Potencia Em Regime Permanente Senoidal

1/6/2010

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SEL – 0410 Eletricidade e Magnetismo

Professor: João Bosco Augusto London JuniorE-mail: [email protected]

Potência em Regime Permanente Senoidal


Potência elétrica é dada simplesmente pelo produto da tensão pela

corrente. Em circuitos de corrente contínua, como ambas são

constantes, a potência também é constante ao longo do tempo

Já em circuitos de corrente alternada, as formas de onda

senoidais, tanto da tensão quanto da corrente, e principalmente a

defasagem entre elas, requerem a introdução de novos conceitos

de potência que serão tratados a seguir:

Visão no Domínio do Tempo

Visão no Domínio da Freqüência (Fasores)


Domínio do TempoConsidere uma fonte ideal de tensão alternada senoidalalimentando uma carga qualquer formada de resistores, indutoresou capacitores lineares, como ilustrado na figura abaixo:

- Considerando que a tensão da fonte sejaexpressa por:

- Então, sem perda de generalidade, a correntepode ser descrita por:

- Em que a tensão é usada como referênciaangular e a corrente está atrasada de um ânguloφ em relação à tensão

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Domínio do TempoAparentemente (ou à primeira vista) basta multiplicar o valor

eficaz da tensão pelo valor eficaz da corrente para se obter a

potência elétrica consumida pela carga ou fornecida pela fonte,

já que o conceito de valor eficaz de uma tensão ou corrente

alternada foi criado exatamente para associar a elas um

comportamento equivalente na forma contínua. Mas,

infelizmente, isso não é verdadeiro de modo geral

A montagem experimental mostrada na figura a seguir

permite verificar facilmente tal fato


Domínio do Tempo

O watímetro mede (em watt) a potência útil entregue à carga,ou seja, a potência elétrica que esta converte em alguma outraforma de potência, enquanto que o voltímetro indica o valor eficaz(em volt) da tensão sobre a carga (Vef) e o amperímetroindica o valor eficaz (em ampére) da corrente na carga (Ief)


Domínio do Tempo

Ao variar a carga, observa-se experimentalmente que a leiturado watímetro assinala quase sempre um valor menor que oproduto “Vef.Ief” das leituras do voltímetro e amperímetro

Somente quando a carga é puramente resistiva (um resistor ouuma lâmpada incandescente) observa-se a igualdade das duasgrandezas


Domínio do Tempo

Na época em que se começou a usar corrente alternada (fim doséculo 19), esse comportamento pouco intuitivo permaneceu semexplicação durante bastante tempo. Face ao exposto, o produtoVef.Ief recebeu a denominação de potência aparente,simbolicamente Pap:

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A potência aparente entregue a uma carga pode ser entendidacomo a quantidade de potência que “à primeira vista” ou“aparentemente‘” a carga irá converter em potência útil. Issosomente acontecerá se a tensão e a corrente estiverem em fase,como nos circuitos puramente resistivos. Havendo qualquercomo nos circuitos puramente resistivos. Havendo qualquerdefasagem entre tensão e corrente, a potência convertida emtrabalho útil será menor que a potência aparente. Note que apotência aparente não leva em conta a defasagem entre tensãoe corrente

A potência aparente poderia ser expressa em watt, pois seu valormédio não é nulo, mas para deixar claro a qual grandeza serefere convenciona-se usar o volt-ampere, símbolo VA, paraquantificar a potência aparente


Os equipamentos elétricos são, em geral, especificados por suapotência aparente em VA, kVA ou MVA, exceto os motoreselétricos que são especificados pela sua potência mecânica desaída no eixo (em CV, HP ou W)


Os equipamentos elétricos são, em geral, especificados por suapotência aparente em VA, kVA ou MVA, exceto os motoreselétricos que são especificados pela sua potência mecânica desaída no eixo (em CV, HP ou W)

Para compreender esse estranho fenômeno é necessário analisarem detalhe o comportamento da potência elétrica instantânea emcircuitos de corrente alternada

A propósito, nos casos em que a potência útil é menor que a potência aparente, para onde vai a

diferença ?

