Ponto 2 Matemática financeira2[1]

FUNDAMENTOS FINANÇAS EMPRESARIAIS

2. Valor Actual e Valor Futuro dos Investimentos

Fundamentos Finanças Empresariais

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TÓPICOS

Tópicos de Matemática Financeira;

Valor actual e a actualização;

Valor futuro e a capitalização;

Equivalências de taxas e períodos de capitalização;

Múltiplos cash-flows e casos particulares (rendas e perpetuidades);

Modalidades de amortizações de empréstimos.

Tópicos de Matemática Financeira

Fundamentos Finanças Empresariais 3

Valor de um Activo

O valor de qualquer activo financeiro corresponde ao

somatório de todos os fluxos monetários que se espera que

venham a ser gerados no futuro por esse activo, actualizados

a uma taxa de rendimento exigida de acordo com o seu nível

esperado de risco.

= ∑ fluxos monetários gerados actualizados à tx esperada



Vale a pena investir? Como saber se um investimento vale a pena?

Valor hoje dos fluxos de caixa futuros.

Valor Presente

Montante ao qual um investimento ascenderá depois incluir os juros

Valor Futuro

Valor Presente Versus Valor Futuro



Vale a pena investir?

Para responder a esta questão é importante atender ao valordo dinheiro no tempo.

1€ = 1 € amanhã?

“Um euro hoje vale mais que um euro dentro de um ano!!!”

Conceito de Capitalização

Valor Futuro = Valor Presente (1+r)n

sendo r taxa de capitalização



Conceito Actualização - Contravalor hoje de um cash flowfuturo.

“Quanto vale hoje um investimento que valerá x€ daqui an anos!!”

Valor Presente = Valor Futuro / (1+j)n

sendo j taxa de actualização (taxa utilizada no cálculo de

valores actualizados de cash flows futuros)Fonte: Brealey and Myers (2000)

NOTA: Cash flow (CF - fluxo de caixa): saldo entre as entradas e

saídas de capital de uma empresa durante um determinadoperíodo de tempo, sendo calculado através do mapa de fluxos detesouraria.



Valores Capitalizados Valores Actualizados

Cn = C0(1+r)n <=> C0 = Cn = Cn (1 + r)-n

(1+r)n

Sendo assim, para determinar o valor de um activo é necessário:

identificar os fluxos de rendibilidades esperadas, i.e., os Cash-Flows que o mesmo irá gerar (montante e vencimento)

estabelecer a taxa de rendibilidade exigida



Processo de Capitalização e Sub-Processos Periódicos de Capitalização

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O período de capitalização (S.P.P.C.)corresponde ao período de referência da taxa de juro (se nada for dito em contrário)

No final de cada período de capitalização, proceder-se-á ao cálculo de juro periódico…



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Juro vs Juro Periódico

Juro Periódico: Juro produzido em cada período de capitalização, resultando da aplicação da taxa de juro ao capital no início de cada período

Juro: Juro Total produzido ao longo do processo de capitalização, resultando do somatório de todos os juros periódicos produzidos.



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Nota: Estamos a assumir Regime Juro Composto (RJC)

O juro periódico é imediatamente incorporado no processo de capitalização, produzindo juro nos períodos de capitalização subsequentes, pelo que CIk e, consequentemente, Jk vão crescendo de período para período.

Assim temos:

C n = C0.(1+i)n e Juro Total = C n - C0 = C0.[(1+i)n - 1]


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Exemplo

Um capital de 1.000€ esteve aplicado em RJC durante dois anos à taxa de juro anual de 5%. Calcule o Juro Periódico, o Juro Total e o Capital Acumulado.

C n = C0.(1+i)n=1000.(1+0,05)2= 1102,5€

Juro Total = C n - C0 = 1102,5 – 1000 = 102,5€

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Concordância entre o período da Taxa de Juro e o período de Tempo

No cálculo de juro dever-se-á respeitar o período de capitalização e deverá haver sempre concordância entre o período da taxa de juro (i) e o período de tempo (n)

Exemplo:

Se o período de capitalização é anual, dever-se-á usar uma taxa de juro (i) referida ao ano e o tempo (n) deverá ser expresso em anos.




