Lista de Exerccios; Assunto: Induo Finita Prof.: Filipe Rodrigues www.rumoaoita.comn

1-)Prove que:k 1 n

k2

n(n 1)(2n 1) 6

2) Prove que:k 1

kk ! (n 1)! 1n

3-) Prove que:k 1

k3

n(n 1) 2i sinn

2

4) Prove que: cos

cos n

i sin n

5) (IME-93) Prove que:( a b) n an n 0 a n 1b n 1 a n 2b 2 n 2 ... a 2 b n2

n n 2

a 1b n

1

n n 1

bn

n n

Dado que

n k

n! e que k! = k( k n k ! k!

1 )( k

2 )...3.2.1

6) Prove que a soma de uma PG de razo q de n termos e primeiro termo a1 , dada por:S PG a1 (q n 1) q 1n

7) Prove quek 1

k 2k

(n 1)2 n

1

2

8) Dado que se a an bn (md. m).

b (md. m) ento, a = mq + b, prove que se a

b (md. m ) ento

n

sen sen(kx)

9) Prove que:k 1

n 1x nx sen 2 2 x sen 25n

10) (IME - 1987) Prove que 2 4

, n 2. n 11) Dada a relao de recorrncia A(n) 2 A(n 1) A(n) 2n

2n

1 , com A(1) 1 , mostre que

1.

Essa questo no de induo finita... apenas legal...tente faze-la.... (Moldvia-1998) A seqncia a n , n N* verifica as relaes a1 nmero natural n 1 . Calcule a11 e an 2

an 1 para todo 2na n 1 1

a2

a1998 .