] = [L : K][K : F].


K(α1, α2) := K(α1)(α2).

Note que

[Q(√

2,√

3) : Q] = [Q(√

2,√

3) : Q(√

2)][Q(√

2) : Q]≤ (2)(2)

mas√

3 /∈ Q(√

2), logo [Q(√

2,√

3) : Q] = 2.





[F : L] = [L : K][K : F].


K(α1, α2) := K(α1)(α2).

Note que

[Q(√

2,√

3) : Q] = [Q(√

2,√

3) : Q(√

2)][Q(√

2) : Q]≤ (2)(2)

mas√

3 /∈ Q(√

2), logo [Q(√

2,√

3) : Q] = 2.Arthur Rezende Alves Neto UFPR



Voltando ao problema de determinar se um número z ∈ C éconstrutível ou não.

Podemos dizer que z ∈ C \ 0 é um númeroconstrutível se existir uma sequência de pontos1 = z0, z1, ..., zs ∈ C, onde zs = z e cada zj , j ≥ 1, é obtido pormeio de construções com régua e compasso envolvendo ospontos z1, ..., zj−1.Suponha que z ∈ C, então temos a sequência de númerosconstrutíveis 1 = z0, z1, ..., zs−1 e zs = z. Vamos avaliar osgraus das extensões

Q(z1)|Q,Q(z1, z2)|Q(z1), ...,Q(z1, ..., zs)|Q(z1, ..., zs−1).

Para simplificar vamos denotar Kj := Q(z1, ..., zj), com j ≥ 2.




Voltando ao problema de determinar se um número z ∈ C éconstrutível ou não. Podemos dizer que z ∈ C \ 0 é um númeroconstrutível se existir uma sequência de pontos1 = z0, z1, ..., zs ∈ C, onde zs = z e cada zj , j ≥ 1, é obtido pormeio de construções com régua e compasso envolvendo ospontos z1, ..., zj−1.

Suponha que z ∈ C, então temos a sequência de númerosconstrutíveis 1 = z0, z1, ..., zs−1 e zs = z. Vamos avaliar osgraus das extensões






Voltando ao problema de determinar se um número z ∈ C éconstrutível ou não. Podemos dizer que z ∈ C \ 0 é um númeroconstrutível se existir uma sequência de pontos1 = z0, z1, ..., zs ∈ C, onde zs = z e cada zj , j ≥ 1, é obtido pormeio de construções com régua e compasso envolvendo ospontos z1, ..., zj−1.Suponha que z ∈ C, então temos a sequência de númerosconstrutíveis 1 = z0, z1, ..., zs−1 e zs = z. Vamos avaliar osgraus das extensões






ProposiçãoCada uma das extensões Kj |Kj−1, j = 3, ..., s, tem grau um,dois ou quatro.

Corolário[Ks : Q] = 2k, para algum k = 0, 1, 2, ....

Note que [Ks : Q] = [Ks : Ks−1][Ks−1 : Ks−1]...[K1 : Q].

TeoremaSeja z ∈ C, então z é um número algébrico e ∂(mz(x)) = 2k,para algum k ≥ 0.




Exemplo

[cos(θ) + isen(θ)][cos(α) + isen(α)] = cos(θ+ α) + i(θ+ α).

⇒[cos(θ) + isen(θ)

]n= cos(nθ) + isen(nθ).

Então cos(θ) + isen(θ) =(cos(θ3

)+ isen

(θ3

))3cos(θ) + isen(θ) =

cos3(θ3

)+ 2icos2

(θ3

)sen

(θ3

)− 3cos

(θ3

)sen

(θ3

)− isen

(θ3

)Comparando as partes reais da equação, cos(θ/3) é raiz dopolinômio 4x3 − 3x− cos(θ).Tome θ = π/3. Então cos

(π9

)é raiz do polinômio 4x3−3x−1/2,

ou ainda de 8x3 − 3x− 1, que é irredutível, logo é o polinômiominimal de cos

(π9

). E assim cos

(π9

)não é construtível.




