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Raciocnio Lgico A Opo Certa Para a Sua Realizao1

RACIOCNIO LGICO

1. Estruturas lgicas.2. Lgica de argumentao: analogias, inferncias, deduese concluses.3. Lgica sentencial (ou proposicional).3.1. Proposies simples e compostas.3.2. Tabelas verdade.3.3. Equivalncias.3.4. Leis de De Morgan.

3.5. Diagramas lgicos.4. Lgica de primeira ordem.5. Princpios de contagem e probabilidade.6. Operaes com conjuntos.7.Raciocnio lgico envolvendo problemas aritmticos, geo-mtricos e matriciais.

Conceito de raciocnio lgicoRaciocnio LgicoAo procurarmos a soluo de um problema quando dis-

pomos de dados como um ponto de partida e temos umobjetivo a estimularmos, mas no sabemos como chegar aesse objetivo temos um problema. Se soubssemos nohaveria problema.

necessrio, portanto, que comece por explorar as pos-sibilidades, por experimentar hipteses, voltar atrs numcaminho e tentar outro. preciso buscar idias que se con-formem natureza do problema, rejeitar aqueles que no seajustam a estrutura total da questo e organizar-se.

Mesmo assim, impossvel ter certeza de que escolheu omelhor caminho. O pensamento tende a ir e vir quando setrata de resolver problemas difceis.

Mas se depois de examinarmos os dados chegamos auma concluso que aceitamos como certa conclumos queestivemos raciocinando.

Se a concluso decorre dos dados, o raciocnio ditolgico.

Nova teoria cientfica

A cincia bsicamente a combinao do raciocnio lgi-co bom com o conhecimento prtico bom de fenmenosnaturais reais. Todos os seres humanos fazem algum racio-cnio lgico e tm algum conhecimento prtico de algunsfenmenos naturais reais, mas na maior parte tm que com-binar cincia com sobrevivncia. Alguns povos puderamdevotar muito de seu tempo ao raciocnio e/ou a ganhar oconhecimento melhor da natureza e com isso nos legaramcontribuies pequenas ou grandes ao desenvolvimento dacincia. http://wwwracimate.blogspot.com.br/

Em lgica, pode-se distinguir trs tipos de raciocnio l-gico: deduo, induo e abduo. Dada uma premissa,uma concluso, e uma regrasegundo a qual apremis-sa implica a concluso, eles podem ser explicados da se-

guinte forma:Deduo corresponde a determinar a concluso. Utiliza-se da regrae sua premissa para chegar a uma concluso.Exemplo: "Quando chove, a grama fica molhada. Choveuhoje. Portanto, a grama est molhada." comum associaros matemticos com este tipo de raciocnio.

Induo determinar a regra. aprender a regraa partirde diversos exemplos de como a conclusosegueda premissa. Exemplo: "A grama ficou molhada todas asvezes em que choveu. Ento, se chover amanh, a gramaficar molhada." comum associar os cientistas com esteestilo de raciocnio.

Abduosignifica determinar a premissa. Usa-sea conclusoe a regrapara defender que a premissapoderiaexplicar a concluso. Exemplo: "Quando chove, a grama fica

molhada. A grama est molhada, ento pode ter chovido."Associa-se este tipo de raciocnioaos diagnosticistas e detetives.

Lgica MatemticaImagine que voc foi convocado a participar de um jri

em um processo criminal e o advogado de defesa apresentaos seguintes argumentos:

Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta.Ou a faca no estava na gaveta ou Jos da Silva viu a faca.Se a faca no estava l no dia 10 de outubro, segue queJos da Silva no viu a faca. Alm disso, se a faca estava lno dia 10 de outubro, ento a faca estava na gaveta e omartelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo

no estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores do jri,meu cliente inocente.Pergunta: O argumento do advogado esta correto? Co-

mo voc deveria votar o destino do ru?E mais fcil responder a essa pergunta reescrevendo o

argumento com a notao de lgica formal, que retira todo opalavrrio que causa confuso e permite que nos concen-tremos na argumentao subjacente.

A lgica formal fornece as bases para o mtodo de pen-sar organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer ativida-de racional.

"Lgica: Coerncia de raciocnio, de ideias. Modo de ra-ciocinar peculiar a algum, ou a um grupo. Sequencia coe-rente, regular e necessria de acontecimentos, de coisas."(dicionrio Aurlio), portanto podemos dizer que a Lgica e acincia do raciocnio.

1. PRINCPIOS FUNDAMENTAIS EM LGICA MATE-MTICA

1.1 CONSIDERAES PRELIMINARESPartindo-se do contexto histrico, a lgica enquanto cin-

cia do raciocnio pode ser subdividida em duas grandes cor-rentes, quais sejam: Lgica Clssica e Lgica Formal.

Enquanto Lgica Clssica esta fundamentada em pro-cessos no matemticos, processos no analticos, sendoque suas verdades advm de entidades filosficas. Pode-sedizer que a Lgica Clssica tem um carter intuitivo.

Enquanto Lgica Formal, a qual encerra dentre outrastendncias a Lgica Matemtica, esta baseada em mtodos

e tcnicas matemticas.A Lgica matemtica, ou a Lgica Simblica ou Lgica

Algortmica caracterizada pela axiomatizao, pelo simbo-lismo e pelo formalismo. Tem seu desenvolvimento na ins-tncia dos smbolos e passam a analisar o raciocnio segun-do operaes e ralaes de clculo especfico.

1.2 CLCULO PROPOSICIONAL E CLCULO DOSPREDICADOS:

A Lgica Matemtica fundamentada pelo clculo propo-sicional (ou clculo dos enunciados, ou clculo sentencial) epelo clculo dos predicados. No clculo sentencial tm-se asentidades mnimas de anlise (proposies ou enunciados)como elementos geradores. No clculo dos predicados oselementos de anlise correspondem s chamadas funes

proposicionais.No primeiro caso no se analisa a relao ntima entre onome e o predicado da estrutura em anlise. Sendo opostono segundo caso.

Os smbolos tm significado e usos especficos no clcu-lo proposicional.

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1.2.1 PROPOSIO, DECLARAO todo o conjunto de palavras ou smbolos que exprimem

um pensamento de sentido completo para a qual se associaapenas um dos dois atributos verdadeiro ou falso.

So exemplos de proposies:Quatro e maior que cinco.Ana e inteligente.So Paulo e uma cidade da regio sudeste.Existe vida humana em Marte.

A lua um satlite da TerraRecife capital de PernambucoExemplos de no proposies:

Como vai voc?Como isso pode acontecer!

1.3 PRINCPIOS FUNDAMENTAIS:A Lgica Matemtica constitui um sistema cientfico regi-

do por trs leis principais, consideradas princpios fundamen-tais:

Princpio da no-contradio: uma proposio nopode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Princpio do terceiro excludo: toda preposio ou verdadeira ou falsa, isto , verifica-se sempre um destescasos e nunca um terceiro.

Neste sistema de raciocnio tem-se estabelecido to so-mente dois estados de verdade, isto , a verdade e a noverdade. Portanto a Lgica Matemtica um sistema biva-lente ou dicotmico, onde os dois estados de verdade ser-vem para caracterizar todas as situaes possveis sendomutuamente excludentes (isto , a ocorrncia da primeiraexclui a existncia da segunda).

Portanto de uma forma geral pode-se dizer que qualquerentidade (proposio ou enunciado) em Lgica Matemticaapresenta apenas dois estados de verdade ou ser corres-pondente a verdade ou correspondente a falsidade noadmitindo quaisquer outras hipteses e nem to pouco aocorrncia dos dois estados de verdade simultaneamente.

2. PROPOSIES OU ENUNCIADOS - FUNDAMEN-

TAO DO CLCULO PROPOSICIONAL2.1 CONSIDERAES SOBRE O SISTEMA DICOT-

MICO OU BIVALENTE:A Lgica Matemtica constitui em termos gerais um sis-

tema cientfico de raciocnio, que se baseia em estados biva-lentes, ou seja, um sistema dicotmico onde a quaisquerde suas entidades pode-se predicar a verdade ou a falsi-dade, sendo estados mutuamente excludentes. Desta formaa partir de seus axiomas fundamentais e do sistema bivalen-te estabelecido desenvolver-se- um mtodo analtico deraciocnio que objetiva analisar a validade do processo infor-mal a partir das denominadas primeiras verdades, prim-cias.

2.2 DEFINIO E NOTAO DE PROPOSIES NO

CLCULO PROPOSICIONAL:Na linguagem falada ou escrita quatro so os tipos fun-damentais de sentenas; quais sejam as imperativas, asexclamativas, interrogativas e as declarativas (afirmativas ounegativas); tendo em vista que em lgica matemtica tem-seapenas dois estados de verdade, esta tem por objeto deanlise as denominadas sentenas declarativas, afirmativas,de sentido completo e no elpticas (no ambguas).

Desta forma toda sentena declarativa, afirmativa desentido completo que expresso um determinado pensamen-to so denominado predicados ou enunciados, as quais deacordo com o universo relacional onde se encontram sem-pre possvel predicar-se verdade ou a falsidade.

So exemplos de proposies em lgica:

A filosofia a lgica dos contrriosBananas solitrias so aves volares se e somente se,um logaritmo vermelho um abacate feliz.

Se todo homem inteligente uma flor, ento flores ra-cionais so homens solitrios.

No clculo proposicional o que dever ser considerado

a forma do enunciado e no o significado que esta alcanano mundo real.

Portanto os exemplos acima permitem afirmar que onmero de nomes e/ou predicados que constituem as sen-tenas declarativas, afirmativas de sentido completo doorigem s denominadas proposies simples ou proposiescompostas.

2.3 CARACTERIZAO, DEFINIO E NOTAODAS PROPOSIES SIMPLES:

Uma proposio simples ou um tomo ou ainda uma pro-posio atmica, constituem a unidade mnima de anlise doclculo sentencial e corresponde a uma estrutura tal em queno existe nenhuma outra proposio como parte integrantede si prprio. Tais estruturas sero designadas pelas letraslatinas minsculas tais como:

p, q, r, s, u, v, w, p1, p2. . . pn...As quais so denominadas letras proposicionais ou vari-

veis enunciativas. Desta forma, pra se indicar que a letraproposicional p designa a sentena: A Matemtica atributoda lgica, adota-se a seguinte notao:

p: A matemtica atributo da lgica.Observe que a estrutura: A matemtica no atributo da

lgica no corresponde a uma proposio simples, pois

possui como parte integrante de si outra proposio.2.4 CARACTERIZAO, DEFINIO E NOTAO DEPROPOSIES COMPOSTAS:

Uma proposio composta, ou uma frmula proposicionalou uma molcula ou ainda uma proposio molecular umasentena declarativa, afirmativa, de sentido completo consti-tuda de pelo menos um nome ou pelo menos um predicadoou ainda negativa, isto , so todas as sentenas que possu-em como parte integrante de si prpria pelo menos umaoutra proposio.

As proposies compostas sero designadas pelas letraslatinas maisculas tais como:

P, Q, R, S, U, V, W, P1, P2. . . Pn...Considere as proposies simples:p: A filosofia arte

q: A dialtica cincia.Seja, portanto, a proposio composta A filosofia arte

embora a dialtica a cincia.Para se indicar que a dada sentena designada pela

letra proposicional P, sendo constituda de p e q componen-tes adota-se a notao P (p, q): A filosofia arte embora adialtica a cincia.