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Taxas Efectivas

Definição : são aquelas que efectivamente presidem à formação do juro.

Uma taxa é efectiva quando o período a que se reporta coincide com o período da capitalização que lhe está associado (ex.: uma taxa semestral é efectiva se o período de capitalização que lhe corresponde for o semestre).


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Taxas Nominais

Definição : são apenas declaradas como presidindo à formação do juro.

Uma taxa “anual” nominal não leva em conta o efeito de sucessivas capitalizações, ou seja, a produção de juros sobre juros

Assim, em RJC, quando a capitalização se faz m vezes ao “ano” (m ≠ 1) e é declarada uma taxa “anual” nominal, esta nunca é aplicada directamente - servirá apenas para calcular uma taxa efectiva.

Esta conversão é efectuada utilizando uma relação de proporcionalidade.


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Taxas Efectivas vs. Taxas Nominais

Exemplo:

Num determinado processo de capitalização trimestral, a taxa de juro trimestral é uma taxa efectiva, já que, estando reportada ao período de capitalização, é a taxa que efectivamente vai ser utilizada para calcular os juros periódicos.

Porém, nas convenções concretas da actividade comercial e bancária, é usual declarar-se, não a taxa efectiva trimestral, mas sim a taxa anual nominal, i.e., teremos que calcular a taxa efectiva trimestral que é proporcional à taxa anual nominal.


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Simbologia:

i = taxa anual efectiva

i(m) = taxa anual nominal, composta m vezes ao ano

i1/m = taxa periódica (efectiva), referida a um período que corresponde a 1/m ao ano

m = número de vezes que a capitalização de juros ocorre ao ano

Se m=4 (capitalização trimestral); m=2 (capitalização semestral)

Exemplos:

i(4) = taxa anual nominal composta trimestralmente

i1/12 = taxa periódica (efectiva) mensal


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Taxas Efectivas e taxas Nominais em RJC

i(m) = m.i1/m

1+ i = (1+ i1/m)m

Relação Proporcionalidade

Relação Equivalência


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Exemplos Conversão em RJC

De uma taxa anual efectiva (i) para uma taxa periódica (i1/m) relação de equivalência

Qual a taxa semestral equivalente à taxa anual efectiva de 6%?

1+ i =(1+i1/m)m assim 1+6% =(1+i1/2)2 ⇔ (1+6%)1/2=1+i1/2⇔ i1/2

=2,95%

De uma taxa anual nominal (im) para uma taxa periódica (i1/m) relação de proporcionalidade

Qual a taxa semestral correspondente à taxa anual nominal de 6% composta semestralmente?

i(m) = m.i1/m assim 6% = 2. i1/2 ⇔ i1/2 = 6%/2 ⇔ i1/2= 3%


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Exemplos Conversão em RJC

De uma taxa periódica anual efectiva (i1/m) para uma taxa anual efectiva periódica (i) relação de equivalência

Qual a taxa anual efectiva equivalente à taxa mensal de 2%?

1+ i =(1+i1/m)m assim 1+i =(1+2%)12 ⇔ i = (1+2%)12 -1⇔ i = 26,8%

De uma taxa periódica (i1/m) para uma taxa anual nominal (im) relação de proporcionalidade

Qual a taxa anual nominal composta mensalmente correspondente à taxa mensal de 2%?

i(m) = m.i1/m assim i(12) = 12. 2% ⇔ i(12) = 24%


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Inflação

A subida do nível geral de preços (inflação) é também uma variável que influencia as taxas de juro.

As taxas de juro correntes não reflectem o efeito da inflação, enquanto que as taxas de juro reais já reflectem esse efeito. A taxa de juro real ao expressar a taxa de juro corrente “corrigida”

pela taxa de inflação permite aferir a rendibilidade real das aplicações financeiras.

