Primeira Lista de Exercícios - Engenharia Civil

Disciplina Cálculo III - IFSP

1o sem. - 2015

Prof. José Renato

. Revisão. Funções com valores vetoriais.

Exercício 1: Desenhe a imagem.

a) F (t) = (1, t) b) F (t) = (t, t+ 1)

c) F (t) = (t, t3) d) F (t) = (t2, t)

e) F (t) = (cos(t), 2 sen(t)) f) F (t) = (et cos(t), et sen(t)), t ≥ 0

g) F (t) = (sen(t), t)

Exercício 2: Desenhe a imagem.

a) F (t) = (1, t, 1), t ∈ IR b) F (t) = (1, 1, t), t ≥ 0

c) F (t) = (t, t, 1), t ≥ 0 d) F (t) = (1, 0, t), t ∈ IR

e) F (t) = (t, t, 1 + sen(t)), t ≥ 0 f) F (t) = (t, cos(t), sen(t)), t ≥ 0

g) F (t) = (cos(t), sen(t), 2) h) F (t) = (cos(t), sen(t), e−t), t ≥ 0

Exercício 3: Sejam ~F (t) = t~i+ sen(t)~j + 2~k e ~G(t) = 3~i+ t~j + t2 ~k. Calcule.

a) ~F (t) . ~G(t) b) e−t ~G(t)

c) ~G(t)− 2~F (t) d) ~F (t) ∧ ~G(t)

Exercício 4: Calcule ~r(t) ∧ ~x(t), onde ~r(t) = t~i+ 2~j + t2 ~k e ~x(t) = t~i− ~j + ~k.

Exercício 5: Sejam ~F (t) e ~G(t) três funções de�nidas em A ⊂ IR e a valores em IR3.

Veri�que que ~F (t) ∧ ~G(t) = − ~G(t) ∧ ~F (t).

Exercício 6: Calcule.

a) limt→1

~F (t), onde ~F (t) =

(√t− 1

t− 1, t2,

t− 1

t

)

1

b) limt→0

~F (t), onde ~F (t) =

(tg(3 t)

t,e2 t − 1

t, t3)

c) limt→2

~r(t), onde ~r(t) =t3 − 8

t2 − 4~i+

cos(πt

)t− 2

~j + 2 t~k

Respostas:

a) (1

2, 1, 0) b) (3, 2, 0)

c) 3~i+π

4~j + 4~k

Exercício 7: Sejam ~F (t) = (F1, F2, ..., Fn) uma função de uma variável real a valores em

IRn e f uma função de uma variável real a valores reais. Suponha que limt→t0

~F (t) = ~a(t) e

limt→t0

f(t) = L, onde ~a(t) = (a1, a2, ..., an) e L real. Prove que limt→t0

f(t) ~F (t) = L~a(t).

Exercício 8: Calculed~F

dted2 ~F

dt2.

a) ~F (t) =(3 t2, e−t, ln(t2 + 1)

)b) ~F (t) =

3√t2~i+ cos(t2)~j + 3 t~k

c) ~F (t) = sen(5 t)~i+ cos(4 t)~j − e−2 t ~k

Respostas:

a)d~F

dt=

(6 t, −e−t, 2 t

1 + t2

);

d2 ~F

dt2=

(6, e−t,

2− 2 t2

(1 + t2)2

)

b)d~F

dt=

2

3 3√t~i− 2 t sen(t2)~j + 3~k;

d2 ~F

dt2=−2

9 t 3√t~i− (2 sen(t2) + 4 t2 cos(t2))~j

c)d~F

dt= 5 cos(5 t)~i− 4 sen(4 t)~j + 2 e−2 t ~k;

d2 ~F

dt2= −25 sen(5 t)~i− 16 cos(4 t)~j − 4 e−2 t ~k

Exercício 9: Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto

dado.

a) F (t) = (cos(t), sen(t), t) e F (π

3)

b) G(t) = (t2, t) e G(1)

c) F (t) =

(1

t,1

t, t2)

e F(2)

2

Respostas:

a) (x, y, z) =

(1

2,

√3

2,π

3

)+ λ

(−√3

2,1

2, 1

), λ ∈ IR

b) (x, y) = (1, 1) + λ (2, 1), λ ∈ IR

c) (x, y, z) =

(1

2,1

2, 4

)+ λ

(−1

4, −1

4, 4

), λ ∈ IR

Exercício 10: Sejam ~F (t) : I → IR3, I intervalo, derivável até a segunda ordem em I.

Suponha que exista um real λ tal que, para todo t em I,d2 ~F (t)

dt2= λ ~F (t). Prove que ~F (t)∧ d

~F (t)

dté constante em I.

Exercício 11: Um ponto se move no espaço de modo que ‖~v(t)‖ = k para todo t, ondek > 0 é uma constante. Prove que ~v(t) .~a(t) = 0 para todo t.

Exercício 12: Calcule.

a)

∫ 1

0[t~i+ et~j] dt; (Resp.:

1

2~i+ (e− 1)~j)

b)

∫ 1

−1[sen(3 t)~i+

1

1 + t2~j + ~k] dt; (Resp.:

π

2~j − 2~k)

Exercício 13: Sejam ~F (t) = t~i+ ~j + et ~k e ~G(t) =~i+~j + ~k. Calcule.

a)

∫ 1

0

~F (t) ∧ ~G(t) dt;

b)

∫ 1

0

~F (t) . ~G(t) dt.

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