Pontos de Weierstrass em Extensões de Kummerftorres/TALKS/TALKS_PDF/Miriam_Tal… · L(D) := fz 2F...

OrganizaçãoIntroduçãoO TeoremaAplicações

Pontos de Weierstrassem

Extensões de Kummer

Miriam Abdón

Campinas, 15 de Setembro de 2017

Miriam Abdón Pontos de Weierstrass em Extensões de Kummer

I Herivelto Borges (USP, São Carlos)

I Luciane Quoos (UFRJ, Rio de Janeiro)

I Herivelto Borges (USP, São Carlos)

I Luciane Quoos (UFRJ, Rio de Janeiro)

Organização

I Introdução

I Teorema Principal

I Aplicações

I Curvas Maximais

I Pontos de Weierstrass Totalmente Rami�cados

I Extensões de Kummer Separáveis

Organização

I Introdução

I Teorema Principal

I Aplicações

I Curvas Maximais

Organização

I Introdução

I Teorema Principal

I Aplicações

I Curvas Maximais

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I Introdução

I Teorema Principal

I Aplicações

I Curvas Maximais

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I Introdução

I Teorema Principal

I Aplicações

I Curvas Maximais

Organização

I Introdução

I Teorema Principal

I Aplicações

I Curvas Maximais

Seja F/K um corpo de funções algébricas em uma variável, onde Ké algebricamente fechado de característica p ≥ 0.

Denotamos por P(F ) o conjunto de todos os lugares F e por

DF o grupo abeliano livre gerado pelos lugares de F .

Divisores

Os elementos D em DF são chamados divisores e podem serescritos como,

D =∑

P∈P(F )

nP P com nP ∈ Z, e quase todos nP = 0.

O grau de divisor D é deg(D) =∑

P∈P(F )nP .

Divisores

D =∑

P∈P(F )

P∈P(F )nP .

Divisores

D =∑

P∈P(F )

P∈P(F )nP .

Espaço Riemann-Roch

Dado um divisor D em DF , o espaço de Riemann-Roch associado aD é:

L(D) := {z ∈ F | (z) ≥ −D} ∪ {0}.

Se D =∑

mi Pi −∑

nj Qj onde mi , nj > 0, podemos caracterizaro espaço L(D) como segue:

z ∈ F \ {0}, se e somente se,

I z tem zeros em Qj de ordem pelo menos nj ,

I z pode ter polos só nos Pi de ordem no máximo mi .

L(D) := {z ∈ F | (z) ≥ −D} ∪ {0}.

Se D =∑

mi Pi −∑

L(D) := {z ∈ F | (z) ≥ −D} ∪ {0}.

Se D =∑

mi Pi −∑

L(D) := {z ∈ F | (z) ≥ −D} ∪ {0}.

Se D =∑

mi Pi −∑

L(D) := {z ∈ F | (z) ≥ −D} ∪ {0}.

Se D =∑

mi Pi −∑

L(D) := {z ∈ F | (z) ≥ −D} ∪ {0}.

Se D =∑

mi Pi −∑

Denotamos por `(D) = dimL(D) como espaço vetorial sobre K .

`(D) = deg(D) + 1− g se deg(D) ≥ 2g − 1,

onde g é o gênero de F .

Não Lacuna

Seja P em P(F ), dizemos que s ∈ N0 é uma não lacuna em P seexiste uma função z ∈ F tal que (z)∞ = s P . Caso contrário, s édito ser uma lacuna em P .

O semigrupo de Weierstrass em P é o conjunto formado pelas nãolacunas no ponto.

`(D) = deg(D) + 1− g se deg(D) ≥ 2g − 1,

Não Lacuna

Seja P em P(F ), dizemos que s ∈ N0 é uma não lacuna em P seexiste uma função z ∈ F tal que (z)∞ = s P. Caso contrário, s édito ser uma lacuna em P .

