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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática CADERNO DE ATIVIDADES OBJETO DE APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA PLANA E SÓLIDA PARA O ENSINO MÉDIO E TÉCNICO PROFISSIONALIZANTE DE MECÂNICA Autor: Augusto Cesar Machado Ramos Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares Belo Horizonte 2017
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
CADERNO DE ATIVIDADES
OBJETO DE APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA PLANA E SÓLIDA PARA O
ENSINO MÉDIO E TÉCNICO PROFISSIONALIZANTE DE MECÂNICA
Autor: Augusto Cesar Machado Ramos
Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares
Belo Horizonte
2017
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CADERNO DE ATIVIDADES
3
Sumário
1 – Introdução .......................................................................................................................... 137
2 – Atividade Inicial – identificação de polígonos .............................................................. 139
3 – Atividade I – identificação e determinação de áreas de figuras planas .................. 142
4 – atividade II – Identificação e determinação de áreas das faces e volumes de sólidos ....... 155
5 – atividade III – projeções ortogonais e aplicações ................................................................ 166
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1 – INTRODUÇÃO
Este caderno de atividades foi estruturado a partir do Objeto de
Aprendizagem de Geometria Plana e Sólida para o Ensino Médio e Técnico
Profissionalizante de Mecânica, que foi fruto de um trabalho de parceria entre a
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais (PUC Minas) , o Centro Federal
de Educação Tecnológica de Minas Gerais (CEFET-MG) e o Instituto Federal do
Espírito Santo (IFES), juntamente com professores das três instituições e do
Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática. Tem como objetivo desenvolver
os conceitos geométricos de maneira dinâmica e interativa, privilegiando os
conteúdos de Geometria plana, Geometria sólida e projeções ortogonais, sendo
esse último com algumas aplicações à área de desenho técnico, disciplina
ministrada nos cursos técnicos e profissionalizantes de mecânica.
No desenvolvimento do OA, utilizamos como suporte um software de
Geometria dinâmica (GeoGebra) e um editor de código aberto de conteúdos
didáticos em suporte digitais (eXelearning), com o propósito de dinamizar o
processo de ensino e aprendizagem de Geometria. Para isso, foi desenvolvida
uma sequência de atividades em três eixos, Geometria plana, Geometria Sólida
e aplicações técnicas na área de mecânica, que combinam um misto de textos
introdutórios e explicativos, vídeos e animações, dispostos de maneira a atender
os mais diversos estilos de aprendizagem, dentre eles o visual, auditivo e
cinestésico.
Este caderno segue a mesma sequência do O.A., e é constituído de
quatro atividades, cada atividade é composta de uma série de questões que tem
o objetivo de fixar os conceitos desenvolvidos nas animações.
Esse trabalho teve como um de seus aportes teóricos o Modelo de
Van Hiele sobre a aprendizagem de conceitos geométricos. Esse modelo, afirma
que o processo de desenvolvimento do pensamento geométrico se constrói
seguindo uma sequência de cinco níveis hierárquicos, reconhecimento, análise,
abstração, dedução e rigor, onde cada conhecimento e propriedade geométrica
só serão assimilados se houver uma aquisição dos conhecimentos dos níveis
anteriores.
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É evidente que o alcance de um nível é resultado de um processo de
aprendizagem. Esse pode ser um processo de aprendizagem não direcionado,
então o nível é atingido exclusivamente por uma aprendizagem acidental. De
qualquer modo, seria um deplorável erro considerar que um nível é alcançado
como resultado de uma maturidade biológica que o professor ajuda a
influenciar (VAN HIELE, 1986, p. 65).
O modelo dos Van Hiele é considerado hoje uma referência para o ensino
de Geometria, uma vez que volta o olhar do professor para o processo de ensino
e aprendizado de geometria, despertando sua atenção na maneira como seu
aluno aprende.
Na tabela a seguir, listamos as atividades desenvolvidas nos três eixos
que compões esse O.A.. Dentro de cada atividade foram propostas questões
que fizessem a conexão entre os objetivos das atividades e o conteúdo
geométrico abordado em cada eixo.
Atividades
Nº Título Objetivo geral Metodologia
1 Identificação de
polígonos Identificar, classificar e determinar o número de
diagonais de um polígono
Manipulação de animações desenvolvidas no software
GeoGebra
2
Identificação e determinação de áreas de figuras
planas
Desenvolver, partindo da área do retângulo, expressões
matemáticas que indiquem o valor das áreas de figuras
planas
Manipulação de animações desenvolvidas no software
GeoGebra
3
Identificação e determinação de
áreas e volumes de sólidos
Determinar expressões que identifique o valor das áreas e
volumes de sólidos geométricos
Manipulação de animações desenvolvidas no software
GeoGebra
4
Projeções ortogonais e aplicações
Identificar as vistas frontal, lateral e superior bem como cálculo, densidade, peso e
volume de peças desenvolvidas pelos alunos na disciplina de desenho técnico.
Manipulação de animações desenvolvidas no software
GeoGebra
139
2 – ATIVIDADE INICIAL – IDENTIFICAÇÃO DE POLÍGONOS
Objetivo geral: Identificar, classificar e determinar o número de diagonais de
um polígono
Metodologia: Manipulação de animações desenvolvidas no software
GeoGebra
Animação 1
Objetivos específicos:
o Conceituar diagonal;
o Identificar as diagonais de um polígono;
o Identificar o número de diagonais que partem de cada vértice de
um polígono;
o Determinar expressões matemáticas que expressem o número de
diagonais que partem de cada vértice e o número de diagonais de
um polígono.
