Primeira Parte - nebula.wsimg.com

Top – Matemática

Primeira Parte

1. (Ueg) Um aluno terá que escrever a palavra PAZ uti-

lizando sua caneta de quatro cores distintas, de tal forma

que nenhuma letra dessa palavra tenha a mesma cor. O

número de maneiras que esse aluno pode escrever essa

palavra é

a) 64 b) 24 c) 12 d) 4

2. (Ufu) A senha de acesso ao cofre de um carro-forte é

formada por d algarismos, em que esses algarismos

pertencem ao conjunto de inteiros 0,1,2, ,9 . Um dos

guardas observa o colega digitar o último algarismo da

senha, concluindo que esta corresponde a um número

ímpar. Assuma que esse guarda demore 1,8 segundos

para realizar cada tentativa de validação da senha, sem

realizar repetições, de maneira que, assim procedendo,

no máximo em duas horas e meia terá sucesso na ob-

tenção da senha.

Segundo as condições apresentadas, conclui-se que o

valor de d é um número

a) quadrado perfeito. b) primo.

c) divisível por 3. d) múltiplo de 5.

3. (Epcar) Uma caixa contém 10 bolas das quais 3 são

amarelas e numeradas de 1 a 3; 3 verdes numeradas

de 1 a 3 e mais 4 bolas de outras cores todas distintas

e sem numeração. A quantidade de formas distintas de

se enfileirar essas 10 bolas de modo que as bolas de

mesmo número fiquem juntas é

a) 8 7! b) 7!

c) 5 4! d) 10!

4. (Fatec) No Boxe, um dos esportes olímpicos, um pu-

gilista tem à sua disposição quatro golpes básicos: o jab,

o direto, o cruzado e o gancho. Suponha que um pugi-

lista, preparando-se para os Jogos Olímpicos do Rio, em

2016, queira criar uma sequência com 6 golpes, empre-

gando necessariamente dois jabs, dois diretos, um cru-

zado e um gancho.

Assim, o número máximo de sequências que ele poderá

criar será de

a) 180. b) 160. c) 140.

d) 120. e) 100.

5. (Imed) O número de candidatos inscritos para reali-

zação do último vestibular de verão, em um determinado

curso, corresponde ao número de anagramas da palavra

VESTIBULAR que começam por VE e terminam por AR.

Esse número é igual a:

a) 120. b) 240. c) 360.

d) 540. e) 720.

6. (ifsp) Um banco está testando um novo produto e dis-

ponibilizou a alguns dos seus clientes acesso via inter-

net para esse produto, por meio de senhas compostas

por cinco vogais distintas e dois números pares distintos,

de 2 a 8, nessa ordem, ou seja, primeiro as vogais e

depois os números. O número de clientes que podem

acessar esse novo produto, via internet, é:

a) 22. b) 3.520. c) 1.440.

d) 180. e) 920.

7. (Efomm) A quantidade de anagramas da palavra

MERCANTE que não possui vogais juntas é

a) 40320. b) 38160. c) 37920.

d) 7200. e) 3600.

8. (Upf) Na figura a seguir, as linhas horizontais e verti-

cais representam ruas e os quadrados representam

quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento

mínimo ligando A a B é:

a) 40.320 b) 6.720 c) 256

d) 120 e) 56

9. (Unisc) Newton possui 7 livros distintos, sendo 3 de

Álgebra, 2 de Cálculo e 2 de Geometria. O número de

maneiras diferentes que Newton pode organizar esses

livros em uma estante, de forma que os livros de um

mesmo assunto permaneçam juntos, é

a) 24 b) 36 c) 56

d) 72 e) 144

10. (Upe) Um palíndromo ou capicua é um número, que

se lê da mesma maneira nos dois sentidos, ou seja, da

esquerda para a direita ou ao contrário, como 333, 1661

e 28482. Assinale a alternativa correspondente à quan-

tidade de palíndromos que são números pares de cinco

21 Top – Matemática

algarismos do nosso sistema de numeração.

a) 300 b) 400 c) 500

d) 600 e) 800

11. (Uemg) “Genius era um brinquedo muito popular na

década de 1980 (...). O brinquedo buscava estimular a

memorização de cores e sons. Com formato semelhante

a um OVNI, possuía 4 botões de cores distintas que emi-

tiam sons harmônicos e se iluminavam em sequência.

Cabia aos jogadores repetir o processo sem errar”.

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. (Adaptado).

Considerando uma fase do jogo em que 3 luzes irão

acender de forma aleatória e em sequência, podendo

cada cor acender mais de uma vez.

O número máximo de formas que essa sequência de 3

luzes poderá acender é:

a) 12. b) 24. c) 36. d) 64.

12. (Uece) No Brasil, os veículos de pequeno, médio e

grande porte que se movimentam sobre quatro ou mais

pneus são identificados com placas alfanuméricas que

possuem sete dígitos, dos quais três são letras do alfa-

beto português e quatro são algarismos de 0 a 9. inclu-

sive estes. Quantos desses veículos podem ser

emplacados utilizando somente letras vogais e algaris-

mos pares?

a) 78625. b) 78125.

c) 80626. d) 80125.

13. (Ueg) Uma montadora de carros oferece a seus cli-

entes as seguintes opções na montagem de um carro: 2

tipos de motores (1.8 ou 2.0), 2 tipos de câmbios (ma-

nual ou automático), 6 cores (branco, preto, vermelho,

azul, cinza ou prata) e 3 tipos de acabamento (simples,

intermediário ou sofisticado). De quantas maneiras dis-

tintas pode-se montar esse carro?

a) 4 b) 13 c) 24

d) 36 e) 72

14. (G1 - ifpe) Um auditório em forma de um salão cir-

cular dispõe de 6 portas, que podem ser utilizadas tanto

como entrada ou para saída do salão. De quantos mo-

dos distintos uma pessoa que se encontra fora do audi-

tório pode entrar e sair do mesmo, utilizando como porta

de saída uma porta diferente da que utilizou para entrar?

a) 6 b) 5 c) 12

d) 30 e) 36

15. (ifba) De acordo com o DETRAN de uma certa ci-

dade, ainda estão disponíveis os prefixos de placa de

automóveis com três letras, conforme modelo a seguir:

M

Se estiverem disponíveis para o 2º espaço as letras X,

Y e Z, e para o 3º espaço as letras letras A, B, C, D, E,

F, G e H, então o número de prefixos disponíveis para

emplacamento é:

a) 18 b) 24 c) 28

d) 36 e) 60

16. (Enem) Uma família composta por sete pessoas

adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consul-

tou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo

para a data escolhida estava quase lotado. Na figura,

disponibilizada pelo site as poltronas ocupadas estão

marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são

as mostradas em branco.