Potência em Regime Permanente SenoidalConsidere as duas redes elétricas mostradas a seguir, com a potência instantânea fluindo da rede A para rede BPotência Instantânea [p(t)]: Velocidade na qual a energia está fluindo da rede A para rede B

( )i(t)

v(t) Rede BRede A

p(t) v(t) i(t)= ⋅v(t) Vm cos( t )i(t) Im cos( t )

= ⋅ ω + ψ⎧⎨

= ⋅ ω + α⎩

p(t) v(t) i(t) Vm Im c os( t ) cos( t )= ⋅ = ⋅ ⋅ ω + ψ ⋅ ω + α

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Temos a seguinte identidade trigonométrica:

p(t) v(t) i(t) Vm Im c os( t ) cos( t )= ⋅ = ⋅ ⋅ ω + ψ ⋅ ω + α

[ ]1cos a cos b c os(a b) cos(a b)2

⋅ = − + +

Assim:2

1: Constate, não depende de wt2: Senóide com o dobro de freqüência

( ) ( )4444 34444 21444 3444 21

21

2cosIm21cosIm

21)( αψωαψ +++−= tVmVmtp

Potência em Regime Permanente SenoidalGráfico:

v(t) Vm cos( t )i(t) Im cos( t )

= ⋅ ω + ψ⎧⎨ = ⋅ ω + α⎩

θ ψ α= − (ângulo de defasagem entre “v” e “i”)

( ) ( )4444 34444 21444 3444 21

frequênciadadobroocomSenóideteCons

tVmVmtp αψωαψ +++−= 2cosIm21cosIm

21)(

tan


Observações quanto a p(t):1)Para um determinado ângulo de defasagementre v e i (θ ) a expressão da potência

( ) ( )4444 34444 21444 3444 21



21)(

tan

entre v e i (θ = ψ - α) a expressão da potênciainstantânea apresenta uma componenteconstante e outra variando no tempo comfreqüência igual a “2 vezes” a freqüência dassenóides em questão2) Apresenta valor negativo quando “v” e “i”possuem sinais contrários, indicando devolução depotencia do circuito B para a fonte (circuito A),durante esses intervalos

Quando θ=00, não temos parte negativa,indicando circuito puranente resistivo (tensão ecorrente em fase)θ ψ α= −


Observações quanto a p(t):1)Para um determinado ângulo de defasagementre v e i (θ ) a expressão da potência

( ) ( )4444 34444 21444 3444 21



21)(

tan

entre v e i (θ = ψ - α) a expressão da potênciainstantânea apresenta uma componenteconstante e outra variando no tempo comfreqüência igual a “2 vezes” a freqüência dassenóides em questão2) Apresenta valores negativos quando “v” e “i”possuem sinais contrários, indicando devolução depotencia do circuito B para a fonte (circuito A),durante esses intervalos.

Quando θ=00, não temos parte negativa,indicando circuito permanente resistivo (tensãoe corrente em fase)0θ ψ α= − = °

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Observações quanto a p(t):Quando θ=00, não temos parte negativa,indicando circuito permanente resistivo (tensão

( ) ( )4444 34444 21444 3444 21



21)(

tanNovo eixo das potências

indicando circuito permanente resistivo (tensãoe corrente em fase)Para que as áreas acima sejam iguais às áreasabaixo, a curva de potência tem um novo eixo,que representa o valor médio da potência nocircuito resistivo (Potência Média)Essa potência é utilizada para iluminação,aquecimento e realização de trabalho. Édissipada na resistência do circuito e chamadade Potência Ativa em circuito de correntealternada

0θ ψ α= − = °


Observações quanto a p(t):Quando θ=900 (ou -900) a curva de p(t)mostrará áreas (+) exatamente iguais às áreas

( ) ( )4444 34444 21444 3444 21



21)(

tan

mostrará áreas (+) exatamente iguais às áreas(-), cancelando-se mutuamente e evidenciandoque não há consumo de potência no circuito

90θ ψ α= − = − °- Capacitor: corrente (α) adiantada da tensão (ψ)de um ângulo de 900


Observações quanto a p(t):-Capacitor: corrente (α) adiantada da tensão(ψ)de um ângulo de 900