Observe que uma frmula proposicional pode ser consti-tuda de outras frmulas proposicionais. Alm do mais umaletra proposicional pode designar uma nica proposio, querseja simples ou composta, contudo uma dada proposiopode ser qualificada por quaisquer das letras proposicionaisnum dado universo.

Sejam as proposies:

p: A lgica condiciona a Matemticaq: A dialtica fundamenta o pensamento ambguo.P (p, q): A lgica condiciona a Matemtica, mas a dialti-

ca fundamenta o pensamento ambguo.Q (p, q): A lgica condiciona a Matemtica e/ou a dialti-

ca fundamenta o pensamento ambguo.Sejam ainda proposies compostas:S (P, Q): Se a lgica condiciona a Matemtica mas a

dialtica fundamente o pensamento ambguo, ento a Lgicacondiciona a matemtica e/ou a dialtica fundamente o pen-samento ambguo.

De forma simblica tem-se que;P (p, q): p mas qQ (p, q): p e/ou qS (P, Q):Se p mas q, ento p e/ou qObserve que: S (P, Q) anloga a S (p, q).2.5 VERDADE E VALIDADE:(Valor lgico ou valor verdade das proposies)Partindo-se do fato de que a lgica matemtica um sis-

tema cientfico de raciocnios, bivalentes e dicotmicos, em

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que existem apenas dois estados de verdade capazes degerar todos os resultados possveis, a verdade correspondea afirmaes do fato enquanto tal, sendo a falsidade a con-tradio ou a negao do fato enquanto tal. Assim a verdadeou a falsidade, corresponde respectivamente ao verdadeiroou falso, segundo o referencial terico que institui as de-terminadas entidades proposies ou enunciados, de umdado universo relacional.

Em resumo, a verdade a afirmao do fato e a falsida-

de a negao do fato estabelecido.Dada uma proposio simples qualquer, designar, porexemplo, pela letra proposicional p, tem-se pelos princpiosfundamentais que tal proposio ser a verdade (V) ou afalsidade (F) no se admitindo outra hiptese, e, nem topouco a ocorrncia dos dois estados simultaneamente, por-tanto, para denotar tais situaes, adotar-se- a simboliza-o:

V ( p ) = V (valor lgico de p igual verdade) ou V ( p )= F .

Considere uma proposio composta P, constituda dasproposies simples p, q, r,...., p1,...., pn componentes. Paraindicar o valor lgico ou valor verdadeiro desta frmula pro-posicional adotar-se- as notaes:

V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = V ou V [ P ( p, q, r,..., p1,...,pn)] = F oportuno salientar-se que a lgica matemtica no ca-

be a obrigao de decidir se uma dada proposio verdadeou falsidade, isto , compete aos respectivos especialistasdas correspondentes reas de conhecimento. Contudo algica tem por obrigao estruturar mtodos ou procedimen-tos de deciso que permita, num tempo finito, a decisosobre os valores lgicos de frmulas proposicionais constitu-das de n proposies e m raciocnios (sobre o ponto de vistada analiticidade de tais processos). A de se observar tam-bm, que validade em lgica matemtica corresponde, tosomente a avaliao de argumentos dedutivos ou de infern-cia de argumentos, no tendo sentido associar validade oulegitimidade a proposies ou enunciados.

De forma resumida, a validade esta associada coern-cia ou a consistncia do raciocnio analtico.

2.6 CARACTERIZAO, DEFINIO, NOTAO DECONECTIVOS LGICOS:

(ou conectivos proposicionais)Vejam os exemplos:A matemtica a juventude da lgica e a lgica a ma-

turidade da matemticaA matemtica a juventude da lgica ou a lgica a

maturidade da matemticaA matemtica a juventude da lgica ou a lgica a

maturidade da matemtica e no ambosSe a matemtica a juventude da lgica, ento a lgica

a maturidade da matemtica.

A matemtica a juventude da lgica se, e somente se,a lgica a maturidade da matemtica.No fato que a matemtica a juventude da lgicaDesignamos as proposies simples:p: A matemtica a juventude da lgicaq: A lgica a maturidade da matemticaTem-se que:P (p, q): p e q.Q (p, q): p ou q.R (p, q): p ou q, e no ambos.S (p, q): Se p, ento q.W (p, q): p se, e somente se q.P1 (p): no pObserve que as frmulas proposicionais ou proposies

compostas anteriormente apresentadas foram obtidas a partirde duas proposies simples quaisquer, unidas pelo conjuntode palavras, quando utilizadas para estabelecer a conexoentre duas ou mais proposies (simples ou compostas), sodenominadas conectivos lgicos ou conectivos proposicio-

nais, os quais definem classes de frmulas proposicionaisespecficas.Prof.a Paula Francis Benevides

Smbolos

no

e

ou

se ... ento

se e somente se

| tal que

implica

equivalente

existe

| | | | existe um e somente

um

qualquer que seja

Valor lgi-co

Smbolo Expresso

Negao , , ~ou '

no, falso, no verdade que

Conjuno e, mas , tambm, alm disso

Disjuno ou

Condicional se...ento, implica, logo, somente se

Bi-condicional

...se, e somente se...; ... condionecessria que ...

ALGUMAS NOES DE LGICAAntnio Anbal PadroIntroduoTodas as disciplinas tm um objecto de estudo. O objeto

de estudo de uma disciplina aquilo que essa disciplinaestuda. Ento, qual o objecto de estudo da lgica? O que que a lgica estuda? A lgica estuda e sistematiza a validadeou invalidade da argumentao. Tambm se diz que estudainferncias ou raciocnios. Podes considerar que argumen-tos, inferncias e raciocnios so termos equivalentes.

Muito bem, a lgica estuda argumentos. Mas qual ointeresse disso para a filosofia? Bem, tenho de te lembrarque a argumentao o corao da filosofia. Em filosofiatemos a liberdade de defender as nossas ideias, mas temosde sustentar o que defendemos com bons argumentos e, claro, tambm temos de aceitar discutir os nossos argumen-tos.

Os argumentos constituem um dos trs elementos cen-trais da filosofia. Os outros dois so os problemas e as teori-as. Com efeito, ao longo dos sculos, os filsofos tm procu-

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rado resolver problemas, criando teorias que se apoiam emargumentos.

Ests a ver por que que o estudo dos argumentos importante, isto , por que que a lgica importante. importante, porque nos ajuda a distinguir os argumentosvlidos dos invlidos, permite-nos compreender por querazo uns so vlidos e outros no e ensina-nos a argumen-tar correctamente. E isto fundamental para a filosofia.

O que um argumento?

Um argumento um conjunto de proposies que utili-zamos para justificar (provar, dar razo, suportar) algo. Aproposio que queremos justificar tem o nome de conclu-so; as proposies que pretendem apoiar a concluso ou a

justificam tm o nome de premissas.Supe que queres pedir aos teus pais um aumento da

"mesada". Como justificas este aumento? Recorrendo arazes, no ? Dirs qualquer coisa como:

Os preos no bar da escola subiram;como eu lancho no bar da escola, o lanchefica me mais caro. Portanto, preciso de umaumento da "mesada".

Temos aqui um argumento, cuja concluso : "preciso deum aumento da 'mesada'". E como justificas esta concluso?

Com a subida dos preos no bar da escola e com o facto delanchares no bar. Ento, estas so as premissas do teu ar-gumento, so as razes que utilizas para defender a conclu-so.

Este exemplo permite-nos esclarecer outro aspecto dosargumentos, que o seguinte: embora um argumento sejaum conjunto de proposies, nem todos os conjuntos deproposies so argumentos. Por exemplo, o seguinte con-

junto de proposies no um argumento:Eu lancho no bar da escola, mas o Joo no.A Joana come pipocas no cinema.O Rui foi ao museu.

Neste caso, no temos um argumento, porque no hnenhuma pretenso de justificar uma proposio com basenas outras. Nem h nenhuma pretenso de apresentar um

conjunto de proposies com alguma relao entre si. Hapenas uma sequncia de afirmaes. E um argumento ,como j vimos, um conjunto de proposies em que se pre-tende que uma delas seja sustentada ou justificada pelasoutras o que no acontece no exemplo anterior.

Um argumento pode ter uma ou mais premissas, mas spode ter uma concluso.

Exemplos de argumentos com uma s premissa:Exemplo 1Premissa: Todos os portugueses so europeus.Concluso: Logo, alguns europeus so portugueses.

Exemplo 2Premissa: O Joo e o Jos so alunos do 11. ano.Concluso: Logo, o Joo aluno do 11. ano.

Exemplos de argumentos com duas premissas:Exemplo 1Premissa 1: Se o Joo um aluno do 11. ano, ento es-tuda filosofia.Premissa 2: O Joo um aluno do 11. ano.Concluso: Logo, o Joo estuda filosofia.

Exemplo 2Premissa 1: Se no houvesse vida para alm da morte,ento a vida no faria sentido.Premissa 2: Mas a vida faz sentido.Concluso: Logo, h vida para alm da morte.

Exemplo 3:Premissa 1: Todos os minhotos so portugueses.Premissa 2: Todos os portugueses so europeus.

Concluso: Todos os minhotos so europeus. claro que a maior parte das vezes os argumentosno se apresentam nesta forma. Repara, por exemplo, noargumento de Kant a favor do valor objectivo da felicida-de, tal como apresentado por Aires Almeida et al.(2003b) no site de apoio ao manual A Arte de Pensar:

"De um ponto de vista imparcial, cada pessoa um fimem si. Mas se cada pessoa um fim em si, a felicidade decada pessoa tem valor de um ponto de vista imparcial eno apenas do ponto de vista de cada pessoa. Dado quecada pessoa realmente um fim em si, podemos concluirque a felicidade tem valor de um ponto de vista imparcial."

Neste argumento, a concluso est claramente identi-ficada ("podemos concluir que..."), mas nem sempre istoacontece. Contudo, h certas expresses que nos ajudam

a perceber qual a concluso do argumento e quais soas premissas. Repara, no argumento anterior, na expres-so "dado que". Esta expresso um indicador de pre-missa: ficamos a saber que o que se segue a esta ex-presso uma premissa do argumento. Tambm h indi-cadores de concluso: dois dos mais utilizados so "logo"e "portanto".

Um indicador um articulador do discurso, uma palavraou expresso que utilizamos para introduzir uma razo (umapremissa) ou uma concluso. O quadro seguinte apresentaalguns indicadores de premissa e de concluso:

Indicadores de premis-sa

Indicadores de conclu-so

poisporquedado quecomo foi ditovisto quedevido aa razo queadmitindo quesabendo-se queassumindo que

por issopor conseguinteimplica quelogoportantoentoda quesegue-se quepode-se inferir queconsequentemente

claro que nem sempre as premissas e a concluso soprecedidas por indicadores. Por exemplo, no argumento:

O Mourinho treinador de futebol e ganha mais de100000 euros por ms. Portanto, h treinadores de futebolque ganham mais de 100000 euros por ms.

A concluso precedida do indicador "Portanto", mas aspremissas no tm nenhum indicador.