O número de formas distintas de se acomodar a família

nesse voo é calculado por

a) 9!

2! b)

9!

7! 2! c) 7!

d) 5!

4!2! e)

5! 4!

4! 3!

17. (Puc) No vestiário de uma Academia de Ginástica

há exatamente 30 armários, cada qual para uso indivi-

dual. Se, no instante em que dois alunos dessa Acade-

mia entram no vestiário para mudar suas roupas, apenas

8 dos armários estão desocupados, quantas opções

eles terão para escolher seus respectivos armários?

a) 14 b) 28 c) 48

d) 56 e) 112

18. (Upe) A vendedora de roupas está arrumando os

cabides da vitrine de uma loja. Ela deve pendurar 5 ca-

misas, 3 bermudas e 2 casacos na vitrine, de modo

que cada peça fique uma do lado da outra sem sobrepo-

sição. Quantas são as disposições possíveis nessa ar-

rumação, de modo que as peças de um mesmo tipo

fiquem sempre juntas, lado a lado na vitrine?

a) 30 b) 120 c) 1.440

d) 4.320 e) 8.640

19. (Uerj) Uma criança ganhou seis picolés de três sa-

bores diferentes: baunilha, morango e chocolate, repre-

sentados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De

Top – Matemática 22

segunda a sábado, a criança consome um único picolé

por dia, formando uma sequência de consumo dos sa-

bores. Observe estas sequências, que correspondem a

diferentes modos de consumo:

(B, B, M, C, M, C) ou (B, M, M, C, B, C) ou

(C, M, M, B, B, C)

O número total de modos distintos de consumir os pico-

lés equivale a:

a) 6 b) 90

c) 180 d) 720

20. (Puc) Um fotógrafo foi contratado para tirar fotos de

uma família composta por pai, mãe e quatro filhos. Or-

ganizou as pessoas lado a lado e colocou os filhos entre

os pais. Mantida essa configuração, o número de formas

em que poderão se posicionar para a foto é

a) 4 b) 6 c) 24

d) 36 e) 48

21. (Pucrj) A quantidade de anagramas da palavra

CONCURSO é:

a) 2520 b) 5040 c) 10080

d) 20160 e) 40320

22. (Imed) O total de anagramas da palavra LÓGICA é

exatamente igual à medida, em graus, da soma dos ân-

gulos internos de um polígono regular. Considerando

que a soma dos ângulos internos de um polígono é dada

pela expressão S (n 2). 180 , onde n corresponde

ao número de lados, pode-se afirmar que esse polígono

é um:

a) Triângulo. b) Quadrado.

c) Pentágono. d) Hexágono.

e) Heptágono.

23. (Unesp) As urnas 1, 2 e 3 contêm, respectiva-

mente, apenas as letras das palavras OURO, PRATA e

BRONZE. Uma a uma são retiradas letras dessas urnas,

ordenadamente e de forma cíclica, ou seja, a primeira

letra retirada é da urna 1, a segunda é da urna 2, a ter-

ceira é da urna 3, a quarta volta a ser da urna 1, a quinta

volta a ser da urna 2, e assim sucessivamente. O nú-

mero mínimo de letras retiradas das urnas dessa ma-

neira até que seja possível formar, com elas, a palavra

PRAZER é igual a

a) 8. b) 6. c) 10.

d) 9. e) 7.

24. (Unicamp) O número mínimo de pessoas que deve

haver em um grupo para que possamos garantir que

nele há pelo menos três pessoas nascidas no mesmo

dia da semana é igual a

a) 21. b) 20.

c) 15. d) 14.

25. (Ueg) Numa lanchonete o lanche é composto por

três partes: pão, molho e recheio. Se essa lanchonete

oferece aos seus clientes duas opções de pão, três de

molho e quatro de recheio, a quantidade de lanches dis-

tintos que ela pode oferecer é de

a) 9 b) 12 c) 18 d) 24

26. (Ufjf) Quantos são os números de 7 algarismos dis-

tintos divisíveis por 5, começando com um número ím-

par, e tal que dois algarismos adjacentes não tenham a

mesma paridade, isto é, não sejam simultaneamente pa-

res ou simultaneamente ímpares?

a) 20.160 b) 3.600 c) 2.880

d) 1.440 e) 1.200

27. (Fatec) Dispondo de cinco cores distintas, uma pes-

soa pretende pintar as letras da palavra de

acordo com os seguintes critérios:

- na palavra, letras que são equidistantes da letra T terão

a mesma cor;

- letras adjacentes serão pintadas de cores distintas, e

- cada letra será pintada com uma única cor.

O número de modos distintos de se realizar essa pintura

é

a) 120. b) 90. c) 80.

d) 50. e) 40.

28. (Fgv) O total de números pares não negativos de

até quatro algarismos que podem ser formados com os

algarismos 0, 1, 2 e 3, sem repetir algarismos é

a) 26. b) 27.

c) 28. d) 29.

e) 30.

29. (Ueg) Érika resolve passear com a cachorrinha Kika

e, antes de sair do apartamento, escolhe colocar uma

roupa e uma coleira na cachorrinha. Se Kika tem 7 rou-

pas e 3 coleiras, todas distintas, de quantas maneiras

Érika pode escolher uma roupa e uma coleira para pas-

sear com a Kika?

a) 10 b) 21

c) 35 d) 42

30. (Enem) Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II,

III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro

quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que

podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9

ou 10. A campeã será a escola que obtiver mais pontu-

ação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de

empate, a campeã será a que alcançar a maior soma

das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e

Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano

no momento em que faltava somente a divulgação das

notas do jurado B no quesito Bateria.


Quesitos 1. Fantasia

e Alegoria

2. Evolução

e Conjunto

3. Enredo e

Harmonia

4. Bate-

ria To-

tal Jurado A B A B A B A B

Escola I 6 7 8 8 9 9 8 55

Escola II 9 8 10 9 10 10 10 66

Escola III 8 8 7 8 6 7 6 50

Escola IV 9 10 10 10 9 10 10 68

Escola V 8 7 9 8 6 8 8 54

Quantas configurações distintas das notas a serem atri-

buídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam cam-

peã a Escola II?

a) 21 b) 90 c) 750

d) 1.250 e) 3.125

31. (Uepa) Um jovem descobriu que o aplicativo de seu

celular edita fotos, possibilitando diversas formas de

composição, dentre elas, aplicar texturas, aplicar moldu-

ras e mudar a cor da foto. Considerando que esse apli-

cativo dispõe de 5 modelos de texturas, 6 tipos de

molduras e 4 possibilidades de mudar a cor da foto, o

número de maneiras que esse jovem pode fazer uma

composição com 4 fotos distintas, utilizando apenas os

recursos citados, para publicá-las nas redes sociais,

conforme ilustração abaixo, é:

a) 424 120 . b) 4120 . c) 24 120.

d) 4 120. e) 120.

