Pontifícia Universidade Católica de São Paulo - …...posição de Vygotsky referente à...

KARINA LAGUNA ANDREZZO

“UM ESTUDO DO USO DE PADRÕES FIGURATIVOS NAAPRENDIZAGEM DE ÁLGEBRA POR ALUNOS

SEM ACUIDADE VISUAL”

PUC/SP

SÃO PAULO

2005

KKAARRIINNAA LLAAGGUUNNAA AANNDDRREEZZZZOO

“UM ESTUDO DO USO DE PADRÕES FIGURATIVOS NAAPRENDIZAGEM DE ÁLGEBRA POR ALUNOS

SEM ACUIDADE VISUAL”

Dissertação apresentada à Banca Examinadora daPontifícia Universidade Católica de São Paulo,como exigência parcial para obtenção do título deMESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob aorientação da Profª. Drª. Siobhan Victoria (Lulu)Healy.

PUC/SPSÃO PAULO

2005

Banca Examinadora

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Autorizo para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ouparcial desta dissertação por processos de fotocópias ou eletrônicos.

Assinatura: _______________________ Local e Data: _____________

Dedico este trabalho ao meu marido Luciano Dedico este trabalho ao meu marido Luciano Dedico este trabalho ao meu marido Luciano Dedico este trabalho ao meu marido Luciano Andrezzo,Andrezzo,Andrezzo,Andrezzo,

que sempre esteve ao meu lado e através do seu amor eque sempre esteve ao meu lado e através do seu amor eque sempre esteve ao meu lado e através do seu amor eque sempre esteve ao meu lado e através do seu amor e

compreensão, me apoiou e incentivou nesta caminhada,compreensão, me apoiou e incentivou nesta caminhada,compreensão, me apoiou e incentivou nesta caminhada,compreensão, me apoiou e incentivou nesta caminhada,

que muito me fez crescer, permitindo que meu sonho seque muito me fez crescer, permitindo que meu sonho seque muito me fez crescer, permitindo que meu sonho seque muito me fez crescer, permitindo que meu sonho se

realizasse.realizasse.realizasse.realizasse.

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a DEUS, que além da vida, proporcionou-me, saúde,

força, amor e perseverança para que mais um de meus projetos se realizasse.

À Lulu Healy, pela sua amizade, competência, paciência e extrema dedicação

durante todos os nossos encontros. Com seu jeito peculiar, ensinou-me a

olhar à frente, aceitar e superar as adversidades da vida.

Às Professoras Doutoras Iole de Freitas Druck e Anna Franchi, pelas valiosas

contribuições na concretização deste estudo, como membros da Banca

Examinadora.

À Prof.ª Dr.ª Marta Kohl de Oliveira, que nos possibilitou um encontro de

enriquecimento e aprofundamento em relação à teoria vygotskyana.

Ao Prof. Dr. Wagner Rodrigues Valente pelo apoio e contribuição na

elaboração do anteprojeto desta pesquisa.

À Prof.ª Dr..ªª Ana Paula Jahn e Profª Drª Celina Ap. Almeida Pereira Abar

pelas sugestões para a apresentação deste estudo no Encontro Brasileiro de

pós-graduando em Educação Matemática (VII EBRAPEM).

À Prof.ª Dr.ª Sandra Maria Pinto Magina por ter acreditado em mim no início

desta caminhada.

Aos professores do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação

Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, pelos

conhecimentos compartilhados durante o curso.

A todos os professores e participantes do grupo de pesquisa Tecnologias e

Meios de Expressão em Matemática - TecMem - pelo incentivo.

Ao secretário Francisco, pela atenção aos esclarecimentos prestados.

Ao meu marido, Luciano Andrezzo, que além do apoio, possibilitou-me

dedicação total a esta pesquisa, principalmente no último ano de curso.

Aos meus filhos, Amanda, Felipe e Bruno, que por alguns momentos

souberam me esperar.

Aos meus familiares em especial meus pais, Ana Maria e Vitor que desde o

início incentivaram e apoiaram a profissão por mim escolhida,

proporcionando-me dedicação total a meus estudos no período escolar e

graduação.

Aos meus irmãos, Laerte e Mauro, cunhadas e sobrinhos, por entenderem

minhas ausências.

Aos meus avós, Octávio, Angelina, Hilda e Benedito e sogros Zilda e Orlando,

pelo amor e incentivo.

À Direção da EE Caetano de Campos, funcionários, professores e alunos

videntes, pela colaboração nesta pesquisa.

Aos alunos que participaram das entrevistas, pela dedicação, carinho e

seriedade com que conduziram suas atividades.

Aos funcionários da Fundação Dorina Nowill, responsáveis pela digitação das

atividades para os caracteres no sistema Braille, viabilizando assim, sua

impressão à tinta.

À Prof.ª Dr.ª Nely Garcia, pelas valiosas sugestões bibliográficas.

Ao Prof. Dr. Manoel Carnayba, por compartilhar suas experiências como

deficiente visual.

À Prof.ª Genny Gomes Borelli, por datilografar as Atividades de Sondagem no

sistema Braille.

À Prof.ª Auta Adelaide Constantino Aihara, por esclarecimentos prestados

envolvendo a educação de alunos sem acuidade visual.

Aos meus colegas de mestrado, pelas experiências compartilhadas.

À Terezinha pela agradável companhia e sugestões na leitura final deste

trabalho.

Aos amigos Rosângela, Simone, Rita, Diva e Antônio, pelo apoio e incentivo.

À Prof.ª Lili, responsável pela revisão ortográfica do estudo.

À Olga Nakamura, por disponibilizar tradução de texto e por seu estudo que

muito me auxiliou.

Enfim, a todos que de uma forma ou de outra, diretamente ou indiretamente,

contribuíram para que este estudo se realizasse.

Muito Obrigada.

RESUMO

Nesta pesquisa, buscamos identificar fatores que contribuíram na apreensão

de expressões algébricas por alunos sem acuidade visual. Para isto elaboramos

atividades que facilitassem sua participação em atividades de generalização. O

estudo se desenvolveu com alunos do Ensino Médio e tem como ponto de partida a

posição de Vygotsky referente à integração social do aluno portador de alguma

deficiência e seu potencial para um desenvolvimento normal. A sugestão de

abordagem algébrica através de generalizações de padrões figurativos teve suporte

de vários pesquisadores em educação Matemática, em particular, os estudos e

considerações de Küchemann (1981), Booth (1988) e Mason (1996). A primeira fase

da pesquisa envolveu a elaboração das atividades e dos materiais manipulativos,

através dos quais os alunos s.a.v. poderiam ter acesso às seqüências de padrões

figurativos. A segunda fase constituiu-se de uma Atividade de Sondagem composta

por itens que envolviam noções algébricas e cinco entrevistas onde foram

trabalhadas sete seqüências cujos padrões eram representados por ímãs de formas

geométricas. A análise da Atividade de Sondagem possibilitou que identificássemos

as dificuldades dos alunos em lidar com três das seis categorias descritas por

Küchemann (1981), “letra como uma incógnita específica”, “letra como número

generalizado” e “letra como variável”; e alguns erros cometidos pelos alunos durante

as simplificações. Quanto à análise das tarefas, esta, procedeu das estratégias

usadas na evolução das generalizações matemáticas. Nossas análises indicaram

um processo gradual de internalização das marcas externas (os imãs e suas

organizações) através das “manipulações”, “articulações” e na tentativa de atribuir

significado algébrico às letras em expressões algébricas (“constituindo um sentido

para”).

Palavras-chave: Expressões algébricas, alunos sem acuidade visual, generalização,

seqüências.

ABSTRACT

This study aimed to identify factors that contribute to the understandings of

algebraic expressions constructed by blind students. To this end, it involved the

design of situations that would enable the participation of blind high-school students

(Brazilian Ensino Médio) in generalizing activities. The research was inspired by

Vygotsky’s visions of the social integration and intellectual development of learners

with special needs. The use of an approach to algebra emphasizing generalizations

based on the patterns underlying sequences presented as spatial arrangements has

been supported by various researchers in Mathematics Education, this study was

informed particularly by the work of Küchemann (1981), Booth (1988) and Mason

(1996). In the first phase of the research, materials based on the use of magnets to

represent dynamic elements of sequences were designed and tested. The second

phase involved five blind students in completing a preliminary activity, elaborated to

obtain data about their performance on traditional algebra exercises followed by a

series of interviews, during which each students worked through a set of seven

generalizing activities. The analysis of the students’ responses to the preliminary

activities indicated that the students had difficulties in dealing with three of six

categories for interpreting letters in algebraic expressions described by Küchemann

(1981), “letter as specific unknown”, “letter as generalized number” and “letter as

variable”; and identified errors committed during the simplification of expressions.

Analysis of the interview data was based on the strategies the students used to

construct mathematical generalizations. These analyses highlighted a process by

which the external marks (the magnets and their organizations) were gradually

internalized through the manipulations and articulations by which the learners strived

to get a sense of algebraic expressions.

KKeeyywwoorrddss:: Algebraic expressions, blind students, generalization, sequences.

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Seqüências de tiras brancas e pretas .................................... 47Figura 2.2 - Exemplo de relações e métodos usados em Aritmética ...... 51Figura 2.3 - Investigação de padrões em representações figurativas .... 56Figura 2.4 - Fases do desenvolvimento em espiral de John Mason ....... 61Figura 3.1 - Prancha de metal .................................................................... 66Figura 3.2 - Ímãs .......................................................................................... 67Figura 3.3 - Máquina datilográfica ............................................................. 77Figura 3.4 - Reglete ..................................................................................... 77Figura 3.5 - Punção ..................................................................................... 77Figura 5.1 - 1ª Tarefa ................................................................................... 104Figura 5.2 - Construção dos termos: Fernando e Angélica ..................... 105Figura 5.3 - 2ª Tarefa ................................................................................... 108Figura 5.4 - 1ª Construção de Cláudio ....................................................... 109Figura 5.5 - 2ª Construção de Cláudio........................................................ 110Figura 5.6 - 3ª Tarefa .................................................................................... 116Figura 5.7 - Construção de Tânia................................................................ 117Figura 5.8 - Construção de Cláudio ........................................................... 118Figura 5.9 - Estratégia 3.1 ........................................................................... 119Figura 5.10 - Estratégia 3.2 ........................................................................... 119Figura 5.11 - Estratégia 3.3 ........................................................................... 120Figura 5.12 - Estratégia 3.4 ........................................................................... 121Figura 5.13 - Estratégia 3.5 ........................................................................... 122Figura 5.14 4ª Tarefa ................................................................................... 129Figura 5.15 - Construção de Cláudio ........................................................... 130Figura 5.16 - Estratégia 4.1 ........................................................................... 131Figura 5.17 - Estratégia 4.2 ........................................................................... 132Figura 5.18 - Estratégia 4.3 ........................................................................... 133Figura 5.19 - Estratégia 4.4 ........................................................................... 133Figura 5.20 - 4ª Tarefa - Fernando e Angélica ............................................. 137Figura 5.21 - 5ª Tarefa .................................................................................... 140

Figura 5.22 - 1ª Construção de Cláudio ....................................................... 140Figura 5.23 - 2ª Construção de Cláudio ....................................................... 141Figura 5.24 - Estratégia 5.2 ............................................................................ 142Figura 5.25 - Construção de Tânia ............................................................... 143Figura 5.26 - Estratégia 5.3 ........................................................................... 144Figura 5.27 - Estratégia 5.4 ........................................................................... 145Figura 5.28 - Contagem em grupo - Tânia ................................................... 146Figura 5.29 - 6ª Seqüência - Construção com triângulos e quadrados .... 152Figura 5.30 - 6ª Tarefa .................................................................................... 152Figura 5.31 - Construção do 2º termo .......................................................... 153Figura 5.32 - Reconstrução do 2º termo ...................................................... 153Figura 5.33 - Estratégia 6.1............................................................................ 154Figura 5.34 - Estratégia 6.2 ........................................................................... 156Figura 5.35 - Estratégia 6.3 ........................................................................... 157Figura 5.36 - Organização de Tânia ............................................................. 165Figura 5.37 - Organização de Fernando e Angélica .................................... 166Figura 5.38 - Organização de Cláudio .......................................................... 166Figura 5.39 - Organização de Giovanna ....................................................... 166

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 - Respostas do Item 1 ................................................................... 83Tabela 4.2 - Respostas do Item 2 ................................................................... 83Tabela 4.3 - Respostas do Item 12a ............................................................... 83Tabela 4.4 - Respostas do Item 3 ................................................................... 85Tabela 4.5 - Respostas do Item 7 ................................................................... 85Tabela 4.6 - Respostas do Item 12b ............................................................... 86Tabela 4.7 - Respostas do Item 4 ................................................................... 89Tabela 4.8 - Respostas do Item 5 ................................................................... 89Tabela 4.9 - Respostas do Item 9 ................................................................... 89Tabela 4.10 - Respostas do Item 13 ................................................................. 89Tabela 4.11 - Respostas do Item 6 ................................................................... 92Tabela 4.12 - Respostas do Item 8 ................................................................... 93Tabela 4.13 - Respostas do Item 10 ................................................................. 93Tabela 4.14 - Respostas do Item 11 ................................................................. 93Tabela 4.15 - Respostas dos Itens 14, 15 e 16 ................................................ 96Tabela 4.16 - Resultados da Atividade de Sondagem .................................... 97Tabela 4.17 - Acertos da Atividade de Sondagem (Itens 1 a 13 e Item 17) ... 98Tabela 5.1 - Expressões numéricas referente à Estratégia 3.2 ................... 124Tabela 5.2 - Expressões numéricas referente à Estratégia 3.5 ................... 125Tabela 5.3 - Expressões numéricas referentes à Estratégia 3.4 ................. 126Tabela 5.4 - Expressões algébricas ............................................................... 128Tabela 5.5 - Expressões numéricas do círculo.............................................. 135Tabela 5.6 - Expressões algébricas do círculo ............................................. 136Tabela 5.7 - Expressões numéricas e algébricas do quadrado ................... 138Tabela 5.8 - Expressões algébricas do Total de ímãs .................................. 139Tabela 5.9 - Expressões numéricas – Estratégia 5.3 .................................... 147Tabela 5.10 - Expressões numéricas – Estratégia 5.4 ................................... 147Tabela 5.11 - Expressões algébricas ............................................................... 149Tabela 5.12 - Expressão equivalente ............................................................... 151Tabela 5.13 - Expressões numéricas do círculo ............................................. 159

Tabela 5.14 - Expressões algébricas do círculo ............................................. 159Tabela 5.15 - Expressões numéricas do quadrado - 6ª Tarefa ...................... 160Tabela 5.16 - Expressões algébricas do quadrado ......................................... 161Tabela 5.17 - Expressões algébricas do total de ímãs ................................... 162Tabela 5.18 - Expressões numéricas e algébrica (total de ímãs) .................. 162Tabela 5.19 - Expressões algébricas do total de ímãs (equivalentes) .......... 163Tabela 5.20 - Respostas dos alunos - “Que é maior 2n ou n + 2?” .............. 169Tabela 5.21 - Resumo da 1ª Tarefa ................................................................... 172Tabela 5.22 - Resumo da 2ª Tarefa ................................................................... 173Tabela 5.23 - Resumo da 3ª Tarefa ................................................................... 173Tabela 5.24 - Resumo da 4ª Tarefa ................................................................... 174Tabela 5.25 - Resumo da 5ª Tarefa ................................................................... 174Tabela 5.26 - Resumo da 6ª Tarefa ................................................................... 175

Tabela A.1 - Desempenho dos alunos videntes do 1º ano do EnsinoMédio ....................................................................................... cxcvii

Tabela A.2 Desempenho dos alunos videntes do 2º ano do EnsinoMédio ....................................................................................... cxcviii

LISTA DE GRÁFICOS E QUADROS

Gráfico 2.1 - Interpretação das letras pelos alunos:“letra como objeto”ou “letra não utilizada” - Níveis 1 e 2 ....................................... 46

Gráfico 2.2 - Porcentagem acumulativa dos alunos em cada nível daÁlgebra ........................................................................................ 46

Quadro 2.1 - Interpretação da Álgebra escolar e as diferentes funçõesdas letras .................................................................................. 53

Quadro 3.1 - Fases do estudo ...................................................................... 65Quadro 3.2 - Itens da 1ª Tarefa ..................................................................... 69Quadro 3.3 - Itens da 2ª Tarefa ..................................................................... 70Quadro 3.4 - Itens da 3ª Tarefa ..................................................................... 71Quadro 3.5 - Itens da 4ª Tarefa ..................................................................... 72Quadro 3.6 - Itens da 5ª Tarefa ..................................................................... 73Quadro 3.7 - Itens da 6ª Tarefa ..................................................................... 74Quadro 3.8 - Organização cronológica da entrevistas .............................. 79Quadro 4.1 - Itens Nível 1 .............................................................................. 82Quadro 4.2 - Itens Nível 2 .............................................................................. 84Quadro 4.3 - Itens Nível 3 .............................................................................. 87Quadro 4.4 - Itens Nível 4 .............................................................................. 90Quadro 4.5 - Item 17 ...................................................................................... 94Quadro 4.6 - Itens 14, 15 e 16 ....................................................................... 95Quadro 5.1 - Estratégia de Fernando ........................................................... 111Quadro 5.2 - Outras estratégias de Fernando ............................................. 150

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO............................................................................................................ 20

CAPÍTULO 1 - O educando sem acuidade visual ................................................. 221.1 Integração dos alunos s.a.v. em sistemas educacionais .................................. 221.2 Vygotsky e o desenvolvimento da criança s.a.v. ............................................... 32 1.2.1 Integração Social ......................................................................................... 33 1.2.2 Mediação ..................................................................................................... 36 1.2.3 Internalização e o desenvolvimento de sistemas simbólicos...................... 39

CAPÍTULO 2 - O ensino e aprendizagem da Álgebra .......................................... 42

2.1 Apreensão de expressões algébricas................................................................ 42 2.1.1 Interpretação das letras .............................................................................. 42 2.1.2 Identificação dos tipos de erros (algébricos) cometidos pelos alunos ........ 482.2 Impacto das pesquisas no currículo da Álgebra ............................................... 522.3 As propostas nos Parâmetros Curriculares Nacionais Matemática no Ensino

Fundamental .............................................................................................................. 522.4 As propostas nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio .......... 562.5 Generalização ................................................................................................... 59 2.5.1 A Espiral de Mason ..................................................................................... 59

CAPÍTULO 3 - Metodologia ................................................................................... 65

3.1 Fase 1 - Desenvolvimento das atividades ......................................................... 65 3.1.1 Material Manipulativo .................................................................................. 66 3.1.2 Elaboração da Atividade de Sondagem ...................................................... 67 3.1.3 Elaboração das Tarefas .............................................................................. 683.2 Fase 2 - Realização das Atividades .................................................................. 75 3.2.1 Sujeitos ........................................................................................................ 75 3.2.2 Atividade de Sondagem .............................................................................. 76

3.2.3 Tarefas ........................................................................................................ 78

CAPÍTULO 4 - Análise da Atividade de Sondagem .............................................. 814.1 Organização da análise ..................................................................................... 814.2 Análise dos itens de Nível 1 - Grupo 1.............................................................. 814.3 Análise dos itens de Nível 2 - Grupo 2 .............................................................. 834.4 Análise dos itens de Nível 3 - Grupo 3 ............................................................ 864.5 Análise dos itens de Nível 4 - Grupo 4 ............................................................ 904.6 Análise do Item 17 ............................................................................................ 944.7 Análise dos Itens 14, 15 e 16 ........................................................................... 954.8 Análise do desenvolvimento de cada aluno na Atividade de Sondagem ......... 96 4.8.1 Angélica ...................................................................................................... 98 4.8.2 Giovanna .................................................................................................... 98 4.8.3 Tânia ........................................................................................................... 99 4.8.4 Cláudio ........................................................................................................ 99 4.8.5 Fernando .................................................................................................... 1004.9 Considerações finais ........................................................................................ 101CAPÍTULO 5 - Análise das tarefas ........................................................................ 1025.1 Organização da Análise das tarefas ................................................................. 102 5.1.1 Representação dos termos específicos e a construção de expressões em

linguagem natural .................................................................................................... 102 5.1.2 Construção de expressões numéricas e algébricas .................................. 1035.2 Análise da 1ª Tarefa ......................................................................................... 104 5.2.1 Representação dos termos específicos e a construção de expressões em

linguagem natural ..................................................................................................... 1055.2.1.1 Relação entre termos ............................................................................ 105

5.3 Análise da 2ª tarefa ......................................................................................... 108 5.3.1 Representação dos termos específicos e construção de expressões em

linguagem natural ..................................................................................................... 108 5.3.1.1 Relação entre termos ............................................................................ 109 5.3.1.2 Regra para um termo geral .................................................................... 111 5.3.2 Construção de expressões numéricas e algébricas ................................... 113

5.3.2.1 Construção de expressões numéricas ................................................ 113

5.3.2.2 Construção de expressões algébricas ................................................. 1145.4 Análise da 3ª tarefa ......................................................................................... 116 5.4.1 Representação dos termos específicos e construção de expressões em

linguagem natural ..................................................................................................... 116 5.4.1.1 Relação entre termos ............................................................................ 117 5.4.1.2 Regra para um termo geral ................................................................... 121 5.4.2 Construção de expressões numéricas e algébricas ................................... 124

5.4.2.1 Construção de expressões numéricas ................................................. 124 5.4.2.2 Construção de expressões algébricas .................................................. 125



5.5.2.1 Construção de expressões numéricas algébricas do círculo .............. 134 5.5.2.2 Construção de expressões numéricas e algébricas do quadrado e do

total de ímãs ........................................................................................................... 1365.6 Análise da 5ª tarefa ......................................................................................... 139 5.6.1 Representação dos termos específicos e construção de expressões em


5.6.2.1 Construção de expressões numéricas ................................................. 146 5.6.2.2 Construção de expressões algébricas e equivalentes ......................... 148


linguagem natural ..................................................................................................... 153 5.7.1.1 Relação entre termos ........................................................................... 154 5.7.1.2 Regra para um termo geral .................................................................. 155 5.7.2 Construção de expressões numéricas e algébricas ................................... 158

5.7.2.1 Construção de expressões numéricas e algébricas do círculo ........... 158

5.7.2.2 Construção de expressões numéricas e algébricas do quadrado e do

total de ímãs ........................................................................................................... 1605.8 Análise da 7ª tarefa ......................................................................................... 163 5.8.1 Representação dos termos das seqüências (quantidade e organização

dos ímãs) .................................................................................................................. 164 5.8.1.1 Cálculo da quantidade de ímãs em cada termo .................................. 164 5.8.1.2 Organização dos ímãs ......................................................................... 165 5.8.2 Análise das respostas ................................................................................. 1675.9 Síntese do capítulo ......................................................................................... 171 5.9.1 Comportamento dos alunos nas tarefas ..................................................... 171 5.9.2 Resumo das tarefas .................................................................................... 172

CAPÍTULO 6 - Conclusão ...................................................................................... 1766.1 Introdução ......................................................................................................... 1766.2 Trajetória do estudo .......................................................................................... 1766.3 Síntese dos principais resultados ..................................................................... 178 6.3.1 A Atividade de Sondagem .......................................................................... 178 6.3.2 As tarefas (entrevistas) ............................................................................... 1806.4 Resposta à questão de pesquisa ..................................................................... 1826.5 Implicações para o ensino ................................................................................ 184

BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................ 186

ANEXOS ............................................................................................................. clxxxixANEXO A Alfabeto Braille ................................................................................ cxcANEXO B Atividade de Sondagem - (Aplicada aos alunos videntes) .............. cxciiANEXO C Resultados dos alunos videntes ...................................................... cxcviiANEXO D Atividade de Sondagem Final - Selecionada (alunos s.a.v.)............ ccANEXO E Questões das entrevistas ................................................................ cciiiANEXO F Respostas da 4ª Tarefa no sistema Braille ...................................... ccviii

20

INTRODUÇÃO

Nós, professores, vivenciamos atualmente o desafio de incluir aprendizes

com necessidades especiais nas nossas aulas de Matemática. Em relação aos

alunos sem acuidade visual (s.a.v.) dentro dos padrões normais, não podemos

esperar que eles tenham os mesmos acessos às representações matemáticas

usualmente trabalhadas no ensino da Matemática, como por exemplo, as figuras, os

gráficos, diagramas etc. Assim, algumas situações experienciadas por nós,

professores, e os alunos s.a.v., tornam-se pouco significativas. Para que os alunos

s.a.v. sejam capazes de desenvolver suas potencialidades e, desta forma,

integrarem-se cultural e socialmente, é necessário que proporcionemos

oportunidades educacionais adequadas que favoreçam este processo. De acordo

com os “Parâmetros Curriculares Nacionais - Adaptações Curriculares”, os principais

aspectos envolvidos para que isto aconteça referem-se: à organização do trabalho

didático pedagógico, à definição dos objetivos, ao tratamento e desenvolvimento dos

conteúdos, às avaliações e a temporalidade. Dentre estes, estaremos focados no

tratamento e desenvolvimento dos conteúdos.

Nesse sentido, desenvolvemos nossa pesquisa com o objetivo de investigar

a compreensão de objetos algébricos, especificamente seqüências de padrões

figurativos por alunos s.a.v., e elaborar situações que facilitem sua participação

em atividades de generalização, buscando responder à questão: Quais os fatores

que contribuem na apreensão de expressões algébricas por alunos sem acuidade

visual?

A visão é uma das vias de acesso ao conhecimento, sendo que sua

ausência, se não compensada, pode impedir que o aluno s.a.v. perceba e se

relacione com o mundo de maneira adequada. A respectiva compensação pode ser

feita através de outros sentidos, como o tato e a audição. A exploração tátil do

ambiente físico e dos objetos em estudo, mediada verbalmente, deve ser viabilizada

e enfatizada sempre que possível, de forma que os alunos possam construir os

conceitos e incorporá-los ao conjunto de seus conhecimentos, oferecendo-lhes

condições para que possam agir. Estas peculiaridades que envolvem os alunos

21

s.a.v., é que nos direcionam à ação. A adaptação, observação, reflexão e a busca

de soluções criativas são estratégias necessárias, diante das diversas situações

presentes em sala de aula.

Para que possamos melhor exercer nosso papel de educadores junto a

esse aluno especial é fundamental conhecer e saber lidar com a deficiência,

visando tirar o máximo de proveito de suas eficiências. (Projeto de

Educação continuada. Proposta de Educação Especial – USP, p. 32).

Faremos, a seguir, a descrição do trabalho, que resultará em nossa

dissertação. Procuraremos expor, resumidamente, os principais tópicos de cada um

dos seis capítulos integrantes do presente trabalho.

No Capítulo 1, versaremos sobre a inclusão dos alunos s.a.v. no sistema

educacional e introduziremos algumas das idéias de Vygotsky relevantes para nosso

tema.

No Capítulo 2, trataremos da Álgebra e das dificuldades enfrentadas pelos

alunos em sua apreensão. Abordaremos os referenciais teóricos que fazem parte de

nosso estudo, entre eles, Küchemann (1981), que estudou as diferentes

interpretações das letras atribuídas pelos alunos; Mason (1996a), que apresentou as

fases de desenvolvimento na apreensão dos conceitos algébricos; e Booth (1988),

que investigou as razões dos erros algébricos cometidos pelos alunos.

O Capítulo 3 será dedicado à descrição da metodologia de nossa pesquisa.

Apresentaremos as fases de desenvolvimento das atividades, desde a elaboração

do material manipulativo, até a elaboração da Atividade de Sondagem e das

entrevistas.

No Capítulo 4, estaremos analisando as respostas dos alunos durante a

Atividade de Sondagem, relacionando-as com os estudos de Küchemann (1983) e

Booth (1988).

O Capítulo 5 trará a descrição e análise dos procedimentos dos alunos no

transcorrer das tarefas de generalização. Para isto, contaremos com a contribuição

dos estudos de Vygotsky (1983), Mason (1996a) e Booth (1988).

No Capítulo 6, procuraremos, de forma resumida expor nossas conclusões

com base na análise dos dados apresentados nos Capítulos 4 e 5.

22

CAPÍTULO 1O educando sem acuidade visual

Neste capítulo, apresentamos alguns dados estatísticos referentes ao

número de pessoas com problemas visuais e, através de um breve histórico,

relatamos o início da institucionalização da inclusão dos alunos s.a.v. e as mudanças

ocorridas até os dias de hoje. Não poderíamos deixar de mencionar as contribuições

do documento intitulado “Declaração de Salamanca e Enquadramento da Ação”,

incluindo também as “Adaptações Curriculares” que compõem o conjunto dos PCN.

Apresentamos Vygotsky e suas idéias a respeito da integração social e os processos

de mediação, internalização e o desenvolvimento de sistemas simbólicos,

fundamentais para que essa integração aconteça.

1.1 INTEGRAÇÃO DOS ALUNOS S.A.V. EM SISTEMASEDUCACIONAIS

O último censo do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE),

realizado em 2000, cerca de 16,5 milhões de habitantes (ou quase 10% da

população) têm algum tipo de deficiência visual no Brasil. Estima-se que, desse total,

20% a 30% correspondam a crianças com algum problema de acuidade visual

(IBGE, Censo demográfico 2000).

A cegueira pode decorrer de uma variedade de causas genéticas e

ambientais. Dentre as anomalias visuais congênitas, nem todas podem ser

consideradas hereditárias. Muitas são resultados de:

• fatores ambientais que atuam sobre o feto, como os traumatismos, o

alcoolismo e as drogas em geral, as radiações e as doenças infecciosas

como rubéola, sífilis e toxoplasmose, estas três, são consideradas as

mais freqüentes;

23

• problemas ligados também à higiene, como o tracoma e suas múltiplas

conseqüências; à ausência de cuidados pós-parto, ocasionando a oftalmia

neunatorum; à xeroftalmia, devida à vitaminose A, agravada pela

desnutrição proteinocalórica;

• “fibroplasia retrolental”, causada pela alta concentração de oxigênio nas

incubadeiras dos recém-nascidos prematuros.

Uma pessoa é considerada cega se corresponde a um dos critérios

seguintes: a visão corrigida do melhor dos seus olhos é de 20/200 ou menos, isto é,

se ela pode ver a 20 pés (6 metros) o que uma pessoa de visão normal pode ver a

200 pés (60 metros), ou se o diâmetro mais largo do seu campo visual subentende

um arco não maior de 20 graus, ainda que sua acuidade visual nesse estrito campo

possa ser superior a 20/2001

A inclusão dos alunos s.a.v. existe desde aproximadamente 1930, no

entanto a institucionalização da Educação Especial no Brasil, envolvendo as

deficiências físicas e mentais, deu-se na década de 70, iniciando um processo de

centralização administrativa e coordenação política a partir do governo federal

(Universidade Federal do Paraná). A Educação Especial, em termos de legislação,

surge pela primeira vez na LDB (Lei de Diretrizes e Bases) 4024/61, estabelecendo

que a educação dos excepcionais deveria, no que fosse possível, enquadrar-se no

sistema geral de educação. Na Lei 5692/71, foi previsto o tratamento especial para

alunos que apresentassem deficiências físicas ou mentais e superdotados. O

CENESP (Centro Nacional de Educação Especial) foi criado na década de 70 e,

juntamente com o MEC (Ministério da Educação e Cultura) tinha como objetivo

centralizar e coordenar as ações de política educacional. O CENESP existiu até

1986, quando então foi criada a CORDE (Coordenadoria para a integração de

pessoa portadora de deficiência) junto à Presidência da República para coordenar

assuntos, atividades e medidas referentes ao portador de deficiência. Extinto o

CENESP, criou-se a Secretaria de Educação Especial do MEC. Em 1989 a CORDE

1Dados extraídos do site: instituto Benjamin Constant – Um olhar sobre a cegueira.

http://www.ibcnet.org.br/Paginas/cegueira/Artigo_03.htm. Acesso em 05/05/04

24

foi transferida para o Ministério da Ação Social e a área de Educação Especial do

MEC tornou-se coordenação, configurando uma redução de poder político da área.

Em 1993, voltou a existir a Secretaria de Educação Especial (SEESP) no Ministério

da Educação.

A partir da década de 90, as discussões referentes à educação das pessoas

com necessidades especiais, tomaram uma dimensão maior, e em 20/12/96 foi

criada a Lei nº 9394 da LDB que, no capítulo V, aponta que a educação dos

portadores de necessidades especiais deve-se dar preferencialmente na rede

regular de ensino. Assim, a política educacional brasileira passou a ter como

objetivo maior de todo o planejamento nacional, a formação do cidadão brasileiro,

assegurando a todos os mesmos direitos, sem discriminação de qualquer natureza.

Segundo Semeghini (1998), a proposta da escola inclusiva é abrir oportunidades

educacionais adequadas a todas as crianças; dar condições a crianças com

necessidades educativas especiais para que possam se desenvolver social e

intelectualmente junto com as demais crianças na classe comum; aceitar todas as

diferenças e se adaptar à variedade humana, criando um cenário propício ao

desenvolvimento das potencialidades individuais.

Em 1994, na “Conferência Mundial sobre Necessidades Educativas

Especiais: Acesso e Qualidade”, organizada pelo governo da Espanha em

cooperação com a UNESCO, reuniram-se representantes de noventa e dois países

e de vinte e cinco organizações internacionais, com o objetivo de promover “a

educação para todos” - instituições que incluam todas as pessoas, aceitem as

diferenças, apóiem a aprendizagem e respondam às necessidades individuais.

Nessa conferência foi elaborado o documento “Declaração de Salamanca e

Enquadramento da Ação - Necessidades Educativas Especiais”, que representa um

consenso mundial sobre as futuras orientações da educação das crianças e jovens

com necessidades educativas especiais. O documento referente ao Enquadramento

da Ação, especificamente, “inspira-se na experiência a nível nacional dos países

participantes, assim como nas resoluções, recomendações e publicações das

Nações Unidas e das outras organizações internacionais governamentais,

especialmente nas Normas sobre Igualdade de Oportunidades para Pessoas com

25

Deficiência2”. O princípio orientador “consiste em afirmar que as escolas devem se

ajustar a todas as crianças, independente das suas condições físicas, sociais,

lingüísticas ou outras”. O termo, “necessidades educativas especiais”, na Declaração

de Salamanca e Enquadramento e Ação, refere-se à todas as crianças e jovens

cujas carências se relacionam com deficiências ou dificuldades escolares. Neste

conceito inclui-se as crianças com deficiências ou superdotadas, crianças da rua ou

crianças que trabalham, crianças de populações remotas ou nômadas, crianças de

minorias lingüísticas, étnicas ou culturais e crianças de áreas ou grupos

desfavorecidos ou marginais.

Todos os interessados devem aceitar o desafio e trabalhar, de modo que a

Educação para Todos seja, efetivamente, PARA TODOS, em especial para

os mais vulneráveis e com mais necessidades. (Mayor, 1994; Declaração de

Salamanca -prefácio)

Nos itens 6, 7 e 8 do referido documento, compreendemos melhor os

pressupostos da escola inclusiva:

6 – [...] O sucesso das escolas inclusivas que favorecem um ambiente

propício à igualdade de oportunidades e à plena participação depende de

um esforço concentrado, não só dos professores e do pessoal escolar, mas

também dos alunos, pais e voluntários. [...]

7 – O princípio fundamental das escolas inclusivas consiste em todos os

alunos aprenderem juntos, sempre que possível, independentemente das

dificuldades e das diferenças que apresentem. Estas escolas devem

reconhecer e satisfazer as necessidades diversas dos seus alunos,

adaptando-se aos vários estilos e ritmos de aprendizagem, de modo a

garantir um bom nível de educação para todos, através de currículos

adequados, de uma boa organização escolar, de estratégias pedagógicas,

de utilização de recursos e de uma cooperação com as respectivas

comunidades.[...] (Declaração de Salamanca, 1994).

8 – Nas escolas inclusivas, os alunos com necessidades educativas

especiais devem receber o apoio suplementar de que precisam para

assegurar uma educação eficaz.”[...] (Declaração de Salamanca, 1994).

2 Normas das Nações Unidas sobre Igualdade de Oportunidades para Pessoas com Deficiência,

A/RES/48/96, Resolução das Nações Unidas adotada pela Assembléia Geral, na sua 48ª sessão, a

20 de Dezembro de 1993. (Enquadramento da ação, 1994; introdução).

26

No Brasil, podemos considerar, por exemplo, a sala de recursos como sendo

um “apoio suplementar”, na qual encontra-se um professor especializado em

deficiência mental, visual ou auditiva, conforme as necessidades das crianças da

comunidade. As salas de recursos propiciam um atendimento complementar ao da

sala comum, em que é função do professor especializado transcrever as atividades,

orientar o educando especial, familiares, professores e demais elementos envolvidos

no processo educativo, procurando através da adequação de materiais técnicos e de

recursos didáticos, sanar as dificuldades de aprendizagem que, decorrentes da

limitação visual, não sejam passíveis de solução na classe por ele freqüentada. A

permanência do aluno na sala de recursos varia conforme a sua necessidade e

sempre que possível os atendimentos devem ser realizados no período oposto ao

das aulas regulares, evitando ausências que poderiam prejudicar o seu

desenvolvimento.

Procurando atender às propostas contidas na “Declaração de Salamanca” e

buscando subsidiar os professores em sua tarefa de beneficiar seus alunos na

ampliação do exercício da cidadania, a Secretaria de Educação Fundamental,

juntamente com a Secretaria de Educação Especial, produziram o material didático

pedagógico intitulado “Adaptações Curriculares”, que compõe o conjunto dos

Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN, inserindo-se na concepção da escola

integradora defendida pelo Ministério da Educação.

O PCN – “Adaptações Curriculares”, focaliza o currículo como ferramenta

básica da escolarização; busca dimensionar o sentido e o alcance que se pretende

dar às adaptações curriculares como estratégias e critérios de atuação docente; “e

admite decisões que oportunizam adequar a ação educativa às maneiras peculiares

de os alunos aprenderem, considerando que o processo de ensino-aprendizagem

pressupõe atender à diversificação de necessidades dos alunos na escola”.

(BRASIL, 1999, p.15).

Nessa linha, com o intuito de favorecer a aprendizagem do aluno, a

adaptação curricular procura auxiliar a prática docente, resguardando o caráter de

flexibilidade e dinamicidade, propondo alterações que podem ser de menor ou maior

expressividade envolvendo os aspectos:

• na organização do trabalho didático-pedagógico;

27

• na definição dos objetivos e no tratamento e desenvolvimento dos

conteúdos;

• no transcorrer de todo o processo avaliativo;

• na temporalidade.

Tratando-se das adaptações de menor expressividade - “Adaptações Não

Significativas do Currículo” - os PCN sugerem alterações na organização do trabalho

didático-pedagógico com um caráter facilitador do processo de ensino-aprendizagem

e estão relacionadas:

• ao tipo de agrupamento de alunos para a realização das atividades de

ensino-aprendizagem;

• à organização didática da aula – propõe conteúdos e objetivos de

interesse do aluno ou diversificados, para atender às suas necessidades

especiais, bem como disposição física de mobiliários, de materiais

didáticos e de espaço disponíveis para trabalhos diversos;

• à organização dos períodos definidos para o desenvolvimento das

atividades previstas – propõe previsão de tempo diversificada para

desenvolver os diferentes elementos do currículo na sala de aula.

(BRASIL, 1999, p.35-36).

As adaptações na definição dos objetivos e no tratamento e desenvolvimento

dos conteúdos favorecem a aprendizagem dos conteúdos trabalhados e visam:

• à priorização de áreas ou unidades de conteúdos que garantam

funcionalidade e que sejam essenciais e instrumentais para as

aprendizagens posteriores. Ex: habilidades de leitura e escrita, cálculos

etc.;

• à priorização de objetivos que enfatizam capacidades e habilidades

básicas de atenção, participação e adaptabilidade do aluno. Ex:

desenvolvimento de habilidades sociais, de trabalho em equipe, de

persistência na tarefa etc.;

• à sequenciação pormenorizada de conteúdos que requeiram processos

gradativos de menor à maior complexidade das tarefas, atendendo à

seqüência de passos, à ordenação da aprendizagem etc.;

• ao reforço da aprendizagem e à retomada de determinados conteúdos

para garantir o seu domínio e a sua consolidação;

28

• à eliminação de conteúdos menos relevantes, secundários para dar

enfoque mais intensivo e prolongado a conteúdos considerados básicos

e essenciais no currículo.

(BRASIL, 1999, p. 36).

As adaptações nos procedimentos didáticos e nas atividades de ensino e

aprendizagem correspondem à maneira de ensinar os componentes curriculares,

dispondo quanto:

• à alteração nos métodos definidos para o ensino dos conteúdos

curriculares;

• à seleção de um método mais acessível para o aluno;

• à introdução de atividades complementares que requeiram habilidades

diferentes ou à fixação e consolidação de conhecimentos já ministrados –

utilizadas para reforçar ou apoiar o aluno, oferecer oportunidades de

prática suplementar ou aprofundamento. São facilitadas pelos trabalhos

diversificados, que se realizam no mesmo segmento temporal;

• à introdução de atividades prévias que preparam o aluno para novas

aprendizagens;

• à introdução de atividades alternativas além das planejadas para a turma,

enquanto os demais colegas realizam outras atividades. É indicada nas

atividades mais complexas que exigem uma seqüenciação de tarefas;

• à alteração do nível de abstração de uma atividade oferecendo recursos

de apoio, sejam visuais, auditivos, gráficos, materiais manipulativos etc.;

• à alteração do nível de complexidade das atividades por meio de

recursos do tipo: eliminar partes de seus componentes (simplificar um

problema matemático, excluindo a necessidade de alguns cálculos, é um

exemplo); ou explicitar os passos que devem ser seguidos para orientar a

solução da tarefa, ou seja, oferecer apoio, especificando passo a passo a

sua realização;

• à alteração na seleção de materiais e adaptação de materiais - uso de

máquina Braille para o aluno cego, calculadoras científicas para os

alunos com altas habilidades/superdotados etc.

(BRASIL, 1999, p.36-37).

Com relação ao processo avaliativo, as adaptações que os PCN propõem,

devem atender as peculiaridades dos alunos especiais e estão direcionadas:

29

• à seleção das técnicas e instrumentos utilizados para avaliar o aluno.

Propõem modificações sensíveis na forma de apresentação das técnicas

e dos instrumentos de avaliação, a sua linguagem, de um modo diferente

dos demais alunos de modo que atenda às peculiaridades dos que

apresentam necessidades especiais.

(BRASIL, 1999, p.36).

Os alunos s.a.v. necessitam de uma ampliação na temporalidade do

cumprimento das tarefas, principalmente por envolver uma leitura e escrita, mais

lenta que a leitura e a escrita em caracteres. Diante disso, as adaptações na

temporalidade se referem:

• à alteração no tempo previsto para a realização das atividades ou

conteúdos;

• ao período para alcançar determinados objetivos.

(BRASIL, 1999, p. 37).

Nas adaptações de maior expressividade - “Adaptações Curriculares

Significativas”, considera-se a organização do trabalho didático-pedagógico, que

implicará em modificações expressivas no planejamento e na atuação do professor.

Estas adaptações objetivam:

• à introdução de método muito específicos para atender às necessidades

particulares do aluno. De um modo geral, são orientados por professor

especializado;

• às alterações nos procedimentos didáticos usualmente adotados pelos

professor;

• à organização significativamente diferenciada da sala de aula para

atender às necessidades específicas do aluno.

(BRASIL, 1999, p. 40).

Quanto à definição dos objetivos e ao tratamento e desenvolvimento dos

conteúdos, muitas vezes há a necessidade de modificar significativamente o

planejamento dos mesmos, adotando uma ou mais alternativas das descritas:

• eliminação dos objetivos básicos – quando extrapolam as condições do

aluno para atingi-lo, temporária ou permanentemente;

30

• introdução de objetivos específicos alternativos – não previstos para os

demais alunos, mas que podem ser incluídos em substituição a outros

que não podem ser alcançados, temporária ou permanentemente;

• introdução de objetivos específicos complementares – não previstos para

os demais alunos, mas acrescidos na programação pedagógica para

suplementar necessidades específicas.

(BRASIL, 1999, p. 39).

As adaptações relativas aos conteúdos incidem sobre conteúdos básicos e

essenciais do currículo e requerem uma avaliação criteriosa para serem adotadas.

Em respeito a estes aspectos os PCN visam:

• à introdução de novos conteúdos não previstos para os demais alunos,

mas essenciais para alguns, em particular;

• eliminação de conteúdos que, embora essenciais no currículo, sejam

inviáveis de aquisição por parte do aluno. Geralmente estão associados a

objetivos que também tiveram de ser eliminados.

(BRASIL, 1999, p. 39).

As adaptações de maior expressividade estão vinculadas à inclusão ou

eliminação de critérios específicos de avaliação, conseqüentemente os objetos

acrescidos ou eliminados influenciam os resultados que levam à promoção ou não

do aluno, “evitando a cobrança de conteúdos e habilidades que possam estar além

de suas atuais possibilidades de aprendizagem e aquisição” (PCN – “Adaptações

Curriculares”, 1999, p.40).

As adaptações sugerem:

• à introdução de critérios específicos de avaliação;

• à eliminação de critérios gerais de avaliação;

• à adaptações de critérios regulares de avaliação;

• à modificação dos critérios de promoção.

(BRASIL, 1999, p. 39).

As adaptações de maior expressividade relacionadas à temporalidade

referem-se ao ajuste temporal, possibilitando ao aluno a aquisição de

conhecimentos e habilidades que estão ao seu alcance, mas que dependem do seu

31

próprio ritmo ou de um conhecimento anterior, indispensável às novas

aprendizagens:

• prolongamento de um ano ou mais de permanência do aluno na mesma

série ou no ciclo (retenção).” (BRASIL, 1999, p. 39).

As medidas adaptativas voltadas à diversidade da população escolar

sugerem um tratamento diferenciado e estabelecem a igualdade de oportunidades

educacionais.

Apesar do esforço do professor especializado, bem como do professor da

sala regular de cumprir as propostas da Declaração de Salamanca também

explícitas no PCN – “Adaptações Curriculares”, nossa realidade vem mostrar que a

falta de materiais pedagógicos dificulta a integração dos alunos s.a.v.

