Potenciação de Radicais

Observando as potencias, temos que:

De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos:

Divisão de Radicais

Segundo as propriedades dos radicais, temos que:

De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais: Exemplos:

 :   = 

Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue a operação. Exemplos:

Fonte: www.somatematica.com.br

RADICIAÇÃO

A matéria de radiciação acaba ficando bem mais fácil se você já viu "Potenciação".

Radiciação é o inverso da potenciação. Por exemplo, se elevarmos um número X à quinta potência e depois tirar a raiz quinta do resultado, voltamos ao número X.

Exemplos

Para acharmos a raiz cúbica de oito (), devemos nos perguntar qual o número que multiplicado por ele mesmo três vezes resulta 8, ou seja, qual o número que elevado na potência 3 resulta 8?. A resposta é 2, pois 23=2·2·2=8

NOMENCLATURA:

Para facilitar as coisas, existe um meio de transformarmos uma raiz em uma potência. Assim fica muito mais fácil, pois podemos utilizar as mesmas propriedade de potenciação.

Vamos agora ver alguma propriedades fundamentais de radiciação:

Isto acontece pois zero vezes zero sempre será zero, não importa quantas "n" vezes ele aparecer.

Mesma coisa, um vezes um é sempre 1

Esta podemos provar pela definição de raiz. Qual o número que multiplicado uma vez por ele mesmo resula ele? Ele mesmo!

Se colocarmos esta raiz na forma de potência temos:an/n e a fração n/n vale 1, então:an/n = a1= a

Esta propriedade é idêntica à primeira desta matéria , a única diferença é que agora o "a" está elevado em uma potência diferente de 1.

Estas são as principais propriedades de Radiciação. Agora vamos ver as propriedades operatórias, ou seja, como fazer operações com raizes (multiplicação, divisão...).

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

Agora vamos dar uma visão mais genérica, visto que as propriedades irão se repetir pois são idênticas às de potênciação:

 Ao transformarmos as raizes da multiplicação em potenciação, utilizamos a propriedade de multiplicação de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes.

Se transformarmos a multiplicação de raizes em multiplicação de potências, podemos utilizar a propriedade de multiplicação de dois números na mesma potência.

Novamente se transformarmos a raiz em potência, teremos:

Agora o que devemos fazer é voltar de potência para raiz:

Fonte: www.cursinho.hpg.ig.com.br

RADICIAÇÃO

A radiciação é a operação matemática oposta à potenciação (ou exponenciação).

A notação matemática da radiciação é:

Onde  é a raiz,  é o índice,  é o radicando e  é o radical.

A aplicação prática da radiciação se dá pela equivalência:

Ou, de forma mais didática:

Propriedades da radiciação

Fonte: pt.wikipedia.org

RADICIAÇÃO

A radiciação é a operação inversa da potenciação e, por isso, ela se define através da

seguinte relação:

onde

é o símbolo que indica a operação radiciação e é chamado radical;a é um número real chamado radicando;n é um número natural diferente de zero, chamado índice.O resultado da operação é um número real b, chamado raiz.

Potência de expoente racional

onde a Î R , m Î Z, n Î Z*

Como decorrência dessa última igualdade, são válidas, também para a radiciação, todas as propriedades operatórias citadas para a potenciação

Fonte: www.ucs.br

Álgebra Básica – Radiciação

                                                                                                                                                                   

A matéria de radiciação acaba ficando bem mais fácil se você já viu o caítulo de "Potenciação".

Radiciação é o inverso da potenciação.

Por exemplo, se elevarmos um número X à quinta potência e depois tirarmos a raiz quinta do resultado, voltaremos ao número X original.

Exemplos:

Para acharmos a raiz cúbica de oito  , devemos nos perguntar qual o número que, multiplicado por ele mesmo três vezes, resulta 8.

Ou seja, qual o número que elevado na potência 3 resulta 8?.

A resposta é 2, pois 23=2·2·2=8

Nomenclatura:

Para facilitar as coisas, existe um meio de transformarmos uma raiz em uma potência. Assim fica muito mais fácil, pois podemos utilizar as mesmas propriedade de potenciação.

Vamos agora ver alguma propriedades fundamentais de radiciação:

Isto acontece pois ZERO vezes ZERO sempre será zero, não importa quantas "n" vezes ele aparecer.

Mesma coisa, um vezes um é sempre 1

Esta podemos provar pela definição de raiz. Qual o número que multiplicado uma vez por ele mesmo resula ele? Ele mesmo!

