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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA – UFSC
ESTUDO DA REDUÇÃO DE RIGIDEZ EM PÓRTICOS TRIDIMENSIONAIS DE CONCRETO ARMADO USANDO MODELO
DE BARRAS DE ELEMENTOS FINITOS Pré-projeto de Tese em Engenharia Civil Área de Estruturas
Autora: Flávia Gelatti
20/08/2012
FLORIANÓPOLIS – SC – AGOSTO – 2012
Sumário 1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1
2. JUSTIFICATIVA E RELAVÂNCIA DO ESTUDO............................................................... 2
3. ASPECTOS DE INOVAÇÃO PROPOSTOS ..................................................................... 3
4. OBJETIVOS ................................................................................................................. 4
5. REFERENCIAL TEÓRICO .............................................................................................. 5
6. METODOLOGIA ........................................................................................................ 12
7. RESULTADOS ESPERADOS ....................................................................................... 12
8. CRONOGRAMA DE ATIVIDADES .............................................................................. 14
9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................... 15
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1. INTRODUÇÃO
A análise de estruturas pode ser abordada por diferentes métodos, dos mais
simples aos mais refinados. No entanto, com o aumento da complexidade da
estrutura, determinadas características inerentes aos seus materiais ou à sua forma
devem ser considerados na análise para aprimorar as respostas dos modelos, sendo
estes efeitos não lineares.
Nas análises mais simples, como a análise elástica, admite-se linearidade no
comportamento dos materiais e de posicionamento geométrico da estrutura, sendo a
mais utilizada por projetistas. Em análises refinadas, a implementação destas
características pode representar um custo computacional muito dispendioso para
situações práticas de projeto. Nestes casos, modelos simplificados de consideração de
determinados fenômenos ajudam projetistas a obter respostas suficientemente
precisas para seus modelos.
As normas de projeto estrutural de CA indicam assim alguns procedimentos
simplificados para a avaliação da necessidade da consideração dos efeitos não lineares,
quando necessário. Por exemplo, a norma brasileira NBR-6118/2007 recomenda uma
redução da rigidez da peça na análise linear para considerar aproximadamente a não
linearidade física.
Métodos refinados são desenvolvidos e estudados em ambientes acadêmicos,
em geral, devido à complexidade de seus conceitos e aplicações. Portanto, cabe à
comunidade acadêmica investigar tais métodos simplificados da forma mais crítica e
rigorosa possível, para entregar ao meio prático opções simplificadas de considerar
efeitos importantes em situações nas quais estes não podem ser desprezados.
No trabalho proposto, pretende-se contribuir para o meio acadêmico através
de estudos de análise não linear de pórticos de concreto armado utilizando uma
ferramenta computacional consistente e métodos rigorosos de investigação. Da
mesma forma, espera-se contribuir ao meio prático sugerindo novas propostas de
aplicação de métodos simplificados de aplicação da não linearidade física em projetos
de estruturas.
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2. JUSTIFICATIVA E RELEVÂNCIA DO ESTUDO
No projeto de estruturas alteadas a rigidez lateral da estrutura é um fator que
tem grande importância para o dimensionamento, influenciando, por exemplo, tanto
as verificações de estado limite último quanto à estabilidade global da edificação.
Ressalta-se, portanto, a importância de determinar corretamente esses
efeitos por quaisquer métodos escolhidos pelo projetista, de forma a serem obtidos
resultados de análise consistentes com a realidade. Neste contexto, é frisada a
importância dos métodos simplificados para consideração das não linearidades no
dimensionamento das estruturas de CA, pois são estes os de fácil acesso para o meio
profissional.
O avanço computacional permite que modelos numéricos mais refinados
reproduzam com maior facilidade fenômenos geométricos e físicos que ocorrem nas
estruturas. Dessa forma, alguns estudos de métodos simplificados para consideração
da não linearidade física por meio da redução de rigidez já foram realizados, porém,
em sua maioria com modelos de pórticos planos (Pinto, 2002; Oliveira, 2007; Araújo,
2010 ).
Gelatti (2012) observou em seu estudo de pórticos planos de concreto
armado que há uma considerável diferença de perda de rigidez dos elementos dessas
estruturas ao longo de sua altura. Enquanto os elementos inferiores apresentam
considerável nível de fissuração, com situações de escoamento do aço e eventual pico
de compressão do concreto, os elementos superiores permaneciam claramente mais
intactos. Pinto e Ramalho (2002) relataram considerável variação de esforços de
segunda ordem ao longo da altura de pórticos planos, efeito que contribui para a
perda de rigidez não uniforme.