Por outro lado, aqueles indicadores (palavras e expres-ses) podem aparecer em frases sem que essas frases se-

jam premissas ou concluses de argumentos. Por exemplo,se eu disser:

Depois de se separar do dono, o co nunca mais foi omesmo. Ento, um dia ele partiu e nunca mais foi visto. Ad-mitindo que no morreu, onde estar?

O que se segue palavra "Ento" no concluso denenhum argumento, e o que segue a "Admitindo que" no premissa, pois nem sequer tenho aqui um argumento. Por

isso, embora seja til, deves usar a informao do quadro deindicadores de premissa e de concluso criticamente e node forma automtica.

Proposies e frasesUm argumento um conjunto de proposies. Quer as

premissas quer a concluso de um argumento so proposi-es. Mas o que uma proposio?

Uma proposio o pensamento que uma frase declara-tiva exprime literalmente.

No deves confundir proposies com frases. Uma frase uma entidade lingustica, a unidade gramatical mnima desentido. Por exemplo, o conjunto de palavras "Braga uma"no uma frase. Mas o conjunto de palavras "Braga umacidade" uma frase, pois j se apresenta com sentido gra-

matical.H vrios tipos de frases: declarativas, interrogativas,imperativas e exclamativas. Mas s as frases declarativasexprimem proposies. Uma frase s exprime uma proposi-o quando o que ela afirma tem valor de verdade.

Por exemplo, as seguintes frases no exprimem proposi-

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es, porque no tm valor de verdade, isto , no so ver-dadeiras nem falsas:

1. Que horas so?2. Traz o livro.3. Prometo ir contigo ao cinema.4. Quem me dera gostar de Matemtica.

Mas as frases seguintes exprimem proposies, porquetm valor de verdade, isto , so verdadeiras ou falsas, ainda

que, acerca de algumas, no saibamos, neste momento, seso verdadeiras ou falsas:1. Braga a capital de Portugal.2. Braga uma cidade minhota.3. A neve branca.4. H seres extraterrestres inteligentes.

A frase 1 falsa, a 2 e a 3 so verdadeiras. E a 4? Bem,no sabemos qual o seu valor de verdade, no sabemos se verdadeira ou falsa, mas sabemos que tem de ser verda-deira ou falsa. Por isso, tambm exprime uma proposio.

Uma proposio uma entidade abstracta, o pensa-mento que uma frase declarativa exprime literalmente. Ora,um mesmo pensamento pode ser expresso por diferentesfrases. Por isso, a mesma proposio pode ser expressa por

diferentes frases. Por exemplo, as frases "O governo demitiuo presidente da TAP" e "O presidente da TAP foi demitidopelo governo" exprimem a mesma proposio. As frasesseguintes tambm exprimem a mesma proposio: "A neve branca" e "Snow is white".

Ambiguidade e vaguezaPara alm de podermos ter a mesma proposio expres-

sa por diferentes frases, tambm pode acontecer que amesma frase exprima mais do que uma proposio. Nestecaso dizemos que a frase ambgua. A frase "Em cada dezminutos, um homem portugus pega numa mulher ao colo" ambgua, porque exprime mais do que uma proposio: tantopode querer dizer que existe um homem portugus (sempreo mesmo) que, em cada dez minutos, pega numa mulher aocolo, como pode querer dizer que, em cada dez minutos, um

homem portugus (diferente) pega numa mulher ao colo (asua).

Por vezes, deparamo-nos com frases que no sabemoscom exactido o que significam. So as frases vagas. Umafrase vaga uma frase que d origem a casos de fronteiraindecidveis. Por exemplo, "O professor de Filosofia calvo" uma frase vaga, porque no sabemos a partir de quantoscabelos que podemos considerar que algum calvo.Quinhentos? Cem? Dez? Outro exemplo de frase vaga oseguinte: "Muitos alunos tiveram negativa no teste de Filoso-fia". Muitos, mas quantos? Dez? Vinte? Em filosofia devemosevitar as frases vagas, pois, se no comunicarmos com exac-tido o nosso pensamento, como que podemos esperarque os outros nos compreendam?

Validade e verdadeA verdade uma propriedade das proposies. A valida-de uma propriedade dos argumentos. incorrecto falar emproposies vlidas. As proposies no so vlidas neminvlidas. As proposies s podem ser verdadeiras ou fal-sas. Tambm incorrecto dizer que os argumentos so ver-dadeiros ou que so falsos. Os argumentos no so verda-deiros nem falsos. Os argumentos dizem-se vlidos ou inv-lidos.

Quando que um argumento vlido? Por agora, referireiapenas a validade dedutiva. Diz-se que um argumento dedu-tivo vlido quando impossvel que as suas premissassejam verdadeiras e a concluso falsa. Repara que, para umargumento ser vlido, no basta que as premissas e a con-

cluso sejam verdadeiras. preciso que seja impossvel quesendo as premissas verdadeiras, a concluso seja falsa.Considera o seguinte argumento:Premissa 1: Alguns treinadores de futebol ganham mais

de 100000 euros por ms.Premissa 2: O Mourinho um treinador de futebol.

Concluso: Logo, o Mourinho ganha mais de 100000 eurospor ms.

Neste momento (Julho de 2004), em que o Mourinho treinador do Chelsea e os jornais nos informam que ganhamuito acima de 100000 euros por ms, este argumento tempremissas verdadeiras e concluso verdadeira e, contudo,no vlido. No vlido, porque no impossvel que aspremissas sejam verdadeiras e a concluso falsa. Podemosperfeitamente imaginar uma circunstncia em que o Mouri-

nho ganhasse menos de 100000 euros por ms (por exem-plo, o Mourinho como treinador de um clube do campeonatoregional de futebol, a ganhar 1000 euros por ms), e, nestecaso, a concluso j seria falsa, apesar de as premissasserem verdadeiras. Portanto, o argumento invlido.

Considera, agora, o seguinte argumento, anteriormenteapresentado:

Premissa: O Joo e o Jos so alunos do 11. ano.Concluso: Logo, o Joo aluno do 11. ano.

Este argumento vlido, pois impossvel que apremissa seja verdadeira e a concluso falsa. Ao contr-rio do argumento que envolve o Mourinho, neste no po-demos imaginar nenhuma circunstncia em que a premis-sa seja verdadeira e a concluso falsa. Podes imaginar o

caso em que o Joo no aluno do 11. ano. Bem, istosignifica que a concluso falsa, mas a premissa tambm falsa.

Repara, agora, no seguinte argumento:Premissa 1: Todos os nmeros primos so pares.Premissa 2: Nove um nmero primo.

Concluso: Logo, nove um nmero par.Este argumento vlido, apesar de quer as premissas

quer a concluso serem falsas. Continua a aplicar-se a no-o de validade dedutiva anteriormente apresentada: im-possvel que as premissas sejam verdadeiras e a conclusofalsa. A validade de um argumento dedutivo depende daconexo lgica entre as premissas e a concluso do argu-mento e no do valor de verdade das proposies que cons-tituem o argumento. Como vs, a validade uma proprieda-

de diferente da verdade. A verdade uma propriedade dasproposies que constituem os argumentos (mas no dosargumentos) e a validade uma propriedade dos argumen-tos (mas no das proposies).

Ento, repara que podemos ter:Argumentos vlidos, com premissas verdadeiras e con-

cluso verdadeira;Argumentos vlidos, com premissas falsas e concluso

falsa;Argumentos vlidos, com premissas falsas e concluso

verdadeira;Argumentos invlidos, com premissas verdadeiras e

concluso verdadeira;Argumentos invlidos, com premissas verdadeiras e

concluso falsa;Argumentos invlidos, com premissas falsas e conclusofalsa; e

Argumentos invlidos, com premissas falsas e conclusoverdadeira.

Mas no podemos ter:Argumentos vlidos, com premissas verdadeiras e con-

cluso falsa.Como podes determinar se um argumento dedutivo v-

lido? Podes seguir esta regra:Mesmo que as premissas do argumento no sejam ver-

dadeiras, imagina que so verdadeiras. Consegues imaginaralguma circunstncia em que, considerando as premissasverdadeiras, a concluso falsa? Se sim, ento o argumento

no vlido. Se no, ento o argumento vlido.Lembra-te: num argumento vlido, se as premissas foremverdadeiras, a concluso no pode ser falsa.

Argumentos slidos e argumentos bonsEm filosofia no suficiente termos argumentos vlidos,

pois, como viste, podemos ter argumentos vlidos com con-

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cluso falsa (se pelo menos uma das premissas for falsa).Em filosofia pretendemos chegar a concluses verdadeiras.Por isso, precisamos de argumentos slidos.

Um argumento slido um argumento vlido com pre-missas verdadeiras.

Um argumento slido no pode ter concluso falsa, pois,por definio, vlido e tem premissas verdadeiras; ora, avalidade exclui a possibilidade de se ter premissas verdadei-ras e concluso falsa.

O seguinte argumento vlido, mas no slido:Todos os minhotos so alentejanos.Todos os bracarenses so minhotos.Logo, todos os bracarenses so alenteja-nos.

Este argumento no slido, porque a primeira premissa falsa (os minhotos no so alentejanos). E porque temuma premissa falsa que a concluso falsa, apesar de oargumento ser vlido.

O seguinte argumento slido ( vlido e tem premissasverdadeiras):

Todos os minhotos so portugueses.Todos os bracarenses so minhotos.Logo, todos os bracarenses so portugue-

ses.Tambm podemos ter argumentos slidos deste tipo:Scrates era grego.Logo, Scrates era grego.

( claro que me estou a referir ao Scrates, filsofo gregoe mestre de Plato, e no ao Scrates, candidato a secret-rio geral do Partido Socialista. Por isso, a premissa e a con-cluso so verdadeiras.)

Este argumento slido, porque tem premissa verdadei-ra e impossvel que, sendo a premissa verdadeira, a con-cluso seja falsa. slido, mas no um bom argumento,porque a concluso se limita a repetir a premissa.

Um argumento bom (ou forte) um argumento vlidopersuasivo (persuasivo, do ponto de vista racional).

Fica agora claro por que que o argumento "Scrates

era grego; logo, Scrates era grego", apesar de slido, no um bom argumento: a razo que apresentamos a favor daconcluso no mais plausvel do que a concluso e, porisso, o argumento no persuasivo.

Talvez recorras a argumentos deste tipo, isto , argumen-tos que no so bons (apesar de slidos), mais vezes do queimaginas. Com certeza, j viveste situaes semelhantes aesta:

Pai, preciso de um aumento da "mesa-da".

Porqu? Porque sim.

O que temos aqui? O seguinte argumento:Preciso de um aumento da "mesada".

Logo, preciso de um aumento da "mesa-da".Afinal, querias justificar o aumento da "mesada" (conclu-

so) e no conseguiste dar nenhuma razo plausvel paraesse aumento. Limitaste-te a dizer "Porque sim", ou seja,"Preciso de um aumento da 'mesada', porque preciso de umaumento da 'mesada'". Como vs, trata-se de um argumentomuito mau, pois com um argumento deste tipo no conse-gues persuadir ningum.

Mas no penses que s os argumentos em que a conclu-so repete a premissa que so maus. Um argumento mau (ou fraco) se as premissas no forem mais plausveis doque a concluso. o que acontece com o seguinte argumen-to:

Se a vida no faz sentido, ento Deus noexiste.Mas Deus existe.Logo, a vida faz sentido.