32. (Uema) Uma professora de educação infantil de

uma escola, durante a recreação de seus 6 alunos, or-

ganiza-os em círculos para brincar. Considere a se-

guinte forma de organização dos alunos pela professora:

são três meninas e três meninos e cada menina ficará

ao lado de um menino, de modo alternado. As possibili-

dades de organização dos seus alunos são

a) 4. b) 6. c) 9.

d) 12. e) 16.

33. (Esc. Naval) A Escola Naval irá distribuir 4 viagens

para a cidade de Fortaleza, 3 para a cidade de Natal e

2 para a cidade de Salvador. De quantos modos dife-

rentes podemos distribuí-las entre 9 aspirantes, dando

somente uma viagem para cada um?

a) 288 b) 1260 c) 60800

d) 80760 e) 120960

34. (Mackenzie) Cinco casais resolvem ir ao teatro e

compram os ingressos para ocuparem todas as 10 pol-

tronas de uma determinada fileira. O número de manei-

ras que essas 10 pessoas podem se acomodar nas 10

poltronas, se um dos casais brigou, e eles não podem

se sentar lado a lado é

a) b) c)

d) e)

35. (Puc) O número de anagramas da palavra BRASIL

em que as vogais ficam lado a lado, e as consoantes

também, é

a) 24 b) 48 c) 96

d) 240 e) 720

36. (Upe) Na comemoração de suas Bodas de Ouro, Sr.

Manuel e D. Joaquina resolveram registrar o encontro

com seus familiares através de fotos. Uma delas suge-

rida pela família foi dos avós com seus 8 netos. Por su-

gestão do fotógrafo, na organização para a foto, todos

os netos deveriam ficar entre os seus avós.

De quantos modos distintos Sr. Manuel e D. Joaquina

podem posar para essa foto com os seus netos?

a) 100 b) 800 c) 40 320

d) 80 640 e) 3 628 800

37. (Enem) Um cliente de uma videolocadora tem o há-

bito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve,

sempre pega outros dois filmes e assim sucessiva-

mente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns

lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e

3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia

para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alu-

gará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia.

Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o

cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que

todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum

filme seja repetido.

De quantas formas distintas a estratégia desse cliente

poderá ser posta em prática?

a) 220 8! (3!) b) 8! 5! 3!

c) 8

8! 5! 3!

2

d)

2

8! 5! 3!

2

e) 8

16!

2

38. (Ufsm) Para cuidar da saúde, muitas pessoas bus-

cam atendimento em cidades maiores onde há centros

médicos especializados e hospitais mais equipados.

Muitas vezes, o transporte até essas cidades é feito por

vans disponibilizadas pelas prefeituras.

Em uma van com 10 assentos, viajarão 9 passageiros e

o motorista. De quantos modos distintos os 9 passagei-

ros podem ocupar suas poltronas na van?

a) 4.032. b) 36.288. c) 40.320.

d) 362.880. e) 403.200.

39. (ifce) O número de anagramas da palavra TAXISTA,

que começam com a letra X, é

a) 180. b) 240. c) 720.

d) 5040. e) 10080.

40. (Ufpr) A figura a seguir apresenta uma planificação

do cubo que deverá ser pintada de acordo com as regras

abaixo:

9 9! 8 9! 8 8!

10!

2

10!

4


Os quadrados que possuem um lado em comum, nessa

planificação, deverão ser pintados com cores diferentes.

Além disso, ao se montar o cubo, as faces opostas de-

verão ter cores diferentes. De acordo com essas regras,

qual o MENOR número de cores necessárias para se

pintar o cubo, a partir da planificação apresentada?

a) 2. b) 3. c) 4.

d) 5. e) 6.

41. (Upf) Alice não se recorda da senha que definiu no

computador. Sabe apenas que é constituída por quatro

letras seguidas, com pelo menos uma consoante.

Se considerarmos o alfabeto como constituído por 23 le-

tras, bem como que não há diferença para o uso de mai-

úsculas e minúsculas, quantos códigos dessa forma é

possível compor?

a) 423 b) 323 18 c) 323 72

d) 4 423 5 e) 4 418 5

42. (Uece) Paulo possui 709 livros e identificou cada um

destes livros com um código formado por três letras do

nosso alfabeto, seguindo a “ordem alfabética” assim de-

finida: AAA, AAB,..., AAZ, ABA, ABB,..., ABZ, ACA,...

Então, o primeiro livro foi identificado com AAA, o se-

gundo com AAB,... Nestas condições, considerando o

alfabeto com 26 letras, o código associado ao último livro

foi

a) BAG. b) BAU. c) BBC. d) BBG.

43. (Epcar (Afa)) Distribuiu-se, aleatoriamente, 7 bolas

iguais em 3 caixas diferentes. Sabendo-se que ne-

nhuma delas ficou vazia, a probabilidade de uma caixa

conter, exatamente, 4 bolas é

a) 25% b) 30% c) 40% d) 48%

44. (UNEB) DANOS DE ALIMENTOS ÁCIDOS

O esmalte dos dentes dissolve-se prontamente em con-

tato com substâncias cujo pH (medida da acidez) seja

menor do que 5,5. Uma vez dissolvido, o esmalte não é

reposto, e as partes mais moles e internas do dente logo

apodrecem. A acidez de vários alimentos e bebidas co-

muns é surpreendentemente alta; as substâncias lista-

das a seguir, por exemplo, podem causar danos aos

seus dentes com contato prolongado.

(BREWER. 2013, p. 64).

COMIDA/BEBIDA PH

SUCO DE LIMÃO/LIMA 1,8 – 2,4

CAFÉ PRETO 2,4 – 3,2

VINAGRE 2,4 – 3,4

REFRIGERANTES DE COLA 2,7

SUCO DE LARANJA 2,8 – 4,0

MAÇÃ 2,9 – 3,5

UVA 3,3 – 4,5

TOMATE 3,7 – 4,7

MAIONESE/MOLHO DE SALADA 3,8 – 4,0

CHÁ PRETO 4,0 – 4,2

Considere que em um laboratório foram verificadas, por

um técnico, duas amostras de alimentos que constam na

tabela e verificado, por ele, que o pH dessas substâncias

era, respectivamente, 3,2 e 4,2.

Nessas condições, de posse dessa tabela, pode-se afir-

mar que o número de maneiras distintas que esse téc-

nico tem para tentar identificar, de maneira correta, quais

foram os dois alimentos examinados é igual a

a) 9 b) 10 c) 12

d) 14 e) 15

Gabarito:

Resposta da questão 1:[B]

O número de maneiras que esse aluno pode escrever essa palavra é

igual ao arranjo de 4, 3 a 3. O seja:

3 34 4

4!A 4 3 2 A 24

(4 3)!

