UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

INSTITUTO DE MATEMÁTICA

LANTE – Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino

PROPOSTAS E PERSPECTIVAS DE ENSINO

DE ÁLGEBRA ATRAVÉS DAS NOVAS

TECNOLOGIAS

Discentes:

Luciano Aparecido Magrini

Helber Marcondes da Silva

Rosania Maria da Silva

Orientador:

Profº Dr. Roberto Alfonso Olivares Jara

DIADEMA/SP

2012

INTRODUÇÃO

Com o intuito de contribuir com os estudos sobre o ensino e a

aprendizagem da Álgebra, nosso grupo desenvolveu esse trabalho

de pesquisa, enfatizando o uso das tecnologias como meio de

desenvolvimento do aprendizado do aluno, demonstrando o

quanto ainda há o que avançar e pesquisar quanto ao uso das

tecnologias para o ensino da Matemática.

Nosso projeto tem como pontos fundamentais:

Observações sobre as dificuldades apresentadas por alunos

no tratamento algébrico;

Representações algébrica e geométrica possibilitadas pelo

GeoGebra;

A necessidade de incluir no ensino os recursos oferecidos

pelas novas tecnologias, considerando suas potencialidades

e limitações;

OBJETIVOS GERAIS

Procuramos investigar as implicações do uso das TIC’s no ensino

da Álgebra (especificadamente equações do segundo grau e

equações algébricas) para alunos do Ensino Fundamental II e

Médio e as contribuições do modelo de Van Hiele para o tema

proposto. Especificamente, o que buscamos é:

Investigar as implicações do uso do software GeoGebra no

ensino da Álgebra (especificamente equações polinomiais) -

alunos do Ensino Fundamental II e Médio;

Analisar as contribuições do Modelo de Van Hiele no

tratamento algébrico desde as séries iniciais;

Oferecer a alunos e professores outras opções de abordagem

da Álgebra.

PRESSUPOSTOS TEÓRICOS

1 – Teoria de aprendizagem

Seguimos os preceitos do Modelo de van Hiele, cujo conceito

básico é focado em Fases de Aprendizagem, onde o aluno

desenvolve diferentes níveis de raciocínio gradualmente, por meio

de etapas sequenciais, independente da idade.

As principais características desse modelo de pensamento são:

- Só é possível alcançar determinado nível de pensamento após ter

passado pelo nível imediatamente anterior;

- O que era implícito em determinado nível de pensamento, volta

explícito no nível seguinte;

- Cada nível de pensamento possui sua própria linguagem,

símbolos e significância dos conteúdos, ou seja, cada símbolo

possui um significado;

- Dois alunos em níveis diferentes não podem se entender.

2 – Pressupostos Algébricos

Trabalhamos em sala de aula o conceito de Polinômio, a partir da

seguinte definição:

Se n é um número inteiro não negativo e a0, a1, a2, ......, an são

números reais quaisquer, então

anxn + an-1x

n-1 + …….+a1x + a0

é um polinômio na variável x com coeficientes a0, a1, a2, ......, an.

Definimos o tipo de polinômio de acordo com o grau de seu

coeficiente. Assim, por meio dessas noções iniciais, definimos

funções polinomiais de grau n (ou equações de grau n) como a

função p: , definida por:

p(x) = anxn + an-1x

n-1 + …….+a1x + a0

No caso das equações quadráticas, suas raízes podem ser obtidas

por meio da Fórmula de Bháskara:

√

Por meio dela percebemos que as equações do primeiro grau

fornecem apenas uma raiz e as de segundo grau fornecem duas

raízes (complexas). Dessa forma, chegamos ao Teorema

Fundamental da Álgebra, cujo conteúdo é:

“Uma equação de grau n admite exatamente n raízes complexas,

não necessariamente distintas.”

3 – Pressupostos Tecnológicos

A proposta de ensino ora apresentada procura enfatizar o uso das

TIC’s, seja com o uso de softwares ou por meio de novas

abordagens pedagógicas, de forma a ser uma prática alternativa

viável dentro da sala de aula, abrangendo desde a Educação

Básica até o Nível Superior.