Nessa atividade, o aluno deverá digitar o número de lados do polígono e
verificar sua classificação é dada em função de seu número de lados. Poderá
ainda, clicando nos locais correspondentes, identificar o número de diagonais,
número de diagonais que partem de cada vértice do polígono e a definição de
polígono regular. Em seguida o aluno poderá resolver cinco questões para testar
140
seus conhecimentos, recorrendo sempre que necessário à manipulação da
animação desenvolvida no software GeoGebra.
QUESTÃO 1:
Como se classifica um polígono de oito lados?
a) Octalados
b) Octângulo
c) Octógono
d) Octadecágono
Resposta correta: C
QUESTÃO 2:
Quantas diagonais partem de um dos vértices de um pentágono:
a) 4 diaginais
b) 3 diagonais
c) 2 diagonais
d) 1 diagonal
Resposta correta: C
QUESTÃO 3:
Quantas diagonais possui um Pentágono?
a) 12 diagonais
b) 10 diagonais
c) 8 diagonais
d) 5 diagonais
Resposta correta: B
QUESTÃO 4:
Qual o polígono cujo número de diagonais é igual ao triplo do número de
lados?
a) Dodecágono
b) Decágono
c) Eneágono
d) Hexágono
Resposta correta: C
141
QUESTÃO 5:
Identifique como verdadeira ou falsa as afirmativas a seguir:
A - O número de diagonais que partem de cada vértice de um polígono é igual
ao
número de lados desse polígono menos 3 unidades.
( )Verdadeiro ( ) Falso
Verdadeiro
B - O número de diagonais de um polígono é igual ao produto entre o número
de lados
desse polígono e o número de diagonais que partem de cada um de seus
vértices.
( ) Verdadeiro ( )Falso
Falso
C - Algumas diagonais dos polígonos que possuem uma quantidade par de
lados
passam pelo centro desse polígono.
( ) Verdadeiro ( ) Falso
Verdadeiro
D - Nos polígonos com quantidade par de lados, o número de diagonais que
passam
pelo seu centro é igual ao dobro do seu número de lados
( )Verdadeiro ( )Falso
Falso
142
3 – ATIVIDADE I – IDENTIFICAÇÃO E DETERMINAÇÃO DE ÁREAS DE
FIGURAS PLANAS
Objetivo geral: Desenvolver, partindo da área do retângulo, expressões
matemáticas que indiquem o valor das áreas de figuras planas.
Metodologia: Manipulação de animações desenvolvidas no software
GeoGebra.
Objetivos específicos:
o Conceituar área;
o Conceituar Superfície;
o Identificar figuras Planas;
o Desenvolver expressões matemáticas que indiquem o valor da
área de figuras planas;
o Aplicar essas expressões no cálculo de área de figuras planas e na
resolução de problemas.
Iniciamos essa atividade definindo, através de uma animação, região
quadrada unitária como sendo uma unidade de área. Em seguida
desenvolvemos uma série de dez animações no software GeoGebra com a
proposta de mostrar ao aluno que as áreas das principais figuras regulares
planas podem ser deduzidas da área de um retângulo. No momento,
ilustraremos apenas algumas telas que representam as animações citadas
anteriormente, visto que todas as animações encontram-se no O.A, que estará
disponível no repositório.
Esperamos que o aluno, através da manipulação das animações, possa
identificar propriedades e padrões, além de desenvolver as expressões
matemáticas que calculam o valor da área de figuras planas.
Após cada animação, o aluno poderá resolver uma série de questões que
farão a verificação e fixação dos conceitos adquiridos após a utilização de cada
uma das animações, tendo a oportunidade de retornar às animações sempre
que necessário.
Área da região retangular: ao clicar no botão iniciar animação, o aluno
irá visualizar a área da região retangular como sendo o somatório das quinze
regiões quadradas unitárias, o que coincide com o produto das cinco unidades
que estão sobre a base AB pelas três unidades que representam a altura CD do
143
retângulo ABCD. Dessa forma, após a manipulação da animação, espera-se que
o aluno identifique que o valor da área da região retangular coincide com o
produto da base pela altura do retângulo.
A área do retângulo ABCD é a soma das áreas desses quinze quadrados.
O número de unidade de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto
do número de unidades do comprimento da base AD pelo número de unidades
da altura CD.
Região retangular
QUESTÃO 6:
Qual a área e o perímetro de um campo de futebol, de 25 m de comprimento
por 5 m de largura?
a) 50 m e 100 m²
b) 60 m e 125 m²
c) 50 m e 150 m²
d) 60 m e 175 m²
Resposta correta: B
QUESTÃO 7:
Um festival de música foi realizado em uma área campestre de formato
retangular de dimensões de 150 m por 40 m. Sabendo que por cada 4 m²
havia, em média, 9 pessoas, quantas pessoas havia no festival?
a) 12 000 pessoas
b) 12 500 pessoas
c) 13 000 pessoas
d) 13 500 pessoas
Resposta correta: D
144
QUESTÃO 8:
(UDESC/Modificado) O projeto de uma casa é apresentado em forma
retangular e dividido em quatro cômodos, também retangulares, conforme
ilustra a figura.