Resposta da questão 2:[A]

2,5h 9.000s

Se d é número de algarismos da senha ímpar, podemos escrever que

o número n de senhas será dado por:

d 1n 10 5 ou n 9000 1,8 5000

Portanto, d 110 5 5000 d 1 3 d 4

Logo. d é um quadrado perfeito.


Pode-se extrair do enunciado que:

1 2 3

1 2 3

1 2 3 4

3 bolas amarelas A , A , A

3 bolas verdes V , V , V

4 bolas coloridas C , C , C , C

Importante ressaltar que, embora as 4 bolas coloridas não sejam nu-

meradas, elas são todas distintas entre si. Matematicamente, não im-

porta se estas são distintas por cores ou numeração, motivo pela qual

elas foram nomeadas como 1 2 3 4C , C , C e C .

Os conjuntos de mesmo número devem ficar juntos, porém o enunci-

ado é claro em afirmar a “quantidade de formas distintas” ou seja, a

ordem é importante.

Pode-se reorganizar as 10 bolas, considerando que as de mesma nu-

meração fiquem juntas, em 7 blocos. Para ilustrar melhor, pode-se

identificar a primeira maneira de enfileirar as 10 bolas:

1 1 2 2 3 3 1 2 3 4A V A V A V C C C C

Daí, nota-se que o número de maneiras de enfileirar estes 7 blocos

identificados seria permutação de 7, ou seja 7!

Porém, é preciso lembrar que os blocos com elementos de mesma

numeração também podem ser permutados, pois como já vimos, a or-

dem é importante.

Assim, o número de maneiras que podemos permutar esses elemen-

tos isoladamente será:

1 1A V permutação de 2, ou seja, 2! 2 1 2




Assim, o número de maneias distintas de se enfileirar essas 10 bolas

de modo que as bolas de mesmo número fiquem juntas será:

2.2.2.7! = 8.7!


Utilizando a permutação simples com repetição de elementos, pode-

se escrever 2;2 2;26 6

6! 6 5 4 3 2!P P 180

2! 2! 1! 1! 2! 2 1

Resposta da questão 5:[E]

Permutando as letras S, T, I, B, U, L, temos, uma permutação simples:

6P 6! 6.5.4.3.2.1 720

VE _ _ _ _ _ _ AR

Resposta da questão 6:[C]

Considerando as vogais: a, e, i, o e u existem 5P 5! modos de dispor

as vogais, 4 modos de escolher o primeiro algarismo par e 3 modos de

escolher o segundo algarismo par. Portanto, pelo Princípio Multiplica-

tivo, segue que a resposta é 5!.4.3 = 1440.

Resposta da questão 7:[D]

Considere o diagrama, no qual cada espaço em branco pode ser ocu-

pado por no máximo uma vogal.

_M_R _C_N_ T _

Para que não haja vogais juntas, deve-se escolher 3 dos 6 espaços

disponíveis para inserir as vogais E, E e A. Isso pode ser feito de

6 6!20

3 3! 3!

maneiras. Definidos os espaços que serão ocupados

pelas vogais, ainda podemos permutá-las de (2)3

3!P 3

2! modos.

Ademais, também é possível permutar as consoantes de

5P 5! 120 maneiras.

Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é

20 3 120 7200.


, , ,... 5,3n 8

n! 8!P P 56

! ! !... 5! 3!

α βθ

α β θ


Tem-se 3P 3! maneiras de dispor os três blocos de livros, 3P 3!

modos de organizar os livros de Álgebra, 2P 2! maneiras de dispor

os livros de Cálculo e 2P 2! modos de dispor os livros de Geometria.

Em consequência, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é

3! 3! 2! 2! 144.


Desde que o algarismo das unidades deve ser par e diferente de zero,

temos 4 maneiras de escolher esse algarismo. Portanto, como existem

10 possibilidades para o algarismo das dezenas e 10 maneiras de es-

colher o algarismo das centenas, pelo Princípio Multiplicativo, segue

que a resposta é 4.10.10 = 400.


Pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 4.4.4 = 64.


Considerando como vogais apenas as letras a, e, i, o ou u há 5 pos-

sibilidades para cada letra e 5 possibilidades para cada algarismo. Em

consequência, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é

75 78125.

Observação: O item não considera o acordo ortográfico vigente.


O resultado será o produto do número de opções para cada item.

2.2.6.3 = 72.


Princípio Fundamental da Contagem

entrar sair

6 5 30


Com base no enunciado, pode-se deduzir:

M 3 possibilidades 8 possibilidades

Logo, o número total de possibilidades de prefixos será de 3.8 = 24.


O resultado pedido corresponde ao número de arranjos simples de 9

objetos tomados 7 a 7 isto é, 9, 7

9!A .

2!


O número de opções que eles terão para escolher seus respectivos

armários é igual ao arranjo de 8 armários 2 a 2. Logo,

28

8! 8 7 6!A 8 7 56

(8 2)! 6!


Supondo que as peças de um mesmo grupo (camisas, bermudas e

casacos) sejam distinguíveis, há 5P 5! 120 maneiras de arrumar

as camisas, 3P 3! 6 modos de arrumar as bermudas e 2P 2! ma-

neiras de arrumar os casacos. Além disso, ainda podemos arrumar os

3 grupos de 3P 3! 6 modos.

Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que o resultado pedido é

120.6.2.6 = 8640.


Sabendo que a criança ganhou dois picolés de cada sabor, tem-se que

o resultado pedido é dado por (2, 2, 2)6

6!P 90.

2! 2! 2!


Há 2 possibilidades para o posicionamento dos pais e 4P 4! 24

modos de posicionar os filhos. Desse modo, pelo Princípio Multiplica-

tivo, segue que o resultado é 2.24 = 48.

Resposta da questão 21: [C]

A palavra CONCURSO possui 8 letras, sendo que as letras C e O apa-

recem duas vezes cada. Para determinar o número de anagramas

desta palavra deveremos usar permutação com repetição.

2,28

8!P 10080

2! 2!


O número de anagramas possíveis da palavra LÓGICA é igual a per-

mutação de 6: 6! 6 5 4 3 2 1 720

A soma dos ângulos internos de um polígono regular se dá pela fór-

mula S (n 2) 180, onde n é o número de lado do polígono. Logo,

se S = 720, então S 720 (n 2) 180 n 6 .

O polígono regular de 6 lados chama-se hexágono.