As recomendações da NBR-6118/2007 para consideração da não linearidade
física simplificada preveem a redução de rigidez de elementos independente da sua
localização na estrutura. Portanto, é possível que estas reduções de rigidez se ajustem
bem aos elementos inferiores da estrutura, porém, sejam demasiadamente
conservadoras para os elementos superiores dos pórticos.
3
Essa diminuição excessiva da rigidez de elementos no momento de uma
análise representa a diminuição da resistência do pórtico, possível necessidade de
aumento das seções e consequente aumento do custo do projeto.
Pretende-se buscar recomendações de redução de rigidez dos elementos de
concreto armado de pórticos planos que prevejam essa variação da perda de rigidez de
acordo com a altura do pórtico.
Ressalta-se que o presente estudo prevê o uso de um modelo numérico
tridimensional de pórtico de concreto armado para aplicar os métodos de investigação
do assunto discutido nos parágrafos anteriores.
Há uma considerável diferença entre o estudo de pórticos planos e
tridimensionais. Deve-se lembrar que uma edificação real tem comportamento
tridimensional e todo modelo numérico irá apenas se aproximar desse
comportamento. Assim, é de grande interesse que recomendações quando a
simplificações recomendadas pela NBR-6118/2007 sejam investigadas por meio de
modelos numéricos que se aproximem ao máximo da edificação real.
Essa verificação vem de encontro à necessidade de se ampliar o conhecimento
das consequências da adoção de métodos simplificados para os efeitos não lineares
em estruturas de concreto armado e também visa estreitar as relações entre o meio
prático e acadêmico por meio do estudo de diversos exemplos e troca de informações.
3. ASPECTOS DE INOVAÇÃO PROPOSTOS
O principal aspecto de inovação deste trabalho é a investigação da não linearidade
física simplificada nos pórticos de contraventamento ao longo da sua altura, buscando
estudar a diferente perda de rigidez ocorrida nos elementos de viga e pilar ao longo da
altura. Dessa forma, espera-se encontrar valores de redução de rigidez para elementos
estruturais de concreto armado mais refinados em relação àqueles apresentados
atualmente na NBR-6118/2007, propondo valores em função da localização do
elemento ao longo da altura do pórtico.
4
Outro aspecto inovador é a forma de abordagem da análise não linear de pórticos
de contraventamento de concreto armado. Isso será feito por meio de um modelo
numérico, que utiliza elementos finitos de barras e placas, que considera a não
linearidade física do concreto de forma refinada (levando em consideração a relação
não linear da tensão versus deformação do concreto sob compressão, efeito de
tension-stiffening para o concreto sob tração e o efeito do confinamento do concreto
dos pilares pelos estribos) e a não linearidade geométrica (por meio da matriz de
rigidez geométrica).
Esse enfoque permite aproximar o comportamento do modelo numérico ao de
estruturas reais. Concomitantemente, é possível investigar um grande número de
estruturas rapidamente com diferentes características geométricas e físicas,
permitindo que o estudo proposto agregue um elevado número de dados de análise.
4. OBJETIVOS
Objetivo Geral
Realizar um levantamento de dados de deslocamentos laterais de pórticos
tridimensionais de concreto armado comparando um modelo numérico que
considerada a não linearidade física de forma rigorosa, com um modelo numérico em
que a não linearidade física é levada em consideração de forma simplificada, por meio
da redução de rigidez dos elementos.
Objetivos Específicos
Estudar a implementação do modelo numérico tridimensional a ser utilizado
neste estudo;
Analisar diversos tipos de pórticos tridimensionais considerando a não
linearidade física de forma refinada;
5
Analisar diversos tipos de pórticos tridimensionais considerando a não
linearidade física de forma simplificada por meio de reduções de rigidez;
Obter conclusões a cerca da variação de perda de rigidez de elementos de
pórticos de concreto armado em função da sua localização;
Propor recomendações de redução de rigidez de elementos de pórticos de
concreto armado de acordo com a sua localização na estrutura.
5. REFERENCIAL TEÓRICO
A análise a ser realizada neste estudo é a análise não linear, na qual alguma
característica da estrutura, seja física ou geométrica, não apresenta mais uma relação
linear. Apesar de a não linearidade geométrica também ser prevista, o foco deste
trabalho será a análise não linear física.