Garcia3 e Lora4 (1998) mencionam que uma das maiores limitações é a

precariedade de suporte pedagógico quanto ao acesso a informações escritas,

textos, livros didáticos e incluímos aqui o acesso a materiais concretos, que

propiciam em muitas situações, oportunidades semelhantes as dos alunos videntes.

Segundo os mesmos autores, a condição básica para a determinação do

valor e competência do indivíduo normalmente é dada pela perfeição física. Nesta

visão, o educando s.a.v. é considerado incapaz em quase todas as atividades. Em

contraste, estes autores argumentam que se forem dadas condições para que o

aluno s.a.v. se desenvolva num nível compatível com suas capacidades reais, os

dogmas e preconceitos criados em torno da cegueira serão cada vez menos

enfatizados e praticados pela sociedade.

Essa posição é semelhante à perspectiva de Vygotsky que se mostrava

otimista em relação ao desenvolvimento de crianças cegas e surdas, defendendo o

3 Profª da Faculdade de Educação da USP – Depto. De Metodologia do Ensino e Educação

Comparada.

4 Profª da Faculdade de Educação da USP – Depto. De Filosofia da Educação e Ciência da

Educação.

32

ponto de vista de que os efeitos possivelmente prejudiciais de um defeito físico,

como a cegueira ou a surdez, podiam ser totalmente superados através da criação

de vias alternativas, mas equivalentes para o desenvolvimento cultural; e que era

possível essas crianças tornarem-se membros valorizados e totalmente integrados

na sociedade.

1.2 VYGOTSKY E O DESENVOLVIMENTO DA CRIANÇA S.A.V.

Lev Semenivich Vygotsky nasceu na cidade de Orsha, próxima a Mensk,

capital de Bielarus, país da hoje extinta União Soviética, em 17 de novembro de

1896. Provavelmente o interesse de Vygotsky por problemas de defectologia surgiu

durante seu trabalho como professor em Gomel, em 1924, criando um laboratório de

psicologia na escola de formação de professores e participando da criação do

Instituto de Deficiências, em Moscou. Simultaneamente, Vygotsky, dirigiu um

departamento de educação de crianças deficientes e mentais, em Narkompros.

1.2.1 Integração Social

A primeira publicação dos escritos de Vygotsky na área de “defectologia”5

foi em 1924 e retratava o trabalho com “crianças defeituosas”, as quais eram

consideradas com deficiência física ou mental.

A posição defendida por Vygotsky referente à integração social da criança

especial, deve-se ao fato de que essas crianças têm potencial para um

desenvolvimento normal, pois são noventa e cinco por cento saudáveis. Segundo

Vygotsky (1983), o desenvolvimento da criança especial deve estar orientado pela

5 O termo “defectologia” era tradicionalmente usado para a ciência que estudava crianças com vários

tipos de problemas (“defeitos”) mentais e físicos. Entre as crianças estudadas estavam surdos-

mudos, cegos e deficientes mentais.(Veer e Valsiner,1991, p.73).

33

superação da cegueira; assim, a pedagogia deve ser orientada pela normalidade e a

saúde da criança, e não pela insuficiência da enfermidade:

Nos detemos às gramas de enfermidade e não observamos os quilos de

saúde. Reparamos no pequeno defeito, e não captamos as enormes áreas,

ricas de vida, que possuem as crianças que padecem de anormalidades.

(VYGOTSKY, 1983, p. 62); tradução nossa.

A falta da visão implica na perda de uma das mais importantes funções

sociais; o rompimento dos vínculos sociais e deslocamento de todos os sistemas de

conduta. Segundo Vygotsky “A tarefa consiste em vincular a pedagogia da infância

deficiente (pedagogia de surdos, cegos, oligofrênicos, etc.) com os princípios e

métodos gerais da educação social; encontrar tal sistema, que permita ligar

organicamente a pedagogia especial com a pedagogia da infância normal”

(VYGOTSKY, 1983, p. 59). Ele também argumenta que “É preciso ajustar o órgão

afetado. A tarefa da educação consiste em introduzir a criança cega na vida e criar a

compensação de sua insuficiência física. A tarefa se reduz a conseguir que a

alteração da conexão social com a vida se processe por algum outro caminho”

(Ibidem, p.61). Stern6, citado por Vygotsky (1983, p. 41) afirma que “Aquilo que não

mata, me faz mais forte” – pressupondo que a força surge da debilidade, assim

como as atitudes surgem das deficiências.

A sensação da insuficiência dos órgãos é para o indivíduo um estímulo

constante do desenvolvimento de sua psique.

(ADLER7 e O. RÜHLE8, apud VYGOTSKY, 1926, p.10); tradução nossa.

No desenvolvimento do seu trabalho, Vygotsky demonstrou que nem todos

os indivíduos s.a.v. tinham, necessariamente, uma audição, tato ou memória

superior. Portanto, a idéia de compensação biológica automática para certos

defeitos havia se mostrado errada. Investigações demonstraram que tanto o tato em

6 William Stern (1871-1938). Psicólogo alemão que trabalhou no campo da psicologia infantil e

diferencial. (VYGOTSKY, 1983, p.37).7 Alfred Adler (1870-1937). Psiquiatra e psicólogo austríaco. Fundou a escola de psicologia individual

(psicologia da personalidade). (VYGOTSKY, 1983, p. 38); tradução nossa.8 Otto Rühle (1874 1943). Pedagogo alemão, social democrata...Vygotsky cita O. Rühle em

vinculação com a análise da formação do caráter como “um processo socialmente orientado.”


34

se tratando do cego, quanto a visão, para os surdos, não apresentam particularidade

superior alguma, comparadas com o desenvolvimento normal destes sentidos. O

tato do cego não desempenha o mesmo papel que nas pessoas videntes; as

funções do tato com respeito ao organismo são outras: criam vínculos com o

ambiente, vínculos esses que pessoas videntes recorrem a outras vias. Daí a origem

de sua riqueza funcional, adquirida pela experiência e que erroneamente são

tomadas por inata, própria da estrutura orgânica. Quando os cegos apresentam um

desempenho melhor que o das pessoas normais, é um resultado de suas

circunstâncias e treinamentos especiais. Consideram ainda, que uma criança s.a.v.

pode ser equiparada a uma criança normal, pois conseguem alcançar seus

objetivos, porém percorrendo caminhos diferentes. A criança, do ponto de vista

físico, implica simplesmente na falta de um dos órgãos dos sentidos, um dos

analisadores, não existindo, portanto, diferença essencial entre a educação da

criança com “defeito” e a educação da criança normal.

Não é que o cego não vê a luz como um vidente com os olhos vendados,

mas sim que o cego não vê a luz, como o homem vidente não vê com a sua

mão. (VYGOTSKY, 1983, p. 79); tradução nossa.

O cego não percebe diretamente a escuridão nem se sente em absoluto

imerso na escuridão, não se esforça por libertar-se do véu sombrio, e em

geral não percebe de modo algum sua cegueira. A infinita escuridão não é

dada ao cego na experiência como vivência direta e o estado de sua psique

não sofre minimamente dor pelo motivo de que seus olhos não vêem.

(VYGOTSKY, 1983, p.78); tradução nossa.

Vygotsky acreditava que o potencial de desenvolvimento das crianças com

deficiências deveria ser encontrado nas áreas de funções psicológicas superiores9,

pois as funções inferiores, por dependerem diretamente de fatores orgânicos, eram

menos educáveis. As funções psicológicas superiores se desenvolvem pela

interação social com a utilização de meios culturais; portanto há a necessidade de

ajustar esses meios às diferentes necessidades das crianças com deficiência.

9 Funções psicológicas superiores ou processos mentais superiores: mecanismos psicológicos mais

sofisticados, mais complexos (Oliveira, 1991, p.26).

35

Buscando uma psicologia que não fosse somente do tipo experimental – que

deixava de abordar as funções psicológicas mais complexas do ser humano, ou

mentalista – que não chegava a produzir descrições desses processos complexos

aceitável para a ciência, Vygotsky recorreu a uma abordagem alternativa que

possibilitasse uma síntese10 entre essas duas idéias. Essa nova abordagem para a

psicologia fica explícita em três idéias centrais consideradas como os “pilares”

básicos do pensamento de Vygotsky:

• as funções psicológicas têm um suporte biológico, pois são produtos da

atividade cerebral;

• o funcionamento psicológico fundamenta-se nas relações sociais entre o

indivíduo e o mundo exterior, as quais se desenvolvem num processo

histórico;

• a relação homem/mundo é uma relação mediada por sistemas

simbólicos.

(OLIVEIRA, 1991, p.23).

Vygotsky inspirou-se em algumas idéias marxistas, destacando-se entre elas

a de que: o homem, por meio do uso de instrumentos, modifica a natureza, e ao

fazê-lo, acaba por modificar a si mesmo (Moysés, 1997). Ou seja, o instrumento

mediatizando a atividade laboral do homem, e o signo, instrumento psicológico,

mediatizando não somente o pensamento, como também o próprio processo social

humano:Não devemos esquecer que é preciso educar não a um cego, mas antes de

tudo a uma criança[...]. Educar o cego[...] significa educar a cegueira e

transformar a pedagogia da defectividade infantil em pedagogia defectiva.


Ainda segundo Vygotsky, entre o mundo real e o homem, existem

ferramentas que auxiliam a atividade humana e que podemos chamar de

mediadores. A mediação é um conceito central para o entendimento das

10 Síntese: “ A síntese de dois elementos não é a soma ou justaposição desses dois elementos, mas

a emergência de algo novo, anteriormente inexistente. Esse componente novo não estava presente

nos elementos iniciais: foi tornando possível pela interação entre esses elementos, num processo de

transformação que gera novos fenômenos. Assim, a abordagem que busca uma síntese para a

psicologia integra, numa mesma perspectiva, o homem enquanto corpo e mente, enquanto ser

biológico e ser social...” (Oliveira, 2003, p. 23).

36

concepções Vygotskianas sobre o funcionamento psicológico, tema este que

passaremos a abordar.

1.2.2 Mediação

Alguns conceitos constituirão parte integrante das futuras análises nesta

pesquisa: funções psicológicas superiores, mediação e instrumento. Vygotsky

interessou-se em compreender as funções psicológicas superiores, envolvendo o

controle consciente do comportamento, a ação intencional e a liberdade do indivíduo

em relação às características do momento e do espaço presente. Assim, mediação

“é o processo de intervenção de um elemento intermediário numa relação”

(OLIVEIRA, 2002, p.26), dessa forma a relação deixa de ser direta e passa a ser

mediada por esse elemento. Através de experimentos, Vygotsky e seus

colaboradores11 tentaram entender como o processo de mediação, por meio de

instrumentos e signos é fundamental para o desenvolvimento das funções

psicológicas superiores. “A mediação é um processo essencial para tornar possível

atividades psicológicas voluntárias, intencionais, controladas pelo próprio indivíduo”

(OLIVEIRA, 2003, p.33). Os processos mediados são construídos ao longo do

desenvolvimento do indivíduo, constituindo as funções psicológicas superiores.

Para Vygotsky (1983), o sistema de leitura e escrita inventado por Louis

Braille – sistema Braille12, contribui para um dos descobrimentos mais importantes

da vida da criança: que cada objeto tem um nome, ou seja, o meio de denominação

e comunicação. Neste sentido, o sistema Braille, além da função de “mediador” entre

a criança s.a.v. e o conhecimento, favorece sua integração ao meio e seu

desenvolvimento sócio-cultural.

11 Luria, Leontiev, Bozhovich, Levina, Morozova, Slavina e Zaporozhec.

12 “Constitui num sistema de escrita e leitura para cegos, desenhado em relevo de modo a ser

explorado de forma tátil; a sua unidade básica é constituída por uma célula Braille, formada pela

combinação de seis pontos em relevo colocados verticalmente três a três, num espaço determinado,

permitindo sessenta e três combinações diferentes dos pontos (vide Anexo A), dando lugar à

formação de todas as letras do alfabeto, sinais de pontuação, símbolos de Matemática, Física,

Química além das notas musicais” (GARCIA, LORA, 1988, p. 01).’

37

A experiência da escrita em Braille para o cego, apesar de ser diferente para

com o vidente em relação à sensibilidade tátil, determina, apalpando os pontos em

Braille, um som correspondente a cada letra, sendo que este “som ordena-se em

palavras e o “caos” dos pontos se organizam em uma leitura inteligível”.


“Ler com as mãos, como fazem as crianças cegas, e ler com a vista são

processos psicológicos diferentes apesar de cumprirem a mesma função

cultural na conduta da criança e ter basicamente um mecanismo fisiológico

similar”. (VYGOTSKY, 1983, p. 28); tradução nossa.

“O importante não é que o cego veja as letras, mas também saiba ler. O

importante é que o cego leia exatamente do mesmo modo que lêem os

outros e que aprenda a fazê-lo igual de uma criança normal”.


É necessário que se criem instrumentos culturais especiais, adaptados à

estrutura psicológica dessa criança s.a.v., dominando as formas culturais gerais com

ajuda de procedimentos pedagógicos especiais. A capacidade de utilizar-se dos

instrumentos psicológicos está conservada nessas crianças, em seu

desenvolvimento cultural. A linguagem tem um papel fundamental no

desenvolvimento das crianças s.a.v., principalmente em relação à assimilação das

experiências sociais dos videntes. O cego pode valer-se dos olhos de outra pessoa,

da experiência alheia como ferramenta da visão. Essas experiências colaboram para

sua integração social. Para uma pessoa cega é importante saber que “atrás da

cortina da janela não se vê a rua e quando a luz de uma residência está acesa e as

janelas não estão fechadas quaisquer um vê.” (VYGOTSKY,1983, p.80); tradução

nossa.

Vygotsky faz uma distinção entre instrumentos e signos (OLIVEIRA, 2003).

Os instrumentos são elementos externos ao indivíduo, cuja função é controlar

processos da natureza e provocar mudanças nos objetos; agindo concretamente. Os

signos agem no campo psicológico. Em contraposição aos instrumentos, que são

voltados para fora do indivíduo, os signos, são orientados para o próprio sujeito. Eles

caminham ao encontro do controle das ações psicológicas; são ferramentas que

auxiliam nos processos psicológicos e nas tarefas que exigem atenção e memória. A

38

linguagem, os sistemas de contagem, as técnicas mnemônicas, os sistemas

simbólicos algébricos, os esquemas, diagramas, mapas, desenhos, são exemplos de

signos. O homem, ao usá-los, modifica as suas próprias funções psíquicas

superiores e, conseqüentemente, o nível de seu desenvolvimento cultural,

estabelecendo um elo entre as formas iniciais e tardias do desenvolvimento.

Segundo Oliveira (2003), Vygotsky e seus colaboradores realizaram diversos

experimentos para estudar a função dos signos na atividade psicológica.

Destacamos um experimento conduzido por Leontiev que visa fornecer elementos

para a compreensão do papel dos signos mediadores na atenção voluntária13 e na

memória. A estrutura da situação experimental tem como base um jogo infantil,

tradicional na Europa, onde uma pessoa faz perguntas, do tipo: “Qual a cor de um

tomate?” ou “Qual a cor de sua blusa?”, e as crianças respondem, sem usar o

nome de duas cores definidas no experimento como “palavras proibidas”.

Na primeira fase do experimento o pesquisador formulava as perguntas

oralmente, e a criança simplesmente as respondia, como no jogo original.

Sua resposta era considerada errada se falasse o nome das cores

proibidas. Numa segunda fase, a mesma brincadeira de pergunta-resposta

era feita, mas a criança recebia cartões coloridos que podia utilizar, se

quisesse, como auxiliares no jogo. Algumas crianças passaram, então, a

utilizar os cartões como suportes externos para sua atenção e memória:

separavam os cartões com as cores proibidas e, antes de responderem às

perguntas, olhavam para os cartões, como se estivessem “consultando”

uma fonte de informação. (OLIVEIRA, 2003, p. 32)

Na análise dos resultados desse experimento, foi constatado que as crianças

que utilizaram os cartões como marcas externas para a regulação de sua atividade

psicológica, cometeram menos erros na segunda fase, comparados à primeira, sem

os cartões; em outras palavras, a atividade psicológica foi favorecida pela utilização

de signos como “instrumentos psicológicos”. O uso de mediadores fez com que

aumentasse a capacidade de atenção e de memória e, sobretudo, permitiu maior

controle voluntário do sujeito sobre sua atividade.

13 Intencionais, controladas pelo próprio indivíduo.

39

Fazendo uma analogia entre o instrumento e os signos, Vygotsky afirma que

os signos, na sua forma mais elementar, podem aparecer como marcas externas

favorecendo um suporte concreto para a ação do homem no mundo. Oliveira (2003)

descreve como a utilização de marcas externas vai se transformando em processos

internos de mediação, segundo um mecanismo, que Vygotsky denominou processo

de internalização.

1.2.3 Internalização e o desenvolvimento de sistemas simbólicos

No desenvolvimento de cada indivíduo, ocorrem duas mudanças qualitativas:

o processo de internalização e o desenvolvimento de sistemas simbólicos. Ambos

são essenciais para o desenvolvimento dos processos mentais superiores e

mostram a importância das relações sociais entre os indivíduos na construção dos

processos psicológicos.

Retomando o experimento “das palavras proibidas” desenvolvido por

Leontiev (mencionado na seção 1.2.2), Oliveira (2003) relata que em um

determinado momento, as crianças foram capazes de, por conta própria, pensar nas

cores proibidas, sem necessitarem da existência física de um cartão (marca externa)

para lembrá-las disto, em outras palavras, “ao longo do processo de

desenvolvimento, o indivíduo deixa de necessitar de marcas externas e passa a

utilizar signos internos, ou seja, os objetos do mundo real são substituídos por

representações mentais” (OLIVEIRA, 2003, p.35).

Outro exemplo citado pela autora ilustra um conceito internalizado:

Quando um indivíduo aprende o significado de “cavalo”, este conceito,

internalizado pelo indivíduo e compartilhado pelos outros usuários da língua

portuguesa, passa a ser uma representação mental que serve como signo

mediador na sua compreensão do mundo. Se alguém lhe contar uma

história sobre um cavalo, o indivíduo não necessitará do contato direto com

este animal para lidar mentalmente com ele, para compreender a história. A

idéia de cavalo fará a mediação entre o cavalo real (que pode estar

ausente) e a atividade psicológica do sujeito (pensar sobre o cavalo,

imaginá-lo nas ações descritas na história etc.). (OLIVEIRA, 2003, p. 36)

Os signos internalizados têm a mesma função das marcas externas, ambos

agem no psicológico e não no objeto. Planejar, comparar, lembrar, fazer relações,

40

imaginar, são alguns exemplos de atividades que o homem é capaz de operar

mentalmente sobre o mundo, supondo, assim, um processo de representação

mental. Dessa forma, o homem não se prende às necessidades de interagir

concretamente com os objetos de seu pensamento. Quando trabalhamos com os

processos superiores, “as representações mentais da realidade exterior, são os

principais mediadores a serem considerados na relação do homem com o mundo”

(OLIVEIRA, 2003, p. 35). Ainda segundo Oliveira, ao remetermos à criação e ao uso

de instrumentos, estamos buscando a origem dessas representações. A linguagem

é considerada como um dos sistemas simbólicos básicos de todos os grupos

humanos. As formas de perceber e organizar o real são fundamentalmente

influenciadas pelo grupo cultural, onde o indivíduo se desenvolve e constitui os

signos que fazem a mediação entre si e o mundo; conseqüentemente, as atividades

externas e interpessoais transformam-se em atividades internas e intrapsicológicas.

Complementando Oliveira, Moysés (1997) expõe que, em conseqüência de

observações e experimentos, Vygotsky formulou a “lei geral do desenvolvimento

cultural”, deixando evidente que toda função psicológica interna, foi antes, uma

função social surgida em um processo de interação e que a passagem do plano

externo para o interno, transforma o próprio processo, mudando sua estrutura e

funções. A lei supõe que:

Qualquer função presente no desenvolvimento cultural da criança aparece

duas vezes, ou em dois planos distintos. Primeiro aparece no plano social, e

depois, então, no plano psicológico. Em princípio aparece entre as pessoas

e como uma categoria interpsicológica, para depois aparecer na criança,

como uma categoria intrapsicológica. Isso é válido para a atenção

voluntária, a memória lógica, a formação de conceitos e o desenvolvimento

da vontade. [...] a internalização transforma o próprio processo e muda sua

estrutura e funções. As relações sociais ou relações entre as pessoas estão

na origem de todas as funções psíquicas superiores.(MOYSÉS, 1997, p. 28)

A cada nova representação implica uma ampliação e enriquecimento psico-

intelectual e, no momento que a nova função psíquica começa a ser internalizada,

há uma interação com as outras já existentes na mente da criança, ocorrendo uma

coordenação entre a nova função e as demais. A “lei genética geral do

desenvolvimento cultural” norteou grande parte dos trabalhos da linha sócio-

histórica.

41

Optamos enfocar nosso estudo no domínio da Álgebra, considerada uma

área da Matemática onde os alunos enfrentam grande dificuldade em sua

apreensão. No Capítulo 2, versaremos sobre as peculiaridades da Álgebra sob o

ponto de vista dos Parâmetros Curriculares Nacionais e dos estudos de Küchemann

(1981), Booth (1988) e de Mason (1996).

42

CAPÍTULO 2O ensino e aprendizagem da Álgebra

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (PCN, 1998),

a Álgebra possibilita ao aluno desenvolver e exercitar sua capacidade de abstração

e generalização, além de constituir uma poderosa ferramenta para resolver

problemas. O desempenho dos alunos nas avaliações como a do SARESP (Sistema

de Avaliação do Rendimento escolar do Estado de São Paulo) e SAEB (Sistema de

Avaliação da Educação Básica) confirmam que, mesmo os professores se

dedicando boa parte do período escolar com o ensino da Álgebra, este

procedimento não tem garantido o sucesso dos alunos nesta aprendizagem.

2.1 APREENSÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Pesquisas internacionais em Educação Matemática também confirmam a

dificuldade dos alunos em apropriar-se de noções algébricas. Nossa pesquisa é

influenciada em particular pelos trabalhos de D. Küchemann (1981), Lesley R. Booth

(1988) e John Mason (1996a) que, embora baseados em alunos videntes, trazem

contribuições que pretendemos aplicar aos dados coletados com alunos não

videntes.

2.1.1 Interpretações das letras

Uma dificuldade para os alunos é a interpretação das letras em expressões

algébricas. Na década de 70, Küchemann realizou uma investigação sobre esse

tema, como parte do projeto CSMS - “Concepts in Secondary Mathematics and

Science”1 (KÜCHEMANN, 1981)

O projeto CSMS foi baseado em escolas e no currículo escolar, para que os

tópicos investigados, fossem próximos da realidade do professor vivida em sala de 1 Conceitos em Matemática e Ciência Secundárias

43

aula. Para o estudo da Álgebra, foi realizado um teste com papel e lápis, constituído

por 51 itens e a participação de 3000 alunos, de 13 a 15 anos. Os itens incluíam

procedimentos de substituição, simplificação, construção, interpretação e solução de

equações.

Utilizando uma classificação desenvolvida originalmente por Collis (1975),

Küchemann identificou seis diferentes caminhos de interpretação e uso das letras

nas respostas dos alunos. Segue abaixo uma breve descrição de cada uma das

categorias:

• Letra como valorA letra recebe um valor numérico desde o início.

Ex: Simplifique: 7b + 5c – b

Os alunos atribuem para as letras um valor particular, por exemplo,

correspondente à posição que ocupa no alfabeto; b = 2 e c = 3.

• Letra não utilizadaA letra é ignorada ou sua existência é reconhecida sem dar a ela um

significado.

Ex: Simplifique: 2b + 5c – 3b

Os alunos respondem 4, ignorando as letras e operando apenas com os

números presentes na expressão.

• Letra como objetoA letra é considerada como uma abreviação de um objeto ou como um

objeto concreto em si mesma.

Ex: Simplifique: 9m + 3b – 5m

Os alunos consideram, por exemplo, como m sendo maçãs e b, bananas.

• Letra como uma incógnita específicaA letra é considerada como um número específico, mas desconhecido,

podendo ser operada diretamente.

Ex: O que você pode dizer sobre m, se 3m - 5 = 13

Os alunos encontram o valor de m resolvendo a equação ou por tentativa

e erro.

44

• Letra como um número generalizadoA letra é vista como representando, ou pelo menos sendo capaz de

assumir vários valores, ao invés de somente um.

Ex: Parte desta figura não está desenhada. Há n lados, cada um com

comprimento 3. Escreva a expressão algébrica que representa o

comprimento de n lados (perímetro).

3 3 3 3

3 3 3

Através da lei de formação f(n) = 3n, o aluno verifica que o perímetro

varia em função do número de lados.

• Letra como variávelA letra é vista como representando um domínio de valores não

específicos e uma relação sistemática parece existir entre os dois

conjuntos de valores.

Ex 1. Qual expressão é maior 3n ou n + 3?

Atribuindo valores para n, o aluno compara as duas expressões; os dois

conjuntos de valores, um representado por 3n e o outro por n + 3.

Ex 2. Em quais casos é certa a seguinte igualdade:

A + B + C = A + D + C ?

( ) sempre ( ) às vezes ( ) nunca

Os alunos verificam que apesar das letras B e D serem diferentes, num

determinado momento elas podem assumir os mesmos valores.

Küchemann organizou as respostas em quatro grupos (Níveis 1 a 4). Cada

grupo refere-se às dificuldades encontradas pelos alunos de acordo com:

• a complexidade estrutural dos itens - critério para construir e analisar

um item do teste. Citamos como exemplo três critérios utilizados para

determinar a facilidade do item, ou seja, o número de variáveis que o

45

envolve, a forma de sua resposta (um ou mais termos) e a grandeza dos

números (pequenos ou grandes).

• a natureza de seus elementos - o significado que pode ser concedido

às letras (a interpretação das letras pelos alunos).

Nível 1: Alunos neste nível podem resolver itens com uma estrutura simples,

cujas soluções podem ser obtidas usando “letra como valor”, “letra como objeto” ou

“letra não utilizada”.

Nível 2: A nítida diferença entre os itens deste nível e os do Nível 1 é o

aumento da complexidade. Os alunos neste nível ainda não são capazes de utilizar

“letra como uma incógnita específica”, “letra como um número generalizado” ou “letra

como variável”.

Nível 3: O maior avanço alcançado pelos alunos neste nível é o de que eles

utilizem “letra como incógnita específica”, embora em itens de estrutura simples. Os

alunos aceitam a “falta do fechamento”, e são capazes de considerar respostas

como g + 7, 5m + 15, p = 4n como significativa, ainda que as letras representem

números e não objetos.

Nível 4: Os alunos neste nível são capazes de resolver itens que requeiram

“letra como uma incógnita específica” e que tenham uma estrutura complexa. Eles

também resolvem problemas que envolvem “letra como um número generalizado” ou

“letra como variável”.

Segundo Küchemann, poucos alunos de 13 a 15 anos foram capazes de

considerar as letras como números generalizados, um número ainda menor foi

capaz de interpretar letras como variáveis - (2% dos de 13 anos, 6% dos de 14 anos

e 9% dos de 15 anos - Nível 4); comparando “letra como uma incógnita específica” e

“letra como um número generalizado”, um maior número de alunos interpretou as

letras como “letra como uma incógnita específica” ao invés de “letra como um

número generalizado”. No entanto, a maioria dos alunos (73% dos de 13 anos, 59%

dos de 14 anos e 53% dos de 15), tratou as letras como “letra como objeto” ou “letra

não utilizada", em outras palavras, esses alunos estavam agindo nos Níveis 1 e 2

(vide Gráfico 2.1). No Gráfico 2.2 apresentamos a porcentagem acumulativa dos

alunos em cada nível da Álgebra.

46

Notamos nos gráficos, que a maioria dos alunos pertence aos Níveis 1 e 2,

sendo que eles ainda não interpretam as letras como “letra como uma incógnita

específica”, “letra como um número generalizado” ou “letra como variável”.

GRÁFICO 2.1 - INTERPRETAÇÃO DAS LETRAS PELOS ALUNOS: “LETRA COMOOBJETO” OU “LETRA NÃO UTILIZADA” – NÍVEIS 1 E 2

Fonte: KIERAN (1992, p. 13)

GRÁFICO 2.2 - PORCENTAGEM ACUMULATIVA DOS ALUNOS EM CADA NÍVEL DA

ÁLGEBRA

Fonte: KÜCHEMANN (1981, p. 116)

Segundo Küchemann, parece sensato organizar as aulas para alunos nos

níveis iniciais (1 e 2) de forma que os significados das letras possam ser facilmente

entendidos por eles. Entretanto, como o autor aponta, não é uma tarefa fácil de

0%

20%

40%

60%

80%

13 anos 14 anos 15anos

Idade

13 anos14 anos15anos

0%

20%

40%

60%

80%

100%

1 ou acima 2 ou acima 3 ou acima 4

Níveis

13 anos14 anos15 anos

47

entender, por exemplo, a diferença entre o uso de letras como objetos e o uso de

letras para representar quantidade de objetos. São nesses conflitos que o aluno

passa a sentir a necessidade de organizar seus pensamentos e, é desse modo, que

ele passa para um nível mais elevado. Nas considerações finais, Küchemann sugere

um tipo de atividade que pode facilitar a passagem para o nível mais elevado. A

Figura 2.1 mostra um exemplo deste tipo de atividade.

A seqüência é formada por três figuras de mesmo padrão e constituída por

tiras brancas e pretas onde o aluno terá que observar o padrão e responder qual

seria a quantidade necessária de tiras brancas para 10, 20 ou 100 tiras pretas.

FIGURA 2.1 - SEQÜÊNCIA DE TIRAS BRANCAS E PRETAS

Fonte: KÜCHEMANN (1981, p. 118)

Küchemann acrescenta que o ponto forte de cada problema é que as

configurações são facilmente definidas e reconhecidas (quando os números são

pequenos), até que uma base firme exista e gradualmente, o trabalho alcance um

ponto onde a construção torna-se tediosa e insegura. Ao mesmo tempo, a relação

numérica entre as tiras está longe do óbvio e pode ser resultado de diferentes

caminhos (acrescentar 3/2 e multiplicar por 2 ou dobrar e então adicionar 3 ou

adicionar 1, dobrar e adicionar 1). A tarefa de encontrar a relação entre as tiras, de

representá-la economicamente (de forma simplificada) e única, e de comparar as

representações equivalentes, fornece ao aluno um desafio que na opinião de

Küchemann, vale a pena.

48

2.1.2 Identificação dos tipos de erros (algébricos) cometidos pelosalunos

Duas estratégias foram utilizadas por Booth (1988) para entender as

dificuldades dos alunos em passar para os níveis mais elevados (3 e 4): identificar

os tipos de erros que alunos de treze a dezesseis anos normalmente cometem; e

também investigar as razões desses erros. Ela verificou que os mesmos erros ficam

reaparecendo em todos as séries sugerindo que estes erros podiam ter origem nas

idéias dos alunos sobre quatro aspectos:

a) o foco da atividade algébrica e a natureza das respostas;

b) o uso da notação e da convenção;

c) o significado das letras e das variáveis;

d) os tipos de relações e métodos usados em aritmética.

a) O foco da atividade algébrica e a natureza das respostas.

O foco, na Aritmética, é encontrar uma resposta numérica particular,

enquanto na Álgebra, é estabelecer procedimentos e relações expressas numa

forma geral, simplificada e aplicá-las na resolução de situações-problema. Grande

parte dos alunos, não percebe isso e continua com a idéia de que deve dar uma

resposta numérica ou com um único termo. Um erro freqüente entre os alunos é

simplificar expressões como 3b + 4c, para 7bc. Collis, citado por Booth (1988),

justifica que isto pode ocorrer porque os alunos têm dificuldade em aceitar a “falta de

fechamento”.

b) O uso da notação e convenção

Na Aritmética, a interpretação dos símbolos de adição “+” e de igualdade “=”

é geralmente entendida pelos alunos como efetuar ações; de forma que o símbolo

da adição significa efetivamente executar a operação e o símbolo da igualdade

fornecer a resposta. A idéia de que o símbolo de igualdade pode ser visto como um

indicador de uma relação de equivalência pode não ser percebida facilmente pelo

aluno. Conseqüentemente, uma mudança da Aritmética para a Álgebra requer, além

de uma mudança na interpretação representacional, uma possível mudança na visão

do símbolo de igualdade “=” e de toda proposta de atividade matemática, a qual não

está mais procurando uma resposta numérica específica.

49

Uma outra possível dificuldade relaciona as diferentes maneiras de

interpretação de simbolismos nos campos da Aritmética e da Álgebra. Na Aritmética,

frações mistas como 21 2 ,

413 devem ser interpretadas como

41 3 ,

21 2 ++ ; em

contraposição, os elementos da expressão algébrica 2a, devem ser multiplicados “2

x a” e não somados “2 + a”.

Diante destes fatos, Booth apresenta três sugestões:

1ª sugestão: É relevante que os alunos saibam que “2 + 3” não representa

somente uma instrução (somar 2 com 3), mas também o resultado desses números.

Isto pode ser feito lendo-se a expressão “o número que é 3 mais que 2”, e não

apenas como “2 mais 3” ou “ some 2 com 3”. Da mesma forma, é preciso acentuar o

valor bidirecional do símbolo de igualdade, lendo adequadamente “ é igual a”, em

vez de “2 mais 3 “dá” 5” e sugerindo para que os alunos escrevam expressões da

forma 5 = 2 + 3 (bem como: 1 + 4 = 2 + 3 ou 10 : 2 = 2 + 3 ...).

2ª sugestão: A forte tendência dos alunos associarem expressões

algébricas como soma em vez de produto (ou como representação de valor

posicional), leva a pensar que a introdução da escrita simplificada deveria ser

retardada e que o produto, na fase inicial da Álgebra, deveria ser escrito na forma

completa (n x 3 ou 3 x n), por um período considerável. Nestes termos, Booth

recomenda que, mesmo após introduzir a forma abreviada, escreva-se o produto

também na forma extensa, pelo menos no início.

3ª sugestão: Em se tratando da expressão 2m + 5b, o enfoque “2 maçãs

mais 5 bananas” pode não ser conveniente, pois além de favorecer uma visão

errada do significado das letras, os alunos justificam sua simplificação 7mb (2

maçãs mais 5 bananas é igual a 7 maçãs-e-bananas) ou a não possibilidade de

simplificação – utilizando “letra como objeto”.

c) O significado das letras e das variáveis

Além da tendência citada por Küchemann (1983) dos alunos considerarem a

expressão 3b como três bananas e não 3 vezes o numero de bananas, Booth (1988)

discute uma outra situação em que a designação da variável com a inicial do nome

50

do objeto que varia, pode interferir na construção de interpretações algébricas. Por

exemplo, na expressão 3m, m pode representar na Aritmética metros, “3 metros”.

Booth também reforça o resultado de Küchemann indicando que há da

mesma forma uma tendência por parte dos alunos em considerar a “letra como uma

incógnita específica”, como 4 + a = 10 , onde “a” assume um único valor (a = 6) e

não “letra como variável” ou “letra como um número generalizado” como 9x – 5 = y

onde x e y são números reais, com a única limitação de que um deles é nove vezes

um outro menos cinco (relação que existe entre os números que são soluções da

equação como: (2,13);(1,4);(3,22) ...)

Para muitos alunos as letras diferentes significam valores diferentes. Neste

caso D + E + F nunca poderia ser igual a X + Y + Z. Os alunos não dão conta de que

as letras representam números que variam e que, em algum momento, podem

assumir o mesmo valor.

d) Os tipos de relações e métodos usados em aritmética.

(...) a Álgebra não é isolada da Aritmética; na verdade é, em muitos

aspectos, a Aritmética generalizada. E nisso está a fonte das dificuldades.

Para compreender a generalização das relações e procedimentos

aritméticos é preciso primeiro, que tais relações e procedimentos sejam

apreendidos dentro do contexto aritmético. Se não forem reconhecidos ou

se os alunos tiverem concepções erradas a respeito deles, seu desempenho

em Álgebra poderá ser afetado. Neste caso, as dificuldades que o aluno tem

em Álgebra, não são tanto de Álgebra propriamente dita, mas, de problemas

em Aritmética que não foram corrigidos. (BOOTH, 1988, p. 32-33)

Um aspecto observado no estudo de Kieran, citado por Booth (1988, p. 33),

relacionado com “As convenções aritméticas malentendidas”, se refere ao uso dos

parênteses. Por exemplo, em uma das suas entrevistas, um aluno explicava a

diferença entre escrever: “18 + 27 x 19 e 18 x 27 + 19”. Afirmou sobre a primeira

expressão: “soma-se primeiro” e na segunda: “multiplica-se primeiro”. Geralmente os

alunos, por pensarem que a seqüência das operações escritas é que determina a

ordem em que os cálculos devam ser efetuados, não fazem uso dos parênteses,

influenciando desta forma, em seu desempenho. Uma outra visão relacionada com a

ordem dos cálculos é o contexto a que está ligada a expressão escrita, por exemplo:

51

“O que você pode escrever como área deste retângulo?” (Booth, 1988, p. 33) (vide

Figura 2.2)

O aluno entrevistado respondeu ao item escrevendo: “p x a + m”. Segundo

Booth, a necessidade de parênteses foi ignorada pelo aluno e, conseqüentemente,

as expressões algébricas foram escritas incorretamente podendo até acarretar

outros erros no momento em que a expressão é simplificada (por exemplo, p x a + m

poderá ser reescrita erradamente nesse contexto, como pa + m). Neste caso o erro

é fruto mais de uma visão incorreta da representação aritmética do que de

concepções algébricas erradas.

Segundo Kieran (1992), a invenção de Viète2 de uma notação extremamente

condensada (a letra), permitiu à Álgebra ser mais do que meramente uma

ferramenta processual3. Ela permitiu às formas simbólicas serem usadas

estruturalmente4 como objetos. Na expressão algébrica 5a + 2b, substituindo “a” e

“b” por 2 e 3, respectivamente, obteremos 19; na resolução de 3x + 7 = 22,

substituindo “x” por alguns valores, encontraremos o valor correto x = 5. Em ambos

os exemplos, apesar de aparentemente algébricos, os objetos a serem trabalhados

não são expressões algébricas já que produzem um resultado numérico. Estes

exemplos ilustram uma perspectiva processual em Álgebra. Efetuando a

simplificação da expressão 3c + 5d + 6c, resultaria na expressão 9c + 5d; uma

2 François Viète: Principal responsável pela introdução dos símbolos no mundo da Matemática. Viveude 1540 a 1603. Ficou conhecido como o pai da Álgebra.3 Processual: refere-se a operações aritméticas realizadas sobre números para produzir números.4O termo “estruturalmente” refere-se a um conjunto diferente de operações que são levadas a efeito,não sobre números, mas sobre expressões algébricas.

.

p

a m

Fonte: Booth (1988, p.33)

FIGURA 2.2 - EXEMPLO DE RELAÇÕES E MÉTODOS USADOS EM ARITMÉTICA

52

equação do tipo 9x + 2 – x = 4x – 6 + 2x poderia ser simplificada resultando em 2x =

-8. Nestes dois exemplos, os objetos que são trabalhados e os seus resultados, são

expressões algébricas. As operações que são realizadas, não são computacionais.

Estes são exemplos de uma perspectiva estrutural.

2.2 IMPACTO DA PESQUISA NO CURRÍCULO DA ÁLGEBRA

Os PCN, cientes de pesquisas nacionais e internacionais que constatam

dificuldade na aprendizagem da Álgebra pelos alunos, sugerem que o ensino de

Álgebra deve ser repensado em relação ao ensino tradicional, o qual enfatiza a

manipulação de regras sem sentido e exercícios de repetição mecânica.

[...] não basta revermos a forma ou metodologia de ensino, se mantivermos

o conhecimento matemático restrito à informação, com as definições e os

exemplos, assim como a exercitação, ou seja, exercícios de aplicação ou

fixação. Pois, se os conceitos são apresentados de forma fragmentada,

mesmo que de forma completa e aprofundada, nada garante que o aluno

estabeleça alguma significação para as idéias isoladas e desconectadas

umas das outras. Acredita-se que o aluno sozinho seja capaz de construir

as múltiplas relações entre os conceitos e formas de raciocínio envolvidas

nos diversos conteúdos; no entanto, o fracasso escolar e as dificuldades

dos alunos frente à Matemática mostram claramente que isso não é

verdade.

(BRASIL, 2000, p. 43)

Nesse sentido, os PCN sugerem uma nova abordagem para o ensino da

Álgebra. Na seção seguinte, apresentaremos as propostas do Ensino Fundamental e

do Ensino Médio.

2.3 AS PROPOSTAS NOS PARÂMETROS CURRICULARESNACIONAIS - MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL

A organização dos conteúdos propostos para o ensino de Matemática nos

PCN são divididos em quatro blocos:

• Números e Operações;

• Espaço e Forma;

• Grandezas e Medidas;

53

• Tratamento da informação.

A Álgebra, objeto de nosso estudo, pertence ao primeiro bloco - “Números e

Operações”, e tem como proposta que os professores trabalhem situações que

levem os alunos a construírem noções algébricas pela observação de regularidades

em tabelas e gráficos e estabelecendo relações. Segundo os PCN, isto deveria

acontecer desde os ciclos5 iniciais - 1º e 2º ciclos (1ª a 4ª série do ensino

fundamental), de modo informal, através de um trabalho articulado com a Aritmética.

O objetivo é que o aluno adquira base para uma aprendizagem algébrica mais

consistente. “Existe um razoável consenso de que para garantir o desenvolvimento

do pensamento algébrico o aluno deve estar necessariamente engajado em

atividades que inter-relacionem as diferentes concepções da Álgebra.” (BRASIL,

1998, p. 116)

Diante disso, os PCN apresentam um quadro sintetizador (vide Quadro 2.1)

das diferentes interpretações da álgebra escolar e as funções distintas das letras:

QUADRO 2.1 - INTERPRETAÇÃO DA ÁLGEBRA ESCOLAR E AS DIFERENTESFUNÇÕES DAS LETRAS

Fonte: BRASIL, 1998, p.116

Os PCN julgam importante trabalhar com conceitos elementares de Álgebra

logo nas séries iniciais, “pré-álgebra”, os mesmos devem ser retomados no terceiro

ciclo (5ª e 6ª séries), com atividades que articulem as quatro dimensões, 5 Ciclos: A organização em ciclos é uma tentativa de superar a segmentação excessiva produzidapelo regime seriado e de buscar princípios de ordenação que possibilitem maior integração doconhecimento. A adoção de ciclos de dois anos, pela flexibilidade que permite, possibilita trabalharmelhor com as diferenças e está plenamente coerente com os fundamentos psicopedagógicos, com aconcepção de conhecimento e da função da escola.

Dimensõesda Álgebra

Uso das letras

Conteúdos(conceitos eprocedimentos)

Propriedades dasoperações

generalizaçõesde padrões aritméticos

Letras comogeneralizações

do modeloaritmético

Aritmética Generalizada

Variação degrandezas

Letras comovariáveis para

expressar relações e funções

Funcional

Resoluçãode equações

Letras comoincógnitas

Equações

Cálculo algébricoObtenção de expressões

equivalentes

Letras comosímboloabstrato

Estrutural

Álgebra no Ensino Fundamental

54

possibilitando a compreensão de conceitos e procedimentos algébricos, sua

ampliação e consolidação.

Assim, no terceiro ciclo (5ª e 6ª séries) deve-se dar continuidade ao

processo de consolidação dos conhecimentos matemáticos adquiridos pelos alunos

nos ciclos 1 e 2, diagnosticando o domínio que cada aluno tem sobre os diferentes

conteúdos que serão explorados, identificando suas possibilidades e dificuldades

diante da aprendizagem destes conteúdos.

Aproveitando o espírito questionador peculiar nesta idade (10 - 11 anos), os

PCN sugerem que os alunos busquem explicações e as funções para os objetos

trabalhados, e discutam questões relativas à utilidade da Matemática, como ela foi

construída e como pode contribuir para a solução de problemas do cotidiano ou

ligados à investigação científica. Uma das observações feitas neste ciclo é a

dificuldade dos alunos em exprimir suas idéias, usando adequadamente a linguagem

matemática.

Desta forma, uma das propostas dos PCN que vai ao encontro de nosso

estudo, é que os alunos descubram regularidades e propriedades numéricas,

geométricas e métricas, desenvolvendo o potencial de abstração e admitam as

diferentes soluções apresentadas pelos colegas:

É importante destacar que as situações de aprendizagem precisam estar

centradas na construção de significados, na elaboração de estratégias e na

resolução de problemas, em que o aluno desenvolve processos importantes

como intuição, analogia, indução e dedução, e não atividades voltadas para

a memorização, desprovidas de compreensão ou de um trabalho que

privilegie uma formalização precoce dos conceitos.

(BRASIL, 1998, p. 63)

Os objetivos contidos nos PCN relacionados com nosso estudo fazem parte:

Do pensamento algébrico, por meio da exploração de situações de

aprendizagem que levem o aluno a:

• reconhecer que representações algébricas permitem expressar

generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir

situações-problema e favorecer as possíveis soluções;

55

• traduzir informações contidas em tabelas e gráficos em linguagem

algébrica e vice-versa, generalizando regularidades e identificar os

significados das letras;

• utilizar os conhecimentos sobre operações numéricas e suas

propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico.

(BRASIL, 1998, p. 64)

Apesar da pretensão de que os alunos nesse ciclo compreendam a noção

de variável, reconheçam a expressão algébrica como uma forma de traduzir a

relação existente entre a variação de duas grandezas e apresentem diversas formas

de resolver uma equação envolvendo letra como incógnita, as avaliações e

pesquisas aqui mencionadas, apontam que cerca de dois terços dos alunos, mesmo

em idade avançada (13-16 anos), ainda não reconhecem as diferentes

interpretações que uma letra pode assumir em expressões algébricas.