Exemplo





)+ isen

(θ3


cos3(θ3

)+ 2icos2

(θ3

)sen

(θ3

)− 3cos

(θ3

)sen

(θ3

)− isen

(θ3

)

Comparando as partes reais da equação, cos(θ/3) é raiz dopolinômio 4x3 − 3x− cos(θ).Tome θ = π/3. Então cos

(π9



(π9

). E assim cos

(π9





Exemplo





)+ isen

(θ3


cos3(θ3

)+ 2icos2

(θ3

)sen

(θ3

)− 3cos

(θ3

)sen

(θ3

)− isen

(θ3

)Comparando as partes reais da equação, cos(θ/3) é raiz dopolinômio 4x3 − 3x− cos(θ).

Tome θ = π/3. Então cos(π9



(π9

). E assim cos

(π9





Exemplo





)+ isen

(θ3


cos3(θ3

)+ 2icos2

(θ3

)sen

(θ3

)− 3cos

(θ3

)sen

(θ3

)− isen

(θ3


(π9



(π9

).

E assim cos(π9





Exemplo





)+ isen

(θ3


cos3(θ3

)+ 2icos2

(θ3

)sen

(θ3

)− 3cos

(θ3

)sen

(θ3

)− isen

(θ3


(π9



(π9

). E assim cos

(π9




Polígonos e números construtíveisConstruções de polígonos

Utilizando apenas régua e compasso, vamos construir umTriângulo, Quadrado e Hexágono regulares.

Caso do pentágono, para isso, vamos calcular cos(2π5

).

Note que

cos

(2

2π

5

)= cos

(2π − 22π

5

)= cos

(3

2π

5

)

⇒ 2cos2(

2π

5

)− 1 = 4cos3

(2π

5

)− 3cos

(2π

5

)Logo cos

(2π5

)é raiz do polinômio 4x3 − 2x2 − 3x+ 1, mas

4x3 − 2x2 − 3x− 1 = (x− 1)(4x2 + 2x− 1). Avaliando as raízesde 4x2 + 2x− 1, concluímos que cos

(2π5

)= 14

(√5− 1

)Se a, b, c ∈ C, então todas as raízes de ax2 + bx+ c sãoconstrutíveis.




Utilizando apenas régua e compasso, vamos construir umTriângulo, Quadrado e Hexágono regulares.Caso do pentágono, para isso, vamos calcular cos

(2π5

).

Note que

cos

(2

2π

5

)= cos

(2π − 22π

5

)= cos

(3

2π

5

)

⇒ 2cos2(

2π

5

)− 1 = 4cos3

(2π

5

)− 3cos

(2π

5

)Logo cos

(2π5



(2π5

)= 14

(√5− 1






(2π5

).

Note que

cos

(2

2π

5

)= cos

(2π − 22π

5

)= cos

(3

2π

5

)

⇒ 2cos2(

2π

5

)− 1 = 4cos3

(2π

5

)− 3cos

(2π

5

)

Logo cos(2π5



(2π5

)= 14

(√5− 1






(2π5

).

Note que

cos

(2

2π

5

)= cos

(2π − 22π

5

)= cos

(3

2π

5

)

⇒ 2cos2(

2π

5

)− 1 = 4cos3

(2π

5

)− 3cos

(2π

5

)Logo cos

(2π5


4x3 − 2x2 − 3x− 1 = (x− 1)(4x2 + 2x− 1).

Avaliando as raízesde 4x2 + 2x− 1, concluímos que cos

(2π5

)= 14

(√5− 1






(2π5

).

Note que

cos

(2

2π

5

)= cos

(2π − 22π

5

)= cos

(3

2π

5

)

⇒ 2cos2(

2π

5

)− 1 = 4cos3

(2π

5

)− 3cos

(2π

5

)Logo cos

(2π5



(2π5

)= 14

(√5− 1

)

Se a, b, c ∈ C, então todas as raízes de ax2 + bx+ c sãoconstrutíveis.