Este argumento vlido, mas no um bom argumento,porque as premissas no so menos discutveis do que a

concluso.Para que um argumento seja bom (ou forte), as premissas

tm de ser mais plausveis do que a concluso, como acon-tece no seguinte exemplo:

Se no se aumentarem os nveis de exigncia de estudoe de trabalho dos alunos no ensino bsico, ento os alunoscontinuaro a enfrentar dificuldades quando chegarem aoensino secundrio.

Ora, no se aumentaram os nveis de exigncia de estu-

do e de trabalho dos alunos no ensino bsico.Logo, os alunos continuaro a enfrentar dificuldadesquando chegarem ao ensino secundrio.

Este argumento pode ser considerado bom (ou forte),porque, alm de ser vlido, tem premissas menos discutveisdo que a concluso.

As noes de lgica que acabei de apresentar so ele-mentares, certo, mas, se as dominares, ajudar-te-o afazer um melhor trabalho na disciplina de Filosofia e, porven-tura, noutras.

Proposies simples e compostasAs proposies simples ou atmicas so assim caracteri-

zadas por apresentarem apenas uma idia. So indicadaspelas letras minsculas: p, q, r, s, t...

As proposies compostas ou moleculares so assimcaracterizadas por apresentarem mais de uma proposioconectadas pelos conectivos lgicos. So indicadas pelasletras maisculas: P, Q, R, S, T...

Obs: A notao Q(r, s, t), por exemplo, est indicando quea proposio composta Q formada pelas proposies sim-ples r, s e t.

Exemplo:Proposies simples:p: O nmero 24 mltiplo de 3.q: Braslia a capital do Brasil.r: 8 + 1 = 3 . 3s: O nmero 7 mpart: O nmero 17 primoProposies compostasP: O nmero 24 divisvel por 3 e 12 o dobro de 24.Q: A raiz quadrada de 16 4 e 24 mltiplo de 3.R(s, t): O nmero 7 mpar e o nmero 17 primo.

Noes de LgicaSrgio Biagi Gregrio

1. CONCEITO DE LGICALgica a cincia das leis ideais do pensamento e a arte

de aplic-los pesquisa e demonstrao da verdade.Diz-se que a lgica uma cincia porque constitui um

sistema de conhecimentos certos, baseados em princpiosuniversais. Formulando as leis ideais do bem pensar, a lgicase apresenta como cincia normativa, uma vez que seu obje-

to no definir o que , mas o que deve ser, isto ,as normas do pensamento correto.A lgica tambm uma arte porque, ao mesmo tempo

que define os princpios universais do pensamento, estabele-ce as regras prticas para o conhecimento da verdade (1).

2. EXTENSO E COMPREENSO DOS CONCEITOSAo examinarmos um conceito, em termos lgicos, deve-

mos considerar a sua extenso e a sua compreenso.Vejamos, por exemplo, o conceito homem.A extenso desse conceito refere-se a todo o conjunto

de indivduos aos quais se possa aplicar a designao ho-mem.

A compreenso do conceito homem refere-se ao con-

junto de qualidades que um indivduo deve possuir para serdesignado pelo termo homem: animal, vertebrado, mamfero,bpede, racional.

Esta ltima qualidade aquela que efetivamente distin-gue o homem dentre os demais seres vivos (2).

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3. JUZO E O RACIOCNIOEntende-se por juzo qualquer tipo de afirmao ou ne-

gao entre duas idias ou dois conceitos. Ao afirmarmos,por exemplo, que este livro de filosofia, acabamos deformular um juzo.

O enunciado verbal de um juzo denomina-do proposioou premissa.

Raciocnio- o processo mental que consiste em coor-denar dois ou mais juzos antecedentes, em busca de um

juzo novo, denominado concluso ou inferncia.Vejamos um exemplo tpico de raciocnio:1) premissa - o ser humano racional;2) premissa - voc um ser humano;concluso - logo, voc racional.

O enunciado de um raciocnio atravs da linguagem fala-da ou escrita chamado de argumento. Argumentar signifi-ca, portanto, expressar verbalmente um raciocnio (2).

4. SILOGISMOSilogismo o raciocnio composto de trs proposies,

dispostas de tal maneira que a terceira, chamada concluso,deriva logicamente das duas primeiras, chamadas premis-sas.

Todo silogismo regular contm, portanto, trs proposi-es nas quais trs termos so comparados, dois a dois.Exemplo: toda a virtude louvvel; ora, a caridade umavirtude; logo, a caridade louvvel (1).

5. SOFISMASofisma um raciocnio falso que se apresenta com a-

parncia de verdadeiro. Todo erro provm de um raciocnioilegtimo, portanto, de um sofisma.

O erro pode derivar de duas espcies de causas:das palavras que o exprimem ou das idias que o constitu-em. No primeiro, os sofismas de palavras ou verbais; nosegundo, os sofismas de idias ou intelectuais.

Exemplo de sofisma verbal: usar mesma palavra comduplo sentido; tomar a figura pela realidade.

Exemplo de sofisma intelectual: tomar por essencial oque apenas acidental; tomar por causa um simples ante-cedente ou mera circunstncia acidental (3).

LGICALgica- do grego logossignifica palavra, expresso,

pensamento, conceito, discurso, razo. Para Aristte-les, a lgica a cincia da demonstrao; Maritain a definecomo a arte que nos faz proceder, com ordem, facilmente esem erro, no ato prprio da razo; para Liard a cinciadas formas do pensamento. Poderamos ainda acrescentar: a cincia das leis do pensamento e a arte de aplic-lascorretamente na procura e demonstrao da verdade.

A filosofia, no correr dos sculos, sempre se preocupou

com o conhecimento, formulando a esse respeito vriasquestes: Qual a origem do conhecimento? Qual a sua es-sncia? Quais os tipos de conhecimentos? Qual o critrio daverdade? possvel o conhecimento? lgica no interessanenhuma dessas perguntas, mas apenas dar as regrasdopensamento correto. A lgica , portanto, uma disciplinapropedutica.

Aristteles considerado, com razo, o fundador da lgi-ca. Foi ele, realmente, o primeiro a investigar, cientificamen-te, as leis do pensamento. Suas pesquisas lgicas foramreunidas, sob o nome de Organon, por Digenes Larcio. Asleis do pensamento formuladas por Aristteles se caracteri-zam pelo rigor e pela exatido. Por isso, foram adotadaspelos pensadores antigos e medievais e, ainda hoje, so

admitidas por muitos filsofos.O objetivo primacial da lgica , portanto, o estudo da in-teligncia sob o ponto de vista de seu uso no conhecimento. ela que fornece ao filsofo o instrumento e a tcnica ne-cessria para a investigao segura da verdade. Mas, paraatingir a verdade, precisamos partir de dados exatos e racio-

cinar corretamente, a fim de que o esprito no caia em con-tradio consigo mesmo ou com os objetos, afirmando-osdiferentes do que, na realidade, so. Da as vrias divisesda lgica.

Assim sendo, a extenso e compreenso do conceito, ojuzo e o raciocnio, o argumento, o silogismo e o sofisma soestudados dentro do tema lgica. O silogismo, que umraciocnio composto de trs proposies, dispostos de talmaneira que a terceira, chamada concluso, deriva logica-

mente das duas primeiras chamadas premissas, tem lugar dedestaque. que todos os argumentos comeam com umaafirmao caminhando depois por etapas at chegar con-cluso. Srgio Biagi Gregrio

PROPOSIODenomina-se proposio a toda frase declarativa, expressaem palavras ou smbolos, que exprima um juzo ao qual sepossa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de doisvalores lgicos possveis: verdadeiro ou falso.So exemplos de proposies as seguintes sentenasdeclarativas:A capital do Brasil Braslia.23 > 10

Existe um nmero mpar menor que dois.Joo foi ao cinema ou ao teatro.No so proposies:1) frases interrogativas: Qual o seu nome?2) frases exclamativas: Que linda essa mulher!3) frases imperativas: Estude mais.4) frases optativas: Deus te acompanhe.5) frases sem verbo: O caderno de Maria.6) sentenas abertas (o valor lgico da sentena depende do

valor (do nome) atribudo a varivel):x maior que 2; x+y = 10; Z a capital do Chile.

PROPOSIO CATEGRICAProposio categrica faz uma afirmao da qual no fi-

caremos com duvidas.Por exemplo: O produto ser entregue hoje.Temos

certeza de que o produto ser entregue hoje.Mas, se a frase fosse: Talvez o produto seja entregue

hojeou O produto poder ser entregue hoje, toda acerteza se esvai.

Essas no so proposies categricas, e somos deixa-dos na dvida sobre quando o produto realmente ser entre-gue.

Um argumento categrico (formado por proposies ca-tegricas) , ento, o mais efetivo dos argumentos porquenos fornece certo conhecimento.

- PROPOSIO HIPOTTICA.A Hiptese (do gr. Hypthesis) uma proposio que se

admite de modo provisrio como verdadeira e como ponto departida a partir do qual se pode deduzir, pelas regras dalgica, um conjunto secundrio de proposies, que tm porobjetivo elucidar o mecanismo associado s evidncias edados experimentais a se explicar.

Literalmente pode ser compreendida como uma suposi-o ou proposio na forma de pergunta, uma conjetura queorienta uma investigao por antecipar caractersticas prov-veis do objeto investigado e que vale quer pela concordnciacom os fatos conhecidos quer pela confirmao atravs dededues lgicas dessas caractersticas, quer pelo confrontocom os resultados obtidos via novos caminhos de investiga-o (novas hipteses e novos experimentos).No possvel provar ou refutar uma hiptese, mas confir-

m-la ou invalid-la: provar e confirmar so coisas diferentesembora divisadas por uma linha tnue. Entretanto, para asquestes mais complexas, lembre-se, podem existir muitasexplicaes possveis, uma ou duas experincias talvez noprovem ou refutar uma hiptese.

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- TAUTOLOGIAA origem do termo vem de do grego taut, que significa "o

mesmo", mais logos, que significa "assunto".Portanto, tauto-logia dizer sempre a mesma coisa em termos diferentes.

Em filosofia diz-se que um argumento tautolgico quan-do se explica por ele prprio, s vezes redundanteou falaciosamente.

Por exemplo, dizer que "o mar azul porque reflete acor do cu e o cu azul por causa do mar" uma afirma-

tiva tautolgica.Um exemplo de dito popular tautolgico "tudo o que demais sobra".

Ela uma palavra usada na terminologia prpria da Lgi-ca e da Retrica.

Tautologia uma proposio dada como explicao oucomo prova, mas que, na realidade, apenas repete o que foidito.

Exemplo clssico o famoso 'subir para cima'ouo 'descer para baixo' (dizem que devemos evitar uso dasrepeties desnecessrias).

ARGUMENTOUm argumento pode ser definido como uma afirmao

acompanhada de justificativa (argumento retrico) ou comouma justaposio de duas afirmaes opostas, argumento econtra-argumento (argumento dialgico)1 .

Na lgica, um argumento um conjunto de uma ou maissentenas declarativas, tambm conhecidas comoproposies, ou ainda, premissas, acompanhadas de umaoutra frase declarativa conhecida comoconcluso.

Um argumento dedutivo afirma que a verdade de umaconcluso uma consequncia lgica daspremissas que aantecedem.