Sabendo que a área do banheiro (wc) é igual a 4,5 m² e que as áreas dos
quartos 1 e 2 são, respectivamente, 13,5 m² e 12 m², então a área destinada
ao quarto cômodo no projeto desta casa, em metros quadrados, é igual a:
a) 60,5
b) 36
c) 24
d) 16
Resposta correta: B
Texto para as questões 9, 10 e 11:
Uma pessoa deseja cercar um canteiro retangular de flores com 8 metros de
tela. Para isso, deve fazer com que as dimensões desse canteiro sejam
tais que maximizem sua área. A animação seguinte ilustra essa situação.
Movimente o controle deslizante e verifique o que acontece com os lados
do canteiro e com o valor de sua área.
145
QUESTÃO 9:
Quando X é muito pequeno, por exemplo X = 0,1, que acontece com a área do
canteiro?
a) É menor do que 0,5 u.a.
b) É maior do que 0,5 u.a
c) É igual a 0,5 u.a.
d) É a menor possível.
Resposta correta: A
QUESTÃO 10:
Quando X aumenta, o que acontece com a área e com o perímetro do
canteiro?
a) A área diminui e o perímetro aumenta
b) A área aumenta e o perímetro aumenta
c) A área aumenta e o perímetro permanece inalterado.
d) A área aumenta e o perímetro diminui
Resposta correta: C
146
QUESTÃO 11:
Julgue como verdadeiro ou falso as seguintes afirmações:
A - A função que relaciona o valor "X" do lado do canteiro com sua área é
crescente no intervalo 𝑋 ∈ [0; 4]
.( ) Verdadeiro ( )Falso
Falso
B - A função que relaciona o valor "X" do lado do canteiro com sua área é
decrescente no intervalo 𝑋 ∈ [2; 4]
( ) Verdadeiro ( ) Falso
Verdadeiro
Área da região triangular: ao iniciar a animação, o aluno poderá
perceber que a área de um triangulo é metade da área de um retângulo de
base e altura congruentes as do triangulo.
Região triangular
Ainda nessa seção, em duas outras animações, o aluno poderá
trabalhar com o cálculo de perímetro e, verificar que dados dois triângulos
quaisquer, independente de suas formas, caso se mantenham congruentes
suas bases e suas alturas, suas áreas também irão se manter congruentes.
QUESTÃO 12:
Determinar a área do triângulo a seguir considerando que a sua base 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ mede
12 cm e a altura h mede 5 cm.
a) 25 cm² b) 30 cm² c) 35 cm² d) 40 cm²
Resposta correta: B
Figura
147
QUESTÃO 13:
Um agricultor deseja cultivar produtos orgânicos em um terreno de forma
triangular de base 20 m e altura 8 m. Para isso, ele deverá preparar a terra
com uma mistura orgânica que é comercializada em sacos com capacidade de
preparar até 4 m² de área. O número de sacos necessários para preparar todo
esse terreno é igual a:
a) 15 sacos b) 20 sacos c) 25 sacos d) 30 sacos
Resposta correta: B
Animação para as questões 14 e 15:
QUESTÃO 14:
Ao movimentarmos o ponto D para direita ou para esquerda, podemos
perceber que:
a) O triângulo ADC se deforma e sua área aumenta em relação ao
triângulo ABC
b) O triângulo ADC se deforma e sua área diminui em relação ao triângulo
ABC
c) O triângulo ADC se deforma e sua área permanece inalterada em
relação aotriângulo ABC
148
d) O triângulo ADC mantém a sua forma mas sua área aumenta em
relação ao triângulo ABC
Resposta correta: C
QUESTÃO 15:
Julgue as afirmativas abaixo com verdadeira ou falsa:
A - Em relação aos triangulos ABC e ADC ilustrados anteriormente, se suas
bases 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ suas alturas ℎ1 𝑒 ℎ2 são congruentes, o valor das áreas de ABC e
ADC são equivalentes.
( ) Verdadeiro ( )Falso
Verdadeiro
B - Em relação aos triângulos ABC e ADC da ilustração anterior, se
movimentarmos o vértice D para direita ou para esquerda, o perímetro do
triângulo ADC permanece inalterado.
( ) Verdadeiro ( ) Falso
Falso
Texto para as questões 16, 17, 18 e 19
Preocupado com o condicionamento físico dos moradores, o prefeito de
uma cidade, construiu em um terreno retangular três pistas triangulares,
conforme a representação abaixo. João, Pedro e Renato, realizam
diáriamente suas caminhadas nessas pistas, sendo João na pista ABC, Pedro
na pista AEB e Renato na pista ACD.
Utilize os botões para visualizar o percurso de cada corredor.