Em se tratando do ensino e aprendizagem da Matemática no quarto ciclo (7ª

e 8ª série), há uma maior preocupação de que a aprendizagem da Matemática

esteja ancorada em contextos sociais e de mostrar as relações entre o

conhecimento matemático e a realidade – “[...]a Matemática é parte do saber

científico e tem um papel central na cultura moderna[..].”. No entanto, a

aprendizagem da Álgebra tem sido abordada de forma mecânica, distanciando-se

ainda mais das situações-problema do cotidiano. Um dos objetivos em relação ao

ensino da Matemática neste ciclo visa ao desenvolvimento:

Do pensamento algébrico, por meio da exploração de situações de

aprendizagem que levem o aluno a:

• Produzir e interpretar diferentes escritas algébricas, identificando as

equações, inequações e sistemas;

• Resolver situações-problema por meio de equações e inequações do

primeiro grau, compreendendo os procedimentos envolvidos;

• Observar regularidades e estabelecer leis matemáticas que expressem

a relação de dependência entre variáveis.

(BRASIL, 1998, p. 81)

O trabalho com situações-problema diversificadas, segundo os PCN, permite

ao aluno reconhecer as diferentes funções da Álgebra, como resolver problemas

56

considerados difíceis do ponto de vista da Aritmética, modelizar, generalizar,

demonstrar propriedades e fórmulas, e estabelecer relações entre grandezas.

Os PCN apresentam como sugestão, um exemplo de “representações

geométricas” (identificadas em nosso estudo como padrões de “representações

figurativas”), onde o aluno determinará o número de quadradinhos brancos da

n-ésima figura, por diferentes caminhos, para depois constatar a equivalência das

expressões encontradas (n2 – n e n x (n – 1) - (vide Figura 2.3).

FIGURA 2.3 - INVESTIGAÇÃO DE PADRÕES EM REMPRESENTAÇÕES FIGURATIVAS

Dando continuidade ao desenvolvimento matemático do Ensino

Fundamental, apresentaremos as propostas a serem desenvolvidas no Ensino

Médio.

2.4 AS PROPOSTAS NOS PARÂMETROS CURRICULARESNACIONAIS DO ENSINO MÉDIO6

A idéia central nos PCN para este nível é estabelecer o ensino médio como

etapa conclusiva da educação básica de toda a população estudantil, preparando-a

para a vida, qualificando-a para a cidadania e capacitando-a para o aprendizado

permanente, seja para um prosseguimento dos estudos ou diretamente no mundo

6 PCN + Ensino Médio – Orientações Complementares aos Paramentos Curriculares Nacionais –2002. “Reformulação do ensino médio no Brasil, estabelecida pela Lei de Diretrizes e Bases daEducação Nacional (LDBEN) de 1996, regulamentada em 1998 pelas Diretrizes do Conselho Nacionalde Educação e pelos Parâmetros Curriculares Nacionais, procurou atender a uma reconhecidanecessidade de atualização da educação brasileira, tanto para impulsionar uma democratização sociale cultural mais efetiva pela ampliação da parcela da juventude brasileira que completa a educaçãobásica, como para responder a desafios impostos por processos globais, que têm excluído da vidaeconômica os trabalhadores não-qualificados, por conta da formação exigida de todos os partícipes dosistema de produção e de serviços” (PCN + Ensino Médio, 2002, p. 7-8).

1 2 3 4

Fonte: BRASIL, 1998, p.117.

57

do trabalho - e não mais somente uma preparação para outra etapa escolar - “pré-

universitária” ou para o exercício profissional - “profissionalizante”.

O Ensino Médio apresenta três áreas que organizam e interligam disciplinas:

• Ciências da Natureza e Matemática;

• Ciências Humanas;

• Linguagem e Códigos.

Os conjuntos de competências envolvidos no aprendizado da área das

Ciências da Natureza e Matemática referem-se à:

• Representação e Comunicação;

• Investigação e Compreensão;

• Contextualização sócio-cultural.

Em relação à competência - “Representação e Comunicação”, que envolve a

leitura, a interpretação e a produção de textos nas diversas linguagens e formas

textuais, características dessa área do conhecimento, podemos citar:

• Reconhecer e utilizar adequadamente, na forma oral e escrita,

símbolos, códigos e nomenclatura da linguagem científica.

• Ler, articular e interpretar símbolos e códigos em diferentes linguagem e

representações: sentenças, equações, esquemas, diagramas, tabelas,

gráficos e representações geométricas.

• Consultar, analisar e interpretar textos e comunicações de ciências e

tecnologia veiculados em diferentes meios.

• Elaborar comunicações orais ou escritas para relatar, analisar e

sistematizar eventos, fenômenos, experimentos, questões, entrevistas,

visitas, correspondências.

• Analisar, argumentar e posicionar-se criticamente em relação a temas

de ciência e tecnologia.

(BRASIL, 2002, p. 114-115)

Na “Investigação e Compreensão”, a competência é marcada pela

capacidade de enfrentamento e resolução de situações-problema, utilização dos

conceitos e procedimentos peculiares do fazer e pensar das ciências. Neste

contexto, temos algumas habilidades envolvidas como:

• “Identificar em dada situação-problema as informações ou variáveis

relevantes e elaborar possíveis estratégias para resolvê-la.

58

• Identificar fenômenos naturais ou grandezas em dado domínio do

conhecimento científico, estabelecer relações, identificar regularidades,

invariantes e transformações.”

(BRASIL, 2002, p.115 - 116)

A “Contextualização sócio-cultural” abrange competências de inserção da

ciência e de suas tecnologias em um processo histórico, social e cultural, e o

reconhecimento e discussão de aspectos práticos e éticos da ciência no mundo

contemporâneo.

Os conteúdos a serem explorados, devem ser relativos à:

• Tema 1: Álgebra: números e funções;

• Tema 2: Geometria e medidas;

• Tema 3: Análise de dados.

O Tema 1, abordado em nosso estudo, tem como procedimentos básicos,

calcular, resolver, identificar variáveis, traçar e interpretar gráficos e resolver

equações de acordo com as propriedades das operações no conjunto dos números

reais e as operações válidas para o cálculo algébrico. Este tema possui fortemente o

caráter de notações (números e letras) e regras (as propriedades das operações),

formando os termos desta linguagem que são as expressões que, por sua vez,

compõem as igualdades e desigualdades.

Em relação às competências a serem desenvolvidas nesse tema, deve-se

permitir ao aluno “usar e interpretar modelos, perceber o sentido de transformações,

buscar regularidades, conhecer o desenvolvimento histórico e tecnológico de parte

de nossa cultura e adquirir uma visão sistematizada de parte do conhecimento

matemático” (BRASIL, 2002, p.122).

Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e

relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de

competências e habilidades que são especialmente formadoras, à medida

que instrumentalizam e estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o

para compreender e interpretar situações, para se apropriar de linguagens

específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar

decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua

formação.

(BRASIL, 2002, p.111)

59

Especificamente, um trabalho envolvendo seqüências, além de estar

conectado à idéia de funções, permite a exploração de regularidades, mostra aos

alunos quais as propriedades decorrentes dessas seqüências e, finalmente, chega

na sua lei de formação:[...]aprender Matemática no Ensino Médio deve ser mais do que memorizar

resultados dessa ciência e que a aquisição do conhecimento matemático

deve estar vinculada ao domínio de um saber fazer Matemática e de um

saber pensar matemático. Saber aprender é a condição básica para

prosseguir aperfeiçoando-se ao longo da vida.

(BRASIL, 2000, p. 41)

De acordo com as propostas acima mencionadas, optamos trabalhar em

nosso estudo com generalizações de padrões figurativos – mencionada tanto no

trabalho de Küchemann quanto nos PCN do Ensino Fundamental e Médio.

2.5 GENERALIZAÇÃO

Após uma vasta experiência com estudos voltados à generalização, Mason

(1996a) traz suas reflexões sobre: a relevância da generalidade no entendimento da

Álgebra, as dificuldades dos alunos nesta aprendizagem e, através de vários

exemplos, os possíveis caminhos percorridos pelos alunos até chegaram à

expressão de generalização.

2.5.1 A Espiral de Mason

Mason (1996a) acredita que, se os alunos em sala de aula tivessem

consciência da generalidade, a Álgebra não seria mais um problema para a maioria

deles. A forma em que a Álgebra é interpretada nas escolas é como se fosse um

assunto “morto”, sem sentido, “como conjugar verbos em Latim ou memorizar as

partes de uma flor”. Nos estudos de Mason são identificadas quatro principais raízes

da Álgebra:

• “Expressing Generality” (Expressando Generalidade): é de extrema

importância, no entanto, muitas vezes é deixada de lado ou mal utilizada;

• “Possibilities and Constraints” (supporting awareness of variable) -

(Possibilidades e Limitações): favorece a consciência de variável;

60

• “Rearranging and Manipulating” (Rearranjo e Manipulação): permite

observar porque expressões aparentemente diferentes que representam o

mesmo objeto, resultam de fato, na mesma resposta;

• “Generalized Arithmetic” (Aritmética Generalizada): as letras substituem

números para expressar as regras da Aritmética.

Para o referido autor, a generalização é considerada um dos processos

essenciais da atividade matemática - “A generalização é o coração da matemática e

aparece em muitas formas” - (Mason,1996a, p. 65) e, ao contrário do que muitos

pensam, não é apenas o final das investigações mais ainda esclarece e amplia as

perspectivas ante o pensamento algébrico. “É natural, endêmica e presente em

qualquer lugar”. (ibid, p.66).

Mason defende a idéia de que os professores, em se tratando de

generalização, ao mudarem a forma de agir e de pensar perante os alunos, estarão

contribuindo para uma mudança cultural, tornando os pensamentos e expressões

matemáticas tão naturais quanto a fala e a audição, nas suas línguas nativas. O

trabalho com padrões numéricos envolvendo suas respectivas expressões de

generalização fornece experiências fundamentais no processo de ensino-

aprendizagem da Álgebra, considerando-as como sendo o melhor momento do

processo de generalização.

De acordo com Mason, uma forma de desenvolver a percepção de

generalidade é sensibilizar pela distinção entre “olhar através” e “olhar para” -

“trabalhar sobre” e “trabalhar através”; ou seja, ver a generalidade através do

particular e ver o particular no geral. Este processo de desenvolvimento pode ser

descrito numa espiral, a iniciar com uma “manipulação confiante”, passando pelo

entendimento e articulação do sentido, até que a articulação torne-se uma

manipulação confiante, reiniciando-se assim, o processo. Mason (1996b) acrescenta

que a espiral de desenvolvimento não necessariamente deve ter um percurso linear:

“cada manipulação, sentido e articulação informa e é informado por outras” (Mason,

1996b, p. 17); tradução nossa.

A hélice espiral tenta levar em conta o movimento a partir do confiantemente

manipulável ao crescimento da percepção de relação ou padrão, e a

expressão desse padrão com facilidade crescente, que finalmente inspira

61

confiança suficiente para que essas articulações possam por elas mesmas,

se tornarem fontes de confiança e daí, componentes para mais padrões e

relações. A noção de hélice tenta conectar estados similares mais ainda

diferentes, enquanto sugere que a manipulação muda de acordo com a

percepção estrutural, que tentativas de articulação podem causar re-

pensamento e re-manipulação, mais isso através de um processo fluido,

quase simbiótico (associação e entendimento “íntimo”), aumentando a

facilidade e desenvolvimento da confiança. (Vide Figura 2.4).

(MASON,1996a, p. 82-83); tradução nossa.

FIGURA 2.4 - FASES DO DESENVOLVIMENTO EM ESPIRAL DE JOHN MASON

- Manipulation (Manipulação): fornece a base para encontrar os padrões, as

relações, as generalizações, etc. A manipulação pode ser mental, física ou de

objetos simbólicos.

- Getting a sense of (Constituindo um sentido para): o esforço para trazer os

padrões, as relações e as generalizações para a articulação é um processo

contínuo. Enquanto este processo se desenvolve ocorre mudanças no “sentido”.

Fonte: Expressing Generality and Roots of Algebra, Mason, 1996a, p. 82

62

- Articulation (Articulação): ao se tornar articulado, sua relação com as idéias

muda; sua experiência atual muda a maneira de ver as coisas, alterando a forma

e a estrutura da sua atenção; o que era anteriormente abstrato, torna-se cada

vez mais uma manipulação confiável.

No livro “Supporting Primary Mathematics: Álgebra” (Mason,1991), o autor

expõe diferentes formas de pensar na obtenção de expressões equivalentes.

Extraímos uma das atividades:

AATTIIVVIIDDAADDEE::

“Diga para você mesma (ou para um colega) o que você vê no desenho da

seqüência. Então formule uma regra em palavras para estender a seqüência de

figuras indefinidamente. Trabalhe nisso, antes de continuar a ler. Quantos

quadrados serão usados para fazer a 7ª, 37ª e 137ª figura?”

Algumas pessoas vêem “T”s em pé, de ponta cabeça, ou cruzes sem um

“braço”. Existem vários modos de formular uma regra. Apresentaremos quatro

maneiras diferentes:

A)

“Em cada estágio acrescenta-se mais um quadrado para cada braço”

1; 1 + 3; 1 + 3 + 3... a 7ª figura necessitaria de 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 quadrados.

63

B)

“Em cada estágio, há um quadrado central com três braços de igual

comprimento, acrescidos de um quadrado em cada braço”:

1; 1 + 3 x 1; 1 + 3 x 2, a 7ª figura necessitaria de 1 + 3 x 6 quadrados.

C)

“Em cada estágio, há três braços iguais que sobrepõe (indicado pela

sombra) num quadrado central comum”:

3 x 1 – 2; 3 x 2 – 2; 3 x 3 – 2 ... a 7ª figura necessitaria de 3 x 7 – 2 quadrados.

D)

“Em cada estágio, existem dois “L”s idênticos sobrepostos na coluna

central”:

2 x 1 – 1; 2 x 3 – 2; 2 x 5 – 3 ... a 7ª figura necessitaria de 2 x 13 – 7 quadrados.

64

Esse tipo de atividade pretende proporcionar aos alunos uma participação

efetiva no processo de generalização; seja através do desenho, da contagem ou da

observação da estrutura.

Questão de pesquisa:

Considerando a ênfase dada ao trabalho com padrões de representações

figurativas, tanto nos Parâmetros Curriculares Nacionais, quanto nas pesquisas de

Küchmenann (1981) e Mason (1996a), pretendemos enfocar nossas investigações

nesta área. Assim, explicitamos a questão que norteará nosso estudo:

Quais os fatores que contribuem na apreensão de expressões algébricas por alunos

sem acuidade visual?

No próximo capítulo, descreveremos detalhadamente a metodologia adotada

em nosso estudo.

65

CAPÍTULO 3Metodologia

Considerando-se a problemática que pretendemos investigar, optamos pela

metodologia de pesquisa qualitativa estruturando nosso estudo em duas fases,

conforme Quadro 3.1:

QUADRO 3.1 - FASES DO ESTUDO

- Material Manipulativo- Elaboração da Atividade de Sondagem- Elaboração das Tarefas

1ª FASE - Elaboração das Atividades

- Sujeitos- Administração da Atividade de Sondagem- Entrevistas

2ª FASE - Realização das Atividades

3.1 FASE 1 - DESENVOLVIMENTO DAS ATIVIDADES

A primeira fase de nosso estudo destina-se ao desenvolvimento das

Atividades, desde a elaboração do material manipulativo da Atividade de Sondagem,

até as escolhas das tarefas. Incluímos nesta fase, o estudo “piloto”, responsável por

alterações relativas ao esclarecimento de alguns itens envolvidos nas atividades.

Já na segunda fase, apresentaremos os sujeitos, identificando, através dos

resultados da Atividade de Sondagem, os níveis referentes à interpretação das letras

segundo Küchemann e investigaremos, durante as entrevistas, o desenvolvimento e

o processo de internalização de elementos algébricos trabalhados por eles.

66

3.1.1 Material manipulativo

A ferramenta elaborada constitui-se de uma prancha de metal e ímãs de

diferentes formas, facilitando a exploração dos padrões propostos pelos alunos s.a.v.

A escolha pelo ímã deve-se a sua versatilidade, nem fixo nem tão solto,

magnetização ideal para sua manipulação.

A priori, tínhamos a idéia de construir ímãs com uma superfície de várias

texturas: lisa, áspera, emborrachada. No entanto, ao contatarmos informalmente os

especialistas da área, tivemos a informação de que algumas pessoas s.a.v.

poderiam ter a sensibilidade ou até reações alérgicas a certos materiais, causando

uma sensação pouco agradável no momento de manuseá-los. Daí a opção por imãs

com formas geométricas, que auxiliam na distinção e percepção das características

dos termos apresentados em cada seqüência.

Características do material:

! Prancha de metal: 40 cm por 60 cm (vide Figura 3.1).

! Ímãs: quadrados de lado com 2 cm, circulares com 2 cm de diâmetro e

triangulares de base com 2 cm, todos estes, com espessura de 2 mm. Para a

escrita no sistema Braille foram usados ímãs circulares com 5 mm de

diâmetro por 2,5 mm de espessura (vide Figura 3.2).

FIGURA 3.1 - PRANCHA DE METAL

67

FIGURA 3.2 - ÍMÃS

3.1.2 Elaboração da Atividade de Sondagem

Organizamos uma Atividade de Sondagem para 51 alunos videntes do

Ensino Médio, com 43 itens envolvendo os quatro níveis classificados por

Küchemann (vide Anexo B). A escolha partiu dos itens utilizados no trabalho de

Küchemann e de livros didáticos nacionais (Giovanni, 2000; Lellis, 1999). A

aplicação da atividade primeiramente aos alunos videntes objetivou comparar as

dificuldades experienciadas por nossos alunos e as dos alunos ingleses. Os itens

envolviam operações, simplificações algébricas, operações com polinômios,

perímetros com figuras geométricas e a passagem de sentenças na linguagem

natural para a linguagem matemática.

Quanto à Atividade de Sondagem para os alunos s.a.v., foram selecionados

21 itens da Atividade de Sondagem aplicada aos videntes (vide Anexo D). As

atividades foram datilografadas no sistema Braille por uma professora especializada,

e a seleção fez-se necessária devido a sua extensão, já que em média, uma folha

digitada no nosso sistema corresponde a três no sistema Braille. A Atividade de

Sondagem constituiu-se de:

• 4 itens cujas resoluções poderiam envolver as categorias de interpretação

das letras: “letra como valor”, “letra não utilizada” ou “letra como objeto”

(Nível 1 na classificação de Küchemann).

68

• 4 itens que poderiam ser resolvidos ainda usando as mesmas categorias de

interpretações das letras dos itens anteriores, porém de estrutura mais

complexa (Nível 2 da classificação supra).

• 6 itens de estrutura simples, cujas soluções poderiam envolver a categoria

“letra como uma incógnita específica” (Nível 3 da classificação supra).

• 4 itens de estrutura complexa cujas resoluções poderiam envolver as

categorias: “letra como uma incógnita específica”, “letra como um número

generalizado” e “letra como variável” (Nível 4 da classificação supra).

• 3 itens - não especificados - (itens referentes a passagem da linguagem

natural para a linguagem matemática).

3.1.3 Elaboração das tarefas

A seleção das tarefas partiu de livros paradidáticos nacionais, em particular,

Souza e Diniz (1998), além das sugestões contidas nos estudos de Küchemann e

Azarquiel (1993). Os itens que orientaram as tarefas surgiram dos livros pesquisados

em conjunto com o estudo de Nakamura (2003) que abordara o mesmo tema

matemático, generalização de padrões figurativos; sendo que estes itens permitiram

que os alunos percebessem a regularidade da seqüência e, posteriormente, sua lei

de formação (vide Anexo E). Neste estudo foram utilizadas as funções do 1º e 2º

graus onde a variável independente é representada pela posição do termo “n” e a

variável dependente pela quantidade de ímãs em cada termo “f(n)”. Na

apresentação das seqüências foram utilizados termos consecutivos ou termos

alternados, para que os alunos construíssem os termos que indicavam sua

continuidade ou os que faltavam, respectivamente.

Seguem as tarefas selecionadas em nosso estudo, os itens que as

orientaram e seus respectivos comentários:

69

1ª TAREFA

Nossa intenção era investigar as idéias dos alunos a respeito das posições

que os círculos, os quadrados e os triângulos poderiam ocupar, concluindo que as

posições múltiplas de três seriam ocupadas pelos círculos, as múltiplas de três

menos um, pelos quadrados e as múltiplas de três mais um, pelos triângulos. Não

esperávamos neste primeiro momento que os alunos escrevessem a lei de formação

da seqüência.

2ª TAREFA

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º

1º 2º 3º

a) Qual é a figura que representa o 6º termo da seqüência? E o 8º termo?b) Construa a seqüência até o 15º termo.c) Você pode explicar como chegou até o 15º termo?d) Qual figura estaria representada na 20ª posição?e) Qual figura ocupa a 12ª, 15ª, 18ª e 21ª posições? Quais outras posições essa figura

pode ocupar?f) Vamos agora pensar no quadrado. Quais posições que o quadrado pode ocupar?g) Qual figura ocupará a 30ª, 42ª, 60ª e 88ª posições?h) Explique como chegou nestas respostas.

QUADRO 3.2 – ITENS DA 1ª TAREFA

70

Pretendíamos que os alunos percebessem que o número de quadrados de

cada figura seria o quádruplo do número referente à sua posição (número do termo),

concluindo a sua lei de formação: (f(n) = 4n), sendo:

f(n) = Total de quadrados;

n = Posição do termo.

3ª TAREFA

Nosso objetivo era que os alunos percebessem que, na passagem de um

termo da seqüência para outro, a forma das figuras se mantinha, variando-se o

número de elementos segundo uma certa regularidade (f(n) = 2n – 1), sendo:

2º 4º

a) Construa o 4º termo da seqüência.b) Explique como você chegou nesta resposta.c) Quantos quadrados têm cada termo?d) Quantos quadrados têm o 5º, 6º, 7º e o 15º termos da seqüência?e) Qual a relação entre a posição do termo na seqüência e o número de quadrados

(desse termo)?f) Escreva uma expressão numérica, para indicar o total de quadrados de cada figura.

Escreva a expressão numérica do 100º e 1000º termos.g) Como calcular o número de quadrados num termo qualquer?h) Determine outros métodos para calcular o número de quadrados em cada termo e

escreva outras expressões algébricas que representem a quantidade de quadradosde um termo qualquer da seqüência.

i) Justifique a equivalência das expressões algébricas.


71

f(n)= Total de círculos;


4ª TAREFA

Esta tarefa foi dividida em três partes. Na primeira, as questões orientavam

os alunos a relacionarem a quantidade de círculos com o número do termo; na

segunda, a quantidade de quadrados com o número do termo e, finalmente, o total

de ímãs, concluindo assim sua lei de formação: (f(n) = 3n + 3), sendo:

f(n) = Total de ímãs;


As figuras apresentadas correspondem ao 2º e 4º termos da seqüência.a) Construa o 3º e 5º termos da seqüência.b) Observe uma regularidade na seqüência (uma mesma maneira de formar cada figura da

seqüência ou mesmo padrão de formação) e explique como construiu o 3º e 5º termos.c) Quantos círculos possuem cada um dos termos?d) Estabeleça uma relação entre o número do termo e a quantidade de círculos, levando em

conta a organização dos mesmos.e) Quantos círculos possuem o 6º, 7º, 20º e 30º termos?f) Escreva uma expressão numérica para esses resultados.g) Reescreva essas expressões numéricas relacionando com o número do termo.h) Escreva a expressão numérica do 100º e 1000º termos. Em seguida escreva uma

expressão algébrica que represente a quantidade de círculos de um termo qualquer daseqüência.

i) Observe outras regularidades e obtenha outras expressões algébricas que tambémrepresentem a quantidade de círculos de um termo qualquer da seqüência. Justifique aequivalência das expressões algébricas.


1º 4º

72

5ª TAREFA

Nossa intenção era aumentar a complexidade da tarefa, introduzindo um

padrão que representasse uma função de 2º grau: (f(n) = (n +1)2 – 1), sendo:

f(n) = Total de círculos;


a) Observe a regularidade e construa o 2º e 3º termos da seqüência.b) Explique como pensou para construí-los?c) Estabeleça uma relação entre o número do termo e a quantidade de círculos de cada

figura.d) Escreva uma expressão numérica que represente a quantidade de círculos do 3º, 6º,

11º e 25º termos.e) Escreva uma expressão algébrica que represente a quantidade de círculos de um

termo qualquer da seqüência.f) Observe a organização dos quadrados em cada termo. Estabeleça uma relação entre

o número do termo e a quantidade de quadrados de cada figura.g) Escreva uma expressão numérica que represente a quantidade de quadrados do 2º,

4º, 10º e 32º termos.h) Escreva uma expressão algébrica, que represente a quantidade de quadrados de um

termo qualquer da seqüência.i) Escreva a expressão correspondente ao total de ímãs (círculos e quadrados) de um

termo qualquer da seqüência.j) Observe outras regularidades e obtenha outras expressões algébricas que também

representem a quantidade de ímãs (círculos e quadrados) de um termo qualquer daseqüência. Justifique a equivalência das expressões algébricas.


1º 2º 3º

73

6ª TAREFA

Além do aumento da complexidade, esta tarefa também foi dividida em três

partes. A primeira relacionava a quantidade de círculos com a posição da figura; a

segunda, a quantidade de quadrados com a posição da figura e a terceira, o total de

ímãs em cada posição; concluindo sua lei de formação: (f(n) = (n + 2)2), sendo:

f(n) = Total de ímãs;


1º 3º

a) Continuando a seqüência, construa o 4º termo.b) Explique como pensou para construí-lo.c) Quantos círculos tem cada um dos termos da seqüência?d) Relacione o número do termo com a organização dos círculos.e) Escreva a expressão numérica do 1º, 2º, 3º, 4º, 20º e 50º termos da seqüência.f) Escreva a expressão algébrica para um termo qualquer da seqüência.g) Determine outras métodos para calcular o número de círculos de um termo qualquer

da seqüência. Justifique a equivalência das expressões algébricas.


74

7ª TAREFA

Observando os resultados da Atividade de Sondagem, verificamos que os

alunos tiveram extrema dificuldade em responder ao item:

Qual expressão algébrica é maior, 2n ou n + 2? Justifique.

Inversamente ao trabalhado nas tarefas anteriores, onde era dada a

seqüência e os alunos encontravam a lei de formação, propusemos aos mesmos

que construíssem as seqüências a partir de suas leis (2n e n + 2), e observassem o

crescimento das mesmas, tentando responder ao solicitado. Após a realização das

6 tarefas, esperávamos que os alunos trabalhassem com maior confiabilidade,

articulando os conceitos algébricos envolvidos, sendo capazes de estabelecer as

relações entre 2n e n + 2:

• para n = 1 .......... n + 2 > 2n;

• para n = 2 .......... n + 2 = 2n;

• para n ≥ 3 .......... n + 2 < 2n.

a) Construa a figura que corresponde ao 2º e 4º termos da seqüência.b) Explique como pensou para construí-losc) Pensando no círculo, relacione o número do termo com o total de círculos.d) Escreva uma expressão numérica e algébrica que represente a quantidade de ímãs

circulares.e) Agora, tente relacionar o número do termo com a organização do quadrado.f) Escreva uma expressão numérica, representando o número de quadrados de cada

termo construído, incluindo o 8º e 30º termos.g) Escreva a expressão algébrica que represente a quantidade de quadrados de um

termo qualquer.h) Escreva a expressão algébrica para calcular a quantidade total de ímãs (círculos e

quadrados) de um termo qualquer.i) Determine outros métodos para calcular o número de círculos e/ou quadrados de um

termo qualquer da seqüência. Justifique a equivalência das expressões algébricas.


75

3.2 FASE 2 - REALIZAÇÃO DAS ATIVIDADES

O estudo desenvolveu-se em uma escola da rede estadual de ensino,

localizada no bairro da Aclimação, na cidade de São Paulo, no período letivo de

2003. Houve, inicialmente, uma conversa informal com todos os alunos s.a.v. do

período matutino, explicitando a relevância e seriedade da pesquisa e o quanto eles

eram fundamentais para a realização da mesma. Cinco alunos do Ensino Médio

concordaram em participar de nosso estudo, com o uso de nomes fictícios

escolhidos pelos próprios, disponibilizando-se, em média, duas horas por semana.

3.2.1 Sujeitos

Giovanna (16 anos) iniciou sua vida escolar aos 7 anos de idade freqüentando

quatro diferentes escolas. Cursou o 1º ano do Ensino Médio em 2003. A falta de

acuidade visual deu-se aos 6 anos a partir de uma retinose pigmentar1 avançada.

Fernando (17 anos) ingressou na escola aos 7 anos. Em 2003, cursou o 2º ano do

Ensino Médio. Até os 9 anos possuía baixa visão. Estudou em uma escola particular

até o primeiro ano do 3º ciclo (5ª série). Tinha vida normal, jogava bola, vídeo game,

andava de bicicleta, etc. Como conseqüência destas experiências, antes de perder

totalmente a visão, já possuía noções de formas e cores. Fernando possui uma

opacificação bilateral de córnea2, catarata3, glaucoma4 e comprometimento do fundo

do olho.

Cláudio (18 anos) iniciou seus estudos aos 7anos. Estudou em três escolas

públicas, incluindo a escola de nosso estudo. Em 2003, cursou o 2º ano do Ensino

Médio. Sua mãe, durante a gestação, teve toxoplasmose5, afetando a visão do feto

na sua totalidade, desde o seu nascimento.

1 “Doença que ataca a retina, diminuindo progressivamente o campo de visão pigmentar até acegueira total”. www.idisa.org.br/lista_tit_not.cfm?id_subass=259 - acesso em 23/02/05.2 Podemos chamar também de leucoma (opacificação branca e densa da córnea), como uma cicatriz.3 Doença em que o cristalino torna-se opaco, é mais comum em pessoas idosas. A visão torna-seborrada” www.hc.ufu.br/outras_paginas/banco de olhos/BO_FAEPU_Arquivos/Doencas.htm – acessoem 25/02/05.4 Aumento da pressão interna do olho causado por uma anomalia na eliminação do humoraquoso.(Projeto de Educação continuada, 1998).5 “Quando a mãe tiver toxoplasmose durante a gravidez, essa infecção pode passar para o feto. Osagentes transmissores estão nas fezes do cachorro, gato, aves e na carne de porco. A acuidadevisual estará muito comprometida quando a lesão for na mácula (opacidade da córnea, visível à luzdo dia, como mancha cinzenta)”. (Projeto de Educação Continuada, 1998)

76

Angélica (19 anos), deu início a sua vida escolar aos 8 anos. Freqüentou no ano

letivo de 2003 o 3º ano do Ensino Médio. Até um ano e meio de idade, possuía baixa

visão. Cursou o Instituto Padre Chico até o 4º ciclo (8ª série do Ensino

Fundamental), ingressando nessa escola no 1º ano do Ensino Médio. Segundo a

aluna, a doença que afetou sua visão foi a retinoblastoma6.

Tânia (24 anos) freqüentou quatro escolas públicas, sendo duas no interior de

Minas. Iniciou sua vida escolar aos 6 anos. No ano letivo de 2003, cursou o 3º ano

do Ensino Médio. Devido ao problema de acessibilidade, não freqüentou a escola

durante 5 anos (1992 -1996). Até os 13 anos possuía baixa visão, sendo que, com o

passar do tempo, o glaucoma afetou sua visão direita e, em seguida, a esquerda.

Ingressou nessa escola a partir do 1º ano do Ensino Médio.

3.2.2 Atividade de Sondagem

A aplicação foi feita simultaneamente a todos os alunos sem interferência da

professora pesquisadora, com uma duração média de aproximadamente 50 minutos.

A máquina datilográfica7, (vide Figura 3.3), a reglete8 (vide Figura 3.4) e o punção9

(vide Figura 3.5) foram os equipamentos utilizados pelos alunos para responderem

aos itens da respectiva atividade. Foi feita uma análise, usando-se a classificação de

Küchemann (1981) e os “erros” identificados por Booth (1988).

6 “Tumor originário das células da retina. Entre os pediátricos, é o mais freqüente, ocorrendoaproximadamente um a cada 15 mil crianças nascidas”. www.graacc.org.br/jornal/atual/pg3.pdf -acesso em 11/08/047 “Foi inventada por Frank H. Hall, em 1892 nos Estados Unidos da América. As máquinas especiaisde datilografia para cegos possuem sete teclas. Cada tecla corresponde a um ponto e ao espaço. Opapel é fixo e enrolado em rolo comum, deslizando normalmente quando pressionado o botão demudança de linha. O toque de uma ou mais teclas simultaneamente produz a combinação dos pontosem relevo, correspondente ao símbolo desejado. O Braille é produzido da esquerda para a direita,podendo ser lido sem a retirada do papel da máquina”. (Sociedade de assistência aos cegos –www.sac.org.br, p 03 – acesso 10/08/04).8 “Consiste essencialmente de duas placas de metal ou plástico, fixas de um lado com dobradiças, demodo a permitir a introdução do papel. A placa superior funciona como a primitiva régua e possui asjanelas correspondentes às celas Braille. Ponto por ponto, as pessoas cegas, com o punção, formamo símbolo Braille correspondente às letras, números ou abreviaturas desejadas. Escreve-se da direitapara a esquerda e a leitura é feita da esquerda para a direita”. (ibidem) 9 “O punção: Formado por uma pequena haste de metal com a ponta arredondada presa a um punhode plástico ou madeira, moldado automaticamente, para um perfeito ajuste à mão”. (Práticapedagógica: O Deficiente na classe comum, 1993, p.49).

77

FIGURA 3.3 - MÁQUINA DATILOGRÁFICA

FIGURA 3.4 - REGLETE

FIGURA 3.5 - O PUNÇÃO

78

3.2.3 Tarefas

Realizamos um série de 5 entrevistas com os 5 alunos (três individuais e

uma dupla), em que foram resolvidas 7 tarefas envolvendo padrões figurativos, com

complexidade crescente de funções do 1º e 2º graus apresentadas na seção 3.1.3

do presente trabalho. Além do registro com fotos das seqüências construídas pelos

alunos, suas produções orais e escritas (transcritas pela professora pesquisadora),

foram gravadas em áudio e vídeo. Estes registros foram os dados utilizados para a

análise. Cada entrevista durou aproximadamente, 120 minutos, e resultou na

produção de 22 fitas de vídeo.

A intenção da professora pesquisadora foi interferir o menos possível nas

atividades, mas às vezes, foram necessários esclarecimentos dos objetivos de

certas tarefas bem como as estratégias de resolução sendo que, neste caso, a

professora pesquisadora pedia a justificativa das estratégias utilizadas.

Decidimos entrevistar três alunos individualmente, Tânia, Giovanna e

Cláudio, e os outros dois alunos, Fernando e Angélica, em conjunto. Esta decisão

deu-se por dois fatores: ao fato de que cada um dos grupos referia-se a alunos cujas

respostas para a Atividade de Sondagem indicavam que suas interpretações das

letras se encontravam no mesmo nível ou em níveis muito próximos, de acordo com

os termos de Küchemann (1981) e a pretensão de entendermos como se

processava o desenvolvimento durante as tarefas dos alunos, organizadas em grupo

e individualmente (o Capítulo 4 justificará o agrupamento dos alunos).

Apresentaremos a seguir a organização cronológica das entrevistas (vide

Quadro 3.8).

79

QUADRO 3.8 - ORGANIZAÇÃO CRONOLÓGICA DAS ENTREVISTAS

Os itens das tarefas a serem cumpridos pelos alunos (vide Anexo E) eram

lidos pela professora pesquisadora, respondidos pelos mesmos oralmente e, em

seguida, registrados pelos próprios alunos no sistema de escrita Braille.

Alguns procedimentos foram necessários para estruturarmos a análise das

tarefas. Iniciamos com as transcrições das tarefas do sistema Braille e, a partir dos

registros em vídeos, descrevemos detalhadamente cada uma das entrevistas.

Incluímos trechos dos diálogos desenvolvidos que, ao nosso entender, foram

fundamentais para identificarmos as conjecturas dos alunos e compreendermos as

Ordem Alunos Tarefas Data Início Término1ª Tânia 1ª e 2ª 19/09/03 8:25 10:252ª Giovanna 1ª e 2ª 23/09/03 15:26 17:123ª Ang/Fern 1ª e 2ª 25/09/03 8:40 11:104ª Cláudio 1ª e 2ª 26/09/03 8:25 10:105ª Giovanna 3ª 30/09/03 15:20 17:206ª Ang/Fern 3ª 01/10/03 14:20 16:057ª Cláudio 3ª 02/10/03 8:15 9:388ª Tânia 3ª 03/10/03 8:15 10:239ª Giovanna 4ª 07/10/03 14:00 16:04

10ª Tânia 4ª 09/10/03 8:05 10:0211ª Ang/Fern 4ª 09/10/03 10:15 11:4512ª Cláudio 4ª 10/10/03 10:05 11.4713ª Cláudio 5ª 15/10/03 15:00 16:15

14ª Tânia 5ª 17/10/03 9:15 11:0515ª Giovanna 5ª 21/10/03 14:42 16:2416ª Tânia 6ª 23/10/03 8:12 11:2717ª Cláudio 6ª e 7ª 29/10/03 15:00 17:0018ª Ang/Fern 5ª 30/10/03 8:27 10:2019ª Tânia 7ª 30/10/03 10:30 11:0520ª Ang/Fern 6ª e 7ª 31/10/03 8:10 10:1521ª Giovanna 6ª e 7ª 31/10/03 10:19 11:52

80

estratégias desenvolvidas por eles ao responderem as questões colocadas. Em

seguida, analisamos estas descrições identificando as fases de “manipulação”,

“constituindo um sentido para” e “articulação”, definidas por Mason (1996a); a origem

e os tipos de erros cometidos pelos alunos no transcorrer das tarefas, a partir do

estudo de Booth (1988) e, em alguns momentos, as interpretações das letras em

termos das categorias de Küchemann, em particular as três últimas: “letra como uma

incógnita específica”, “letra como um número generalizado” e “letra como variável”.

Concomitante a esta análise, tentamos destacar aspectos relacionados ao processo

de mediação e internalização em relação às perspectivas vygotskyanas.

No Capítulo 4, procederemos à análise das respostas dos alunos durante a

Atividade de Sondagem a partir dos estudos de Küchemann (1981) e Booth (1988).

81

CAPÍTULO 4Análise da Atividade de Sondagem

Neste capítulo, procederemos à análise dos resultados da Atividade de

Sondagem aplicada aos alunos s.a.v., investigando, a partir dos estudos de

Küchemann (1981) e Booth (1988) os tipos e a origem de alguns erros cometidos

pelos alunos envolvendo conceitos algébricos. Os Itens 14 a 16 referentes à

passagem da linguagem natural para a linguagem matemática e o Item 17,

constituído por quatro subitens, onde os alunos verificam, em cada um deles, a

veracidade da sentença matemática, serão analisados separadamente já que não

fazem parte do estudo de Küchemann.

4.1 ORGANIZAÇÃO DA ANÁLISE

Optamos em organizar as respostas dos primeiros 13 itens da Atividade de

Sondagem, segundo os quatro níveis descritos por Küchemann (1981) e

apresentados na seção 2.1.1 deste trabalho, de forma que possamos identificar as

várias estratégias usadas pelos alunos e os seus erros quanto aos itens que

possuem uma mesma estrutura. A análise será organizada na seguinte ordem: o

grupo de itens de mesmo nível será apresentado num quadro sendo que, para cada

grupo, haverá uma breve descrição sobre a estrutura dos itens e as possíveis

interpretações das letras; em seguida, apresentaremos as respostas dos alunos,

interpretando-as à luz dos teóricos mencionados na introdução deste capítulo e, ao

final, analisaremos o desempenho de cada aluno na atividade.

4.2 ANÁLISE DOS ITENS DE NÍVEL 1 – GRUPO 1

Os itens neste nível possuem uma estrutura simples, ou seja, são itens com

apenas uma operação e valores numéricos familiares, próximos da realidade dos

alunos. Geralmente as respostas para estes itens são obtidas usando “letra como

valor”, “letra como objeto” ou “letra não utilizada”, o que não significa que um aluno

82

de um nível mais elevado não possa resolver, por exemplo, um item de Nível 1,

utilizando “letra como uma incógnita específica”. Nossos alunos tiveram um bom

desempenho nesses itens, acertando todos ou errando apenas um. O Quadro 4.1

apresenta os itens de Nível 1.

Em re

devido

e Tân

ao 50

categ

valore

valore

Quan

Giova

+ m +

Angél

crer q

Cláud

tinha

respo

QUADRO 4.1 - ITENS NÍVEL 1

1) O que você pode dizer sobre b, se b + 3 = 9?2) Se d + e = 50 d + e + 4 = ___12a) Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro da figuraabaixo:

Os itens deste nível foram respondidos sem dificuldade por nossos alunos.

lação ao primeiro, Küchemann atribuiu o bom desempenho de seus alunos

à familiaridade com os números envolvidos. Para o Item 2, Fernando, Cláudio

ia escreveram apenas o resultado “54”; é possível que eles tenham somado 4

sem considerarem as letras que, segundo Küchemann, seria indicativa da

oria “letra não utilizada”. Giovanna e Angélica, por outro lado, atribuíram

s específicos às letras, ou seja, trataram “letra como valor”. Angélica atribuiu

s distintos: “d = 20” e “e = 30” e Giovanna atribuiu valores iguais “d = e = 25”.

to ao Item 12a, os alunos o responderam com certa facilidade. Angélica,

nna e Tânia escreveram e simplificaram a expressão relativa ao perímetro: “m

m = 3m”. Fernando não simplificou a expressão “m + m + m”. O fato de

ica explicitar o coeficiente numérico na expressão “1m + 1m + 1m”, leva-nos a

ue, assim como os ingleses, ela usou “letra como objeto” para resolvê-lo.

io escreveu uma expressão “a + b + c = 90 graus” que, ao nosso entender, não

relação com o item. Apresentamos as Tabelas 4.1, 4.2, 4.3 referentes às

stas dos alunos para os Itens 1, 2, e 12a, respectivamente:

m m

m

83

TABELA 4.1 - RESPOSTAS DO ITEM 1

ALUNOS RESPOSTASAngélica, Giovanna, Tânia, Cláudio e Fernando “b = 6”


ALUNOS RESPOSTASAngélica “20 + 30 + 4 = 54”Giovanna “25 + 25 + 4 = 54”Tânia, Cláudio e Fernando “d + e + 4 = 54”

TABELA 4.3 - RESPOSTAS DO ITEM 12a

ALUNOS RESPOSTASAngélica “1.m + 1.m + 1.m = 3m”Giovanna e Tânia “m + m + m = 3m”Cláudio “a + b + c = 90 graus”Fernando “m + m + m”


Os itens deste grupo, assim como os itens do grupo anterior, podem, segundo

Küchemann, ser resolvidos usando as três primeiras categorias, quais sejam, “letra

como valor”, “letra como objeto” ou “letra não utilizada”, embora em uma estrutura

mais complexa, por exemplo; o Item 3, envolve mais de uma operação (multiplicação

e adição); e no caso do Item 12b, os lados dos polígonos não são representados

somente por letras (como no Item 12a) ou por números, mas por letras e números.

Os alunos não tiveram um bom desempenho neste grupo, sendo que ninguém

acertou todos os itens e Cláudio, errou todos. O Quadro 4.2 apresenta os itens de

Nível 2.

84


sub

efet

mul

tent

mem

resp

Aco

valo

de

lado

resp

Talv

esc

esc

a a

term

ree

3) O que você pode dizer sobre m, se m = 4n +1 e n = 5?

7) Simplifique: 2d + 5e + d = _____

12b) Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro da figura abaixo:

a a

No Item 3, apenas Fernando resolveu corretamente: “4 . 5 + 1 = 21”,

stituindo o valor de “n” dado no problema. Giovanna e Cláudio também

uaram a substituição de 5 por “n” mas, ao invés de considerarem a operação de

tiplicação, somaram todos os elementos (“4 + 5 + 1 = 10”). Angélica e Tânia

aram resolvê-lo como uma equação, onde os termos literais ficariam no primeiro

bro da equação e os termos independentes no segundo membro. Angélica

ondeu: “m = 4n + 1, calculo 4n + 1 me dá 5n. Se eu isolar o n, fica n = 5.

ntece que sobrou o “m”, então m vale 1” , nesta última passagem, ela atribuiu um

r para “m”, usando a categoria “letra como valor”. Tânia, seguindo a mesma linha

raciocínio de Angélica, respondeu: “Separando os termos, ou seja, literais de um

e números do outro, obtemos a resposta n = 5”.

Quanto ao item 7, Giovanna e Fernando não responderam. Cláudio

ondeu “7d” somando os valores numéricos explícitos e ignorando a letra “e”.

ez este procedimento justifique-se pelo fato de que a letra “e” é comum na

rita da língua portuguesa, por representar uma conjunção. Angélica e Tânia,

reveram a resposta com um único termo. Angélica, respondeu: “8 d2e” sendo que

luna somou os coeficientes numéricos e multiplicou as partes literais de cada

o. Já Tânia, escreveu: “2d + e + 4 + 5 = 3d + 4 + 5 = 12d”. Além de Tânia ter

scrito a expressão incorretamente, somou todos os termos, desconsiderando a

6 6

8

85

letra “e” (a inclusão do número 4 provavelmente deve-se ao fato de que a letra “d” e

o número 4 ocupam as mesmas posições na escrita Braille (vide Anexo A),

diferenciando-se apenas quanto ao “sinal de número” que precede a escrita

numérica).

Tratando-se do item 12b, constituído por um pentágono cujos lados são

representados por letra e valores numéricos, Angélica, Tânia e Giovanna

escreveram de maneira correta a expressão, mas no momento de simplificarem,

deram como resposta um único termo. Angélica procedeu da seguinte forma: “2a + 6

+ 6 + 8 = 2a + 12 + 8 = 2a + 20 = 22a”; Tânia indicou: “2a + 12 + 8”, no entanto,

quando simplificou a expressão, não considerou a letra “a”, escrevendo “2 + 12 + 8 =

22”, identificando-se neste momento, o uso da categoria “letra não utilizada”.