`(D) = deg(D) + 1− g se deg(D) ≥ 2g − 1,

Não Lacuna

`(D) = deg(D) + 1− g se deg(D) ≥ 2g − 1,

Não Lacuna

`(D) = deg(D) + 1− g se deg(D) ≥ 2g − 1,

Não Lacuna

`(D) = deg(D) + 1− g se deg(D) ≥ 2g − 1,

Não Lacuna

Pontos de Weierstrass

s é uma lacuna em P se, e somente se, `((s − 1)P) = `(sP).Existem então g lacunas, 1 = λ1 < · · · < λg ≤ 2g − 1.

É bem conhecido que para quase todos os lugares exceto para umnúmero �nito, a sequencia de g lacunas é a mesma. Esta sequenciaé chamada de sequencia de lacunas de F .

Seja P em P(F ), dizemos que é um ponto de Weierstrass se a suasequencia de lacunas difere da sequencia de lacunas de F .

A caracterização dos pontos de Weierstrass é um problemafundamental na teoria das curvas algébricas.

Algumas situações já conhecidas onde os pontos totalmenterami�cados são Weierstrass:

I Se ym = f (x) é uma extensão de Kummer clássica e f (x) tempelo menos 5 raízes (Lewitte).

I Extensões cíclicas F/K (x) de grau pn, onde char(K ) = p en ≥ 2 (Valentini-Madan).

I O reultado acima é válido para p-extensões abelianaselementares (Garcia).

Objetivo:

Achar condições para que um inteiro s seja uma lacuna em P numaextensão de Kummer.

Objetivo:

Achar condições para que um inteiro s seja uma lacuna em P numaextensão de Kummer.

Uma extensão de Kummer F/K (x) é uma extensão de corposdada por

ym = f (x) =r∏

(x − αi )λi , com m ≥ 2, p - m, e 0 < λi < m,

onde f (x) ∈ K [x ] não pode ser uma d th potência (com d | m) deum elemento de K (x), e α1, . . . , αr são distintos dois a dois.

ym = f (x) =r∏

Restrição de divisores

Suponha que K ⊆ E ⊆ F , e consideremos D um divisor de F dadopor

D =∑

R∈P(E)

∑Q∈P(F )Q|R

Vamos de�nir a restição de D a E como sendo o divisor D|E in Edado por:

D|E :=∑

R∈P(E)

{⌊nQ

e(Q|R)

⌋: Q|R

onde e(Q|R) é o índice de rami�cação de Q sobre R .

D =∑

R∈P(E)

∑Q∈P(F )Q|R

D|E :=∑

R∈P(E)

{⌊nQ

e(Q|R)

⌋: Q|R

D =∑

R∈P(E)

∑Q∈P(F )Q|R

D|E :=∑

R∈P(E)

{⌊nQ

e(Q|R)

⌋: Q|R

D =∑

R∈P(E)

∑Q∈P(F )Q|R

D|E :=∑

R∈P(E)

{⌊nQ

e(Q|R)

⌋: Q|R

D =∑

R∈P(E)

∑Q∈P(F )Q|R

D|E :=∑

R∈P(E)

{⌊nQ

e(Q|R)

⌋: Q|R

D =∑

R∈P(E)

∑Q∈P(F )Q|R

D|E :=∑

R∈P(E)

{⌊nQ

e(Q|R)

⌋: Q|R

D =∑

R∈P(E)

∑Q∈P(F )Q|R

nQ Q e D|E :=∑

R∈P(E)

{⌊nQ

e(Q|R)

⌋: Q|R

Teorema de Maharaj

Seja F/K (x) uma extensão de Kummer de grau m de�nida por

ym = f (x).

Então para qualquer divisor D of F que é invariante pela ação dogrupo de Galois Gal(F/K (x)), temos que

L(D) =m−1⊕t=0

L([D + (y t)]|K(x)) yt ,

onde [D + (y t)]|K(x) denota a restrição a K (x) do divisor D + (y t).

Teorema de Maharaj

ym = f (x).