(2π5

).

Note que

cos

(2

2π

5

)= cos

(2π − 22π

5

)= cos

(3

2π

5

)

⇒ 2cos2(

2π

5

)− 1 = 4cos3

(2π

5

)− 3cos

(2π

5

)Logo cos

(2π5



(2π5

)= 14

(√5− 1





Como vimos, a construção de um polígono regular éequivalente a construir um número complexo, maisespecificamente

Para construir o polígono de n lados precisamos construiro número complexo z = cos

(2πn

)+ isen

(2πn

).

Utilizando a fórmula de Euler: eiθ = cos(θ) + isen(θ).Queremos estudar os seguintes números complexos

z = e2πni

Note que zn =(e

2πni)n

= e2πi = 1, logo z é raiz do polinômioxn − 1, e

xn − 1 = (x− 1)(xn−1 + xn−2 + ...+ x+ 1

).

Se n > 1, então z é raiz de xn−1 + xn−2 + ...+ x+ 1.






(2πn

)+ isen

(2πn

).


z = e2πni

Note que zn =(e

2πni)n

= e2πi = 1, logo z é raiz do polinômioxn − 1,

e

xn − 1 = (x− 1)(xn−1 + xn−2 + ...+ x+ 1

).







(2πn

)+ isen

(2πn

).


z = e2πni

Note que zn =(e

2πni)n


xn − 1 = (x− 1)(xn−1 + xn−2 + ...+ x+ 1

).







(2πn

)+ isen

(2πn

).


z = e2πni

Note que zn =(e

2πni)n


xn − 1 = (x− 1)(xn−1 + xn−2 + ...+ x+ 1

).

Se n > 1, então z é raiz de xn−1 + xn−2 + ...+ x+ 1.Arthur Rezende Alves Neto UFPR



n = 6. Denote z = e2π6i, então z é raiz de x6 − 1 e também

de x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1.

Por outro lado,z3 =

(eπ3i)3

= −1, então z também é raiz de x3 + 1.

⇒ x6 − 1 = (x− 1)(x3 + 1)(x2 + x+ 1)= (x− 1)(x+ 1)(x2 − x+ 1)(x2 + x+ 1),

então z é raiz de x2 − x+ 1, e este é irredutível. Portantoz = e

2π6i é construtível.

n = 5. Denote z = e2π5i, e z é raiz de x5 − 1, mas

x5 − 1 = (x− 1)(x4 + x3 + x2 + x+ 1).

Logo z é raiz de x4 + x3 + x2 + x+ 1, esse é irredutível, e zé construtível.




n = 6. Denote z = e2π6i, então z é raiz de x6 − 1 e também

de x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1. Por outro lado,z3 =

(eπ3i)3

= −1, então z também é raiz de x3 + 1.

⇒ x6 − 1 = (x− 1)(x3 + 1)(x2 + x+ 1)= (x− 1)(x+ 1)(x2 − x+ 1)(x2 + x+ 1),

então z é raiz de x2 − x+ 1, e este é irredutível. Portantoz = e

2π6i é construtível.

n = 5. Denote z = e2π5i, e z é raiz de x5 − 1, mas

x5 − 1 = (x− 1)(x4 + x3 + x2 + x+ 1).

Logo z é raiz de x4 + x3 + x2 + x+ 1, esse é irredutível, e zé construtível.



Polígonos e números construtíveisÁlgebra de Polinômios

Teorema (critério de Eisenstein)Seja p(x) = a0 + a1x+ ...+ anxn ∈ Z[x], suponha que exista umnúmero primo p, tal que p | a0, a1, ..., an−1, p - an e p2 - a0. Entãop(x) é irredutível sobre Q[x].

p(x) é irredutível se, e só se, p(x+ 1) é irredutível.

p(x) = g(x)h(x)⇒ p(x+ 1) = g(x+ 1)h(x+ 1)p(x+ 1) = g(x)h(x)⇒ p(x) = g(x− 1)h(x− 1).