Giovanna, por sua vez, respondeu: “a a + 6 + 6 + 8 = 20a” . Ao nosso entender, a

ausência de uso do símbolo de adição entre os “a’s” por Giovanna pode ter

decorrido de esquecimento ou de dificuldade em operar com “a + a”. Fernando

indicou a expressão algébrica sem simplificá-la (“a + a + 6 + 6 + 8 + 8”), e Cláudio

escreveu uma expressão que não apresentava qualquer relação com o item (“a + b +

c = 15”). Apresentamos as Tabelas 4.4, 4.5, 4.6, referentes às respostas dos alunos

para os Itens 3, 7 e 12b, respectivamente:


ALUNOS RESPOSTASAngélica “m = 1”Giovanna “4 + 5 + 1 = 10”Tânia “4n + 1 = 5n”Cláudio “4 + 5 + 1 = 10”Fernando “4 . 5 + 1 = 21”


ALUNOS RESPOSTASAngélica “2d + 5e + d = 8d2e”Giovanna Não respondeuTânia “2d + e + 4 + 5 = 3d + 4 + 5 = 12d”Cláudio “2d + 5e + d= 7d”Fernando Não respondeu

86

TABELA 4.6 - RESPOSTAS DO ITEM 12b

ALUNOS RESPOSTASAngélica “2a + 12 + 8 = 2a + 20 = 22a”Giovanna “a a + 6 + 6 + 8 = 20a”Tânia “2a + 12 + 8 = 2 + 12 + 8 = 22”Cláudio “a + b + c = 15”Fernando “a + a + 6 + 6 + 8”

Identificamos a tendência por parte dos alunos em responderem itens com um

valor numérico ou um único termo. Dois aspectos relacionados com esses tipos de

erros são levantados por Booth (1988): quanto “à natureza das respostas”, onde a

dificuldade cognitiva dos alunos está em aceitar a “falta de fechamento”; e quanto

“ao uso da notação e da convenção”, onde o autor justifica que este tipo de erro

pode estar relacionado com a interpretação de simbolismos (“+” e “=”) no campo da

Aritmética e da Álgebra (seção 2.1.2). Assim, concordamos com a idéia de Booth

(1988) de que, no contexto do estudo de equações, muitos alunos consideram o

símbolo de igualdade como unidirecional precedendo com uma resposta numérica

ou com um único termo. A sugestão da autora para este tipo de erro é que os alunos

devam ser trabalhados de forma que percebam que o símbolo da igualdade “=”,

além de significar “escreva a resposta”, representa, também, uma relação de

equivalência.


Segundo Küchemann, a diferença entre os itens do Nível 3 e os itens dos

Níveis 1 e 2 é que sua resolução envolve uma interpretação de letra mais

sofisticada, como “letra como incógnita específica” ou “letra como um número

generalizado” , mas ainda, como uma noção inicial, em uma estrutura simples. Neste

grupo, há itens que possuem apenas uma operação, ou itens que possuem apenas

um valor desconhecido. O Quadro 4.3 apresenta os itens de Nível 3.

87

at

G

in

al

à

de

eq

co

=

va

es

a

D

su

po


4) O que você pode dizer sobre s, se: s = t + u e s + t + u = 30?5) Se e + f = 7, então e + f + g = ______9) Adicione (some) 6 à 5n.13) Parte desta figura não está desenhada. Há n lados, cada um com comprimento 4.Escreva a expressão algébrica que representa o comprimento de n lados.

4

4

4

4

4

4

4

4 44

Cláudio e Tânia não res

ribuíram valores às letras, faz

iovanna atribuíram valores ig

formações da primeira equaç

unos que participaram do estu

“s”, “t” e “u” (s = t = u = 10).

ter atribuído valores às letr

uação, que s = t + u. Este pr

rreto de “s” (s = 15): “t = 7,5 e

30”. Fernando sabia que “s” e

lores iguais a “t” e “u”, “t = u =

O Item 5, nenhum aluno

creveu: “Depende dos valores

categoria “letra como variável

e fato isto é verdade, desde q

a vez, escreveu “7f”; possive

is as letras “f” e “g” no sistem

pon

end

ua

ão

do

Fe

as

oce

u

“t

7

ac

q

” on

ue

lme

a

deram o Ite

o uso da ca

is, “s = t =

, de que “s

de Küchem

rnando, dife

“t” e “u”, co

dimento fez

= 7,5 e 7

+ u”, ambo

,5”.

ertou. Giov

ue se dá a c

de “e”, “f” e

a soma de

nte a aluna

Braille são

m 4

teg

u =

= t

ann

rent

nsid

com

,5 +

s de

anna

ada

“g”,

“e”

erro

pare

o

e

. Angélica, Giovanna e Fernando

ria “letra como valor”. Angélica e

10”; elas não consideraram as

+ u”. Vinte e um por cento dos

também atribuíram valores iguais

de Angélica e Giovanna, apesar

erou as informações da primeira

que o aluno encontrasse o valor

7,5 = 15 s = 15; 15 + 7,5 + 7,5

veriam valer 15 e, então, atribuiu

não respondeu o item. Angélica

letra”; neste caso, Angélica usava

poderiam assumir qualquer valor.

e “f” seja igual a sete. Tânia, por

u na hora de escrever a letra “g”,

cidas. Se isto realmente ocorreu,

88

Tânia devia ter pensado que, se e + f = 7, então e + f + g = 7 + g = 7g. De forma

análoga ao item anterior, Fernando escreveu: “e = 3,5 e f = 3,5 3,5 + 3,5 = 7 g

= 3,5 3,5 + 3,5 + 3,5 = 10,5”; ele atribuiu valores às letras sem notar que “e”, “f” e

“g”, poderiam assumir qualquer valor, desde que a soma de “e” e “f” fosse 7. Por fim,

Cláudio respondeu: “e + f + g = 8”. Seis por cento dos alunos ingleses procederam

como Cláudio, somando 1 unidade, ou seja, usaram a categoria “letra como valor”.

Na opinião de Küchemann (1981), isto ocorreu “presumidamente porque este era o

caminho mais simples de fazer a resposta aumentar”. Talvez a necessidade de dar

como resposta um valor numérico, tenha contribuído para que Cláudio optasse por

atribuir um valor para “g”.

Considerando o Item 9, somente Fernando respondeu corretamente “6 + 5n”.

Angélica e Tânia, respectivamente, responderam: “11àn” e “11n”, diferenciando-se

apenas em relação ao artigo “à” do enunciado, que foi considerado por Angélica,

como a parte literal do termo “6à”. Cláudio e Giovanna, por outro lado, deram como

resposta um valor numérico “11”, desconsiderando a letra e fazendo, neste

momento, uso da categoria “letra não utilizada”.

No Item 13, Collis (1975), citado por Küchemann, argumenta que apesar

deste item possuir somente uma variável “n”, e de estar bem definido como um

número (n lados), a dificuldade que os alunos possuem é a de operar com um valor

desconhecido. Muitos alunos da “secondary school”, segundo Collis, acharam esse

item extremamente difícil, inclusive os nossos alunos. Fernando e Cláudio não

responderam ao item. Tânia escreveu: “5n = n”, sem dar indicações de como

pensou. Angélica contou a quantidade de números “4” presentes na figura, como

sendo o número de lados e escreveu: “4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 40,

porque, se o perímetro é a soma dos lados, somo 10 lados de valor 4 cada um,

obtenho o resultado que é 40”. Assim, Angélica atribuiu um valor à quantidade de

lados (n = 10), usando a categoria “letra como valor”. Giovanna, por sua vez,

respondeu: “n + n + n + n = 4n”. Apesar da aluna ter respondido corretamente “4n”,

não é claro como Giovanna extraiu a relação n + n + n + n no problema.

89

Apresentamos as Tabelas 4.7, 4.8, 4.9 e 4.10 referentes aos Itens 4, 5, 9 e

13, respectivamente:


ALUNOS RESPOSTASAngélica “s = t = u = 10”Giovanna “s = t = u = 10”Tânia Não respondeuCláudio Não respondeuFernando “15 + 7,5 + 7,5 = 30”


ALUNO RESPOSTAS

Angélica “Depende os valores que se dá a cadaletra”

Giovanna Não respondeuTânia “e + f + g = 7f”Cláudio “e + f + g = 8”Fernando “3,5 + 3,5 + 3,5 = 10,5”


ALUNOS RESPOSTASAngélica “6 + 5n = 11àn”Giovanna e Cláudio “6 + 5n = “11”Tânia “6 + 5n = 11n”Cláudio “6 + 5n = 11”Fernando “6 + 5n”


ALUNOS RESPOSTASAngélica “4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 40”Giovanna “n + n + n + n= 4n”Tânia “5n = n”Fernando e Cláudio Não responderam

90

Novamente identificamos uma inclinação por parte dos alunos em dar

respostas numéricas ou com um único termo. Verificamos que dois procedimentos

estavam se repetindo para que a resposta fosse um valor numérico: em alguns itens,

os alunos desconsideravam as letras, operando apenas com os coeficientes

numéricos; em outros, eles atribuíam valores numéricos para as letras. Estes fatos

remetem-nos a pensar que os alunos tinham dificuldade em operar com o

desconhecido, ou seja, em usar a categoria “letra como incógnita específica”. Em

outras situações, os alunos operavam com todos termos envolvidos, de forma que

as respostas tivessem um único termo. Neste caso, era comum que os alunos

somassem ou subtraíssem os coeficientes numéricos e multiplicassem as partes

literais das expressões.


Os itens deste grupo envolvem as três últimas categorias descritas por

Küchemann (1981): “letra como uma incógnita específica”, “letra como um número

generalizado” e “letra como variável”. Nossos alunos tiveram dificuldade em lidar

com essas categorias, acertando apenas um item ou errando todos. O Quadro 4.4

apresenta os itens de Nível 4.


es

pa

alu

6) Multiplique m + 3 por 5 8) Simplifique: (e – f) + f =_____

10) Qual expressão algébrica é maior, 2n ou n + 2. Justifique.11) H + I + J = H + K + JSempre ( ) Nunca ( ) Às vezes ( )

Quando _________

O Item 6, requer no mínimo que a letra seja interpretada como um “número

pecífico desconhecido”. Küchemann argumenta que o baixo índice de acertos

ra este item (17%, na Inglaterra) talvez decorra da falta dos parênteses. Nossos

nos também não tiveram sucesso neste item, apenas Angélica o respondeu

91

corretamente: “5m + 15”; Tânia, Cláudio e Giovanna deram como resposta um valor

numérico. Tânia e Cláudio usaram a categoria “letra como valor”, atribuindo valor

para “m" (“m = 1”), resultando em “4 . 5 = 20”. Giovanna, por sua vez, desconsiderou

a letra e respondeu: “3 x 5 = 15”, usando assim, a categoria ”letra não utilizada”; e

por fim, Fernando escreveu: “3 . 5 . m = 15m”, desconsiderando a operação de

adição.

Em contraste ao Item 6, em que a dificuldade foi associada à ausência de

parênteses, Küchemann considera que a presença dos parênteses contribuiu para a

complexidade do Item 8. Nenhum de nossos alunos acertou este item. Fernando,

Cláudio e Giovanna não responderam. Tânia escreveu: “e – f”, ignorando a parte da

expressão fora dos parênteses; já Angélica, respondeu: “Temos dois “f” e um “e”

calculando e – f2”. A aluna trocou a operação de adição pela multiplicação

(multiplicando apenas os dois elementos iguais). Acreditamos que os parênteses

possam ter influenciado na decisão de Angélica em trocar a operação.

Em relação ao Item 10, pretendíamos que os alunos reconhecessem que o

valor relativo às duas expressões “2n e n + 2”, dependia do valor de “n”, isto é, “letra

como variável”. Todos os alunos responderam “n + 2”. Angélica não justificou;

Giovanna escreveu: “O 2n é menor que n + 2 por que nós somamos n com o 2”.

Talvez a aluna estivesse pensando no primeiro termo, quando n = 1. Fernando

respondeu: “n + 2 porque 2n já está representando um termo, o n + 2 representa

dois termos”; ele concluiu que a maior expressão seria aquela com o maior número

de termos. Cláudio justificou: “maior n + 2 porque n = 1 + 2 = 3”; ele considerou

somente o primeiro termo, atribuindo o valor 1 para “n”, como uso da categoria “letra

como valor”. Tânia respondeu: “n + 2, porque o n corresponde a 1, portanto n + 2 =

3n”; talvez ela estivesse considerando o valor “1” como sendo o coeficiente de “n” e

não o valor de “n” como parecia ter escrito. Desta forma a aluna fez uso da categoria

“letra como objeto”.

Destacaremos, ainda neste item, a forma de questionamento aos alunos

(“ Qual expressão é maior...”); talvez o uso do pronome demonstrativo “Qual”, possa

ter influenciado os alunos a pensarem que teria uma única resposta. Constatamos

no estudo realizado por Küchemann, que a maioria de seus alunos também

92

escolheu uma das duas expressões. Diferentemente dos alunos s.a.v., setenta e um

por cento dos alunos ingleses responderam “2n” justificando: “Porque é

multiplicação”. Diante disto, entendemos que eles perceberam que em relação às

leis (“2n” e “n + 2”), “2n”, formada pela operação de multiplicação, cresce mais

rapidamente em comparação com a lei “n + 2”. Segundo o autor, poucos alunos

substituíram valores específicos em “n”, e havia pouca evidência de que tivessem

usado alguma forma de tentativa e erro.

Na opinião de Küchemann, o Item 11, “H + I + J = H + K + J”, demonstra

dificuldade já que os alunos não percebem que a letra é usada como número

generalizado, capaz de levar a mais de um valor. Os alunos ainda pensam em

resolvê-lo usando a categoria “letra como uma incógnita específica”. Fernando e

Tânia estavam no caminho certo. Fernando respondeu: “Às vezes. Só quando o

exercício diz que eles são iguais”. Pensamos que o aluno estava se referindo as

letras “K” e “I”. Tânia respondeu: “Às vezes, pois o resultado será o mesmo, mas a

letra K está no lugar da letra I”. A aluna queria dizer que a igualdade aconteceria se

“K” estivesse no lugar de “I”, ou seja, se ambos os membros da equação fossem

iguais. Angélica, inicialmente respondeu: “nunca”; depois, retomou o item,

respondendo: “Às vezes. Porque depende dos valores”. Talvez ela estivesse se

referindo a “K” e “I”. Cláudio, por outro lado, escreveu: “Nunca, porque não há

números na expressão”. Para o aluno, as letras dificultam a percepção de que elas

representam números que variam e que em algum momento poderiam assumir o

mesmo valor. Giovanna justifica: “Nunca, porque não tem como fazer essa

expressão”. Pela forma como a aluna se expressou, ela pretendia resolver o item

como uma equação. As Tabelas 4.11, 4.12, 4.13 e 4.14 apresentam as respostas

referentes aos Itens 6, 8, 10, e 11, respectivamente:


ALUNOS RESPOSTASAngélica “5m + 15”Giovanna “3 x 5 = 15”Tânia “4 . 5 = 20”Cláudio “4 . 5 = 20”Fernando “3.5.m = 15m”

93


ALUNOS RESPOSTASAngélica “e – f2”Tânia “e – f”Fernando, Cláudio e Giovanna Não responderam


ALUNOS RESPOSTAAngélica, Tânia, Giovanna, Cláudio e Fernando “n + 2”


ALUNOS RESPOSTAS JUSTIFICATIVAAngélica “Porque depende dos valores”.

Tânia“Pois o resultado será o mesmo,mas a letra K está no lugar da letraI”.

Fernando

“Às vezes”

“Só quando o exercício diz queeles são iguais”.

Cláudio “Porque não há números naexpressão”.

Giovanna“Nunca”

“Porque não tem como fazer estaexpressão”.

No Item 6, repete-se a necessidade dos alunos darem como resposta um

valor numérico ou um único termo. Comparando os Itens 6 e 8, notamos que no

primeiro, a ausência dos parênteses pode ter dificultado sua resolução, visto que é

usual, os livros apresentarem itens envolvendo adição e multiplicação de polinômios

com os parênteses, principalmente quando é introduzida a propriedade distributiva,

por exemplo: (m + 3) 5; por outro lado, a presença destes, no Item 8, em que as

operações envolvidas eram apenas as de adição e de subtração, dificultou sua

resolução.

94

4.6 ANÁLISE DO ITEM 17

No “piloto” da Atividade de Sondagem de nosso estudo, direcionada aos

alunos videntes, observamos uma relação entre as respostas dos subitens (a, b, c,

d) deste item e os níveis de Küchemann. Alunos que costumavam acertar apenas

itens de Nível 1, também acertaram o Item 17b; os alunos de Nível 2, geralmente

acertaram o Item 17a; e algum sucesso nos itens de Nível 3 foi associado com os

acertos dos Itens 17c e 17d (ver Anexo C). Desta forma, decidimos incluir o Item 17

nas considerações dos níveis de Küchemann.

QUADRO 4.5 - ITEM 17

Somente Angélica respondeu e justificou o Item 17a corretamente: “falso,

porque n + n = 2n”; os demais alunos responderam “verdadeiro”, sem o justificarem

(de fato não foi pedido justificativa às afirmações corretas). No Item 17b, Angélica,

Giovanna, Tânia e Cláudio responderam corretamente “verdadeiro”, com exceção de

Fernando que respondeu “falso”, justificando: “porque não se pode juntar as letras”.

Já o Item 17c, apenas Angélica respondeu corretamente, “F. Porque 2(a + b) = 2a +

2b”. Os demais alunos responderam “verdadeiro”. No Item 17d, Fernando escreveu:

“F. Porque não pode juntar as letras”; Angélica e Cláudio responderam

incorretamente como “verdadeiro”. Giovanna, por sua vez, respondeu “falso”, mas

justificou-o de forma incorreta: “porque 3a + 5b = 8c”; e, finalmente, Tânia respondeu

“falso”, porém não o justificou.

Os alunos persistiram no uso da mesma estratégia de resolução feita e ora

apresentada, ou seja, somaram ou subtraíram os coeficientes numéricos e

17) Coloque verdadeiro (V) ou falso (F) , caso seja falso, justifique ao lado:

Nível 2 a) n + n = n2 ( ) ____________________Nível 1 b) 3n.4p =12np ( ) ____________________Nível 3 c) 2( a + b ) = 2a + b ( ) ____________________Nível 3 d) 3a + 5b = 8ab ( ) ____________________

95

multiplicaram as partes literais, fazendo com que as respostas tivessem um único

termo. Fernando, em contraposição, mesmo em itens que envolviam a operação de

multiplicação, justificava que não poderia juntar as letras. No Item 6 , “Multiplique m

+ 3 por 5”, Küchemann justificou o baixo índice de acerto, 17%, devido à ausência

dos parênteses; entretanto, no Item 17c, “2(a + b) = 2a + b”, em que os parênteses

se faziam presentes, nossos alunos não tiveram sucesso em suas respostas,

contrariando, pois, o argumento de Küchemann.

4.7 ANÁLISE DOS ITENS 14, 15 E 16

Ciente da relevância da linguagem oral no ensino-aprendizagem para alunos

s.a.v., pretendíamos com estes itens, verificar se os mesmos faziam a passagem da

linguagem natural para a linguagem matemática (processo utilizado freqüentemente

pelos alunos durante as entrevistas descritas no Capítulo 5).

ite

QUADRO 4.6 - ITENS 14, 15 E 16

14) Escreva a expressão algébrica correspondente ao triplo de um número, mais um.

15) Escreva a expressão algébrica correspondente a um número par.

16) Escreva a expressão algébrica correspondente ao dobro de um número p, somado

com 7.

A Tabela 4.15 organiza as diferentes respostas que emergiram para estes

ns de forma a favorecer a identificação dos erros e acertos dos alunos.

96

TABELA 4.15 - RESPOSTAS DOS ITENS 14, 15 E 16

Nos itens então analisados, constatamos que, apesar da maioria dos alunos

identificar corretamente “o dobro de um número” como “2x”, “2c” e “o triplo de um

número” como “3x”, “3b”, “3a”, Tânia e Angélica, por exemplo, apresentaram

dificuldade em interpretar e escrever matematicamente as expressões em linguagem

natural. Giovanna, no Item 16, escreveu a expressão algébrica corretamente, porém,

cometeu um erro na simplificação, (o mesmo cometido em itens anteriores), gerando

uma resposta com um único termo. Tânia, além de escrever a expressão

incorretamente, simplificou-a e operou com todos os termos da expressão, obtendo,

assim como Giovanna, uma resposta com um único termo. Os demais alunos

responderam os itens com certa facilidade.

4.8 ANÁLISE DO DESENVOLVIMENTO DE CADA ALUNO NAATIVIDADE DE SONDAGEM

Iniciaremos esta seção apresentando a Tabela 4.16 onde consta um resumo

das respostas dos alunos (certas, erradas e em branco) e a Tabela 4.17, que

seleciona apenas as respostas certas de cada item. Em continuidade, faremos uma

síntese do desempenho de cada aluno, definindo o nível em que cada um se

encontra.

ALUNOS ITEM 14 ITEM 15 ITEM 16

Angélica “3a + 3b + 3x + 1” “ 2m x 6m + 2a” “11n + 6x – 8y”

Giovanna “3x + 1” “2x” “p + p + 7 = 7p”

Tânia “3b, 9a +1” “2c = 4 c = 6c “4p + 4p + 7 = 15p”

Cláudio “3x + 1” “2x + 2” “2p + 7”

Fernando “3x + 1” “2 . x = 4” “2p +7”

TABE

LA 4

.16

- RES

ULT

ADO

S D

A AT

IVID

ADE

DE

SON

DAG

EM -

(al

unos

s.a

.v.)

A NG

ÉLIC

AG

IOVA

NN

AT Â

NIA

CLÁ

UD

IOF E

RN

AND

OQ

UES

TÕES

NÍV

ELC

EBR

CE

BRC

EBR

CE

BRC

EBR

T OTA

L P/

ITEM

1)

b +

3 =

91

XX

XX

X5

2) d

+ e

+ 4

=1

XX

XX

X5

12a)

1X

XX

XX

417

b) 3

n.4p

=12n

p1

XX

XX

X4

3) m

=4n

+ 1

/ n=5

2X

XX

X X

17)

2d

+ 5e

+ d

2X

XX

XX

012

b)

2X

XX

X X

417

a) n

+ n

= n

22

XX

XX

X1

4) s

+ t

+ u

= 30

3X

XX

XX

15)

e +

f +

g =

3X

XX

XX

09)

5n

+ 6

3X

XX

XX

113

)3

XX

XX

X1

17c)

2(a

+b)=

2a+b

3X

XX

XX

217

d) 3

a+5b

=8ab

3X

XX

XX

16)

Mul

t.m+3

p/ 5

4X

XX

XX

18)

(e +

f) +

f4

XX

XX

X0

10) >

2n

ou n

+ 2

4X

XX

XX

011

) H +

I +

J =.

..4

XX

XX

X2

T OTA

L09

090

0609

0306

1101

0312

0310

0503

TOTA

L DE

ACE

RTO

S PO

R N

ÍVEI

S4N

1, 2

N2, 1

N3, 2

N44N

1, 1

N2, 1

N34N

1, 1

N2, 1

N43N

13N

1, 2

N2, 4

N3, 1

N4

(C)

CER

TO

(E

) ER

RAD

O

(B

R)

BR

ANC

O

. ão p

edia

par

a ju

stifi

car)

..N

2 =

Níve

l 2

N4

= N

ível

3

sim

plifi

caçã

o.N

1 =

Níve

l 1

N3

= N

ível

3
As
alu

nas

escr

ever

am a

s ex

pres

sões

cor

reta

men

te, p

orém

err

aram

na

As a

luna

s ac

erta

ram

as

resp

osta

s, p

orém

just

ifica

ram

inco

rret

amen

teA

alun

a ac

erto

u a

resp

osta

, por

ém ju

stifi

cou

inco

rret

amen

te (o

item

nO

alu

no e

scre

veu

aa e

xpre

ssõe

s co

rret

amen

te, p

orém

não

sim

plifi

cou

98

TABELA 4.17 - ACERTOS DA ATIVIDADE DE SONDAGEM - (Itens 1 a 13 e Item 17)

NOME NÍVEL 14 ITENS

NÍVEL 24 ITENS

NÍVEL 36 ITENS

NÍVEL 44 ITENS

Angélica 04 02 01 02Giovanna 04 01 01 00Tânia 04 01 00 01Cláudio 03 00 00 00Fernando 03 02 04 01

4.8.1 Angélica

Angélica acertou todos os itens de Nível 1; dois dos quatro itens de Nível 2;

um dos seis itens de Nível 3; e dois dos quatro itens de Nível 4. Diante destes

resultados, decidimos classificá-la entre os Níveis 2 e 3. Em alguns itens, Angélica,

desnecessariamente, atribuiu valores às letras, como por exemplo, no Item 2 (“Se d

+ e = 50, d + e + 4 = __?”), onde “d” e “e” tiveram valores específicos (d = 20 e e =

30). Em outros, Angélica não foi consistente em relação à aceitação da “falta de

fechamento”, por exemplo: no Item 6, “multiplique m + 3 por 5”, a aluna parecia

aceitá-la, respondeu “5m + 15”; entretanto no Item 12b, “Simplifique 2a + 12 + 8”,

parecia não aceitá-la e respondeu: “22a”. O procedimento da aluna quanto a

resolução dos Itens 7 e 17a, por exemplo, também não foi consistente. No Item 7,

“2d + 5e + d”, a aluna somou os coeficientes numéricos e multiplicou as partes

literais de cada termo, obtendo como resposta “8d2e”. Seguindo esta mesma linha,

esperávamos que no Item 17a, “n + n = n2”, Angélica respondesse “verdadeiro”, o

que não ocorreu. Ela respondeu e justificou corretamente: “Falso, porque n + n =

2n”. Nos itens referentes à passagem da linguagem natural para a linguagem

matemática, Angélica não acertou nenhum deles, mostrando uma certa dificuldade

neste procedimento. Em contraposição, nos itens que envolviam a multiplicação de

um monômio, por um polinômio, como era o caso dos Itens 6 e 1 “Multiplique m + 3

por 5” e “2 (a + b) = 2a + b”, respectivamente, suas respostas foram corretas.

4.8.2 Giovanna

Giovanna acertou todos os itens de Nível 1; somente um dos quatro itens de

Nível 2; um dos seis itens de Nível 3; e nenhum item de Nível 4. Mediante sua

performance, classificamos a aluna no Nível 1. Giovanna, assim como Angélica

atribuiu, desnecessariamente, valores às letras, o que pode ser observado, por

99

exemplo, no Item 4 “O que você pode dizer sobre s, se s = t + u e s + t + u = 30”,

sendo que a aluna atribuiu o mesmo valor para “s”, “t “e “u” (s = t = u = 10). Os Itens

que envolviam simplificações de expressões cujos termos não eram semelhantes, a

aluna não os respondeu; contudo, as expressões formadas por termos semelhantes,

foram respondidas corretamente. Houve itens que Giovanna desconsiderou a letra,

operando apenas com os valores numéricos. Isto aconteceu nos Itens 6 e 9. No item

6 “multiplique m + 3 por 5” , Giovanna respondeu “15”, e no Item 9 “Adicione 6 à 5n”,

a aluna escreveu “11”, confirmando, assim, a resistência em aceitar a “falta do

fechamento”. Quanto aos itens que envolviam a passagem da linguagem natural

para a linguagem matemática, Giovanna respondeu corretamente dois, dos três itens

apresentados.

4.8.3 Tânia:

Tânia acertou todos os itens de Nível 1; apenas um dos quatro itens de Nível

2; nenhum de Nível 3; e um dos quatro itens de Nível 4. Decidimos, então, classificá-

la como pertencendo ao Nível 1. Tânia também tinha dificuldade em aceitar os itens

que envolviam a “falta de fechamento” (atribuía um valor qualquer para a letra),

obtendo respostas com um único termo, como por exemplo, o Item 6, “Multiplique m

+ 3 por 5”, em que a aluna atribuiu um valor para ”m” (m = 1), obtendo como

resposta um valor numérico “20”; e o Item 9, onde Tânia operou com termos não

semelhantes, “Some 6 à 5n”, obtendo uma resposta com um único termo “11n”.

Quanto à simplificação de expressões, no Item 12b, que solicitava o perímetro do

pentágono, Tânia escreveu a expressão corretamente, porém, ao simplificar,

desconsiderou a letra (“2a + 12 + 8 = 2 + 12 + 8 = 22”), obtendo como resposta um

valor numérico. Nos itens referentes à passagem da linguagem natural para a

linguagem matemática, um fato chamou-nos a atenção.Tânia escreveu as sentenças

em forma de equação.

4.8.4 Cláudio:

Cláudio acertou apenas três itens correspondentes ao Nível 1, motivo pelo

qual classificamos o aluno como pertencendo ao Nível 1. Cláudio não aceitava a

“falta de fechamento”, como por exemplo, no Item 5, “Se e + f = 7, então e + f + g =

__?”, onde o aluno atribuiu um valor numérico à letra “g” (g = 1), obtendo como

100

resposta um valor numérico. Considerando os itens que envolviam simplificação,

como o Item 7, “Simplifique 2d + 5e + d”, além de operar com termos não

semelhantes, ele somou apenas os coeficientes numéricos explícitos, gerando uma

resposta com um único termo “7d”. Nos itens referentes à expressão do perímetro

das figuras, o aluno parecia querer uma expressão que se relacionasse com os

ângulos da figura; no Item 12a, especificamente, que solicitava a expressão do

perímetro de um triângulo, Cláudio respondeu “a + b + c = 90 graus”. Itens referentes

à passagem da linguagem natural para a linguagem matemática, o aluno resolveu

dois dos três itens com sucesso.

4.8.5 Fernando:

Fernando acertou três dos quatro Itens de Nível 1; dois dos quatro Itens de

Nível 2; quatro dos seis itens de Nível 3; e um dos quatro itens de Nível 4. Perante

estes resultados, achamos viável classificá-lo como pertencendo ao Nível 3. Alguns

itens em que as expressões algébricas deveriam ser reduzidas, como por exemplo,

nos itens que envolviam o perímetro das figuras, Fernando não as simplificou,

respondendo “m + m + m”, para a expressão do perímetro do triângulo, e “a + a + 6

+ 6 + 8”, para a expressão do perímetro do pentágono. O Item 7 que solicitava a

simplificação de uma expressão “simplifique 2d + e + 5”, Fernando não o respondeu.

Para itens que envolviam adição ou multiplicação, como por exemplo, nos Itens 17b

e 17d em que era solicitado aos alunos para que verificassem a veracidade das

expressões: “3n.4p = 12np ( )” e “3a + 5b = 8ab ( )”, Fernando respondeu

“falso” para ambos os itens e deu a mesma justificativa: “porque não se pode juntar

as letras” . Talvez o fato de o aluno ter pensado que não poderia “juntar” as letras,

mesmo na operação de multiplicação, seja o motivo pelo qual Fernando evitou

simplificar. Nestes termos, verificamos que não havia uma preocupação por parte do

aluno em dar como resposta um único temo; em outras palavras, parece que

Fernando aceitou a “falta de fechamento”. O Item 3 “O que você pode dizer sobre m,

se m = 4n + 1 e n = 5?”, onde o valor numérico da expressão era obtido com a

substituição do valor numérico dado, na variável n, e o Item 4 “O que você pode

dizer sobre s, se s = t + u e s + t + u = 30?”, onde a condição necessária para que

ele fosse resolvido, era que o aluno considerasse os dados da primeira expressão,

apenas Fernando os resolveu corretamente. Quanto aos itens que envolviam a

101

passagem da linguagem natural para a linguagem matemática, o aluno acertou dois

dos três itens, mostrando uma certa familiaridade com este procedimento.

4.9 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Observando os resultados da Atividade de Sondagem, constatamos que os

erros dos alunos s.a.v. são similares aos dos alunos videntes: tanto aqueles que

participaram dos estudos de Küchemann e Booth, quanto os nossos alunos que

participaram da primeira Atividade de Sondagem (vide Anexo C). Considerando as

seis categorias para a interpretação das letras pelos alunos, verificamos que, em

suas resoluções, os mesmos utilizaram, na maioria das vezes, “letra como valor”,

“letra não utilizada” e “letra como objeto”. Os itens relacionados com as três últimas

categorias “letra como uma incógnita específica”, “letra como um número

generalizado” e “letra como variável”, não foram resolvidos com sucesso pelos

nossos alunos. Nestes termos, os resultados ora apresentados mostram que os

alunos s.a.v., mesmo cursando o Ensino Médio, apresentam uma defasagem no

entendimento de procedimentos algébricos. Desta forma, no Capítulo 5,

exploraremos em que medida o trabalho com padrões figurativos, conforme

sugestões tanto dos teóricos quanto dos documentos oficiais do currículo brasileiro,

poderia favorecer a construção de interpretações das letras que inclui “letra como

uma incógnita específica”, “letra como um número generalizado” e “letra como

variável”.

102

CAPÍTULO 5Análise das tarefas

Neste capítulo, apresentaremos nossa análise das estratégias utilizadas

pelos alunos no transcorrer das tarefas, interpretando-as à luz dos referenciais

teóricos expostos nos capítulos 1 e 2.

5.1 ORGANIZAÇÃO DA ANÁLISE DAS TAREFAS

Optamos por iniciar a análise das seis primeiras tarefas, pelo fato de que

estas apresentam uma mesma estrutura, ou seja, itens que envolvem a

representação de termos específicos, a relação entre a quantidade de ímãs e a

posição da figura (dos termos) e a construção de expressões numéricas, algébricas

e equivalentes. A sétima tarefa será analisada separadamente, por duas razões:

primeiramente, por se tratar de um item da Atividade de Sondagem; e em segundo,

por possuir uma estrutura diferente das tarefas anteriores, requerendo que os alunos

caminhem no sentido oposto; em outras palavras, a partir das leis (2n e n + 2), os

alunos construiriam as seqüências.

A análise das produções dos alunos no transcorrer das seis primeiras tarefas

será organizada, em geral, em duas partes:

• Representação dos termos específicos e construção de expressões em

linguagem natural;

• Construção de expressões numéricas e algébricas1.

5.1.1 Representação dos termos específicos e a construção deexpressões em linguagem natural

Este item apresentará as estratégias utilizadas nas representações dos

termos específicos e a identificação de padrões de regularidades das seqüências.

1 As expressões numéricas, algébricas e equivalentes não fazem parte da primeira tarefa.

103

Os diálogos que emergiram neste processo nos mostram os momentos em que os

alunos fazem uso da linguagem natural para expressar suas construções e relações.

Estaremos subdividindo-o em duas seções:

a) Relações entre termos:

- relação de recorrência. Os alunos encontram um padrão de regularidade

entre termos (esta relação apareceu com freqüência na maioria das

tarefas);

- relação multiplicativa. Os alunos criam uma estratégia, usando um

processo multiplicativo que permite encontrar a quantidade de ímãs para

termos distantes; em outras palavras, o aluno, a partir de um termo

conhecido, multiplica ou soma este, por valores numéricos que o convém,

até chegar ao termo, ou próximo ao termo requisitado (esta relação

esteve presente nas duas primeiras tarefas).

b) Regra para o termo geral:

- uma expressão que permite encontrar uma relação entre a variável

independente (a posição do termo) e a variável dependente (número de

ímãs).

5.1.2 Construção de expressões numéricas e algébricas

Neste item, estaremos focando o caminho percorrido pelos alunos na

tentativa de chegarem à expressão algébrica, considerando as diferentes maneiras

que os mesmos expressam e validam suas generalizações nos diferentes momentos

das atividades:

a) Na construção de expressões numéricas:

- a partir da organização dos ímãs. Os alunos escrevem as expressões

numéricas levando em conta a forma de organização dos ímãs;

- a partir do total de ímãs. Os alunos escrevem as expressões numéricas

relacionando-as com o total de ímãs.

104

b) Na construção de expressões algébricas, distinguimos duas categorias

inspiradas no trabalho de Nakamura (2003):

- a partir de variáveis diretamente substituíveis: quando os valores das

variáveis de cada expressão numérica (que descrevem os sucessivos

termos da seqüência) indicam explicitamente as posições das figuras

na seqüência, sendo assim, substituídas diretamente;

- a partir de variáveis indiretamente substituíveis: quando os valores das

variáveis de cada expressão numérica indicam implicitamente as

posições das figuras na seqüência, mas podem ser substituídas por

meio de relações tais como: n + 1, n – 1, n + 2 etc., onde n indica a

posição da figura na seqüência.

Durante esta análise, consideraremos os procedimentos de generalização à

luz de Mason (1996), os erros e interpretações das letras em relação à perspectiva

de Küchemann (1981), as justificativas desses erros nos termos de Booth (1988) e

destacaremos os aspectos relacionados aos processos de mediação e

internalização em relação às perspectivas vygotskyanas, citados por Oliveira (2003).

5.2 ANÁLISE DA 1ª TAREFA

Pretendíamos, por ser a primeira tarefa, que os alunos se familiarizassem

com o material e as peculiaridades da seqüência, como os termos e o padrão de

regularidade. Não esperávamos, neste momento, que os alunos chegassem à lei de

formação da seqüência, embora os itens possibilitassem que os mesmos

pensassem a respeito.

FIGURA 5.1 - 1ª TAREFA

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º

105

5.2.1 Representação dos termos específicos e a construção deexpressões em linguagem natural

Apesar de não solicitarmos a expressão algébrica nesta primeira tarefa, os

alunos tiveram oportunidade de formular, em linguagem natural, suas primeiras

tentativas de generalização, envolvendo uma relação entre termos.

5.2.1.1 Relação entre termos

Constatamos duas estratégias que emergiram no transcorrer da atividade:

relação de recorrência e a relação multiplicativa.

- Relação de recorrência

Todos os alunos, durante a representação dos termos na prancha,

procuraram identificar uma relação de recorrência, usando a palavra “seqüência”

para descreverem o padrão de regularidade, “triângulo, quadrado e círculo”. Cláudio

por exemplo, expressou oralmente: “Eu continuei a mesma seqüência dos termos:

triângulo, quadrado e círculo”; Tânia, por sua vez, respondeu: “Segui a seqüência

das figuras e logo após, dei continuidade do sétimo até o décimo quinto termo”;

Giovanna comentou: “Ah! Eu olhei a seqüência daqui e eu fiz aqui e continuei a

seqüência”; e, finalmente, Fernando e Angélica escreveram: “Estão construídas três

seqüências e faltam mais duas” (vide Figura 5.2).

FIGURA 5.2 - CONSTRUÇÃO DOS TERMOS: FERNANDO E ANGÉLICA

106

O item que solicitava as figuras ocupadas na 12ª, 15ª, 18ª e 21ª posições,

tinha como objetivo que os alunos percebessem que as posições múltiplas de três

eram ocupadas pelo círculo. Neste item, todos os alunos viram que os triângulos

apareciam a cada três termos e expressavam esta relação em linguagem natural:

“de três em três”, “da tabuada do três”, “entre um círculo e outro, a gente tem o

triângulo e o quadrado”; e a maioria também notou que isto se repetia em relação

aos quadrados (com exceção de Tânia, que pelo fato do primeiro quadrado estar

representado na segunda posição, sugeriu inicialmente que as posições dos

quadrados se repetiam “de dois em dois”). O uso da palavra “seqüência” e as

relações expressas em linguagem natural indicaram que os alunos conseguiram, a

partir de suas “articulações” e “manipulações” com os ímãs, encontrar regularidades

e construir generalizações (fase descrita por Mason (1996a) como “constituindo um

sentido para”). Neste processo observamos as primeiras evidências da Espiral de

Mason. Ainda neste item, vale a pena destacar a forma de como Tânia chegou a

conclusão de que o 18º e 21º termos eram representados pelo círculo: “Eu fui

imaginando: o 16º triângulo, 17º quadrado, 18º círculo, 19º triângulo, 20º quadrado e

21º círculo”. Ela não recorreu aos imãs da seqüência já construída (as marcas

externas) mas, contando em voz baixa, continuou mentalmente a seqüência. A aluna

percebeu que há uma seqüência, uma regularidade, um padrão que se repetia e que

podia ser identificado e, então, internalizado.

O fato dos alunos “lembrarem” que os valores numéricos 3, 6, 9, 12, 15,...,

30 pertencem a “tabuada do três” e a forma de como Tânia chegou a conclusão de

que o 18º e 21º termos eram círculos, remetem-nos a pensar que “lembrar” e

“imaginar” são aspectos relacionados aos processos de mediação e intenalização e

que, segundo Oliveira (2003), correspondem a signos internos, isto é,

representações mentais que substituem os objetos do mundo real e agem como

mediadores na relação do homem com o mundo.

Quando Tânia escreveu sua resposta no sistema Braille, precisou recorrer à

seqüência construída para confirmá-la. A aluna estava utilizando conhecimentos

internalizados (como por exemplo, o sistema de contagem e a tabuada do três), mas

ao mesmo tempo, a prancha e os ímãs ainda eram suportes. Nestes termos,

entendemos que Tânia não internalizou completamente a seqüência, estando em

processo de transição.

107

- Relação Multiplicativa

No transcorrer desta tarefa, questionamos sobre quais figuras pertenciam às

posições 30ª, 42ª, 60ª, 88ª (posições mais distantes), com o intuito de que, pela

inviabilidade da construção dos termos, os alunos criassem estratégias que

possibilitassem conhecer a figura em uma posição qualquer (formulando uma regra

para o termo geral). Diante disto, emergiu uma outra estratégia, utilizada por

Fernando, envolvendo o uso de relações multiplicativas. Fernando começou com um

múltiplo de três familiar, depois aumentou, usando outros valores múltiplos de três

(30, 60, 120, 180, 600...), ou multiplicava-o por múltiplos de dez (por exemplo, 6 x

100 = 600), até chegar no termo mais perto ao solicitado, termo este, representado

por um círculo; depois, ajustou sua contagem para identificar se o termo era um

triângulo ou quadrado. Nestas condições, podemos dizer que Fernando, em suas

resoluções, foi além das “manipulações” dos ímãs; ele manipulou relações

multiplicativas e as articulou para casos específicos. Esta estratégia permitiu que ele

calculasse qualquer termo dado. Quando Fernando usou a relação multiplicativa

para chegar aos termos mais distantes, entendemos que a relação usada pelo aluno

foi uma ação internalizada. As transcrições a seguir, por exemplo, ilustram como

Fernando chegou no 231º e no 653º termos

Em se tratando do 231º termo:

Faça o que eu te falei Angélica, pega o termo mais alto, tipo o sessenta, cento

e vinte, cento e oitenta; você chega no resultado mais rápido.

...Você tem que parar no cento e oitenta, porque cento e oitenta, mais sessenta

dá duzentos e quarenta, e já passa do termo; a não ser que você vai até o

duzentos e quarenta e depois volta contando.

...Aí comecei a contar - cento e oitenta, mais trinta é igual a duzentos e dez e

daí para frente eu contei de três em três (213, 216, 219, 222, 225, 228, 231) ai

eu cheguei no resultado que é um círculo.

(Fernando expressou oralmente).

Em se tratando do 653º termo:

Eu acrescentei um zero que é seiscentos, eu sabia que seiscentos era círculo,

aí eu somei com mais trinta, ficou seiscentos e trinta e eu sabia que também

era círculo e depois do seiscentos e trinta para frente eu fui fazendo de três em

três (633, 636, 639, 42, 45, 48, 51) aí deu seiscentos e cinqüenta e um que é

108

círculo. Seiscentos e cinqüenta e dois era o triângulo e seiscentos e cinqüenta

e três o quadrado.


Os exemplos nos mostraram que Fernando combinou uma relação

multiplicativa com uma relação de recorrência, ou seja, apesar dele ter encontrado

uma estratégia que permitisse encontrar a quantidade de ímãs para termos distantes,

ainda estava utilizando uma relação entre termos.

É interessante destacar que, no caso das posições ocupadas pelos círculos,

os alunos trabalharam com números familiares, da “tabuada do três”; entretanto,

lembramos que, apesar desta identificação, os alunos não descreveram estes

valores como sendo “múltiplos de três” e, portanto, a generalização dos termos em

uma forma equivalente de f(n) = 3n, também não foi articulada.


Optamos na segunda tarefa, por uma seqüência cuja lei geral é a função de

f(n) = 4n e por ímãs de uma única forma geométrica. Apresentamos os três primeiros

termos e solicitamos que os alunos construíssem o quarto.

5.3.1 Representação dlinguagem natural

A construção d

exceção de Cláudio q


º
1º 2º 3
os termos específicos e construção de expressões em

o 4º termo foi cumprida com facilidade pelos alunos, com

ue, no início, apresentou dificuldade neste procedimento.

109

Durante a representação dos termos e a percepção dos padrões, emergiram os dois

tipos de regras: relação entre termos e relação para um termo geral. Vale a pena

lembrar que as expressões em linguagem natural estiveram presentes em toda a

atividade, mas com maior freqüência, durante a justificativa da representação dos

termos.


A natureza da função envolvida (f(n) = 4n) nesta tarefa, provocou

generalizações baseadas em dois diferentes tipos de relações entre termos: a

relação de recorrência e a relação multiplicativa.


Cláudio, inicialmente, notou que de um termo para outro eram somados

quatro quadrados em relação ao total de ímãs do termo anterior. Nesta linha,

entendemos que, na construção do 4º termo, o aluno considerou apenas os quatros

quadrados que foram acrescentados (vide Figura 5.4).

Porque é sem

tinha mais qu

(Cláudio expr

No transco

observando o tota

O

1º

FIGURA 5.4 - 1ª CONSTRUÇÃO DE CLÁUDI

pre quatro quadradinhos. O primeiro tinha quatro, o segundo

atro.

essou oralmente)

rrer da atividade, Cláudio tentou reconstruir o 4º termo,

l de ímãs, mas não se preocupou em organizá-lo seguindo o

2º 3º 4º

110

padrão da seqüência. O aluno sabia que o 4º termo era constituído por dezesseis

ímãs; entretanto os organizou horizontalmente em duas fileiras (vide Figura 5.5).

Após questionarmos quanto à organização dos termos anteriores, Cláudio corrigiu

sua construção.

quatro e

recorrên

- Relaç

multiplic

quinto te

chegou

FIGURA 5.5 - 2ª CONSTRUÇÃO DE CLÁUDIO

1º 2º 3º 4º

Pensando no total de ímãs do décimo quinto termo, Cláudio contou de

m quatro, até chegar no termo solicitado, utilizando novamente a relação de

cia.

ão multiplicativa

Assim, como na primeira tarefa, novamente Fernando usou uma relação

ativa, já internalizada, para responder a quantidade de ímãs do décimo

rmo. Apresentaremos o trecho em que Fernando explica à Angélica como

à resposta correta (60 quadrados):

Dá para fazer de um jeito bem fácil! Você pega o quinto termo que é vinte, e aí

você faz cinco vezes três, é quinze; então, se o quinto termo é vinte, então vinte

vezes três é igual a sessenta. (vide Quadro 5.1).