( ) ( )4444 34444 21444 3444 21



21)(

tan

(ψ)de um ângulo de 90-A potência acima do eixo de referência éfornecida pela fonte ao circuito, armazenada nocapacitor (ou indutor)-A potência abaixo do eixo é aquela que ocircuito devolve à fonte, quando o capacitorestá perdendo a sua carga (ou quando oindutor está se extinguindo)-Essa potência é causada pela reatância docircuito, que não produz luz ou calor, nemrealiza trabalho, mas requer uma corrente nocircuito-É chamada de Potência Reativa


Observações quanto a p(t):3) O ângulo de defasagem entre a tensão e acorrente é devido aos parâmetros do circuito

( ) ( )4444 34444 21444 3444 21



21)(

tan

corrente é devido aos parâmetros do circuito(R,L,C) e varia de

Como o potência instantâneo varia a todoinstante (função do tempo), é mais convenientetrabalhar com o valor médio

θ ψ α= −

{ {IndutivoCapacitivo

a22ΠΠ

−

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Potencia média (em um período)

( ) ( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++−== ∫∫∫ dttVmdtVmT

dttpT

PT

frequênciadadobroocomSenóide

T

teCons

T

média 00

tan

02cosIm

21cosIm

2111

4444 34444 21444 3444 21αψωαψ

Média de senóide em um n° inteiro de período é zero

media1P Vm Im cos( )2

= ⋅ ⋅ ψ − α Constante não depende do tempo

θ = ψ − α Diferença de fase entre tensão e corrente

media1P Vm Im c os2

= ⋅ ⋅ θ

⎦⎣



media1P Vm Im c os2

= ⋅ ⋅ θ

V⎛ ⎞Utilizando Valor Eficaz . 22ef ef

VmV Vm V⎛ ⎞= → =⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ θ = ⋅ ⋅ θmedia ef ef ef ef1P V 2 I 2 c os V I c os2



media1P Vm Im c os2

= ⋅ ⋅ θ = ⋅ ⋅ θmedia ef efou P V I c os

Significado Físico: representa a taxa de variação média de energia queflui da rede A para rede B. Essa Potência, denominada “Potência Ativa”,representa efetivamente a taxa de energia consumida no circuito, istoé, convertida em outra forma de energia (realizando trabalho útil)

Capacitor e Indutor ideais (sem resistência) são chamados algumasvezes de elementos sem perdas – Fisicamente são elementos quearmazenam energia durante uma parte do período e devolvemdurante a outra parte

0)90()90(

0Re

=→−==

=→=→

média

efefmédia

PsCapacitoreouIndutores

IVPsistoresoo

o

θθ

θ

Potência em Regime Permanente SenoidalPotência complexa:Como o domínio dos fasores (freqüência) corresponde aoplano de números complexos, somente podem habitar essedomínio grandezas elétricas que possam ser representadas

i d ú l t i f dpor meio de números complexos, tais como fasores detensão ou corrente, impedâncias e admitâncias

Portanto, uma potência elétrica neste domínio tambémdeverá ser expressa por um número complexo

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Potência complexa:Usando os “fasores eficazes”, isto é, definindo os fasores atravésde valores eficazes [D. E. Johnson, J.L. Hilburn, J.R. Johnson,1994]:

ψjVV V V

Defini-se como potência complexa que flui da rede A para rede Bo seguinte produto:

ef ef ef efV V e I I= ψ = α

ψ

α

= = = ψ

= = = α

jef ef ef

jef ef ef

V V e V2

II I e I2

*efI - é o complexo conjugado do , isto é:

* jef ef efI I e I− α= = −α

efI*efIVS ef ⋅=

Potência em Regime Permanente SenoidalPotência complexa:

Essa é a expressão no domínio dos fasores que corresponde à

potência instantânea no domínio do tempo. Observe que a potência

complexa é formada pelo produto de uma tensão por uma correntecomplexa é formada pelo produto de uma tensão por uma corrente,

porém ambas descritas por fasores


Potência complexa:

Assim:

*efIVS ef ⋅=

Temos então:

ef ef ef ef ef efS V I V I V I= ψ ⋅ −α = ⋅ ψ − α = ⋅ θ

= ⋅ =ef ef ef efS V I V .I Potência Aparente (Módulo)