Se, num determinado período, a taxa de juro corrente é igual/inferior/superior à taxa de inflação, isto reflecte uma manutenção/diminuição/aumento do poder de compra. Deste modo a taxa de juro real será igual/inferior/superior a zero.


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Taxa juro real

Sendo i = taxa de juro corrente (taxa efectiva)

r = taxa de juro real

z = taxa de inflação

(1 + i) = (1 + r) . (1 + z )⇔ (1 + r) =

⇔ r = - 1

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Resumindo:

Taxa NominalA taxa de juro nominal é a taxa que obrigatoriamente deve ser indicada em todos os contratos de crédito ou nas aplicações, e corresponde ao período de um ano.

Taxa EfectivaQuando existem capitalizações dentro do período da taxa nominal, esta não reflecte o valor efectivo da taxa. Assim, torna-se necessário converter a taxa nominal em taxa efectiva.

Taxa RealTaxa real é a taxa efectiva corrigida pela taxa de inflação do período da operação.

Relação entre a Taxa Real, Efectiva e a Taxa da InflaçãoA taxa real não é a diferença entre a taxa efectiva e a taxa da inflação.

Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por:

iEfectiva = [(1 + iReal) x (1 + iInflação)] -1




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Desconto

Preço a pagar para se dispor de um capital num momento de tempo anterior ao do seu vencimento.

Considerando uma aplicação de um capital C0 durante n períodos de tempo, temos:

Cn > C0


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Desconto (cont.)

Considerando que se pretende dispor do capital t períodos antes da data do seu vencimento teremos que calcular o desconto. Cn-t será o valor a receber pelo sujeito activo no momento

n-t;

Sendo Cn-t < Cn pois Cn-t = Cn - Desconto

Desconto


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Sendo:

Cn = valor nominal do capital, com vencimento em n

Cn-t = valor actual do capital (sendo n-t o momento actual)

t = prazo que decorre entre o momento actual e o vencimento

D = desconto sofrido pelo capital Cn no prazo t.

Cn-t = Cn – D D = Cn – Cn-t


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No caso do Desconto Composto (Dc),pressupõe-se a existência de um processo de capitalização com produção de juros sobre juros entre o momento actual (n-t) e o momento do vencimento do capital (n).

O montante do desconto composto Dc :

é calculado sobre o valor actual do capital (Cn-t), de acordo com o RJC;

corresponde ao valor do juro composto produzido pelo valor actual do capital (Cn-t), durante o prazo t, de modo a perfazer, no vencimento, o valor nominal do capital (Cn)

Cn-t (1+i)t= Cn sendo i – taxa de desconto


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Assim temos:

Valor actual do capital

Cn-t = Cn (1+i)-t

Montante do desconto composto

Sendo Desconto = Cn - Cn –t temos por substituição

Dc = Cn - Cn (1+i)-t ⇔ Dc = Cn . [1 - (1+i)-t ]

NOTA: t e i terão de estar expressos na mesma unidade de tempo. Para fracções de período utiliza-se uma taxa equivalente a i.



Valores Capitalizados Valores Actualizados

Cn = C0 (1+r)n <=> C0 = Cn = Cn (1 + r)-n

(1+r)n

Recordando:


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Renda – Conjunto de capitais (C1, C2, C3,…, Cn) vencíveis em momentos equidistantes de tempo, i.e. em intervalos de tempo iguais.

Termo da Renda – Cada um dos n capitais. A renda é o

conjunto de todos esses termos;

Período da Renda – Intervalo de tempo (constante) que separa dois vencimentos consecutivos;

A cada período da renda está associado o vencimento de um termo.


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Momentos Relevantes na “Vida” de uma Renda:

Momento zero: É o momento da constituição da renda;

Momento w: Corresponde ao início do primeiro período da renda.