111

Embora Fernando não tenha encontrado no início da tarefa uma regra para

um termo geral, a partir desta relação, o aluno respondia a qualquer termo solicitado,

mesmo os mais distantes, sem recorrer às marcas externas. Devemos ressaltar,

porém, que esta estratégia funciona apenas para uma seqüência cuja função seja do

tipo f(n) = an, mas não pode ser generalizada às funções do tipo f(n) = an + b.

5.3.1.2 Regra para um termo geral

Há indícios de que a trajetória inicial para regra geral emergiu para alguns

alunos na representação do 4º termo. Verificamos nas falas de Angélica, Giovanna,

Tânia e Fernando que, além dos alunos levarem em conta a organização dos ímãs

dos termos anteriores, parece que eles estavam atentos também à relação entre a

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

20 20 20

20 x 3 = 60

Número do termo

Quantidade de ímãs em cada

QUADRO 5.1 - ESTRATÉGIA DE FERNANDO

5º 20

15º 60

X 3X 3

112

quantidade de “colunas” (grupo de quatro ímãs na posição vertical2) e o número do

termo.O 3º termo já é formado por três “barrinhas” de quatro quadradinhos, então o

quarto, seria quatro “barrinhas” com quatro quadradinhos.

(Angélica expressou oralmente).

O primeiro termo tinha só uma “fileira”; o segundo duas; o terceiro três; e o

quarto quatro.

(Giovanna expressou oralmente)

Analisando os termos anteriores, podemos chegar à conclusão que como o 3º

termo tinha três “barrinhas”, o 4º termo teria que ter quatro “barrinhas”.

(Fernando escreveu).

Além da organização dos ímãs dos termos anteriores e a possível relação da

quantidade de “colunas” com o número do termo, Tânia considerou também o total

de ímãs em cada termo:

O primeiro termo tem quatro quadrados e uma coluna só; o segundo termo tem

duas colunas com oito quadrados no total; o terceiro tem três colunas com

doze; então, o quarto termo terá quatro colunas com 16 quadrados.

(Tânia expressou oralmente).

Para Giovanna, a regra para um termo geral tornou-se mais explícita a partir

do item que pedíamos o número de ímãs de alguns termos específicos, por exemplo:

O quinto termo tem vinte quadrados, porque quatro vezes cinco é igual a vinte.

O sexto termo tem vinte e quatro quadrados, porque quatro vezes seis é igual a

vinte e quatro. O sétimo termo tem vinte e oito quadrados, porque quatro vezes

sete é igual a vinte e oito. O décimo quinto termo tem sessenta quadrados,

porque quatro vezes quinze é igual a sessenta.

(Giovanna expressou oralmente).

Tratando-se de Angélica, Cláudio e Fernando, a regra para um termo geral

ficou evidente quando solicitamos a relação entre o número do termo e a quantidade

de ímãs em cada termo:

Angélica expressou em linguagem natural a regra para um termo geral.

2 Fileira, carreira, barrinha e coluna foram os termos usados pelos alunos para se referirem ao grupode quatro ímãs na posição vertical.

113

Que sempre o número do termo multiplicando por quatro dá sempre o número

de quadrados.


Identificamos na fala de Angélica, “o número do termo multiplicando por

quatro dá sempre o número de quadrados”, um dos aspectos citados por Booth

(1988) quanto ao “uso da notação e convenção”. Segundo a autora, a leitura

inadequada do símbolo de igualdade, de “é igual a” para “dá”, dificulta o

entendimento por parte dos alunos de que este símbolo indica uma relação de

equivalência.

O total de ímãs de cada termo (4, 8, 12, 16, 20...) permitiu a Cláudio

perceber que os valores pertenciam à “tabuada do quatro”.

Tipo quatro vezes um, quatro vezes dois, quatro vezes três, quatro vezes

quatro, é a tabuada...do quatro.

(Cláudio expressou oralmente).

Fernando, diferentemente de seus colegas, pensou a partir do total de

quadrados de um determinado termo, chegando à posição da figura (número do

termo em função do total de quadrados), 4y f(y) = , sendo y o total de ímãs e f(y), o

número do termo.

É sempre um quarto, um quarto de oito é dois; um quarto de doze é três.



Em continuidade ao processo de generalização, alguns itens da atividade

solicitaram a construção de expressões numéricas e algébricas.

5.3.2.1 Construção de expressões numéricas

Embora os alunos já tivessem pensado em uma regra geral quando

contavam a quantidade de ímãs em termos específicos, ao solicitarmos para

expressá-la numericamente, alguns não manipularam as posições dos termos nas

suas generalizações, sendo que outros aspectos ligados à organização dos ímãs

114

nos termos emergiram. Giovanna e Tânia, por exemplo, relacionaram a quantidade

de ímãs em cada termo, com o número de “fileiras” e “colunas”, respectivamente:

Quatro vezes o número de fileiras


Quatro vezes o número de colunas;


Cláudio, que no início não havia pensado em uma regra para a construção

dos termos, relacionou-os com a “tabuada do quatro”, como mencionado na seção

anterior; e Fernando, que relacionou o número do termo em função do total de

quadrados )4y (f(y) = , influenciado pela estratégia de Angélica, “Que sempre o

número do termo multiplicando por quatro, dá sempre o número de quadrados”,

modificou sua estratégia inicial para: “Uma vezes quatro é igual a quatro; duas vezes

quatro é igual a oito; três vezes quatro é igual a doze; quatro vezes quatro é igual a

dezesseis”. Em síntese, percebemos que todos os alunos chegaram nas expressões

numéricas “4 x 1, 4 x 2, 4 x 3...”, mas nem todos relacionaram-nas com o número do

termo. Alguns relacionaram com a quantidade de “colunas” ou “fileiras”, e outros

pensaram no total de ímãs, por exemplo, 4 = 4 x 1, 8 = 4 x 2, 12 = 4 x 3.

5.3.2.2 Construção de expressões algébricas

A estratégia usada para que os alunos passassem da expressão numérica

para a algébrica, foi questionar sobre os termos, desde os mais próximos até os

mais distantes, como por exemplo, o 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º, 15º, 100º, 1000º e,

finalmente, o “enésimo” termo. Todas as construções das expressões algébricas

partiram de variáveis diretamente substituíveis; em outras palavras, os alunos

substituíram diretamente as variáveis que indicavam as posições dos temos por uma

letra qualquer, chegando nas expressões algébricas “4 x n” ou “n x 4” ou “4 x x”. Por

último, validaram alguns termos conhecidos. É possível que durante a validação da

regra para um termo geral, alguns alunos, que ainda não tinham feito a relação entre

a organização dos ímãs e o número do termo, tenham percebido que a variável “n”

115

ou “x”, representava a posição da figura e não o número de colunas dos termos.

Fazendo uma conexão com os aspectos vygotskyanos de “mediação” e

“internalização”, há indícios de que as estratégias utilizadas pelos alunos emergiram

de conceitos já internalizados por eles, como por exemplo, os elementos

pertencentes à “tabuada do quatro” (o produto 4, 8, 12... e a operação de

multiplicação que gera este produto, como 4 x 1, 4 x 2 e 4 x 3). Podemos dizer que

além dos ímãs, a “tabuada do quatro” também serviu como elemento mediador nas

estratégias dos alunos.

Quanto ao item referente a outros métodos para calcular o número de

quadrados em cada termo, somente Fernando usou uma outra metodologia. De

forma semelhante aos alunos de Arzarello (citado em Mason, 1991, p. 76), ele

extrapolou uma relação que funcionou para um caso particular, mas não para uma

regra geral. Considerando a quantidade de quadrados do 2º termo (oito quadrados),

ele pensou em outra operação que resultasse em oito – “dois elevado ao cubo” .

Quando validamos para o 3º termo, ele disse “não dá certo”, pois 33 seria 27 e a

quantidade de quadrados do 3º termo é 12.

Destacamos nesta tarefa, formas diferentes de articular relações, como no

início da atividade, onde os alunos, com maior freqüência, usavam à seqüência

construída, manipulando os objetos com o objetivo de encontrarem os padrões de

regularidades. Estes padrões, na sua forma inicial eram expressos em linguagem

natural, sendo representados em expressões numéricas e, finalmente, em

expressões algébricas. No momento da validação da regra para um termo geral,

identificamos o que Mason (1996a) dispôs ao se referir “ver o geral no particular” e

“ver o particular no geral”. O aluno pode ver, através da concretização de uma regra

geral, qualquer termo específico da seqüência, isto é, “ver o particular no geral”. No

sentido oposto, pela abstração, o aluno pode generalizar a partir dos casos

particulares, “ver o geral no particular”. Em nosso estudo, identificamos como sendo

cada termo construído da seqüência chegando na regra geral.

Apesar de Cláudio e Fernando iniciarem o processo de generalização

utilizando uma relação entre termos, ou seja, a relação de recorrência ou a relação

multiplicativa, no transcorrer da atividade, todos chegaram à regra para um termo

geral. Dois fatores contribuíram para isto: a familiaridade dos valores resultantes da

116

lei geral (f(n) = 4n), e o fato de que o número de “colunas” coincidia com o número

do termo.


Inicialmente, explicamos aos alunos que os termos apresentados nesta

seqüência não estavam na forma consecutiva, como nas seqüências anteriormente

trabalhadas (vide Figura 5.6).

5.4.1 Repexp

To

seguindo u

organizaçã

Tânia e Fe

círculo. Est

foco era o

segundo M

Figura 5.7

º


2º 4

resentação dos termos específicos e construção deressões em linguagem natural

dos os alunos, com exceção de Cláudio, construíram o 3º e 5º termos

m padrão de regularidade, sempre atentando-se à quantidade e à

o dos ímãs da seqüência construída. Um fato chamou-nos a atenção.

rnando, espontaneamente, construíram o 1º termo, colocando um único

e procedimento nos mostra que os mesmos, nas suas “articulações”, cujo

s padrões de regularidade, foram além das “manipulações”; e estavam,

ason (1996a), “constituindo um sentido para” os ímãs manipulados. A

mostra o 1º, 3º e 5º termos construídos por Tânia.

117

Durante as jus

primeiras tentativas de

estabeleceram uma re

considerando as organi

5.4.1.1 Relação entre

Cláudio, Angél

relação entre termos, ca

- Relação de recorrên

Cláudio constru

levar em consideração

construções apontaram

ímãs, tanto na sua org

Figura 5.8 mostra a prim

A
FIGURA 5.7 - CONSTRUÇÃO DE TÂNI
tificativas das representações dos termos constatamos as

generalizações expressas em linguagem natural. Três alunos

lação entre termos e dois iniciaram suas observações,

zações dos ímãs com o número do termo.

termos

ica e Tânia iniciaram suas estratégias pensando em uma

da um deles gerando uma estratégia diferente.

cia

iu os termos solicitados, como nas tarefas anteriores, sem

a organização ou a quantidade de ímãs em cada termo. As

, que o aluno apresenta dificuldade na manipulação física dos

anização quanto na quantidade de ímãs em cada termo. A

eira construção do 3º e 5º termos feita por Cláudio.

118

Refletindo s

pesquisadora fez u

regularidade e corrig

Angélica, C

os termos solicitado

• Estratégia 3.1 -

extremidade da f


considerou-se a

termo (vide Figur


número do termo

com a quantidad

5.11).

Angélica us

círculo em cada extr

FIGURA 5.8 - CONSTRUÇÃO DE CLÁUDIO

2º 3º 4º 5º

obre a quantidade de ímãs do 2º para o 3º termo, a professora

ma intervenção para que Cláudio atentasse ao padrão de

isse suas construções.

láudio e Tânia usaram a relação de recorrência para construírem

s; desta relação, emergiram três estratégias:

Acrescentou-se, de um termo para outro, um círculo em cada

igura (vide Figura 5.9).

Além de acrescentar um círculo em cada extremidade da figura,

quantidade de círculos nas posições vertical e horizontal de cada

a 5.10).

A quantidade de ímãs na posição vertical foi relacionada com o

e a quantidade de círculos na posição horizontal foi relacionada

e de círculos na posição vertical do termo anterior (vide Figura

ou a Estratégia 3.1, acrescentando de um termo para outro, um

emidade da figura (vide Figura 5.9).

119

Marcando um círculo como base em cada termo, acrescentamos conforme

mudamos de um termo para outro, um círculo em cima e outro do lado direito.


Cláudio usou a Estratégia 3.2; em outras palavras, além de observar que de

um termo para outro aumentava um ímã na posição vertical e horizontal, considerou

também a quantidade de ímãs nas posições vertical e horizontal. Convém ressaltar

que, apesar de Cláudio se referir ao número do termo durante suas justificativas e

sua fala ter todos os indícios de uma regra para um termo geral, o fato é que ele

ainda estava descrevendo o que para si foi uma relação de recorrência. (vide Figura

5.10).

2º 3º 4º

FIGURA 5.9 - ESTRATÉGIA 3.1

“base”


“em pé”

deitado 2º 3º 4º

120

Aumentou um do segundo para o terceiro. No segundo termo havia dois em pé

e um deitado, no terceiro termo havia três em pé e dois deitados, no quarto

termo, quatro em pé e três deitados, no quinto, cinco em pé e quatro deitados.


Tânia, por sua vez, utilizou a Estratégia 3.3, relacionando a quantidade de

ímãs “deitados” de um termo com o número de ímãs “em pé” do termo anterior (vide

Figura 5.11).

Segui uma certa seqüência: ou seja, observei a posição dos círculos (Angélica

queria dizer a organização dos ímãs). Para construir, me baseei nos círculos

anteriores e na posição e na quantidade de cada um deles. No 3º termo:

coloquei 3 círculos “em pé” e 2 “deitados” porque o 2º termo tinha 2 círculos

“em pé”.

(Tânia escreveu).

Ao nosso entender, é natural que os alunos iniciem suas articulações a

caminho da regra geral, levando em conta as relações de recorrências, uma vez que

a ausência da visão faz com que os mesmos percebam parte da seqüência (termo a

termo), e não a seqüência como um todo (com todos os termos apresentados). Além

disto, as construções dos termos também requerem que os alunos observem os

termos anteriores e posteriores, propiciando assim, este tipo de relação.

2º 3º

FIGURA 5.11 - ESTRATÉGIA - 3.3

121


Há indícios nas falas de Giovanna e Fernando de que tenham percebido,

desde o início, na representação dos termos, alguma relação entre a quantidade de

ímãs nas posições vertical e horizontal e o número do termo, emergindo assim, as

Estratégias 3.4 e 3.5.

• Estratégia 3.4 - A quantidade de ímãs nas posições vertical e horizontal

(considerando o ímã do canto), foi relacionada com o número do termo (vide

Figura 5.12).

• Estratégia 3.5 - A quantidade de ímãs nas posições vertical e horizontal

(desconsiderando o ímã do canto), foi relacionada com o número do termo (vide

Figura 5.13).

Giovanna observou que a quantidade de ímãs nas posições vertical e

horizontal coincidia.

Eu peguei o exemplo que estava aqui (apontou para o 2º termo construído). O

segundo tem dois em pé e dois deitados; o quarto tem quatro em pé e quatro

deitados. No terceiro, eu coloquei três em pé e três deitados, e no quinto, cinco

em pé e cinco deitados.


2º 3º 4º

23

4

2 3 4


122

Fernando percebeu que se o ímã situado no canto esquerdo não fosse

considerado, haveria uma mesma quantidade de ímãs nas posições vertical e

horizontal (Estratégia 3.5 - vide Figura 5.13).

Eu pensei assim: se o segundo vinha um pra cá e um pra cá (Fernando

apontava para a direção dos ímãs), e no quarto vinha três pra cá e três pra cá,

então eu percebi que o terceiro vinha dois pra cá e dois pra cá, e o quinto vinha

quatro pra cá e quatro pra cá.”

(Fernando expressou oralmente)

Angélica, Tânia e Cláudio somente começaram a pensar em relacionar a

quantidade de ímãs com a posição da figura, a partir de um item da tarefa que pedia

esta relação. Das estratégias usadas até o momento, três delas prosseguiram, uma

proveniente da relação entre termos (Estratégia 3.2), e outras duas provenientes da

relação com o número do termo (Estratégias 3.4 e 3.5).

Fernando e Angélica usaram a Estratégia 3.5. Fernando seguiu a mesma

estratégia inicial, separando o ímã do canto em relação aos demais e relacionando-

-os com o número do termo. Angélica, que inicialmente havia pensado em uma

relação de recorrência, passou a relacionar a organização dos círculos com o

número do termo.

Que o número do termo menos 1 é igual ao número de círculos que tem que ir

para a direita e para cima.


O número do temo menos 1, é igual a quantidade de círculos que se localiza

do lado direito e em cima, mais um que é a base.

(Angélica escreveu).

2º 4º


123

Cláudio e Tânia usaram a Estratégia 3.2, onde a quantidade de círculos na

posição vertical coincidia com o número do termo e a quantidade de círculos na

posição horizontal era uma unidade menor que o número do termo (vide Figura

5.10).

A quantidade de círculos de pé é sempre igual ao número do termo. Os

círculos deitados são sempre um abaixo do número do termo.


Tânia, que inicialmente havia pensado em uma relação de recorrência,

relacionou os ímãs na posição vertical com o número do termo com certa facilidade;

mas insistiu em relacionar os ímãs na posição horizontal com os ímãs na posição

vertical do termo anterior. Após relacionarmos numericamente esses ímãs com o

número do termo, Tânia corrigiu a relação e expressou-a em linguagem natural.

O que está “em pé” representa a quantidade do número do termo. Por

exemplo: se é o 3º termo, tem 3 “em pé”


Ao questionarmos a aluna a respeito dos círculos na posição horizontal:

Tem que tirar menos um, sempre menos um da quantidade do quarto termo.

Vai ser difícil explicar. (Tânia se referiu a explicar na escrita em Braille)


Giovanna, por sua vez, respondeu prontamente, seguindo a mesma

estratégia inicial (Estratégia 3.2, Figura 5.12), onde a quantidade de círculos nas

posições vertical e horizontal coincidiam.

Que o número do termo é o mesmo número que está posicionado em pé e

deitado.


Notamos durante a representação dos termos, as primeiras tentativas de

generalização expressas em linguagem natural. Os alunos encontraram os padrões

de regularidade das seqüências a partir de suas “manipulações” e “articulações”, e

perceberam algumas relações “constituindo um sentido para” os objetos envolvidos.

124

Nas tentativas de estabelecerem relações, os alunos manipularam os ímãs,

agrupando-os ou separando-os. Em termos vygotskyanos, estas relações são

identificadas como estratégias externas que, no transcorrer da atividade, contribuem

para que os alunos desenvolvam “estratégias internas”, indicando, desta forma, um

processo de internalização.


Os alunos escreveram as expressões numéricas e algébricas a partir das

várias estratégias apresentadas anteriormente.


As primeiras expressões numéricas, onde as variáveis não eram diretamente

substituíveis, foram escritas com facilidade pelos alunos; entretanto, ao reescrevê-

las relacionando com o número do termo, eles apresentaram grandes dificuldades,

dificuldades estas, que serão consideradas na próxima seção.

Giovanna, Tânia e Cláudio usaram a Estratégia 3.2 (ver seção 5.4.1.2) para

escreverem as expressões numéricas dos 6º, 7º, 20º e 30º termos (vide Tabela 5.1).

Angélica e Fernando, por outro lado, usaram a Estratégia 3.5 (vide Tabela 5.2). No

item referente a reescrever a expressão numérica usando o número do termo,

Fernando espontaneamente usou os parênteses e justificou:

Para saber dividir (separar) bem. Podia colocar, parênteses, chaves... mais

para ter uma divisão (separação) mesmo.


Ex

6º te

7º te

20º

30º

TABELA 5.1 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS REFERENTES À ESTRATÉGIA 3.2

pressões numéricas Reescrevendo as expressões numéricas (Item g)

rmo = 6 + 5 = 11 6º termo = 6 + 6 – 1 = 11

rmo = 7 + 6 = 13 7º termo = 7 + 7 – 1 = 13

termo = 20 + 19 = 39 20º termo = 20 + 20 – 1 = 39

termo = 30 + 29 = 59 30º termo = 30 + 30 – 1 = 59

125

em

fato

indic

sub

do t

num

algé

5.4.

exp

“ené

exp

vert

form

qua

E

6º te

7º te

20º

30º

5
TABELA 5.2 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS REFERENTES À ESTRATÉGIA 3.
Apesar dos alunos representarem corretamente as expressões numéricas

linguagem natural, a passagem para uma regra geral não foi tão simples. Este

deve-se aos valores das variáveis das expressões numéricas que, neste caso,

avam implicitamente as posições das figuras na seqüência, sendo necessária a

stituição dos mesmos por uma relação do tipo “n – 1”, onde “n” indica a posição

ermo na seqüência. Em termos vygotskyanos, podemos dizer que as expressões

éricas agem como mediadoras entre a linguagem natural e as expressões

bricas.

2.2 Construção de expressões algébricas

Dos três alunos que usaram a Estratégia 3.2, Tânia e Cláudio escreveram as

ressões numéricas do 100º e 1000º termos e, em seguida, a expressão do

simo” termo, “n + n – 1”. Giovanna, entretanto, não conseguiu chegar à

ressão algébrica. Transcreveremos o trecho que mostra esta dificuldade.

Professora: E o enésimo termo?

Giovanna: “Ene” em pé e “o” deitado. (Giovanna deu outra letra para a quantidade de

ímãs deitados)

Professora: Qual é a relação dos ímãs deitados com o número do termo?

Giovanna: É menos um “ene”. O de pé é “ene” e o deitado é menos um. Menos “ene”.

Giovanna entendeu a relação entre a quantidade de ímãs nas posições

ical e horizontal, e o número do termo, mas notamos uma certa dificuldade na

alização. Uma das dificuldades refere-se ao aspecto estudado por Booth (1988)

nto ao “significado das letras e das variáveis”; neste caso, a aluna representou

xpressões numéricas Reescrevendo as expressões numéricas (Item g)

rmo = 5 + 5 + 1 = 11 6º termo = (6 – 1) + (6 – 1) + 1 = 11

rmo = 6 + 6 + 1 = 13 7º termo = (7 – 1) + (7 – 1) + 1 = 13

termo = 19 + 19 + 1 = 39 20º termo = (20 – 1) + (20 – 1) + 1 = 39

termo = 29 + 29 + 1 = 59 30º termo = (30 – 1) + (30 – 1) + 1 = 59

126

um valor diferente por uma letra diferente e a outra, em relação a ordem dos termos,

Giovanna invertia-os como, por exemplo: “É menos um “ene”” ao invés de ““ene”

menos um”. O fato da aluna não ter chegado à expressão algébrica, deixou-a

inquieta e ansiosa. Frente a esta situação, retomamos a Estratégia 3.4, inicialmente

enunciada por Giovanna, afim de que, através de um outro caminho, ela tentasse

escrever as expressões numéricas e algébricas. Nesta estratégia, as variáveis das

expressões numéricas eram diretamente substituíveis.

Apresentamos as expressões que emergiram da Estratégia 3.4 (vide Tabela

5.3) e a relação expressa em linguagem natural:

Que o número do termo é o mesmo número que está posicionado em pé e

deitado, menos um.

(Giovanna expressou oralmente)

Neste caminho, Giovanna chegou na mesma expressão algébrica de Tânia

e Cláudio “n + n – 1”3. Na simplificação, a aluna respondeu oralmente:

Giovanna: Dois “ene” menos um que dá n” (2n – 1 = n)

Ao validarmos, Giovanna percebeu que a expressão seria “2n – 1” e em

seguida questionou:

Giovanna: Mas pode dar duas respostas?

3 Ressaltamos que o fato dos alunos chegarem na mesma expressão “n + n – 1”, deve-se ao não usodos parênteses; caso contrário, obteríamos “n + (n - 1)” proveniente da Estratégia 3.2 e “(n + n) - 1”proveniente da Estratégia 3.4. Ambas as expressões reduzidas resultariam na expressão equivalente“2n – 1”.

Expressões numéricas

6º termo = 6 + 6 - 1 = 11

7º termo = 7 + 7 - 1= 13

20º termo = 20 + 20 - 1 = 39

30º termo = 30 + 30 - 1 = 59

TABELA 5.3 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS REFERENTES À ESTRATÉGIA 3.4

127

As duas respostas a que Giovanna estava se referindo era uma resposta

com dois termos (2n – 1). Neste caso, é evidente a não aceitação por parte da aluna

da “ausência de fechamento”, confirmando um dos aspectos mencionados por Booth

(1988) no que se refere à “natureza das respostas”. Um outro aspecto identificado na

fala de Giovanna e mencionado na segunda tarefa foi o “uso da notação e

convenção”, onde na expressão “Dois “ene” menos um que dá n”, a aluna fez uma

leitura inadequada do símbolo de igualdade.

Tratando-se da simplificação da expressão algébrica “n + n – 1”, Cláudio não

tentou reduzí-la e Tânia, por sua vez, simplificou-a, porém, apresentou dificuldade

em operar com a letra “n”. Transcreveremos este trecho:

Professora: Você acha que é possível simplificar n + n + 1?

Tânia: Eu só não sei se é assim, mas no caso, é n + 1? Ou n + n dá 1n? No

caso n, dá 2n.

Professora: Quanto é n + n?

Tânia: Um, dá 2n.

Professora: Você falou um, não entendi, você ...

Tânia: 1n.

Professora: Quanto é x + x?

Tânia: 2x.

Professora: Porque você me respondeu tão rápido para x?Tânia: Eu faço confusão, não sei porque.

Professora: Mas não importa a letra. E se eu falar b + b?

Tânia: 2b.

Professora: Se eu falar d + d?

Tânia: 2d.

Professora: E n + n?

Tânia: 2n, 2n – 1.

Apesar de Tânia ter chegado à expressão algébrica 2n - 1, identificamos,

novamente, durante a simplificação, que os erros cometidos pela aluna, segundo os

estudos de Booth (1988), pertencem aos aspectos da “natureza das respostas” e “do

“uso da notação e convenção”, como descrito anteriormente.

Fernando e Angélica, por outro lado, utilizando a Estratégia 3.5 (seção

5.4.1.2), não encontraram dificuldade em escrever a expressão algébrica:

128

“(n – 1) + (n – 1) + 1”. Entretanto, na simplificação, Fernando e Angélica não

procederam corretamente.

Fernando: Abre parênteses,”ene” menos dois, fecha parênteses, mais um”. (n – 2) + 1”

Angélica: Dois “ene” menos 3. (2n – 3)

Percebemos que o uso dos parênteses, talvez, possa ter influenciado no

processo de simplificação de Fernando. No caso de Angélica, a dificuldade foi em

operar com a adição e subtração (regra de sinal).

Somente a dupla, Fernando e Angélica, a partir de uma outra trajetória,

encontraram uma expressão equivalente àquela encontrada inicialmente

“(n – 1) + (n – 1) + 1”. A Estratégia usada foi a mesma de Cláudio e Tânia (Estratégia

3.2), com a diferença de que tanto as expressões numéricas quanto a algébrica

foram escritas usando parênteses, isto é, a expressão algébrica equivalente

encontrada foi a “n + (n – 1)” (vide Tabela 5.4). No final, a dupla procedeu a

validação de ambas as expressões.

Destacamos

validação. Os aluno

ausência de parênte

soma ou subtração

os alunos atribuam

aquisição de uma

expressões equiva

regularidade, repres

A percepção

linguagem e do tato

(signos externos) pa

Giovanna e Tâ

Termo n = n + n – 1 =

TABELA 5.4 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

nos dois últimos exemplos, o quanto é relevante o processo de

s são capazes de detectar possíveis erros, como por exemplo, a

ses, um cálculo incorreto, ou ainda, durante a simplificação, uma

de termos não semelhantes. Durante a validação, é possível que

significado às expressões algébricas construídas, favorecendo a

concepção estrutural de expressões algébricas. As várias

lentes encontradas, a partir dos diferentes padrões de

entam, cada uma delas, um caso particular de generalização.

dos alunos s.a.v. se faz, durante toda a atividade, através da

. É comum alguns alunos recorrerem a um termo construído

ra estabelecerem relações para um termo geral. A linguagem e

nia Cláudio Fernando e Angélica

2n - 1 Termo n = n + n - 1 Termo n = (n – 1) + (n – 1) –1

Termo n = n + (n – 1) expressão

equivalente

129

os sistemas de contagem, neste processo, agem como mediadores entre o sujeito e

os objetos do mundo real, contribuindo para o desenvolvimento das funções

psicológicas superiores.

5.5 ANÁLISE DA 4ª TAREFA4

Os itens que orientaram esta tarefa foram estruturados de tal forma para que

os alunos pensassem, inicialmente, em relação aos círculos e, posteriormente, em

relação aos quadrados, finalizando-a com o total de ímãs e outras regularidades. As

leis envolvidas, f(n) = n, f(n) = 2n + 3 e f(n) = 3n + 3, correspondem às leis do círculo,

quadrado e total de ímãs, respectivamente. Apresentaremos o 1º e o 4º termos da

seqüência.

5.5.1 Representação dosexpressões em lingua

Todos os alunos const

observação da organização e

Cláudio, que nas tarefas anteri

ímãs, nesta, organizou-os corre

4 As respostas dos alunos referentes transcritas para os nossos caracteretarefas originais impressas em alto re

1º


termos específicos e construção degem natural

ruíram o 2º e 3º termos desta seqüência, a partir da

da quantidade de ímãs em cada termo; inclusive

ores apresentou certa dificuldade na organização dos

tamente (vide Figura 5.15).

a esta tarefa estão impressas à tinta no sistema Braille e forams. Os leitores poderão encontrá-las no Anexo F. As demais

levo encontram-se em poder da professora pesquisadora.

4º

130

Em relação à justificativa da representação dos termos, emergiram quatro

estratégias:

! Estratégia 4.1 - Considerou-se o total de ímãs em cada termo (círculos e

quadrados) e a relação feita entre os termos (relação de recorrência) - (vide

Figura 5.16);

! Estratégia 4.2 - Os três quadrados na posição horizontal (primeira linha de cima

para baixo) e os quadrados nas posições verticais da esquerda e da direita foram

agrupados e separados. Os quadrados em cor verde e os círculos foram

relacionados com o número do termo (vide Figura 5.17);

! Estratégia 4.3 - Os quadrados na posição vertical da esquerda e da direita foram

agrupados e separados de forma que um único quadrado fique acima da “coluna”

do meio. Os quadrados em cor verde e os círculos foram relacionados com o

número do termo (vide Figura 5.18);

• Estratégia 4.4 - O conceito de conjunto foi utilizado para expressar o fato dos

quadrados estarem contornando os círculos (não na sua totalidade) - (vide Figura

5.19).

FIGURA 5.15 - CONSTRUÇÃO DE CLÁUDIO

131


Apenas Cláudio usou uma relação de recorrência. Os demais alunos

iniciaram suas relações considerando o número do termo.


Cláudio percebeu que de um termo para outro, o total de ímãs aumentava de

três em três e os círculos, de um em um (vide Figura 5.16). A prontidão com que o

aluno justificou sua construção leva-nos a crer que os valores 6, 9, 12 e 15

mencionados por ele, assim como na primeira tarefa, lhe pareciam familiares, talvez

por pertencerem à “tabuada do três”.

Mantive uma seqüência: tipo o primeiro havia seis (ímãs); se o quarto tinha

quinze (ímãs), então o segundo, automaticamente, tinha que ter nove e o

terceiro doze. Aumenta de três em três.

(Cláudio respondeu oralmente).

Os círculos eu observei que no 1º termo havia só 1 círculo e então fui

aumentando 1 e 1 por termo. Os círculos do meio da coluna do meio.”

(Cláudio escreveu).

As ”manipulações” e “articulações” de Cláudio estavam, ainda, voltadas para

a relação entre termos; ele apenas começou a pensar em relacionar a quantidade ou

a organização dos ímãs com a posição da figura a partir do item que pedia esta

relação.

1º 2º 3º 4º


Total deímãs = 6

Total deímãs = 15

132


No item que solicitava a justificativa da representação dos termos, Fernando,

Angélica, Giovanna e Tânia, espontaneamente, iniciaram uma relação que envolvia

a organização dos círculos e quadrados com o número do termo.

Tânia e Angélica usaram a Estratégia 4.2, observando que havia três

quadrados na primeira “linha” (expressão utilizada pelas alunas para designar os

ímãs na posição horizontal) de cada termo e, a partir da segunda linha, o termo era

composto por um quadrado, um círculo e um quadrado. Segundo Tânia, deveria

sempre ser colocada “uma linha a mais em relação ao número do termo” (incluindo a

primeira linha de quadrados). Angélica, depois de construída a primeira linha,

continuou colocando quadrado, círculo e quadrado, até que a “quantidade de

círculos fosse igual ao número do termo” (vide Figura 5.17).

Eu pensei assim: eu me baseei aqui (1º termo). Primeiro eu observei a posição

dele, primeira e segunda linha (ímãs na posição horizontal) reparei que no

meio, a partir da segunda linha, já seria círculo até o final. Aí, pra fazer os

outros... esse é o primeiro termo e, ao invés de você colocar uma linha, você

colocou duas, no segundo termo serão três porque é uma a mais da quantidade

do termo...O círculo sempre a partir da segunda linha, e um quadrado à direita

e à esquerda.


O primeiro tem três quadrados, assim em cima (Angélica estava se referindo

aos três quadrados na posição horizontal) aí um quadrado um círculo e outro

quadrado na linha de baixo. Aí no terceiro termo, tem três quadrados em cima e

1º 2º 3º 4º


3

34

1

133

na linha de baixo, um quadrado, um círculo e um quadrado, um quadrado um

círculo e um quadrado...assim por diante até três círculos. O número de

círculos de cada termo é correspondente ao número desse termo.


Giovanna, por sua vez, usou a Estratégia 4.3, considerando que o número

de quadrados nas fileiras da esquerda e da direita era uma unidade a mais em

relação ao número do termo (vide Figura 5.18).

O primeiro eu vi, só tinha uma bolinha e no quarto tinha quatro, aí o segundo

tinha que ter duas e o terceiro três. Os quadrados têm sempre um a mais.

(apontou para as colunas, na posição vertical, ao lado dos círculos).

(Giovanna respondeu oralmente)

Fernando observou que a quantidade de círculos era igual ao número do

termo, e que os quadrados cercavam os círculos (não na sua totalidade). Vide Figura

5.19.


1º 2º 3º

2 1 2

5 1 5

1º 2º 3º 4º


3 1 34 1 4

134

Cada termo é formado por um conjunto e o número do termo é correspondente

ao número de círculos que está dentro dele. Exemplo: o 3º termo tem 3

círculos dentro dele.


Cláudio, assim como Tânia e Angélica, ao iniciar as relações das

organizações dos ímãs com o número do termo, utilizou a Estratégia 4.2. Em relação

aos círculos e quadrados, Cláudio expressou:

O número do termo é a mesma quantidade de círculos.

Coloca duas vezes o número do termo mais três. (Cláudio estava se referindo

aos quadrados)



A estrutura desta tarefa orientou os alunos a trabalharem com expressões

numéricas e algébricas dos círculos e dos quadrados. Em vista disto, optamos dividir

este item em dois subitens: o primeiro destinado às construções das expressões

(numéricas e algébricas) dos círculos, e o outro destinado às construções das

expressões (numéricas e algébricas) dos quadrados e do total de ímãs.

Os caminhos percorridos pelos alunos na construção das expressões

numéricas e algébricas, tanto do círculo quanto do quadrado, emergiram

basicamente das Estratégias 4.2 e 4.3 (vide Figuras 5.17 e 5.18).

5.5.2.1 Construção de expressões numéricas e algébricas do círculo

Giovanna, Tânia e Cláudio, embora cientes da quantidade de ímãs em cada

termo, queriam de qualquer forma escrever a expressão numérica usando a

operação de adição:

! Giovanna e Tânia: “três mais três” (3º termo = 3 + 3);

! Cláudio: “um mais dois” (3º termo = 1 + 2).

135

Refletindo sobre este item, Fernando fez uma observação que, talvez,

justifique a dificuldade dos alunos escreverem a expressão numérica.

“A expressão numérica você imagina um negócio enorme! Assim tipo três

vezes na, na...mais...com parênteses, uma coisa mais longa.”

(Fernando comentou oralmente)

Talvez a estrutura das expressões numéricas das tarefas anteriores, onde

todas elas possuíam pelo menos uma operação, possa ter influenciado nas

respostas de Giovanna, Tânia e Cláudio.

Ao retomarmos a quantidade de ímãs em cada termo, a dupla (Angélica e

Fernando), Cláudio e Tânia, escreveram as seguintes expressões numéricas (vide

Tabela 5.5):

Giov

expressão a

“O n

(Giov

Tân

linguagem n

do círculo.

Em

uma expre

O
TABELA 5.5 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS DO CÍRCUL
anna não escreveu a expressão numérica do círculo, porém enunciou a

lgébrica em linguagem natural e, em seguida, escreveu-a “Termo p = p”.

úmero do termo p e o de círculo é p. O termo p é igual a p círculos.”

anna expressou oralmente).

ia, por sua vez, apesar de ter expressado as relações corretamente em

atural “ambos são iguais”, não chegou a escrever a expressão algébrica

geral, os alunos não costumam encontrar dificuldade na passagem de

ssão numérica para uma algébrica, onde os valores da expressão

Fernando, Angélica, Giovanna e Cláudio

3º termo = 3

6º termo = 6

11º termo = 11

25º termo = 25

136

(numérica) são substituídos diretamente por uma variável, variáveis diretamente

substituíveis. Neste caso específico, apesar de uma regra geral, aparentemente

“simples” (f(n) = n), três dos cinco alunos não souberam escrever as expressões

numéricas, como mencionamos no início desta seção. (vide Tabela 5.6).

5.5.2.2 Cotot

As e

Estratégias 4

relações com

tarefa, com

Estratégia 4.3

quadrados co

“... o nú

“tem os

(Giovan

Todo

a Estratégia

um deles exp

momento em

dúvida levant

Transcrevere

O
TABELA 5.6 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DO CÍRCUL
nstrução de expressões numéricas e algébricas do quadrado e doal de ímãs

xpressões numéricas referentes aos quadrados emergiram também das

.2 e 4.3. No transcorrer da atividade, dois alunos que iniciaram suas

uma das estratégias, mudaram para outra. Por exemplo: no início da

o intuito de justificar a construção dos termos, Giovanna usou a

; entretanto, no decorrer da atividade, ao relacionar a organização dos

m o número do termo, a aluna fez uso da Estratégia 4.2.

mero do termo é igual ao número de quadrado do lado do círculo” ...

três em cima, que eu tenho que acrescentar.”

na expressou oralmente).

s os alunos, com exceção de Tânia (que usou a Estratégia 4.3), usaram

4.2 na trajetória de escrever a expressão numérica do quadrado. Cada

ressou-a a sua maneira, em linguagem natural. Vale a pena ressaltar, o

que Fernando explicou sua estratégia à Angélica e esclareceu uma

ada pela aluna quanto aos três quadrados situados na primeira linha.

mos este trecho:

Giovanna Angélica, Fernando e Cláudio

Termo p = p Termo x = x

137

Fernando: Então Angélica é sempre assim: o número de quadrados da

esquerda e da direita, permanece a mesma coisa do...não, “pêra” aí, sempre

vai ter três quadrados em cima. ...sempre ao lado do círculo, o número de

quadrados vai ser correspondente ao número do termo, permanece a mesma

coisa do círculo; se for o quarto termo, é quatro quadrados na esquerda e

quatro quadrados na direita; se for o quinto termo, cinco quadrados na

esquerda e cinco quadrados na direita.

Angélica: ...e os três de cima como que fica? Tem que ter relação com o

número do termo?

Fernando: Não! Sempre... tipo assim, se a professora fosse pedir para eu

justificar o quadrado como ela pediu na “f” (vide Anexo E, 4ª Tarefa, Item f), eu

ia escrever assim: sempre os quadrados de cima vão ser três, e sempre os

quadrados que tiverem ao lado do círculo, tanto da esquerda quanto da direita

é igual ao número do termo.

Fernando costumava responder os itens requisitados com disposição,

principalmente ao explicar à Angélica algo que não estava claro para ela.

Tânia, assim como Giovanna, mudou de estratégia, porém no sentido

contrário. Iniciou usando a Estratégia 4.2, alterando, no desenvolver da tarefa para a

Estratégia 4.3.

FIGURA 5.20 - 4ª TAREFA - FERNANDO E ANGÉLICA

138

“A quantidade de quadrados é sempre mais um do número do termo em

cada coluna, mais um no meio”

(Tânia expressou oralmente)

A Tabela 5.7 apresenta as expressões numéricas e algébricas relacionadas

aos quadrados.

com

da

rec

“du

os

exp

úni

me

ace

dist

Enq

rep

mo

situ

and

pro

2º t

Ter

Ter

(Du

TABELA 5.7 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS E ALGÉBRICAS DO QUADRADO

Na passagem da expressão numérica para a algébrica, alguns erros foram

etidos pelos alunos. Tânia, por exemplo, substituiu todos os valores numéricos

expressão, pela letra “p”. Isto mostra uma certa dificuldade por parte da aluna em

onhecer as variáveis nas expressões. Cláudio inicialmente, escreveu “x.x” para

as vezes o número do termo”, corrigindo-o em seguida para x.2 (freqüentemente

alunos cometem este tipo de erro em Álgebra). Durante a simplificação da

ressão algébrica, Giovanna somou todos os termos, reduzindo sua resposta a um

co termo “3 + p + p = 5p”. Neste caso, identificamos um dos aspectos

ncionados por Booth (1988) quanto à “natureza das respostas”, onde o aluno não

ita a “falta de fechamento”. Ressaltamos, também, que os alunos, em momentos

intos, apresentaram um tratamento diferenciado em relação aos símbolos.

uanto eles estavam construindo as expressões algébricas, a letra, que

resentava o número do termo, parecia ter significado para eles. Entretanto, no

mento da simplificação, ocorria uma desconexão da expressão algébrica à

ação dos ímãs, sugerindo que o processo de internalização ainda estava em

amento.

Em geral, os erros eram encontrados pelos alunos a partir da validação,

cedimento presente em todas as tarefas e fundamental no sentido de permitir que

Giovanna e a dupla(Estratégia 4.2)

Cláudio(Estratégia 4.2)

Tânia(Estratégia 4.3)

ermo = 3 + 2 + 2 2º termo = 2.2 + 3 2º termo = 3 + 3 + 1

= 2 + 1 + 2 + 1 + 1

mo p = 3 + p + p = 5p (Giovanna)

mo x = 3 + x + x = 3 + 2x

pla)

Termo x = x.2 + 3 Termo p = p + p + p + p + 1

(Tânia)

139

os mesmos repensem e reestruturem suas conjecturas. Nesta tarefa, após a

validação, alguns alunos corrigiram suas respostas ou, simplesmente, evitaram

simplificar.

Tratando-se da expressão algébrica do total de ímãs (a soma da expressão

algébrica do círculo com a expressão algébrica do quadrado), apenas Tânia não

chegou a escrevê-la e, de fato, isto não seria possível, pois a aluna não encontrou a

expressão algébrica do círculo, a não ser que, a partir de outra regularidade, a aluna

escrevesse as expressões considerando o total de ímãs em cada termo (6, 9, 12,

15...). Quanto a outras regularidades, a dupla (Fernando e Angélica), e Giovanna

utilizaram a Estratégia 4.2. Apresentaremos a Tabela 5.8 onde constam as

expressões algébricas do total de ímãs (incluindo as expressões equivalentes).

V

a atividad

confirmam

deve, nec

5.6 ANÁ

N

introduzin

f(n) = (n +

Fernan

Termo x =

Termo x =

Termo p =

TABELA 5.8 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DO TOTAL DE ÍMÃS

erificamos nesta tarefa, que alguns alunos mudaram de estratégias durante

e, voltando a manipular os ímãs na seqüência construída. Nestes termos,

os quando Mason (1996b) diz que a Espiral de Desenvolvimento não

essariamente, seguir um percurso linear.

LISE DA 5ª TAREFA

ossa intenção, neste momento, era aumentar a complexidade da tarefa,

do uma seqüência que representasse uma função do 2º grau:

1)2 – 1. Apresentaremos os três primeiros termos:

do, Angélica, Cláudio e Giovanna(Estratégia 4.1)

Dupla e Giovanna(Estratégia 4.2)

(expressões equivalentes)

3 + x + x + x = 3 + 3x (Dupla)

x + x.2 + 3 (Cláudio)

p + p + 3 + p (Giovanna)

Termo x = x + x + 1 + x + 1 + 1 (Dupla)

Termo p = p + 1 + p + 1 + 1 + p

(Giovanna)

140

5.6.1 Representação doexpressões em ling

A dupla (Fernando e

o 4º termo; entretanto, Cláud

quanto à organização dos ím

de ímãs em cada coluna, Clá

A
FIGURA 5. 21 - 5ª TAREF
s termos específicos e construção deuagem natural

Angélica), Tânia e Giovanna construíram corretamente

io, caracteristicamente, voltou a apresentar dificuldade

ãs (veja Figura 5.22). Após a verificação da quantidade

udio corrigiu sua construção (vide Figura 5.23).

º

FIGURA 5. 22 - 1ª CONSTRUÇÃO DE CLÁUDIO

1º 2º 3

1º 2º 3º 4º

141

estabele

termo).

entre te

5.6.1.1

Uma es

- Rela

• Eq

“

a

º

O

1º 2º 3º 4

No que se

ceu, desd

Os demais

rmos.

Relação

A partir d

tabelecida

ção de reco

Apresentam

stratégia 5ue de um

fileira”) e “li

menos em

FIGURA 5.23 - 2ª CONSTRUÇÃO DE CLÁUDI

refere à justificativa da representação dos termos, apenas Tânia

e o início, uma relação com a posição da figura (número do

alunos iniciaram suas observações considerando uma relação

entre termos

a relação entre termos, emergiram duas estratégias diferentes.

por Cláudio, Giovanna e Fernando, e a outra, por Angélica.

rrência

os as duas estratégias que emergiram desta relação.