149
QUESTÃO 16:
Em relação ao percurso feito por cada um dos três moradores, aquele que
percorreu o maior trajeto foi:
a) Pedro
b) João
c) Renato
d) João, Pedro e Renato percorreram a mesma distância
Resposta correta: C
QUESTÃO 17:
Se for construída uma cerca com uma tela de arame ao entorno do terreno
destinado para construção das três pistas, quantos metros de arame deverão
ser usados?
a) 13 m b) 26 m c) 32 m d) 40 m
Resposta correta: B
QUESTÃO 18:
Se no projeto de paisagismo desse parque for aprovado o plantio de grama na
parte interna das pistas, a quantidade necessária, em km², para cobrir toda a
área das pistas AEB e ACD será igual a:
a) 7,5 b) 20 c) 27,5 d) 40
Resposta correta: C
QUESTÃO 19:
Se neste projeto de paisagismo, a área escolhida para o plantio de árvores for
a região delimitada pela pista ABC, sabendo que serão plantadas em média
80 arvores por km², o número de mudas necessárias para o plantio nessa área
será igual a:
a) 1 000 b) 1 500 c) 2 000 d) 2 500 Resposta correta: A
150
Área delimitada por um paralelogramo: nessa animação, o aluno
perceberá que a área de um paralelogramo é igual a área de um retângulo de
mesmo comprimento de base e altura do paralelogramo. Em seguida, o aluno
fará duas atividades que irão trabalhar com o conceito de área de
paralelogramo.
Área de um parelelogramo
Fonte: elaborada pelo autor
QUESTÃO 20:
Calcule a área de um paralelogramo ABCD que possui base AB igual a 12
centímetros e altura h igual a 4 centímetros.
a) 24 b) 36 c) 48 d) 60
Resposta correta: C
QUESTÃO 21:
Num paralelogramo, a altura mede 3 cm. Sabendo que sua base mede o triplo
a medida da altura, calcule a área desse paralelogramo.
a) 27 cm² b) 36 cm² c) 40 cm² d) 72 cm²
Resposta correta: A
Área do trapézio: nessa animação, traçou-se a base média EF do
trapézio ABCD e formando-se dois triângulos retângulos e congruentes AEG
e DFJ. Através do comando iniciar animação, pela rotação desses triângulos,
o aluno irá verificar a formação do retângulo GHIJ de base congruente a base
média do trapézio e altura congruente a do trapézio. Levando-o a concluir que
a área do trapézio ABCD se equipara a área do retângulo GHIJ.
151
Área do trapézio
QUESTÃO 22:
A área, em cm², de um trapézio de bases medindo 12 cm e 5 cm e altura 4
cm.
a) 17 b) 34 c) 51 d) 120
Resposta correta: B
QUESTÃO 23:
Determine a área de um trapézio, sabendo que sua base menor mede 10 cm,
sua base maior, 18 cm, e sua altura é a metade da soma das medidas das
duas bases.
a) 190 cm² b) 192 cm² c) 194 cm² d) 196 cm²
Resposta correta: D
QUESTÃO 24:
Um Show deverá ocorrer num ginásio de esportes, cuja área é delimitada por
um retângulo, conforme ilustrado abaixo. Por segurança, a coordenação do
evento irá limitar a aglomeração de pessoas no local, estipulando 7 pessoas
para cada 3 m² de área disponível. Excluindo-se a área ocupada pelo palco,
com a forma de um trapézio, quantos ingressos, no máximo, poderão ser
vendidos?
a) 7 000 ingressos
b) 7 400 ingressos
c) 7 700 ingressos
d) 8 000 ingressos
Resposta correta: C
152
Área da região delimitada por um losango: nessa animação, buscou-
se mostrar que a área de um losango é igual a área de um retângulo de base
e altura respectivamente iguais a diagonal menor e diagonal maior do losango.
Área do losango
QUESTÃO 25:
Se um losango possui diagonal maior medindo 14 cm e diagonal menor
medindo 5 cm, qual será o valor de sua área?
a) 30 cm² b) 35 cm² c) 40 cm² d) 45 cm²
Resposta correta: B
QUESTÃO 26:
A área de um losango que possui o perímetro igual a 52 cm e que tem uma
das diagonais medindo 10 cm de comprimento é igual a :
a) 100 cm² b) 120 cm² c) 140 cm² d) 160 cm²
Resposta correta: B
Área do hexágono regular: na criação dessa animação, procurou-se
demonstrar que o hexágono regular pode ser transformado em seis triângulos
equiláteros com lados congruentes aos lados do hexágono. Dessa maneira, o
aluno poderá observar pela movimentação e encaixe dos triângulos, que a
área de um hexágono regular é igual a área de um retângulo de base igual ao
perímetro de um dos triângulos equiláteros e altura igual apótema do
hexágono.
153
Área do hexágono regular
QUESTÃO 27:
A área de um hexágono regular de lados medindo 4 cm é igual a:
a) 12√3 b) 12√2 c) 24√3 d) 24√2
Resposta correta: C
QUESTÃO 28:
O perímetro de um hexágono regular é igual a diagonal de um quadrado de
lado 3√2 cm. Calcule a área do hexágono e encontre o valor de seu apótema.
a) 3√3
2𝑐𝑚2𝑒
√3
2𝑐𝑚
b) √3
2𝑐𝑚2𝑒 √3𝑐𝑚
c) 3√3𝑐𝑚2𝑒 √3
2𝑐𝑚
d) 3
2𝑐𝑚2𝑒
√3
2𝑐𝑚
Resposta correta: A
Área da região circular: seguindo as orientações contidas na
animação, o aluno poderá identificar a diferença entre círculo e circunferência.
Em seguida, poderá digitar no campo correspondente, o número de segmentos
que irão particionar, o círculo. Movimentando o controle deslizante ele poderá
abrir os setores circulares e encaixá-los formando um quadrilátero. Com essas
ações, esperava-se que o aluno perceba, através da experimentação, que
quanto maior o número de segmentos que irão particionar o círculo, mais o
quadrilátero se aproximará de um retângulo de base πr e altura r, aproximando
assim, a área do círculo à área do retângulo.