{ }= = ⋅ ⋅ θef efP Real S V I cos

{ }= = ⋅ ⋅ θef efQ Imag. S V I sen

Potência Ativa (Potência Média)

Potência Reativa

Potência em Regime Permanente SenoidalTriângulo de Potência:

= ⋅ef efS V I ; { }= = ⋅ ⋅ θef efP Real S V I cos ; { }= = ⋅ ⋅ θef efQ Imag. S V I sen

*efIVS ef ⋅=

Q

P

=S S

θ

-“θ”- é a diferença de fase entre tensão e a corrente- Logo é o mesmo ângulo do triângulo de Impedância

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= ⋅ef efS V I ; { }= = ⋅ ⋅ θef efP Real S V I cos ; { }= = ⋅ ⋅ θef efQ Imag. S V I sen

*efIVS ef ⋅=

Q

P

=S S

θ


X

R

=Z Z

θ

efef

e f e f

VVVZ ZI I I

= = → =

.cos

.

R Z

X Z sen

θ

θ

=

=

Potência em Regime Permanente SenoidalTrîângulo de Potência:

{ }= = ⋅ ⋅ θef efP Real S V I cos ; { }= = ⋅ ⋅ θef efQ Imag. S V I sen= ⋅ef efS V I ;

*efIVS ef ⋅=

Q

P

=S S

θ


X

R

=Z Z

θ

2

2

. . . .

.

efV

ef ef e f e f e f

e f

S V I Z I I Z I

S S Z I

= = =

= =

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{ }= = ⋅ ⋅ θef efP Real S V I cos ; { }= = ⋅ ⋅ θef efQ Imag. S V I sen= ⋅ef efS V I ;

*efIVS ef ⋅=

Q

P

=S S

θ


X

R

=Z Z

θ

2. efS Z I=

{ }{ }

2 2

2 2

Re cos . .cos .

Im . . . .

ef ef

ef ef

P al S S Z I R I

Q ag S S sen Z I sen X I

θ θ

θ θ

= = ⋅ = =

= = ⋅ = =


Potência complexa:

Na forma Retangular:

*efIVS ef ⋅=

Nota: Embora P, Q e S tenham a mesma unidade no SI, Joule/seg.,convencionou-se adotar uma unidade distinta para cada termo:S – Volt-ampére [VA]P – Watt [W]Q – Volt-ampére-reativo [VAr]

( ) ( )= ± = θ ± θef ef ef efS P jQ V .I .cos j V .I .sen

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( ) ( )= ± = θ ± θef ef ef efS P jQ V .I .cos j V .I .sen;*efIVS ef ⋅=

Significado Físico:Significado Físico:Potência Ativa (ou média) “P”: representa a taxa de variação médiade energia que flui da rede A para rede B. Essa Potência, denominada“Potência Ativa”, representa efetivamente a taxa de energiaconsumida no circuito

0)90()90(

0Re

=→−==

=→=→

média

efefmédia

PsCapacitoreouIndutores

IVPsistoresoo

o

θθ

θ


A potência Reativa “Q” está relacionada ao armazenamento de

( ) ( )= ± = θ ± θef ef ef efS P jQ V .I .cos j V .I .sen;*efIVS ef ⋅=

energia por parte dos elementos reativos do circuito (indutor e

capacitor). Ela não contribui para o trabalho em Joules efetivamente

realizado (também chamada de potência magnetizante)

A potência aparente “S” dos equipamentos elétricos limita os

valores de suas potências ativa e reativa. Para o mesmo valor de

“S”, o aumento de “P” implica na diminuição de “Q”, e vice-versa


A potência complexa poderia ser definida de modo alternativo

como, por exemplo, Vef Ief ou mesmo Vef* Ier

O motivo pelo qual se utiliza o fasor conjugado da corrente na

definição é manter inalterada a convenção de sinais

anteriormente estabelecida no domínio do tempo, ou seja,

considerar positiva a potência reativa associada a uma carga

indutiva e negativa a uma carga capacitiva. Desse modo,

mantém-se a coerência e evitam-se confusões

Potência em Regime Permanente SenoidalFator de Potência (FP) é o quociente da potência ativa (P) pelapotência aparente (S)