Observando que as letras P e A figuram apenas na urna 2, e que as

letras E e Z figuram apenas na urna 3, podemos concluir que serão

necessárias pelo menos 6 extrações a fim de retirar tais letras. Além

disso, como a letra R figura uma vez em cada urna, o primeiro R de-

verá ser retirado da urna 1, e o segundo da urna 2, totalizando 8 reti-

radas. Caso contrário, o número de letras retiradas será igual a 9


Como a semana tem 7 dias, para garantir que há pelo menos três pes-

soas no mesmo dia da semana, é necessário que haja pelo menos 2.7

+ 1 = 15 pessoas no grupo.


Pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 2.3.4 = 24.


Se i denota algarismo ímpar e p denota algarismo par, então os nú-

meros que satisfazem as condições são da forma ipipipi Ademais,

como o número deve ser divisível por 5 segue que o algarismo das

unidades só pode ser 5 Logo, existem 4 possibilidades para o primeiro

algarismo, 5 para o segundo, 3 para o terceiro, 4 para o quarto, 2 para

o quinto e 3 para o sexto. Em consequência, pelo Princípio Multiplica-

tivo, a resposta é 4.5.3.4.2.3.1 = 1440.


Existem 5 maneiras de escolher a cor da letra T, 4 modos de escolher

a cor das letras A e E e 4 maneiras de escolher a cor das letras F e C

Por conseguinte, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é 5.4.4 = 80.


Com um algarismo podemos formar apenas dois pares: 0 e 2.


Com dois algarismos, podemos formar os números: 10, 12, 20, 30 e

32.

Com três algarismos, fixando o zero no algarismo das unidades, temos

3.2 = 6 números. Além disso, fixando o 2 no algarismo das unidades,

temos 2.2 = 4 números. Logo, pelo Princípio Aditivo, há 6 + 4 = 10

possibilidades.

Com quatro algarismos, fixando o zero no algarismo das unidades, te-

mos 3.2.1 = 6 números. Ademais, fixando o 2 no algarismo das unida-

des, há 2.2.1 = 4 números. Em consequência, novamente pelo

Princípio Aditivo, existem 6 + 4 = 10 números.

A resposta é 2 + 5 + 10 + 10 = 27.


Para cada uma das 3 coleiras existem 7 roupas. Portanto, o número

de maneiras diferentes de se passear com Kika é 3.7 = 21.


Observando a diferença entre a pontuação total da Escola II e a das

outras escolas, tem-se que a Escola II será campeã quaisquer que se-

jam as notas das Escolas I, III e V. Logo, em relação a essas escolas,

há 5 notas favoráveis para cada uma.

Por outro lado, como a Escola II vence a Escola IV em caso de empate,

e tendo a Escola IV uma vantagem de dois pontos em relação à Escola

II, a última será campeã nos seguintes casos:

a) 6 para a Escola IV e 8, 9 ou 10 para a Escola II;

b) 7 para a Escola IV e 9 ou 10 para a Escola II;

c) 8 para a Escola IV e 10 para a Escola II.

Em consequência, temos:

3 5 5 5 2 5 5 5 1 5 5 5 750.


Supondo que ao modificar a ordem das fotos obtemos composições

distintas, tem-se que o número de maneiras possíveis de fazer uma

composição é dado por 4 44P (5 6 4) 24 120 .


Há (3)PC 2! 2 modos de organizar as meninas em círculo. Defini-

das as posições das meninas, teremos três espaços para colocar os

meninos. Portanto, como os meninos podem ser dispostos de

3P 3! 6 maneiras, segue, pelo Princípio Multiplicativo, que o resul-

tado é 2.6 = 12.


Trata-se de permutação simples com repetição de elementos, ou seja:

4,3,2 4,3,29 9

9! 9 8 7 6 5 4! 9 8 7 6 5P 9 4 7 5 P 1260

4! 3! 2! 4! 3! 2! 3! 2!


As 10 pessoas podem se sentar de maneiras. Por outro lado,

o casal que está brigado pode se sentar lado a lado de

modos. Em consequência, o resultado pedido é


Considerando dois grupos, o das vogais com dois elementos e o das

consoantes com 4 elementos, temos três permutações, a permutação

dos grupos e as permutações dos elementos em cada grupo. Portanto,

o número de anagramas da palavra BRASIL em que as vogais ficam

lado a lado e as consoantes também será dado por:

2! 4! 2! 96.


Supondo que todos aparecerão na foto lado a lado, temos 2 possibili-

dades para os avós e 8P 8! 40320 possibilidades para os netos.

Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, existem

2 40320 80640 maneiras distintas de fazer a foto.


Considere 16 posições consecutivas de uma fila, em que as posições

de ordem ímpar serão ocupadas pelos 8 filmes de ação, as 5 primeiras

posições de ordem par serão ocupadas pelos filmes de comédia, e as

3 últimas posições de ordem par serão ocupadas pelos filmes de

drama. Daí, os filmes de ação podem ser dispostos de 8P 8! modos,

os de comédia de 5P 5! maneiras e os de drama de

3P 3! possibi-

lidades. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue-se que o resul-

tado é 8! 5! 3!.


Devemos distribuir 9 pessoas para nove lugares distintos, temos então

uma permutação de nove elementos:

P9 = 9! = 362880.


A primeira letra X será fixa e as outras seis sofrerão permutação com

repetição, pois temos duas letras A e duas letras T.

2,26

6!P 180

2! 2!


De acordo com as condições do problema temos no máximo três faces

para utilizar a primeira cor, duas faces no máximo para a segunda cor

e finalmente 1 face para a terceira cor. Portanto, o menor número de

cores necessárias para pinta o cubo é 3.


Pelo Princípio Multiplicativo, podemos formar 423 23 23 23 23 có-

digos, sem qualquer restrição, utilizando as 23 letras do alfabeto. Por

outro lado, o número de códigos em que figuram apenas vogais, tam-

bém pelo Princípio Multiplicativo, é dado por 45 5 5 5 5 . Em con-

sequência, o resultado pedido é igual a 4 423 5 .


Quantidade de códigos que começam por A: 1 26 26 676

Quantidade de códigos que começam por BA: 1 1 26 26

O restante dos livros começa por BB.

Faltam então, 7 livros para obtermos o código do último.

(709 676 26 7)

Então, a última letra é G (sétima letra do alfabeto).

O código associado ao último livro é BBG.


Sabendo-se que nenhuma das caixas ficou vazia, só existem 4 possi-

bilidades de distribuição, cada qual com possibilidades de permutação

de seus elementos. São elas:

23

3

23

23

3!Distribuição 1 5 ;1;1 Permutação P 3

2!

Distribuição 2 4 ; 2 ;1 Permutação P 3! 6

Total de 15 possibilidades de distrib3!Distribuição 3 3 ; 2 ; 2 Permutação P 3

2!