Por definição, pode-se dizer que a não linearidade física (NLF) representa a
não linearidade entre tensão e deformação do material, no caso presente, concreto
armado (CA). Sob compressão, o concreto apresenta elevada resistência e a lei
constitutiva pode ser considerada aproximadamente linear até cerca de 45% da tensão
máxima. Sob tração também apresenta comportamento não linear, já que tem baixa
resistência e fissura sob baixos níveis de carregamento.
Devido à aderência entre os dois materiais, concreto e aço, após a fissuração
há a transmissão de esforços de tração do concreto para as armaduras de aço, o que é
um fenômeno complexo. O concreto situado entre as fissuras ainda apresenta certa
capacidade de resistência à tração, efeito conhecido como tension-stiffening. Além
disso, o aço das armaduras também apresenta comportamento não linear já que tem
um estado de plastificação quando submetido a uma tensão superior ao seu limite de
escoamento.
Por outro lado, não linearidade geométrica (NLG) leva em conta a não
linearidade das relações deformação específica versus deslocamento. No caso de
edifícios, a consideração da NLG envolve o estudo da estrutura na sua posição
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deformada e haverá então interação entre as forças verticais atuantes e os
deslocamentos horizontais sofridos pela estrutura, sendo a análise também chamada
de análise de segunda ordem global.
A não linearidade física pode ser implementada em um modelo numérico por
meio de relações momento versus curvatura das seções, ou então através de relações
constitutivas que representem os efeitos não lineares descritos anteriormente.
Já no seu formato simplificado, a não linearidade física pode ser aplicada na
análise de uma estrutura por meio da redução da inércia efetiva das seções dos
elementos sob investigação, ou ainda, redução da sua rigidez.
A NBR-6118/2007 recomenda um processo para aplicar a não linearidade
física de forma simplificada sendo aplicada em situações de projeto, priorizando a
rapidez de análise.
O item 15.7.3 da referida Norma prevê a consideração da não linearidade
física no momento da análise de segunda ordem global da estrutura. Os valores
indicados correspondem a uma simplificação e são aplicados em estruturas reticuladas
de, no mínimo, quatro andares. O princípio desses valores é a redução específica da
rigidez de cada tipo de elemento estrutural, baseado no seu nível de fissuração.
Lajes: (EI)sec = 0,3EciIc
Vigas: (EI)sec = 0,4EciIc para A’s As e
(EI)sec = 0,5EciIc para A’s = As
Pilares: (EI)sec = 0,8EciIc
A Norma ainda recomenda que quando a estrutura de contraventamento for
eminentemente uma combinação de vigas e pilares e o coeficiente ɣz for inferior a 1,3,
admite-se uma redução única para a estrutura:
(EI)sec = 0,7EciIc
Nota-se pelos valores acima que a redução de rigidez prevista para
determinados elementos estruturais está baseada no tipo de solicitação à qual ele está
sujeito.
7
Diversos autores estudaram a aplicação da não linearidade física de forma
simplificada, buscando melhorar a precisão dos valores recomendados, já que diversos
fatores influenciam essa redução da rigidez, como a taxa de armadura e características
do material.
Para Franco (1997) apud Lima (2001), o valor de redução para as lajes seria de
0,3 EciIc ficando próximo da indicação de um trabalho de MacGregor (1993), que
concluiu um valor de 0,25 EciIc.
Interessante observar que Matos (1998) apud Oliveira (2007) concluiu que a
redução única para 0,7 EciIc não é confiável. Lima (2001) ainda ressalva que essa
simplificação ignora os diferentes comportamentos dos elementos estruturais e
superestima a rigidez das vigas, procedimento que pode levar a situações extremas
(avaliando a estrutura como de nós fixos) caso as vigas sejam parte expressiva do
contraventamento.
Portanto, nota-se que na avaliação da redução de rigidez em peças de
concreto armado há uma significativa variação das recomendações na bibliografia
específica, como mostra a Tabela 1. Essa falta de concordância e variância de
indicações abre espaço para novas contribuições neste assunto.
Tabela 1 - Resumo de algumas reduções de rigidez na bibliografia
O modelo numérico está implementado no programa ANALEST, que se baseia
no método dos elementos finitos para obter as respostas da estrutura a ser
investigada.