PFP ==S S

θQ

FP Indutivo (atrasado) – “i” atrasada em relação a “v”(00 < θ ≤ 900)

FP Capacitivo (adiantado) – “i” adiantada em relação a “v”(-900 ≥ θ > 00)

FP Puramente Resistivo (unitário) – “i” em fase com a “v”(θ = 00)

SP

θ

cosFP θ=

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FP Indutivo (atrasado) – “i” atrasada em relação a “v”(00 < θ ≤ 900)

P

=S S

θQ = QL – QC (QL > QC )

θ ψ α= −


FP Capacitivo (adiantado) – “i” adiantada em relação a “v”(-900 ≥ θ > 00)

P

=S S

θ Q = QL-QC (QL < QC )

θ ψ α= −


FP Puramente Resistivo (unitário) – “i” em fase com a “v”(θ = 00)

=S P

θ = 00 Q = 0

θ ψ α= −

Potência em Regime Permanente SenoidalFator de Potência (FP)Na prática, o FP de uma carga é muito importante. Por exemplo,cargas podem requerer milhares de Watts para operar e o FP afeta aquantidade de energia que deve ser gerada para atende-las

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Potência em Regime Permanente SenoidalFator de Potência (FP)Na prática, o FP de uma carga é muito importante. Por exemplo,cargas podem requerer milhares de Watts para operar e o FP afeta aquantidade de energia que deve ser gerada para atende-lasEx Consideremos que uma determinada carga resistiva consomeEx. Consideremos que uma determinada carga resistiva consome100KW de um barramento de 220Vef. Calcule a corrente eficaz e apotência aparente da carga, para:1.FP = 0,85 atrasado 2.FP = 0,95 atrasado


. .cos.cos

.

ef ef efef

ef ef

PP V I IV

S V I

θθ

= → =

=


Temos uma redução de corrente de 56,3A(10,5%)Portanto é necessário gerar uma corrente maior (mais energia) nocaso de menor FP

534,8

117,66efI A

S KVA

=

=

478,5

105,3efI A

S KVA

=

=


Visto ainda que o barramento que transmite a potência tem resistência, ogerador precisa produzir uma potência média (ativa) maior para fornecer os100KW à carga com FP menorEx.: Considerando que a resistência total do barramento seja 0,1Ω

534,8

117,66efI A

S KVA

=

=

478,5

105,3efI A

S KVA

=

=

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Ex.: Considerando que a resistência total do barramento seja 0,1Ω

534,8

117,66efI A

S KVA

=

=

478,5

105,3efI A

S KVA

=

=

( )3 2

arg

100 10 0,1G efC a

Perdas Barramento

P I−

= × + ×14243 14243


Ex.: Considerando que a resistência total do cabeamento seja 0,1Ω1.FP = 0,85 atrasado 2.FP = 0,95 atrasado

534,8

117,66efI A

S KVA

=

=

478,5

105,3efI A

S KVA

=

=

128,6GP KW= 122,9GP KW=

Potência em Regime Permanente SenoidalCorreção do Fator de Potência (FP)As instalações elétricas industriais e comerciais apresentam, emgeral, fator de potência naturalmente baixo (~50%) e indutivo, emrazão do grande número de motores elétricos que constituem acargacarga

Fator de potência baixo significa pequeno aproveitamento depotência útil em comparação com um grande fornecimento depotência aparente. Se nada fosse feito, isso exigiria das empresas deenergia elétrica o fornecimento de elevadas correntes com reduzidarealização de trabalho útil

Potência em Regime Permanente SenoidalCorreção do Fator de Potência (FP)Entretanto, se o fator de potência for, de algum modo, ajustado paravalores elevados (próximos de 100 % - Unitário), então a mesmaquantidade de trabalho útil (potência ativa) poderá ser extraída com ofornecimento de menores correntesfornecimento de menores correntes

Na verdade, se o fator de potência for exatamente 100 %, então acorrente será mínima

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Potência em Regime Permanente SenoidalCorreção do Fator de Potência (FP)São evidentes as vantagens de se trabalhar com fatores de potênciaelevados, e conseqüentemente com correntes próximas ao mínimo:menor capacidade em equipamentos de geração, transformação,transmissão; menores perdas de energia por efeito Joule; condutorestransmissão; menores perdas de energia por efeito Joule; condutoresde menor bitola, etc.