3!Distribuição 4 3 ; 3 ;1 Permutação P 3

2!

uição

Assim a probabilidade de uma caixa conter exatamente 4 bolas é:

P(distribuição 2) 6 20,40 40%

P(total de distribuições) 15 5


Existem 4 alimentos cujo pH pode ser 3,2 e 3 alimentos cujo pH pode

ser 4,2, temos então 12 maneiras distintas que esse técnico tem para

tentar identificar, de maneira correta, quais foram os dois alimentos

examinados.

4 3 12

Segunda Parte

1. (Ucs) Um supermercado está selecionando, entre 15

candidatos que se apresentaram, 3 funcionários para

desempenhar a função de “caixa”.

De quantas maneiras diferentes pode ser feita essa es-

colha?

a) 5 b) 45 c) 215

d) 360 e) 455

10P 10!

9 2P P 2 9!

10! 2 9! 10 9! 2 9! 8 9!.


2. (Uece) Uma urna contém 50 cartelas das quais 20

são azuis, numeradas de 1 a 20, e 30 são vermelhas,

numeradas de 21 a 50. De quantas formas diferentes é

possível retirar três cartelas (por exemplo, duas verme-

lhas e uma azul, três azuis,...) dessa urna?

a) 19600. b) 19060.

c) 16900. d) 16090.

3. (Uerj) Um painel de iluminação possui nove seções

distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor ver-

melha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso,

duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra

cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas.

Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação

do painel:

O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas

as possibilidades distintas de iluminação do painel, após

seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos,

sendo y 60. Os valores respectivos de x e y são:

a) 4 e 12 b) 8 e 24

c) 25 e 12 d) 50 e 24

4. (Feevale) Em certo bairro, houve um “troca-troca” de

livros usados. João levou 10 livros de romance. Pedro

levou 15 de poesia, e Marcelo, 7 de ficção. Marcelo

quer levar para casa, em troca de seus livros, 4 de ro-

mance e 3 de poesia. Assinale a alternativa que repre-

senta o número de formas diferentes com que essa

escolha pode ser feita.

a) 10,4 15,3C C b) 10,4 15,3C C

c) 10,4 15,3A A d) 10,3 15,4A A

e) 10,4 15,3A A

5. (Uemg) Observe a tirinha abaixo:

Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pe-

dir uma casquinha. Na sorveteria, há 6 sabores diferen-

tes de sorvete e 3 é o número máximo de bolas por

casquinha, sendo sempre uma de cada sabor.

O número de formas diferentes com que Magali poderá

pedir essa casquinha é igual a

a) 20. b) 41. c) 120. d) 35.

6. (Epcar) Um turista queria conhecer três estádios da

Copa do Mundo no Brasil não importando a ordem de

escolha. Estava em dúvida em relação às seguintes si-

tuações:

I. obrigatoriamente, conhecer o Estádio do Maracanã.

II. se conhecesse o Estádio do Mineirão, também teria

que conhecer a Arena Pantanal, caso contrário, não co-

nheceria nenhum dos dois.

Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 12 está-

dios brasileiros, a razão entre o número de modos dis-

tintos de escolher a situação I e o número de maneiras

diferentes de escolha para a situação II, nessa ordem, é

a) 11

26 b)

13

25 c)

13

24 d)

11

24

7. (Puc) Dado o conjunto A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10},

quantos subconjuntos com 3 elementos podem ser for-

mados de maneira que a soma dos três elementos seja

um número par?

a) 60. b) 120. c) 10.

d) 40. e) 125.

8. (Uece) Um conjunto X é formado por exatamente

seis números reais positivos e seis números reais nega-

tivos. De quantas formas diferentes podemos escolher

quatro elementos de X, de modo que o produto destes

elementos seja um número positivo?

a) 245. b) 225. c) 235. d) 255.

9. (Uece) A turma K do Curso de Administração da

UECE é formada por 36 alunos, sendo 22 mulheres e

14 homens. O número de comissões que podem ser for-

madas com alunos desta turma, tendo cada comissão

três componentes e sendo assegurada a participação de

representantes dos dois sexos em cada comissão, é

a) 5236. b) 6532. c) 3562. d) 2635.

10. (Insper) No jogo da multiplicação unitária deve-se

preencher cada um dos círculos sombreados na figura

com um dos números 1 ou 1. Em seguida, deve-se

multiplicar os números dois a dois, obtendo um resultado

para cada linha que liga dois círculos. Por último, deve-

se somar os resultados de todas essas multiplicações,

obtendo o resultado do jogo.

O menor resultado que esse jogo pode ter é

a) 0. b) 1. c) 2.

d) 4. e) 6.

11. (Mackenzie) O número de polígonos convexos dis-

tintos que podemos formar, com vértices nos pontos de

coordenadas (0, 0), (0,1), (0, 2), (0, 3), (2, 0), (2,1),

(2, 2) e (2, 3), do plano, é

a) 101 b) 84 c) 98

d) 100 e) 48


12. (Uern) Em uma sorveteria, há x sabores de sorvete

e y sabores de cobertura. Combinando um sabor de

sorvete com dois ou três sabores de cobertura tem-se,

respectivamente, 150 ou 200 diferentes opções de es-

colha.Assim, conclui-se que o número de sabores de co-

bertura disponível é

a) 4. b) 5. c) 6. d) 7.

13. (Uepa) Atual tendência alimentar baseada no maior

consumo de legumes, verduras e frutas impulsiona o

mercado de produtos naturais e frescos sem agrotóxicos

e uma diminuição no consumo de produtos que levam

glúten, lactose e açúcar. Uma empresa especializada no

preparo de refeições, visando a esse novo mercado de

consumidores, disponibiliza aos seus clientes uma

“quentinha executiva” que pode ser entregue no local de

trabalho na hora do almoço. O cliente pode compor o

seu almoço escolhendo entradas, pratos principais e so-

bremesas. Se essa empresa oferece 8 tipos de entra-

das, 10 tipos de pratos principais e 5 tipos de

sobremesas, o número de possiblidades com que um cli-

ente pode compor seu almoço, escolhendo, dentre os ti-

pos ofertados, duas entradas, um prato principal e uma

sobremesa é:

a) 400 b) 600 c) 800

d) 1.200 e) 1.400

14. (Insper) Um dirigente sugeriu a criação de um tor-

neio de futebol chamado Copa dos Campeões, dispu-

tado apenas pelos oito países que já foram campeões

mundiais: os três sul-americanos (Uruguai, Brasil e Ar-

gentina) e os cinco europeus (Itália, Alemanha, Ingla-

terra, França e Espanha). As oito seleções seriam

divididas em dois grupos de quatro, sendo os jogos do

grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do grupo B

em São Paulo. Considerando os integrantes de cada

grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o

número de maneiras diferentes de dividir as oito sele-

ções de modo que as três sul-americanas não fiquem no

mesmo grupo é

a) 140. b) 120. c) 70.

d) 60. e) 40.