Um argumento indutivo afirma que a verdade daconcluso apenas apoiada pelas premissas.

Toda premissa, assim como toda concluso, pode serapenas verdadeira ou falsa; nunca pode ser ambgua.

Em funao disso, as frases que apresentam umargumento so referidas como sendo verdadeiras ou falsas,e em consequncia, so vlidas ou so invlidas.

Alguns autores referem-se concluso das premissasusando os termos declarao, frase, afirmao ouproposio.

A razo para a preocupao com a verdade ontolgica quanto ao significado dos termos (proposies)em particular. Seja qual termo for utilizado, toda premissa,bem como a concluso, deve ser capaz de ser apenasverdadeira ou falsa e nada mais: elas devemser truthbearers("portadores de verdade", em portugus).

Argumentos formais e argumentos informaisArgumentos informais so estudados na lgica informal.

So apresentados em linguagem comum e se destinam a sero nosso discurso dirio. Argumentos Formais so estudadosna lgica formal (historicamente chamada lgica simblica,mais comumente referida como lgica matemtica) e soexpressos em uma linguagem formal. Lgica informal podechamar a ateno para o estudo da argumentao, queenfatiza implicao, lgica formal e de inferncia.

Argumentos dedutivosO argumento dedutivo uma forma de raciocnio que

geralmente parte de uma verdade universal e chega a umaverdade menos universal ou singular. Esta forma deraciocnio vlida quando suas premissas, sendoverdadeiras, fornecem provas evidentes para sua concluso.Sua caracterstica principal a necessidade, uma vez quens admitimos como verdadeira as premissas teremos que

admitir a concluso como verdadeira, pois a conclusodecorre necessariamente das premissas. Dessa forma, oargumento deve ser considerado vlido. Um raciocniodedutivo vlido quando suas premissas, se verdadeiras,fornecem provas convincentes para sua concluso, isto ,

quando as premissas e a concluso esto de tal modorelacionados que absolutamente impossvel as premissasserem verdadeiras se a concluso tampouco for verdadeira(COPI, 1978, p.35). Geralmente os argumentos dedutivosso estreis, uma vez que eles no apresentam nenhumconhecimento novo. Como dissemos, a concluso j estcontida nas premissas. A concluso nunca vai alm daspremissas. Mesmo que a cincia no faa tanto uso dadeduo em suas descobertas, exceto a matemtica, ela

continua sendo o modelo de rigor dentro da lgica. Note queem todos os argumentos dedutivos a concluso j estcontida nas premissas.

1) S h movimento no carro se houver combustvel.O carro est em movimento.Logo, h combustvel no carro.

2) Tudo que respira um ser vivo.A planta respira.

Logo, a planta um ser vivo.

3) O som no se propaga no vcuo.Na lua tem vcuo.

Logo, no h som na lua.

4) S h fogo se houver oxignioNa lua no h oxignio.Logo, na lua no pode haver fogo.

5) P=QQ=RLogo, P=R

ValidadeArgumentos tanto podem ser vlidos ou invlidos. Se um

argumento vlido, e a sua premissa verdadeira, aconcluso deve ser verdadeira: um argumento vlido no

pode ter premissa verdadeira e uma concluso falsa.A validade de um argumento depende, porm, da realveracidade ou falsidade das suas premissas e e de suaconcluses. No entanto, apenas o argumento possui umaforma lgica. A validade de um argumento no umagarantia da verdade da sua concluso. Um argumento vlidopode ter premissas falsas e uma concluso falsa.

A Lgica visa descobrir as formas vlidas, ou seja, asformas que fazer argumentos vlidos. Uma Forma deArgumento vlida se e somente se todos os seusargumentos so vlidos. Uma vez que a validade de umargumento depende da sua forma, um argumento pode serdemonstrado como invlido, mostrando que a sua forma invlida, e isso pode ser feito, dando um outro argumento damesma forma que tenha premissas verdadeiras mas umafalsa concluso. Na lgica informal este argumento chamado de contador.

A forma de argumento pode ser demonstrada atravs dautilizao de smbolos. Para cada forma de argumento,existe um forma de declarao correspondente, chamadode Correspondente Condicional. Uma forma de argumento vlida Se e somente se o seu correspondente condicional uma verdade lgica. A declarao uma forma lgica deverdade, se verdade sob todas as interpretaes. Umaforma de declarao pode ser mostrada como sendo umalgica de verdade por um ou outro argumento, que mostra setratar de uma tautologia por meio de uma prova.

O correspondente condicional de um argumento vlido necessariamente uma verdade (verdadeiro em todos os

mundos possveis) e, por isso, se poderia dizer que aconcluso decorre necessariamente das premissas, ouresulta de uma necessidade lgica. A concluso de umargumento vlido no precisa ser verdadeira, pois dependede saber se suas premissas so verdadeiras.Tal concluso

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no precisa ser uma verdade: se fosse assim, seriaindependente das premissas. Exemplo: Todos os gregos sohumanos e todos os seres humanos so mortais, portanto,todos os gregos so mortais. Argumento vlido, pois se aspremissas so verdadeiras a concluso deve ser verdadeira.

ExemplosAlguns gregos so lgicos e alguns lgicos so chatos,

por isso, alguns gregos so chatos. Este argumento invlido porque todos os chatos lgicos poderiam ser

romanos!Ou estamos todos condenados ou todos ns somossalvos, no somos todos salvos por isso estamos todoscondenados. Argumento vlido,pois as premissas implicam aconcluso. (Lembre-se que no significa que a conclusotem de ser verdadeira, apenas se as premissas soverdadeiras e, talvez, eles no so, talvez algumas pessoasso salvas e algumas pessoas so condenadas, e talvezalguns nem salvos nem condenados!)

Argumentos podem ser invalidados por uma variedade derazes. Existem padres bem estabelecidos de raciocnioque tornam argumentos que os seguem invlidos; essespadres so conhecidos como falcias lgicas.

Solidez de um argumento

Um argumento slido um argumento vlido com aspremissas verdadeiras. Um argumento slido pode ser vlidoe, tendo ambas as premissas verdadeiras, deve seguir umaconcluso verdadeira.

Argumentos indutivosLgica indutiva o processo de raciocnio em que as

premissas de um argumento se baseiam na concluso, masno implicam nela. Induo uma forma de raciocnio quefaz generalizaes baseadas em casos individuais.

Induo matemtica no deve ser incorretamenteinterpretada como uma forma de raciocnio indutivo, que considerado no-rigoroso em matemtica. Apesar do nome,a induo matemtica uma forma de raciocnio dedutivo e totalmente rigorosa.

Nos argumentos indutivos as premissas do alguma

evidncia para a concluso. Um bom argumento indutivo teruma concluso altamente provvel. Neste caso, bemprovvel que a concluso realizar-se- ou ser vlida. Diz-seento que as premissas podero ser falsas ou verdadeiras eas concluses podero ser vlidas ou no vlidas. SegundoJohn Stuart Mill, existem algumas regras que se aplicam aosargumentos indutivos, que so: O mtodo da concordncia, omtodo da diferena, e o mtodo das variaesconcomitantes.

Argumentao convincenteUm argumento convincente se e somente se a

veracidade das premissas tornar verdade a provvelconcluso (isto , o argumento forte), e as premissas doargumento so, de fato, verdadeiras. Exemplo:

Nada Saberei se nada tentar.

Falcias e no argumentosUma falcia um argumento invlido que parece vlido,

ou um argumento vlido com premissas "disfaradas". Emprimeiro Lugar, as concluses devem ser declaraes,capazes de serem verdadeiras ou falsas. Em segundo lugarno necessrio afirmar que a concluso resulta daspremissas. As palavras, por isso, porque, normalmente econsequentemente separam as premissas a partir daconcluso de um argumento, mas isto no necessariamente assim. Exemplo: Scrates um homem etodos os homens so mortais, logo, Scrates mortal. Isso

claramente um argumento, j que evidente que aafirmao de que Scrates mortal decorre das declaraesanteriores. No entanto: eu estava com sede e, por isso, eubebi no um argumento, apesar de sua aparncia. Ele no

est reivindicando que eu bebi por causa da sede, eu poderiater bebido por algum outro motivo.

Argumentos elpticosMuitas vezes um argumento no vlido, porque existe

uma premissa que necessita de algo mais para torn-lovlido. Alguns escritores, muitas vezes, deixam de fora umapremissa estritamente necessria no seu conjunto depremissas se ela amplamente aceita e o escritor nopretende indicar o bvio. Exemplo: Ferro um metal, por

isso, ele ir expandir quando aquecido. (premissadescartada: todos os metais se expandem quandoaquecidos). Por outro lado, um argumento aparentementevlido pode ser encontrado pela falta de uma premissa - um"pressuposto oculto" - o que se descartou pode mostrar umafalha no raciocnio. Exemplo: Uma testemunhafundamentada diz Ningum saiu pela porta da frente, excetoo pastor, por isso, o assassino deve ter sado pela porta dosfundos. (hiptese que o pastor no era o assassino).

Retrica, dialtica e dilogos argumentativosConsiderando que os argumentos so formais (como se

encontram em um livro ou em um artigo de investigao), osdilogos argumentativos so dinmicos. Servem como umregistro publicado de justificao para uma afirmao.

Argumentos podem tambm ser interativos tendo comointerlocutor a relao simtrica. As premissas so discutidas,bem como a validade das inferncias intermedirias.A retrica a tcnica de convencer o interlocutor atravs daoratria, ou outros meios de comunicao. Classicamente, odiscurso no qual se aplica a retrica verbal, mas htambm e com muita relevncia o discurso escrito e odiscurso visual.

Dialtica significa controvrsia, ou seja, a troca deargumentos e contra-argumentos defendendo proposies. Oresultado do exerccio poder no ser pura e simplesmentea refutao de um dos tpicos relevantes do ponto de vista,mas uma sntese ou combinao das afirmaes opostas ou,pelo menos, uma transformao qualitativa na direo dodilogo.

Argumentos em vrias disciplinasAs declaraes so apresentadas como argumentos em

todas as disciplinas e em todas as esferas da vida. A Lgicaest preocupada com o que consititui um argumento e quaisso as formas de argumentos vlidos em todas asinterpretaes e, portanto, em todas as disciplinas. Noexistem diferentes formas vlidas de argumento, emdisciplinas diferentes.

Argumentos matemticosA base de verdade matemtica tem sido objeto de um

longo debate. Frege procurou demonstrar, em particular, queas verdades aritmticas podem ser obtidas a partir de lgicaspuramente axiomticas e, por conseguinte, so, no final,lgicas de verdades. Se um argumento pode ser expresso

sob a forma de frases em Lgica Simblica, ento ele podeser testado atravs da aplicao de provas. Este tem sidorealizado usando Axioma de Peano. Seja como for, umargumento em Matemtica, como em qualquer outradisciplina, pode ser considerado vlido apenas no caso depoder ser demonstrado que de uma forma tal que nopossa ter verdadeiras premissas e uma falsa concluso.