154
Área da região circular
QUESTÃO 29:
Considerando que uma pizza tradicional grande possui 35 cm de raio e uma
pizza tradicional pequena apresenta 25 cm, determine a diferença entre a
área das duas pizzas.
a) 500 𝜋 𝑐𝑚² b) 600 𝜋 𝑐𝑚² 𝑐) 625 𝜋 𝑐𝑚² d) 1225 𝜋 𝑐𝑚²
Resposta correta: B
QUESTÃO 30:
Uma pista de atletismo tem a forma circular e seu diâmetro mede 60 m. Um
atleta treinando nessa pista deseja correr 15 km diariamente. O número
mínimo de voltas completas que ele deve dar nessa pista a cada dia será
igual a:
a) 36 voltas b) 39 voltas c) 60 voltas d) 81 voltas
Resposta correta: D
155
4 – ATIVIDADE II – IDENTIFICAÇÃO E DETERMINAÇÃO DE ÁREAS DAS
FACES E VOLUMES DE SÓLIDOS
Como foi feito na primeira atividade, inicia-se definindo, com uma
animação, a unidade unitária de volume como sendo uma região cúbica cujo lado
mede 1 unidade de comprimento, 1 unidade de largura e 1 unidade de
profundidade. Em seguida, desenvolveu-se uma série de doze animações no
software GeoGebra, com a proposta de mostrar ao aluno os principais elementos
de um sólido geométrico, sua planificação, suas seções, cálculo de áreas e
volume. Para isso, as apresentações foram divididas em prismas, pirâmides e
sólidos de revolução, onde se fará novamente a opção de não apresentar todas
as telas das animações.
Seguindo a mesma metodologia, ao término de cada animação, o aluno
também poderá resolver uma série de questões com o objetivo principal de fazer
a verificação e fixação dos conceitos adquiridos retornando, sempre que
necessário, às animações anteriores.
Prisma: nessa animação, o aluno poderá digitar o número de arestas da
base do prisma e sua altura, além de identificar a diferença entre um prisma reto
e um prisma oblíquo e suas planificações. Esperou-se que, pela experimentação,
o aluno possa verificar que a classificação de um prisma é dada em função do
número de aresta de sua base.
Área do prisma
156
QUESTÃO 31:
Os prismas podem ser classificados como prismas retos ou prismas oblíquos.
Entre as opções seguintes, identifique a que melhor caracteriza as diferenças
entre os dois tipos de prismas.
a) Os prismas retos possuem todos os ângulos retos, enquanto os prismas
oblíquos possuem todos os ângulos menores do que 90º.
b) Nos prismas retos o polígono da base deverá ser sempre um polígono
regular enquanto nos prismas oblíquos a base poderá ser formada por
qualquer polígono.
c) Nos prismas retos as arestas laterais são perpendiculares as arestas da
base, enquanto nos prismas oblíquos as arestas não são perpendiculares
às arestas da base.
d) Nos prismas retos as faces laterais são todas retangulares, enquanto nos
prismas oblíquos as faces laterais são todas paralelogramos.
Resposta correta: C
QUESTÃO 32:
A classificação (nomenclatura) de um prisma é dada pelo:
a) número de arestas
b) Número de faces
c) Número de arestas
d) Polígono da base
Resposta correta: D
QUESTÃO 33:
Um prisma reto de altura 3 cm tem como polígonos das bases he3xágonos
regulares de arestas 2 cm. As suas a área da base, área lateral e área total,
medem respectivamente:
a) 3 𝑐𝑚2, 36 𝑐𝑚2𝑒 12 𝑐𝑚²
b) 6√3 𝑐𝑚2, 36 𝑐𝑚2𝑒 12(3 + √3) 𝑐𝑚²
c) √3 𝑐𝑚2, 12 𝑐𝑚2𝑒 36√3 𝑐𝑚²
d) 3√3 𝑐𝑚2, 12 𝑐𝑚2𝑒 36√2 𝑐𝑚2 Resposta correta: B
157
QUESTÃO 34:
Na planificação de um prisma reto pentagonal regular, de arestas da base e
altura medindo 2 cm, obtemos:
a) 2 pentágonos regulares e 5 retângulos
b) 2 pentágonos regulares e 5 quadrados
c) 2 pentágonos e 5 paralelogramos
d) 2 pentágonos e cinco retângulos
Resposta correta: B
QUESTÃO 35:
O volume, em, cm³ do prisma abaixo equivale a:
a) √3
b) 9√3
4
c) 9√3
d) √3
4
Resposta correta: C
QUESTÃO 36:
Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um trapézio
isósceles. Na figura a seguinte são dadas as dimensões do reservatório em
metros:
O volume desse tanque em metros cúbicos é:
a) 33 b) 34 c) 35 d) 36
Resposta correta: D
158
Hexaedro regular: nessa atividade o aluno, além de poder identificar
separadamente cada elemento do hexaedro, terá a possibilidade de fazer sua
planificação, verificando assim, que o hexaedro é um prisma regular formado por
seis quadrados congruentes.