Enfatizamos o uso de softwares gratuitos de Geometria dinâmica,

como o Geogebra, além de blogs, slides e outros recursos

disponíveis da Web 2.0 como materiais de apoio para o ensino da

álgebra.

Assim, através de um estudo orientado por meio de softwares e de

outras ferramentas disponíveis na Web 2.0, buscamos dinamizar

as aulas de matemática, incentivando uma participação mais ativa

por parte dos alunos e aguçando sua curiosidade científica.

ADAPTAÇÃO DO MODELO DE VAN HIELE

Sendo a Álgebra um tipo de linguagem que, por meio do estudo

das propriedades numéricas e suas interações, contribui para a

formação do pensamento lógico/matemático. Com o objetivo de

lidarmos com conceitos algébricos desde as séries iniciais,

adaptamos o Modelo de van Hiele como um método pedagógico

para o estudo da Álgebra de uma forma condizente com a grade

curricular a partir do Ensino Fundamental. Usamos como modelo

o estudo das Equações Quadráticas, buscando contribuir para que

o aluno desenvolva suas próprias reflexões, análises,

investigações e generalizações, estimulando seus processos de

abstração.

O Nível 0 dessa adaptação é definida como Reconhecimento.

Nele, abordamos os conceitos básicos de notação algébrica por

meio de elementos geométricos. Uma noção básica do que é uma

incógnita pode ser mais facilmente compreendida por meio de

uma representação geométrica, como mostramos abaixo:

7

X 4

O Nível 1 é definido como Análise. Nele, começamos a abordar

as particularidades de cada equação. Ressaltamos o uso de

softwares de Geometria Dinâmica, como é o caso do Geogebra,

como uma forma de atiçar a curiosidade do aluno e fazer suas

próprias experiências.

O Nível 2 é chamado de Ordenação. Nele, desenvolvemos o

pensamento abstrato do aluno, por meio de problemas com

enfoque em construções algébricas que ajudam a desenvolver a

noção sobre o funcionamento das incógnitas e a relacionar esse

pensamento abstrato com diversas situações do cotidiano.

O Nível 3 é chamado de Dedução. Nessa etapa, o professor deve

focar-se em guiar seus alunos na formulação de hipóteses, para

que os mesmos possam intuir as principais características das

equações algébricas.

Por fim, temos o Nível 4 dessa adaptação, ao qual chamamos de

Rigor. Revemos tudo o que foi estudado, com atividades de cunho

investigativo, levando o aluno a testar, justificar, refletir e

generalizar suas próprias conjecturas, alcançando um novo nível

de pensamento.

Ressaltamos ainda que esse modelo de pensamento pode e deve

ser adaptado de acordo com as necessidades do educador. O uso

de novas tecnologias de ensino contribui para que o aluno

enxergue o conhecimento matemático como algo não restrito à

escola, e sim um elemento presente em sua vida cotidiana.

O GEOGEBRA NA RESOLUÇÃO

GEOMÉTRICA DE EQUAÇÕES DO

SEGUNDO GRAU

Objetivo: potencialidades e limitações do ensino da resolução de

equações do 2º grau representadas geometricamente, com o

GeoGebra.

1ª parte: familiarização com as representações de área e escrita

das respectivas expressões

algébricas e equações;

- Escrita da medida do segmento

BF: “2x”, “x.2”, x² e “x + 2”;

- Importância da intervenção do

professor no desenvolvimento da

proposta e para percepção dos

alunos da equivalência de áreas.

2ª parte: representação geométrica de trinômios quadrados

perfeitos e resolução de equações do 2º grau.

- Medidas da área apresentadas como (x + 1).(x + 1). Com

questionamentos: (x + 1)².