Ao intervalo [ 0, w ] chamamos prazo de diferimento.

Momento w + n: Corresponde ao fim do último período da renda.


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As Rendas podem classificar-se de acordo com vários critérios:

Quanto ao número de termos;

Quanto ao valor dos termos da renda;

Quanto ao período da renda;

Quanto à localização do vencimento em cada período;

Quanto à dependência face a factores aleatórios;

Quanto ao diferimento;


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Quanto ao número de termos:

Renda Temporária - n.º limitado de termos (n);

Renda Perpétua – n.º ilimitado de termos (n ∞).

Quanto ao valor dos termos:

Renda de Termos Constantes

C1 = C2 = C3 = ... = Cn = C

Renda de Termos Variáveis

C1 ≠ C2 ≠ C3 ≠ ... ≠ Cn ≠ C


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Quanto ao período da renda:

Renda Anual

Renda Semestral

Renda Mensal

etc...

Quanto à localização do vencimento em cada período:

Renda de Termos Postecipados:

Cada termo vence-se no fim do respectivo período;


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Quanto à localização do vencimento em cada período (cont.):

Renda de Termos Antecipados:

Cada termo vence-se no inicio do respectivo período;

Quanto à dependência face a factores aleatórios:

Rendas Certas;

Rendas Incertas.


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Quanto ao Diferimento:

Renda Imediata (w= 0) Neste caso não há prazo de diferimento; a renda é constituída e

começa imediatamente a produzir efeito.

Renda Diferida de w (w > 0) Neste caso há prazo de diferimento; a renda é constituída no

momento actual (0) mas apenas começa a produzir efeito após w períodos.


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Exemplo1. Uma empresa industrial adquiriu hoje (01 Novembro) um

equipamento fabril, acordando com o vendedor a seguinte forma de pagamento: entrega de 500€ no fim de cada mês, durante 18 meses, vencendo-se a primeira prestação a 30 de Novembro.

Assim temos:

Renda – conjunto capitais que se vencem em intervalos iguais;

Classificação da Renda:

Temporária (18 meses);

Termos Constantes (C = 500€);

Mensal (período renda mensal);

Postecipada (vencimento no fim de cada mês);

Imediata (w=0);


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Exemplo2. O Sr. Costa decidiu fazer um seguro de vida com as

seguintes condições: pagamento 1500€ no dia 1 de Janeiro de cada ano, em alternativa a companhia de seguro compromete-se a pagar o capital de 2.000.000€ ao beneficiário indicado. O contrato foi realizado em Julho de 2009 e o primeiro pagamento efectua-se a 1 de Janeiro de 2010.

Classificação da Renda:

Temporária mas incerta (durante período de vida);

Termos Constantes (C = 1500€);

Anual (período renda anual);

Antecipada (vencimento no inicio do ano);

Diferida (w = 0,5 ano);


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O cálculo de uma renda é, regra geral, feito para um de dois momentos de tempo:

Valor Actual da Renda, R (0), que corresponde ao somatório do valor dos seus termos no momento actual (momento 0)

Teremos que descontar todos os seus termos para o momento 0

Valor Acumulado da Renda, R (w+n), que corresponde ao somatório do valor dos seus termos no fim do último período da renda (momento w+n)

Teremos que capitalizar todos os seus termos para o momento w+n

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Rendas Temporárias Termos Constantes



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Rendas Temporárias Termos Constantes Imediata e Postecipada

VALOR ACTUAL

VALOR ACUMULADO

Imediata e Antecipada

VALOR ACTUAL

VALOR ACUMULADO



R (n)= R (0) . (1+ i)n

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Rendas Temporárias Termos Constantes

Diferida e Postecipada (w>0)

Diferida e Antecipada (w>0)



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Rendas Temporárias Termos Variáveis

Rendas de Termos Variáveis Quaisquer

Para determinar o valor actual e valor acumulado énecessário, respectivamente, descontar ou capitalizarindividualmente cada um dos termos.