Área do hexaedro regular
QUESTÃO 37:
A planificação de um hexaedro é formada por :
a) 4 quadriláteros de mesma área
b) 4 quadrados de mesma área
c) 6 quadriláteros de mesma área
d) 6 quadrados de mesma área
Resposta correta: D
QUESTÃO 38:
A área total e o volume de um cubo de arestas 5 cm, são respectivamente:
a) 125 cm³ e 150 cm²
b) 150 cm² e 125 cm³
c) 100 cm² e 75 cm³
d) 75 cm² e 100 cm³
Resposta correta: B
159
QUESTÃO 39:
O reservatório de um condomínio, na forma cúbica, completamente vazio,
começa a ser abastecido de água até uma altura de 6 m, quando por problemas
de abastecimento este deixa de ser abastecido, conforme animação abaixo.
Sabendo que neste instante o volume de água no reservatório é de 384 000
litros, a quantidade de água necessária para completar o abastecimento é de:
a) 100 000 litros
b) 128 000 litros
c) 256 000 litros
d) 512 000 litros
Resposta correta: B
QUESTÃO 40:
Se a vazão de água que esse reservatório recebe é de aproximadamente 400
litros por minuto, o tempo necessário para abastecer totalmente esse
reservatório, supondo que ele se encontra completamente vazio e que não
haverá interrupção no abastecimento será, em horas, aproximadamente igual a:
a) 18 b) 20 c) 22 d) 24
Resposta correta: C
Paralelepípedo: assim como no Hexaedro, o aluno poderá identificar
cada elemento do paralelepípedo, separadamente, assim como os cálculos de
suas áreas e volume.
160
Área do paralelepípedo
QUESTÃO 41:
Na planificação do paralelepípedo obtemos:
a) 6 retângulos congruentes
b) 6 retângulos, sendo congruentes os que se encontram em faces opostas
c) 2 quadrados e 4 retângulos
d) 2 retângulos e 4 quadrados
Resposta correta: B
QUESTÃO 42:
O valor em cm da diagonal de um paralelepípedo de dimensões 5 cm, 3 cm e 2
cm, é igual a:
a) √38 b) √35 c) √34 d) √30
Resposta correta: A
QUESTÃO 43:
Uma piscina retangular de 10,0m x 15,0m e fundo horizontal está com água até
a altura de 1,5m. Um produto químico em pó deve ser misturado à água à razão
de um pacote para cada 4500 litros. O número de pacotes a serem usados é:
a) 45 b) 50 c) 55 d) 60
Resposta correta: B
Pirâmide e tronco de pirâmide: nessas animações, o aluno poderá
determinar o número de arestas da base e a altura da pirâmide, identificar suas
principais relações, seus elementos, fazer uma seção paralela a sua base e
selecionar a altura do corte, bem como identificar o valor do volume da pirâmide
161
e de seu tronco. Ainda nessa seção, desenvolveu-se uma animação que mostra,
a partir da decomposição de um prisma triangular em três pirâmides triangulares,
que o volume de uma pirâmide equivale a 1/3 do volume de um prisma de bases
e altura congruentes as da pirâmide.
Área de pirâmide e tronco de pirâmide
QUESTÃO 44:
Um aluno construiu um prisma sem a tampa e uma pirâmide sem o fundo, ambos
de mesma base e altura. Enche completamente a pirâmide com água e em
seguida despeja todo o conteúdo dentro do prisma. Por quantas vezes este aluno
ira repetir esse procedimento para encher completamente o prisma.
a) Uma única vez
b) Duas vezes
c) Três vezes
d) Quatro vezes
Resposta correta: C
QUESTÃO 45:
Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5 cm e a altura
mede 4 cm. O volume, em cm³, é:
a) 24 b) 26 c) 28 d) 30
Resposta correta: A
162
QUESTÃO 46:
Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a gura abaixo. Sabendo-se
que o volume da pirâmide é de 6 m³, então, o volume do cubo, em m³, é igual a:
a) 15
b) 18
c) 21
d) 24
Resposta correta: B
QUESTÃO 47:
Um frasco de perfume apresenta o formato de um tronco de pirâmide de base
quadrada. Se a altura do frasco é de 5 cm, o lado da base menor mede 2 cm e
o da base maior 6 cm, calcule a capacidade aproximada desse frasco.
a) 80 cm³ b) 83 cm³ c) 87 cm³ d) 90 cm³
Resposta correta: C
Sólidos de revolução – cilindro, cone e esfera: nessa seção, deu-se
continuidade a mesma metodologia de mostrar através das animações os
principais elementos dos sólidos e os cálculos de áreas e volumes.
O que diferencia as animações dessa seção das anteriores será o
movimento de rotação das figuras planas em torno de eixo que irá gerar os
sólidos.
A última animação dessa atividade demonstra o volume da esfera pelo
Princípio de Cavalieri.