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A idéia principal do Método dos Elementos Finitos (MEF) é a divisão do meio
contínuo ou corpo sólido em um número conveniente de elementos, ligados em suas
extremidades por nós. O campo de deslocamentos (ou de tensões) dentro de cada
elemento é aproximado por funções, em geral polinomiais, que interpolam os valores
de deslocamentos (ou tensões) nodais. Neste trabalho será adotada a formulação em
termos de deslocamentos, que corresponde à formulação do Método dos
Deslocamentos da Análise Matricial de Estruturas. Segundo La Rovere (2002), após a
obtenção da matriz de rigidez e do vetor de forças equivalentes de cada elemento,
pode-se aplicar a metodologia de Análise Matricial para formar a matriz de rigidez e o
vetor de forças da estrutura, formando assim o sistema algébrico de equações de
equilíbrio de forças da estrutura, cuja solução fornece os deslocamentos nodais de
cada elemento. A partir desses deslocamentos nodais, e das funções de interpolação
internas de cada elemento, pode-se obter os deslocamentos em qualquer ponto
dentro da estrutura e, a partir destes, as deformações específicas e tensões.
Figura 1 - Exemplo de discretização por MEF
FONTE: Junges (2011)
Já o programa ANALEST foi desenvolvido na linguagem FORTRAN 90. A versão
atual é resultado de modificações realizadas no programa NOPLAN, desenvolvido por
La Rovere (1990). Chimello (2003) o adaptou para a análise de vigas reforçadas com
fibra de carbono e Stramandinoli (2007) o estendeu para avaliar pórticos planos, além
de introduzir modelos mistos (barra combinado com elementos planos), um novo
modelo de tension-stiffening e o Método do Comprimento do Arco, para solução de
sistemas não lineares. Detalhes da implementação como tipos e funções de cada
módulo podem ser encontradas em Stramandinoli (2007). Atualmente, a
implementação do modelo tridimensional está em curso.
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Os modelos constitutivos a serem utilizados no programa ANALEST foram
implementados por Stramandinoli (2007). Para o concreto sob compressão, o modelo
constitutivo adotado é o do CEB-90 (1990), sendo apresentado na Figura 2 e com
expressão para a tensão no concreto descrita a seguir na equação (1):
cm
c
c
c
ci
c
c
c
c
c
ci
cf
E
E
E
E
11
2
111
21
para lim c
(1)
onde:
fcm = valor médio da resistência à compressão obtida em ensaios uniaxiais
(considerada positiva);
εc1 = deformação correspondente à tensão máxima fcm (considerada positiva);
εc= deformação no concreto;
εlim= deformação limite a ser considerada, correspondente a uma tensão de
0,5fcm no ramo descendente da curva (considerada positiva);
Eci = módulo de deformação longitudinal inicial
31
4
10.1015,2
MPa
MPafMPaxEci cm
Ec1 = módulo de deformação secante 1
1c
cmf
Ec
Figura 2 - Modelo constitutivo do CEB-90 (1990)
FONTE: Stramandinoli (2007)
10
O modelo constitutivo proposto por Mander et al (1988) apud Paz (1995)
considera de maneira aproximada o efeito do confinamento passivo propiciado pelos
estribos. Este confinamento resulta em um aumento na resistência e na ductilidade do
concreto. A curva que descreve o modelo está ilustrada na Figura 3 e a equação que
fornece a tensão no concreto é:
r
ccc
xr
rf
1
'
(2)
onde:
cc
cx
151
'
'
co
cccocc
f
f
secEE
Er
c
c
cc
ccfE
sec
'5000 coc fE com
'
cof em MPa
sendo:
'
ccf= Tensão máxima de compressão do concreto confinado (considerada
positiva);
cc = Deformação correspondente a
'
ccf (considerada positiva);
'
cof = Tensão máxima de compressão do concreto não confinado (considerada
positiva);
co = Deformação correspondente a
'
cof (considerada positiva).
Para determinação detalhada dos valores de tensão máxima de compressão
do concreto, confinado ou não, consultar Stramandinoli (2007).
11
Figura 3 - Modelo constitutivo de Mander et al. (1988)
FONTE: Stramandinoli (2007)
O modelo para o concreto armado submetido à tração é o modelo de tension-
stiffening proposto por Stramandinoli e La Rovere (2008), apresentado na Figura 4, que
modifica a equação constitutiva do concreto tracionado após este atingir a resistência
à tração. O modelo considera um decaimento exponencial para a tensão no concreto,
após atingir sua resistência à tração. O decaimento exponencial é função de um
parâmetro α, que depende da taxa de armadura longitudinal e da relação entre os
módulos de elasticidade do aço e do concreto.