.1 - Nesta estratégia, Giovanna, Cláudio e Fernando perceberam

termo para outro acrescentou-se um ímã em cada “coluna” (ou

nha”, sendo que a última “coluna” da direita sempre tinha um ímã

relação às demais.

142

Eu mantive a seqüência do terceiro para o quarto termo. Aumentando uma

coluna e uma linha; e uma linha havia sempre um ímã a menos.


Eu vi que o primeiro termo tinha dois círculos e um do lado. O segundo tinha

três fileiras, duas de três círculos e uma de dois. O terceiro, três de quatro

círculos e uma de três; aí, eu achei, entendi que sempre era um a mais aqui,

na primeira fileira (Giovanna apontou para a primeira fileira da esquerda na

posição vertical). No primeiro termo tem dois círculos, no segundo termo eram

três círculos. Só na última fileira que diminui um círculo. Aí, no quarto termo,

tinha cinco e uma de quatro.


Sempre acrescenta uma fileira pra direita e uma pra cima. (Fernando apontava

para os ímãs situados na última fileira da direita (vertical) e para os ímãs na

primeira linha (horizontal) de cima para baixo).


• Estratégia 5.2 - Angélica utilizou uma estratégia bem diferente da anterior. A

aluna foi relacionando os termos entre si (o 2º termo com o 1º; o 3º termo com

o 1º e o 2º; o 4º com o 1º, 2º e 3º termos), onde cada termo estaria encaixado

no termo subseqüente, estabelecendo, assim, uma relação de recorrência

(vide Figura 5.24).


1º 2º 3º 4º

1º

2º

3º

143

Para construir o 4º termo, pensei: fazer a “soma” dos termos 1, 2 e 3

encaixando um termo dentro do outro.


As Estratégias 5.1 e 5.2, provenientes das relações estabelecidas entre os

termos, são abandonadas quando os alunos iniciam outras relações voltadas para o

número do termo. É interessante notar que, quando apresentamos uma seqüência

quadrática, a maioria dos alunos escolheu manipulações baseadas nas relações

entre termos antes de buscar uma regra para um termo geral; isto mostra a não

linearidade do Espiral de Desenvolvimento (“manipulação”, “constituindo um sentido

de” “articulação”) e, também, que a busca de relações de recorrência pode ser um

passo importante na identificação de uma regra geral.


Como mencionado anteriormente, Tânia foi a única aluna que desde o início

relacionou a organização dos imãs com o número do termo (vide Figura 5.25).

FIGURA 5.25 - CONSTRUÇÃO DE TÂNIA

144

Giovanna e Cláudio estabeleceram a mesma relação de Tânia, que

identificamos como a Estratégia 5.3 (vide Figura 5.26).

Estratégia 5.3 - Os alunos relacionaram três grupos de ímãs com o número do

termo: os ímãs na posição vertical do lado direito (círculos verdes), a quantidade de

“colunas” e a quantidade de ímãs em cada “coluna”.

Eu me baseei nos círculos que estão em pé à direita dos restantes, esses à

direita representam o número de termos. Os que estão à esquerda também em

pé, ou seja, de dois em dois, (Tânia estava se referindo ao segundo termo)

representam o número de termos, mas sempre com uma linha a mais.

(Tânia escreveu).

Em todo os termos, sempre a fileira da direita a quantidade de círculos é igual

o número do termo e as fileiras da esquerda é igual ao número do termo, mas

a quantidade dos círculos é sempre um a mais em cada fileira.

(Giovanna escreveu).

A última coluna tem sempre o número do termo. E as outras colunas tem um

ímã a mais. O número de colunas é o número do termo.


Fernando e Angélica, todavia, agruparam os ímãs de uma forma diferente,

emergindo a Estratégia 5.4.

Estratégia 5.4 - Os alunos separaram os três ímãs da primeira linha e os três ímãs

da “coluna” da direita (ímãs laranjas), dos ímãs do centro (ímãs azuis), fazendo uma

relação destes três grupos de ímãs com o número do termo (vide Figura 5.27).


1º 2º 3º

2

1

1

2

23

3

34

145

O número do termo multiplicado por ele mesmo dá o número de círculos

existente no “miolo” (os círculos azuis da Figura 5.27) e acrescentando

o número de termos com uma coluna e uma linha.


Em relação ao “miolo”: o número do termo vezes ele mesmo dá a

quantidade de círculos que há no “miolo” e, acrescentamos a

quantidade do número do termo para a direita e outra quantidade do

número do termo para cima


As “manipulações”, “articulações” e relações estabelecidas pelos alunos em

linguagem natural constituíram o ponto de partida para a construção das expressões

numéricas, algébricas e equivalentes.

5.6.2. Construção de expressões numéricas e algébricas

As expressões numéricas e algébricas encontradas pelos alunos emergiram

das Estratégias 5.3 e 5.4, anteriormente descritas. No transcorrer da tarefa, alguns

procedimentos dos alunos nos remeteram às considerações de Oliveira (2003) e

Booth (1988).

1º 2º 3º 4º


146


Pretendíamos, com o item que solicitava a quantidade de círculos em cada

termo, que os alunos percebessem que o total de círculos (1º termo = 3, 2º termo =

8, 3º termo = 15 e o 4º termo = 24) era, respectivamente, uma unidade menor em

relação aos números quadrados perfeitos (4, 9, 16 e 25); entretanto, eles não

fizeram esta conexão. Em geral, os alunos, mesmo tendo identificado algumas

relações durante a construção, sentiram a necessidade de efetuar a contagem do

total de ímãs de cada termo. Tânia, que desde o início havia feito uma relação entre

a organização dos ímãs e o número do termo, usou uma estratégia diferente dos

demais alunos para contar o total de ímãs. Enquanto os alunos contavam os ímãs

um a um, Tânia os contava em grupo, por exemplo: “dois mais seis”, chegando ao

número seis, contando da seguinte forma: “dois mais: dois; quatro; seis” (apontava

de dois em dois para os ímãs das duas fileiras da esquerda de cima para baixo. No

3º termo, procedeu quase da mesma forma: “Três mais: três; seis; nove; doze” –

“três, mais doze” (vide figura 5.28), utilizando apenas os ímãs da fileira da esquerda.

Observamos, nestes termos, que o sistema de contagem de “dois em dois, “de três

em três” já era um conceito internalizado pela aluna, provavelmente por

pertencerem às “tabuadas”.

FIGURA 5.28 - CONTAGEM EM GRUPO - TÂNIA

Dois

Quatro

Seis

2º

Três

Seis

Nove

Doze

3º

147

A expressão numérica encontrada por Tânia emergiu da estratégia de

contagem dos ímãs para um termo específico. Incluímos aqui, Giovanna e Cláudio

que também desenvolveram a expressão numérica a partir desta mesma estratégia

(vide Figura 5.26).

Nas expressões numéricas para termos mais distantes como o 20º e 50º

termos, Tânia utilizou o 4º termo construído para ajudar no processo. Percebemos,

segundo as perspectivas vygotskyanas, que a aluna estava usando um suporte

externo (os ímãs) como marca, apoio, instrumento mediador entre o objeto real e o

sujeito. A Tabela 5.9 apresenta as expressões numéricas referentes à Estratégia 5.3.

Fernando e Angélica, por outro lado, utilizaram a Estratégia 5.4, gerando

uma expressão numérica equivalente àquela encontrada pelos colegas (vide Tabela

5.10).

Tânia Giovanna e Cláudio

1º termo = 1 + 2 = 1 + 1 x 2 1º Termo = 2 + 1 = 2 x 1 + 1

2º termo = 2 + 6 = 2 + 2 x 3 2º Termo = 3 + 3 + 2 = 3 x 2 + 2

3º termo = 3 + 12 = 3 + 3 x 4 3º Termo = 4 + 4 + 4 + 3 = 4 x 3 + 3

20º termo = 20 + 20 x 21 20º Termo = 21 x 20 + 20

50º Termo = 50 + 50 x 51 50º Termo = 50 x 51 + 50 (Giovanna)

50º Termo = 51 x 50 + 50 (Cláudio)

TABELA 5.9 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS - ESTRATÉGIA 5.3

4
TABELA 5.10 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS - ESTRATÉGIA 5. Fernando e Angélica
1º termo = 1 x 1 + 1 + 1

2º termo = 2 x 2 + 2 + 2

3º termo = 3 x 3 + 3 + 3

4º termo = 4 x 4 + 4 + 4

20º termo = 20 x 20 + 20 + 20

50º termo = 50 x 50 + 50 + 50

148

Todas as expressões numéricas foram escritas sem o uso dos parênteses.

Alguns alunos começaram a pensar efetivamente em utilizá-los após a validação das

expressões algébricas. Este procedimento será discutido na próxima seção.

5.6.2.2 Construção de expressões algébricas e equivalentes

No que se refere à passagem da expressão numérica para a algébrica,

Cláudio cumpriu a tarefa com facilidade; por outro lado, constatamos que Tânia e

Giovanna apresentaram dificuldade em trabalhar com variáveis nas expressões

numéricas que indicavam, implicitamente, as posições das figuras na seqüência,

neste caso, a variável deveria ser substituída por “n + 1”. Quanto à expressão: “3º

termo = 3 + 3 x 4”, Tânia chegou a expressar corretamente em linguagem natural

que “O quatro é o número do termo mais um”, porém, apresentou dificuldade em

escrevê-la matematicamente. Na tentativa de substituir o valor numérico “4” por “3 +

1”, ela escrevia (3 + 3 x (+ 1)). Giovanna, por sua vez, procedeu como na 3ª Tarefa

(vide seção 5.4.2), substituindo a expressão “n + 1” pela letra subseqüente à letra

“n”; em outras palavras, a letra “o”. Transcreveremos o trecho em que este

procedimento se verificou:

Giovanna: “n vezes n mais n”. Eu vou pegar a quantidade de círculos

em cada fileira.

Professora: E a quantidade de círculos em cada fileira, como você

relacionou com o número do termo?

Giovanna: Eu não sei a quantidade, então eu coloquei n.

Professora: Mas você fez uma relação da quantidade com o número do termo?

Giovanna: É um a mais.

Professora: E se é um a mais? Se é termo n...

Giovanna: Letra “o”.

No caso específico de Giovanna, a aluna escreveu a expressão algébrica

após termos retomados alguns exemplos numéricos, seguindo a trajetória em que

eram reescritas as expressões numéricas, ajustando-as em relação ao número do

termo. Tratando-se de Giovanna e Tânia, percebemos que, na passagem de uma

expressão numérica para uma algébrica, onde a variável não era diretamente

substituível, as alunas ainda apresentavam dificuldades. Nestes termos, notamos

149

que o processo de internalização de marcas externas representando termos da

seqüência, para variáveis algébricas, não ocorreu de maneira espontânea para todos

os alunos, sendo que ambas as alunas precisaram de intervenções da professora

pesquisadora para chegar às expressões algébricas.

A Tabela 5.11 mostra as expressões algébricas e equivalentes que

representam a quantidade de círculos de um termo qualquer.

Nenhum do

validações, percebe

nas respostas. Tâni

obteve um valor dife

Dois mais dois

(Termo n = n +

(Tânia expres

Giovanna, p

seguiu a ordem das

Giovanna: Três

Professora: Iss

indicar que tem

Giovanna: Colo

Professora: Iss

Cláudio seg

primeira a ser efetu

algébrica, o resultad

TABELA 5.11 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

s alunos fez uso dos parênteses; porém, ao efetuarem as

ram que a ordem com que eram feitas as operações influenciava

a, por exemplo, no 2º termo, seguiu a ordem das operações e

rente do correto:

igual a quatro, vezes dois, igual a oito, mais um, igual a nove.

n x n + 1)

sou oralmente).

or outro lado, no que se refere à validação do 3º termo, não

operações:

mais um são quatro, vezes três, doze, mais três. (Termo n = n x n + 1 + n)

o! E por que você fez três mais um primeiro? Matematicamente para você

que fazer primeiro a adição e não a multiplicação o que você tem que fazer?

car um parênteses.

o!

uiu a ordem das operações. Como a operação de adição era a

ada e, coincidentemente, era a primeira operação da expressão

o obtido foi o correto (Termo n = n + 1.n + n)

Alunos Expressões Algébricas

Giovanna Termo n = n x n + 1 + n

Tânia Termo n = n + n x n + 1

Cláudio Termo n = n + 1. n + n

Fernando Termo x = x x x + x + x

Angélica Termo n = n x n + n + n = n2 + 2n

150

Identificamos neste procedimento, um dos aspectos estudados por Booth

(1988) referente aos “tipos de relações e métodos usados em aritmética”, em

particular, “as convenções malentendidas”. A autora justifica que, em geral, os

alunos não fazem uso dos parênteses por pensarem que a seqüência escrita de

operações é o que determina a ordem em que os cálculos devam ser efetuados,

influenciando, dessa forma, em seu desempenho.

No item referente a outros métodos para calcular o número de círculos de

um termo qualquer da seqüência, Fernando fez duas observações:

a) Se você fizer 8 – 3 é 5; se você fizer 15 – 8 é 7, acrescenta sempre dois.

b) Se você pega o número do termo mais dois e pegar esse resultado e

multiplicar pelo número do termo, vai dar a quantidade de círculos.

Fernando justificou:

Peguei os resultados e via se tinha uma multiplicação. Ex: 6 x 4 = 24, depois

tentei 6 x 3 = 18, não dá, então peguei 5 x 3 e deu 15; e se eu for diminuindo

um, sempre dá certo.


O Quadro 5.2 ilustra as duas observações mencionadas por Fernando.

Verificamos que a estratégia utilizada por Fernando no item “a”, resultou de

uma relação entre termos, enquanto no item “b”, iniciou com uma relação entre

termos, ajustando-a posteriormente para uma relação com o número do termo.

1º 2º 3º 4º

a) 5 7 9

b) 3 x 1 4 x 2 5 x 3 6 x 4

QUADRO 5.2 - OUTRAS ESTRATÉGIAS DE FERNANDO

3 8 15 24 Total de ímãs emcada termo

151

Nos produtos 6 x 4, 5 x 3, 4 x 2, 3 x 1, Fernando identificou que os valores

6, 5, 4, 3 representam dois a mais do número do termo e 1, 2, 3 e 4 eram os

números dos termos. Prosseguindo, ele escreveu as expressões numérica e

algébrica: “3º termo = 3 + 2 x 3” e “Termo x = x + 2 x x”. No momento da validação,

Fernando percebeu que deveria, primeiro, resolver a adição e, depois, a

multiplicação. Angélica interrompeu o diálogo e fez a observação de que estava

faltando os parênteses na operação de adição - vide Tabela 5.12 - (Angélica estava

sempre atenta acompanhando o raciocínio de Fernando).

5.7 ANÁLISE DA

Considerações ini

Tânia foi a

Inicialmente, cons

quadrados e triân

manipulação e na o

este fato seja porq

aos ímãs quadrang

maior facilidade. O

ficando decidido q

alunos, seria inicia

manipulação (vide F

E
TABELA 5.12 - EXPRESSÃO EQUIVALENT
6ª TAREFA

ciais

primeira aluna a trabalhar nesta tarefa (vide Figura 5.29).

truímos a seqüência como havíamos planejado, utilizando

gulos. A aluna sentiu grande dificuldade na percepção,

rganização dos ímãs triangulares. Talvez a justificativa perante

ue a área de magnetização do triângulo é diferente em relação

ulares e circulares, fazendo com que eles se deslocassem com

ptamos então, por trocar os ímãs triangulares pelos circulares,

ue, esta atividade, realizada posteriormente com os demais

da diretamente com quadrados e círculos, favorecendo sua

igura 5.30).

Fernando

Termo x = (x + 2) x x

152

Iniciamos a tarefa apresentando o 1º e 3º termos da seqüência, cuja função

quadrática é definida por f(n) = (n + 2)2 . Os itens que a orientaram, permitiram que

os alunos pensassem primeiramente nos círculos, em seguida nos quadrados,

finalizando com o total de ímãs, similar à 4ª Tarefa.

Em geral, os alunos

4º), buscando estabelecer,

quantidade de ímãs e o núm

1º

FIGURA 5.29 - 6ª SEQÜÊNCIA - CONSTRUÇÃO COM TRIÂNGULOS E QUADRADOS


construíram com facilidade os termos solicitados (2º e

desde o início, relações entre a organização ou

ero do termo.

3º

153

5.7.1 Representação dos termos específicos e construção deexpressões em linguagem natural

Cláudio, caracteristicamente, sentiu dificuldade na construção dos termos

(vide Figura 5.31). Ele construiu o 2º termo na 4ª posição. Apesar de sua construção

incorreta, observamos o esforço do aluno em suas “manipulações” e “articulações”,

tentando seguir o padrão apresentado pela seqüência (vide Figura 5.32).

As interfer

sua construção. A

coluna, Cláudio co

FIGURA 5.31 - CONSTRUÇÃO DO 2º TERMO

1º 3º 2º

FIGURA 5.32 - RECONSTRUÇÃO DO 2º TERMO

ências tinham por objetivo fazer com que o aluno refletisse sobre

pós questionarmos a respeito da quantidade de ímãs em cada

rrigiu sua construção.

154


Três estratégias emergiram durante a justificativa da construção dos termos.

Uma delas voltada para uma relação entre termos, e duas direcionadas para o

número do termo.


Cláudio e Angélica fizeram suas primeiras observações, usando uma

relação de recorrência (Estratégia 6.1).

• Estratégia 6.1 - Acrescentou-se (de um termo para outro) um círculo em cada

“coluna” e “linha” de círculos, e um quadrado em cada “coluna” e “linha” de

quadrados (vide Figura 5.33).

Eu me baseei no primeiro que só havia um círculo e coloquei aqui mais um

nessa coluna e aqui mais um nessa outra coluna. Duas colunas de dois. E

aumentei mais um quadrado aqui e aqui (Cláudio apontava para o 1º e

último quadrado da primeira fileira da esquerda de cima para baixo e na

primeira linha da esquerda para a direita).


Uma variação da Estratégia 6.1 foi estabelecida por Angélica. Neste caso,

especificamente, a aluna observou que de um termo para outro acrescentava-se uma

“coluna” e “linha” de quadrados e círculos.

1º 2º 3º


155

Para mim, eu diria que cada termo vai aumentando uma linha e uma coluna do

círculo, pro lado direito e para baixo. E para os quadrados também, pro lado

direito e pra baixo. Para poder dar espaço para o círculo.


Ressaltamos que Angélica, ao escrever sua resposta no sistema Braille,

expressou duas estratégias: uma referente à relação entre termos, como

mencionado acima, e a outra referente a uma regra para um termo geral,

relacionando a organização dos ímãs com a posição da figura:

Primeiramente me baseei nas linhas e colunas de círculos que constituem cada

terno, por exemplo, o 1º termo tem uma linha e uma coluna e o 2º tem 2 linhas

e 2 colunas e assim sucessivamente.



Giovanna, Tânia, Fernando e Angélica, desde o início, pensaram em uma

relação com o número do termo. Percebemos, nestes termos, que os alunos em

geral, foram além de suas manipulações, articulando as organizações ou quantidade

de ímãs com a posição da figura, antes mesmo de chegarmos a questionar sobre

esta relação. Eles não apresentaram dificuldade em relacionar o total de círculos

com o número do termo. Todos os alunos, com exceção de Giovanna, escreveram

de forma similar:

A relação é o número do termo vezes ele mesmo é igual ao total de

círculos.


Giovanna comentou:

A relação do 3º termo é que 3 é múltiplo do 9 e o 4º termo, o 4 é múltiplo do 16.

(Giovanna escreveu e expressou oralmente).

Acreditamos que Giovanna entendeu a relação, porém ao justificá-la, a aluna

usou o termo “múltiplo” para indicar esta relação. Mesmo que Giovanna escrevesse

no sentido oposto, 9 é múltiplo de 3, a resposta não estaria correta, pois 12 também

é múltiplo de três e, no entanto, não pertence a nenhum termo desta seqüência.

156

Cláudio apenas começou a pensar na regra geral para o círculo, a partir do

termo que solicitava a relação da quantidade de círculos com o número do termo.

Esses números podem ser multiplicados por ele mesmo.

(Cláudio escreveu)

Quanto à relação entre a organização dos quadrados e o número do termo,

Angélica, espontaneamente, separou os ímãs dos dois primeiros termos para mostrar

as duas estratégias encontradas por ela, as Estratégias 6.2 e 6.3.

• Estratégia 6.2 - Os quadrados foram agrupados e separados nas posições

horizontal ou vertical, restando dois grupos de quadrados com a mesma

quantidade em relação ao número do termo, nas posições vertical e horizontal,

respectivamente (vide Figura 5.34).

• Estratégia 6.3 - Em todos os termos foram separados os quadrados

localizados nas extremidades das figuras (quatro quadrados) dos demais. Os

quadrados restantes (quatro grupos de quadrados situados ao lado dos

círculos), foram relacionados com o número do termo (vide Figura 5.35).

º
1º 4

157

A Estratégia 6.2

Giovanna, Cláudio, Fern

agrupamento dos ímãs (

desenvolvida exclusivame

seqüência e retomada n

tarefa.

Transcreveremos

expressar a Estratégia 6.2

A relação é que a file

do termo e a linha a q

(Giovanna escreveu).

As colunas do meio (

central na primeira e ú

termo mais ele mesm

termo mais dois é o to


Separando as colunas

baixo e a linha de c

número do termo, e p

colunas é só acrescen


3
FIGURA 5.35 - ESTRATÉGIA 6.
o

i

u

C

o

2º 3º

apresentada por Angélica foi a mesma encontrada por

ando e Tânia, invertendo, apenas, as posições do

vide Figura 5.34 - 1º e 4º termos); já a Estratégia 6.3,

nte por Angélica, foi representada no 2º e 3º termos da

item que requisitava outras regularidades, no final da

as diferentes formas que os alunos encontraram para

:

ra é sempre dois quadrados a mais do que o número

antidade de quadrado é igual o número do termo.

láudio estava se referindo aos quadrados na região

ltima linha) no seu total de quadrados é o número do

. As colunas da direita e da esquerda é o número do

tal.

da esquerda e da direita podemos ver que a linha de

ima, o número de quadrados é correspondente ao

ara descobrir o número de quadrados existente nas

tar ao número do termo mais dois.

158

Por exemplo: no 1º termo eu separei a primeira linha e a terceira que são

constituídas por quadrados e sobrou um quadrado do lado esquerdo do

círculo e outro quadrado do lado direito.

(Angélica expressou oralmente e escreveu).

Sempre nas primeiras linhas e nas últimas linhas dos quadrados, o termo é

a soma do número de termo mais dois. O restante de quadrados das

laterais é duas vezes o número do termo.

(Tânia escreveu).

Notamos nesta tarefa, uma diferença quanto à temporalidade nas respostas

dos alunos. Acreditamos que eles estavam mais familiarizados com a estrutura da

tarefa pelo fato de que a maioria dos alunos estabeleceu relações com o número do

termo antes que solicitássemos.


Por tratar-se da mesma estrutura da 4ª Tarefa, envolvendo círculos e

quadrados, optamos neste item, proceder de forma similar, isto é, dividi-lo em dois

subitens: o primeiro destinado às construções das expressões (numéricas e

algébricas) dos círculos; e o outro destinado às construções das expressões

(numéricas e algébricas) dos quadrados e do total de ímãs.

5.7.2.1 Construção de expressões numéricas e algébricas do círculo

Angélica, Giovanna, Tânia e Cláudio escreveram as expressões numéricas

do círculo usando a operação de multiplicação; para isto, os alunos levaram em

conta o total de círculos em cada termo (1, 4, 9, 16...). Fernando escreveu usando a

operação de potenciação (vide Tabelas 5.13 e 5.14). Dois fatores contribuíram para

que todos os alunos escrevessem as expressões numéricas e algébricas do círculo:

o fato de que as variáveis das expressões numéricas eram diretamente substituíveis;

e de que sua estrutura envolvia pelo menos uma operação.

159

Apen

caso de Giov

pela “x”. Tran

Giova

Profes

Giova

Profes

Giova

Profes

Giova

Profes

conse

Giova

Obse

estava busca

necessárias

percebemos

x 4; no entan

substituídos

talvez por nã

Booth (1988)

como produt

vezes, é sub

Giovan

Termo n

O
TABELA 5.13 - EXPRESSSÕES NUMÉRICAS DO CÍRCUL
n

n

n

n

g

n

o

Angélica, Giovanna, Tânia e Cláudio Fernando

1º termo = 1 x 1 = 1 1º termo = 12

2º termo = 2 x 2 = 4 2º termo = 22

3º termo = 3 x 3 = 9 3º termo = 32

=

O
TABELA 5.14 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DO CÍRCUL
as Angélica e Giovanna simplificaram as expressões corretamente. No

anna, especificamente, houve a necessidade de substituirmos a letra “n”

screveremos o trecho que verificamos essa situação:

na: Então n x n é igual a 2n.

sora: Então 4 x 4 é igual a 2 x 4?

na: Não. n x n é igual ...(não continuou)

sora: Quanto é x x x?

na: Vai ser n2

sora: Por que você conseguiu agora?

na: Porque eu lembrei do x.

sora: Por que será que os alunos conseguem com o x e não

uem com o n que é a mesma coisa?

na: Porque usa mais o x.

rvamos na fala de Giovanna, “Porque eu lembrei do x”, que a aluna

ndo conceitos já internalizados em resposta a algumas simplificações

durante a atividade. Analisando as duas primeiras linhas do diálogo

que a aluna, assim como muitos alunos, sabe que 4 x 4 é diferente de 2

to, não seguem o mesmo raciocínio quando os valores numéricos são

por letras. Neste caso, os alunos chegam a aceitar que n x n = 2n

o perceberem a operação de multiplicação envolvida na expressão 2n.

justifica que o fato dos alunos não associarem expressões algébricas

seja porque a escrita do produto na forma completa (3 x n), muitas

stituída com certa rapidez pela escrita simplificada (3n). A sugestão da

na Tânia Angélica Cláudio Fernando

n x n Termo n = n x n = n 2 Termo x = x x x Termo x = x2

160

autora é que o produto, escrito na forma completa, deveria ser estendido, mesmo na

fase inicial da Álgebra.

5.7.2.2 Construção de expressões numéricas e algébricas do quadrado e dototal de ímãs

Em continuidade à Estratégia 6.2, emergiram duas expressões numéricas

equivalentes. Giovanna, Fernando, Angélica e Cláudio escreveram essas expressões

atentando-se para o número do termo; já Tânia escreveu-as primeiramente,

considerando o total de quadrados em cada “coluna” e “linha” e, em seguida, na

forma multiplicativa. No final, ao passarem para a expressão algébrica, apenas Tânia

substituiu as variáveis por “n + 2”, sem precisar escrever as expressões numéricas

intermediárias5, como foi necessário nas tarefas anteriores. As expressões algébricas

foram simplificadas somente por Fernando e Angélica (vide Tabela 5.16).

Percebemos nas respostas dos alunos que ninguém apresentou resistência em

aceitar a “falta de fechamento”.

Angélica e Cláudio1º termo = 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2

2º termo = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

3º termo = 3 + 3 + 3 + 2 + 3 + 2

8º termo = 8 + 8 + 8 + 2 + 8 + 2

30º termo = 30 + 30+ 30 + 2 + 30 + 2

5 Expressões numéricas cujas variáveis foram relacionadas com o número do termo.

Giovanna e Fernando Tânia1º termo = 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 1º termo = 3 + 3 + 1 + 1 = 2 x 3 + 2 x 1

2º termo = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2º termo = 4 + 4 + 2 + 2 = 2 x 4 + 2 x 2

3º termo = 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 3 3º termo = 5 + 5 + 3 + 3 = 2 x 5 + 2 x 3

8º termo = 8 + 2 + 8 + 2 + 8 + 8 8º termo = 10 + 10 + 8 + 8 = 2 x 10 + 2 x 8

30º termo = 30 + 2 + 30 + 2 + 30 + 30 30º termo = 32 + 32 + 30 + 30 = 2 x 32 + 2 x 30

TABELA 5.15 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS DO QUADRADO - 6ª TAREFA

161

Na validaç

Tân

qua

Pro

Tân

Na

ordem em

diferente d

Do

expressão

algébricas

encontrar

5.18). No

encontrada

pudessem

segundo c

precisar s

posteriorm

Tânia pre

semelhant

Giovanna,

as expres

algébrica c

estava te

Alu

ANGÉLICA

GIOVANNA

TÂNIA

CLÁUDIO

FERNANDO

TABELA 5.16 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DO QUADRADO

ão do 3º termo Tânia calculou:

ia: Duas vezes três, vai dar seis, mais dois, oito, mais seis,

torze.”(Termo n = 2 x n + 2 + 2 x n)

fessora: Deu certo?

ia: Não, tinha que dar dezesseis.

primeira linha do diálogo, notamos que Tânia procedeu aos cálculos na

que eram escritas as operações, gerando como resposta um valor

o esperado.

is foram os caminhos encontrados pelos alunos para escreverem a

algébrica do total de ímãs: um deles consistiu em somar as expressões

do círculo e do quadrado (vide Tabela 5.17); e o outro, consistiu em

a expressão algébrica a partir do total de ímãs em cada termo (vide Tabela

primeiro caso, lembramos das expressões algébricas do círculo,

s anteriormente (x x x ou x2), para que Fernando, Angélica e Cláudio

somá-las às expressões algébricas do quadrado. Tânia, que optou pelo

aso, escreveu a expressão numérica do total de ímãs de cada termo sem

omar a expressão do círculo com a expressão do quadrado e,

ente, reescreveu-a relacionando com o número do termo. Ao simplificá-la,

ocupou-se em operar como num polinômio (operar com os termos

es e com os termos independentes, separadamente - vide Tabela 5.18).

em contraposição, precisou recorrer à seqüência construída, retomando

sões numéricas do total de ímãs e, só então, escreveu a expressão

orretamente. Podemos dizer que a aluna, em termos de Mason (1996a),

ntando “constituir um sentido para” as construções das expressões

nos Expressões algébricas

Termo n = n + n + n + 2 + n + 2 = 4n + 4 (Angélica)

Termo n = n + 2 + n + 2 + n + n

Termo n = 2 x n + 2 + 2 x n

Termo x = x + x + x + 2 + x + 2

Termo x = x + 2 + x + 2 + x + x = 4x + 4 (Fernando)

162

algébricas, sendo que, freqüentemente, a aluna voltava a manipular o material

buscando entender as relações envolvidas e, desta forma, chegar às expressões

algébricas solicitadas. Giovanna ainda estava em processo de internalização.

A Tabela 5.17 apresenta as expressões algébricas que representam o total

de ímãs de um termo qualquer de cada um dos alunos.

A Tabela 5.18 apresenta as expressões referentes à estratégia utilizada por

Tânia:

algéb

uma

uma

Alunos Expressões algébricas(círculos + quadrados)

Fernando x2 + 4x + 4

Angélica n2 + 4n + 4

Giovanna n + 2 + n + 2 + n + n + n x n

Cláudio x x x + x + x + x + 2 + x + 2

TABELA 5.17 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DO TOTAL DE ÍMÃS

TABELA 5.18 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS E ALGÉBRICA (TOTAL DE ÍMÃS)

Um fato chamou-nos a atenção. Angélica, ao escrever a expressãorica do total de ímãs (n2 + 4n + 4), lembrou da forma normal (ou reduzida) de

equação de 2º grau, comentando:

Angélica: Que bonitinho, é só por um zerinho na frente! (n2 + 4n + 4 = 0)

Este é um exemplo de que Angélica tem internalizado a forma (reduzida) de

equação de 2º grau.

TÂNIA

1º termo = 3 x 3 = 9 (2 + 1) x (2 + 1) = 9

2º termo = 4 x 4 = 16 (2 + 2) x (2 + 2) = 16

3º termo = 5 x 5 = 25 (3 + 2) x (3 + 2) = 25

4º termo = 6 x 6 = 36 (4 + 2) x (4 + 2) = 36

Termo n (n + 2) x (n + 2) = 2n +4

163

Apenas Tânia e a dupla (Fernando e Angélica), encontraram outras

maneiras de escrever a expressão algébrica do total de ímãs. Tânia escreveu a

expressão equivalente ao total de ímãs, dessa vez, somando as expressões

algébricas do círculo e do quadrado. Em relação à dupla, conforme havíamos tratado

no início da tarefa, retomamos a Estratégia 6.3, estabelecida por Angélica, e então,

a partir dela, eles escreveram as expressões numéricas do 2º e 3º termos: “2º termo

= 4 x 2 + 4” e “3º termo = 4 x 3 + 4”. Estas expressões, constituídas por “variáveis

diretamente substituíveis”, foram substituídas por uma determinada letra escolhida

pelos alunos, ou seja, “n” e “x” (vide Tabela 5.19).

5.8 ANÁLISE DA 7ª TAREFA (Qual expressão é maior, n + 2 ou 2n?)

Após constatarmos que a maioria dos alunos apresentou dificuldade em

responder a este item da Atividade de Sondagem, decidimos retomá-lo; porém,

desta vez, no contexto de representação dos termos da seqüência, utilizando para

isto, a prancha e os ímãs. Inicialmente foi explicado que esta tarefa caminharia no

sentido oposto aos procedimentos das seis primeiras, onde apresentamos a

seqüência e, então, os alunos encontravam a lei geral. Nesta, os alunos partiriam

das leis “2n” e “n + 2”, e então, construiriam as seqüências para que pudessem

responder ao item solicitado.

Alunos Expressões equivalentes

Fernando 4 x x + 4 + x2

Angélica n x 4 + 4 + n2

Giovanna ------------

Cláudio ------------

Tânia n x n + 2 x n + 2 + n x 2

TABELA 5.19 - EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DO TOTAL DE ÍMÃS(EQUIVALENTES)

164

Dividiremos esta tarefa em dois itens: no Item 5.8.1, estaremos descrevendo

o método utilizado pelos alunos quanto ao cálculo do número de ímãs para cada

termo e sua organização; e no Item 5.8.2, analisaremos as respostas dos alunos. A

tarefa propiciou momentos onde os alunos aplicaram conceitos algébricos

trabalhados nas tarefas anteriores, buscando estabelecer relações que certamente

contribuíram para a reflexão deste item.

5.8.1 Representação dos termos das seqüências (quantidade eorganização dos ímãs)

Os alunos, em geral, não apresentaram dificuldade em determinar a

quantidade de ímãs em cada termo, porém, surgiram dúvidas quanto à organização.

5.8.1.1 Cálculo da quantidade de ímãs em cada termo

Todos os alunos iniciaram a atividade calculando o número de ímãs para

cada um dos cinco primeiros termos das seqüências (n = 1, 2, 3, 4 e 5). Quanto à lei

“n + 2”, eles substituíram os valores de n por (1, 2, 3, 4 e 5) na expressão,

encontrando a quantidade de ímãs para cada um dos termos. Nenhum aluno

apresentou dificuldade neste procedimento. Com relação à expressão “2n”, a dupla

(Fernando e Angélica) e Tânia utilizaram a mesma estratégia, ou seja, a partir do

produto, calcularam o número de imãs para (n = 1, 2, 3, 4, 5). Giovanna em nenhum

momento pensou na multiplicação; para ela, a operação envolvida na expressão “2n”

era a adição (“2n” era igual a “n + n”), e foi desta forma que os valores da seqüência

“2n” foram calculados - substituindo-se o número do termo na expressão “n + n”.

Quando perguntamos a Cláudio sobre a operação envolvida na expressão “2n”, ele

disse ser a “adição”. Talvez Cláudio também estivesse pensando como Giovanna

“2n = n + n”. Para ter mais clareza sobre a interpretação do aluno, a professora

pesquisadora interferiu:

Professora: Então quer dizer que 2n é igual a 2 + n?

Cláudio: Não.

165

Cláudio, de imediato, corrigiu sua resposta dizendo que a operação

envolvida era a multiplicação, e isto foi suficiente para que ele calculasse

corretamente os primeiros cincos termos.

5.8.1.2 Organização dos ímãs

Quanto à organização dos ímãs na representação dos termos, os alunos não

levaram em conta a expressão geral das seqüências; eles focaram suas

organizações nos valores específicos de cada termo, isto é, no total de ímãs. Isto foi

especialmente evidenciado no caso de “n + 2”, onde surgiram diferentes padrões

(vide Figuras 5.36, 5.37, 5.38, 3.39). Tratando-se da expressão “2n”, talvez a

familiaridade com valores múltiplos de dois tenha contribuído para que os alunos

organizassem os ímãs de forma regular - vertical ou horizontalmente, mas sempre

com a atenção focada ao total de imãs f(n), e não ao número do termo “n”.

Apresentaremos as construções das seqüências:

FIGURA 5.36 - ORGANIZAÇÃO DE TÂNIA

166

FIGURA 5.37 - ORGANIZAÇÃO DE FERNANDO E ANGÉLICA

FIGURA 5.38 - ORGANIZAÇÃO DE CLÁUDIO

FIGURA 5.39 - ORGANIZAÇÃO DE GIOVANNA

167

No caso de Tânia, no início da construção, parecia que ela estava

considerando a expressão geral, pelo fato de que os dois primeiros termos possuíam

dois ímãs na posição vertical, representando o termo independente da expressão

“n + 2”, e os demais ímãs na posição horizontal, representando o número do termo

“n”. (vide Figura 5.36). No entanto, no 3º, 4º e 5º termos, a aluna acrescentou um

ímã na posição vertical, diminuindo em um o número do termo na posição horizontal,

procedimento este que dificultou nosso entendimento quanto à estratégia utilizada. É

possível que, continuando a seqüência, Tânia tenha percebido essa mudança, mas

não houve evidências em sua fala que essa estratégia foi uma escolha consciente.

Considerando o trabalho da dupla, Fernando e Angélica, cada um construiu

uma seqüência, sendo que Fernando optou pela expressão “2n” e Angélica ficou

com a expressão “n + 2” (vide Figura 5.37). Em seguida, houve a verificação da

construção pelo seu parceiro, onde a atenção estava voltada ao número de ímãs em

cada termo e não aparentemente à estrutura. Cláudio construiu os termos da

expressão “n + 2” similar à expressão “2n”, ou seja, organizando os ímãs

regularmente, “de dois em dois”, na posição horizontal (vide Figura 5.38). Giovanna

organizou os ímãs da expressão “n + 2” na posição vertical (vide Figura 5.39). Com

as construções cumpridas, colocamos a questão: Quem é maior, “n + 2” ou “2n”?

5.8.2 Análise das respostas

Em resposta a este item, apesar de todos os alunos terem efetuado uma

comparação termo a termo entre as duas seqüências, estabelecendo oralmente as

relações: para n = 1 .......... n + 2 > 2n; para n = 2 .......... n + 2 = 2n; para n ≥ 3 .......... n + 2 < 2n;

eles insistiam em dar como resposta uma das expressões (“2n” ou “n + 2”). Os

alunos que responderam “n + 2”, consideraram apenas o 1º termo das duas

seqüências, comparando-os. Os demais alunos que responderam “2n” perceberam

intuitivamente que a partir do 3º termo, a quantidade de ímãs de “2n” sempre seria

maior que “n + 2”. Os diálogos que apresentaremos a seguir mostram claramente

que os alunos sabiam que a resposta dependia do valor do termo “n”. Fernando, por

168

exemplo, teve a iniciativa de responder a questão proposta, sugerindo ser “2n” a

maior expressão, justificativa esta baseada nas construções do primeiro e último

termos. Quando o aluno percebeu que no 1º termo, “n + 2” era maior, interrompemos

o diálogo e direcionamos a questão à Angélica, que respondeu:

Angélica: Um é igual, outro não é... (Angélica estava se referindo aos dois

primeiros termos).

Fernando interrompeu:

Fernando: Dependendo do termo ele é maior, mas dependendo do termo ele é menor.

Considerando o 1º termo, Fernando substituiu “n” por 1 e completou:

Fernando: Dois mais um é maior que duas vezes um.

Angélica e Fernando compararam com suas mãos, termo a termo, chegando

à conclusão que “2n” era maior a partir do 3º termo.

Tânia por sua vez, respondeu em termos de maior probabilidade, tratando o

1º e 2º termos como exceções.

Acho que agora, a probabilidade de 2n ser maior vai ser freqüente, porque vai

aumentando.

Cláudio, inicialmente, respondeu que a expressão maior era “n + 2”

justificando que o 1º termo, quando n = 1, para “n + 2”, resultava em 3, e para “2n”

resultava em 2. Neste momento parece que ele estava atribuindo apenas um valor

para “n”. Após questionarmos sobre os outros termos das seqüências, Cláudio

percebeu que o valor numérico da expressão dependia do valor de “n”.

Professora: O que você acha que vai acontecer depois? (depois do 3º termo)

Cláudio: Eu acho que 2n vai continuar maior.

Giovanna, assim como Cláudio, também começou considerando apenas

o 1º termo. Ela respondeu que “n + 2” era maior que “2n”. Logo em seguida, sem

intervenção da professora, com suas mãos sobre os ímãs, Giovanna percebeu

que no 2º termo a quantidade de ímãs era igual, logo “2n = n + 2” e que, a

partir do 3º termo “2n”, era maior que “n + 2”. (Vale a pena ressaltarmos que os

valores negativos para “n” não foram considerados, isto porque no contexto de

169

seqüências, a letra “n” é associada ao número do termo; desta forma, números

negativos não são privilegiados - é uma limitação neste tipo de atividade).

Dando continuidade a nossa análise, faremos uma síntese das respostas

dos alunos para este item, na Atividade de Sondagem, e na 7ª Tarefa. A Tabela 5.20

apresenta as respostas dos alunos, nestes dois momentos:

Percebemos na tabela supra, que todos os alunos na Atividade de

Sondagem, responderam “n + 2”. Entretanto, na 7ª Tarefa, alguns mudaram de

opinião: Fernando, Tânia e Cláudio, por exemplo, consideraram a “freqüência” com

que “2n” aparecia como expressão “maior” (a partir do 3º termo). Angélica e

Giovanna utilizaram a análise do início da tarefa comparando termo a termo.

Lembramos que setenta e um por cento dos alunos ingleses escolheram também

uma resposta, no caso “2n”. Neste sentido, podemos pensar que a forma de como

foi introduzido o item, “Qual é ...”, pode ter induzido os nossos alunos a pensarem

que deveriam escolher uma das duas expressões como resposta. Isto é uma

indicação de que os alunos não estão acostumados a itens como este, onde a

resposta seria, por exemplo, “depende do valor de n”.

Alunos Atividade de Sondagem 7ª Tarefa

Fernando “n + 2, porque 2n está representando um

termo e o n + 2 representa dois termos”.

“2n é maior do 3º termo em diante”.

Tânia “n + 2, porque n corresponde a 1,

portanto n + 2 = 3n”

“a probabilidade de 2n ser maior vai

ser freqüente, porque vai

aumentando”.

Cláudio “n + 2, porque n = 1 + 2 = 3” “Eu acho que 2n vai continuar

maior”.

Angélica “n + 2” “Um é igual, o outro não é”.

Giovanna “n + 2, porque nós somamos n com o 2” “no 1º termo n + 2 é maior, no 2º

termo é igual e no 3º termo, 2n é

maior”

TABELA 5.20 - RESPOSTAS DOS ALUNOS - “Quem é maior 2n ou n + 2?”

170

Alguns aspectos envolvidos nas seis tarefas contribuíram na construção das

expressões “2n” e “n + 2”, como por exemplo, a determinação da quantidade de

ímãs em cada termo, obtida pela substituição de “n” por alguns valores que

representam o número do termo (processo utilizado com freqüência pelos alunos,

nas tarefas anteriores, durante a validação). Podemos acrescentar, também, o fato

dos alunos se encontrarem, de certa forma, mais familiarizados com os conceitos

aritméticos e algébricos envolvidos na atividade, como por exemplo, os “termos”, as

“regularidades” e a “regra geral”.

Entendemos, que a 7ª Tarefa propiciou uma situação onde os alunos,

efetivamente, aprofundaram-se nos estudos das duas expressões “2n” e “n + 2”,

construindo-as, comparando-as, enfim, verificando as peculiaridades de cada uma,

contribuindo assim, para o processo de “internalização”. Em todas as tarefas os

mediadores externos (pranchas e ímãs) foram utilizados como estratégias de acesso

à solução do problema, porém a “natureza das respostas” referentes às seis

primeiras não foi a mesma em relação à última. Nas seis primeiras, os alunos

partiram do material concreto e chegaram à regra geral; no sentido oposto, os alunos

na 7ª Tarefa, partiram da regra geral (o abstrato) para o particular utilizando o

material concreto, e depois, voltaram às generalizações para responderam o item

proposto. Isto quer dizer, que não era suficiente que os alunos construíssem as

seqüências; eles necessitavam examiná-las cuidadosamente para que chegassem a

uma conclusão. Para isto, os alunos, no que diz respeito à Espiral de

Desenvolvimento de Mason, em suas “articulações” com as expressões algébricas e

depois aritméticas, foram capazes, através da “manipulação” e “constituindo um

sentido para” os ímãs, construir as seqüências referentes à “2n” e “n + 2”,

possibilitando estabelecer as diferenças entre as mesmas. Neste momento,

identificamos uma das idéias de Mason quanto à forma de desenvolver a percepção

de generalidade - sensibilizar pela distinção entre “olhar através” e “olhar para” -

“trabalhar sobre” e “trabalhar através”, ou seja, ver a generalidade através do

particular e ver o particular no geral.

171

5.9 SÍNTESE DO CAPÍTULO

Finalizaremos este capítulo apresentando o comportamento dos alunos

durante as entrevistas e um quadro resumo referente às trajetórias dos mesmos

para cada tarefa.

5.9.1 Comportamento dos alunos nas tarefas

Giovanna foi uma aluna que vibrou a cada acerto; entretanto, quando

percebia não conhecer a resposta de um determinado item, requisitava a professora

pesquisadora para que o explicasse. Por exemplo:

Giovanna: Ah! Mas eu queria descobrir, eu vou ficar até amanhã para

descobrir isso! (Isto aconteceu na 1ª Tarefa, quando já estava

finalizando-a.)

Por outro lado, durante as interferências da professora pesquisadora,

Giovanna interrompia e voltava a suas tentativas. Parece que ela queria somente

uma indicação sobre estar caminhando na linha certa. Na maioria das vezes, não

demonstrou cansaço no final das tarefas, fazendo com que a professora

pesquisadora ficasse mais à vontade para incentivá-la a encontrar outras

regularidades para a seqüência trabalhada.