Área de cilindro e cone
163
Área de esfera
QUESTÃO 48:
O raio da base de um cilindro de revolução gerado pela rotação de um retângulo
em torno de um de seus lados mede 5 cm, se a altura desse cilindro mede 8 cm,
sua área lateral mede, em cm²:
a) 60𝜋 b) 70𝜋 c) 80𝜋 d) 90𝜋
Resposta correta: C
QUESTÃO 49:
Quantos mililitros de tinta cabem, aproximadamente, na carga cilíndrica de um
pincel de quadro branco, sabendo que as dimensões da carga 12 mm de
diâmetro e 8 cm de comprimento.
a) 5 ml b) 9 ml c) 10 ml d) 12 ml
Resposta correta: B
QUESTÃO 50:
A área lateral e a área da base de cone reto de raio 4 cm e altura 6 cm, são
respectivamente:
a) 5√13 𝑐𝑚2𝑒 16 𝑐𝑚²
b) 6√13 𝑐𝑚2𝑒 12 𝑐𝑚²
c) 8√13 𝑐𝑚2𝑒 16 𝑐𝑚2
d) √13 𝑐𝑚2𝑒 8 𝑐𝑚²
Resposta correta: C
164
QUESTÃO 51:
Calcular o volume de um cone que tem 12 cm de altura, e o comprimento da
circunferência de sua base é 8π cm.
a) 32𝜋 𝑐𝑚³ b) 64𝜋 𝑐𝑚³ c) 70𝜋 𝑐𝑚³ d) 128𝜋 𝑐𝑚³
Resposta correta: B
QUESTÃO 52:
Sabendo-se que a área lateral de um cone circular reto é 15π cm² e que o
diâmetro de sua base mede 6 cm, qual é o seu volume?
a) 12𝜋 𝑐𝑚³ b) 16𝜋 𝑐𝑚³ c) 18𝜋 𝑐𝑚³ d) 20𝜋 𝑐𝑚³
Resposta correta: A
QUESTÃO 53:
As bases de um tronco de cone circular reto são círculos de raio 6 cm e 3 cm.
Sabendo-se que a área lateral do tronco é igual à soma das áreas das bases,
determine o volume desse tronco.
a) 64𝜋 𝑐𝑚³ b) 84𝜋 𝑐𝑚³ c) 90𝜋 𝑐𝑚³ d) 84 𝑐𝑚³
Resposta correta: B
QUESTÃO 54:
Um depósito de combustível tem a forma de um tronco de cone. Suas dimensões
são : 10m e 20 m de diâmetros e 21 m de altura. Se apenas 30% de sua
capacidade estão ocupados por combustível, qual é a quantidade, em litros, de
combustível existente no depósito?
a) 900 000 litros
b) 1 153 900 litros
c) 1 243 900 litros
d) 1 553 900 litros
Resposta correta: B
165
QUESTÃO 54:
Uma laranja tem a forma esférica. Assim sendo, qual é, aproximadamente, a
área da casca de uma laranja com 8 cm de diâmetro?
a) 180 cm³ b) 197 cm³ c) 201 cm³ d) 210 cm³
Resposta correta: C
QUESTÃO 55:
Calcule, respectivamente, o volume e a área total de uma cunha esférica de raio
12cm e ângulo central de 60º.
a) 384𝜋 𝑐𝑚3𝑒 96𝜋 𝑐𝑚²
b) 400𝜋 𝑐𝑚3𝑒 100𝜋 𝑐𝑚²
c) 415𝜋 𝑐𝑚3𝑒 128𝜋 𝑐𝑚²
d) 500𝜋 𝑐𝑚3𝑒 125𝜋 𝑐𝑚²
Resposta correta: A
QUESTÃO 56:
Determine a capacidade de uma esfera cuja superfície esférica tem área igual a
144m².
a) 220𝜋 𝑐𝑚³ b) 288𝜋 𝑐𝑚³ c) 336𝜋 𝑐𝑚³ d) 450𝜋 𝑐𝑚³
Resposta correta: B
166
5 – ATIVIDADE III – PROJEÇÕES ORTOGONAIS E APLICAÇÕES
Objetivos específicos:
Identificar as projeções ortogonais de uma peça;
Determinar o volume de sólidos;
Calcular a massa de estruturas;
Realizar transformações de unidades;
Calcular o custo de produção.
A ideia principal que nos levou a desenvolver essa atividade, foi a de
aproveitar as próprias atividades feitas pelos alunos na disciplina de Desenho
Técnico em cursos médios profissionalizantes para mostrar-lhes que todas as
peças desenhadas por eles são formadas por cortes que representam figuras
geométricas planas e sólidos geométricos. Dessa forma, poder-se-ía calcular
não apenas áreas e volumes, mas também massa, dada densidade da matéria
prima utilizada no processo de fabricação, e custo de fabricação, dado valor da
matéria prima da peça.
Em interação com os professores da disciplina de Desenho Técnico,
pode-se verificar que uma boa parte dos alunos, ao iniciar a disciplina, encontram
uma certa dificuldade na identificação das vistas das peças desenhadas por eles.
Assim, iniciou-se a atividade definindo, com a apresentação de um vídeo, a
projeção ortogonal de uma figura F sobre um plano α, como sendo o conjunto
das projeções ortogonais dos pontos que compõem esta figura. Em seguida
desenvolveram-se três animações no GeoGebra, para que o aluno, seguindo as
instruções, pudesse identificar as vistas frontal, lateral e superior de uma
pirâmide e de duas peças.
Pirâmide
167
QUESTÃO 58:
Determine entre as opções abaixo, qual representa a vista superior da peça
a) b)
c) d)
Resposta correta: D
QUESTÃO 59:
Analise a peça abaixo clicando nos botões para girar e rotacionar a peça abaixo
e identifique entre as opções abaixo aquela que representa a sua Vista Frontal .
