Pratica Pedagogica II

UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SULCENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICALINCENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral IIProfessora: Isolda Giani de Lima

PRÁTICA PEDAGÓGICA 2

Calculando Volumes

BRUNA TIZATTOELAINE TONIETTO

LUCILENE DAHMERMARIANE PASTORE

Caxias do Sul2008

1

INTRODUÇÃO

Da mesma forma que aprendemos o cálculo de áreas, também aprendemos o cálculo devolume, com simples fórmulas, e apenas fórmulas. Mas não sabíamos bem o que estávamosfazendo, e porque fazíamos, mas decorávamos todas elas.

De nada adiantaria sabermos todas as fórmulas de integral, derivada, se não soubéssemostambém para o que podemos utilizar. O cálculo de volumes é uma aplicação prática da IntegralDefinida.

Mais precisamente no cálculo do volume dos sólidos de revolução podemos perceber o quenunca havíamos percebido, que esses sólidos são gerados através da translação da curva de umafunção em torno de um dos eixos.

Com esse estudo que faremos no trabalho, vamos dar sentido a toda a parte de volumes queaprendemos anteriormente, mas agora com uma boa base, com todas as explicações, para quepossamos saber realmente o que estamos fazendo, e não apenas colocando valores arbitráriosdados, em simples fórmulas decoradas.

2

Calculando Volumes

Cilindro Circular Reto

Definição:Sejam α e β dois planos paralelos e distintos; uma reta s secante a esses planos e

perpendicular a α; um círculo C de centro O contido em α. Chamamos de cilindro circular reto areunião de todos os segmentos paralelos a reta s, que unem um ponto do círculo C a um ponto deβ.

Um cilindro circular reto pode ser obtido girando-se uma região retangular em torno deuma reta que contém um de seus lados. Por isso, o cilindro circular reto pode ser chamadotambém de cilindro de revolução, uma vez que é o sólido gerado quando uma região retangularfaz um giro completo em torno do eixo determinado por um de seus lados.

Elementos:

3

Bases: são os círculos de centro O e O′ de raios de medida r.

Eixo: é a reta OO′ que passa pelo centro das bases

Geratriz: é todo segmento paralelo à reta OO′ (eixo) e os extremos são pontos dascircunferências das bases.

Altura: é a distância h, entre os planos que contêm as bases.

Obs.: Em um cilindro circular reto a medida da geratriz é igual a altura.

Secções de um cilindro:Secção transversalÉ a intersecção do cilindro com um plano paralelo às suas bases. A secção tranversal é

um círculo congurente às bases. Todas as secções transversais são congruentes.

Secção MeridianaÉ a intersecção do cilindro com um plano que contém o seu eixo.

A secção meridiana de um cilindro circular reto é um retângulo.

Área da superfície de um cilindro circular reto

4

Área da base (Ab)A área da base de um cilindro circular reto é a área de um círculo de raio r.

Ab = πr2

Área lateral (A l)Área lateral de um cilindro circular reto é a área de um retângulo de base 2πr ( perímetro

da base) e altura h, onde r é o raio do cilindro e h é a altura do cilindro.

A l = 2πrh

Área total (A t)A superfície total de um cilindro circular reto é a reunião da superfície lateral com os

dois círculos das bases.

A t = A l + 2 ⋅ Ab

A t = 2πrh + 2πr2

A t = 2πrh + r

5

Volume de um cilindro circular retoVolume calculado pela Geometria EspacialConsideremos um cilindro qualquer e um paralelepípedo , ambos de altura h, apoiados

em um plano horizontal α de modo que suas bases sejam equivalentes. Um plano β qualquer,paralelo a α corta os dois sólidos determinando regiões planas de áreas iguais.