Tânia também foi uma aluna persistente, não desistindo frente a um

obstáculo. Durante as atividades que acompanhou com sucesso, sua alegria foi

contagiante. No entanto, esmorecia ao perceber que em algumas situações não

respondia corretamente. Nestes momentos, procurávamos encorajá-la para que não

desanimasse.

Apesar de Cláudio possuir uma certa dificuldade na construção dos termos e

na forma de organizá-los espacialmente, teve um bom desempenho nos itens

solicitados. Suas respostas foram claras e objetivas. No último item das tarefas,

onde pedíamos para que os alunos encontrassem outras regularidades, geralmente

o aluno não se empenhava em responder o item; talvez por cansaço.

Angélica mostrou-se uma pessoa tímida e tranqüila. No transcorrer das

tarefas em dupla, Fernando freqüentemente respondia antes que Angélica;

172

entretanto, com o passar do tempo, foi constatado que a aluna, além do problema

visual, também possuía uma deficiência auditiva. A professora pesquisadora passou,

então, a falar mais alto e direcionar as questões para que Angélica tivesse as

mesmas oportunidades de resposta em relação à Fernando. Por iniciativa dos

próprios alunos, nos itens que solicitavam a construção dos termos, cada aluno

construía um termo e, em seguida, verificavam a construção do seu colega. Houve

algumas situações em que Fernando explicou à Angélica as estratégias utilizadas

para suas respostas. No final da 4ª tarefa, Angélica estava mais confiante, o que fez

melhorar sua participação. Fernando pensava com rapidez e, em alguns momentos,

levantava questões fundamentadas ao que tínhamos trabalhado. Foi um aluno um

pouco ansioso e agitado; enquanto esperava sua vez para responder, ficava

movimentando suas mãos sobre a mesa, parecendo já saber a resposta.

5.9.2 Resumo das tarefas

Na 1ª Tarefa os alunos não estabeleceram uma regra para um termo geral.

As relações foram expressas oralmente, considerando apenas as relações entre

termos.

Quanto à 2ªTarefa, cuja lei geral era definida por f(n) = 4n, todos os alunos

escreveram a expressão algébrica. Os valores familiares, da “tabuada do quatro“ (4,

ALUNOS RELAÇÃO DERECORRÊNCIA

REGRA GERAL

Linguagem

natural

Linguagem

natural

Expressões

numéricas

Expressões

algébricas

Expressões

equivalentes

Angélica X

Giovanna X

Tânia X

Cláudio X

Fernando X

TABELA 5.21 - RESUMO DA 1ª TAREFA

173

8, 12, 16...), proveniente desta lei, contribuíram para o sucesso desta tarefa. Os

alunos não encontraram outras regularidades.

ALUNOS REGRA DERECORRÊNCIA

REGRA GERAL

Linguagem

natural

Linguagem

natural

Expressões

numéricas

Expressões

algébricas

Expressões

equivalentes

Angélica X X X

Giovanna X X X

Tânia X X X

Cláudio X X X X

Fernando X X X

Na 3ª Tarefa, a maioria dos alunos iniciou suas observações estabelecendo

uma relação entre termos; por fim, todos escreveram as expressões algébricas, e

apenas Fernando e Angélica encontraram outra regularidade.

ALUNOS REGRECO

Lin

n

Angélica

Giovanna

Tânia

Cláudio

Fernando

Já em relação

uma relação para u

algébricas do círcu

familiarizados com a

TABELA 5. 23 - RESUMO DA 3ª TAREFA

R

gu

a

m

lo

es


RA DERÊNCIA

REGRA GERAL

agem

tural

Linguagem

natural

Expressões

numéricas

Expressões

algébricas

Expressões

equivalentes

X X X X X

X X X

X X X X

X X X X

X X X X

à 4ª Tarefa, a maioria dos alunos estabeleceu, desde o início,

a regra geral. Apenas Tânia não escreveu as expressões

e do total de ímãs. Os alunos pareciam estar mais

trutura das tarefas.

174

ALUNOS REGRECOR

Ling

na

C

Angélica

Giovanna

Tânia

Cláudio

Fernando

A 5ª Tarefa, d

entre a quantidade o

maioria dos alunos

termos. Tânia foi a

termo desde o início.

ALUNOS REGRECOR

Ling

na

Angélica

Giovanna

Tânia

Cláudio

Fernando


RA DERÊNCIA

REGRA GERAL

uagem

tural

Linguagem

natural

Expressões

Numéricas

Expressões

algébricas

Expressões

Equivalentes

Q T C Q T C Q T C Q T C Q T

X X X X X X X X X

X X X X X X X X

X X X X X

X X X X X X X X

X X X X X X X X X

l
C - Círculo Q - Quadrado T - Tota
efinida pela lei quadrática f(n) = (n + 1)2 dificultou uma relação

u organização dos ímãs e o número do termo. Desta forma, a

iniciou suas observações estabelecendo uma relação entre

única aluna que estabeleceu uma relação com o número do

RA DERÊNCIA

REGRA GERAL

uagem

tural

Linguagem

natural

Expressões

numéricas

Expressões

algébricas

Expressões

equivalentes

X X X X

X X X X

X X X

X X X X

X X X X X


175

Quanto à 6ª Tarefa, cuja lei de formação era definida por f(n) = (n + 2)2,

Giovanna, Tânia e Fernando iniciaram suas relações considerando o número do

termo. O item que solicitou as expressões algébricas do total de ímãs foi cumprido

com sucesso por todos os alunos, e três deles, no final da tarefa, estabeleceram

outras regularidades. Eles foram além das expectativas da pesquisadora.

ALUNOS REGRRECOR

Lingu

na

C

Angélica X

Giovanna

Tânia

Cláudio X

Fernando

O Capítulo 6 s

teóricos mencionados

de Sondagem e nas t

A DE
RÊNCIAREGRA GERAL

agem

tural

Linguagem

natural

Expressões

Numéricas

Expressões

algébricas

Expressões

Equivalentes

Q T C Q T C Q T C Q T C Q T

X X X X X X X X X X

X X X X X X X

X X X X X X X X

X X X X X X X X

X X X X X X X X X

C - Círculos Q - Quadrados T - Total

erá dedicado às conclusões do estudo tomando como base os

anteriormente e os resultados obtidos na análise da Atividade

arefas.

176

CAPÍTULO 6Conclusão

6.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo, tendo como base a análise dos dados, procuraremos expor

resumidamente nossas conclusões dividindo-o em quatro partes, sendo a primeira

um breve relato da trajetória de nosso estudo; a segunda, uma síntese dos principais

resultados obtidos na Atividade de Sondagem e nas sete tarefas; quanto à terceira

parte, retomaremos a questão de pesquisa tendo como apoio a análise dos

resultados e as pesquisas internacionais por nós apresentadas; e, finalmente, na

quarta parte, faremos algumas sugestões para futuras pesquisas relacionadas com o

tema.

6.2 A TRAJETÓRIA DO ESTUDO

A realização desta pesquisa teve como objetivo principal investigar a

compreensão de objetos algébricos, especificamente, seqüências de padrões

figurativos por alunos sem acuidade visual (s.a.v.), e elaborar atividades que

facilitassem sua participação em atividades de generalização.

Iniciamos nossa trajetória expondo as principais características inerentes aos

alunos s.a.v., tendo como base o documento intitulado “Declaração de Salamanca”,

as alterações sugeridas pelo PCN - “Adaptações Curriculares”, e a posição

defendida por Vygotsky (1983) referente à integração social da criança portadora de

alguma deficiência. Vygotsky acreditava que estas crianças tinham potencial para

um desenvolvimento normal, e que este potencial deveria ser encontrado nas áreas

das funções psicológicas superiores, com o auxílio de quatro processos

considerados pelo autor como essenciais para este desenvolvimento: “as relações

sociais entre os indivíduos”, a “mediação”, a “internalização” e o “desenvolvimento

de sistemas simbólicos” (Capítulo 1).

177

No Capítulo 2, pesquisamos sobre as dificuldades dos alunos na apreensão

de conceitos algébricos, tendo como base pesquisas internacionais em Educação

Matemática realizadas por Küchemann (1981), Booth (1988) e Mason (1996a).

A pesquisa de Küchemann (1981) teve contribuição fundamental em nosso

estudo, principalmente na elaboração e análise da Atividade de Sondagem. Em

relação à sua elaboração, 14 dos 21 itens (contando os subitens) foram

selecionados a partir da pesquisa de Küchemann (1981). Estes itens permitiram que

identificássemos as dificuldades encontradas por nossos alunos em questões que

envolviam a apreensão de conceitos algébricos. No que diz respeito à análise da

Atividade de Sondagem, outra contribuição relevante foi a classificação por níveis,

levando em conta as seis categorias de interpretação das letras (“letra como valor”,

“letra não utilizada”, “letra como objeto”, “letra como uma incógnita específica”, “letra

como um número generalizado” e “letra como variável”), e a complexidade estrutural

dos itens - fatores que determinaram a organização dos nossos alunos (em grupo ou

individualmente) durante as entrevistas.

Tivemos um particular interesse no trabalho desenvolvido por Booth (1988), o

qual procurou entender as dificuldades dos alunos em passar para os níveis mais

elevados (3 e 4 – níveis descritos por Küchemann), identificando e investigando as

razões dos tipos de erros que os alunos normalmente cometem, referentes aos

aspectos: “o foco da atividade algébrica e a “natureza das respostas”; o uso da

notação e da convenção; o significado das letras e das variáveis; os tipos de

relações e métodos usados em aritmética”. Estes aspectos foram identificados com

freqüência na Atividade de Sondagem e nas simplificações e validações das

expressões algébricas durante as tarefas.

O estudo de Mason (1996a) refletiu sobre a relevância da generalidade no

entendimento da Álgebra, as dificuldades dos alunos nesta aprendizagem e os

diferentes caminhos percorridos pelos alunos até chegarem à expressão de

generalização. Mason apresenta a “Espiral de Desenvolvimento” no processo de

generalização, que se inicia com a “manipulação confiante”, passando pelo

entendimento e articulação do sentido, até que a articulação torne-se uma

manipulação confiante, reiniciando-se, assim, o processo. No transcorrer das

tarefas, tentamos identificar os momentos em que eram verificadas as fases de

desenvolvimento descritas por Mason.

178

Com base nessas idéias teóricas, organizamos o desenvolvimento da

pesquisa em duas fases (Capítulo 3): a primeira dedicada à elaboração da Atividade

de Sondagem, às sete tarefas de generalização e à elaboração do material

manipulativo; a segunda, destinada à realização destas atividades. As seis primeiras

tarefas envolvendo generalização de padrões figurativos foram selecionadas

atendendo as sugestões dos PCN, de Küchemann (1981) e Mason (1996a). Ainda

no Capítulo 3, apresentamos nossos sujeitos e os instrumentos utilizados por eles no

sistema de escrita Braille. Os capítulos 4 e 5 foram dedicados às análises das

Atividades de Sondagem e das sete tarefas, respectivamente. Na seção 6.3,

daremos início à síntese dos principais resultados do estudo.

6.3 SÍNTESE DOS PRINCIPAIS RESULTADOS

Organizaremos esta seção em duas partes, sendo a primeira voltada para a

Atividade de Sondagem e, a segunda, dedicada às tarefas.

6.3.1 A Atividade de Sondagem

A Atividade de Sondagem possibilitou-nos identificar algumas dificuldades

encontradas pelos alunos durante as resoluções dos itens. Faremos um breve relato

para cada uma das dificuldades.

- Atribuição desnecessária de valores específicos às letras

Alguns alunos atribuíram, desnecessariamente, valores específicos às letras,

ajustando-os em relação aos resultados das expressões. Isto ocorreu em dois itens

estruturados com duas equações, como em um sistema. A categoria de

interpretação das letras associada a este tipo de resolução é descrita por

Küchemann como “letra como valor”.

- Não aceitação à “falta de fechamento”

As simplificações com polinômios, quando efetuadas pelos nossos alunos,

não foram resolvidas com sucesso. A maioria dos alunos operou com todos os

termos da expressão, somando ou subtraindo os coeficientes numéricos, e

179

multiplicando ou apenas incluindo as partes literais. Isto aconteceu freqüentemente

porque os alunos insistiram em dar uma resposta com um único termo, não

aceitando a “falta de fechamento”. Identificamos este tipo de erro pertencendo ao

aspecto citado por Booth (1988) como “o foco da atividade algébrica” e a “natureza

das respostas”.

- A operação de multiplicação não é percebida na escrita simplificada (2n)

A associação de expressões do tipo “4n“ como soma (“4 + n”) em vez de

produto foi um erro comum entre os alunos que participaram deste estudo, e refere-

se a um dos aspectos mencionados por Booth (1988) como “uso da notação e

convenção” na Aritmética e na Álgebra. Os alunos substituíram o valor numérico de

“n” e somaram todos os elementos da expressão.

- Dificuldade em itens que envolvem as categorias, “letra como um númeroespecífico desconhecido” , “letra como um número generalizado” e “letracomo variável”

Verificamos que os itens que envolviam as três últimas das categorias de

Küchemann (1981), não foram respondidos com sucesso por nossos alunos. Quanto

à categoria “letra como um número específico desconhecido”, os alunos tiveram

dificuldade em operar com o desconhecido e, por este motivo, alguns atribuíram

valores às letras, desnecessariamente. Na categoria “letra como número

generalizado”, em particular, os alunos não perceberam que as letras eram usadas

como um número generalizado, capazes de assumir diversos valores e que, em um

determinado momento, as letras, apesar de diferentes, poderiam assumir o mesmo

valor. Em relação à categoria “letra como variável”, o baixo índice de acertos talvez

ocorreu porque os alunos não admitiram que os valores das expressões dependiam

dos valores atribuídos à variável. Constatamos que as dificuldades dos alunos s.a.v.,

em geral, são muito semelhantes às dos alunos videntes que participaram da

pesquisa de Küchemann (1981) e de nosso estudo “piloto” (vide Anexo C).

180

6.3.2 As tarefas (entrevistas)

Nesta seção, apresentaremos uma síntese dos principais resultados

discutidos no capítulo da análise das tarefas, considerando a análise vygotskiana na

visão de Oliveira (2003), o estudo de Mason (1996a) e as justificativas dos erros

cometidos pelos alunos discutidas por Booth (1988). Ao nosso entender, as idéias

de Vygotsky e o estudo de Mason estão presentes em toda a tarefa, enquanto as

considerações de Booth aparecem apenas no final, quando os alunos escrevem as

expressões matematicamente. Organizamos esta seção em três partes.

Primeiramente, comentaremos sobre aspectos vygotskyanos; em seguida, faremos

as observações focadas em Mason; e finalmente, falaremos sobre as justificativas

dos erros dos alunos nos termos de Booth.

Segundo a perspectiva vygotskiana, descrita por Oliveira (2003), a prancha e

os ímãs, a linguagem, os sistemas de contagem, as técnicas mnemônicas, os

sistemas simbólicos algébricos, as figuras e a escrita Braille (todos considerados

como signos) agem como mediadores, podendo, assim, contribuir para o

desenvolvimento das funções psicológicas superiores. As marcas externas

(definidas por Oliveira como instrumentos externos e palpáveis que possuem uma

carga semiótica, simbólica), identificadas em nosso estudo como sendo a prancha e

os ímãs, vão, com o passar do tempo, transformando-se em signos internos; ou seja,

os objetos do mundo real vão sendo substituídos por representações mentais que se

fazem necessárias no processo de internalização. Durante as atividades,

identificamos como representações mentais (signos internos) as relações de

generalidade, baseadas nos padrões das seqüências; e as expressões numéricas e

algébricas.

As evidências nas falas e produções em Braille dos sujeitos, ao longo das

tarefas, indicaram que os signos externos eram gradualmente internalizados,

permitindo a construção de novos significados para as letras em expressões

algébricas. Geralmente este processo é lento, dificultando a percepção do momento

em que o processo de internalização completou-se. Em algumas situações, a

internalização de alguns conceitos ficou evidente quando, por exemplo, os alunos

necessitaram buscá-los junto às funções psicológicas superiores, como aconteceu

ao trabalharem na 2ª Tarefa, cuja lei era definida como sendo f(n) = 4n, onde os

mesmos identificaram os valores (4, 8, 12, 16...) como pertencendo à “tabuada do

181

quatro” (conceito já internalizado por eles). No transcorrer das tarefas percebemos

uma crescente familiaridade com os elementos e processos utilizados pelos alunos,

como seqüência, termo, padrão de regularidade, expressões numéricas, algébricas,

equivalentes e validação. Ressaltamos que, em diferentes momentos, alguns alunos

apresentaram um tratamento diferente em relação aos símbolos algébricos:

enquanto eles estavam construindo as expressões algébricas, a letra, representando

o número do termo, parecia ter significado para eles. Entretanto, no momento da

simplificação, ocorria uma desconexão da expressão algébrica à situação dos ímãs,

sugerindo que o processo de internalização ainda estava em andamento.

Em geral, a trajetória percorrida por nossos alunos em busca da

generalização segue àquela sugerida nos itens de cada tarefa: eles partiram da

representação de termos específicos e suas justificativas; em seguida, foram

construídas as expressões numéricas e algébricas (incluindo as expressões que

representavam outras regularidades - as expressões equivalentes); e por fim, a

validação das mesmas. Destacamos que todas as respostas dos alunos, inclusive

com relação às expressões numéricas e algébricas, foram expressas, inicialmente,

em linguagem natural, e em seguida, registradas no sistema Braille. Neste caminho,

tentamos identificar as fases da Espiral de Desenvolvimento, descritas por Mason

(1996a). Verificamos, em algumas situações, que o desenvolvimento em busca da

generalização não ocorria, necessariamente, de forma linear. Podemos citar como

exemplo, a situação em que o aluno ao apresentar dificuldade para escrever a

expressão algébrica de uma das seqüências apresentadas, voltava a manipular os

imãs, na tentativa de encontrar uma outra regularidade. Observamos, também, que

mesmos os alunos que não apresentaram dificuldade no transcorrer das tarefas,

utilizaram a “manipulação” dos ímãs em todo o processo de generalização (com

maior freqüência no início das atividades). Ao nosso entender, este procedimento

era natural, uma vez que nossos sujeitos eram alunos s.a.v.. A “articulação”,

presente em todo o processo de generalização, auxiliava-os nas estratégias em que

eram envolvidas uma relação entre termos (relação de recorrência) ou uma relação

com o número do termo. O esforço para trazer os objetos para a “articulação” fazia

com que esta se desenvolvesse, “constituindo um sentido para” o material concreto,

isto é, as pranchas e os ímãs.

182

A contribuição de Booth (1988) deu-se nesta fase do estudo, principalmente

durante a simplificação de expressões algébricas e a validação de alguns termos

específicos. Em geral, os erros cometidos pelos alunos durante as simplificações

pertenciam aos aspectos “o foco da atividade algébrica e a natureza das respostas”,

que refletia a dificuldade dos alunos em aceitar a “falta de fechamento”; o “uso da

notação e convenção”, onde os alunos, não percebendo a operação de multiplicação

envolvida na forma reduzida de escrever “2x” , operavam-na como “2 + x”; e o

“significado das letras e das variáveis”, onde para os alunos, letras diferentes

representavam valores diferentes. Um outro erro cometido com freqüência, e

percebido durante validação de termos específicos, está relacionado ao aspecto “os

tipos de relações e métodos usados em aritmética - As convenções aritméticas

malentendidas”, em que os alunos, por pensarem que a seqüência das operações

escritas é que determina a ordem em que os cálculos deveriam ser efetuados, não

fizeram uso dos parênteses, acarretando outros erros no momento da simplificação.

Por outro lado, foi também, neste momento, que os alunos começaram a entender a

necessidade dos parênteses em certas expressões.

Não poderíamos deixar de mencionar a relevância da 7ª Tarefa em nosso

estudo. Ela proporcionou-nos mais um momento para a observação da habilidade

com que os alunos manusearam os objetos trabalhados, destacando o papel do

material como mediador e facilitador na análise deste item. Eles foram capazes de

construir as seqüências definidas pelas leis “2n” e “n + 2”, analisar o comportamento

da seqüência termo a termo, e depois, voltar a generalizar para responderem ao

item proposto. Acreditamos que houve um avanço por parte dos alunos no

tratamento deste item na 7ª Tarefa, comparado com o mesmo na Atividade de

Sondagem. De certa forma, os alunos encontraram-se mais familiarizados com os

conceitos algébricos envolvidos nesta atividade.

Levando em consideração a análise dos resultados obtidos em nosso estudo,

retomaremos nossa questão de pesquisa, respondendo-a na próxima seção.

6.4 RESPOSTA À QUESTÃO DE PESQUISA

Quais os fatores que contribuem na apreensão de expressões algébricas por

alunos sem acuidade visual?

183

O acesso a padrões figurativos para alunos s.a.v. deu-se através de material

constituído por uma prancha de metal e ímãs de diferentes formas geométricas, em

que os alunos, através do tato, percebiam os padrões das seqüências. A mobilidade

dos ímãs favoreceu o agrupamento dos mesmos de diversas maneiras, facilitando a

percepção de outras regularidades. As representações figurativas que descreviam

um padrão, assim como a relação entre termos, a relação entre a organização dos

ímãs e a posição da figura, e a construção de expressões numéricas, contribuíram

na trajetória para que os alunos chegassem a uma regra geral.

O caminho percorrido pelos alunos até a regra geral era proveniente, na

maioria das vezes, da forma como eles percebiam o padrão e construíam os termos.

Assim, no item referente à justificativa da construção dos termos solicitados, alguns

alunos fizeram uma relação com os termos anteriores e posteriores (relação entre

termos). Neste contexto, emergiu a relação multiplicativa que fez parte das duas

primeiras tarefas, onde o aluno calculava a quantidade de ímãs para um termo

qualquer solicitado, mesmo os mais distantes. Devido à eficácia desta relação, o

aluno não precisava encontrar uma outra regra, neste caso, a regra geral. Não

podemos deixar de observar que, em algumas tarefas, a regra entre termos foi útil

na identificação da regra geral, afinal, foram as primeiras tentativas de generalização

expressas em linguagem natural. Outros alunos, em contraposição, utilizavam a

posição da figura nas justificativas das representações dos termos, fator este que os

auxiliou, na maioria das vezes, na formação da regra geral.

Outro fator relevante e facilitador na trajetória até a regra geral foi

requerermos a construção de expressões numéricas antes das expressões

algébricas (seguindo a estratégia de Nakamura (2003)). A construção de expressões

numéricas emergiu de dois caminhos: um deles partiu da organização dos ímãs,

onde os alunos levavam em conta a forma de como os ímãs estavam organizados; o

outro, do total de ímãs, onde os alunos encontravam uma operação que estabelecia

uma relação com o total de ímãs em cada termo. Quanto às expressões algébricas,

estas eram escritas a partir de expressões numéricas, onde as variáveis eram direta

ou indiretamente substituíveis. A passagem da expressão numérica para a algébrica,

onde a variável não era diretamente substituível, não ocorreu de maneira

espontânea para todos os alunos. Alguns precisaram de intervenções da professora

pesquisadora para chegar às expressões algébricas.

184

6.5 IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO

Considerando o pequeno grupo de alunos que participou de nosso estudo,

entendemos que se trata de uma pesquisa que não teve um caráter generalizador,

caracterizando-a como um estudo qualitativo. Esta pesquisa instigou-nos outras

possibilidades de investigação sobre este assunto. Uma delas seria o estudo similar

a este, utilizando o material manipulativo (prancha de metal e os ímãs), direcionado

a um número maior de alunos, porém, videntes. Desta forma, possibilitaríamos uma

situação mais dinâmica no que se refere à aprendizagem de conceitos algébricos.

Uma segunda possibilidade, estaria voltada a um trabalho onde os alunos s.a.v.

estariam integrados em um grupo com alunos videntes, onde poderiam ser

observadas as contribuições dos alunos videntes para a apreensão de conceitos

matemáticos pelos alunos s.a.v. e vice-versa. Desta forma, estaríamos indo ao

encontro das propostas dos PCN e da Declaração de Salamanca, cujo objetivo

principal é o de promover “a educação para todos”. Uma outra possibilidade seria a

utilização deste material em outros ramos da Matemática, como por exemplo, em

Estatística, onde cada ímã, no estudo de gráficos de barras, equivaleria a uma

unidade de medida ou múltiplo de um valor específico (múltiplos de cinco, dez...); em

Geometria, no estudo de área e perímetro de um polígono, onde cada ímã

corresponderia a uma unidade de medida e na inicialização do estudo de Análise

Combinatória, onde poderíamos utilizar os ímãs para representar a “árvore das

possibilidades” (esquema desenvolvido para mostrar todas as possibilidades de um

acontecimento).

Outros aspectos também poderiam ser pesquisados e relacionados à

formação de professores voltados à aprendizagem dos alunos, independente de

suas necessidades particulares, seja visual, mental, surdez e/ou mudez. Entretanto,

para que isto se efetive, precisamos assegurar aos professores acesso a estas

informações através de cursos, palestras, pesquisas etc.

Além do aprofundamento em atividades envolvendo seqüências de padrões

figurativos, este estudo proporcionou-nos momentos de grande satisfação. Os

alunos que assumiram o compromisso de participar deste estudo, cumpriram-no

integralmente; estiveram presentes no dia, local e horário combinado, sempre com

muita disposição. Em geral, eles empenharam-se nas tarefas, não desistindo dos

185

objetivos propostos, mesmo nas situações mais complexas. O desempenho dos

alunos no transcorrer das tarefas superou nossas expectativas iniciais. Após a

análise do nosso estudo, concordamos quando Vygotsky (1983) argumenta que as

crianças com deficiência têm potencial para um desenvolvimento normal. Se

oferecermos a um aluno s.a.v. as mesmas oportunidades de um aluno vidente, como

foi feito em nosso estudo através do material manipulativo, podemos confirmar que

eles não somente são capazes de trabalhar com os conceitos algébricos

representados em padrões figurativos, como também de chegar até a regra geral,

assim como os alunos videntes.

Nos detemos às gramas de enfermidade e não observamos os quilos de

saúde. Reparamos no pequeno defeito, e não captamos as enormes áreas,

ricas de vida, que possuem as crianças que padecem de anormalidades.

(VYGOSKY, 1983, p. 62); tradução nossa.

Inspiradas nas palavras de Vygotsky supra citadas, acreditamos que há um

vasto campo a ser explorado quando nos referimos aos alunos s.a.v. Esperamos

que este estudo seja um dos muitos que ainda estão por vir. Temos certeza de que

não faltarão idéias para que os pesquisadores da área de Educação Matemática,

possam empenhar-se, buscando cumprir um dos principais objetivos da educação: A

Educação para Todos.

186

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clxxxix

ANEXOS

cxc

ANEXO A ALFABETO BRAILLE

CELA

a b c d e f g h

I j k l m n o p q r s t u v x y

z ç é á è ú â ê

1ª posição

2ª posição

3ª posição

4ª posição

5ª posição

6ª posição

cxci

ì ô ù à ï ü õ w

, ; : . ? ! “ ”

ò í ã ó grifo hífen

0 1 2 3 4 5 6

7 8 9 Código das operações aritméticas fundamentais e os símbolos de: igualdade e parênteses.

+ - X . : = ( )

sinal de

maiúscula

Sinal de número

cxcii

ANEXO B ATIVIDADE DE SONDAGEM (Aplicada aos alunos videntes)

1) O que você pode dizer sobre b , se : b + 3 = 9 Resp: ________________________________ 2) Se d + e = 50 d + e + 4 = _______________ 3) O que você pode dizer sobre u , se:

u = v + 5 e v = 3 Resp: _______________________________________

4) O que você pode dizer sobre m , se : m = 4n + 1 e n = 5 Resp: _______________________________________ 5) O que você pode dizer sobre s , se:

s = t + u e s + t + u = 30 Resp: _________________________________ 6) Se e + f = 7 e + f + g = ________________ 7) O que você pode dizer sobre m, se

m + n = 10 Resp: ____________________________________ e m é menor que n ? Resp: ____________________________________

cxciii

8) Multiplique:

m + 3 por 5 Resp: ________________________________ 9) Simplifique: 3c + 7c = ______________ 10) Simplifique: 2d + 5e + d = ___________ 11) Simplifique:

5p – q + p = ________________ 12) Simplifique: (e – f) + f = ______________ 13) Acrescente 4 à : n + 3 Resp: _______________________________________ 14) Acrescente 6 à : 5n Resp: ______________________________________ 15) O que você pode dizer sobre: k, se 2k + 1 = k + 5 Resp: _______________________________________ 16) O que você pode dizer sobre: 2n e n + 2 Resp: ______________________________________ 17) H + I + J = H + K + J Sempre ( ) Às vezes ( ) quando ___________________________________ Nunca ( )

cxciv

18 ) Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro da figura abaixo: a) m Resp: _________________________________ 19) Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro das figuras abaixo: a) Resp: _____________________________________ r b) 6 6 Resp: ______________________________________ 8 20) Parte desta figura não está desenhada. Há n lados, cada um com comprimento 4 Escreva a expressão algébrica que representa o comprimento de n lados. 4 4 4 4 Resp: ____________________________________ 4 4 4

m m

t t

t t

a a

cxcv

21) Escreva a expressão algébrica correspondente a: a) o triplo de um número _______________________________________

b) o triplo de um número, mais um _______________________________

c) um número par _____________________________________________

d) um número ímpar ___________________________________________

e) a metade de um número ______________________________________

f) três números consecutivos _____________________________________

g) o dobro de um número p, somado com 7 ___________________________

h) o perímetro de um retângulo de lados medindo r e s _________________

22) Usando as letras a e b para representar dois números reais quaisquer,

escreva simbolicamente:

a) o dobro do produto desses dois números ____________________________ b) o triplo da soma desses dois números _______________________________ c) a diferença entre esses dois números ________________________________ 23) Se um livro de Matemática custa t reais e um livro de Ciências custa z reais, qual a expressão algébrica que representa a quantia que vou gastar se comprar os dois livros? Resp: _______________________________ 24) Se você multiplicar a medida do comprimento pela medida da largura de um retângulo, encontrará a área do retângulo. Representando por c a medida do comprimento e por d a medida da largura, escreva simbolicamente a representação da área do retângulo. Resp: _______________________________ 25) Um mesmo aparelho eletrodoméstico é vendido em duas lojas diferentes nas seguintes condições: LOJA 1

Entrada de 2x reais e 3 prestações iguais de y reais.

cxcvi

LOJA 2

Entrada de x reais e 5 prestações iguais de y reais. a) Qual a expressão algébrica que representa o preço na loja 1? Resp: __________________________ b) Qual a expressão algébrica que representa o preço na loja 2? Resp: ___________________________ c) Qual a expressão algébrica que expressa a diferença de preço entre a loja 1

e a loja 2? Resp: ___________________________ 26) Coloque verdadeiro (V) ou falso (F), caso seja falso, escreva ao lado a equação na forma correta. a) n + n = n2 ( ) ______________________________ b) b + b = 2b ( ) ______________________________ c) 3n . 4p = 12np ( ) ______________________________ d) 2 ( a + b ) = 2a + b ( ) ______________________________ e) 3a + 5b = 8ab ( ) ______________________________ g) 5a + 4b + 10b + 7a = 12a + 14b ( ) ______________________________

OBRIGADA

BOA ATIVIDADE!!!

cxcvii

ANEXO C RESULTADOS DOS ALUNOS VIDENTES A Tabela abaixo mostra o desempenho dos (31) alunos do 1º ano do (E.M.) em cada item: TABELA A.1 - DESEMPENHO DOS ALUNOS VIDENTES DO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO

QUESTÃO RESPOSTAS CERTAS n =31

RESPOSTAS ERRADAS n = 31

BRANCO

n = 31 1 29 (94%) 2 (7%) - 2 29 (94%) 2 (7%) - 3 26 (84%) 2 (7%) 3 (10%) 4 16 (52%) 9 (29%) 6 (19%) 5 6 (19%) 12 (39%) 13 (42%) 6 8 ( 26%) 12 (39%) 11 (35%) 7 16 inc.(52%) 2 (7%) 13 (42%) 8 8 (26%) 15 (48%) 8 (26%) 9 22 (71%) 6 (19%) 3 (10%) 10 23 (74%) 4 (13%) 4 (13%) 11 20 (65%) 6 (19%) 5 (16%) 12 9 (29%) 11 (35%) 11 (35%) 13 2 inc. (7%) 11 (35%) 16 (52%) 2 (7%) 14 10 32%) 17 (55%) 3 (10%) 15 8 (26%) 9 (29%) 14 (45%) 16 15 inc (48%) 2 (7%) 14 (45%) 17 2 às vezes (7%) 2 sempre (7%)

18 nunca (58%) 9 (29%)

18 22 (71%) 4 (13%) 5 (16%) 19 a 17 (55%) 4 (13%) 10 (33%) 19 b 21 (68%) 3 (10%) 7 (23%) 20 - 3 (10%) 28 ( 90%)

21 a Algébrica 12 (39%) Numérica 8 (26%)

- 6 (19%)

21b Algébrica 13 (43%) Numérica 7 (23%)

- 6 (19%)

21d Numérica 19 (61%) 1 (3%) 11 (35%) 21e Algébrica 2 (7%)

Numérica 8 (58%) 11 (35%)

21f Algébrica 1 (3%) 1 (3%) 11 (35%)

cxcviii

Numérica 8 (58%)

21j Algébrica 10 (33%) Numérica 4 (13%)

- 7 (23%)

21l 9 (29%) 6 (19%) 16 (52%) 22 a 4 (13%) 11 (35%) 16 (52%) 22 b 3 (10%) 9 (29%) 19 (61%) 22 c 5 (16%) 5 (16%) 21 (68%) 23 21 (70%) 1 (3%) 9 (29%) 24 8 (26%) 4 (13%) 19 (61%)

25 a 10 (32%) 10 (32%) 11 (35%) 25 b 10 (32%) 10 (32%) 11 (35%) 25 c 6 (19%) 7 (23%) 18 (58%) 26 a 24 (77%) 7 (23%) - 26 b 27 (87%) 4 (13%) - 26 c 24 (77%) 6 (19%) 1 (3%) 26 d 20 (66%) 7 (23%) 4 (13%) 26 e 10 (32%) 19 (61%) 2 (7%) 26 f 28 (90%) 2 (7%) 1 (3%)

Resultado da Atividade de Sondagem dos (20) alunos do 2º ano (E.M.)

TABELA A.2 - DESEMPENHO DOS ALUNOS VIDENTES DO 2º ANO DO ENSINO MÉDIO QUESTÃO RESPOSTAS CERTAS

n = 20 RESPOSTAS ERRADAS

n = 20 BRANCO

n = 20

1 17 (85%) 3 (15%) - 2 17 (85%) 3 (15%) - 3 18 (90%) 1 (5%) 1 (5%) 4 15 (75%) 4 (20%) 1 (5%) 5 2 (10%) 6 (30%) 12 (60%) 6 6 (30%) 6 (30%) 8 (40%) 7 8 – inc. (40%) - 12 (60%) 8 9 (45%) 4 (20%) 7 (35%) 9 13 (65%) 4 (20%) 3 (15%)

10 12 (60%) 5 (25%) 3 (15%) 11 11 (55%) 6 (30%) 3 (15%) 12 4 (20%) 7 (35%) 9 (45%) 13 9 (45%) 10 (50%) 1 (5%) 14 9 (45%) 9 (45%) 2 (10%) 15 7 (35%) 2 (10%) 11 (55%)

16 5 (25%) 4 (20%) 10 (50%)

cxcix

17 às vezes 4 (20%) Sempre 3 (15%) Nunca 8 (40%)

5 (25%)

18 11 (55%) 4 (20%) 5 (25%) 19 a 9 (45%) 6 (30%) 5 ( 25%) 19 b 8 (40%) 7 (35%) 5 (25%) 20 4 (20%) 4 (20%) 12 (60%)

21 a Algébricas 8 (40%) Numérica 1 (5%)

6 (30%) 5 (25%)

21b Algébrica 8 (40%) Numérica 1 (5%)

5 (25%) 6 (30%)

21c Numérica 10 (50%) 2 (10%) 8 (40%) 21d Numérica 10 (50%) 2 (10%) 8 (40%) 21e Algébrica 4 (20%)

Numérica 7 (35%) 2 (10%) 7 (35%)

21f Algébrica 8 (40%)

4 (20%) 8 (40%)

21j Algébrica 8 (40%) Numérica1 (5%)

4- (20%) 7 (35%)

21l Algébrica 6 (30%)

4 (20%) 10 (50%)

22 a 5 (25%) 7 (35%) 8 (40%) 22 b 8 (40%) 5 (25%) 7 (35%) 22 c 8 (40%) 2 (10%) 10 (50%) 23 17 (85%) 1 ( 5%) 2 (10%) 24 7 (35%) 5 (25%) 8 (40%)

25 a 8 (40%) 8 (40%) 4 (20%) 25 b 8 (40%) 7 (35%) 5 (25%) 25 c 7 (35%) 7 (35%) 6 (30%) 26 a 10 (50%) 10 (50%) - 26 b 13 (65%) 7 (35%) - 26 c 16 (80%) 3 (15%) 1 (5%) 26 d 11 (55%) 5 (25%) Branco 2 (10%)

s/ just. 2 (10%) 26 e 6 (30%) 12 (60%) Branco1 ( 5%)

s/ just. 1 (5%) 26 f 15 (75%) 1 (5%) 1 (5%) 2 (10%)

cc

ANEXO D ATIVIDADE DE SONDAGEM FINAL - SELECIONADA (Aplicada para os alunos não videntes) Nível 1: N 1 Nível 2: N 2 Nível 3: N 3 Nível 4: N 4

1) O que você pode dizer sobre b , se : b + 3 = 9

2) Se d + e = 50 d + e + 4 = ______________

3) O que você pode dizer sobre m , se

m = 4n + 1 e n = 5 Resp: ________________________ 4) O que você pode dizer sobre s , se:

s = t + u e s + t + u = 30 Resp: _______________________

5) Se e + f = 7 e + f + g = __________ 6) Multiplique:

m + 3 por 5 Resp: _____________________

7) Simplifique: 2d + 5e + d = ___________

N 2

N 2

N 3

N 4

N 1

cci

8) Simplifique: (e – f) + f = ______________ 9) Adicione (some) 6 à : 5n Resp: _______________________ 10) Qual expressão algébrica é maior , 2n ou n + 2 ? Justifique. Resp: _________________________ 11) H + I + J = H + K + J Sempre( ) Nunca( ) Às vezes( ) quando ______________________

12 ) Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro das figuras abaixo: a)

Resp: ________________________

b) Resp: ______________________

m m

a a

m

6 6

8

N 1

N 2

N 4

N 3

N 4

ccii

13) Parte desta figura não está desenhada. Há n lados , cada um com comprimento 4. Escreva a expressão algébrica que representa o comprimento de n lados. 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 Resp: ________________________ 14) Escreva a expressão algébrica correspondente ao triplo de um número,

mais um. Resp: ________________________ 15) Escreva a expressão algébrica correspondente a um número par . Resp: ________________________ 16) Escreva a expressão algébrica correspondente ao dobro de um número

p, somado com 7 . Resp:_________________________

17) Coloque verdadeiro (V) ou falso (F) , caso seja falso, justifique ao lado: a) n + n = n2 ( ) ______________________________ b) 3n.4p = 12np ( ) ______________________________ c) 2( a + b ) = 2a + b ( ) ______________________________

d) 3a + 5b = 8ab ( ) _______________________________

N 2

N 3

N 3

OBRIGADA BOA ATIVIDADE!!!

N 1

cciii

ANEXO E QUESTÕES DAS ENTREVISTAS

1ª TAREFA

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º

a) Qual é a figura que representa o 6º termo da seqüência? E o 8º termo?

b) Construa a seqüência até o 15º termo.

c) Você pode explicar como chegou até o 15º termo?

d) Qual figura estaria representada na 20ª posição?

e) Qual figura ocupa a 12ª, 15ª, 18ª e 21ª posições? Quais outras posições

essa figura pode ocupar?

f) Vamos agora pensar no quadrado. Quais posições que o quadrado pode

ocupar?

g) Qual figura ocupará a 30ª, 42ª, 60ª e 88ª posições?

h) Explique como chegou nestas respostas.

2ª TAREFA

1º 2º 3º

cciv

a) Construa o 4º termo da seqüência.

b) Explique como você chegou nesta resposta.

c) Quantos quadrados têm cada termo?

d) Quantos quadrados têm o 5º, 6º, 7º e o 15º termos da seqüência?

e) Qual a relação entre a posição do termo na seqüência e o número de

quadrados (desse termo)?

f) Escreva uma expressão numérica para indicar o total de quadrados de cada

figura. Escreva a expressão numérica do 100º e 1000º termos.

g) Como calcular o número de quadrados de um termo qualquer?

h) Determine outros métodos para calcular o número de quadrados em cada

termo e escreva outras expressões algébricas que representem a

quantidade de quadrados de um termo qualquer da seqüência.

i) Justifique a equivalência das expressões algébricas.

3ª TAREFA

2ª 4ª

As figuras apresentadas correspondem ao 2º e 4º termos da seqüência.

a) Construa o 3º e 5º termos da seqüência.

b) Observe uma regularidade na seqüência (uma mesma maneira de formar

cada figura da seqüência ou mesmo padrão de formação) e explique como

construiu o 3º e 5º termos.

c) Quantos círculos possuem cada um dos termos?

d) Estabeleça uma relação entre o número do termo e a quantidade de

círculos, levando em conta a organização dos mesmos.

e) Quantos círculos possuem o 6º, 7º, 20º e 30º termos?

f) Escreva uma expressão numérica para esses resultados.

ccv

g) Reescreva essas expressões numéricas relacionando com o número do

termo.

i) Escreva a expressão numérica do 100º e 1000º termos. Em seguida escreva

uma expressão algébrica que represente a quantidade de círculos de um termo

qualquer da seqüência.

j) Observe outras regularidades e obtenha outras expressões algébricas que

também representem a quantidade de círculos de um termo qualquer da

seqüência. Justifique a equivalência das expressões algébricas.

4ª TAREFA

1º 4º

As figuras acima correspondem ao 1º e 4º termos da seqüência.

a) Observe a regularidade e construa o 2º e 3º termos da seqüência.

b) Explique como pensou para construí-los?

c) Estabeleça uma relação entre o número do termo e a quantidade de círculos

de cada figura.

d) Escreva uma expressão numérica que represente a quantidade de círculos

do 3º, 6º, 11º e 25º termos.

e) Escreva uma expressão algébrica que represente a quantidade de círculos

de um termo qualquer da seqüência.

f) Observe a organização dos quadrados em cada termo. Estabeleça uma

relação entre o número do termo e a quantidade total de quadrados de cada

figura.

ccvi

g) Escreva uma expressão numérica que represente a quantidade de

quadrados do 2º, 4º, 10º e 32º termos.

h) Escreva uma expressão algébrica que represente a quantidade de

quadrados de um termo qualquer da seqüência.

i) Escreva a expressão correspondente ao total de ímãs (circulares e

quadrados) de um termo qualquer da seqüência.

j) Observe outras regularidades e obtenha outras expressões algébricas que

também representem a quantidade de ímãs (circulares e quadrados) de um

termo qualquer da seqüência. Justifique a equivalência das expressões

algébricas.

5ª TAREFA

1º 2º 3º

a) Continuando a seqüência, construa o 4º termo.

b) Explique como pensou para construí-lo.

c) Quantos círculos tem cada um dos termos da seqüência?

d) Relacione o número do termo com a organização dos círculos.

e) Escreva uma expressão numérica para o 1º, 2º, 3º, 4º, 20º e 50º termos da

seqüência.

f) Escreva uma expressão algébrica para um termo qualquer da seqüência.

g) Determine outros métodos para calcular o número de círculos de um termo

qualquer da seqüência. Justifique a equivalência das expressões algébrica.

ccvii

6ª TAREFA

1º 3º

As figuras acima correspondem ao 1º e 3º termos da seqüência.

a) Construa a figura que corresponde ao 2º e 4º termos da seqüência.

b) Explique como pensou para construí-los

c) Pensando no círculo, relacione o número do termo com o total de círculos.

d) Escreva uma expressão numérica e algébrica que represente a quantidade

de ímãs circulares.

e) Agora, tente relacionar o número do termo com a organização do quadrado.

f) Escreva uma expressão numérica, representando o número de quadrados

de cada termo construído, incluindo o 8º e 30º termos.

g) Escreva a expressão algébrica que represente a quantidade de quadrados

de um termo qualquer.

h) Escreva a expressão algébrica para calcular a quantidade total de ímãs

(circulares e quadrados) de um termo qualquer.

i) Determine outros métodos para calcular o número de círculos e/ou

quadrados de um termo qualquer da seqüência. Justifique a equivalência

das expressões algébricas.

7ª TAREFA

Qual expressão é maior, 2n ou n + 2? Construa as seqüências e justifique sua resposta.

ccviii

ANEXO F RESPOSTAS DOS ALUNOS EM RELAÇÃO À 4ª TAREFA

4 ª T A R E F A

#4a .TAREFA #4a .TAREFA #4a .TAREFA #4a .TAREFA

G I O V A N N A

.GIOVANNA.GIOVANNA.GIOVANNA.GIOVANNA 0 7 / 1 0 / 0 3

#jg,1#aj,1#jc #jg,1#aj,1#jc #jg,1#aj,1#jc #jg,1#aj,1#jc a = C O N S T R U Ç Ã O D O 2 º E 3 º

a7 CONSTRU&>O DO #2o E #3oa7 CONSTRU&>O DO #2o E #3oa7 CONSTRU&>O DO #2o E #3oa7 CONSTRU&>O DO #2o E #3o T E R M O

TERMOTERMOTERMOTERMO b = E U C O N S T R U I R O 2 º T E R M O

B7EU CONSTRUIR O #2o TERMOB7EU CONSTRUIR O #2o TERMOB7EU CONSTRUIR O #2o TERMOB7EU CONSTRUIR O #2o TERMO E O 3 º T E R M O .