Argumentos polticosUm argumento poltico um exemplo de uma

argumentao lgica aplicada a poltica. ArgumentosPolticos so utilizados por acadmicos, meios decomunicao social, candidatos a cargos polticos efuncionrios pblicos. Argumentos polticos tambm soutilizados por cidados comuns em interaes de comentar e

compreender sobre os acontecimentos polticos.FORMA DE UM ARGUMENTOOs argumentos lgicos, em geral, possuem uma

certa forma(estrutura). Uma estrutura pode ser criada apartir da substituio de palavras diferentes ou sentenas,

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que geram uma substituio de letras (variveis lgicas) aologo das linhas da lgebra.

Um exemplo de um argumento:(1) Todos os humanos so mentirosos. Joo humano.

Logo, Joo mentiroso.Podemos reescrever o argumento separando cada

sentena em sua determinada linha:(2) Todo humano mentiroso.(3) Joo humano.

(4) Logo, Joo mentiroso.Substituimos os termos similares de (2-4) por letras, paramostrar a importncia da noo de forma de argumento aseguir:

(5) Todo H M.(6) J H.(7) Logo, J M.O que fizemos em C foi substituir "humano" por "H",

"Joo" por "J" e "mentiroso" por "M", como resultado dessasalteraes temos que (5-7) uma forma do argumentooriginal (1), ou seja (5-7) a forma de argumento de (1).Alm disso, cada sentena individual de (5-7) a forma desentena de uma respectiva sentena em (1).

Vale enfatizar que quando dois ou mais argumentos tm

a mesma forma, se um deles vlido, todos os outrostambm so, e se um deles invlido, todos os outrostambm so.

A CONTRARIOA contrario(ou a contrario sensu1 ) uma locuo

latina que qualifica um processo de argumentao em que aforma idntica a outro processo de argumentao, mas emque a hiptese e, por consequncia, a concluso so asinversas deste ltimo.2 Tal como na locuo "a pari", usava-se originalmente, em linguagem jurdica, para se referir a umargumento que, usado a respeito de uma dada espcie,poderia ser aplicado a outra espcie do mesmo gnero.Tornou-se posteriormente um tipo de raciocnio aplicvel aoutros campos do conhecimento em que a oposioexistente numa hiptese se reencontra tambm comooposio nas consequncias dessa hiptese.3

Muito utilizado em Direito, o argumento "a contrario" temde ser fundamentado nas leis lgicas de oposio porcontrrios, para que no se caia numargumentofalacioso.4 Assim, se duas proposies contrriasno podem ser simultaneamente verdadeiras, podem sersimultaneamente falsas, j que podem admitir a particularintermdia. Por exemplo, proposio verdadeira "todos osportugueses tm direito segurana social" ope-se aproposio falsa "nenhum portugus tem direito seguranasocial"; contudo, o contrrio da proposio falsa "todos osportugueses tm direito de voto" continua a ser falsa aproposio "nenhum portugus tem direito de voto", j que

existe um meio termo verdadeiro: "alguns portugueses tmdireito de voto". Da mesma forma, ao estar consignado naConstituio Portuguesa que "a lei estabelecer garantiasefectivas contra a obteno e utilizao abusivas, oucontrrias dignidade humana, de informaes relativas spessoas e famlias", pode-se inferir que "A lei poder noestabelecer garantias efectivas contra a obteno eutilizao abusivas, ou contrrias dignidade humana, deinformaes relativas s pessoas e famlias".

InfernciaInferncia, em Lgica, o ato ou processo de derivar

concluses lgicas de premissas conhecida oudecididamente verdadeiras. A concluso tambm chamadade idiomtica.

DefinioO processo pelo qual uma concluso inferida a partir demltiplas observaes chamado processo dedutivo ouindutivo, dependendo do contexto. A concluso pode sercorreta , incorreta, correta dentro de um certo grau depreciso, ou correta em certas situaes. Concluses

inferidas a partir de observaes mltiplas podem sertestadas por observaes adicionais.

Exemplos de InfernciaFilsofos gregos definiram uma srie de silogismos,

corrigir trs inferncias de peas, que podem ser usadoscomo blocos de construo para o raciocnio mais complexo.Comeamos com o mais famoso de todos eles:

Todos os homens so mortaisScrates um homem

Portanto, Scrates mortal.Processo acima chamado de dedutivo.O leitor pode verificar que as premissas e a concluso

so verdadeiras, mas a lgica segue junto com inferncia: averdade da concluso segue da verdade das premissas? Avalidade de uma inferncia depende da forma da inferncia.Isto , a palavra "vlido" no se refere verdade daspremissas ou a concluso, mas sim a forma da inferncia.Uma inferncia pode ser vlida, mesmo se as partes sofalsos, e pode ser nulo, mesmo se as peas so verdadeiras.Mas uma forma vlida e com premissas verdadeiras sempreter uma concluso verdadeira.

considere o seguinte exemplo:Todos os frutos so doces.

A banana uma fruta.Portanto, a banana doce.Para a concluso ser necessariamente verdadeira, as

premissas precisam ser verdadeiras.Agora nos voltamos para um forma invlida.Todo A B.C um B.Portanto, C um A.Para mostrar que esta forma invlida, buscamos

demonstrar como ela pode levar a partir de premissasverdadeiras para uma concluso falsa.

Todas as mas so frutas. (Correto)Bananas so frutas. (Correto)Portanto, as bananas so mas. (Errado)Um argumento vlido com premissas falsas podem levar

a uma falsa concluso:Todas as pessoas gordas so gregas.John Lennon era gordo.Portanto, John Lennon era grego.Quando um argumento vlido usado para derivar uma

concluso falsa de premissas falsas, a inferncia vlida,pois segue a forma de uma inferncia correta. Um argumentovlido pode tambm ser usado para derivar uma conclusoverdadeira a partir de premissas falsas:

Todas as pessoas gordas so msicosJohn Lennon era gordoPortanto, John Lennon era um msicoNeste caso, temos duas falsas premissas que implicam

uma concluso verdadeira.

Inferncia incorretaUma inferncia incorreta conhecida como uma falcia.Os filsofos que estudam lgica informal compilaram grandeslistas deles, e os psiclogos cognitivos tm documentadomuitas vieses de raciocnio humano que favorecem oraciocnio incorreto.

Inferncia logica automticaOs sistemas de IA primeiro providenciaram "inferncia

logica automtica". Uma vez que estes j foram temas deinvestigao extremamente popular, levaram a aplicaesindustriais sob a forma de sistemas especialistas e depois"business rule engines".

O trabalho de um sistema de inferncia a de estenderuma base de conhecimento automaticamente. A base de

conhecimento (KB) um conjunto de proposies querepresentam o que o sistema sabe sobre o mundo. Vriastcnicas podem ser utilizadas pelo sistema para estender KBpor meio de inferncias vlidas.

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RACIOCNIOO Raciocnio(ou raciocinar) uma

operao lgica discursiva e mental. Neste, o intelectohumano utiliza uma ou mais proposies, para concluir,atravs de mecanismos de comparaes e abstraes, quaisso os dados que levam s respostas verdadeiras, falsas ouprovveis. Das premissas chegamos a concluses.

Foi pelo processo do raciocnio que ocorreu odesenvolvimento do mtodo matemtico, este considerado

instrumento puramente terico e dedutivo, que prescinde dedados empricos.Atravs da aplicao do raciocnio, as cincias como um

todo evoluram para uma crescente capacidade do intelectoem alavancar o conhecimento. Este utilizado para isolarquestes e desenvolver mtodos e resolues nas maisdiversas questes relacionadas existncia e sobrevivnciahumana.

O raciocnio, um mecanismo da inteligncia, gerou aconvico nos humanos de que a razo unida imaginao constituem os instrumentos fundamentais paraa compreenso do universo, cuja ordem interna, alis, temum carter racional, portanto, segundo alguns, este processo a base do racionalismo.

Logo, resumidamente, o raciocnio pode ser consideradotambm um dos integrantes dos mecanismos dosprocessos cognitivos superiores da formao de conceitos eda soluo de problemas, sendo parte do pensamento.

Lgica De PredicadosGottlob Frege, em sua Conceitografia (Begriffsschrift),

descobriu uma maneira de reordenar vrias sentenas paratornar sua forma lgica clara, com a inteno de mostrarcomo as sentenas se relacionam em certos aspectos. Antesde Frege, a lgica formal no obteve sucesso alm do nvelda lgica de sentenas: ela podia representar a estrutura desentenas compostas de outras sentenas, usando palavrascomo "e", "ou" e "no", mas no podia quebrar sentenas empartes menores. No era possvel mostrar como "Vacas soanimais" leva a concluir que "Partes de vacas so partes deanimais".

A lgica sentencial explica como funcionam palavrascomo "e", "mas", "ou", "no", "se-ento", "se e somente se", e"nem-ou". Frege expandiu a lgica para incluir palavras como"todos", "alguns", e "nenhum". Ele mostrou como podemosintroduzir variveis e quantificadores para reorganizarsentenas.

"Todos os humanos so mortais" se torna "Para todox, se x humano, ento x mortal.".

"Alguns humanos so vegetarianos" se torna "Existe

algum (ao menos um) x tal que x humano e x vegetariano".

Frege trata sentenas simples sem substantivos comopredicados e aplica a eles to "dummy objects" (x). A estruturalgica na discusso sobre objetos pode ser operada deacordo com as regras da lgica sentencial, com algunsdetalhes adicionais para adicionar e remover quantificadores.O trabalho de Frege foi um dos que deu incio lgica formalcontempornea.

Frege adiciona lgica sentencial: o vocabulrio de quantificadores (o A de ponta-

cabea, e o E invertido) e variveis;

e uma semntica que explica que as variveisdenotam objetos individuais e que osquantificadores tm algo como a fora de "todos" ou"alguns" em relao a esse objetos;

mtodos para us-los numa linguagem.

Para introduzir um quantificador "todos", voc assumeuma varivel arbitrria, prova algo que deva ser verdadeira, eento prova que no importaque varivel voc escolha, queaquilo deve ser sempre verdade. Um quantificador "todos"pode ser removido aplicando-se a sentena para um objetoem particular. Um quantificador "algum" (existe) pode seradicionado a uma sentena verdadeira de qualquer objeto;pode ser removida em favor de um temo sobre o qual vocainda no esteja pressupondo qualquer informao.

Origem: Wikipdia, a enciclopdia livre.

Lgica De Primeira OrdemA linguagem da lgica proposicional no adequada para

representar relaes entre objetos. Por exemplo, se fsse-mos usar uma linguagem proposicional para representar"Joo pai de Maria e Jos pai de Joo" usaramos duasletras sentenciais diferentes para expressar idias semelhan-tes (por exemplo, P para simbolizar "Joo pai de Maria "e Qpara simbolizar "Jos pai de Joo" ) e no estaramoscaptando com esta representao o fato de que as duasfrases falam sobre a mesma relao de parentesco entreJoo e Maria e entre Jos e Joo. Outro exemplo do limite dopoder de expresso da linguagem proposicional, sua inca-

pacidade de representar instncias de um propriedade geral.Por exemplo, se quisssemos representar em linguagemproposicional "Qualquer objeto igual a si mesmo " e "3 igual a 3", usaramos letras sentenciais distintas para repre-sentar cada uma das frases, sem captar que a segunda frase uma instncia particular da primeira. Da mesma forma, sepor algum processo de deduo chegssemos conclusoque um indivduo arbitrrio de um universo tem uma certapropriedade, seria razovel querermos concluir que estapropriedade vale para qualquer indivduo do universo. Po-rm, usando uma linguagem proposicional para expressar"um indivduo arbitrrio de um universo tem uma certa pro-priedade " e "esta propriedade vale para qualquer indivduodo universo" usaramos dois smbolos proposicionais distin-tos e no teramos como concluir o segundo do primeiro.