Assim , pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos são equivalentes, ou seja, têm omesmo volume:

Vcilindro = Vparalelepípedo

Como o volume do paralelepípedo é dado por:

Vparalelepípedo = Ab ⋅ h

Segue que:

Vcilindro = Ab ⋅ h

Visto que a base do cilindro é um círculo de raio r e área igual a πr2, podemos escrever afórmula acima da seguinte maneira:

Vcilindro = Ab ⋅ h

Vcilindro = πr2h

Volume calculado pela Integral DefinidaA integral utilizada para calcular o volume de qualquer sólido de revolução é a seguinte:

V = ∫a

bπfx2dx

LEI DA FUNÇÃO:

6

fx = r, 0 ≤ x ≤ h

CÁLCULO DO VOLUME:

V = ∫0

hπr2dx

V = πr2x|0h

V = πr2h − πr20

V = πr2h

Problemas de Aplicação:Problema 1:As latas de azeite comercializadas atualmente tem em média 900ml de óleo. Uma certa

empresa decidiu mudar a sua embalagem, e ao invés de ter altura de 18cm, como todas, quer umdesign diferente, com 22cm de altura. Qual será o diâmetro da lata, para que não seja necessáriomudar a quantidade de óleo em cada lata?

V = πr2h

900 = πr222

r = 90022π

r = 3. 6086cm

O diâmetro da lata será 7,22cm.

Problema 2:Certa bebida é vendida em dois recipientes cilíndricos:

Recipiente1.uma lata de raio da base igual a 3,1cme altura 11,6cm;Recipiente 2. lata de raio da base igual a 3,1cm e altura 16,6cm.

Os preços dessa bebida são R$0,70 e R$1,10, respectivamente, para cada lata. Qual das duasembalagens representa melhor preço para o consumidor?

Primeira lata:

V = πr2h

V = π9,61.11,6

V = 350,2cm3

Como 1cm3 = 1ml, então:

V = 350,2ml

Esta lata custa R$0,70. Então 0,7350,2

= R$0,001992.

Logo, cada ml de bebida desta primeira lata custa R$0,001992.

Segunda lata:

V = πr2h

V = π9,61.16,6

V = 501,16cm3

V = 501,16ml

7

Esta lata custa R$ 1,10. Então 1,1501,16

= R$0,002195.

Logo, cada ml de bebida desta segunda lata custa R$0,002195.

Com isto, podemos observar que a embalagem que representa o melhor preço para oconsumidor é a primeira, pois cada ml da primeira lata é mais barato que o da segunda.

Cilindro Circular Reto Eqüilátero

Definição:Dentre os cilindros retos devemos destacar o cilindro eqüilátero, no qual as geratrizes, e

conseqüentemente as alturas, são congruentes aos diâmetros das bases.

Secções de um cilindro circular reto equilátero:Secção MeridianaEm todo cilindro eqüilátero a secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro

da base) .

h = 2r

Área da superfície de um cilindro circular reto equiláteroÁrea da base (Ab)

Ab = πr2

Área lateral (A l)

A l = 2πrh

h = 2rA l = 2πr ⋅ 2r → A l = 4πr2

Área total (A t)

8

A t = A l + 2 ⋅ Ab

Ab = πr2

A l = 4πr2

A t = 4πr2 + 2 ⋅ πr2 → A t = 6πr2

VolumeVolume calculado pela Geometria Espacial

V = πr2h

h = 2rV = πr2 ⋅ 2r → V = 2πr3

Volume calculado pela Integral Definida

LEI DA FUNÇÃO:

fx = r, 0 ≤ x ≤ 2r

CÁLCULO DO VOLUME:

V = ∫0

2rπr2dx

V = πr2x|02r

V = πr22r − πr20

V = 2πr3

Problemas de AplicaçãoProblema 1:O prêmio do próximo Oscar será uma espécie de recipiente em forma de cilindro circular

equilátero, feito de ouro maciço. As caixas nas quais esses prêmios serão transportados aguentamno máximo 20 quilos. Sabendo que a altura desse prêmio é de 3cm, calcule quantos recepientespoderão ser colocados em cada uma dessas caixas. Dado: densidade do ouro é de 19g/cm3.