Tome f(x) =∑p−1

k=0 xk, com p primo. Note que

f(x+ 1) =

p−1∑k=0

(x+ 1)k

= xp−1 + pxp−2 + p(p− 1)xp−3 + ...+ p,

logo f(x+ 1) é irredutível e f(x) também.






p(x) = g(x)h(x)⇒ p(x+ 1) = g(x+ 1)h(x+ 1)

p(x+ 1) = g(x)h(x)⇒ p(x) = g(x− 1)h(x− 1).

Tome f(x) =∑p−1


f(x+ 1) =

p−1∑k=0

(x+ 1)k

= xp−1 + pxp−2 + p(p− 1)xp−3 + ...+ p,








Tome f(x) =∑p−1


f(x+ 1) =

p−1∑k=0

(x+ 1)k

= xp−1 + pxp−2 + p(p− 1)xp−3 + ...+ p,








Tome f(x) =∑p−1


f(x+ 1) =

p−1∑k=0

(x+ 1)k

= xp−1 + pxp−2 + p(p− 1)xp−3 + ...+ p,

logo f(x+ 1) é irredutível e f(x) também.Arthur Rezende Alves Neto UFPR



Seja p um número primo, temos quexp−1 + xp−2 + ...+ x+ 1 é irredutível.

Tome n = 7. Considere z = e2π7i, sabemos que z é raiz de

x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1, e esse é irredutível. Logo z nãoé construtível e assim o heptágono regular não é construtívelcom régua e compasso.

Para que um polígono regular de p lados (com p primo)seja construtível, é necessário que p− 1 = 2k, para algumk.

Então os polígonos de 7, 11 e 13 lados não são construtíveis. Opolígono de 17 lados é construtível e foi em 1796 que, aosdezenove anos, Gauss mostrou esse fato.






x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1, e esse é irredutível.

Logo z nãoé construtível e assim o heptágono regular não é construtívelcom régua e compasso.










Então os polígonos de 7, 11 e 13 lados não são construtíveis.

Opolígono de 17 lados é construtível e foi em 1796 que, aosdezenove anos, Gauss mostrou esse fato.




Primos de Fermat

Se 2k + 1 é um número primo, então k = 2n para algum n ≥ 0.

Suponha por absurdo que k 6= 2n para todo n ≥ 0, então kdeve ter algum fator ímpar s > 1 e n = ts para algum t ≥ 1.Note que

2k + 1 = (2t)s + 1 = (2t + 1)[(2t)s−1 − (2t)s−2 + ...− 2t + 1

],

como 0 < t < k, então 2 < 2t + 1 < 2k + 1. Com isso 2k + 1tem um fator não trivial e portanto não é um número primo.

DefiniçãoSeja p um número primo da forma 22n + 1, para algum n ≥ 0,então p é dito primo de Fermat.

Exemplos: 3, 5, 17, 257 e 65537.




Primos de Fermat

Se 2k + 1 é um número primo, então k = 2n para algum n ≥ 0.Suponha por absurdo que k 6= 2n para todo n ≥ 0, então kdeve ter algum fator ímpar s > 1 e n = ts para algum t ≥ 1.

Note que

2k + 1 = (2t)s + 1 = (2t + 1)[(2t)s−1 − (2t)s−2 + ...− 2t + 1

],



Exemplos: 3, 5, 17, 257 e 65537.




Primos de Fermat

Se 2k + 1 é um número primo, então k = 2n para algum n ≥ 0.Suponha por absurdo que k 6= 2n para todo n ≥ 0, então kdeve ter algum fator ímpar s > 1 e n = ts para algum t ≥ 1.Note que

2k + 1 = (2t)s + 1

= (2t + 1)[(2t)s−1 − (2t)s−2 + ...− 2t + 1

],



Exemplos: 3, 5, 17, 257 e 65537.