L(D) =m−1⊕t=0

L([D + (y t)]|K(x)) yt ,

Teorema de Maharaj

ym = f (x).

L(D) =m−1⊕t=0

L([D + (y t)]|K(x)) yt ,

Teorema de Maharaj

ym = f (x).

L(D) =m−1⊕t=0

L([D + (y t)]|K(x)) yt ,

Teorema de Maharaj

ym = f (x).

L(D) =m−1⊕t=0

L([D + (y t)]|K(x)) yt ,

Teorema de Maharaj

ym = f (x).

L(D) =m−1⊕t=0

L([D + (y t)]|K(x)) yt ,

Teorema de Maharaj

ym = f (x).

L(D) =m−1⊕t=0

L([D + (y t)]|K(x)) yt ,

Seja F/K (x) uma extensão de Kummer dada por

ym = f (x)

Seja P um lugar de K (x), e sejam Q1, . . . ,Qr todos os lugares Facima de P .

Para s ≥ 1, se `(sQ1) + 1 = `((s + 1)Q1), então

`(sr∑

Qj) + r = `((s + 1)r∑

ym = f (x)

`(sr∑

Qj) + r = `((s + 1)r∑

ym = f (x)

`(sr∑

Qj) + r = `((s + 1)r∑

ym = f (x)

`(sr∑

Qj) + r = `((s + 1)r∑

ym = f (x)

`(sr∑

Qj) + r = `((s + 1)r∑

o Teorema

ym =r∏

(x − αi )λi , with 0 < λi < m.

Fixemos um elemento α0 ∈ K\{α1, . . . , αr}, e denotemos por

αr+1 :=∞, λ0 := 0 e por λr+1 := −k∑

i=0λi .

Para cada u = 0, . . . , r + 1, consideremos Pu ∈ P(K (x)) o lugarusual correspondente αu ∈ K ∪ {∞},e o divisor Du =

∑Quv |Pu

Quv ∈ DF .

o Teorema

ym =r∏

αr+1 :=∞, λ0 := 0 e por λr+1 := −k∑

i=0λi .

∑Quv |Pu

Quv ∈ DF .

o Teorema

ym =r∏

αr+1 :=∞, λ0 := 0 e por λr+1 := −k∑

i=0λi .

∑Quv |Pu

Quv ∈ DF .

o Teorema

ym =r∏

αr+1 :=∞, λ0 := 0 e por λr+1 := −k∑

i=0λi .

∑Quv |Pu

Quv ∈ DF .

Se s ≥ 1 é um inteiro, então

`(sDu)− `((s − 1)Du)

é o número de elementos j ∈ {0, . . . , (m, λu)− 1} tais que

r∑i=0

{(tu + jmu)λim

}≤ 1 +

⌊s − 1mu

onde mu = m(m,λu)

, e tu ∈ {0, . . . ,mu − 1} é o único inteiro tal que

s + λu(m,λu)

tu ≡ 0 mod mu.

`(sDu)− `((s − 1)Du)

r∑i=0

{(tu + jmu)λim

}≤ 1 +

⌊s − 1mu

onde mu = m(m,λu)

s + λu(m,λu)

tu ≡ 0 mod mu.

`(sDu)− `((s − 1)Du)

r∑i=0

{(tu + jmu)λim

}≤ 1 +

⌊s − 1mu

onde mu = m(m,λu)

s + λu(m,λu)

tu ≡ 0 mod mu.

`(sDu)− `((s − 1)Du)

r∑i=0

{(tu + jmu)λim

}≤ 1 +

⌊s − 1mu

onde mu = m(m,λu)

s + λu(m,λu)

tu ≡ 0 mod mu.

`(sDu)− `((s − 1)Du)

r∑i=0

{(tu + jmu)λim

}≤ 1 +

⌊s − 1mu

onde mu = m(m,λu)

s + λu(m,λu)

tu ≡ 0 mod mu.