A linguagem de primeira ordem vai captar relaes entreindivduos de um mesmo universo de discurso e a lgica deprimeira ordem vai permitir concluir particularizaes de umapropriedade geral dos indivduos de um universo de discurso,assim como derivar generalizaes a partir de fatos quevalem para um indivduo arbitrrio do universo de discurso.Para ter tal poder de expresso, a linguagem de primeiraordem vai usar um arsenal de smbolos mais sofisticado doque o da linguagem proposicional.

Considere a sentena "Todo objeto igual a si mesmo".Esta sentena fala de uma propriedade (a de ser igual a

si mesmo) que vale para todos os indivduos de um universode discurso, sem identificar os objetos deste universo.

Considere agora a sentena "Existem nmeros naturais

que so pares".Esta sentena fala de um propriedade (a de ser par) quevale para alguns (pelo menos um dos) indivduos do universodos nmeros naturais, sem, no entanto, falar no nmero" 0"ou "2" ou "4",etc em particular.

Para expressar propriedades gerais (que valem para to-dos os indivduos) ou existenciais (que valem para algunsindivduos) de um universo so utilizados os quantificadores(universal) e (existencial), respectivamente. Estes quanti-ficadores viro sempre seguidos de um smbolo de varivel,captando, desta forma, a idia de estarem simbolizando aspalavras "para qualquer" e "para algum".

Considere as sentenas:"Scrates homem"

"Todo aluno do departamento de Cincia da Computaoestuda lgica"A primeira frase fala de uma propriedade (ser homem) de

um indivduo distinguido ("Scrates") de um domnio de dis-curso. A segunda frase fala sobre objetos distiguidos "depar-tamento de Cincia da Computao" e "lgica". Tais objetos

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podero ser representados usando os smbolos , soc para"Scrates", cc para "departamento de Cincia da Computa-o", lg para "lgica".Tais smbolos so chamados de smbo-los de constantes.

As propriedades "ser aluno de ", "estuda" relacionam ob-jetos do universo de discurso considerado, isto , "ser alunode " relaciona os indivduos de uma universidade com osseus departamentos, "estuda" relaciona os indivduos deuma universidade com as matrias. Para representar tais

relaes sero usados smbolos de predicados (ou relaes).Nos exemplos citados podemos usar Estuda e Aluno queso smbolos de relao binria. As relaes unrias expres-sam propriedades dos indivduos do universo (por exemplo"ser par","ser homem"). A relao "ser igual a" tratata deforma especial, sendo representada pelo smbolo de igualda-de .

Desta forma podemos simbolizar as sentenas conside-radas nos exemplos da seguinte forma:

- "Todo mundo igual a si mesmo " por x xx;- "Existem nmeros naturais que so pares" por

xPar(x);- "Scrates homem" por Homem(soc);- "Todo aluno do departamento de Cincia da Compu-

tao estuda lgica" porx(Aluno(x,cc) Estuda(x,lg)).J vimos como representar objetos do domnio atravs de

constantes.Uma outra maneira de represent-los atravezdo uso de smbolos de funo.

Por exemplo podemos representar os nmeros naturais"1", "2", "3", etc atravs do uso de smbolo de funo, diga-mos, suc, que vai gerar nomes para os nmeros naturais "1","2", "3", etc. a partir da constante 0, e. g., "1" vai ser denota-do por suc(0), "3" vai ser denotado por suc(suc(suc(0))), etc.Seqncias de smbolos tais como suc(0) e suc(suc(suc(0)))so chamadas termos.

Assim, a frase "Todo nmero natural diferente de zero sucessor de um nmero natural" pode ser simbolizada por

x(x0 ysuc(y)x). Fonte: UFRJLgica De Vrios ValoresSistemas que vo alm dessas duas distines

(verdadeiro e falso) so conhecidos como lgicas no-aristotlicas, ou lgica de vrios valores (ou ento lgicaspolivaluadas, ou ainda polivalentes).

No incio do sculo 20, Jan ukasiewicz investigou aextenso dos tradicionais valores verdadeiro/falso para incluirum terceiro valor, "possvel".

Lgicas como a lgica difusa foram ento desenvolvidascom um nmero infinito de "graus de verdade",representados, por exemplo, por um nmero real entre 0 e 1.Probabilidade bayesiana pode ser interpretada como umsistema de lgica onde probabilidade o valor verdadesubjetivo.

O principal objetivo ser a investigao da validade deARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um aCONCLUSO e os demais PREMISSAS. Os argumentosesto tradicionalmente divididos em DEDUTIVOSe INDUTI-VOS.

ARGUMENTO DEDUTIVO: vlido quando suas pre-missas, se verdadeiras, a concluso tambm verdadeira.

Premissa : "Todo homem mortal."Premissa : "Joo homem."Concluso : "Joo mortal."

ARGUMENTO INDUTIVO:a verdade das premissas nobasta para assegurar a verdade da concluso.

Premissa : " comum aps a chuva ficar nublado."

Premissa : "Est chovendo."Concluso: "Ficar nublado."As premissas e a concluso de um argumento, formula-

das em uma linguagem estruturada, permitem que o argu-mento possa ter uma anlise lgica apropriada para a verifi-

cao de sua validade. Tais tcnicas de anlise sero trata-das no decorrer deste roteiro.

OS SMBOLOS DA LINGUAGEM DO CLCULO PRO-POSICIONAL

VARIVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas mins-culas p,q,r,s,.... para indicar as proposies (frmulasatmicas) .

Exemplos: A lua quadrada: p

A neve branca : q CONECTIVOS LGICOS: As frmulas atmicas po-dem ser combinadas entre si e, para representar taiscombinaes usaremos os conectivos lgicos:: e, : ou, : se...ento, : se e somente se, : no

Exemplos: A lua quadrada ea neve branca. : p q (p e q so cha-

mados conjuntos)

A lua quadrada ou a neve branca. : p q ( p e q so

chamados disjuntos)

Sea lua quadrada entoa neve branca. : p q(p o

antecedentee q oconseqente)

A lua quadrada se e somente sea neve branca. : p q

A lua no quadrada. :p

SMBOLOS AUXILIARES: ( ), parntesesque servempara denotar o "alcance" dos conectivos;Exemplos: Sea lua quadrada ea neve branca ento a lua

no quadrada.: ((p q) p) A lua no quadrada se e somente se a neve

branca.: ((p) q))

DEFINIO DE FRMULA:1. Toda frmula atmica uma frmula.2. Se Ae Bso frmulas ento (A B), (A B), (A B),

(A B) e (A)tambm so frmulas.

3. So frmulas apenas as obtidas por 1. e 2. .

Com o mesmo conectivo adotaremos a conveno pela

direita.Exemplo: a frmula p q r p qdeve ser entendida

como (((p q) (r)) ( p (q)))

ParadoxoO frasco com auto-fluxo de Robert Boyle preenche a si

prprio neste diagrama, mas mquinas de moto contnuo noexistem.

Um paradoxo uma declarao aparentementeverdadeira que leva a uma contradio lgica, ou a umasituao que contradiz a intuio comum. Em termossimples, um paradoxo "o oposto do que algum pensa sera verdade". A identificao de um paradoxo baseado emconceitos aparentemente simples e racionais tem, por vezes,

auxiliado significativamente o progresso da cincia, filosofia ematemtica.A etimologia da palavra paradoxo pode ser traada a

textos que remontam aurora da Renascena, um perodode acelerado pensamento cientfico na Europa e sia quecomeou por volta do ano de 1500. As primeiras formas dapalavra tiveram por base a palavra latina paradoxum, mastambm so encontradas em textos em grego comoparadoxon (entretanto, o Latim fortemente derivado doalfabeto grego e, alm do mais, o Portugus tambmderivado do Latim romano, com a adio das letras "J" e "U").A palavra composta do prefixo para-, que quer dizer"contrrio a", "alterado" ou "oposto de", conjungada com osufixo nominal doxa, que quer dizer "opinio". Compare com

ortodoxia e heterodoxo.Na filosofia moral, o paradoxo tem um papel central nosdebates sobre tica. Por exemplo, a admoestao tica para"amar o seu prximo" no apenas contrasta, mas est emcontradio com um "prximo" armado tentando ativamentematar voc: se ele bem sucedido, voc no ser capaz de

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am-lo. Mas atac-lo preemptivamente ou restringi-lo no usualmente entendido como algo amoroso. Isso pode serconsiderado um dilema tico. Outro exemplo o conflitoentre a injuno contra roubar e o cuidado para com a famliaque depende do roubo para sobreviver.

Deve ser notado que muitos paradoxos dependem deuma suposio essencial: que a linguagem (falada, visual oumatemtica) modela de forma acurada a realidade quedescreve. Em fsica quntica, muitos comportamentos

paradoxais podem ser observados (o princpio da incertezade Heisenberg, por exemplo) e alguns j foram atribudosocasionalmente s limitaes inerentes da linguagem e dosmodelos cientficos. Alfred Korzybski, que fundou o estudo daSemntica Geral, resume o conceito simplesmentedeclarando que, "O mapa no o territrio". Um exemplocomum das limitaes da linguagem so algumas formas doverbo "ser". "Ser" no definido claramente (a rea deestudos filosficos chamada ontologia ainda no produziu umsignificado concreto) e assim se uma declarao incluir "ser"com um elemento essencial, ela pode estar sujeita aparadoxos.

Tipos de paradoxos

Temas comuns em paradoxos incluem auto-refernciasdiretas e indiretas, infinitudes, definies circulares econfuso nos nveis de raciocnio.

W. V. Quine (1962) distinge trs classes de paradoxos:Os paradoxos verdicos produzem um resultado que

parece absurdo embora seja demonstravelmenteverdadeiro. Assim, o paradoxo do aniversrio deFrederic na opereta The Pirates of Penzanceestabelece o fato surpreendente de que uma pessoapode ter mais do que N anos em seu N-simoaniversrio. Da mesma forma, o teorema daimpossibilidade de Arrow envolve o comportamentode sistemas de votao que surpreendente mas,ainda assim, verdadeiro.

Os paradoxos falsdicos estabelecem um resultado que

no somente parece falso como tambm o demonstravelmente h uma falcia dademonstrao pretendida. As vrias provas invlidas(e.g., que 1 = 2) so exemplos clssicos, geralmentedependendo de uma diviso por zero despercebida.Outro exemplo o paradoxo do cavalo.

Um paradoxo que no pertence a nenhuma das classesacima pode ser uma antinomia, uma declarao quechega a um resultado auto-contraditrio aplicandoapropriadamente meios aceitveis de raciocnio. Porexemplo, o paradoxo de Grelling-Nelson apontaproblemas genunos na nossa compreenso dasidias de verdade e descrio.