Primos de Fermat


2k + 1 = (2t)s + 1 = (2t + 1)[(2t)s−1 − (2t)s−2 + ...− 2t + 1

],



Exemplos: 3, 5, 17, 257 e 65537.




Primos de Fermat


2k + 1 = (2t)s + 1 = (2t + 1)[(2t)s−1 − (2t)s−2 + ...− 2t + 1

],



Exemplos: 3, 5, 17, 257 e 65537.Arthur Rezende Alves Neto UFPR


Polígonos e números construtíveisRaízes n-ésimas da unidade

DefiniçãoSeja n ≥ 1, então dizemos que z é uma raiz n-ésima daunidade se z é uma raiz de xn − 1.

Denotemos Un := {z | zn = 1}.

Note que U4 := {1, i,−1,−i}.

Seja z ∈ Un, então 1 = |zn| = |z|n, logo |z| = 1. Assimz = cos(θ) + isen(θ), e ainda

1 = [cos(θ) + isen(θ)]n = cos(nθ) + isen(nθ)

disso nθ = 2πk ⇒ θ = 2πkn

, com k ∈ Z. Como sen(x) e cos(x)são 2π periódicos:

zn = 1⇐⇒ z = cos(

2πk

n

)+ isen

(2πk

n

)= e

2πkni,

com k = 0, 1, ..., n− 1.





Denotemos Un := {z | zn = 1}. Note que U4 := {1, i,−1,−i}.





zn = 1⇐⇒ z = cos(

2πk

n

)+ isen

(2πk

n

)= e

2πkni,

com k = 0, 1, ..., n− 1.






Seja z ∈ Un, então 1 = |zn| = |z|n, logo |z| = 1.

Assimz = cos(θ) + isen(θ), e ainda




zn = 1⇐⇒ z = cos(

2πk

n

)+ isen

(2πk

n

)= e

2πkni,

com k = 0, 1, ..., n− 1.









, com k ∈ Z.

Como sen(x) e cos(x)são 2π periódicos:

zn = 1⇐⇒ z = cos(

2πk

n

)+ isen

(2πk

n

)= e

2πkni,

com k = 0, 1, ..., n− 1.










zn = 1⇐⇒ z = cos(

2πk

n

)+ isen

(2πk

n

)= e

2πkni,

com k = 0, 1, ..., n− 1.Arthur Rezende Alves Neto UFPR



Seja z ∈ Un, então z = e2πkni

=(e

2πn

)k. Assim

Un ={

(ωn)k | ωn = e

2πni}.

Seja z = eθi = cos(θ) + isen(θ), então

z = cos(θ)− isen(θ) = cos(−θ) + isen(−θ) = e−iθ.

Logo zz = 1.Note que

e2πkni = e−

2πkni = e

2π(n−k)n

i.

Seja z ∈ Un, dizemos que z é uma raiz n-ésima primitivada unidade se zk 6= 1, para todo 1 < k < n.

Seja γ uma raiz n-ésima primitiva da unidade, entãoUn = {γk | k = 0, 1, ..., n− 1}.




Seja z ∈ Un, então z = e2πkni =

(e

2πn

)k. Assim

Un ={

(ωn)k | ωn = e

2πni}.




e2πkni = e−

2πkni = e

2π(n−k)n

i.







(e

2πn

)k. Assim

Un ={

(ωn)k | ωn = e

2πni}.

Seja z = eθi = cos(θ) + isen(θ),

então



e2πkni = e−

2πkni = e

2π(n−k)n

i.







(e

2πn

)k. Assim

Un ={

(ωn)k | ωn = e

2πni}.



Logo zz = 1.

Note quee

2πkni = e−

2πkni = e

2π(n−k)n

i.







(e

2πn

)k. Assim

Un ={

(ωn)k | ωn = e

2πni}.




e2πkni = e−

2πkni = e

2π(n−k)n

i.