Se colocarmos esta raiz na forma de potência temos:

e a fração   vale 1, então:

Esta propriedade é idêntica à primeira desta matéria  , a única diferença é que agora opotência diferente de 1.

Estas são as principais propriedades de Radiciação. Agora vamos ver as propriedades operatórias, ou seja, como fazer operações com raízes (multiplicação, divisão...).

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

Agora vamos dar uma visão mais genérica, visto que as propriedades irão se repetir pois são idênticas às de potênciação:

Ao transformarmos as raízes da multiplicação em potenciação, utilizamos a propriedade de multiplicação de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes.

Se transformarmos a multiplicação de raízes em multiplicação de potências, podemos utilizar a propriedade de multiplicação de dois números na mesma potência.

Novamente se transformarmos a raiz em potência, teremos:

Agora o que devemos fazer é voltar de potência para raiz:

ATENÇÃO

Existe uma propriedade matemática para representações de números, que impede a presença de raízes inexatas no denominador de uma fração.

Para mudarmos isso utilizamos uma técnica chamada de "Racionalização de Frações", que será vista daqui a três capítulos.

No próximo tópico iremos aprender como utilizar fatoração para nos auxiliar com potências e no tópico seguinte iremos aprender a racionalizar.

RadiciaçãoPublicado por Newton de Góes Horta

INTRODUÇÃO

No artigo publicado em 23 de fevereiro de 2006, aqui no VICHE, abordei a definição e propriedades

da potenciação. Caso você não tenha o domínio desse assunto, sugiro a sua leitura, visando uma melhor

compreensão do que será exposto a seguir. O interesse demonstrado pelo tema foi e ainda permanece

considerável, tomando-se por base o número de visitas ao artigo (1030 até o momento em que escrevia

este post, segundo dado estatístico fornecido pelo software Webalizer). Agora, dando continuidade,

trataremos da radiciação de números relativos e expressões algébricas.

Serão tratados os conceitos e propriedades da radiciação sob o ponto de vista primordialmente teórico,

como no dapotenciação, acrescidos de alguns exemplos. No entanto, caso seja demonstrado interesse,

estarei criando uma seção específica (aceito sugestões para o seu nome) com o objetivo de responder,

com o devido detalhamento, a questões e dúvidas colocadas nos comentários ou enviadas para o E-Mail

nghorta@brturbo.com.br. As soluções serão fornecidas dentro do mesmo padrão aqui adotado, uma vez

que é praticamente inviável de serem apresentadas diretamente no formulário dos comentários, devido às

restrições ali impostas.

Apenas uma ressalva: por limitação de tempo, pois tenho que ganhar o pão nosso de cada dia, do

trabalho que dar escrever artigos de matemática (estou “matutando” escrever um post sobre este fato) e

em função da demanda, talvez não tenha condições de responder a todas as dúvidas e questões. Porém,

prometo fazer todo o esforço necessário para não deixar nenhuma de fora. Por último, solicito que as

questões sejam elaboradas da forma mais clara possível e se reportem, preferencialmente, ao assunto

que está sendo tratado – no caso radiciação.

DEFINIÇÃO

Radiciação de números relativos é a operação inversa da potenciação. Ou seja,

Em outros termos, dado um número relativo a denominado radicando e dado um número inteiro

positivo ndenominado índice da raiz, é possível determinar outro número relativo b, denominado raiz

enésima de a (ou raiz de índice n de a), representada pelo símbolo  , tal que b elevado a n seja igual

a a.

Antes de partir para o próximo tópico – as propriedades da radiciação – algumas observações

importantes e exemplos:

O símbolo <=> indicado na fórmula acima significa se e sómente se. Isto é, se a expressão antes

desse símbolo é verdadeira então a segunda também é, e vice-versa;.

Na definição acima, temos que bn = a. Substituindo o valor de b (segunda igualdade), obtemos

que  , i.e., a potência de grau n da raiz enésima de a é igual a a;

 é o símbolo de raiz ou sinal de raiz ou simplesmente radical;

Radical, além de ser o símbolo acima indicado, é também, por extensão, a raiz de um número

relativo ou de uma expressão algébrica;

Raiz de índice 1 (n = 1) de a é o próprio número a;

Raiz de índice 2 (n = 2) de a é denominada de raiz quadrada de a. Neste caso não é necessário

escrever o índice nno radical;

Raiz de índice 3 (n = 3) de a é denominada de raiz cúbica de a;

Extração da raiz enésima de a é o cálculo dessa raiz;

O valor da raiz enésima de a nem sempre é um número racional (inteiro ou fracionário), uma vez

que nem semprea é uma potência de grau n, n inteiro, de b (por exemplo: raiz quadrada de 2);