Como, em um cilindro equilátero, h = 2r, então, r =

9

V = 2πr3

V = 2π33

V = 169. 65cm3

Sabemos que Densidade = massavolum e

.Assim:

D = mv

19 = m169.65

m = 3223,35g

m = 3,223kg

Agora, basta dividirmos o massa total permitida em cada caixa, pela massa de cada prêmio.20

3,22= 6,2

Logo, cada caixa poderá transportar até 6 prêmios.

Problema 2:Paulo dará para sua namorada uma caixa cúbica que dentro tem inscrita uma lata

decorada em forma de cilindro equilátero. Sabendo que o volume da lata é 64πcm3, qual ovolume da caixa que estará vazio, onde ele poderá colocar outros presentinhos?

Como o cilindro circular equilátero tem altura igual ao diâmetro da base, temos que:

V = πr2h

64 = 2πr3

r = 2 3 4 cm

E como a aresta do cubo é igual ao diâmetro do cilindro, temos a = 4 3 4 cm

Vcubo = a3

Vcubo = 256cm3

Vvazio = Vcubo − Vcilindro

Vvazio = 256 − 64π

Vvazio ≅ 55cm3

Cone Circular Reto

Definição:Se C é um círculo contido num plano α e V é um ponto fora de α , denominamos cone

circular reto o conjunto dos pontos de todos os segmentos, que têm uma extremidade em V eoutra extremidade em C.

10

O cone circular reto é também chamado cone de revolução, pelo fato de ser gerado pelarotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

Elementos:

Vértice: é o ponto V da figuraBase: é a região circular de raio de medida r e centro O.Eixo: é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.Geratriz: é cada segmento com uma extremidade no vértice e outra num ponto qualquer

da circunferência.Altura: é a distância do vértice ao plano que contém a base.

Obs: 1. No cone reto, as geratrizes são congruentes.2. A partir da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:

g2 = h2 + r2

11

Secções de um cilindro:Secção TransversalA secção transversal é a intersecção do cone com um plano paralelo à sua base, que

neste caso é um círculo.

Secção MeridianaA secção meridiana, produzida pela intersecção de um cone circular com um plano que

contém o eixo, é um triângulo.

Área da superfície de um cone reto

Área da base (Ab)É a área de um círculo de raio r.

12

Ab = πr2

Área lateral (A l)Área lateral é a área de um setor circular cujo raio é g (geratriz do cone) e cujo

comprimento do arco é 2πr (perímetro da base).Isso pode ser visualizado se planificarmos a superfície lateral do cone:

A l = área de um setor circular

A l =comprimento do arco ⋅ raio

2

A l =2πrg

2A l = πrg

Área total (A t)A superfície total de um cone é a reunião da superfície lateral com o círculo da base.

Assim, a área total do cone é dada por:

A t = A l + Ab

A t = πrg + πr2

A t = πrg + r

VolumeVolume calculado pela Geometria EspacialConsideremos um cone qualquer e uma pirâmide, ambos de altura h , apoiados em um

plano horizontal α , de modo que suas bases sejam equivalentes. Um plano β qualquer, paralelo aα , corta os dois sólidos determinando regiões planas de áreas iguais.

13

Assim, pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos são equivalentes, ou seja, têm omesmo volume:

Vcone = Vpirâmide

Como o volume da pirâmide é dado por:

Vpirâmide =Ab ⋅ h

3Segue que:

Vcone =Ab ⋅ h

3

Visto que a base do cone é um círculo de raio r e área πr2, podemos escrever essafórmula da seguinte maneira:

Vcone =Ab ⋅ h

3

Vcone = πr2 ⋅ h3


LEI DA FUNÇÃO:

14

m =y − y0x − x0

m = rh

y − y0 = mx − x0

y − 0 = rhx − 0

y = rh

x

Assim, a Lei da Função é: y = rh

x, 0 ≤ x ≤ h

CÁLCULO DO VOLUME:

V = ∫0

hπ r

hx

2dx

V = ∫0

hπ r2

h2 x2 dx

V = π r2

h2 ⋅ x3

3 0

h

V = π r2

h2 ⋅ h3

3− π r2

h2 ⋅ 03

3

V = πr2h3

Problemas de AplicaçãoProblema 1:Muitos bares servem chope em copos em forma de um cone invertido, chamado Tulipa.