`(sDu)− `((s − 1)Du)

r∑i=0

{(tu + jmu)λim

}≤ 1 +

⌊s − 1mu

onde mu = m(m,λu)

s + λu(m,λu)

tu ≡ 0 mod mu.

`(sDu)− `((s − 1)Du)

r∑i=0

{(tu + jmu)λim

}≤ 1 +

⌊s − 1mu

onde mu = m(m,λu)

s + λu(m,λu)

tu ≡ 0 mod mu.

Corolário

Com as notações do Teorema anterior, temos que se Du é um lugartotalmente rami�cado em F/K (x), então s é uma lacuna em Du

se, e somente se,

r∑i=0

{ tuλim

}> 1 +

⌊s − 1m

Corolário

se, e somente se,

r∑i=0

{ tuλim

}> 1 +

⌊s − 1m

Corolário

se, e somente se,

r∑i=0

{ tuλim

}> 1 +

⌊s − 1m

Corolário

se, e somente se,

r∑i=0

{ tuλim

}> 1 +

⌊s − 1m

Corolário

Seja Q0 um lugar genêrico em F/K (x), e seja s ≥ 1 um inteiro. Seexiste j ∈ {0, 1, . . . ,m − 1} tal que

s <r∑

{ jλim

então s é uma lacuna em Q0. Em particular,

(i) Se s < r/2 então s é uma lacuna em Q0.

(ii) Se λ1 = · · · = λr são primos com m, e s < r(m − 1)/m entãos é uma lacuna em Q0.

Corolário

s <r∑

{ jλim

Corolário

s <r∑

{ jλim

Corolário

s <r∑

{ jλim

Corolário

s <r∑

{ jλim

Corolário

s <r∑

{ jλim

Corolário

s <r∑

{ jλim

Corolário

s <r∑

{ jλim

Corolário

s <r∑

{ jλim

Corolário

s <r∑

{ jλim

Curvas MaximaisPontos de Weierstrass Totalmente Rami�cadosExtensões de Kummer Separáveis

Curvas Maximais

De�nição

Uma curva algébrica, projetiva, não singular, geom. irredutível degênero g de�nida sobre Fq2 é dita Fq2-maximal se o número depontos Fq2-racionais atinge a cota de Hasse-Weil.

Isto é#N(Fq2) = 1 + q2 + 2gq.

Curvas Maximais

De�nição

Uma curva algébrica, projetiva, não singular, geom. irredutível degênero g de�nida sobre Fq2 é dita Fq2-maximal se o número depontos Fq2-racionais atinge a cota de Hasse-Weil.

Isto é#N(Fq2) = 1 + q2 + 2gq.

Fatos Conhecidos

I g ≤ q(q−1)2

, Cota de Ihara

I Hermitiana xq+1 + yq+1 = 1, única curva máximal de gêneromáximo

I Toda curva coberta por uma curva maximal também émaximal

I Em particular, curvas do tipo: xn + ym = 1, onde m e ndividem q + 1, são maximais.

Fatos Conhecidos

I g ≤ q(q−1)2

, Cota de Ihara

Fatos Conhecidos

I g ≤ q(q−1)2

, Cota de Ihara

Fatos Conhecidos

I g ≤ q(q−1)2

, Cota de Ihara

Fatos Conhecidos

I g ≤ q(q−1)2

, Cota de Ihara

Fatos Conhecidos

I g ≤ q(q−1)2

, Cota de Ihara

Pergunta

Suponhamos que

ym = f (x) onde f (x) ∈ Fq2 [x ]

seja o modelo plano de uma curva Fq2-maximal.

Que condições temos que pedir a f (x) para garantir que m dividaq + 1?

Pergunta

Suponhamos que

Pergunta

Suponhamos que

Respostas (Arnaldo, Fernando, Saeed)

m deve dividir q + 1 quando:

I f (x) = 1− xn

I f (x) = x2 − 1

I f (x) ∈ Fq2 [x ] um polinômio aditivo e separável.