15. (Esc. Naval) Qual a quantidade de números inteiros

de 4 algarismos distintos, sendo dois algarismos pares

e dois ímpares que podemos formar, usando algarismos

de 1 a 9?

a) 2400 b) 2000 c) 1840

d) 1440 e) 1200

16. (Unesp) Um professor, ao elaborar uma prova com-

posta de 10 questões de múltipla escolha, com 5 alter-

nativas cada e apenas uma correta, deseja que haja um

equilíbrio no número de alternativas corretas, a serem

assinaladas com X na folha de respostas. Isto é, ele de-

seja que duas questões sejam assinaladas com a alter-

nativa A, duas com a B, e assim por diante, como mostra

o modelo. Modelo de folha de resposta (gabarito)

A B C D E

01 X

02 X

03 X

04 X

05 X

06 X

07 X

08 X

09 X

10 X

Nessas condições, a quantidade de folha de respostas

diferentes, com a letra X disposta nas alternativas corre-

tas, será

a) 302 400. b) 113 400. c) 226 800.

d) 181 440. e) 604 800.

17. (Uemg) Na Copa das Confederações de 2013, no

Brasil, onde a seleção brasileira foi campeã, o técnico

Luiz Felipe Scolari tinha à sua disposição 23 jogadores

de várias posições, sendo: 3 goleiros, 8 defensores, 6

meio-campistas e 6 atacantes. Para formar seu time,

com 11 jogadores, o técnico utiliza 1 goleiro , 4 defenso-

res , 3 meio-campistas e 3 atacantes. Tendo sempre Jú-

lio César como goleiro e Fred como atacante, o número

de times distintos que o técnico poderá formar é

a) 14 000. b) 480. c) 8! + 4! d) 72 000.

18. (Uea) Potencialmente, os portos da região Norte po-

dem ser os canais de escoamento para toda a produção

de grãos que ocorre acima do paralelo 16 Sul, onde es-

tão situados gigantes do agronegócio. Investimentos em

logística e a construção de novos terminais portuários

privados irão aumentar consideravelmente o número de

toneladas de grãos embarcados anualmente. Para em-

barques durante a safra de grãos, seis navios diferentes

devem ser distribuídos entre dois portos, de modo que

cada porto receba três navios. O número de formas di-

ferentes de se fazer isso é

a) 6. b) 20. c) 9.

d) 12. e) 18.

19. (Puc) Para a escolha de um júri popular formado por

21 pessoas, o juiz-presidente de uma determinada Co-

marca dispõe de uma listagem com nomes de trinta ho-

mens e de vinte mulheres. O número de possibilidades

de formar um júri popular composto por exatamente 15

homens é

a) 15 630 20C C b) 15 6

30 20A A c) 15 630 20C C

d) 15 630 20A A e) 21

50C

20. (Ufsm) As doenças cardiovasculares aparecem em

primeiro lugar entre as causas de morte no Brasil. As ci-

rurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes no

tratamento dessas doenças.


Supõe-se que um hospital dispõe de 5 médicos cardio-

logistas, 2 médicos anestesistas e 6 instrumentadores

que fazem parte do grupo de profissionais habilitados

para realizar cirurgias cardíacas. Quantas equipes dife-

rentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1

anestesista e 4 instrumentadores?

a) 200. b) 300. c) 600.

d) 720. e) 1.200.

21. (Epcar) Num acampamento militar, serão instaladas

três barracas: I, II e III. Nelas, serão alojados 10 solda-

dos, dentre eles o soldado A e o soldado B, de tal ma-

neira que fiquem 4 soldados na barraca I, 3 na barraca

II e 3 na barraca III.

Se o soldado A deve ficar na barraca I e o soldado B

NÃO deve ficar na barraca III, então o número de ma-

neiras distintas de distribuí-los é igual a

a) 560 b) 1120 c) 1680 d) 2240

22. (Uemg) O jogo da Mega Sena consiste no sorteio de

6 números distintos de 1 a 60. Um apostador, depois de

vários anos de análise, deduziu que, no próximo sorteio,

os 6 números sorteados estariam entre os 10 números

que tinha escolhido.

Sendo assim, com a intenção de garantir seu prêmio na

Sena, ele resolveu fazer todos os possíveis jogos com 6

números entre os 10 números escolhidos.

Quantos reais ele gastará para fazê-los, sabendo que

cada jogo com 6 números custa R$ 2,00?

a) R$ 540,00. b) R$ 302.400,00.

c) R$ 420,00. d) R$ 5.040,00.

23. (Uerj) A tabela abaixo apresenta os critérios adota-

dos por dois países para a formação de placas de auto-

móveis. Em ambos os casos, podem ser utilizados

quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do

alfabeto romano. País Descrição Exemplo de placa

X 3 letras e 3 algarismos, em

qualquer ordem

Y

um bloco de 3 letras, em

qualquer ordem,

à esquerda de outro bloco de

4 algarismos,

também em qualquer ordem

Considere o número máximo de placas distintas que po-

dem ser confeccionadas no país X igual a n e no país Y

igual a p. A n

p razão corresponde a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 6

Gabarito:


A resposta corresponde ao número de combinações simples de 15 ob-

jetos tomados 3 a 3 ou seja, 15 15!

455.3 3! 12!


Sendo a bola azul e v bola vermelha, as possibilidades são:

{a, a, a}, {a, a, v}, {a, v, v} e {v, v, v}. Logo, é possível retirar

3 bolas azuis de 20 20!

11403 3! 17!

modos; 2 bolas azuis e 1 ver-

melha de 20 30 20!30 5700

2 1 2! 18!

maneiras; 1 bola azul e 2

vermelhas de 20 30 30!20 8700

1 2 2! 28!

modos; e 3 bolas ver-

melhas de 30 30!4060

3 3! 27!

maneiras.

Portanto, pelo Princípio Aditivo, segue que a resposta é

1140 5700 8700 4060 19600.


Duas vermelhas e uma azul: 9,2C 7 36 7 252

Duas azuis e uma vermelha: 9,2C 7 36 7 252

Portanto, o tempo total será de 252 252 504 segundos.

Como, 504 8 60 24, temos: x 8 e u 24.


Como os grupos de livros diferenciam-se apenas pela natura de ele-

mentos (a ordem dos livros escolhidos não importa), trata-se de com-

binação. Como Marcelo quer levar 4 livros de romance e 3 livros de

poesia, logo deve-se fazer uma multiplicação entre duas combinações,

a fim de encontrar o número total de formas diferentes de escolha.

Logo, a alternativa correta é a letra [A].