Num certo bar onde Pedro foi beber, tomou 3 dessas tulipas, com altura de 20cm (completamentecheio) e raio de 4cm. Sabendo que em 100ml de chope há aproximadamente 5ml de álcool, qualfoi a quantidade de álcool que ele ingeriu com esses três copos?

Vcopo = πr2h3

Vcopo = π16 ⋅ 203

Vcopo ≅ 335cm3

Vcopo = 335ml

Três copos correspondem a, apromimadamente, 1litro de chope. Então, Pedro ingeriu,aproximadamente, 50ml de álcool nesses três copos.

Problema 2:Uma casquinha de sorvete, geralmente de formato cônico, tem 6cm de diâmetro e 10cm

de altura.Quanto sorvete você comeria se comprasse ela completamente cheia?

V = πr2h3

V = π32 ⋅ 103

V = 94,2cm3

V = 94,2ml

Cone Circular Reto Equilátero

15

Definição:É todo cone reto em que as geratrizes são congruentes ao diâmetro da base g = 2r

Secções de um cone circular reto equilátero:Secção MeridianaNo cone equilátero a secção meridiana é um triângulo equilátero (geratrizes são iguais ao

diâmetro da base).

g = 2r

Pelo teorema de Pitágoras:

g2 = h2 + r2

Como g = 2r :

2r2 = h2 + r2

4r2 = h2 + r2

h2 = 4r2 − r2

h = 3r2

h = r 3

Área da superfície de um cone circular reto equilátero:Área da base (Ab)

Ab = πr2

Área lateral (A l)

A l = πrg

g = 2rA l = πr ⋅ 2r → A l = 2πr2

Área total (A t)

A t = A l + Ab

Ab = πr2

A l = 2πr2

A t = 2πr2 + πr2 → A t = 3πr2

VolumeVolume calculado pela Geometria Espacial

16

V = 13πr2h

g = 2r

Como já sabemos, h = r 3. Logo,

V = 13πr2h

V = 13πr2 ⋅ r 3

V =33

πr3


LEI DA FUNÇÃO:

m =y − y0x − x0

m = r − 0r 3 − 0

m =33

y − y0 = mx − x0

y − 0 =33

x − 0

y =33

x

Assim, a Lei da Função é: y =33

x, 0 ≤ x ≤ r 3

CÁLCULO DO VOLUME:

V = ∫0

r 3π

33

x2

dx

V = ∫0

r 3π 1

3x2 dx

V = π 13

x3

3 0

r 3

V = π 13

r 3 3

3− π0

V = π 13

⋅r3 3 2 3

3

V =33

πr2

Problemas de Aplicação:Problema 1:

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Uma ampulheta pode ser considerada como formada por 2 cones idênticos e equiláteros,unidos pelo vértice, inscritos em um cilindro reto. Encontre a razão R entre o volume de um doscones e o volume do cilindro.

Intuitivamente podemos dizer que a altura de cada cone é metade da altura do cilindro.Então:

Vcone = πr2h3

Vcone = πr2

3. h

2

Vcone = πr2h6

Vcilindro = πr2h

Assim:

R =Vcone

Vcilindro

R =

πr2h6

πr2h

R = πr2h6

. 1πr2h

R = 13

Problema 2:O volume de um cone equilátero é igual a 9π 3 cm3.Calcule a altura do cone.

V =33

πr3

9π 3 =33

πr3

r = 3cm

Como diâmetro = 2r = g = 6cm, pelo Teorema de Pitágoras:

g2 = h2 + r2

62 = h2 + 32

h2 = 27

h = 3 3 cm

Tronco de Cone

18

Definição:Denominamos tronco de cone de bases paralelas a parte do cone circular reto limitada

pela base e por uma secção transversal qualquer desse cone.

O tronco de cone também pode ser obtido a partir da rotação de um trapézio retânguloem torno de um de seus lados.