Potência em Regime Permanente SenoidalObservação:Quantificação da Carga:

As cargas podem ser quantificadas pelo:

a) Consumo – Quantidade de energia (KWh) absorvida

b) Demanda – Potência ativa (kW) absorvida

A segunda forma (por demanda) é geralmente aquela utilizada para

especificar uma carga. Portanto, quando se pergunta qual é a carga

de um prédio (ou aeronave), por exemplo, deseja-se saber quantos

kW de potência ativa ele requisita da rede elétrica

Potência em Regime Permanente SenoidalCorreção do Fator de Potência (FP)O método mais simples e econômico para corrigir o fator de potênciaé instalar bancos de capacitores em paralelo com a carga,como ilustra a figura abaixo, lembrando que as instalaçõescomerciais e industriais são geralmente trifásicas:comerciais e industriais são geralmente trifásicas:

Potência em Regime Permanente SenoidalCorreção do Fator de Potência (FP)O efeito do banco de capacitores consiste em contrabalançar o atrasoda corrente em relação à tensão, ocasionado pelo caráter indutivo dacarga, através do fornecimento de corrente adiantada em relação àtensãotensão

Isso pode ser compreendido considerando-se uma carga equilibrada(a carga em cada fase é a mesma), fato que permite usar o modelopor fase do problema, como mostra a figura abaixo:

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Potência em Regime Permanente SenoidalCorreção do Fator de Potência (FP)Corrigir o FP de uma carga que tem uma impedância “Z = R + j X”

Ief (= Ief-Total)

+

Vef Z = R + j X

_


Ief

++

Ief-Total

Ief1

Vef Z = R + j X

_

-Podemos alterar o FP conectando uma impedância Z1 em // com Z-Através dessa conexão:

-Tensão em Z não muda-Visto que Z é fixo, Ief não muda e a potência média (P) entregue à carga não é afetada-A corrente Ief-Total fornecida pelo gerador, entretanto, muda

Z1Vef

_

Ief1


Ief

++

Ief-Total

Ief1

Vef Z = R + j X

_

-Como determinar Z1?(1) Z1 deve absorver uma Potência média (ativa) igual a zero

Puramente reativa (Capacitor ou Indutor?)(2) A carga total, após a instalação de Z1, deve ter o FP desejado

“θ” desejado

Z1Vef

_

Ief1

Potência em Regime Permanente SenoidalCorreção do Fator de Potência (FP)Inicialmente (z): P, Q e S

S Q

Final (Z//Z1): Pf = P; θf é conhecido (em função do FP desejado)P

θ

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S Q

P

θ

Pf = P

=fS ?

θf

=fQ ?

Final


S Q

P

θ

Pf = P

=fS ?

θf

=fQ ?

Final

1 1( 1)f f

f f

Q P tg

Q Q Q Z Q Q Q

θ= ×

= + → = −

Potência em Regime Permanente SenoidalCorreção do Fator de Potência (FP)

Achando “Q1” determina-se “Z1”:Se Q1 > 0 Z1 é um IndutorSe Q1 < 0 Z1 é um Capacitor (como no exemplo apresentado)

1 fQ Q Q= −

Se Q1 0 Z1 é um Capacitor (como no exemplo apresentado)

Como Z1 é puramente reativo:

Determinando o componente:

1

11

/ 0

.

P QXX w L L w

>

= → =

1

11

/ 01 1

. .

P Q

X CwC w X

<

= → =

1

2

11

2

12

11 .QV

XXV

XIQ efefef =→==


Ief

++

Ief-Total

Ief1

Vef Z = R + j X

_

-A corrente Ief-Total fornecida pelo gerador, entretanto, muda:Diminui

Z1Vef

_

Ief1

( )

( ) .cosnão muda

ef Totalef não muda

PI

V θ− ↓=↑

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Potência em Regime Permanente SenoidalExercícios

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