ProposioSegundo Quine, toda proposio uma frase mas nemtoda frase uma proposio; uma frase uma proposioapenas quando admite um dos dois valores lgicos: Falso(F)ou Verdadeiro(V). Exemplos:

1. Frases que no so proposieso Pare!o Quer uma xcara de caf?o Eu no estou bem certo se esta cor me agrada2. Frases que so proposieso A lua o nico satlite do planeta terra (V)o A cidade de Salvador a capital do estado do Ama-

zonas (F)o O numero 712 mpar (F)

o Raiz quadrada de dois um nmero irracional (V)Composio de Proposies possvel construir proposies a partir de proposies

j existentes. Este processo conhecido por Composiode Proposies. Suponha que tenhamos duas proposies,

1. A = "Maria tem 23 anos"

2. B = "Maria menor"Pela legislao corrente de um pas fictcio, uma pessoa

considerada de menor idade caso tenha menos que 18anos, o que faz com que a proposio Bseja F, na interpre-tao da proposio Aser V. Vamos a alguns exemplos:1. "Maria no tem 23 anos"(noA)2. "Maria no menor"(no(B))3. "Maria tem 23 anos" e"Maria menor"(Ae B)4. "Maria tem 23 anos" ou"Maria menor"(Aou B)

5. "Maria no tem 23 anos" e"Maria menor"(no(A)eB)6. "Maria no tem 23 anos" ou"Maria menor" (no(A)ou B)7. "Maria tem 23 anos" ou "Maria no menor" (A ouno(B))8. "Maria tem 23 anos" e "Maria no menor" (A eno(B))9. Se "Maria tem 23 anos" ento "Maria menor" (A=>B)10. Se "Maria no tem 23 anos" ento "Maria menor"(no(A)=> B)11. "Maria no tem 23 anos" e "Maria menor"(no(A)eB)

12. "Maria tem 18 anos" equivalente a "Maria no menor"(C no(B))Note que, para compor proposies usou-se os smbolos

no (negao), e (conjuno), ou (disjuno), => (impli-cao) e, finalmente, (equivalncia). So os chamadosconectivos lgicos. Note, tambm, que usou-se um smbolopara representar uma proposio: Crepresenta a proposioMaria tem 18 anos. Assim, no(B) representa Maria no menor, uma vez que Brepresenta Maria menor.

Algumas Leis Fundamentais

Lei do Meio ExcluidoUm proposio falsa (F) ouverdadeira (V): no h meiotermo.

Lei da Contradio Uma proposio no pode ser,simultaneamente, Ve F.

Lei da Funcionalidade

O valor lgico (V ou F) de umaproposio composta unica-mente determinada pelos valo-res lgicos de suas proposiesconstituintes.

PROPOSIES E CONECTIVOSProposio - todo o conjunto de palavras ou smbolos

que exprimem um pensamento de sentido completo, isto ,afirmam fatos ou exprimem juzos que formamos a respeitode determinados entes.

Exemplo:a) a lua um satlite da Terra;b) O sol amarelo;c) Braslia a capital do Brasil.

Princpios Adotados como Regras Fundamentais doPensamento, na Lgica Matemtica

Princpio da no contradio- uma proposio nopode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Princpio do terceiro excludo - toda proposio ou verdadeira ou falsa, isto , verifica-se sempre umdestes casos e nunca um terceiro.

Valores Lgicos das ProposiesChama-se valor lgico de uma proposio a verdade se a

proposio verdadeira e a falsidade se a proposio falsa.Valor Lgico Smbolo de Designao

Verdade V

Falsidade F

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Toda proposio tem um e um s dos valores V, F (de

acordo os dois princpios supracitados).Exemplo:a) o mercrio mais pesado que a gua; valor lgico da

proposio: verdade (V)b) o sol gira em torno da Terra; valor lgico da proposi-

o: falsidade (F)

TIPOS DE PROPOSIOSimples ou Atmicas- a proposio que no contmnenhuma outra proposio como parte integrante de si mes-ma. As proposies simples so geralmente designadas porletras minsculas p, q, r, s ..., chamadas letras proposicio-nais.

Observao: Pode ser usada qualquer letra do alfabetominsculo para representar uma proposio simples.

Exemplo:p: Oscar prudente;q: Mrio engenheiro;r: Maria morena.

Composta ou Molecular - a proposio formada pela

combinao de duas ou mais proposies. So habitualmen-te designadas por letras maisculas P, Q, R, S ..., tambmdenominadas letras proposicionais.

Exemplo:p : Walter engenheiro E Pedro estudante;q : Mauro dedicado OUPedro trabalhador;r : SEFlvio estudioso ENTOser aprovado.Observao: As proposies compostas so tambm

denominadas frmulas proposicionais ou apenas frmulas.Quando interessa destacar que uma proposio composta P formada pela combinao de proposies simples, escre-ve-se: P ( p, q, r ...);

Conectivos- so palavras que se usam para formar no-vas proposies a partir de outras.

Exemplo:P: 6 par E8 cubo perfeito;Q: NOvai chover;R: SEMauro mdico, ENTO sabe biologia;S: o tringulo ABC issceles OUequiltero;T: o tringulo ABC equiltero SE E SOMENTE SE

equiltero.So conectivos usuais em lgica Matemtica as palavras

que esto grifadas, isto "e", "ou", "no", "se ... ento", "... see somente se ..."

VERDADES E MENTIRASEste item trata de questes em que algumas personagensmentem e outras falam a verdade. Trata-se de descobrir qual

o fato correto a partir das afirmaes que forem feitas poreles, evidentemente, sem conhecer quem fala verdade ouquem fala mentira.Tambm no h uma teoria a respeito. A aprendizagem dassolues de questes desse tipo depende apenas de treina-mento.Um dos mtodos para resolver questes desse tipo consiste

em considerar uma das afirmaes verdadeira e, em segui-da, verificar se as demais so ou no consistentes com ela.Isto significa verificar se h ou no contradio nas demaisafirmaes.Exemplo 1 - (Fiscal Trabalho 98 ESAF) - Um crime foicometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo decinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Per-

guntadossobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:Armando: "Sou inocente"Celso: "Edu o culpado"Edu: "Tarso o culpado"Juarez: "Armando disse a verdade"

Tarso: "Celso mentiu"Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e quetodos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que oculpado :a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e)TarsoVamos considerar que Armando foi quem mentiu.Neste caso ele o culpado. Isto contradiz s palavras deCelso, pois se Armando mente, Celso teria dito uma verdade.

Teramos ento dois culpados: Armando e Tarso. Portanto,Armando no mente.Passemos agora a considerar Celso o mentiroso.Isto consistente. Pois, como j foi dito, Armando diz a ver-dade . Edu inocente (Celso mente). Edu diz a verdade.Juarez tambm disse uma verdade. Tarso tambm foi verda-deiro. Portanto, o culpado Tarso. Resposta: letra (e)

Exemplo 2 - (CVM 2000 ESAF)- Cinco colegas foram a umparque de diverses e um deles entrou sem pagar. Apanha-dos por um funcionrio do parque, que queria saber qualdeles entrou sem pagar, ao serem interpelados:

No fui eu, nem o Manuel, disse Marcos. Foi o Manuel ou a Maria, disse Mrio.

Foi a Mara, disse Manuel. O Mrio est mentindo, disse Mara. Foi a Mara ou o Marcos, disse Maria.Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas men-tiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi:a) Mrio b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria

Faamos como no item anterior.Hiptese 1: Marcos o mentiroso. Se Marcos o mentiro-so, ento um dos dois entrou sem pagar. Mas como Manueldeve dizer a verdade (s um mente), Mara entrou sem pagar.Assim, seriam dois a entrar sem pagar Mara e Marcos ouMara e Manuel. Concluso Marcos fala a verdade.Hiptese 2: Mrio o mentiroso.Nesse caso, nem Maria enem Manuel teria entrado sem pagar. Pois quando se usa o

ou, ser verdade desde que um deles seja verdadeiro. Estoeliminados Marcos, Manuel e Maria, de acordo com a verda-de de Marcos. Seria ento Mara pois Manuel no seria men-tiroso. Mara teria dito a verdade pois, de acordo com a hip-tese somente Mrio o mentiroso. Como Maria tambm noseria a mentirosa, nem Mara nem Marcos teria entrado sempagar.Portanto: Marcos, Manuel, Mario e Maria so os que paga-ram a entrada e Mara a que no pagou.Mas e se houver outra possibilidade? Devemos ento tentaroutras hipteses.Hiptese 3: Manuel o mentiroso. Como Marcos fala averdade, no foi ele (Marcos) e nem o Manuel. Como Mriotambm fala a verdade, um dos dois Manuel ou Maria entrou

sem pagar. Mas Marcos pagou. Ento Maria entrou sempagar. Maria tambm diz a verdade, No teria pago a entra-da, Marcos ou Mara. Mas, outra vez, Marcos pagou. EntoMara no pagou a entrada.Temos duas pessoas que entraram sem pagar: Maria e Ma-ra. Isto falso, pois somente uma pessoa no pagou a en-trada.Hiptese 4: Mara a mentirosa. No foi Marcos e nemManuel, segundo a afirmao de Marcos que verdadeiro.Como no pode ter sido o Manuel, pela fala de Mrio, teriasido Maria. Mas segundo Manuel, teria sido Mara. Novamen-te dois mentirosos. Hiptese que no pode ser aceita poisteriam duas pessoas entrado sem pagar.Hiptese 5: Maria a mentirosa. Se Maria mentirosa,

Mrio no poderia estar mentido. Ento Mara estaria falandomentira. Seriam ento, pelo menos, duas mentirosas. Maria eMara.A nica hiptese que satisfaz as condies do problema ade nmero dois, da qual se conclui que Mara a pessoa queno pagou a entrada. Assim, a resposta : letra (c).

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Exemplo 3 - (Fiscal Trabalho 98)Trs amigos Lus, Mar-cos e Nestor so casados com Teresa, Regina e Sandra(no necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre osnomes das respectivas esposas, os trs fizeram as seguintesdeclaraes:Nestor: "Marcos casado com Teresa"Lus: "Nestor est mentindo, pois a esposa de Marcos

Regina"

Marcos: "Nestor e Lus mentiram, pois a minha esposa Sandra"Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido

de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas deLus, Marcos e Nestor so, respectivamente:a) Sandra, Teresa, Regina.b) Sandra, Regina, Teresa.c) Regina, Sandra, Teresa.d) Teresa, Regina, Sandra.e) Teresa, Sandra, Regina.Soluo:Temos dois fatos a considerar:1 O marido de Teresa disse a verdade.2 O marido de Sandra mentiu.

Todos os trs fazem afirmaes sobre a esposa de Marcos.Ora, somente um estar dizendo a verdade.Temos ento:

1 hiptese: Nestor fala a verdade. A esposa de Marcos Teresa. Mas como o nico a falar a verdade Nestor, suaesposa deveria ser Tereza.Portanto, Nestor no fala a verdade.2 hiptese: Lus fala a verdade.A esposa dele seria aTeresa, pois o marido de Teresa fala a verdade. Marcosestando mentindo, a esposa de Marcos, no Sandra e nemTeresa. Regina. O que confirma a veracidade da afirmaode Lus. A esposa de Nestor ser ento Sandra. A esposa deLus Teresa. A esposa de Marcos Regina. A esposa deNestor Sandra.

Isto permite afirmar que a opo (d) est correta.Mas, vejamos se existe outra possibilidade, tentando a tercei-ra hiptese.3 hiptese: Marcos fala a verda