Elementos:

Base do cone deu origem ao tronco com raio de medida r.Bases: a base maior ( base do cone inicial) e a base menor ( secção transversal do cone)

são paralelas.Altura: é a distância entre as bases.Geratriz do tronco: é todo segmento com uma extremidade em cada base contido numa

geratriz do cone que deu origem ao tronco, indicado por g.

Secções de um tronco de cone:Secção MeridianaA secção meridiana é determinada pela intersecção do cone com um plano que contenha

a reta OO′ (seu eixo). Essa secção meridiana é um trapézio de lados g (geratriz do tronco) e bases2r (diâmetro da base menor) e 2R (diâmetro da base maior).

Área da superfície de um tronco de cone

19

Área da base (Ab)As áreas das bases de um tronco de cone correspondem às áreas dos círculos que

constituem essas bases. Nesse caso, temos:

→base maior: AB = πR2

→base menor: Ab = πr2

Área lateral (A l)A área lateral do tronco de cone é igual à área lateral do cone primitivo menos a área

lateral do cone destacado (cone menor), isto é:

A l = πRg − πrg − G

A l = πGR − r

Área total (A t)A superfície total de um tronco de cone é a reunião da superfície lateral com as bases. A

área dessa superfície é chamada área total do tronco, a qual indicamos por A t.

A t = A l + AB + Ab

Volume

V = πh3

R2 + Rr + r2


LEI DA FUNÇÃO:

20

m =y − y0x − x0

m = R − rh − 0

m = R − rh

y − y0 = mx − x0

y − r = R − rh

x − 0

y = R − rh

⋅ x + r

Assim, a Lei da Função é: y = R − rh

⋅ x + r, 0 ≤ x ≤ h

CÁLCULO DO VOLUME:

V = ∫0

hπ R − r

h⋅ x + r

2dx

V = ∫0

hπ

R − r2

h2 ⋅ x2 + 2 R − rh

⋅ xr + r2 dx

V = π ∫0

h R2 − 2Rr + r2

h2 ⋅ x2 + 2 R − rh

⋅ xr + r2 dx

V = π R2 − 2Rr + r2

h2 ⋅ x3

3+ 2 R − r

h⋅ x2

2r + r2x

0

h

V = π R2 − 2Rr + r2

h2 ⋅ h3

3+ 2 R − r

h⋅ h2

2r + r2h − π0

V = π h3R2 − 2Rr + r2 + Rrh − r2h + r2h

V = π R2h3

− 2Rrh3

+ r2h3

+ Rrh

V = π R2h3

+ Rrh3

+ r2h3

V = π ⋅ 13

hR2 + Rr + r2

V = hπ3

R2 + Rr + r2

Problemas de AplicaçãoProblema 1:Uma vasilha tem a forma de um troco de cone. Tem altura de 10cm, raio da base 8cm e a

abertura de raio = 10cm, e está embaixo de uma goteira que pinga 10ml de água a cada2minutos. Em quanto tempo ela estará cheia?

V = hπ3

R2 + Rr + r2

V = 10π3 102 + 10 ⋅ 8 + 82

V =31,4

3100 + 80 + 64

V ≅ 2554cm3

V ≅ 2554ml

Como a troneira pinga 10ml a cada 2min, então:2554ml

10ml= 255,4 ⋅ 2min = 510min ≅ 9horas

Problema 2:

21

Um copo tem as seguintes medidas internas: 6cm e 8cm de diâmetro nas bases e 9cm dealtura. Qual é o volume máximo de água que esse copo pode conter em ml?

V = hπ3

R2 + Rr + r2

V = 9π3

42 + 4 ⋅ 3 + 32

V = 111πcm3

V = 111πml

Esfera

Definição:Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância

ao centro é menor ou igual ao raio R.Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o

sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada portodos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

Elementos:

Eixo: é a reta que passa pelo centro O da esfera.Pólos: são as intersecções do eixo com a superfície esférica. Nesse caso, P1 e P2.Equador: é a circunferência obtida pela intersecção da superfície esférica e um plano

perpendicular ao eixo que passa pelo centro O.Paralelo: é qualquer seção (circunferência) perpendicular ao eixo x.Meridiano: é qualquer seção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo.