168
a) b)
c) d)
Resposta correta: C
QUESTÃO 60:
Analise a peça abaixo e identifique a alternativa que contém as vistas ortogonais
correspondentes.
a) b)
b) d)
Resposta correta: C
169
Peça I: nessa atividade, o aluno poderá, clicando nos botões, verificar as
transformações de um bloco maciço de alumínio na peça ilustrada. Em seguida
são propostas duas atividades, uma para que o aluno possa identificar as vistas
frontal, lateral e superior da peça e outra na qual, dada a densidade do alumínio,
o aluno possa calcular a massa da peça usinada.
Peça I
QUESTÃO 61:
Entre as opções abaixo, a que melhor representa as vistas frontal, lateral e
superior da peça I é:
a)
b)
170
c)
d)
Resposta correta: B
QUESTÃO 62:
Supondo que a Peça I foi produzida através da usinagem de um bloco bruto de
alumínio, levando em consideração suas cotas e sabendo que a densidade do
alumínio𝐷𝑒𝑛𝑠𝐴𝑙 = 2,7 𝑔/𝑐𝑚³, determine o peso da Peça I, em gramas, após o
processo de usinagem.
a) 829,44 b)2025 c) 1195,56 d) 1325
Resposta correta: C
Peça II: assim como na atividade anterior, o aluno ira utilizar a animação
para identificar as vistas frontal, lateral e superior da peça.
171
Peça II
QUESTÃO 63:
Utilize os controles deslizantes para girar a peça II e veri que qual das opções
abaixo melhor representa as vistas ortogonais dessa peça.
a)
172
b)
c)
d)
Resposta correta: C
Peça III: Após manipular a animação, são propostas cinco questões que
exigirão do aluno a identificação das vistas da peça, o cálculo da massa do bloco
retangular, dada a densidade do aço 1020, a massa da peça, o custo de
produção, dado valor do kg do aço 1020 e o custo do material desperdiçado na
usinagem da peça na forma de limalha, cavaco e sucata.
173
Peça III
Fonte: elaborada pelo autor
QUESTÃO 64:
Entre as opções abaixo, a que melhor representa as vistas frontal, lateral e
superior da peça III é:
a)
b)
174
c)
d)
Resposta correta: B
QUESTÃO 65:
Sabendo que as cotas da Peça III estão em mm e sabendo que o material
utilizado para usinagem da peça foi um bloco bruto de aço 1020 de densidade
aproximada 7,8 g/cm³, determine a massa aproximada, em g, da bloco utilizado
para usinagem.
a) 300 b) 328 c) 332 d) 350
Resposta correta: B
175
QUESTÃO 66:
Determine a massa aproximada, em g, da peça III.
a) 70 b) 23 c) 258 d)328
b)
Resposta correta: C
QUESTÃO 67:
Se o preço por kg do aço SAE 1020 é de R$ 7,00, determine o custo aproximado de
produção da Peça III levando em conta apenas o gasto com a matéria prima.
a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,15 d) R$ 2,30
Resposta correta: D
QUESTÃO 68:
No processo de usinagem da Peça III, o material desperdiçado na forma de
limalha, cavaco e sucata, gerou um custo aproximado, em reais, igual a:
a) R$ 0,35 b) R$ 0,49 c) R$ 0,52 d) R$ 0,60
Resposta correta: B
Peça IV: assim como na animação anterior, após sua manipulação, serão
propostas cinco questões nas quais o aluno deverá identificar as vistas da peça,
determinar o custo de produção da peça, determinar o custo da matéria prima
desperdiçada e determinar o ponto de equilíbrio da produção dessa peça em
uma empresa, dados seus custos fixos e custos variáveis de produção.
Peça IV
176
QUESTÃO 69:
Entre as opções abaixo, a que melhor representa as vistas lateral, frontal e
superior da peça IV é:
a)
b)
c)
177
d)
Resposta correta: A
QUESTÃO 70:
A Peça IV foi obtida através da usinagem de uma barra retangular de
polipropileno que possui densidade de 0,9 g/cm³. Sabendo que seu preço no
mercado é de aproximadamente R$ 22,00 por kg, determine o Custo
aproximado, em reais, empregado em matéria prima na produção dessa peça.
a) R$ 0,57 b) R$ 0,74 c) R$ 0,84 d) R$ 0,93
Resposta correta: C
QUESTÃO 71:
Uma pequena empresa que produz apenas peças idênticas à peça IV, possui
Custos fixos mensais na ordem de R$ 35 000,00. Sabe-se que o custo de
produção de uma determinada peça é calculado através da soma dos custos
xos da empresa com os custos variáveis da produção deste produto. Dessa
forma, se for utilizado Alumínio na produção da Peça IV, sabendo que o
Alumínio tem densidade 2,7 g/cm³ e seu valor no mercado é de
aproximadamente R$ 18,00 por kg, determine, em reais, considerando
apenas a massa da peça após o processo de usinagem como custo variável,
o custo de produção da peça IV.
a) R$ 35 000,15 b) 35 000,27 c) 35 000,50 d) 35 000,65
Resposta correta: C
178
QUESTÃO 72:
Sabendo que o custo unitário de produção é o valor correspondente a produção
de uma peça e assumindo que este seja de R$ 0,50, se esta empresa
comercializa cada peça pelo valor de R$ 1,00, determine quantas peças deverão
ser produzidas e vendidas para que a empresa consiga pagar seus custos fixos.
a) 25 000 peças b) 35 000 peças c) 50 000 peças d) 70 000 peças
Resposta correta: D