I f (x) = 1− xn

I f (x) = x2 − 1

I f (x) = 1− xn

I f (x) = x2 − 1

I f (x) = 1− xn

I f (x) = x2 − 1

Objetivo

Tentar responder a questão anterior para uma classe mais ampla depolinômios

Precisamos dos seguintes resultados

Seja X uma curva maximal sobre Fq2 e sejam P e Q dois pontosracionais distintos X . Então

I (q + 1)P ∼ (q + 1)Q.

I Se existe um inteiro m ≥ 1 tal que mP ∼ mQ, entãod := gcd(m, q + 1) é uma não lacuna em P .

Objetivo

I (q + 1)P ∼ (q + 1)Q.

Objetivo

I (q + 1)P ∼ (q + 1)Q.

Objetivo

I (q + 1)P ∼ (q + 1)Q.

Objetivo

I (q + 1)P ∼ (q + 1)Q.

Objetivo

I (q + 1)P ∼ (q + 1)Q.

Suponha P e Q sejam pontos racionais totalmente rami�cados sobreduas raízes distintas de f (x) que têm a mesma multiplicidade, então1, 2, . . . , bm/2c − 1 são lacunas em P .Mais ainda, se m ou a multiplicidade de uma terceira raiz de f (x) éum número ímpar, então 1, 2, . . . , bm/2c são lacunas em P .

Teorema

Seja X uma curva Fq2-maximal e sejam P e Q dois pontos racionaistotalmente rami�cados sobre duas raízes distintas de f (x) que têma mesma multiplicidade, então vale:

I m divide 2(q + 1), e

I se m ou a multiplicidade de uma terceira raiz de f (x) é umnúmero ímpar, então m divide (q + 1).

Teorema

Como P e Q são totalmente rami�cados temos que mP ∼ mQ.

Daí temos que d := gcd(m, q + 1) é uma não lacuna em P .

Como d divide m, do lema temos que d ∈ {m/2,m}.

Se bm/2c é P uma lacuna em P então d 6= m/2 e m = d é umdivisor de q + 1.

O teorema cobre quase todos os exemplos citados antes a únicaexcepção é o caso f (x) = ±(1− x2) e m par.

A condição sobre a terceira raiz de f (x) não pode ser removida jáque a curva dada por y4 = x(x − 1)(x − α)2 é F81−maximal ondeF∗81

= 〈α〉.

O teorema cobre quase todos os exemplos citados antes a únicaexcepção é o caso f (x) = ±(1− x2) e m par.

A condição sobre a terceira raiz de f (x) não pode ser removida jáque a curva dada por y4 = x(x − 1)(x − α)2 é F81−maximal ondeF∗81

= 〈α〉.

Propriedade Aritmética das Lacunas

Se char(F ) = p > 0, a sequencia de lacunas de F tem a seguintepropriedade aritmética:

seja λ1, . . . , λg a sequencia de lacunas de F

e seja µ um inteiro que é p-adicamente não maior que λi − 1 paraalgum i ,

então µ+ 1 também é uma lacuna de F .

Vamos usar esta propriedade para estudar os pontos de Weierstrasstotalmente rami�cados.

Se Pi é um ponto totalmente rami�cado tal que m+1 é uma lacunaem Pi , então Pi é um ponto de Weierstrass de F .

Corolário

Seja k ≥ 1 o número de pontos totalmente rami�cados de F ew .l .o.g . suponha que Γ = {λ1, . . . , λk} é o conjunto de multiplici-dades das raízes de f (x) associadas a tais pontos. Então os pontostotalmente rami�cados são pontos de Weierstrass se vale alguma dascondições a seguir:

(i) r ≥ m + 3.

(ii) For #Γ = 1, and (k = 3,m ≥ 4) or (k = 4,m ≥ 3) or k ≥ 5.

(iii) r ≥ 5 and the map ϕ : {1, . . . , k} −→ Γ given by ϕ(i) = λisatis�es #ϕ−1({λj}) ≥ 2 for j = 1, . . . , k .