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Seção da esferaSeção da esfera: é o círculo obtido pela interseção da esfera e um plano secante a ela. Se

o plano secante contém o centro O da esfera, temos um círculo máximo.

Área da superfície de uma esfera

Área da esferaA área A de uma superfície esférica de raio r é dada por:

A = 4πr2

VolumeVolume calculado pela Geometria EspacialUma esfera pode ser imaginada como a reunião de infinitas pirâmides em torno de um

ponto (centro da esfera).

A altura de cada pirâmide é o raio r da esfera.Desse modo, a superfície esférica pode ser aproximada por um número finito de n

”polígonos”, cujas áreas são A1,A2, . . . ,An.Assim, o volume da esfera é, aproximadamente, igual à soma dos volumes de todas as

pirâmides componentes:

V = V1 + V2 +. . .+Vn

V ≈ A1r3

+A2r3

+. . .+ Anr3

V ≈ r3A1 + A2 +. . .+An

Fazendo n ”tender ao infinito”, podemos escrever: A1 + A2 +. . .+An = A = 4πr2

Então:

V = r4πr2

3ou V = 4πr3

3

23


LEI DA FUNÇÃO:

y − yc2 + x − xc2 = r2

y − 02 + x − 02 = r2

y2 + x2 = r2

y2 = r2 − x2

y = ± r2 − x2

y = + r2 − x2

(como metade da circunferência está acima do eixo dos x)

Assim, a Lei da Função é: y = + r2 − x2 ,−r ≤ x ≤ r

CÁLCULO DO VOLUME:

V = ∫−r

rπr2 − x22dx

V = ∫−r

rπr2 − x2dx

V = π r2x − x3

3 −r

r

V = π r2r − r3

3− π r2−r − −r3

3

V = π 23

r3 + 23

r3

V = 43πr3

Problemas de Aplicação:Problema 1:Um reservatório de forma esférica tem 9m de raio. Para encher totalmente esse

reservatório são necessárias 20horas. Nessas condições, o reservatório recebe água na razão dequantos m3/h?

24

Vreservatório = 4πr3

3

Vreservatório = 4 ⋅ π ⋅ 93

3Vreservatório ≅ 3053,63m3

Assim, a vazão, em m3/h, é 152,6m3/h

Problema 2:Funde-se 300 esferas com 20mm de diâmetro para fabricar cilindros circulares retos com

20mm de diâmetro e 200mm de altura. Qual o número de cilindros resultante?

Vesfera = 4πr3

3

Vesfera = 4π103

3Vesfera ≅ 4186,6mm3

Como são 300 esferas:

V total = 300 ⋅ 4186,6

V total = 1256000mm3

Vcilindro = πr2h

Vcilindro = π100 ⋅ 200

Vcilindro ≅ 62831,85cm3

Assim, para descobrir quantos cilindro serão produzidos basta dividir o volume total dasesferas pelo volume de cada cilindro.

V total

Vcilindro≅ 1256000mm3

62831,85cm3 ≅ 20 cilindros

OBSERVAÇÃO:Neste nosso trabalho, no cálculo das fórmulas dos volumes dos sólidos, consideramos as

funções girando em torno do eixo x.

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CONCLUSÃO

Após este estudo detalhado, provavelmente, ao calcularmos o volume de um sólido, não maisteremos apenas que decorar as fórmulas para isto, mas sim, saberemos o porquê de cadaelemento, de cada termo.

Dará sentido então ao que realmente significa uma Integral, e para que utilizamos, ficandomais fácil assim a compreensão e o interesse pelo estudo da mesma.

Com todos esses conceitos e cálculos, poderemos passar aos nossos futuros alunos o querealmente eles precisam saber sobre volume, e no que eles realmente poderão usar isso na suavida. Mostrando essa aplicabilidade, estaremos desempenhando um bom papel de professor,passando muito mais do que fórmulas, mas sim o conhecimento necessário sobre determinadoconteúdo para cada aluno.

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BIBLIOGRAFIA

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