Generalizando: “ax² + bx + c” = “(√ ² √ )²;

- Escrita da equação da área, fornecida a sua medida;

- Representação geométrica ou cálculo mental para o cálculo das

raízes de equações dadas;

- Cálculo de um valor da incógnita rapidamente, com uso da

calculadora algumas vezes;

- Tratamento geométrico como um ponto inicial para a

generalização.

Limitações: arredondamentos de números irracionais; cálculo de

apenas uma das raízes; necessidade do tratamento algébrico para

obter a outra solução;

Potencialidades: discussões sobre os casos em que as equações do

2ª grau podem ser representadas geometricamente e sobre os

casos em que têm soluções no conjunto dos números reais;

utilizar esta proposta com alunos de séries anteriores.

O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA NO

ENSINO DAS EQUAÇÕES POLINOMAIS

Objetivo: Analisar as possíveis contribuições do uso do software

GeoGebra no processo de aprendizagem da teoria das equações

polinomiais no Ensino Médio.

Para efeitos de pesquisa e por ser inviável desenvolver o tema

somente com o uso da tecnologia, optamos por uma estratégia

simples: durante o período da manhã a sala escolhida para estudo

(com 35 alunos frequentes) tinha aulas tradicionais sobre o

conteúdo e um grupo de 08 alunos que manifestaram interesse e

tinham disponibilidade de horários tinha aulas extras sobre o tema

no contra turno onde o conteúdo desenvolvido no período da

manhã foi abordado com o uso do GeoGebra.

O uso do software permitiu que os alunos estabelecessem

algumas conexões entre a análise algébrica (presente de maneira

dominante nas aulas regulares em sala) e a análise geométrica

(facilmente desenvolvida com o GeoGebra). A maioria destas

conexões não foram descobertas por manipulações livres dos

alunos; foram guiadas por Roteiros de Estudo desenvolvidos

especialmente para este fim e cujos objetivos eram:

Roteiro de Aprendizagem I: investigar se existe alguma

relação entre o conceito (puramente) algébrico de grau de uma

equação polinomial e o aspecto do gráfico da equação.

Roteiro de Aprendizagem II: analisar os pontos nos quais

o gráfico de uma equação polinomial intersecta o eixo das

ordenadas e das abscissas.

Roteiro de Aprendizagem III: fazer com que se

estabelecesse com os alunos o Teorema das Raízes Racionais;

uma primeira resposta à questão levantada sobre como fazer para

encontrar as raízes de um polinômio de grau maior que dois.

A aplicação dos Roteiros de Aprendizagem evidenciou o cuidado

a ser tomado com as etapas de planejamento das atividades

desenvolvidas com o apoio do software educativo. Durante o

trabalho com os alunos, alguns roteiros precisaram ser reescritos

para melhor clareza de conteúdo e de comandos a serem seguidos

no software GeoGebra.

O trabalho com o software GeoGebra mostrou-se bastante

produtivo, pois houve de fato uma facilitação do processo de

aprendizagem com o emprego da tecnologia. Ao invés de

resultados prontos, os alunos foram estimulados a formular

hipóteses algébricas acerca dos fatos geométricos explorados com

o software.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Consideramos que o uso de estratégias pedagógicas

diferenciadas, como é o caso do Método de Van Hiele, aliado ao

uso de novas tecnologias de ensino fornecem os subsídios

necessários para o desenvolvimento de práticas pedagógicas que

favoreçam uma nova abordagem do pensamento algébrico e

matemático em oposição ao modelo difundido durante o

Movimento Matemática Moderna, onde o estudo da Álgebra

ainda aparece como algo à parte da Geometria.

Destacamos aqui o potencial motivador do software

educativo GeoGebra e sua eficácia enquanto metodologia a ser

empregada no estudo da Teoria das Equações no Ensino Médio e

das Equações do Segundo Grau no Ensino Fundamental, onde seu

uso favoreceu a construção e análise das figuras, de modo que em

uma construção fosse possível através dele analisar vários tipos

de equações. Isto propiciou a generalização dos processos de

fatoração de trinômios quadrados perfeitos e a resolução

geométrica de equações do 2º grau.