Rendas de Termos Variáveis em Progressão Aritmética

Ck = C1 + (k-1). r sendo r a razão de progressão, sendo:

C2= C1 + r e C3 = C2 + r = C1 + 2. r …….



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Rendas Temporárias Termos Variáveis

Rendas de Termos Variáveis em Progressão Geométrica

Ck = C1 . r k-1 pois temos :

C2= C1 . R

C3 = C2 . r = C1 . R2

…



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Rendas Perpétuas



Número ilimitado de termos n ∞

Assim temos:

VALOR ACTUAL

R (0)PERP= C. (1/i)

O valor de uma perpetuidade de termos iguais a P, um tempo antes do primeiro pagamento, é, sendo i a taxa de juros, A = P

i

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Sistema de Amortização de Empréstimos



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Sistema de Amortização de Empréstimos – Reembolso Periódico



Neste sistema o empréstimo é amortizado através de n pagamentos periódicos (Ck), i.e., através de uma Renda de Amortização.

Cada termo da renda ,Ck, (pagamento periódico) inclui:

Reembolso de uma parcela do capital em dívida (Mk)

Pagamento do respectivo juro periódico (Jk)

NOTA: Se nada for dito em contrário assume-se que os pagamentos (Ck)

constituem uma renda imediata e de termos postecipados.


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Para melhor visualizar a evolução do montante da dívida e de cada um destes 3 parâmetros (Jk, Mk e Ck): o Quadro de Amortização.


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Os reembolsos periódicos de capital (Mk) vão “abatendo” ao montante de capital em dívida (Ck);

Deste modo, o juro periódico (Jk) é sempre decrescente - pois o capital em dívida será também decrescente devido à amortização periódica.

A evolução da quota de capital (Mk) e do pagamento periódico (Ck) depende do sistema de amortização periódica acordado pelas partes.


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Sistema Francês / Sistema de Amortização Periódica Crescente / Sistema de Pagamentos Periódicos

Constantes :

Neste sistema os termos da renda de amortização, (Ck),

são constantes;

Ck = C

Por definição as quotas de juro Jk são sempre decrescentes, assim sendo as quotas de capital (Mk), são, neste sistema, crescentes (daí designar-se também por sistema de amortização

periódica crescente ou progressiva).


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No Sistema Francês o capital emprestado (CDI1) corresponde ao valor

actual de uma renda de amortização com n termos constantes

iguais a C. CDI1=

Quadro de Amortização

Assim Mk = Mk - t .(1 +i)t


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Sistema Francês – Exemplo


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Sistema Americano / Sistema de Amortização Periódica Constante / Sistema de Pagamentos Periódicos

Decrescentes :

Neste sistema as quotas de capital (Mk) são constantes;

Mk = M

Por definição as quotas de juro Jk são sempre decrescentes, assim sendo os pagamentos periódicos (Ck), são, neste sistema, decrescentes (daí designar-se também por sistema de

pagamentos periódicos decrescentes).


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No Sistema Americano o capital emprestado (CDI1) corresponde ao produto do número de quotas de capital (n) pelo valor de cada uma (M).

CDI1= n . M

Quadro de Amortização

Assim Jk e Ck decrescem em cada período num montante igual a M .i

Ck = Ck-t – t. M . i


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Sistema Americano – Exemplo

Período Capital em

dívida início do

período

Quota de Juro Quota de

Capital

Pagamento no

fim do período

1 25275 1390,13 5055 6445,13

2 20220 1112,10 5055 6167,10

3 15165 834,75 5055 5889,08

4 10110 556,05 5055 5611,05

5 5055 278,025 5055 5333,025


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Referências

CADILHE, M. e SOARES, C., “Lições de Matemática Financeira e Noções Complementares”, 2.ª edição.

QUELHAS, A. e CORREIA, F. (2004), “Manual de Matemática Financeira”, Almedina.

Ponto 2 Matemática financeira2[1]

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