Mesmo nesses casos é possível representar a raiz como uma potência de expoente fracionário

(detalhes serão fornecidos mais a frente), embora sem significado como operação (exemplo: a raiz

quadrada de 2 é expressa como 21/2);

Erro de aproximação, é o erro cometido na extração da raiz enésima de a, em que não existe

uma potência de graun, n inteiro, de b que seja igual a a (por exemplo: raiz quadrada de 2 cujos valores

aproximados podem ser 1; 1,4; 1,41; 1,414; …);

Raízes de índice par pode não ter solução válida no conjunto dos números reais (por exemplo: a

raiz quadrada de -1, uma vez que a potência de grau par de um número é sempre positiva);

Para dar consistência ao cálculo de raízes de índice par e radicando com valor negativo, foi

criado o conjunto dos números complexos, com a introdução da unidade imaginária i, cujo valor

corresponde à raiz quadrada de -1;

Valor aritmético ou valor absoluto de um radical é o valor positivo desse radical (exemplo: o valor

aritmético da raiz quadrada de 4 é +2, embora -2 também satisfaça a definição);

No cálculo dos radicais, conjunto de operações com números irracionais e com expressões

algébricas, são considerados sempre apenas o seu valor aritmético, ou seja, seu valor positivo. Os

valores positivos e negativos, quando é o caso, são adotados principalmente na resolução de equações

polinomiais, como por exemplo, em uma equação do segundo grau;

Radicais equivalentes são os que têm o mesmo valor aritmético (exemplo: raiz cúbica de 8 e raiz

quadrada de 4 são equivalentes por que ambas têm valor aritmético igual a 2);

Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando. Veja exemplo

abaixo.

Exemplos:

PROPRIEDADES

Apenas algumas das propriedades abaixo serão demonstradas, deixando a verificação das demais como

exercício. Havendo manifestação de interesse poderei publicar um post específico com a verificação das

propriedades não apresentadas.

P1. A raiz enésima do produto a.b é igual ao produto das raízes enésimas de a e b:

Demonstração:

Da definição de radiciação, temos que:

Por outro lado, utilizando-se a propriedade da potência de grau n de um produto, e, novamente, a

definição de radiciação, obtemos:

Como se vê dos passos anteriores, foi demonstrado que ambos os lados da igualdade da propriedade

elevado ao expoente n é igual ao produto a.b. Portanto, a base dessas potências são necessariamente

iguais e a verificação da propriedade está concluída.

Aplicação prática da Propriedade (simplificação de radicais):

P2. O produto das raízes de a e de b com o mesmo índice n é igual a raiz enésima do produto a.b (note

que esta propriedade é a recíproca de P1. Nas demais propriedades a recíproca também é válida.

Esclarecimentos do que se entende por recíproca você pode obter no artigo sobre Potenciação ):

A demonstração de P2 é semelhante à de P1.

P3. O quociente de raízes de mesmo índice n é igual a raiz enésima do quociente dos radicandos:

P4. A potência de grau m da raiz de índice n de a é igual a raíz de índice n de a elevado à potência m:

Demonstração:

Para demonstrar a propriedade P4 utilizarei a técnica de demonstração por indução sobre m,

considerando n fixo, que consiste em:

1. A propriedade é verdadeira para m = 0, pois

2. Considerando que P4 é verdadeira para m = p, m > 0, isto é:

provemos que é verdadeira para m = p + 1, ou seja:

De fato:

Observe que na expressão acima utilizamos a hipótese (verdadeira para m = p), a propriedade P2 e a

propriedade de produtos de potências de mesma base.

3. Considerando agora m < 0 façamos -m = q > 0, então:

Na expressão acima foram utilizadas a propriedade de potência de expoente negativo, a hipótese, a

propriedade P3 e regra de divisão de frações.

P5. A raiz de índice m de uma raiz de índice n de a é igual à raiz de índice mn de a:

P6. A raiz enésima de a elevado a m é igual a raiz de índice p.n de a elevado a p.m obtida multiplicando-

se o índice e radicando por p. A mesma propriedade é válida para a divisão:

Exemplo: Redução de radicais ao mesmo índice

P7. A raiz de índice n da potência de grau m de a é igual à potência de grau m/n de a:

Demonstração:

Da propriedade P6, dividindo-se o índice e o radicando por n:

Exemplos:

É interessante observar que todas as propriedades de potências para expoentes inteiros positivos são

válidas, também, para as potências de expoentes fracionários.