Figura Erro! Nenhum texto com o estilo especificado foi encontrado no documento. – Modelo constitutivo com modelo de tension-stiffening
FONTE: Stramandinoli (2007)
O parâmetro α, de decaimento exponencial do modelo, é definido pela
equação (3):
32016,0106,0255,0017,0 nnn (3)
12
6. METODOLOGIA
A metodologia a ser seguida neste trabalho estará pautada na comparação de
resultados de deslocamentos de pórticos tridimensionais por meio de duas análises, a
primeira considerando a não linearidade física de forma refinada, enquanto a segunda
refere-se à análise considerando a não linearidade física de forma simplificada.
A análise considerando a não linearidade física de forma refinada utilizará um
modelo numérico de elementos finitos que considera a não linearidade geométrica de
forma refinada também. Este modelo será admitido como o de referência e que
representará o comportamento mais próximo do real da estrutura. Serão investigados
diversos tipos de pórticos tridimensionais, com variações de altura, número de vãos,
taxa de armadura e dimensões das seções dos elementos.
Já a análise considerando a não linearidade física de forma simplificada utilizará um
modelo numérico em que se aplicam reduções de rigidez dos elementos de viga e pilar
do pórtico de forma diferenciada, prevendo uma perda maior de rigidez dos elementos
inferiores do pórtico, e uma perda progressivamente menor em elementos próximos
do topo. A não linearidade geométrica será considerada de forma refinada também
neste modelo. Esta análise será realizada com os mesmos pórticos descritos no
parágrafo anterior.
Por fim, uma comparação de resultados de deslocamentos entre o modelo de
referência e os modelos com a não linearidade física simplificada fornecerá condições
de fundamentar possíveis novas recomendações a cerca de reduções de rigidez.
O modelo numérico tridimensional a ser utilizado será o do programa ANALEST,
atualmente em fase de implementação, em que se está adicionando a modelagem de
barra de pórtico espacial e de placas, na Universidade Federal de Santa Catarina.
7. RESULTADOS ESPERADOS
Espera-se que, com os resultados obtidos do modelo de referência seja
possível obter um comportamento compatível com o de uma estrutura real, guardadas
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as devidas proporções, de forma a poder ser classificado como modelo de referência.
Dos modelos com a não linearidade física simplificada são esperados resultados
próximos daqueles fornecidos pelo modelo de referência, porém, com algumas
diferenças numéricas devido ao diferente tratamento dado ao problema da não
linearidade física. Contudo, espera-se que estas sejam aceitáveis, abaixo de uma
tolerância específica.
É esperado ainda que seja possível entender melhor o espraiamento da não
linearidade física em estruturas de pórticos espaciais, e extrair recomendações da
investigação dos modelos.
14
8. CRONOGRAMA DE ATIVIDADES
ANO DE 2012
Atividade Meses
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
Disciplinas X X Disciplinas X X
Disciplinas X X X
Disciplinas X X X
ANO DE 2013
Atividade Meses
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
Disciplinas X X X X X X X X
Disciplinas X X X X X X X X Disciplinas X X X X X X X X
Disciplinas X X X X X X X X
Revisão Bibliográfica X X X X X X X X
ANO DE 2014
Atividade Meses
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
Disciplinas X X X X X Disciplinas X X X X X
Revisão Bibliográfica X X X X
Estudo do modelo numérico 3D X X X X X
Texto da Qualificação Doutorado X X X X X
Escolha dos pórticos 3D para estudo X X
ANO DE 2015
Atividade Meses
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
Defesa Qualificação de Doutorado X
Modelagem e análise dos pórticos X X X X X X X X
Modelagem e análise dos pórticos X X X X X X X X
Modelagem e análise dos pórticos X X X X X X X X
Modelagem e análise dos pórticos X X X X X X X X
Modelagem e análise dos pórticos X X X X X X X X
Análise dos Resultados X X X X X X X X X
Estágio Docência em Estruturas X X X X
ANO DE 2016
Atividade Meses
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
Análise dos Resultados X X X X X X X
Estágio Docência em Estruturas X X X
Elaboração do Texto Final da Tese X X X X
Defesa de Doutorado X
15
9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARAÚJO, J. M. Avaliação do parâmetro de instabilidade para os edifícios altos. Teoria e
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JUNGES, E. (2011). Estudo comparativo entre métodos simplificados e modelos de
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