Como uma casquinha pode ter no máximo 3 bolas e os sabores de-

vem ser distintos, segue-se que o resultado pedido é dado por

6 6 6 6! 6!6 6 15 20 41.

2! 4! 3! 3!1 2 3


Para a situação I, existem 11 11!55

2 2! 9!

escolhas possíveis. Para

a situação II, o número de possibilidades é dado por

10 10!10 10 130.

3 3! 7!

Em consequência, a resposta é

55 11.

130 26


Os subconjuntos considerados no enunciado podem ser formados de

duas maneiras diferentes:

Primeira maneira (3 elementos pares): 5 5!10

3 2! (5 2)!

Segunda maneira (2 elementos ímpares e um par):

4 4!5 5 30

2 2! (4 2)!

Portanto, o número de subconjuntos com 3 elementos com soma par

será dado por: 10 30 40.


Para que o produto dos quatro números escolhidos seja positivo, só

existem 3 possibilidades:

1. Os quatro números escolhidos são positivos;

2. Os quatro números escolhidos são negativos;

3. Dois números escolhidos são positivos e dois são negativos.

Sabendo disso, e sabendo que a ordem dos números escolhidos não

interfere no seu produto, podemos calcular as combinações. Os casos

1 e 2 são idênticos, ou seja, sua combinação é:

46

6! 6 5 4! 30C 15

4!(6 4)! 4! 2! 2

Já o caso 3 pode ser calculado como sendo a combinação de 6 ele-

mentos 2 a 2 (para os dois números positivos) e a combinação de 6

elementos 2 a 2 (para os dois números negativos). Ou seja:

26

2 26 6

6! 6 5 4! 30C 15

2!(6 2)! 2! 4! 2

C C 15 15 225


Somando-se as três possibilidades, tem-se: 15 15 225 255 for-

mas de escolher quatro elementos de X de modo que o produto destes

elementos seja um número positivo.


O número de comissões que podem ser formadas, independente-

mente do sexo de seus participantes, é 36 36!7140.

3 3! 33!

Desse

total, devemos descontar o número de comissões cujos membros são

todos homens, e o número de comissões cujos membros são todos

mulheres.

O número de comissões formadas exclusivamente por mulheres é

igual a 22 22!1540.

3 3! 19!

O número de comissões formadas apenas por homens é

14 14!364.

3 3! 11!

Portanto, o resultado pedido é igual a 7140 1540 364 5236.


O resultado será mínimo quando o número de produtos iguais a 1

for máximo. Tem-se que o número de produtos possíveis é igual a

4 4!6.

2 2! 2!

Ademais, se x é a quantidade de números iguais a

1 e y é a quantidade de números iguais a 1, temos

(x,y) {(4, 0), (3,1), (2, 2), (1, 3), (0, 4)}.

É imediato que as possibilidades (4, 0) e (0, 4) não convêm. Logo,

por inspeção, concluímos que (x, y) (2, 2), com os números dispos-

tos em quaisquer círculos.

A resposta é 1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 2.


É possível formar apenas triângulos e quadriláteros.

Existem 4 maneiras de escolher um dos pontos sobre o eixo das orde-

nadas e 4 4!6

2 2! 2!

modos de escolher dois pontos da reta x = 2.

Assim, pelo Princípio Multiplicativo, é possível formar 2.4.6 = 48 triân-

gulos (note que é possível escolher dois pontos do eixo das ordenadas

e um ponto da reta x = 2).

Para formar quadriláteros, é necessário tomar dois pontos sobre o eixo

das ordenadas e dois pontos sobre a reta x = 2 Isso pode ser feito de

6.6 = 36 maneiras.

Em consequência, pelo Princípio Aditivo, a resposta é 48 + 36 = 84.


Fazendo a relação entre as combinações de 2 e 3 sabores de cober-

tura, pode-se escrever:

3y

2y

y!C 200 y! (y 2)! 2!(y 3)! 3!

y!150 (y 3)! 3! y!C(y 2)! 2!

(y 2) (y 3)! 2! (y 2) (y 2) 200

(y 3)! 3 2! 3 3 150

y 2 200150y 300 600 150y 900 y 6

3 150


O cliente pode escolher duas entradas de 8 8!

282 2! 6!

modos,

um prato principal de 10 maneiras e uma sobremesa de 5 modos. Por-

tanto, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é 28 10 5 1400.

Resposta da questão 14: [D]

Existem 2 maneiras de escolher o grupo que terá duas seleções sul-

americanas, 33

2

modos de escolher essas duas seleções, e

5 5!10

2 3! 2!

modos de escolher as duas seleções europeias que

irão formar o grupo com as duas sul-americanas. Como o segundo

grupo é determinado univocamente pelas escolhas do primeiro, segue-

se que o resultado pedido, pelo Princípio Fundamental da Contagem,

é 2 3 10 60.


Nos algarismos de 1 a 9 tem-se 4 algarismos pares e 5 algarismos

ímpares. Deve-se escolher 2 algarismos ímpares e 2 pares, permu-

tando-os. Assim, pode-se escrever:

2 25 4

5 4 3! 4 3 2!C C 4! 4! 1440

3! 2! 2! 2!


10,2 8,2 6,2 4,2 2,2C C C C C 45 28 15 6 1 113400


Logo, o número de times distintos é: 1 70 20 10 14000.

Resposta da questão 18: [B]

6,36!

C 203! 3!


Como o júri é formado por 21 pessoas, sendo que exatamente 15 delas

são homens, segue-se que o número de mulheres nesse júri é igual a

21 15 6. Portanto, o resultado é dado por 30 20.

15 6


O resultado pedido é dado por

5 2 6 5! 6!2 20 15 300.

3! 2! 4! 2!3 1 4


1º caso: Soldados A e B na barraca I

Barraca I: C8,2 = 28

Barraca II: C6,3 = 20

Barraca III: C3,3 = 1

Total(1) = 28 20 1 = 560.

2º caso: Soldado A na barraca I e soldado B na barraca II

Barraca I: C8,3 = 56

Baraca II CC5,2 =10

Barraca III: C3,3 = 1

Total(2) = 56 10 1 = 560.

Então, o número de maneiras distintas de distribuí-los é igual a 560 +

560 = 1120.


Total de combinações possíveis: 10,6

10!C 210.

6! 4!

Valor total dos jogos: 210 2 R$420,00.


Escolhendo 3 lugares para as letras 6,3C 20

x = 6,3C .26.26.26.10.10.10 = 20.26.26.26.10.10.10

y = 26.26.26.10.10.10.10

Logo, x 20.26.26.26.10.10.102

y 26.26.26.10.10.10.10 .

Primeira Parte - nebula.wsimg.com

Documents

Transcript of Primeira Parte - nebula.wsimg.com