Primeira Lista de Exercícios de Cálculo IISeqüências e Séries

1 – Determine se a seqüência converge ou diverge; se convergir, ache o limite.

a) {6−56n

} b) {arctg nn} c) {1,00001

n

1000} d) {−1n ln nn

}

e) { n2

ln n1} f) {4n

212n2−1

} g) {cos nn} h) {e−n ln n}

i) {−1nn33−n} j) {nsin 1n} k) {n1/n} l) {n1−n}

m) {−1nn2n−n} n) {sin nn} o) {n41 / n4} n) {81 /n}

2 – Uma seqüência {xk} é definida pela recorrência x k1=xk−tg x k . Supondo que lim xn=L , prove queL=s , para algum número inteiro s.

3 – Uma seqüência de números racionais é descrita como:11, 32, 75, 1712, ... , a

b, a2bab

, ...

Aqui o numerador forma uma seqüência, o denominador forma uma segunda seqüência e as razões formam uma terceira seqüencia. Sejam xn e yn , respectivamente, o numerador e o denominador da n-ésima fração r n=xn/ yn .

a) Verifique que x12−2y1

2=−1 , x 22−2y2

2=1 e, mais geral, se a 2−2b2=−1 ou 1 , então a2b2−ab2=1 ou −1 , respectivamente.

b) As frações r n=xn/ yn se aproximam de um limite quando n aumenta. Qual é este limite?

4 – Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, para determinar se a série é convergente ou divergente, no caso de convergência, determine a soma.

a) ∑n=1

∞[ 1 /4 n3/ 4n] b) ∑n=1

∞[ 3/2 n2 /3n] c) ∑n=1

∞[2−n−2−3n] d) ∑n=1

∞ [ 1nn1

− 18n ]

5 – Verifique que a função determinada pelo n-ésimo termo da série verifica a hipótese do teste da integral e use o teste para verificar se a série converge ou diverge.

a) ∑n=1

∞ 132n2 b) ∑n=1

∞ nn 21

c) ∑n=2

∞ lnnn d) ∑n=2

∞ 1n lnn 2

e) ∑n=1

∞n tan 1

n f) ∑n=1

∞ nn 21

g) ∑n=1

∞sech2n h) ∑n=0

∞ 8arctan n1n2

6 – Use o teste da comparação para determinar se a série converge ou diverge.

a) ∑n=1

∞ 1n 4n21 b) ∑n=1

∞ 2cosnn2

c) ∑n=1

∞ arctg nn d) ∑n=1

∞ 1n !

e) ∑n=1

∞ 1nn f) ∑n=1

∞ 1−nn2 n g) ∑n=2

∞ tanhnn2 h) ∑n=1

∞ 1122232...n2

7 – Utilize o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.

a) ∑n=1

∞ 3n12n b) ∑n=1

∞ 2n−1

5nn1 c) ∑n=1

∞ 100n

n! d) ∑n=1

∞ n !en

e) ∑n=1

∞ n1n2n! f) ∑n=1

∞ n !2n1 ! g) ∑n=2

∞ lnnn h) ∑n=1

∞ n !nn

8 – Utilize o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou se o teste é inconclusivo.

a) ∑n=1

∞ 1n n b) ∑n=2

∞ 5n1

ln nnc) ∑n=1

∞ n2n1

n

d) ∑n=2

∞ nln nn

e) ∑n=1

∞1− 3

nn

f) ∑n=1

∞ lnn n

nng) ∑n=2

∞ nln nn /2 h) ∑n=1

∞ 3n

n32n

9 – Determine se a série verifica as condições do teste das séries alternadas e se a série converge ou diverge.

a) ∑n=1

∞−1n−1 1

n27 b) ∑n=1

∞−1n−1 n

5nc) ∑n=1

∞−1n1e−n d) ∑n=1

∞−1n e

2n1e2n

e) ∑n=1

∞−1n−1 n1

n1f) ∑n=1

∞−1n−1 ln n

ng) ∑n=1

∞−1n−1101 /n h) ∑n=1

∞−1n sen n

n2

10 – Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

a) ∑n=1

∞ n−1n−1

2n1b) ∑n=1

∞−1n 1

n 2/3c) ∑n=1

∞−1n ln n

n d) ∑n=1

∞ −10n

n!

e) ∑n=1

∞ sennn31

f) ∑n=1

∞−1n cosn

ng) ∑n=1

∞−1n−1 sech n h) ∑n=1

∞−1n−1 ln n

n−ln n

11 – Ache o intervalo de convergência da série de potência.

a) ∑n=1

∞ n2

2nxn b) ∑n=1

∞−1n−1 1

nxn c) ∑n=1

∞ ln nn3xn d) ∑n=1

∞ 1n n1

x−2n

e) ∑n=1

∞−1n n

n

n1 x−3n f) ∑n=0

∞ 13n1

3x1n g) ∑n=1

∞ x−1 n

n h) ∑n=0

∞ x−2 2n1

2n

12 – Ache uma série de potências para as funções dadas e determine seu raio de convergência.

a) 11−3x b) 1

27x c) x2

1−x2d) x

21x−2

e) ln 1−x f) e3x g) 113x

h) cos3x

i) x sen3x j) cosx2 k) sen2 x l) 10x