Tome U6 = {1, eπ3i, e

2π3i, eπi, e

4π3i, e

5π3i}, e U3 = {1, e

2π3i, e

4π3i},

logo U3 ⊆ U6.

Como Un são as raízes de xn − 1, segue que(x3 − 1)|(x6 − 1):

x6 − 1 = (x3 − 1)(x3 + 1) = (x3 − 1)(x+ 1)(x2 − x+ 1)

1, e2π3i e e

4π3i são as raízes de (x3 − 1),

eπi = −1 é a raiz de x+ 1 eeπ3i e e

4π3i são as raízes de x2 − x+ 1, e também são as

primitivas.

Para o caso U5 = {1, e2π5i, e

4π5i, e

6π5i, e

8π5i}, temos

x5 − 1 = (x− 1)(x4 + x3 + x2 + x+ 1),

como e2π5i, e

4π5i, e

6π5i, e

8π5i são as raízes de x4 + x3 + x2 + x1, e

este é irredutível, segue que e2πk5i, com k = 1, 2, 3, 4 são as

raízes primitivas.





2π3i, eπi, e

4π3i, e

5π3i}, e U3 = {1, e

2π3i, e

4π3i},

logo U3 ⊆ U6. Como Un são as raízes de xn − 1, segue que(x3 − 1)|(x6 − 1):

x6 − 1 = (x3 − 1)(x3 + 1)

= (x3 − 1)(x+ 1)(x2 − x+ 1)

1, e2π3i e e




primitivas.


4π5i, e

6π5i, e

8π5i}, temos

x5 − 1 = (x− 1)(x4 + x3 + x2 + x+ 1),

como e2π5i, e

4π5i, e

6π5i, e



raízes primitivas.





2π3i, eπi, e

4π3i, e

5π3i}, e U3 = {1, e

2π3i, e

4π3i},


x6 − 1 = (x3 − 1)(x3 + 1) = (x3 − 1)(x+ 1)(x2 − x+ 1)

1, e2π3i e e




primitivas.


4π5i, e

6π5i, e

8π5i}, temos

x5 − 1 = (x− 1)(x4 + x3 + x2 + x+ 1),

como e2π5i, e

4π5i, e

6π5i, e



raízes primitivas.





2π3i, eπi, e

4π3i, e

5π3i}, e U3 = {1, e

2π3i, e

4π3i},


x6 − 1 = (x3 − 1)(x3 + 1) = (x3 − 1)(x+ 1)(x2 − x+ 1)

1, e2π3i e e


eπi = −1 é a raiz de x+ 1 e

eπ3i e e


primitivas.


4π5i, e

6π5i, e

8π5i}, temos

x5 − 1 = (x− 1)(x4 + x3 + x2 + x+ 1),

como e2π5i, e

4π5i, e

6π5i, e



raízes primitivas.





2π3i, eπi, e

4π3i, e

5π3i}, e U3 = {1, e

2π3i, e

4π3i},


x6 − 1 = (x3 − 1)(x3 + 1) = (x3 − 1)(x+ 1)(x2 − x+ 1)

1, e2π3i e e




primitivas.


4π5i, e

6π5i, e

8π5i}, temos

x5 − 1 = (x− 1)(x4 + x3 + x2 + x+ 1),

como e2π5i, e

4π5i, e

6π5i, e



raízes primitivas.





2π3i, eπi, e

4π3i, e

5π3i}, e U3 = {1, e

2π3i, e

4π3i},


x6 − 1 = (x3 − 1)(x3 + 1) = (x3 − 1)(x+ 1)(x2 − x+ 1)

1, e2π3i e e




primitivas.