E O #3o TERMOE O #3o TERMOE O #3o TERMOE O #3o TERMO'''' E U O B S E R V E I Q U E O 1 º T E R M O

EuEuEuEu OBSERVEI QUE O#ao TERMO OBSERVEI QUE O#ao TERMO OBSERVEI QUE O#ao TERMO OBSERVEI QUE O#ao TERMO

T I N H A U M C I R C O E E U

TINHA UM CIRCO E EU TINHA UM CIRCO E EU TINHA UM CIRCO E EU TINHA UM CIRCO E EU

ccix

I M A G I N E I Q U E O 2 º I A T E R

IMAGINEI IMAGINEI IMAGINEI IMAGINEI QUE O #2o IA TERQUE O #2o IA TERQUE O #2o IA TERQUE O #2o IA TER

O C I R C U L O S E O 3º 3

O CIRCULOS O CIRCULOS O CIRCULOS O CIRCULOS E O #3o #C E O #3o #C E O #3o #C E O #3o #C

C I R C U L O S E O S Q U A D R A D O S

CIRCULOS E OS QUADRADOSCIRCULOS E OS QUADRADOSCIRCULOS E OS QUADRADOSCIRCULOS E OS QUADRADOS

S E M P R E E R A U M A M A I S

SEMPRE ERA UM A MAISSEMPRE ERA UM A MAISSEMPRE ERA UM A MAISSEMPRE ERA UM A MAIS c = A R E L A Ç Ã O É Q U E O 1 º

c 7 A RELA&>O = QUE O #1oc 7 A RELA&>O = QUE O #1oc 7 A RELA&>O = QUE O #1oc 7 A RELA&>O = QUE O #1o

T E R M O T E M U M C I R C U L O O 2 º

TERMO TEM UM CIRCULO O #2oTERMO TEM UM CIRCULO O #2oTERMO TEM UM CIRCULO O #2oTERMO TEM UM CIRCULO O #2o

T E R M O T E M 2 C I R C U L O O 3 º

TERMO TEM #b CIRCULO O #3oTERMO TEM #b CIRCULO O #3oTERMO TEM #b CIRCULO O #3oTERMO TEM #b CIRCULO O #3o

T E R M O T E M 3 C I R C U L O E O

TERMO TEM #c CIRCULO E OTERMO TEM #c CIRCULO E OTERMO TEM #c CIRCULO E OTERMO TEM #c CIRCULO E O

4 º T E R M O T E M 4 C I R C U L O .

#4o TERMO TEM #d CIRCULO#4o TERMO TEM #d CIRCULO#4o TERMO TEM #d CIRCULO#4o TERMO TEM #d CIRCULO''''

A R E L A Ç Ã O É Q U E O N Ú M E R O

.A RELA&>O = QUE O N)MEROA RELA&>O = QUE O N)MEROA RELA&>O = QUE O N)MEROA RELA&>O = QUE O N)MERO

D O T E R M O É I G U A L N Ú M E R O D E

DO TERMO = IGUAL N)MERO DEDO TERMO = IGUAL N)MERO DEDO TERMO = IGUAL N)MERO DEDO TERMO = IGUAL N)MERO DE C I R C U L O

CIRCULOCIRCULOCIRCULOCIRCULO

ccx

d = N Ã O S E I

d 7 N>O SEId 7 N>O SEId 7 N>O SEId 7 N>O SEI e = T E R M O P = P C I R C U L O S

e 7 TERMO P 7 P CIRCULOSe 7 TERMO P 7 P CIRCULOSe 7 TERMO P 7 P CIRCULOSe 7 TERMO P 7 P CIRCULOS d = 3 º T E R M O = 3 C I R C U L O S

d7 #3o TERMO 7 #c CIRCULOSd7 #3o TERMO 7 #c CIRCULOSd7 #3o TERMO 7 #c CIRCULOSd7 #3o TERMO 7 #c CIRCULOS 6 º T E R M O 6 C I R C U L O

#6o TERMO #f CIRCULO#6o TERMO #f CIRCULO#6o TERMO #f CIRCULO#6o TERMO #f CIRCULO 1 1 º T E R M O = 1 1 C I R C U L O S

#11o TERMO 7 #aa CIRCULOS#11o TERMO 7 #aa CIRCULOS#11o TERMO 7 #aa CIRCULOS#11o TERMO 7 #aa CIRCULOS 2 5 º T E R M O = 2 5 C I R C U L O

#25o TERMO 7 #be CIRCULO#25o TERMO 7 #be CIRCULO#25o TERMO 7 #be CIRCULO#25o TERMO 7 #be CIRCULO

f = E U N Ã O V E J O N E M U M T I P O

f7 EU N>O VEJf7 EU N>O VEJf7 EU N>O VEJf7 EU N>O VEJO NEM UM TIPOO NEM UM TIPOO NEM UM TIPOO NEM UM TIPO

D E R E L A Ç Ã O P O R Q U E O N U M E R O

DE RELA&>O PORQUE O NUMERODE RELA&>O PORQUE O NUMERODE RELA&>O PORQUE O NUMERODE RELA&>O PORQUE O NUMERO D O T E R M O É D I F E R E N T E D O

DO DO DO DO TERMO = DIFERENTE DOTERMO = DIFERENTE DOTERMO = DIFERENTE DOTERMO = DIFERENTE DO

N Ú M E R O D E Q U A D R A D O

N)MERO DE QUADRADON)MERO DE QUADRADON)MERO DE QUADRADON)MERO DE QUADRADO

ccxi

E U O B S E R V E I Q U E O N Ú M E R O D O

EU OBSERVEI QUE O N)MERODOEU OBSERVEI QUE O N)MERODOEU OBSERVEI QUE O N)MERODOEU OBSERVEI QUE O N)MERODO

T E R M O É I G U A L O N Ú M E R O D E

TERMOTERMOTERMOTERMO = IGUAL O N)MERO de = IGUAL O N)MERO de = IGUAL O N)MERO de = IGUAL O N)MERO de

Q U A D R A D O D O L A D O D O C I R C U L O .

QUADRADODO LADO DO CIRCULOQUADRADODO LADO DO CIRCULOQUADRADODO LADO DO CIRCULOQUADRADODO LADO DO CIRCULO''''

E X E M P L O . 3 º T E R M O = 3

EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO'''' #3o TERMO 7 #c #3o TERMO 7 #c #3o TERMO 7 #c #3o TERMO 7 #c

Q U A D R A D O S D E C A D A L A D O D O

QUADRADOS DE CADA LADO DO QUADRADOS DE CADA LADO DO QUADRADOS DE CADA LADO DO QUADRADOS DE CADA LADO DO C I R C U L O S

CIRCULOSCIRCULOSCIRCULOSCIRCULOS

g = 2 º T E R M O = 2 + 2 + 3 = 7

g7#;o TERMO7 #b6#b6#cg7#;o TERMO7 #b6#b6#cg7#;o TERMO7 #b6#b6#cg7#;o TERMO7 #b6#b6#c7#g7#g7#g7#g 4 º T E R M O = 4 + 4 + 3 = 1 1

#4oTERMO7 #d 6 #d 6 #c7#aa#4oTERMO7 #d 6 #d 6 #c7#aa#4oTERMO7 #d 6 #d 6 #c7#aa#4oTERMO7 #d 6 #d 6 #c7#aa 1 0 º T E R M O = 1 0 + 1 0 + 3 = 2 3

#10oTERMO7#aj6 #aj6 #c7#bc#10oTERMO7#aj6 #aj6 #c7#bc#10oTERMO7#aj6 #aj6 #c7#bc#10oTERMO7#aj6 #aj6 #c7#bc 3 2 º T E R M O = 3 2 + 3 2 + 3 = 6 7

#3;oTERMO 7#cb6#cb6 #c7#fg#3;oTERMO 7#cb6#cb6 #c7#fg#3;oTERMO 7#cb6#cb6 #c7#fg#3;oTERMO 7#cb6#cb6 #c7#fg h = p T E R M O P + P

h 7 p TERMO P 6 Ph 7 p TERMO P 6 Ph 7 p TERMO P 6 Ph 7 p TERMO P 6 P i = E X E M P L O : P E N S A N D O N O

i 7 EXEMPi 7 EXEMPi 7 EXEMPi 7 EXEMPLO 3 PENSANDO NOLO 3 PENSANDO NOLO 3 PENSANDO NOLO 3 PENSANDO NO

ccxii

4 º T E R M O = 4 + 4 + 3 + 4 = 1 5

#4o TERMO7#d6#d6#c6#d 7#ae#4o TERMO7#d6#d6#c6#d 7#ae#4o TERMO7#d6#d6#c6#d 7#ae#4o TERMO7#d6#d6#c6#d 7#ae

E X P R E S S Ã O A L G E B R I C A :

EXPRESS>O ALG=BRICA 3EXPRESS>O ALG=BRICA 3EXPRESS>O ALG=BRICA 3EXPRESS>O ALG=BRICA 3 4 º T E R M O = p + p + 3 + p =

#4o TERMO 7 p 6 p 6 #c 6 p#4o TERMO 7 p 6 p 6 #c 6 p#4o TERMO 7 p 6 p 6 #c 6 p#4o TERMO 7 p 6 p 6 #c 6 p

j = 3 º T E R M O = 4 + 4 + 4

j7 #3o TERMO 7 #d6 #d 6 #dj7 #3o TERMO 7 #d6 #d 6 #dj7 #3o TERMO 7 #d6 #d 6 #dj7 #3o TERMO 7 #d6 #d 6 #d

R E L A C I O N A N D O C O M O N Ú M E R O

RELACIONANDO COM O N%)MERORELACIONANDO COM O N%)MERORELACIONANDO COM O N%)MERORELACIONANDO COM O N%)MERO

D O T E R M O :

DO TERMO 3DO TERMO 3DO TERMO 3DO TERMO 3

3 + 1 + 3 + 1 + 3 + 1

#c6 #a6 #c 6 #a 6 #c 6 #a#c6 #a6 #c 6 #a 6 #c 6 #a#c6 #a6 #c 6 #a 6 #c 6 #a#c6 #a6 #c 6 #a 6 #c 6 #a

E X P R E S S Ã O A L G É B R I C A

EXPRESS>O ALG=BRICAEXPRESS>O ALG=BRICAEXPRESS>O ALG=BRICAEXPRESS>O ALG=BRICA p + 1 + p + 1 + p + 1

p 6 #a 6 p 6 #a 6 p 6 #ap 6 #a 6 p 6 #a 6 p 6 #ap 6 #a 6 p 6 #a 6 p 6 #ap 6 #a 6 p 6 #a 6 p 6 #a

E X P R E S S Ã O N U M E R I C A D O

EXPRESS>O EXPRESS>O EXPRESS>O EXPRESS>O NUMERICANUMERICANUMERICANUMERICA DO DO DO DO

ccxiii

Q U A D R A D O P O R E X E M P L O =

QUADRADO POR EXEMPLO 7QUADRADO POR EXEMPLO 7QUADRADO POR EXEMPLO 7QUADRADO POR EXEMPLO 7 3 º T E R M O = 3 + 1 + 3 + 1 + 1

#3oTERMO7 #c 6 #a 6 #c 6##3oTERMO7 #c 6 #a 6 #c 6##3oTERMO7 #c 6 #a 6 #c 6##3oTERMO7 #c 6 #a 6 #c 6#1

E X P R E S S Ã O A L G É B R I C A :

EXPRESS>O ALG=BRICA3EXPRESS>O ALG=BRICA3EXPRESS>O ALG=BRICA3EXPRESS>O ALG=BRICA3

p + 1 + p + 1 + 1 :

p 6 #a6 p 6 #a 6 #1 3p 6 #a6 p 6 #a 6 #1 3p 6 #a6 p 6 #a 6 #1 3p 6 #a6 p 6 #a 6 #1 3

E X P R E S S Ã O A L G E B R I C A D O

EXPRESS>O ALGEBRICA DO EXPRESS>O ALGEBRICA DO EXPRESS>O ALGEBRICA DO EXPRESS>O ALGEBRICA DO T O T A L D E I M Ã S :

TOTATOTATOTATOTALDE IM>S 3LDE IM>S 3LDE IM>S 3LDE IM>S 3

p + 1 + p + 1 + 1

p 6 #a 6 p 6 #a 6 #a p 6 #a 6 p 6 #a 6 #a p 6 #a 6 p 6 #a 6 #a p 6 #a 6 p 6 #a 6 #a

ccxiv

T Â N I A

.T*NIA.T*NIA.T*NIA.T*NIA 0 9 / 1 0 / 0 3

#ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc a – C O N S T R U Ç Ã O S T E R M O S : 2 º

a- CONSTRU&>OS TERMOS3 #2oa- CONSTRU&>OS TERMOS3 #2oa- CONSTRU&>OS TERMOS3 #2oa- CONSTRU&>OS TERMOS3 #2oE 3 º T E R M O S

E #3o TERMOSE #3o TERMOSE #3o TERMOSE #3o TERMOS

b – M E B A S I E I N O 1 º E 4 º

b- ME BASIE I NO #1o E b- ME BASIE I NO #1o E b- ME BASIE I NO #1o E b- ME BASIE I NO #1o E #4o#4o#4o#4o

T E R M O , R E P A R A N D O N A

TERMO1 REPARANDO NA TERMO1 REPARANDO NA TERMO1 REPARANDO NA TERMO1 REPARANDO NA Q U A N T I D A D E D E F I G U R A S

QUANTIDADE DE FIGURASQUANTIDADE DE FIGURASQUANTIDADE DE FIGURASQUANTIDADE DE FIGURAS E A P O S I Ç Ã O E M Q U E

E A POSI&>O EM QUEE A POSI&>O EM QUEE A POSI&>O EM QUEE A POSI&>O EM QUE E L A S E E M T R A V A . C O M O P O R

ELA SE EM TRAVAELA SE EM TRAVAELA SE EM TRAVAELA SE EM TRAVA'''' COMO por COMO por COMO por COMO por E X E M P L O

EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO 1 º T E R M O T I N H A

#1o TERMO TINHA#1o TERMO TINHA#1o TERMO TINHA#1o TERMO TINHA 1 a L I N H A 3 Q U A D R A D O S

#1a#1a#1a#1a LINHA #c QUADRADOSLINHA #c QUADRADOSLINHA #c QUADRADOSLINHA #c QUADRADOS

ccxv

2 a L I N H A T I N H A U M Q U A D R A D O

#2aLINHA TINHA UM QUADRADO#2aLINHA TINHA UM QUADRADO#2aLINHA TINHA UM QUADRADO#2aLINHA TINHA UM QUADRADO

A D I R E I T A E U M O U T R O A

a DIREITA E UM OUTRO A a DIREITA E UM OUTRO A a DIREITA E UM OUTRO A a DIREITA E UM OUTRO A E S Q U E R D A E U M C Í R C U L O N O

Esquerda e um c/rculo no Esquerda e um c/rculo no Esquerda e um c/rculo no Esquerda e um c/rculo no M E I O

mefomefomefomefo

3 T E R M O : 3 C O L U N A S C O M 3

#c TERMO3 #3COLUNAS COM #c#c TERMO3 #3COLUNAS COM #c#c TERMO3 #3COLUNAS COM #c#c TERMO3 #3COLUNAS COM #c

Q U A D R A D O S N A 1 a L I N H A E A

QUADRADOS NA #1a LINHA E AQUADRADOS NA #1a LINHA E AQUADRADOS NA #1a LINHA E AQUADRADOS NA #1a LINHA E A

P A R T I R D A 2 a L I N H A U M

PARTIR DA #2a LINHA umPARTIR DA #2a LINHA umPARTIR DA #2a LINHA umPARTIR DA #2a LINHA um

Q U A D R A D O A D I R E I T A E O U T R O A

QUADRADO A DIREITAE OUTROAQUADRADO A DIREITAE OUTROAQUADRADO A DIREITAE OUTROAQUADRADO A DIREITAE OUTROA E S Q U E R D A E U M C Í R C U L O

ESQUERDA E UM C/RCULO ESQUERDA E UM C/RCULO ESQUERDA E UM C/RCULO ESQUERDA E UM C/RCULO

N O M E I O , E S E M P R E C O L O C A N D O

NO MEIO1E SEMPRE COLONO MEIO1E SEMPRE COLONO MEIO1E SEMPRE COLONO MEIO1E SEMPRE COLOCANDOCANDOCANDOCANDO

ccxvi

U M A L I N H A A M A S D A

UMA LINHA A MAS DAUMA LINHA A MAS DAUMA LINHA A MAS DAUMA LINHA A MAS DA

Q U A N T I D A D E D E T E R M O S

QUANTIDADE DE TERMOSQUANTIDADE DE TERMOSQUANTIDADE DE TERMOSQUANTIDADE DE TERMOS c – A M B O S S Ã O I G U A I S .

c - AMBOS S>O IGUAISc - AMBOS S>O IGUAISc - AMBOS S>O IGUAISc - AMBOS S>O IGUAIS'''' d - 3 º T E R M O = 3

d - #3o TERMO 7 #cd - #3o TERMO 7 #cd - #3o TERMO 7 #cd - #3o TERMO 7 #c 6 º T E R M O = 6

#6o TERMO 7 #f#6o TERMO 7 #f#6o TERMO 7 #f#6o TERMO 7 #f 1 1 º T E R M O = 1 1

#11o TERMO 7 #aa#11o TERMO 7 #aa#11o TERMO 7 #aa#11o TERMO 7 #aa 2 5 º T E R M O = 2 5

#25o TERMO 7 #be#25o TERMO 7 #be#25o TERMO 7 #be#25o TERMO 7 #be e - N Ã O S E I A I N D A

e - N>O SEI AINDAe - N>O SEI AINDAe - N>O SEI AINDAe - N>O SEI AINDA

f – A Q U A N T I D A D E D E T E R M O +

f -A QUANTIDADE DE TERMO 6

1 E M R E L A Ç Ã O A O N Ú M E R O D E

#a EM RELA&>O AO N)MERO de#a EM RELA&>O AO N)MERO de#a EM RELA&>O AO N)MERO de#a EM RELA&>O AO N)MERO de

ccxvii

T E R M O – D E C A D A L A D O + 1 N A

TERMO- DE CADA LADO 6 #aNATERMO- DE CADA LADO 6 #aNATERMO- DE CADA LADO 6 #aNATERMO- DE CADA LADO 6 #aNA C O L U N A D O M E I O .

COLUNADO MCOLUNADO MCOLUNADO MCOLUNADO MEIOEIOEIOEIO''''

g - 2 º T E R M O = 3 + 3 + 1

g - #2o TERMO 7 #c 6 #c 6 g - #2o TERMO 7 #c 6 #c 6 g - #2o TERMO 7 #c 6 #c 6 g - #2o TERMO 7 #c 6 #c 6

#a#a#a#a

4 º T E R M O = 5 + 5 + 1

#4o TERMO 7 #e 6 #e 6 #a#4o TERMO 7 #e 6 #e 6 #a#4o TERMO 7 #e 6 #e 6 #a#4o TERMO 7 #e 6 #e 6 #a

1 0 º T E R M O = 1 1 + 1 1 + 1

#10o TERMO 7 #aa 6 #aa 6 ##10o TERMO 7 #aa 6 #aa 6 ##10o TERMO 7 #aa 6 #aa 6 ##10o TERMO 7 #aa 6 #aa 6 #

aaaa 3 2 º T E R M O = 3 3 + 1

#32o TERMO 7 #cc 6 #a#32o TERMO 7 #cc 6 #a#32o TERMO 7 #cc 6 #a#32o TERMO 7 #cc 6 #a

2 º T E R M O = 2 + 1 + 2 + 1 + 1

#2oT#2oT#2oT#2oTERMO7 #b6#a6#b6#a 6 #aERMO7 #b6#a6#b6#a 6 #aERMO7 #b6#a6#b6#a 6 #aERMO7 #b6#a6#b6#a 6 #a 4 º T E R M O = 4 + 1 + 4 + 1 + 1

#4o TERMO7 #d 6#a6#d 6#a 6 #a#4o TERMO7 #d 6#a6#d 6#a 6 #a#4o TERMO7 #d 6#a6#d 6#a 6 #a#4o TERMO7 #d 6#a6#d 6#a 6 #a

1 0 º T E R M O = 1 0 + 1 + 1 0 + 1 + 1

#10o TERMO7 #aj6 #a6 #aj 6 #a 6 #a#10o TERMO7 #aj6 #a6 #aj 6 #a 6 #a#10o TERMO7 #aj6 #a6 #aj 6 #a 6 #a#10o TERMO7 #aj6 #a6 #aj 6 #a 6 #a

ccxviii

3 2 º T E R M O = 3 2 + 1 + 3 2 + 1 + 1

#3;o TERMO7 #cb6 #a6 #cb6 #a 6 #a#3;o TERMO7 #cb6 #a6 #cb6 #a 6 #a#3;o TERMO7 #cb6 #a6 #cb6 #a 6 #a#3;o TERMO7 #cb6 #a6 #cb6 #a 6 #a h – p + p + p + p + 1

h - p h - p h - p h - p 6 p 6 p 6 p 6 #a6 p 6 p 6 p 6 #a6 p 6 p 6 p 6 #a6 p 6 p 6 p 6 #a 4 P + 1 .

#dP 6 #a#dP 6 #a#dP 6 #a#dP 6 #a''''

ccxix

F E R N A N D O

.Fernando.Fernando.Fernando.Fernando 0 9 / 1 0 / 0 3

#ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc a = C O N S T R U Ç Ã O D O 2 º E 3 º

aaaa7 CONSTRU&>O DO #2o E #3o7 CONSTRU&>O DO #2o E #3o7 CONSTRU&>O DO #2o E #3o7 CONSTRU&>O DO #2o E #3o

T E R M O

TERMOTERMOTERMOTERMO b = C A D A T E R M O É F O R M A D O P O R

b7 CADA TERMO = FORMADOPOR

U M C O N J U N T O E O N Ú M E R O D O

UM CONJUNTO E O N)MERO DOUM CONJUNTO E O N)MERO DOUM CONJUNTO E O N)MERO DOUM CONJUNTO E O N)MERO DO

T E R M O É C O R R E S P O N D E N T E A O

TERMO = CORRESPONDENTE AO

N Ú M E R O D E C I R C U L O Q U E E S T Á

N)MEro DE CIRCULO QUE EST(

D E N T R O D E L E , E X E M P L O : O

DENTRO DELE1 EXEMPLO 3 ODENTRO DELE1 EXEMPLO 3 ODENTRO DELE1 EXEMPLO 3 ODENTRO DELE1 EXEMPLO 3 O 3 º T E R M O T E M 3 C I R C U L O S

#3o TERMO TEM #3 CIRCU#3o TERMO TEM #3 CIRCU#3o TERMO TEM #3 CIRCU#3o TERMO TEM #3 CIRCULOS LOS LOS LOS D E N T R O D E L E .

DENTRO DELEDENTRO DELEDENTRO DELEDENTRO DELE''''

ccxx

c = C O M O E U D I S S E N O I T E M B

c7 COMO EU DISSE NO ITEM Bc7 COMO EU DISSE NO ITEM Bc7 COMO EU DISSE NO ITEM Bc7 COMO EU DISSE NO ITEM B

( N A ) N U M E R O D O T E R M O É

<NA> NUMERO DO TERMO = <NA> NUMERO DO TERMO = <NA> NUMERO DO TERMO = <NA> NUMERO DO TERMO =

C O R R E S P O N D E N T E A O N Ú M E R O

CORRESPONDENTE AO N)MEROCORRESPONDENTE AO N)MEROCORRESPONDENTE AO N)MEROCORRESPONDENTE AO N)MERO

D E C Í R C U L O S

DE C/RCULOSDE C/RCULOSDE C/RCULOSDE C/RCULOS d = 3 º T E R M O = 3

d 7 #3o TERMO 7 #cd 7 #3o TERMO 7 #cd 7 #3o TERMO 7 #cd 7 #3o TERMO 7 #c 6 º T E R M O = 6

#6o TERMO 7 #f#6o TERMO 7 #f#6o TERMO 7 #f#6o TERMO 7 #f 1 1 º T E R M O = 1 1

#11o TERMO 7 #aa#11o TERMO 7 #aa#11o TERMO 7 #aa#11o TERMO 7 #aa 2 5 º T E R M O = 2 5

#25o TERMO 7 #25#25o TERMO 7 #25#25o TERMO 7 #25#25o TERMO 7 #25

e = T E R M O X = X

e 7 TERMO X 7 Xe 7 TERMO X 7 Xe 7 TERMO X 7 Xe 7 TERMO X 7 X f = O S Q U A D R A D O S D E S I M A S Ã O

f7 OS QUADRADOS DE SIMAS>Of7 OS QUADRADOS DE SIMAS>Of7 OS QUADRADOS DE SIMAS>Of7 OS QUADRADOS DE SIMAS>O

S E M P R E 3 . J Á O S Q U A D R A D O S

SEMPRE #c SEMPRE #c SEMPRE #c SEMPRE #c ''''J( OS QUADRADOSJ( OS QUADRADOSJ( OS QUADRADOSJ( OS QUADRADOS Q U E E S T Ã O A O L A D O D O C Í C U L O

QUE EST>O AOLADO DO C/CULOQUE EST>O AOLADO DO C/CULOQUE EST>O AOLADO DO C/CULOQUE EST>O AOLADO DO C/CULO

ccxxi

F I C A A M E S M A R E G R A D O

FICAA MESMA REGRA DOFICAA MESMA REGRA DOFICAA MESMA REGRA DOFICAA MESMA REGRA DO C Í R C U L O O U S E J A O N Ú M E R O D O

C/RCULO OU SEJAO N)MERO DOC/RCULO OU SEJAO N)MERO DOC/RCULO OU SEJAO N)MERO DOC/RCULO OU SEJAO N)MERO DO T E R M O É I G U A L A O N Ú M E R O D E

TERMO = IGUAL AO %)MERO DeTERMO = IGUAL AO %)MERO DeTERMO = IGUAL AO %)MERO DeTERMO = IGUAL AO %)MERO De Q U A D R A D O S T E N T O D A E S Q U E R D A

QUADRADOS TENTO DAESQUERDAQUADRADOS TENTO DAESQUERDAQUADRADOS TENTO DAESQUERDAQUADRADOS TENTO DAESQUERDA Q U A N T O A D I R E I T A .

QUANTO A DIREITAQUANTO A DIREITAQUANTO A DIREITAQUANTO A DIREITA' ' ' '

g = 2 º = 3 + 2 + 2 = 7

g 7 #2o 7 #c 6 #b 6#b 7 #gg 7 #2o 7 #c 6 #b 6#b 7 #gg 7 #2o 7 #c 6 #b 6#b 7 #gg 7 #2o 7 #c 6 #b 6#b 7 #g 4 º = 3 + 4 + 4 = 1 1

#4o 7 #c 6 #d 6 #d 7 #aa#4o 7 #c 6 #d 6 #d 7 #aa#4o 7 #c 6 #d 6 #d 7 #aa#4o 7 #c 6 #d 6 #d 7 #aa 1 0 º = 3 + 1 0 + 1 0 = 2 3

#10o 7 #c 6 #aj 6 #aj7 #bc#10o 7 #c 6 #aj 6 #aj7 #bc#10o 7 #c 6 #aj 6 #aj7 #bc#10o 7 #c 6 #aj 6 #aj7 #bc 3 2 º = 3 + 3 2 + 3 2 = 6 7

#32o 7#c 6 #cb 6 #cb 7 #fg#32o 7#c 6 #cb 6 #cb 7 #fg#32o 7#c 6 #cb 6 #cb 7 #fg#32o 7#c 6 #cb 6 #cb 7 #fg

h - T E R M O X = 3 + X + X =

hhhh - TERMO X 7 #c 6 X 6 X 7- TERMO X 7 #c 6 X 6 X 7- TERMO X 7 #c 6 X 6 X 7- TERMO X 7 #c 6 X 6 X 7

= 3 + 2 X =

7 #c 6 #b X 77 #c 6 #b X 77 #c 6 #b X 77 #c 6 #b X 7 i - 2 º T E R M O =

i - #2o TERMO 7i - #2o TERMO 7i - #2o TERMO 7i - #2o TERMO 7 = 3 + 2 + 2 + 2 = 9

7 #c 6 #b 6 #b 6 #b 7 #i7 #c 6 #b 6 #b 6 #b 7 #i7 #c 6 #b 6 #b 6 #b 7 #i7 #c 6 #b 6 #b 6 #b 7 #i

ccxxii

T E R M O X = 3 + X + X + X =

TERMO X 7 #c 6 X 6 X 6 X 7TERMO X 7 #c 6 X 6 X 6 X 7TERMO X 7 #c 6 X 6 X 6 X 7TERMO X 7 #c 6 X 6 X 6 X 7

3 + 3 X

#c 6 #c X#c 6 #c X#c 6 #c X#c 6 #c X

j - O U T R A E X P R E S S Ã O A L G É B R I C A

j -OUTRA EXPRESS>O ALG=BRICAj -OUTRA EXPRESS>O ALG=BRICAj -OUTRA EXPRESS>O ALG=BRICAj -OUTRA EXPRESS>O ALG=BRICA 4 º 5 + 5 + 1 + 4 = 1 5

#4o #e 6 #e 6 #a 6 #d7 #ae#4o #e 6 #e 6 #a 6 #d7 #ae#4o #e 6 #e 6 #a 6 #d7 #ae#4o #e 6 #e 6 #a 6 #d7 #ae

T E R M O X = 1 + X + X + X =

TERMO X 7 #a 6 X 6 X 6 X 7TERMO X 7 #a 6 X 6 X 6 X 7TERMO X 7 #a 6 X 6 X 6 X 7TERMO X 7 #a 6 X 6 X 6 X 7

3 º = 3 + 3 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1

#3o7 #c6 #c6 #a6 #c6 #a6 #a6 #a#3o7 #c6 #c6 #a6 #c6 #a6 #a6 #a#3o7 #c6 #c6 #a6 #c6 #a6 #a6 #a#3o7 #c6 #c6 #a6 #c6 #a6 #a6 #a T E R M O X = X + X + 1 + X + 1 + 1

TERMO X7 X6 X6 #a 6 X 6 #a6 #aTERMO X7 X6 X6 #a 6 X 6 #a6 #aTERMO X7 X6 X6 #a 6 X 6 #a6 #aTERMO X7 X6 X6 #a 6 X 6 #a6 #a

3 x 1 + 3 x X = 3 + 3 X

#c8 #a 6 #c 8 X 7#c6 #c X#c8 #a 6 #c 8 X 7#c6 #c X#c8 #a 6 #c 8 X 7#c6 #c X#c8 #a 6 #c 8 X 7#c6 #c X

ccxxiii

A N G É L I C A

.ang=lica.ang=lica.ang=lica.ang=lica 0 9 / 1 0 / 0 3

#ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc #ji,1#aj,1#jc a - C O N S T R U Ç Ã O D O 2 º E 3 º

a -CONSTRU&>O DO #2o E #3oa -CONSTRU&>O DO #2o E #3oa -CONSTRU&>O DO #2o E #3oa -CONSTRU&>O DO #2o E #3o

T E R M O S

TERMOSTERMOSTERMOSTERMOS b - C A D A T E R M O T E M U M N Ú M E R O

b - CADAb - CADAb - CADAb - CADA TERMO TEM UM N)MERO TERMO TEM UM N)MERO TERMO TEM UM N)MERO TERMO TEM UM N)MERO D E Q U A D R A D I N H O S Q U E E N V O L V E

DEDEDEDE QUADRADINHOS QUE ENVOLVEQUADRADINHOS QUE ENVOLVEQUADRADINHOS QUE ENVOLVEQUADRADINHOS QUE ENVOLVE U M N Ú M E R O D E C Í R C U L O S D O S

UM N)MERO DE C/RCULOS DOSUM N)MERO DE C/RCULOS DOSUM N)MERO DE C/RCULOS DOSUM N)MERO DE C/RCULOS DOS L A D O S E E M C I M A M A S O

LADOS E EM CIMA MAS OLADOS E EM CIMA MAS OLADOS E EM CIMA MAS OLADOS E EM CIMA MAS O N Ú M E R O D E C Í R C U L O S Q U E C A D A

N)MERODE C/RCULOS QUE CADAN)MERODE C/RCULOS QUE CADAN)MERODE C/RCULOS QUE CADAN)MERODE C/RCULOS QUE CADA T E R M O T E M É C O R R E S P D E N T E

TTTTERMO TEM = CORRESpDENTEERMO TEM = CORRESpDENTEERMO TEM = CORRESpDENTEERMO TEM = CORRESpDENTE A O N Ú M E R O D E S S E T E R M O

AO N)MERO DESSE TERMOAO N)MERO DESSE TERMOAO N)MERO DESSE TERMOAO N)MERO DESSE TERMO c - O N Ú M E R O D O T E R M O É C O R R E S -

c- O N)MERO DO TERMO = CORRES-c- O N)MERO DO TERMO = CORRES-c- O N)MERO DO TERMO = CORRES-c- O N)MERO DO TERMO = CORRES-

ccxxiv

P O N D E N T E A O N Ú M E R O D E C Í R C U L O S

PONDENTEPONDENTEPONDENTEPONDENTEAo N)MERODE C/RCULSAo N)MERODE C/RCULSAo N)MERODE C/RCULSAo N)MERODE C/RCULS d - 3 º T E R M O = 3 C Í R C U L O S

d -#3o TERMO 7 #c C/RCULOSd -#3o TERMO 7 #c C/RCULOSd -#3o TERMO 7 #c C/RCULOSd -#3o TERMO 7 #c C/RCULOS 6 º T E R M O = 6 C Í R C U L O S

#6o TERMO 7 #f C/RCULOS#6o TERMO 7 #f C/RCULOS#6o TERMO 7 #f C/RCULOS#6o TERMO 7 #f C/RCULOS 1 1 º T E R M O = 1 1 C Í R C U L O S

#11o TERMO 7 #aa C/RCULOS#11o TERMO 7 #aa C/RCULOS#11o TERMO 7 #aa C/RCULOS#11o TERMO 7 #aa C/RCULOS 2 5 º T E R M O = 2 5 C Í R C U L O S

#25o TERMO 7 #be C/RCULOS#25o TERMO 7 #be C/RCULOS#25o TERMO 7 #be C/RCULOS#25o TERMO 7 #be C/RCULOS

e – T E R M O X = X

e - TERMO X 7 Xe - TERMO X 7 Xe - TERMO X 7 Xe - TERMO X 7 X

f - A Q U A N T I D A D E D E

f-- A QUANTIDADE DE f-- A QUANTIDADE DE f-- A QUANTIDADE DE f-- A QUANTIDADE DE Q U A D R A D I N H O S Q U E F I C A E M C I M A

qUADRADINHOS qUADRADINHOS qUADRADINHOS qUADRADINHOS QUE FICA EM CIMAQUE FICA EM CIMAQUE FICA EM CIMAQUE FICA EM CIMA

É 3 S E M P R E C O N S T A N T E E O S

= #c SEMPRE CONSTANTE E OS= #c SEMPRE CONSTANTE E OS= #c SEMPRE CONSTANTE E OS= #c SEMPRE CONSTANTE E OS

Q U A D R O S Q U E F I C A M D O L A D O

QUADROS QUE FICAM DO LADOQUADROS QUE FICAM DO LADOQUADROS QUE FICAM DO LADOQUADROS QUE FICAM DO LADO

E S Q U E R D O E D O D I R E I T O É

ESQUERDO E DO DIREITO =ESQUERDO E DO DIREITO =ESQUERDO E DO DIREITO =ESQUERDO E DO DIREITO =

ccxxv

I G U A L A O N Ú M E R O D O T E R M O

IGUAL AO N)MERO DO TERMOIGUAL AO N)MERO DO TERMOIGUAL AO N)MERO DO TERMOIGUAL AO N)MERO DO TERMO

T A N T O D O L A D O E S Q U E R D O

TANTO DO LADO ESQUERDOTANTO DO LADO ESQUERDOTANTO DO LADO ESQUERDOTANTO DO LADO ESQUERDO

C O M O D O D I R E I T O .

COMO DO DIREITOCOMO DO DIREITOCOMO DO DIREITOCOMO DO DIREITO''''

g - 2 º T E R M O = 3 + 2 + 2

g - #2o TERMO 7 #c 6 #b 6 g - #2o TERMO 7 #c 6 #b 6 g - #2o TERMO 7 #c 6 #b 6 g - #2o TERMO 7 #c 6 #b 6

#b#b#b#b

4 º T E R M O = 3 + 4 + 4

#4o TERMO 7 #c 6 #d 6 #d #4o TERMO 7 #c 6 #d 6 #d #4o TERMO 7 #c 6 #d 6 #d #4o TERMO 7 #c 6 #d 6 #d

1 0 º T E R M O = 3 + 1 0 + 1 0

#10o TERMO 7#c 6 #aj 6 #aj#10o TERMO 7#c 6 #aj 6 #aj#10o TERMO 7#c 6 #aj 6 #aj#10o TERMO 7#c 6 #aj 6 #aj

3 2 º T E R M O = 3 + 3 2 + 3 2

#32o TERMO 7 #c6 #cb 6 #cb#32o TERMO 7 #c6 #cb 6 #cb#32o TERMO 7 #c6 #cb 6 #cb#32o TERMO 7 #c6 #cb 6 #cb

h – T E R M O X = 3 + X + X 3 + 2 . X

h - TERMO X7 #c6 X6 X #c6 #b8Xh - TERMO X7 #c6 X6 X #c6 #b8Xh - TERMO X7 #c6 X6 X #c6 #b8Xh - TERMO X7 #c6 X6 X #c6 #b8X i – 3 + X + X + X .

i - #c 6 X 6 X 6 X i - #c 6 X 6 X 6 X i - #c 6 X 6 X 6 X i - #c 6 X 6 X 6 X ''''

ccxxvi

S I M P L I F I C A Ç Ã O 3 + 3 . X

SIMPLIFICA&>O #c 6 #c 8 XSIMPLIFICA&>O #c 6 #c 8 XSIMPLIFICA&>O #c 6 #c 8 XSIMPLIFICA&>O #c 6 #c 8 X j - O U T R A E X P R E S S Ã O

j -- OUTRA EXPRESS>Oj -- OUTRA EXPRESS>Oj -- OUTRA EXPRESS>Oj -- OUTRA EXPRESS>O A L G É B R I C A :

ALG=BRICALG=BRICALG=BRICALG=BRICAAAA3 3 3 3 4 + 5 + 5 + 1

#d 6 #e 6 #e 6 #a#d 6 #e 6 #e 6 #a#d 6 #e 6 #e 6 #a#d 6 #e 6 #e 6 #a

X + X + X + 1

X 6 X 6 X 6 #aX 6 X 6 X 6 #aX 6 X 6 X 6 #aX 6 X 6 X 6 #a

3 º T E R M O = 3 + 3 + 1 + 3 + 1 + 1

#3o TERMO7 #c6#c6#a6#c6 #a6 #a#3o TERMO7 #c6#c6#a6#c6 #a6 #a#3o TERMO7 #c6#c6#a6#c6 #a6 #a#3o TERMO7 #c6#c6#a6#c6 #a6 #a

X + X + 1 + X + 1 + 1

X 6 X 6 #a 6 X 6 #a 6 #aX 6 X 6 #a 6 X 6 #a 6 #aX 6 X 6 #a 6 X 6 #a 6 #aX 6 X 6 #a 6 X 6 #a 6 #a 3 X + 3

#cX 6 #c#cX 6 #c#cX 6 #c#cX 6 #c

ccxxvii

C L Á U D I O

.cl(udio.cl(udio.cl(udio.cl(udio 1 0 / 1 0 / 0 3

#aj,1#aj,1#jc #aj,1#aj,1#jc #aj,1#aj,1#jc #aj,1#aj,1#jc a - C O N S T R U Ç Ã O D O 2 º 3 º T E R M O

a-CONSTRU&>O DO #2o#3oTERMOa-CONSTRU&>O DO #2o#3oTERMOa-CONSTRU&>O DO #2o#3oTERMOa-CONSTRU&>O DO #2o#3oTERMO b - E X M A N T I V E A S E Q U E N C I A

b- E X MANTIVE A SEQUENCIAb- E X MANTIVE A SEQUENCIAb- E X MANTIVE A SEQUENCIAb- E X MANTIVE A SEQUENCIA

N O 1 º T E R M O A V I A 6 I M A S

NO #1o TERMO AVIA #f IMASNO #1o TERMO AVIA #f IMASNO #1o TERMO AVIA #f IMASNO #1o TERMO AVIA #f IMAS

5 Q U A D R A D I N H O E U M S I R C U L O

#e QUADRADINHO EUM SIRCULO#e QUADRADINHO EUM SIRCULO#e QUADRADINHO EUM SIRCULO#e QUADRADINHO EUM SIRCULO

E N T Ã O F U I A L M E N T A N D O E M 3 E M

ENT>O FUI ALMENTANDO EM #c EMENT>O FUI ALMENTANDO EM #c EMENT>O FUI ALMENTANDO EM #c EMENT>O FUI ALMENTANDO EM #c EM 3 E O S C I R C U L O S E U O B I E R U E

#c #c #c #c E OS CIRCULOS EU OBIERUEE OS CIRCULOS EU OBIERUEE OS CIRCULOS EU OBIERUEE OS CIRCULOS EU OBIERUE

Q U E N O 1 º - T E R M O A V I A

QUE NO #1o - TERMO AVIAQUE NO #1o - TERMO AVIAQUE NO #1o - TERMO AVIAQUE NO #1o - TERMO AVIA

S O . 1 S I R C U L O E E N T Ã O F U I

SOSOSOSO'''' #a SIRCULO E ENT>O FUI #a SIRCULO E ENT>O FUI #a SIRCULO E ENT>O FUI #a SIRCULO E ENT>O FUI

A L M E O T A N O 1 E 1 P O R T E R M O

ALMEOTANALMEOTANALMEOTANALMEOTANO #aE #a POR TERMOO #aE #a POR TERMOO #aE #a POR TERMOO #aE #a POR TERMO

ccxxviii

O S S I R C U L O S D O M E I O D A

OS SIRCULOS DO MEIO DAOS SIRCULOS DO MEIO DAOS SIRCULOS DO MEIO DAOS SIRCULOS DO MEIO DA

C O L U I N A D O M E I O

COLUINA DO MEIOCOLUINA DO MEIOCOLUINA DO MEIOCOLUINA DO MEIO

c – A R E L A Ç Ã O D O S I R C U L O

c - ARELA&>O DO SIRCULO c - ARELA&>O DO SIRCULO c - ARELA&>O DO SIRCULO c - ARELA&>O DO SIRCULO

E O N Ú M E R O D E T E R M O

E O N)MERO DE TERMOE O N)MERO DE TERMOE O N)MERO DE TERMOE O N)MERO DE TERMO

É T U E A N Ú M E R O T E R M O E A

= TUE AN)MERO TERMO E A M= TUE AN)MERO TERMO E A M= TUE AN)MERO TERMO E A M= TUE AN)MERO TERMO E A M

M E S M A S M Q U A N T I D A D E c í r c u l o

MESSM SM QUANTIDADE circuoMESSM SM QUANTIDADE circuoMESSM SM QUANTIDADE circuoMESSM SM QUANTIDADE circuo d - 3 º T E R M O

d #3o TERMOd #3o TERMOd #3o TERMOd #3o TERMO 6 º - 6

#6o - #f#6o - #f#6o - #f#6o - #f 1 1 º - T E R M O 1 1

#11o - TERMO #aa#11o - TERMO #aa#11o - TERMO #aa#11o - TERMO #aa 2 5 º - T E R M O 2 5

#25o - TERMO #be#25o - TERMO #be#25o - TERMO #be#25o - TERMO #be

ccxxix

e - T E R M O X = X

e - TERMO X 7 Xe - TERMO X 7 Xe - TERMO X 7 Xe - TERMO X 7 X

f = A R E L A Ç Ã O A E N T R E O S

f 7 A RELA&>O A ENTRE OS f 7 A RELA&>O A ENTRE OS f 7 A RELA&>O A ENTRE OS f 7 A RELA&>O A ENTRE OS

Q U A D R A D O Q U E S Ã C O L O C A D O S

QUADRADO QUE S> COLOCADOSQUADRADO QUE S> COLOCADOSQUADRADO QUE S> COLOCADOSQUADRADO QUE S> COLOCADOS

2 . ( v e z e s ) O N Ú M E R O D O + 3

#b TERMO #c numero do#b TERMO #c numero do#b TERMO #c numero do#b TERMO #c numero do T E R M O

TERMOTERMOTERMOTERMO g - 2 . 2 + 3 = 7

g - #b 8 #b 6 #c 7 #g g - #b 8 #b 6 #c 7 #g g - #b 8 #b 6 #c 7 #g g - #b 8 #b 6 #c 7 #g

3 º T E R M O 4 . 2 + 3

#3o TERMO #d 8 #b 6 #c#3o TERMO #d 8 #b 6 #c#3o TERMO #d 8 #b 6 #c#3o TERMO #d 8 #b 6 #c

1 0 º T E R M O 1 0 x 2 + 3

#10o TERMO #aj8 #b 6 #c#10o TERMO #aj8 #b 6 #c#10o TERMO #aj8 #b 6 #c#10o TERMO #aj8 #b 6 #c 3 2 . 2 + 3

#cb 8 #b 6 #c#cb 8 #b 6 #c#cb 8 #b 6 #c#cb 8 #b 6 #c h - T E R M O X X . 2 + 3

h - TERMO X X h - TERMO X X h - TERMO X X h - TERMO X X 8888 #b 6 #c #b 6 #c #b 6 #c #b 6 #c

ccxxx

i - I T E R M O X

i - I TERMO X i - I TERMO X i - I TERMO X i - I TERMO X

T O T A L D E I M A S

TOTAL DE IMASTOTAL DE IMASTOTAL DE IMASTOTAL DE IMAS

X + X . 2 + 3

X 6 X X 6 X X 6 X X 6 X 8888 #b 6 #c #b 6 #c #b 6 #c #b 6 #c

D = P R A M I M N Ã O A O U T I A

D 7 PRA MIM N>O A OUTIA D 7 PRA MIM N>O A OUTIA D 7 PRA MIM N>O A OUTIA D 7 PRA MIM N>O A OUTIA

M A N E I R A .

MANEIRAMANEIRAMANEIRAMANEIRA''''

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo - …...posição de Vygotsky referente à...

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