4π5i, e

6π5i, e

8π5i}, temos

x5 − 1 = (x− 1)(x4 + x3 + x2 + x+ 1),

como e2π5i, e

4π5i, e

6π5i, e



raízes primitivas.Arthur Rezende Alves Neto UFPR


Polígonos e números construtíveisPolinômio Ciclotômico

Tome z ∈ Un, então z = e2πkni, suponha ainda que k e n tenham

um fator d > 1 em comum. Então{n = n′d, com 1 ≤ n′ < n,k = k′d, com 1 ≤ k′ < k

logo z2πkni = e

2πk′n′ i e zn′ = en

′ 2πk′n′ i = 1. Por fim z não é uma raiz

n-ésima primitiva da unidade.

Proposição

Seja z = e2πkni ∈ Un, então z é uma raiz n-ésima primitiva da

unidade se, e somente se, k e n não compartilharem fatores≥ 1, ou seja, mdc(k, n) = 1.




DefiniçãoPara n ≥ 1, definimos o n-ésimo polinômio ciclotômico, Φn(x),como

Φn(x) =∏

1≤k


x6 − 1 == (x− 1)(x− e

π3i)(x− e

2π3i)(x− eπi)(x− e

4π3i)(x− e

5π3i)

= Φ6(x)(x− 1)(x− e2π3i)(x− eπi)(x− e

4π3i)

= Φ6(x)Φ3(x)(x− 1)(x+ 1)= Φ6(x)Φ3(x)Φ2(x)Φ1(x).

xn − 1 =∏

0


x6 − 1 == (x− 1)(x− e

π3i)(x− e


4π3i)(x− e

5π3i)

= Φ6(x)(x− 1)(x− e2π3i)(x− eπi)(x− e

4π3i)

= Φ6(x)Φ3(x)(x− 1)(x+ 1)

= Φ6(x)Φ3(x)Φ2(x)Φ1(x).

xn − 1 =∏

0


x6 − 1 == (x− 1)(x− e

π3i)(x− e


4π3i)(x− e

5π3i)

= Φ6(x)(x− 1)(x− e2π3i)(x− eπi)(x− e

4π3i)

= Φ6(x)Φ3(x)(x− 1)(x+ 1)= Φ6(x)Φ3(x)Φ2(x)Φ1(x).

xn − 1 =∏

0


TeoremaSeja n ≥ 1, então Φn(x) é um polinômio irredutível sobre Q[x].

Sabemos que ∂ (Φn(x)) = #{1 ≤ k ≤ n | mdc(k, n) = 1}. Entãovamos definir a seguinte função:

ϕ : N→ N, ϕ(n) = #{1 ≤ k ≤ n | mdc(k, n) = 1}.

ϕ(p) = p− 1, para p um número primo.ϕ(ps) = ps−1(p− 1), para p primo.ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).






ϕ : N→ N, ϕ(n) = #{1 ≤ k ≤ n | mdc(k, n) = 1}.

ϕ(p) = p− 1, para p um número primo.

ϕ(ps) = ps−1(p− 1), para p primo.ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).






ϕ : N→ N, ϕ(n) = #{1 ≤ k ≤ n | mdc(k, n) = 1}.

ϕ(p) = p− 1, para p um número primo.ϕ(ps) = ps−1(p− 1), para p primo.

ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).






ϕ : N→ N, ϕ(n) = #{1 ≤ k ≤ n | mdc(k, n) = 1}.

ϕ(p) = p− 1, para p um número primo.ϕ(ps) = ps−1(p− 1), para p primo.ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).




n ∈ N, ϕ(n) é uma potência de 2 se, e só se,n = 2kp1p2...pj , onde k ≥ 0 e pl são primos distintos deFermat, para l = 1, ..., j.

Se n =∏ms=1 p

tss , então ϕ(n) =

∏ms=1 ϕ(p

tss ). Logo ϕ(n) é uma

potência de dois se, e só se, ϕ(pf ) é uma potência de 2 paratodo primo p e f ∈ N, tal que pf |n. Reescrevendo a afirmação

Dados p um primo e f ∈ N, então ϕ(pf )

Polígonos e números construtíveisPolígonos e números construtíveis Introdução Construção...

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